Stereometrie. Obsah. Stránka 924
|
|
- Bedřich Šmíd
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1
2 Obsah 6. tereometrie Polohové úlohy Řezy těles Průnik přímky s rovinou Průnik přímky s povrchem tělesa Metrické úlohy Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek Vzdálenost bodu od roviny Odchylka dvou přímek Odchylka přímky od roviny Objemy a povrchy těles Krychle Kvádr, hranol Válec Kužel Komolý kužel Jehlan, komolý jehlan Koule a její části Komplexní úlohy tránka 94
3 6. tereometrie 6.1 Polohové úlohy Řezy těles 1. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 95
4 c) d). estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 96
5 a) b) c) d) tránka 97
6 . estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 98
7 c) d) 4. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 99
8 a) b) c) d) tránka 90
9 5. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 91
10 c) d) 6. estrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 9
11 a) b) c) d) tránka 9
12 7. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 94
13 c) d) 8. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 95
14 a) b) c) d) tránka 96
15 9. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 97
16 c) d) 10. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) tránka 98
17 a) b) c) d) tránka 99
18 11. estrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM podle následujícího zadání: a) c) b) d) a) b) tránka 940
19 c) d) tránka 941
20 6.1. Průnik přímky s rovinou 1. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík: a) Přímky AH BF rovinou ACH b) Přímky FD rovinou ACH c) Přímky FG BD rovinou AB CG d) Přímky A CG rovinou BC CD G a) Přímka AH BF leží v rovině ABG Průsečnice rovinabg a ACH je přímka AH Přímka AH BF protíná průsečnici těchto rovin v bodě AH, který je tedy průsečíkem přímky AH BF a roviny ACH b) Přímka FD leží v rovině BFH Průsečnice rovin BFH a ACH je přímka BD H Přímka FD protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je tedy průsečíkem přímky FD a roviny ACH c) Přímka FG BD leží v rovině BC FG EH Průsečnice rovin BC FG EH a AB CG je přímka KL Přímka FG BD protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky FG BD a roviny AB CG tránka 94
21 d) Přímka A CG leží v rovině ACG Průsečnice rovin BC CD G a ACG je přímka KG Přímka A CG protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky A CG a roviny ACG. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík roviny a přímky podle obrázku: a) BH KLM c) ABGH KLM b) CE KLM d) AECG AKL a) Přímka BH leží v rovině DBF Průsečnice rovin KLM a DBF je přímka XY Přímka BH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky BH a roviny DBF tránka 94
22 b) Přímka CE leží v rovině ACG Průsečnice rovin KLM a ACG je přímka XY Přímka CE protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky CE a roviny ACG c) Přímka AB GH leží v rovině AB CD GH Průsečnice rovin KLM a AB CD GH je přímka XY Přímka AB GH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AB GH a roviny AB CD GH d) Přímka AE CG leží v rovině ACG Průsečnice rovin ALM a ACG je přímka AX Přímka AB GH protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AE CG a roviny ALM. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. estrojte průsečík roviny a přímky podle obrázku: a) AX DKV c) ABV KLM tránka 944
