Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov"

Transkript

1 Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, Hronov Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura: CZ..07/.5.00/ IV/ Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ 6-4-M/0 Elektrotechnika, 3-4-M/0 Strojírenství Počítačové řídicí systémy Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Matematika,.-4. ročník Mgr. Lucie Pošvářová, Mgr. Vladimír Klikar Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 995, ISBN , Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN , RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 005, ISBN Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Datum vytvoření: leden říjen 03 Anotace Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a hru funkční rozcvička. Využití ve výuce Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech. Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka z

2 5..04 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Vlastnosti funkcí VY_4_INOVACE_MA 0 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Je dána funkce f a interval J D Funkce f se nazývá klesající v intervalu je - li <, pak f S rostoucím, klesá f ( ). Klesající funkce ( ) > f ( ). ( f ). J, právě když pro všechna, J platí : Je dána funkce f a interval J D Funkce f se nazývá rostoucí v intervalu je - li <, pak f S rostoucím, roste f ( ). Rostoucí funkce ( ) < f ( ). ( f ). J, právě když pro všechna, J platí :

3 5..04 Funkce f je - li ANO Prostá funkce se nazývá prostá, právě když pro všechna, pak f ( ) f ( ).!, D ( f ) platí : Funkce f. Pro každé.pro každé D Sudá funkce se nazývá sudá, právě když platí zároveň : D ( f ) je také D( f ) ( f ) je f ( ) = f ( ). NE Funkce f. Pro každé. Pro každé Lichá funkce se nazývá lichá, právě když platí zároveň : D D ( f ) je také D( f ) ( f ) je f ( ) = f ( ). Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

4 VY_4_INOVACE_MA 0 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

5 VY_4_INOVACE_MA 0 Vlastnosti funkcí - Pracovní list zadání, záznamový arch. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém definičním oboru. a) b) c) d)

6 VY_4_INOVACE_MA 0. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu ( ;) a která je rostoucí na intervalu ( ; ). a) b) c) d) 3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá 3

7 VY_4_INOVACE_MA 0 Vlastnosti funkcí - Pracovní list řešení. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá. a) klesající na intervalu ( ;) d) rostoucí na intervalu ( ; ) 3. sudá lichá 4

8 VY_4_INOVACE_MA 0 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

9 VY_4_INOVACE_MA 03 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

10 VY_4_INOVACE_MA 03 Vlastnosti funkcí test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 0; 5, pak jej doplňte pro 5;0) tak, aby se jednalo o funkci sudou.

11 VY_4_INOVACE_MA 03 Vlastnosti funkcí test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro 5; 0, pak jej doplňte pro ( 0; 5 tak, aby se jednalo o funkci lichou. 3

12 VY_4_INOVACE_MA 03 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

13 8..04 VY_4_INOVACE_MA 04 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 VY_4_INOVACE_MA 04 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Lineární funkce AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Lineární funkce je funkce daná předpisem:. y a + b - průsečík s osou y = a,b R a 0 -grafem lineární funkce je přímka, která je různoběžná s osou y - pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body - průsečíky s osami soustavy souřadnic: P [ ;0] P y [ 0 ; y] P y [ 0;b]? b = 0 přímá úměra y = a Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic. f : y = f : y = f f 3 4 : y = 5 : y = a Čím vetší je číslo, tím strmější je přímka.

14 8..04 b = 0 přímá úměra y = a b 0 y = a + b Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic. f f f f 3 4 : y = : y = : y = 5 : y = Graf je rovnoběžný s grafem funkce y = a a prochází na ose y bodem b. f f f f 3 4 : y = + 8 : y = + 6 : y = : y = 4 f : y = f a = 0 Konstantní funkce y = b Grafem je přímka rovnoběžná s osou a procházející na ose y bodem b. f f f 3 : y = 5 : y = 7 : y = 0 osa Lineární funkce - shrnutí y = a + b. - průsečík s osou y a, b R a 0 a > 0 a < 0 - rostoucí - klesající

15 8..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

16 VY_4_INOVACE_MA 05 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 05 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

17 VY_4_INOVACE_MA 05 Lineární funkce graf lineární funkce Pracovní list zadání, záznamový arch. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. f : y = f : y = 3 f 3 : y = b. g : y = + g : y = 3

18 VY_4_INOVACE_MA 05. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. f : y = 3 ( 3; b. 3, ;0 g : y = 3, ( 0; ( ) 3

19 VY_4_INOVACE_MA 05 Lineární funkce graf lineární funkce Pracovní list řešení.a.b.a.b H ( f ) = 5;7) H ( g) = 3; ) 4

20 VY_4_INOVACE_MA 05 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

21 VY_4_INOVACE_MA 06 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 06 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

22 VY_4_INOVACE_MA 06 Lineární funkce graf lineární funkce Test Skupina A. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f : y = f : y = 3 5. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y =, R.

