Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Transkript

1 Kartografie 1 - přednáška 2 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015

2 Kartografické zobrazení kartografické zobrazení vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách odvozeno matematickou cestou existuje velké množství kartografických zobrazení (stovky) kartografická projekce vztah je realizován geometrickou cestou (zpravidla z koule do roviny) zpravidla známy velmi dlouho (starověk) kartografické zobrazení je popsáno zobrazovacími rovnicemi: X = f (ϕ, λ) Y = g (ϕ, λ)

3 Kartografické zobrazení vlastnosti: souřadnice X, Y jsou obecně funkcí ϕ, λ každému bodu v originále odpovídá jediný bod v obraze singulární body póly možné zobrazovací způsoby: φ, λ U, V Š, D ρ, ε X, Y

4 Kartografická zkreslení zkreslení jsou dána rozdílnou křivostí referenčních ploch typy zkreslení: délkové zkreslení m (poměr nekonečně malé délky v obraze a originále) plošné zkreslení P (poměr sobě odpovídajících nekonečně malých ploch v obraze a originále) úhlové zkreslení (rozdíl velikostí úhlu v obraze a originále) protože délkové i úhlové zkreslení jsou bezrozměrná čísla (poměry), v praxi se používá: vliv délkového zkreslení m-1 vliv plošného zkreslení P-1 (moc se nepoužívá) typ zobrazení: ekvidistantní (délkojevné), nezkreslují se délky v určitých směrech ekvivalentní (plochojevné), nezkreslují se plochy konformní (úhlojevné), nezkreslují se úhly

5 Délkové zkreslení P A ds dλ D P d S +X ds P d dx P dy 0 +Y J

6 Délkové zkreslení odvození Výchozí vztahy: m 2 A = ds 2 ds 2 = dx 2 + dy 2 M 2 dϕ 2 + N 2 cos 2 ϕ dλ 2 dx = f f dϕ + ϕ λ dλ, dx = f ϕ dϕ + f λ dλ, g g dy = dϕ + ϕ λ dλ dy = g ϕ dϕ + g λ dλ

7 Délkové zkreslení odvození Výsledky odvození: m 2 A = f 2 ϕ + g 2 ϕ M 2 cos 2 A+ f λ 2 + g λ 2 N 2 cos 2 ϕ sin2 A+ 2(f ϕf λ + g ϕ g λ ) sin A cos A MN cos ϕ pro A = 0 získáme délkové zkreslení v poledníkovém elementu m p pro A = 90 získáme délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu m r m 2 A = m2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A + p sin A cos A délkové zkreslení je tedy závislé na poloze bodu (ϕ, λ) a směru (azimutu) A lze odvodit podmínky konformity zobrazení m p = m r, p = 0

8 Délkové zkreslení m se většinou blíží k jedné vliv délkového zkreslení: cm/km, dm/km (m 1) > 0 (zobrazení prodlužuje délky) (m 1) < 0 (zobrazení zkracuje délky) neexistuje zobrazení, které by nezkreslovalo všechny délky!

9 Extrémní délkové zkreslení, hlavní paprsky ve kterém azimutu dochází k extrémním hodnotám m A? dm 2 A dm A da = 0 da = 2m dm A A da = 0 výsledek po úpravách: p tg 2A ɛ = mp 2 mr 2 rovnice má 2 řešení: A ɛ1 a A ɛ2 = A ɛ dva paprsky o těchto azimutech jsou na sebe kolmé jedná se o hlavní směry neboli hlavní paprsky dosadíme-li hodnoty azimutů do základní rovnice pro délkové zkreslení, dostaneme hodnoty extrémního délkového zkreslení v bodě (značíme je a, b) hlavní paprsky jsou na sebe kolmé v originále i obraze

10 Úhlové zkreslení odvození +X μp A S obr. meridi anu P μ 180 A = µ p µ tg(180 A ) = tg µ p tg µ 1 + tg µ p tg µ tg µ = dy dx = g ϕ dϕ + g λ dλ f ϕ dϕ + f λ dλ po úpravách: tg µ = g ϕ N cos ϕ cos A + g λ M sin A f ϕ N cos ϕ cos A + f λ M sin A tg µ p = g ϕ f ϕ 0 +Y