23 b) CX KLM d) AV AC KLM a) Přímka AX leží v rovině ACV Průsečnice rovin KDV a ACV je přímka V Přímka AX protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AX a roviny KDV b) Přímka CX leží v rovině ACV Průsečnice rovin KLM a ACV je přímka KZ Přímka CX protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky CX a roviny KLM tránka 945
24 c) Přímka AB V leží v rovině DBV Průsečnice rovin KLM a DBV je přímka XY Přímka AB V protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AB V a roviny KLM d) Přímka AV AC leží v rovině ACV Průsečnice rovin KLM a ACV je přímka XY Přímka AV AC protíná průsečnici těchto rovin v bodě P, který je průsečíkem přímky AV AC a roviny KLM tránka 946
25 6.1. Průnik přímky s povrchem tělesa 1. Je dána krychle ABCDEFGH. estrojte průsečík krychle a přímky XY podle zadání: a) c) b) d) a) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem b) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 947
26 c) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem d) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem. Je dán jehlan ABCDV estrojte průsečík jehlanu a přímky KL podle zadání: a) c) b) d) tránka 948
27 a) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XK, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem b) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XK, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem c) Přímkou KL proložíme rovinu kolmou k rovině podstavy přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XL, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 949
28 d) Přímkou KL proložíme vhodnou rovinu přímka KL protíná řez tělesa roviny v bodech XY, které jsou současně průsečíky této přímky s tělesem tránka 950
29 6. Metrické úlohy 6..1 Vzdálenost dvou bodů 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) FD b) B AE a) FD c) B DH d) B AH e) AH AB f) HB AD Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 5 cm Velikost úsečky FD: FD DH DB FD 5 5 FD 70 cm 8,4 cm b) B AE tránka 951
30 Velikost úsečky B AE : A B AE B AE AE 1 5,5 5,5 1, 5 cm 5,6 cm c) B DH Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky B DH : B D DB B B DH DH DH DH,5 5 56,5 cm = 7,5 cm d) B AH tránka 95
31 Velikost úsečky AH: AH AB AD AH 5 5 AH 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky B AH : B B B ADH AH AB AH AH 5 5 7,5 cm 6,1 cm e) AH AB Velikost úsečky AH: AH AB AD AH 5 5 AH 50 5 cm 7,1 cm Velikost úsečky AB AH : AB B B AH AH AH A AH AB 5,5 18, 75 cm 4, cm tránka 95
32 g) HB AD Bod BH je středem krychle, proto leží v rovině řezu krychle body AD BC EH Velikost úsečky AD BH : AD AD AD BH BH BH ADBC ADEH,5,5 1,5 cm,5 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) BH c) D BF b) A BF d) A BG a) BH e) AB BG f) BG BC Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 4 cm 5,7 cm tránka 954
33 Velikost úsečky BH: BH BD DH BH 5 BH 57 cm 7,5 cm b) A BF Velikost úsečky A BF: A A BF BF A BF BF AB cm c) D BF Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 4 cm 5,7 cm tránka 955
34 Velikost úsečky D BF : D D BF BF D BF BF BD 41 cm 6,4 cm d) A BG Velikost úsečky BG: BG BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm Velikost úsečky A BG : A A A BG BG BG BG AB cm 5,4 cm tránka 956