23 VY_4_INOVACE_MA 06 Lineární funkce graf lineární funkce Test Skupina B. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f : y = 3 5 f : y = Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y = +, R. 3

24 VY_4_INOVACE_MA 06 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

25 VY_4_INOVACE_MA 07 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 07 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

26 VY_4_INOVACE_MA 07 Lineární funkce a rovnice grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé Taková rovnice může mít: R je rovnice ve tvaru: a + b = 0, kde a, b R. b. Jedno řešení ve tvaru = pro a 0. a Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci y = a + b. Protože a 0, jedná se o přímku různoběžnou s osou. Pravá strana představuje konstantní funkci y = 0, jejímž grafem je osa. Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky y = a + b a osy. Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro R : + 4 = 0. Načrtneme si tyto funkce: f : y = + 4 a f : y = 0. Určíme jejich průsečík. K = 3. Množinu řešení zapíšeme jako { }. Nekonečně mnoho řešení, je-li a = 0 b = 0. Rovnice má tvar 0 = 0, obě strany představují tutéž přímku, osu. Mají tak přímku společných bodů, osu. Množinu K = ;. řešení zapíšeme jako ( )

27 VY_4_INOVACE_MA Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je a = 0 b 0. Dostaneme tak například rovnici 6 = 0. První funkce má předpis y = 6. Je to přímka rovnoběžná s osou. Nemají tedy žádný společný bod. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø. 3

28 VY_4_INOVACE_MA 07 Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 4 = 3 Potom načrtneme dvě přímky: f : y = 4 a f : y = 3. Řešením je opět jejich K =. průsečík, { } 4

29 VY_4_INOVACE_MA 07 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

30 VY_4_INOVACE_MA 08 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 08 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

31 VY_4_INOVACE_MA 08 Lineární funkce a rovnice grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na. Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech:. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 y = 0 Nejprve z každé rovnice vyjádříme y : y = 3 y = Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek K = ;. zapíšeme jako {[ ]}

32 VY_4_INOVACE_MA 08. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu: Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 + y = 0 Pokud vyjádříme y, dostaneme funkce: y = 3 y = 3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro, y R : 4 + y + 6 = 0 + y + 3 = 0 Vyjádříme-li y, dostaneme funkce: y = 3 y = 3 Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout. 3

33 VY_4_INOVACE_MA 08 Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem y = 3. Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za zvolíme parametr, například t. Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako t 3. Řešení zapíšeme jako K = {[ t; t 3] }, t R. 4

34 VY_4_INOVACE_MA 08 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

35 5..04 VY_4_INOVACE_MA 09 VY_4_INOVACE_MA 09 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Kvadratická funkce Posuny na grafech AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 y = 3 každou funkční hodnotu funkce y= vynásobíme 3 y = 5 každou funkční hodnotu funkce y= posuneme o 5 dolu ve směru osy y 0 3 = 0 co bylo v nule, zůstane v nule 3 = 3 co bylo v, přejde do = 9 co bylo ve 3, přejde do 9

36 5..04 y ( ) = 5 dané funkční hodnoty funkce y= budeme dostávat pro o 5 větší než původní graf y= se nám tak posune o 5 doprava po ose ( proti znaménku ) Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

37 VY_4_INOVACE_MA 0 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

38 VY_4_INOVACE_MA 0 Kvadratická funkce posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce Načrtněte následující funkce: y = f : y =. y = = 4 ; y = 4 ; y y = + y = 3

39 VY_4_INOVACE_MA 0 y = ( + ) y = ( 4) y = ( + 3) 3

40 VY_4_INOVACE_MA 0 y = 5 + ( ) 3 4

41 VY_4_INOVACE_MA 0 Kvadratická funkce posuny na grafech - Výsledky 5

42 VY_4_INOVACE_MA 0 6

43 VY_4_INOVACE_MA 0 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 7

44 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkce absolutní hodnota VY_4_INOVACE_MA AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Leden 03 Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo, pro které platí: Funkce absolutní hodnota - je dána předpisem je-lia 0, pak a = je - li a < 0, pak a a = a y =

