Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Transkript

1 Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí čísla? Podívejme se a polyomy s reálými koeficiety. Ty jsou super, ale mají jedu epříjemou vlastost e všechy jsme schopi zapsat jako souči polyomů stupě ejvýše jeda. To zameá, že dopředu třeba evíme, kolik má polyom x 8 5x 6 7x 349x5 kořeů. Nebo eumíme rozložit tak jedoduchý polyom jako x. Co s tím? Prví případ vypadá dost komplikovaě, ve druhém by ám stačilo mít číslo, jehož druhá mocia dává. Ozačme si takové číslo i, tj. i =. Zřejmě, pokud takové číslo máme, pak číslo k ěmu opačé má stejou vlastost.) Nyí, abychom měli uzavřeost a operace sčítáí a ásobeí, tak uvažujme všecha čísla tvaru a bi, kde a, b jsou reálá, a ozačme tuto možiu C. Pak se zmiňovaý polyom ad touto možiou rozkládá a souči x = x i)x i). To eí všecho lze dokoce dokázat, že každý polyom ad C se rozkládá a souči polyomů stupě ejvýše jeda. Ukazuje se, že toto eí jediá hezká vlastost komplexích čísel. Mimo jié se s imi dají ituitivě odvodit zajímavé vzorce a dokoce) mají praktické uplatěí v popisu geometrických zobrazeí ebo také ve fyzice. Úmluva. Dále v tomto textu předpokládáme, že a, b, c a d jsou reálá čísla a z je číslo komplexí. Defiice. Komplexí číslo) Číslo z = a bi, kde i =, budeme azývat komplexí číslo, a azveme reálou částí komplexího čísla a b azveme jeho imagiárí částí. Začíme Rz) = a a Iz) = b. Věta. Základí věta algebry) Každý polyom ad komplexími čísly má koře. Jaký tvar má souči a součet čísel a bi, c di? Růzé tvary komplexích čísel S komplexími čísly se dají provádět stejé věci jako s čísly reálými, ale k ěkterým z ich je právě defiovaý tvar evhodý.

2 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Zřejmě, abychom jedozačě zadali komplexí číslo, stačí ám uspořádaá dvojice reálých čísel. Dvojice se rověž používají pro zadáváí bodů v roviě ebylo by možé si komplexí čísla představit jako body v roviě? Defiice. Komplexí čísla podruhé) Komplexímu číslu a bi přiřadíme v roviě bod se souřadicemi [a, b]. Ose x budeme říkat reálá osa a ose y imagiárí. Pro libovolé dva body v roviě se souřadicemi [a, b] a [c, d] defiujeme operace sčítáí a ásobeí ásledově: [a, b] [c, d] = [a b, c d], [a, b] [c, d] = [ac bd, ad bc]. Nyí defiujeme třetí tvar, tz. goiometrický. Pro daé eulové komplexí číslo z = a bi existuje právě jede průsečík jedotkové kružice se středem v počátku a polopřímky vycházející z počátku, která prochází bodem z. Bod a jedotkové kružici jsme schopi reprezetovat dvojicí [cos ϕ, si ϕ] a délka úsečky spojující počátek se z je a b. Proto můžeme psát a bi = a b cos ϕ i si ϕ). Defiice. Absolutí hodota a argumet komplexího čísla) z = a bi defiujeme: Pro komplexí číslo Absolutí hodota komplexího čísla z je z = a b. Argumet komplexího čísla z je číslo ϕ z rozmezí [0, π) takové, že platí z = z cosϕ i si ϕ). Z hlediska geometrického si lze absolutí hodotu představit jako délku úsečky spojující počátek s vybraým komplexím číslem. Argumet je potom úhel, který tato úsečka svírá s kladou částí reálé osy. Je přechod mezi základím tvarem komplexího čísla a goiometrickým tvarem jedozačý, tj. je jedozačé zobrazeí, které komplexímu číslu přiřadí dvojici absolutí hodota a argumet? Převeďte čísla i, 3 i 3, 7 7i do goiometrického tvaru. Je-li absolutí hodota komplexího čísla rova jedé, azveme takové číslo komplexí jedotka. Věta. Součtové vzorce) Pro a, b platí: sia b) = si a cos b cos a si b, cosa b) = cos a cos b si a si b. Z posledí defiice a zalosti součtových vzorců si lze koečě představit, jak vypadá ásobeí komplexích čísel. Mějme čísla z = z cos ϕ i si ϕ ) a z = z cos ϕ i si ϕ ). Potom z z = z z cosϕ ϕ )i siϕ ϕ )). Tj. dostaeme číslo, které má argumet rove součtu argumetů ásobeých čísel a jeho vzdáleost od počátku je rova součiu vzdáleostí ásobeých čísel.