35 e) AB BG Velikost úsečky BG: BG BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm Velikost úsečky A BG : AB AB AB BG BG BG AB BG 5 17 cm 4,1 cm tránka 957
36 f) AG BC Velikost úsečky AG BC : AG AG AG BC BC BC ADBC BCFG 1,6 cm. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných bodů. a) AV b) V AB a) AV c) C AV d) B AV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 5,7 cm tránka 958
37 Velikost úsečky AV: A AV A BG BG AC v 5 cm 5,7 cm b) V AB Velikost úsečky AC: V V AB CD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm c) C AV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm tránka 959
38 Velikost úsečky AV: AV AV AC v 5 AV cm 5,7 cm Úhel při vrcholu A tg v A AC 5 tg 1, ,5 AV AV C AV AC AC cos C C AV AV C AV 4 4 cos 60,5 8, ,5 4,9 cm d) B AV tránka 960
39 Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm Velikost úsečky AV: AV AV AC v 5 AV cm 5,7 cm Velikost úsečky V AB V V AB AB V AB AB AV 9 5,4 cm Úhel při vrcholu A V tg A AB AB tg 9, ,6 Velikost úsečky B AV AV AV B AV A AB A AB cos B B AV AV B AV cos69,6 4 8, 5 4 8,5,9 cm tránka 961
40 6.. Vzdálenost bodu od přímky 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) B, EH b) B, FG c) B, DH a) B, EH d) B, AH e) B, EG f) C, BD g) A, EF BF h) C, AE BF i) G, E BF Velikost úsečky BE: BE AB AE BE 5 5 BE 50 7,1 cm b) B, FG Velikost úsečky BF: BF 5 cm tránka 96
41 c) B, DH Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 7,1 cm d) B, AH Velikost úsečky AB: AB 5 cm e) B, EG tránka 96
42 Velikost úsečky BE: Velikost úsečky B: EG GB BE BE AB AE BE 5 5 BE 50 7,1 cm BE GB BE 7,1 cm B BE AG BE BE 7,5 6,1 cm f) C, BD Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 5 5 BD 50 7,1 cm Velikost úsečky C: C BE DB CD 50 5 BE 1,5,5 cm tránka 964
43 g) A, EF BF Velikost úsečky AF: AF AB BF AF 5 5 AF 50 7,1 cm Velikost úsečky A: A A AF , cm 4 h) C, AE BF tránka 965
44 Velikost úsečky C BF : C BF AF BF BC 5,5 AF 1,5 5,6 cm i) G, E BF Velikost úsečky C BF : BF BFG FG BF BF G 5,5 G 1,5 5,6 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) A,BC e) H,AC b) B,EF f) A,FC c) C,AE g) B,FA d) C,EF h) AG,BF a) A,BC i) C,HB j) C, BF FG Velikost úsečky A,B: tránka 966
45 C, BF C, 4 cm BF AB b) B,EF Velikost úsečky BF: BF BF AE 6 cm c) C,AE Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 cm 5,7 cm tránka 967
46 d) C,EF Velikost úsečky CF: CF BC BF CF 4 6 CF 5 7, cm e) H, AC Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm tránka 968
47 Velikost úsečky H: H H AC AH 6 H 44 cm 6,6 cm f) A, FC Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky AF: AF AB AE AF 4 6 AF 5 cm 7, cm tránka 969
48 Velikost úsečky F: Trojúhelník ACF je rovnoramenný, vypočítáme jeho výšku: F F AC FC 5 F 44 6,6 cm Velikost úsečky AP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků FC a APC. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu C). FC APC F FC AP AP AC F AC FC AP 44. 5, cm 5 g) B, FA Velikost úsečky AF: AF AB AE AF 4 6 AF 5 cm 7, cm tránka 970
49 Velikost úsečky BP: Úsečka BP je výškou pravoúhlého trojúhelníka ABF. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: AB AB AP AF AP AF BF BF PF AF PF AF BP AP PF BP AB BF AB BF AF AF AF AB BF BP AF 46 BP, cm 5 h) AG, BF Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky AG P: Bod AG je bod, ve kterém se půlí tělesové úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB. DB AG AG 48,5 cm tránka 971