11 Úhlové zkreslení odvození zkreslení azimutu: A = A A zkreslení úhlu: ω = (A 2 A 1 ) (A 2 A 1 ) = A 2 A 1 +X μp tg ϑ = tg µ p tg µ r 1 + tg µ p tg µ r μr θ obraz obraz merid. rovnob. tg µ p = g ϕ f ϕ tg µ r = g λ f λ 0 +Y tg ϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ f ϕ f λ + g ϕ g λ

12 Úhlové zkreslení ω je funkcí azimutu pro obraz úhlu mezi poledníkem a rovnoběžkou platí předchozí vztah: tg ϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ f ϕ f λ + g ϕ g λ jmenovatel předchozího vztahu je roven výrazu p ze základní rovnice pro délkové zkreslení, tedy pokud je roven nule (podmínka konformity), obraz úhlu je 90, což odpovídá konformnímu zobrazení (úhel je nezkreslen) existují však i zobrazení, kde úhel mezi obrazem rovnoběžky a poledníku zůstává zachován a přesto nejsou konformní nazýváme je ortogonálními

13 Extrémní úhlové zkreslení odvození je složitější (viz skripta) uvedeme si pouze výsledný vztah: sin ω 2 = b a b + a

14 Plošné zkreslení X elipsoid p P 1 rovina p P 1 r P 2 dr 90 dp P r P 2 dr θ dp P

15 Plošné zkreslení odvození výchozí vztah: P = 1 2 dp dr sin ϑ 1 2 dp dr = m p m r sin ϑ můžeme dosadit za m p, m r (ze základní rovnice pro délkové zkreslení) a za sin ϑ : sinϑ = f λ g ϕ f ϕ g λ (f ) ( 2 ϕ + gϕ 2 f 2 λ + gλ) 2 P = f λg ϕ f ϕ g λ MN cos ϕ

16 Tissotova indikatrix délkové zkreslení v bodě je funkcí azimutu maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení jsou a, b (hlavní paprsky) obrazem nekonečně malé kružnice je v důsledku zkreslení elipsa elipsa zkreslení (Tissotova indikatrix) znázorňuje průběh délkového zkreslení v bodě pro konformní zobrazení se jedná o kružnici a, b jsou velikosti hlavní a vedlejší poloosy elipsy A ɛ1 a A ɛ2 jsou azimuty extrémních zkreslení α p a α r jsou směry poledníku a rovnoběžky měřené od hlavního paprsku

17 Tissotova indikatrix p ξ p mp ξ A ε1 α r α p A ε2 r b m r ν 90 A ε 1 α r α p A ε 2 η r η a

18 Tissotova indikatrix vztahy délkové zkreslení m 2 α = a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α úhlové zkreslení tg α = b a tg α tg A ɛ1 = b a tg A ɛ1, tg(a ɛ2 A ɛ1) = b a tg(a ɛ2 A ɛ1 ) obrazem nekonečně malé kružnice je v důsledku zkreslení elipsa elipsa zkreslení (Tissotova indikatrix) znázorňuje průběh délkového zkreslení v bodě pro konformní zobrazení se jedná o kružnici a, b jsou velikosti hlavní a vedlejší poloosy elipsy A ɛ1 a A ɛ2 jsou azimuty extrémních zkreslení α p a α r jsou směry poledníku a rovnoběžky měřené od hlavního paprsku

19 Tissotova indikatrix vztahy plošné zkreslení P = π a dρ b dρ π dρ 2 = a b vztahy mezi hlavními paprsky: a b = m p m r sin ϑ m 2 p = a 2 cos 2 α p + b 2 sin 2 α p m 2 r = a 2 sin 2 α p + b 2 cos 2 α p tedy: a 2 + b 2 = m 2 p + m 2 r