45 Graf se bude skládat ze dvou částí: Graf funkce absolutní hodnota pro 0; ) to bude funkce y = y= pro ( ;0) to bude funkce y = y=- Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

46 VY_4_INOVACE_MA Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

47 VY_4_INOVACE_MA Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list zadání, záznamový arch. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: f : y = f : y = + f 3 : y = 4

48 VY_4_INOVACE_MA. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: g : y = g : y = g 3 : y = 3

49 VY_4_INOVACE_MA 3. Řešte graficky rovnici pro R : + =

50 VY_4_INOVACE_MA Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list řešení.. 3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci: f : y = + g : y = f = g K = { 4; } 5

51 VY_4_INOVACE_MA Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 6

52 VY_4_INOVACE_MA 3 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 3 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

53 VY_4_INOVACE_MA 3 Funkce s absolutními hodnotami Test Skupina A. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.): f : y = 5 f : y = 7 f 3 : y = Dokreslete do grafu k dané funkci f ( ) (Obr.) funkci ( ) f : Obr. Obr. 3. Řešením rovnice + 4 = + 6 je: a. K = { ;5 } b. K = { 5; } c. K = { 5;;5 } d. K = 5;

54 VY_4_INOVACE_MA 3 Skupina B. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.): f : y = 5 + f : y = + f 3 : y = 5 8. Dokreslete do grafu k dané funkci f ( ) (Obr.) funkci ( ) f : Obr. Obr. 3. Řešením rovnice 4 = + 6 je: a. K = 6; 6 b. K = { ;5 } c. K = { ;5 } d. K = { ;;5 } 3

55 VY_4_INOVACE_MA 3 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

56 5..04 VY_4_INOVACE_MA 4 VY_4_INOVACE_MA 4 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkční rozcvička AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Než začneme cvičit Naznačte pažemi rostoucí funkci. postavte se, prosím udělejte si kolem sebe místo na rozpažení vaše tělo představuje osu y vaše paže jsou grafem funkce panáček k vám stojí zády

57 5..04 Naznačte pažemi klesající funkci. Naznačte pažemi konstantní funkci. Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y =

58 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = 3

59 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = 4

60 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = y = + Naznačte pažemi tyto funkce: Dodělejte funkci, aby byla sudá: y = ( +) 5

61 5..04 Dodělejte funkci, aby byla lichá: Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce: y = tg 0;π ) Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = cot g ( 0;π ) y = sin π ;π 6

62 5..04 Naznačte pažemi tyto funkce: Naznačte pažemi tyto funkce: y = 3 3 y = Naznačte pažemi tyto funkce: Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). y = e 7

63 VY_4_INOVACE_MA 5 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Mocninné funkce VY_4_INOVACE_MA 5 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 03 n liché Mocninné funkce s přirozeným eponentem n y = f : y = g : y = h : y = n N 3 5 n sudé Mocninné funkce s přirozeným eponentem n y = f : y = g : y = h : y = n N 4 6

64 y = Mocninné funkce s celým eponentem n n = 0 specifický případ nemůžeme na nultou umocnit nulu definiční obor jsou všechna reálná čísla, kromě nuly f : y = D 0 ( f ) = ( ;0) ( 0; ) y = Mocninné funkce s celým eponentem n n Z -n liché můžeme také psát jako: D y = n ( f ) = ( ;0) ( 0; ) 3 f : y = g : y = h : y = 5 y = Mocninné funkce s celým eponentem n n Z -n sudé můžeme také psát jako: D y = n ( f ) = ( ;0) ( 0; ) 4 f : y = g : y = h : y = 6 4 y = 3 y = Přehled y = n 3 y = y =

65 Mocninné funkce Změny na grafech f 4 můžeme také psát: : y = D( f ) = ( ;0) ( 0; ) každou funkční hodnotu vynásobíme 0,5 f : y = 4 f : y = 7 + můžeme také psát: f : y = + 7 D f = ;0 0; ( ) ( ) ( ) f ( ) : y = + D můžeme také psát: ( f ) = ( ; ) ( ; ) f : y = + ( ) posune se o nahoru posune se o doleva 3

66 f 5 : y = D ( f ) = ( ; ) Pro zajímavost záporné funkční hodnoty se stanou kladnými f : y = 3( ) D ( f ) = ( ; ) Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