50 i) C, HB Velikost úsečky DB: DB AB AD DB 4 4 DB 4 cm 5,7 cm Velikost úsečky HB: Bod AG je bod, ve kterém se půlí tělesové úhlopříčky, tedy i úhlopříčka HB. HB DB DH HB 6 HB 68 8, cm Velikost úsečky HC: HC DC DH HC 4 6 HC 5 cm 7, cm Velikost úsečky CP: Úsečka CP je výškou pravoúhlého trojúhelníka HCB. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: tránka 97
51 PC HP PB HC HC HP HB HP HB BC BC PB HB PB HB PC BP BP HC BC HC BC HB HB HB HC BC HB,5 cm j) C, BF FG Velikost úsečky CP: Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu C je zřejmé, že platí: CP CX Velikost úsečky CX: Úsečka CX je výškou pravoúhlého trojúhelníka CG BC C. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: C C BC CG BC CG BC BC CG CG 1,6 cm tránka 97
52 Velikost úsečky CG BC C C BC CG BC CG BC BC CG CG 1,6 cm Velikost úsečky CX: CX X X BC CG BCC BC BC BC CG BC BCCG CGC CG CG BC CG CG BCCG C X X C X X CX CX CX C C C C BC CG BC CG BC CG BC CG BC CG BCC CGC 1 Velikost úsečky CP: CP CX BC CG 1,7 cm 6 CP 5 cm 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané přímky. a) V, BC d) B, DV b) B, AV e) BV, CV c) V, AC f) BV, DV a) V, BC g) AC, CV h) D, AV CV tránka 974
53 Velikost úsečky V BC : V V AD BC BC v BC V BC 5 9 5,4 cm b) B, AV Velikost úsečky V AB : V V AB CD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm Velikost úsečky AV: AC AV v AV 5 AV cm 5,7 cm tránka 975
54 Velikost úsečky BP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků ABP a A AB V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu A). ABP A V AB AV BP BP V AB AB AB V AV AB c) V, AC BP 4. 9,7 cm Velikost úsečky V: Velikost úsečky V je výška jehlanu: V v 5 cm d) B, DV tránka 976
55 Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BV BV BD v 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky DP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BPD a B BD V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BPD B V BD BV DP DP V BD BD BD V BV BD BP.5 4,9 cm e) BV, CV tránka 977
56 Velikost úsečky V BC : V V AD BC BC v BC V BC 5 9 5,4 cm Velikost úsečky BV: BC BV v BV 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky CP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BCP a B BC V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BCP B V Velikost úsečky CP: BC BV CP CP V BC BC BC V BV BC 4 CP 9,7 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků VPC avx CV se společným úhlem při vrcholu V vyplývá, že: 1 XCV PC, neboť platí: 1 VCV VC Tedy: 1 XCV PC 1 4 XCV 9 1,9 cm tránka 978
57 f) BV, DV Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BV BV BD v 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky DP: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BPD a B BD V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu B). BPD B V BD BV DP DP V BD BD BD V BV BD Velikost úsečky DV X: BP.5 4,9 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků VPD avx DV se společným úhlem při vrcholu V vyplývá, že: 1 XDV PD, neboť platí: tránka 979
58 VDV Tedy: X X DV DV 1 VD 1 PD 1 5,5 cm g) AC, CV Velikost úsečky AC: AC AB BC AC 4 4 AC 4 5,7 cm Velikost úsečky CV: CV CV AC v 5 CV cm 5,7 cm tránka 980