3 HONZA KREJČÍ Jaká geometrická zobrazeí jsou reprezetováa: přeásobeím ±i? přeásobeím komplexí jedotkou? přeásobeím reálým číslem? přeásobeím komplexím číslem? Popište zobrazeí, které komplexímu číslu přiřadí jeho absolutí hodotu. Věta. Moivreova věta) Pro a a celé číslo platí ásledující rovost: cos a i si a) = cos a i si a Důkaz. Pro 0 tvrzeí dokážeme matematickou idukcí podle za pomoci součtových vzorců. Je-li < 0, pak z již dokázaého platí, že cos a i si a) = cos a) i si a) cos ai si a) = cos a)i si a). Dále přeásobíme zlomkem cos a) i si a). Tímto přeásobeím ám stále zůstává zachováa rovost, eboť ásobíme jedičkou. Nakoec si uvědomíme, že sius je lichá fukce, kosius sudá fukce a dostaeme cos a i si a) = cos a) i si a) = cos a i si a. Základí operace s komplexími čísly S reálými čísly toho děláme spoustu, mimo jié třeba dělíme, mocíme a odmocňujeme. Mocit číslo i) 4 evypadá jako příjemá čiost, icméě a mocěí s celočíselým koeficietem) máme goiometrický tvar a Moivreovu větu. Vyjde-li ám čas, ukážeme si, jak umocit ebo odmocit skoro) všecho za použití komplexí expoeciály a logaritmu. Komplexí čísla jsou zákeřější co se zlomků týče jakou hodotu má výraz i i? Zkusme zlomek usměrit tak, aby ve jmeovateli ebylo komplexí číslo usměríme číslem komplexě sdružeým k číslu ve jmeovateli zlomku): i i = i i i i = i. Defiice. komplexě sdružeé číslo) sdružeé je z = a bi. Věta. Vlastosti komplexího sdružováí) polyom s reálými koeficiety, potom: z z = z z, z z = z z, P z ) = P z ). Mějme z = a bi, potom číslo komplexě Nechť z, z jsou komplexí čísla a P Další problém, který s komplexími čísly máme, je, že eumíme spočítat druhou odmociu. Zkusme cvičě) spočítat odmociu z čísla 5 i. Tato odmocia bude komplexí číslo a bi pro vhodé kostaty a, b. Umocíme-li rovici a porováme reálé a imagiárí části, dostaeme pro ě tuto soustavu rovic: 5 = a b = ab 3

4 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Soustavu můžeme vyřešit vyjádřeím a z druhé rovice, dosazeím do prví a ásledým dopočítáím a. Dostaeme čísla ± i ). Nyí ověříme, že kvadratická rovice 4 x x i = 0 má skutečě dva kořey. Krátkou úpravou kvadratického polyomu se můžeme přesvědčit, že vzoreček pro výpočet kořeů kvadratické rovice fuguje pořád stejě: ) px qx r = p x qp q q x 4p 4p r )) p = p x q ) ) q 4pr p 4p = p x q p ) q 4pr 4p x q p ) q 4pr 4p. Položíme-li posledí souči rove ule a vyjádříme x, dostaeme požadovaé. Co ale dělat, když umocňujeme a ěco komplexího? Komplexí expoeciála a logaritmus Pro edostatek prostoru zavedeme komplexí expoeciálu a její vlastosti uvedeme bez důkazu. Defiice. Fukci exp : C C\{0}, která komplexímu číslu z = a bi přiřadí hodotu e a cos b i si b), azýváme komplexí expoeciála. Věta. Vlastosti komplexí expoeciály) Komplexí expoeciála je spojitá πi periodická fukce, která splňuje ásledující vlastosti: exp z) = expz), expz z ) = expz ) expz ), expz) = j=0 z!. Jaký je obraz přímky rovoběžé s osou x při zobrazeí exp? Idea, jak defiovat komplexí logaritmus, je vcelku jedoduchá chceme fukci, která ám pro zvoleé z vrátí takovou hodotu w, že expw) = z. Takových hodot může být hodě, icméě když budeme požadovat w takové, že Iw) [0, π), dostaeme právě jedu. Lze si rozmyslet, že w = log z i arg z. Defiice. Komplexí mocia) Pro z 0 a α C defiujeme z α = expα logz)). Pokud se zbavíme požadavku, že logaritmus musí být jedozačý, můžeme uvažovat možiu komplexích moci, která je pro α C\R dokoce ekoečá. Co se s tím dá dělat Zkusme si s pomocí komplexí expoeciály spočítat řešeí rovice x =. Postupě budeme upravovat x = exp log x) = expπi) =. Protože je expo- 4

5 HONZA KREJČÍ eciála πi periodická, log x = πi kπi. Nakoec dostaeme x = exp πikπi ). Z defiice expoeciály a absolutí hodoty si lze všimout, že všecha řešeí jsou komplexí jedotky, a ty avíc tvoří pravidelý -úhelík. Co se změí, pokud budeme uvažovat rovice x =, x = c, kde c R? Jakou hodotu má výraz i i? Několik příkladů a závěr Příklad. Nechť P je reálý polyom lichého stupě. Dokažte, že má koře v reálých číslech. Příklad. Nechť z je komplexí jedotka. Dokažte, že zlomek z z imagiárí tj. že má ulovou reálou část a eulovou imagiárí část). Příklad 3. Najděte všecha z, pro která z z R. Příklad 4. Sečtěte: si a si a... si ka, cos a cos a... cos ka. Příklad 5. Pro daé N sečtěte: 0) ) 4)..., 0) 3) 6).... Literatura a zdroje je ryze [] Roma Lávička: Úvod do komplexí aalýzy, Praha, 07. [] Pavel Podbrdský: Komplexí čísla, ezámé, 00. [3] Marti Tacer: Komplexí čísla a jejich geometrické aplikace, Olšaka,