67 VY_4_INOVACE_MA 6 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 6 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

68 VY_4_INOVACE_MA 6 Mocninné funkce Pracovní list zadání, záznamový arch. Načrtněte grafy daných funkcí: y = y 4 = ; y = 4 ; y = y = + y = 3

69 VY_4_INOVACE_MA 6 y = ( + ) y = ( 4) y = ( + 3) 3

70 VY_4_INOVACE_MA 6. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla: a. A = ( ) 3 B = 3 b. ( ) 7 A = B = 0,9 ( 0,8) 7 4

71 VY_4_INOVACE_MA 6 Mocninné funkce Pracovní list řešení 5

72 VY_4_INOVACE_MA 6 6

73 VY_4_INOVACE_MA 6 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 7

74 VY_4_INOVACE_MA 7 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 7 Kvadratické nerovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Únor 04 Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů: a + b + c a 0 + b + c < 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 Řešení kvadratické nerovnice nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici = 0 ( )( 3) = 0 = = 3 kořeny této rovnice jsou průsečíky příslušné funkce s osou kvadratická funkce y= -5+6 je konvení, protože koeficient u kvadratického členu je kladný zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule - když parabola protíná osu nebo je pod osou - to je pro - + ;3

75 Další příklady na procvičení > < > = 0 ( + )( + 5) = 0 = = 5 ( ; 5) ( ) ; < = = 0 Další možnosti ( 5) = 0 = = 5 ( ;5) ( 5 ) ; R

76 Další možnosti Další možnosti > 0 NIC Ø { 5} = 0 D = b 4ac D = = 6 0 = 4 kvadratická rovnice nemá řešení Další možnosti > 0 -příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou - protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y= +4+5 je konvení - parabola bude celá nad osou R R 3

77 Další možnosti Další možnosti < NIC NIC Ø Ø = 0 / ( ) + 4 = 0 = 4 kvadratická rovnice nemá řešení - příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou - protože koeficient u kvadratického členu je záporný, kvadratická funkce y= je konkávní - parabola bude celá pod osou NIC Ø Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 4

78 VY_4_INOVACE_MA 8 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 8 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

79 VY_4_INOVACE_MA 8 Inverzní funkce Pracovní list zadání, záznamový arch a) U následujících grafů funkcí určete definiční obor D ( f ), obor hodnot H ( f ) k funkci f inverzní fukci hodnot ( f ) H., načrtněte f (pokud eistuje) a napište její definiční obor D ( f ), obor b)

80 VY_4_INOVACE_MA 8 c) d) 3

81 VY_4_INOVACE_MA 8 e) f) 4

82 VY_4_INOVACE_MA 8 Inverzní funkce Pracovní list řešení a) b) funkce není prostá, neeistuje k ní inverzní funkce D H D H ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) ( f ) = ( ; ) D H ( f ) = ( ; ) ( f ) = 0; ) c) d) D ( f ) = 0; ) D( f ) = ( ; ) H ( f ) = 0; ) H ( f ) = ( 4; ) D H ( f ) = 0; ) ( f ) = 0; ) D H ( f ) = ( 4; ) ( f ) = ( ; ) 5

83 VY_4_INOVACE_MA 8 e) f) D ( f ) = ( ; ) D( f ) = ( ;3 H ( f ) = ( 0; ) H ( f ) = 4; ) D H ( f ) = ( 0; ) ( f ) = ( ; ) D H ( f ) = 4; ) ( f ) = ( ; 3 6

84 VY_4_INOVACE_MA 8 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 7

85 5..04 VY_4_INOVACE_MA 9 VY_4_INOVACE_MA 9 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Logaritmy Intelektuální čísla AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Od námořní dopravy k logaritmům Logaritmické pravítko Tycho de Brahe (546 60) dánský astronom kreslil nejpřesnější mapy v 6. stol.