59 Velikost úsečky AV: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků AC CP a V AC C. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu C). CP V C h) D, AV CV AC AC AC ACC ACP CV V C AC ACP VAC BP CV 5,5 cm Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Umístění bodu P: Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že bod P půlí úsečku AC V. Proto: v VP,5 cm tránka 981
60 Velikost úsečky DP: DB v DP DP 5 DP 14,5,8 cm tránka 98
61 6.. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek tereometrie 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek. a) AB, EF b) EF, DC a) AB, EF c) DB, HF d) EH FG, CD Velikost úsečky BD: AD 5 cm b) EF, DC Velikost úsečky CF: CF BC BF BD 5 5 BD 50 5 cm 7,1 cm tránka 98
62 c) DB, HF Velikost úsečky BF: BF 5 cm d) EH, FG, CD Velikost úsečky BF: C FG BD GF CG 5,5 BD 1,5 5,6 cm. Je dán kvádr ABCDEFGH, pro který platí AB = 4 cm, BC = 4 cm, AE = 6 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek: a) AB, EF c) DB, HF b) EF, DC d) EH FG, CD e) G FB, HD A f) FB CG, EH tránka 984
63 a) AB, EF Velikost úsečky BF: BF 6 cm b) EF, DC Velikost úsečky CF: CF BC CG BG 4 6 BG 5 7, cm tránka 985
64 c) DB, HF Velikost úsečky BF: BF 6 cm d) EH FG, CD Velikost úsečky FG C: FG BG FG CG 6 BG 40 6, cm tránka 986
65 e) G BF, DH A Velikost úsečky A BF : A BF BG BF AB 4 BG 5 5 cm ABF BFG GDH DH A Velikost úsečky AC: AC AB BC AC AC cm 5,7 cm Velikost úsečky AG: AG AC CG AG 6 AG 68 8, cm Velikost úsečky DH BF Velikost úsečky BF P Velikost úsečky DH BF je rovna velikost úhlopříčky podstavy tedy: 4 cm 5,7 cm DH BF Pro výpočet můžeme například porovnat obsah kosočtverce, pro který můžeme využít vztahy: e f a v tránka 987
66 AG DH 68, cm BF v a 68 v 4,7 cm 5 P 4,7 cm BF f) FB CG, EH Velikost úsečky E BF : E BF BG BF EF 4 BG 5 5 cm. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který platí AB = 4 cm, v = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daných rovnoběžných přímek: a) BC, AD b) BC, AV DV c) BV, BC CV d) AC, AV CV tránka 988
67 tránka 989
68 a) BC, AD Velikost úsečky AB: AB 4 cm b) BC, AV DV Velikost úsečky AD V: ADV v AD V AD AD BC 5 V 9 5,4 cm tránka 990
69 Velikost úhlu : tg v AD 5 tg 68, Velikost úsečky BC P: Kosinova věta: ADV ADV BC v v cos BC BC cos68,, cm c) BV, BC CV Velikost úsečky V BC : V V BC AD AB v AB V AB 5 9 5,4 cm tránka 991
70 Velikost úsečky BD: BD AB AD BD 4 4 BD 5,7 cm Velikost úsečky BV: BD BV v BV 5 BV cm 5,7 cm Velikost úsečky BC X: Můžeme například využít podobnosti trojúhelníků BCX a B BC V. (Pravoúhlé trojúhelníky se stejným úhlem při vrcholu A). BCX B V BC BV CX CX V BC BC BC V BV BC Velikost úsečky BC P: 4 CX. 9,7 cm Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu B je zřejmé, že platí: CX BC X CX BC X 4. 9 BC X 1,9 cm tránka 99
71 d) AC, AV CV Velikost úsečky V: Velikost úsečky V je výška jehlanu: V v 5 cm Velikost úsečky P: Z obrázku a z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků se společným úhlem při vrcholu A je zřejmé, že platí: V P 5 P,5 cm tránka 99
72 6..4 Vzdálenost bodu od roviny 1. Je dána krychle ABCDEFGH, pro kterou platí AB = 5 cm. Vypočítejte vzdálenost daného bodu od dané roviny. a) E, BCG b) E, HFA c) B, FG AE d) G, BFH e) F, EF BF FG f) HB, EF BF CG a) E, BCG Velikost úsečky EF: EF 4 cm b) E, HFA tránka 994
73 Velikost úsečky E: Velikost úsečky A: EG EF FG EG 4 4 EG 5,7 cm E EG E,8 cm A AE E A 4 EG 4 4,9 cm Velikost úsečky EP: Úsečka EP je výškou pravoúhlého trojúhelníka AE. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: PE AP P AE AE AP A AP A E E P A P A PE BP AE E AE E A A A AE E A 4 BP, cm 4 tránka 995
