Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Transkript

1 Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon komresoru, když komrese je: a) izotermická, b) adiabatická. Zakreslete změny v -v a T-s diagramech. V = [m 3. s ]; t = 0 [ C] = 93,5 [K]; = 0, [MPa]; = 0,7 [MPa]; V =? [m 3. s ]; t =? [K]; P =? [W] a) Izotermická změna Pro výočet velikosti objemového toku vystuujícího z komresoru se budeme oírat o stavovou rovnici, která je trošku uravená. Uvažujeme, že řes komresor roudí kontinuálně stálé množství vzduchu (v čase se nemění množství vzduchu, které rotéká komresorem), tedy můžeme uvažovat, že hmotnost vzduchu v komresoru v čase stejná. Jelikož ale, máme roudící médium, uravíme si stavovou rovnici do následujícího tvaru:. V = m. r. T Rovnice se změnila jenom formálně a dostala časový rozměr. Její úravou ro odmínky izotermického děje dostáváme rovnici:. V =. V Jednoduchou úravou této rovnice dostáváme velikost objemového růtoku na výstuu z komresoru: V = 0,.06. V = 0, = 0,43 [m3 s ] Velikost teloty ři izotermické komresi je stejná na začátku i na konci děje, tedy: T = T = 93,5 [K]

2 Tady je dobré se zastavit, výsledek orovnat z grafem a udělat některé úvahy ro další výočty. Z grafů lynou následující ředoklady: Objem na konci komrese adiabatické bude vyšší než u komrese izotermické (bod leží víc vravo od bodu ) očekáváme tedy vyšší hodnotu objemového růtoku na výstuu ři adiabatickém ději (V < V ). Při adiabatickém ději bude telota na konci komrese vyšší než u komrese izotermické (bod leží víc vravo od bodu ), tedy se očekává výsledek, ro který bude latit T < T. Velikost ráce se očekává v záorných hodnotách (komresoru se dodává ráce) Velikost dodávané ráce v říadě adiabatické komrese bude vyšší než v říadě izotermické komrese (velikost lochy mezi zelenou křivkou a osou tlaku je menší než velikost lochy mezi ururovou křivkou a osou tlaku). P < P - Pozor, výsledky se očekávají v záorných hodnotách, roto je nutné orovnávat v absolutních hodnotách! Příkon komresoru (velikost technické ráce, která se musí dodat komresoru za jednotku času), je možné vyočítat římo oužitím rovnice ro výočet technické ráce a veličin, které mají i časový rozměr a byly dříve oužity ve stavové rovnici. Velikost technické ráce, je vyjádřena v Joulech *J+, oužitím veličiny objemového toku [m 3. s ] místo veličiny objemu [m 3 ] v rovnici ro výočet technické ráce dostáváme namísto rovnice A = V. d rovnici A = V. d Tím, že na ravé straně řibyl časový rozměr, musel řibýt i na levé straně. Tedy ůvodní rozměr obou stran, který byl v [J], má nyní rozměry [J. s ], což je rozměr výkonu [W]. Proto můžeme nasat, že velikost dodávané ráce: P = A t == m.r.t V. d = d = m. r. T dv = m. r. T[ln ] = m. r. T. ln == m. r. T. ln =. V. ln = 0, ln 0,.06 0,7.06 = 94 59,049 [W]

3 b) Adiabatická změna V říadě adiabatické změny je také udělána formální změna a řidán časový rozměr, tedy rovnice oisující rovnováhu mezi očátečním a koncovým dějem má tvar: Searováním roměnných se lze doracovat k rovnici:. V κ =. V κ ( V ) = ( ) V Odkud je jednoduché vyjádřit velikost objemového růtoku vzduchu na výstuu z komresoru: V = V. ( κ 0,.0 6,4 ) =. ( 0,7.0 6) = 0,49 [m 3 s ] Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - V < V Výočet teloty se bude odvíjet také od úrav rovnice ro adiabatický děj (viz rovnice (6) a (7) Cvičení 4.). Využijeme tvar rovnice, která se musí minimálně uravovat: T T = ( ) A tedy je jednoduché vyjádřit velikost teloty na konci adiabatické komrese: T = T. ( κ κ 0,7.0 6,4,4 ) = 93,5. ( 0,.0 6) = 5,5 [K] Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - T < T V říadě adiabatické změny není nutné oužít integrální tvar výočtu, ale lze využít toho, že ři adiabatickém ději je ravá strana rovnice ro rvní zákon termodynamiky rovna nule (viz rovnice () - cvičení 4). Tedy úravou rovnice () a její rozšířením o časový rozměr (rovnici nevynásobím hmotností m ale hmotnostním tokem m ) můžeme nasat, že velikost dodávané ráce v říadě adiabatického děje: κ κ κ κ. r P = A t = m. κ (T T ) P =. V. c r. T. (T T ) = 0,.06.,4. 87,04.. (93,5 5,5) = 60 76,3 [W] 87,04.93,5,4 Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - P < P 3