86 5..04 Logaritmické tabulky Logaritmické tabulky Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla Mirifici logarithmorum canonis constructio Johna Napiera Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami s nadšením přijaty námořníky a astronomy nutnost v mnoha vědních oborech nejlepší tabulky sestavil anglický matematik Michael Taylor ( ) obsahují logaritmy 0000 přirozených čísel Ještě že máme... Johannes Kepler svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus v Německu

87 5..04 Logaritmická spirála Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se eponenciálně zvětšuje poloměr otáčení Určování síly zemětřesení Intenzita zvuku 3

88 5..04 log z n = z > 0 z Definice logaritmu l n > 0 logaritmus n z l = n o základu z log z z = Hodnoty logaritmu log z = 0 a log z z = nápověda: log z n = l a z l = n log n log n = l = 0 Dekadický logaritmus ln n = log e n = Přirozený logaritmus l 0 l = n n > 0 e l = n n > 0 e =,788 Eulerovo číslo 4

89 Tento obrázek nyní nelze zobrazit log n = n z Vlastnosti logaritmů ( a b) = log a log b log + z z e ln n = n log log z z a b a n = log z = n log a log z a z b Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Sbírka Mozkolam, ISBN: (č.9) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 5

90 VY_4_INOVACE_MA 0 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Eponenciální funkce VY_4_INOVACE_MA 0 Graf a vlastnosti AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Eponenciální funkce o základu a f : y = a a > 0 a D ( f ) = ( ; ) Eponenciální funkce o základu a y = a 8 f : y = 9 4 g : y = 5 h : y = 3 a ( 0; )

91 Eponenciální funkce o základu a y = a a ( ; ) Eponenciální funkce o základu 0 y = 0 ( ) f : y = 3 3 g : y = h : y = 0 Eponenciální funkce o základu e y = e y = a a ( 0; ) D( f ) = ( ; ) a ( ; ) Je klesající na celém definičním oboru. H ( f ) = ( 0; ) f ( 0 ) = Je prostá. Je rostoucí na celém definičním oboru. e =,788 Eulerovo číslo

92 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

93 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Logaritmická funkce VY_4_INOVACE_MA Graf a vlastnosti AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Logaritmická funkce o základu je inverzní k eponenciální funkci o stejném základu f : y = a f : y = log a a Logaritmická funkce o základu y = log a a ( 0; ) a D ( f ) = H ( f ) = ( ; ) f 4 : y = 5 a a > 0 f : y = log 4 5

94 Logaritmická funkce o základu y = log a a ( ; ) a Logaritmická funkce o základu 0 y = log0 f : y = f : y = log y = log Dekadický logaritmus Logaritmická funkce o základu y = log e e =,788 e y = log a a ( 0; ) D( f ) = ( 0 ; ) a ( ; ) Je klesající na celém definičním oboru. H ( f ) = ( ; ) f ( ) = 0 Je prostá. Je rostoucí na celém definičním oboru. Eulerovo číslo y = ln Přirozený logaritmus

95 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

96 VY_4_INOVACE_MA Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

97 VY_4_INOVACE_MA Eponenciální funkce využití grafu v úlohách - Pracovní list zadání, záznamový arch. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí: 0,6 3 a. < 0,6 3 b. >. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = 0,3 B = 0,3 0,6 0,8 b. 3 A = 8 3 B = 8 3,6 3,8

98 VY_4_INOVACE_MA 3. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. 5 8 m 5 > 8 n b. 8 5 m 8 < 5 n 4. Rozhodněte, jaký je základ a eponenciální funkce y = a, pokud platí: a. 5 3 a < a b. a > a 3

99 VY_4_INOVACE_MA Eponenciální funkce využití grafu v úlohách - Řešení. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí: 3 0,6 <. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = 0,3 B = 0,3 0,6 0,8 b. 3 A = 8 3 B = 8 3,6 3,8 4

100 VY_4_INOVACE_MA 3. Užitím grafu vhodné eponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. 5 8 m 5 > 8 n b. 8 5 m 8 < 5 n 4. Rozhodněte, jaký je základ a eponenciální funkce 5 3 a. a < a S rostoucím 5 < 3, 5 3 roste y ( a < a ). Funkce 5 4 y = a je rostoucí, > 4 3 b. a > a 5 4 S rostoucím <, klesá y ( a > a ). Funkce 4 a. y = a je klesající, ( 0;) a. y = a, pokud platí: 5

101 VY_4_INOVACE_MA Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 6

102 VY_4_INOVACE_MA 3 Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90 VY_4_INOVACE_MA 3 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ..07/.5.00/ AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

103 VY_4_INOVACE_MA 3 Logaritmická funkce využití grafu v úlohách - Pracovní list zadání, záznamový arch. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: a. log 0, 3 < 0 b. log 0, 3 > 0. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = log B = log b. A = log B = log