74 c) B, FG AE Velikost úsečky AG P: P P 1 4 cm d) G, BFH Velikost úsečky AG P: EG EF FG EG EG GP 4 4 5,7 cm EG GP,8 cm tránka 996
75 e) F, EF BF FG Velikost úsečky AG P: HF EF GH HF 4 4 HF 5,7 cm Z podobnosti trojúhelníků vyplývá, že: HF FX 4 FX 1,4 cm 4 Velikost úsečky X BF : X FX F X BF BF X BF 4 6 cm BF Velikost úsečky FP: Úsečka EP je výškou pravoúhlého trojúhelníka AE. pojením Euklidových vět o výšce a odvěsně je možné ze známých údajů tuto výšku vypočítat: tránka 997
76 PF XP P BF XF BF XBF BF F BF BF BF BF XBF XF XP X XP F P X P PF PF XF BF F XF BF F XBF XBF XBF XF F X BF BF PF 4 0,5 cm 6 f) HB, EF BF CG Bod BH leží přímo v rovině HB, EFBF CG 0 cm EF BF CG. tránka 998
77 6..5 Odchylka dvou přímek 1. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně a = 10cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AH a BG b) EA a DC c) BG a BC d) DF a DB e) HB a HG f) BG a AB a) AH a BG AH BG b) EA a DC bodem A vedeme rovnoběžku s DC = AB c) BG a BC EA AB EA DC BG je úhlopříčka na čtverci BCGF odchylka je 45 tránka 999
78 d) DF a DB 10 1 tg e) HG a HB 10 1 cotg f) BG a AB BG AB tránka 1000
79 . Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, kde AB = 8 cm, v = 1cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AV a VC c) AV a BC b) DB a VD d) AB a DV a) AV a VC 4 tg 1 514' 508' b) DB a VD 1 tg ' tránka 1001
80 c) AV a BC Bodem A vedeme rovnoběžku s BC: AV cos 77' 4 11 d) AB a DV Bodem D vedeme rovnoběžku s AB: AV cos 77' Je dán kvádr ABCDEFGH s rozměry AB = 6 cm, BC = 10 cm, AE = 15 cm. Vypočtěte odchylku přímek: a) AD a AF d) BG a ED b) HB a CG e) AF a HC c) DC a AF tránka 100
81 a) AD a AF 90 b) HB a CG Bodem B vedeme rovnoběžku s CG: HF HF 4 4 tg ' tránka 100
82 c) DC a AF 15 tg 6 681' d) BG a ED Bodem C vedeme rovnoběžku s DE: 5 tg 7,5 67' tránka 1004
83 e) AF a HC tg 7,5 46' tránka 1005
84 6..6 Odchylka přímky od roviny 1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. AB = 6 cm, v = 10 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky VB od roviny ABC b) přímky V od roviny BCV c) přímky AB od roviny ADV a) VB od ABC 10 tg 67 b) V od BCV tg ' tránka 1006
85 c) AB od ADV tg '. Je dán kvádr ABCDEFGH, který má hrany AB = 5 cm, BC = 8 cm, AE = 10 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky DF od roviny ABC b) přímky DF od roviny BCG c) přímky ED od roviny DCG d) přímky HB od roviny ABF a) DF od ABC DB tg ' tránka 1007
86 b) DF od BCG CF tg ' c) ED od DCG 5 tg 10 64' tránka 1008
87 d) HB od ABF EB tg '. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně 5 cm. Vypočtěte odchylku: a) přímky EG od roviny DCG b) přímky HB od roviny BCG c) přímky DB od roviny ACE d) přímky EG od roviny AHF a) EG od DCG 45 tránka 1009
88 b) HB od BCG 5 tg 5 515' c) DB od ACE 90 d) EG od AHF 5 tg,5 5444' tránka 1010
89 6. Objemy a povrchy těles 6..1 Krychle 1. Vypočítejte délku hrany a objem krychle, je-li její povrch = 95,56 cm. 6a 6a 95,56 a 158, 76 a 1, 6 cm 95,56 cm V a V 1,6 000,8 cm Délka hrany krychle je 1,6 cm a objem 000,8 cm.. Objem krychle je cm. Vypočítejte její hranu a povrch krychle. V a a a cm V cm 6a cm Hrana krychle měří cm, její povrch je 904 cm.. Jsou dány dvě krychle, délky jejich hran jsou v poměru :. Povrch první krychle je o 10 cm menší než povrch druhé krychle. Jaká bude délka hrany třetí krychle, pokud víme, že součet objemů první a druhé krychle je roven objemu třetí krychle. V a 1 V1 x 8x V x 7x 1 6 x 4x 6x 54x 54x 4x 10 0x 10 x 110 a 4 cm; a 6 cm V cm a 80 6,54 cm Délka hrany třetí krychle je 6,54 cm. tránka 1011