4 Příklad Ve válci je vzduch o hmotnosti 0,5 *kg+ ři tlaku *bar+ a telotě 5 * C+. Vzduch je adiabaticky stlačen na tlak 0,8 *MPa+. Stanovte: ) Absolutní ráci ) Technickou ráci 3) Koncový objem 4) Koncovou telotu 5) Změnu vnitřní energie 6) Změnu entalie 7) Změnu entroie Dáno: m = 0,5 [kg = [bar] =.0 5 [Pa] T = 5 [ C] = 88,5 [K] = 0,8 [MPa] = 0,8.0 6 [Pa] Pro výočet je možno oužít množství zkratek, které lynou z rovnic ro adiabatický děj. Tady bude ukázaný odrobný ostu a ak následně budou ukázány jednolité sojitosti. Na začátku je ale nutné jsi uvědomit ár skutečností, které lynou již grafů: Velikost technické i absolutní ráce se očekává z záorných hodnotách (komresoru se dodává ráce) Objem na konci děje bude nižší jako na začátku V < V Telota na konci děje bude vyšší než na začátku děje T > T Při adiabatickém ději je ravá strana rovnice ro rvní zákon termodynamiky rovna nule (viz rovnice () - cvičení 4). Tedy latí, že ΔU = A a ΔH = A t 4

5 ) Absolutní ráce Výočet měrné absolutní ráce se řídí dle známé rovnice a integrací se dostaneme ke konečnému tvaru (viz úravy rovnice (8) Poznámky ke cvičení 4) v a =. v κ. dv = vκ. v κ. * v κ+ v κ + + =. v κ. * v κ+ κ + v κ+ κ + + = v v =. v κ. * v κ κ v κ κ + = κ. v κ. [v κ v κ ] = = κ.. v κ. v κ. * v κ κ v v κ κ v + = κ.. v. *( v κ ) + = v Konečný tvar rovnice je možné uravit za omoci stavové rovnice a rovnice adiabaty (viz úravy rovnice (8) Poznámky ke cvičení 4): a = κ κ. v κ. [( κ r. T ) ] = κ. [( κ ) ] = 87,04. 88,5,4,4 0,8. 06,4. [( 0,. 0 6) ] = ,4 [J. kg ] Výsledek je záorný, což se dalo očekávat. Je třeba si ale dát ozor, že výsledek je nutné násobit hmotností!!! Terve tento výsledek je srávným výsledkem. Toto je častá chyba u záočtů!!!! A = m. a = 0,5. ( ,4) = 4 974, [J] ) Technická ráce Velikost technické ráce je možné také odvodit a vyočítat klasickým zůsobem (viz úravy rovnice (9) Poznámky ke cvičení 4). Využitím závislosti (4) (oznámky ke cvičení 4) se rovnou doracujeme k výsledku: κ. A = A t,4. ( 4947,) = 5875,7 [J] 3) Koncový objem Pro výočet koncového objemu je nutnost znát velikost objemu na začátku, nebo znát dostatečné množství arametrů, aby se mohl koncový objem vyočítat v jednom kroku. V tomhle říadě je ale zaotřebí nejrve vyočítat velikost objemu na očátku, což je možné za omoci stavové rovnice:. V = m. r. T V = m. r. T 0,5. 87,04. 88,5 = 0,. 0 6 = 0, [m 3 ] Pak za omoci rovnice adiabaty a jejich úrav (viz oznámky ke cvičení 4) je ak možné vyočítat koncový objem: V = V. ( κ 0,.0 6,4 ) = 0,. ( 0,8.0 6) = 0,084 [m 3 ] Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - V < V 5

6 4) Koncová telota Za omoci rovnice adiabaty a jejich úrav (viz oznámky ke cvičení 4) je možné vyočítat koncovou: T T = ( ) κ κ T = T. ( κ κ 0, ) = 88,5. ( 0,. 0 6),4,4 = 5,97 [K] Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - T > T 5) Změna vnitřní energie Při výočtu změny velikosti se myslí číslo, které je dáno rozdílem mezi koncovým a očátečním stavem. V říadě adiabatické změny stavu je tady ještě odmínka, které musí býti slněna aby výsledek koresondoval s rvním zákonem termodynamiky. První rovnicí ro výočet velikosti změny vnitřní energie, je: m. c v. dt = du Podmínka, která lyne z rvní věty termodynamické má tvar (viz oznámky ke cvičení 4 rovnice ()): da = du Tedy velikost změny vnitřní energie, musí mít oačný znaménko jako velikost změny absolutní ráce. Dle ředchozího jsme si určili, že velikost dodávané ráce komresoru značíme záorným znaménkem, tedy změna vnitřní energie ři komresi bude mít kladné znaménko, tudíž velikost změny vnitřní energie závisí ouze na rozdílu telot: r ΔU = (m. κ (T T )) = (0,5. 87,04. (5,97 88,5)) = [J],4 Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) du = da 6) Změna entalie Při výočtu velikosti změny entalie jsme omezeni stejnými odmínkami jako v říadě výočtu velikosti změny vnitřní energie. Tedy rovnice ro výočet velikosti změny entalie: m. c. dt = dh Podmínka, která lyne z rvní věty termodynamické má tvar (viz oznámky ke cvičení 4 rovnice (3)): ΔH = da t Tedy velikost změny entalie bude dána rovnicí: κ. r ΔH = (m. κ (T,4.87,04 T )) = (0,5. (5,97 88,5)) = 5876, [J],4 Výsledek koresonduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) dh = da t V tomhle říadě je tu oět možnost využít vlastností, které lynou z Mayerovy rovnice (viz oznámky ke cvičení rovnice (7), (8)) ale i ze zavilostí absolutní a technické ráce, ro adiabatické děje (osané výše, nebo viz oznámky ke cvičení 4 rovnice (3)): ΔU. κ = ΔH = 5876, 7) Změna entroie V říadě změny velikosti entroie je odověď jasná. U vratné adiabatické komrese, která robíhá s ideálním lynem, nedochází k výměně tela s okolím a ani se nerodukuje žádné telo uvnitř systému, tedy velikost změny entroie je rovna nule. ds = dq T [J. K ] dq = 0 ds = 0 6