104 VY_4_INOVACE_MA 3 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8 8 b. log 8 m > log 8 n Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log, pokud platí: a. log 3 log 5 a < a a b. log 5 4 a > log a 4 3 3

105 VY_4_INOVACE_MA 3 Logaritmická funkce využití grafu v úlohách - Řešení. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: log, 3 0 < 0. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A, B je větší: a. A = log B = log b. A = log B = log

106 VY_4_INOVACE_MA 3 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m, n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8 8 b. log 8 m > log 8 n Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log, pokud platí: a. log a 3 < log a 5 S rostoucím 3 < 5, roste y ( log a 3 < log a 5). Funkce y = log a je rostoucí, a >. 5 4 b. log a > log a S rostoucím <, klesá y ( log a > log a ). 4 3 Funkce y = log a je klesající, a ( 0;). a 5

107 VY_4_INOVACE_MA 3 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 6

108 5..04 VY_4_INOVACE_MA 4 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 4 Eponenciální rovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Řešte v R eponenciální rovnici: 3 = 9 Řešte v R eponenciální rovnici: = Graficky: K Početně: = 3 = 3 = { } Protože eponenciální funkce je prostá! Graficky: K Početně: = ( ) = = 3 5 = 4 3 = 9 = 3 { 3}

109 5..04 Řešte v R eponenciální rovnici: 0 6 0,5,5 0 = = + { } = K Substituce: 0 6 = = + y = 0 6 = + y y ( ) ( ) 0 3 = + y y 3 = y y = = NEVYHOVUJE = = > 0 a Řešte v R eponenciální rovnici: 0 6 0,5,5 0 = + { } = K Graficky: Prameny a literatura Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN

110 5..04 VY_4_INOVACE_MA 5 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 5 Logaritmické a eponenciální rovnice AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Březen 03 Řešte v R logaritmickou rovnici: ( 4) = log ( 5) Protože logaritmická funkce je prostá: 4 = 5 = 7 K = 0 ( + 7 ) ( ) = 0 = = NEVYHOVUJE { 7} log 3 3 Podmínky: 4 > 0 5 > 0 ( + 4 ) ( 4) > 0 < 0 průnik ( ; 4) ( 4 ) ; ( ; 4) ( ;0) Řešte v R eponenciální rovnici: log + log 6 = 0 y Substituce: + y 6 = 0 K log = y ( y + 3 ) ( y ) = 0 y = 3 y = NEVYHOVUJE = { } Podmínky: > 0

111 5..04 Řešte v R eponenciální rovnici: 3+ 5 ( ) = 7 číslo 7 nelze napsat jako mocninu dvou celou rovnici zlogaritmujeme log 3 5 = log7 ( 3 5) log = log7 log = log log7 3 = 5 log 5 log = 7 3 log 5 log = 7 log8 = log7 5log 3 = log log 5 log7 = 3 log 5 log K = 7 log8 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 000, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

112 VY_4_INOVACE_MA 6 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Jednotková kružnice VY_4_INOVACE_MA 6 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna. k ( S; r = ) délka jednotkové kružnice je: o = π r o = π délka kružnicového oblouku AB je: π π = (

113 stupňová míra velikost úhlu ve stupních - stupně minuty vteřiny = 60 = 3600 Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti. π π oblouková míra velikost úhlu v radiánech rad Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce. nemusí se psát π 3 π Příklad: Doplňte tabulku. Orientovaný úhel - uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem α víme, které rameno je počáteční a které koncové π 0 6 π 4 π 3 π 3 π π π

114 Základní velikost orientovaného úhlu je velikost toho z úhlů, který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu V z počátečního ramene VA do koncového ramene VB v kladném smyslu Velikost orientovaného úhlu je každé číslo α + k π, k Z, kde α je základní velikost. α + k pro základní velikost orientovaného úhlu platí: 0 α < π 0 α < 360 Nulový orientovaný úhel 0 = 0 rad má základní velikost. Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti. 4π 7 π 3π Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). 3

115 5..04 VY_4_INOVACE_MA 7 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ VY_4_INOVACE_MA 7 Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 - soustava souřadnic, jednotková kružnice - pravoúhlý trojúhelník ABC: A k ( S; r = ), S[ 0;0] [ 0;0], B k, C B [ b; a] a sinα = c sinα = a b cosα = c cosα = b - rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro π α 0; na α R L [ ; y L L ] L[ cos ; sin ] [ α; sinα ] B cos