90 4. Dvě nádoby tvaru krychle o hranách délky 0,6 m a 0,8 m nahraďte jedinou ve tvaru krychle tak, aby měla objem jako obě původní krychle dohromady. Jaký je její povrch? a 0,6 m V1 0,6 V1 a1 0,16 m a 0,8 m V 0,8 V a 0,55 m 1 Povrch nové krychle je 5 m. V V V 1 V 0, 16 0,55 0, 766 V a a V a 0,766 0,915 m 6a 60,91 5 m tránka 101
91 6.. Kvádr, hranol 1. Poměr délek hran kvádru je :5: 7, povrch kvádru je 1 06 cm. Vypočítejte objem kvádru. ab ac bc 106 cm ab ac bc 106 a : b : c : 5: 7 a x b 5x c 7x x 5x x 7x 5x 7x 106 Objem kvádru je cm. 10x 14x 5x x x 106 x x 9 a 6 cm b 5 15 cm c 7 1 cm V abc V cm. Objem kvádru je cm, poměr délek stran je : 4:5. Vypočítejte povrch kvádru. V abc V 7500 cm a : b : c : 4 : 5 a x b 4x c 5x Povrch kvádru je 50 cm. x 4x 5x x 7500 x x a 15 cm b 0 cm c 5 cm 15 5 ab ac bc cm tránka 101
92 . Bazénu tvaru kvádru pojme 940 hl vody. Hloubka vody,5 m. Určete rozměry dna, je-li jedna strana o 5 m kratší než druhá. a 84 a a a 5,5 / :,5 5a84 0 a D a1, a 1 cm a 7 nevyhovuje zadání b cm Rozměry dna jsou 1 m a 7 m. 4. Koryto z kamene tvaru kvádru o výšce 40 cm má rozměry a = 80 cm, b = 0 cm. Tloušťka stěny je 4 cm. Vypočítejte hmotnost koryta, jestliže hustota materiálu je 000 kg/m. V a bc V 940 hl l dm 94 m c,5 m ba5 V a bc m V 000 kg/m V V V a 80 cm 0,8 m a cm 0,7 m b 0 cm 0, m b 0 4 cm 0, m c 40 cm 0,4 m c cm 0,6 m V 0,8 0,0,4 0,096 m V 0,70,0,6 0,057 m V 0,096 0,057 0,09 m mv Hmotnost koryta je 78 kg. m 000 0, kg tránka 1014
93 5. Vypočtěte povrch kvádru, jehož objem je 67 cm a délky hran a = 8 cm a b = 6 cm. V 67 cm a 8 cm c c 14 cm b 6 cm 48 V abc ab bc ac cm Povrch kvádru je 488 cm. 6. Vypočtěte tloušťku plechu z mědi, má-li hmotnost 4,6 kg a rozměry 1,8 m a 90 cm. Hustota mědi je kg/m. m V a 1,8 m b 90 cm 0,9 m 8700 kg/m m 4,6 kg m V 4,6 V 4,89710 m 8700 V abc 0, ,8 0,9 c 4 0, c 0, 0000 m 0,0 mm 1,8 0,9 Plech má tloušťku 0,0 mm. 7. Podstava kolmého hranolu je obdélník, jehož dvě sousedící strany jsou v poměru 4:5. Tělesová úhlopříčka má od roviny podstavy odchylku 45. Výška je o cm větší než delší strana obdélníku. Určete velikosti hran hranolu. a: b 4 : 5 cb 45 a 4x b 5x c5x s s s u a b u 4x 5x 16x 5x 41x u x 41 c 5x tg tg45 u x 41 s tránka 1015
94 x x x 41 5x 41 5x 41 5 x,9 1, 4 a 4,9 91,6 cm b 114,5 cm c 146,5 cm Délky stran jsou a 91,6 cm, b 114,5 cm, c 146,5 cm. 8. Vypočtěte povrch kvádru, je-li objem V = 540,8 cm. trana a = 1,6 cm, b = 7,4 cm. V 540,8 cm a 1, 6 cm 540,8 540,8 1, 6 7, 4 c c 5,8 cm b 7,4 cm 1,6 7,4 V abc ab ac bc Povrch kvádru je 418,48 cm. 1,6 7,4 1,6 5,8 7,45,8 418,48 cm 9. Výška pravidelného čtyřbokého hranolu je 0 cm, odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 60. Vypočtěte objem hranolu. 0 0 tg 60 us 11,55 cm u tg 60 s 11,55 us a 11,55 a a 8,16 cm V abc V 8, , 7 cm Objem hranolu je 11,7 cm. tránka 1016