116 5..04 α 0 ; π π ; π sinα cosα Roste nebo klesá? 3 3 π ; π π; π roste klesá klesá roste klesá klesá roste roste π 3 α 0 π π sinα cosα Doplň hodnoty! Periodické ( + k π ) sin ( + k π ) cos sin = cos = Perioda je π α sinα cosα 0; π π 3 3 ;π π ; π π; π Kladné nebo záporné? Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Sudá nebo lichá? sin ( ) = sin ( ) cos cos = lichá sudá

117 5..04 VY_4_INOVACE_MA 8 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce sinus VY_4_INOVACE_MA 8 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 Načrtněte graf funkce y = 5sin y = asin D ( f ) = R H ( f ) = ; mění obor hodnot ( f ) = a a H ; SINUSOIDA y = sin H ( f ) = 5; 5 amplituda

118 5..04 Načrtněte graf funkce y = sin H ( f ) = ; Načrtněte graf funkce y = sin H ( f ) = 0; dvoucestně usměrněný signál Načrtněte graf funkce y = sin y = sin b Načrtněte graf funkce y = sin mění periodu π b do původního grafu se vejde b změněných

119 5..04 Načrtněte graf funkce y = sin π 4 ( c) y = sin + Načrtněte graf funkce y = sin + 3 y = sin + d posouvá graf po ose y po znaménku posouvá graf ve směru osy proti znaménku fázový posun stejnosměrná složka Načrtněte graf funkce y = sin Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). stejnosměrná složka 3

120 5..04 VY_4_INOVACE_MA 9 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce kosinus VY_4_INOVACE_MA 9 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 y = cos y = sin D ( f ) = R H ( f ) = ; y = cos KOSINUSOIDA y = cos - posuny na grafu jsou stejné jako u funkce sinus y = sin cos = sin ( + π )

121 5..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

122 5..04 VY_4_INOVACE_MA 30 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Funkce tangens a kotangens na jednotkové kružnici VY_4_INOVACE_MA 30 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 - soustava souřadnic, jednotková kružnice k ( S; r = ), S[ 0;0] y = tg

123 soustava souřadnic, jednotková kružnice k ( S; r = ), S[ 0;0] y = cotg α 0 ; π π ; π tgα Roste nebo klesá? 3 3 π ; π π; π roste roste roste roste cotgα klesá klesá klesá klesá π 3 α 0 π π tgα Periodické ( + k π ) tg ( + k π ) cotg tg = cotg = Perioda je π α tgα cotgα 0; π π 3 3 ;π π ; π π; π Kladné nebo záporné? cotgα Doplň hodnoty! 0 0 * * 0 * 0 *

124 5..04 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware). Sudá nebo lichá? tg cotg ( ) = tg ( ) = cotg lichá lichá 3

125 5..04 VY_4_INOVACE_MA 3 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 03 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:cz..07/.5.00/ Z..07/.5.00/ Graf funkce tangens a kotangens VY_4_INOVACE_MA 3 AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Červen 03 tg = sin cos cos 0 π ( k + ) cos cotg = sin sin 0 π liché násobky k π k Z celé násobky π k Z

126 5..04 tg = sin cos cotg = cos sin y = tg π ( k + ) tg = cotg cotg = tg liché násobky π tg cotg = y = cotg k π Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 997, ISBN celé násobky π Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce.0 (Freeware).

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě Název projektu Zlepšení podmínek vzdělávání SZŠ Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0358 Název školy Střední zdravotnická škola, Turnov, 28.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce a

Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce a Autor Mgr. Bronislava Salajová Tematický celek Funkce Cílová skupina 3. ročník SŠ s maturitní zkouškou Anotace Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce

Více

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová...

Obsah metodiky. Obsah metodiky... 2 Úvod... Cíle využití metody e-learningu ... ... ... 6 Kurz Matematika Svobodová... Metodika aktivity 04 E-learning Matematika v rámci projektu Škola pro praktický život Zpracovala: Mgr. Zdeňka Hudcová Mgr. Martina Svobodová 2010 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FONDEM

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast (předmět) Autor ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr CZ.1.07/1.5.00/34.0705 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Michal Musílek, 2009 michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Grafické násobení pomocí průsečíků přímek Algoritmus gelosia a Napierovy kostky Objev logaritmů, přirozený a dekadicky log Logaritmické

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více