95 10. Jaká je hmotnost železné tyče o délce m, je-li jejím průřezem obdélník o rozměrech mm a 16 mm? Hustota železa je kg/m. a m b mm 0,0 m c 16 mm 0,016 m 7800 kg/m m V V abc V 0,00,016 0,74 m m 78000, 75 5,9 kg Hmotnost tyče je 5,9 kg. 11. Závaží ve tvaru kvádru má rozměry 50 cm, 15 dm a 650 mm. Vypočítejte, kolik plechovek barvy spotřebujete k nátěru, je-li na m potřeba 1 plechovka. a 50 cm,5 m b 15 dm 1,5 m c 650 mm 0,65 m ab ac bc (,5 1,5,5 0,65 1,5 0,65) 17 m m...1 plechovka 171 x 5,67 6 plechovek 17 m... x plechovek Na nátěr musíme koupit 6 plechovek barvy. 1. Délky hran kvádru jsou v poměru : : 5, tělesová úhlopříčka má délku ut 608. Vypočtěte objem kvádru v cm. a : b : c : : 5 a x b x c 5x ut x x 5x ut a b c x 9x 5x x x x 16 x 4... nevyhovuje tránka 1017
96 a 8 cm b 1 cm c 0 cm V abc V cm Objem kvádru je 1 90 cm. 1. Kvádr má objem 64 cm. Jeho plášť má dvojnásobný povrch než jedna ze čtvercových podstav. Jakou délku má tělesová úhlopříčka? V 500 cm 4a v pl a pl V a v a 4 a v a v v v 500 4v v 15 4 v 5 cm a 10 cm Tělesová úhlopříčka měří 15 cm. u u s s a 10 14,14 cm u u v u t s 14,14 5 4,94 t u 15 cm t 14. Pravidelný šestiboký hranol je vysoký cm. Poloměr kružnice opsané podstavě je 1 cm. Vypočtěte jeho objem. V v p v cm r 1 cm v v rv r r r r v r r 10,9 cm 110,9 6,4 cm 6 p p 66,4 74,04 cm V v p V 74, 04 11,1 cm Objem hranolu je 11,1 cm. tránka 1018
97 15. Vypočítejte objem pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 8 cm, jehož tělesová úhlopříčka svírá s rovinou podstavy úhel o velikosti 48. V a v u u s s a v tg48 u 8 11,1 cm s v 11,1tg 48 1,56 cm V 8 1,56 80,84 cm Objem hranolu je 80,84 cm. 16. Krabice tvaru kvádru s rozměry 47 9 dm je naplněná keramickou hlínou. Pokud krabici postavíme na dno s kratšími rozměry, bude hlína sahat do výšky 45 cm. Do jaké výšky bude sahat hlína, pokud postavíme krabici na dno cm? V abc V cm V v 5 cm ac 4090 Hlína sahá do výšky 5 cm. 17. Do modelu čtyřhranné nádrže se vejde 75 l, plocha podstavy tohoto modelu je 0 dm. kutečná nádrž má mít podstavu o rozloze 0,00198 km. Jaký objem má skutečná nádrž? 0,00198 km 1980 m 0 dm, m k 1980 :, 900 k 0 75: 0 1,5 dm 0,15 m 0,150, 75 m V, m Objem nádrže ve skutečné velikosti je 7 45 m. tránka 1019
98 18. Těleso tvaru šestibokého hranolu má výšku,4 m a délku podstavné hrany 90 cm. a) Vypočtěte nejdelší možnou vzdálenost dvou vrcholů hranolu. Údaj uveďte v decimetrech. b) Kolik metrů čtverečních budeme potřebovat na potažení pláště tohoto hranolu? a) b) v a x 4 9 x x 900 x x 0 dm Nejdelší možná vzdálenost dvou vrcholů hranolu je 0 decimetrů. 6av pl pl 60,9,4 1,96 m Na potažení pláště budeme potřebovat 1,96 m. 19. Venkovní květináč tvaru pravidelného šestibokého hranolu má podstavu s obsahem 10 cm. Určete výšku květináče, pokud víte, že se do něho přesně vejde obsah třiceti čtyřdecových nádob. 10 cm 1, dm dcl 1 l 1 1, v v 10 dm Výška květináče je 10 dm, tj. 1 m. 0. Určete objem kvádru, pokud víte, že jeho délky stran jsou v poměru :5: 7 a jehož povrch je 568 dm. ab ac bc x 5x x 7x 5x 7x 71x 14x 568 x a 4 1 dm b dm c 74 8 dm V abc V dm Objem kvádru je 670 dm. tránka 100
99 1. Zahradní jezírko má tvar pravidelného šestibokého hranolu o výšce 60 cm, je-li zcela zaplněno, vejde se do něho 60 hektolitrů vody. Určete délku jeho podstavné hrany. V v 60 hl 6000 l p p p p V v dm 6 ava 6 ava a a va va a p a a a a a , 61 dm Délka podstavné hrany je přibližně 19,61 dm.. oučet obsahů tří stěn kvádru, které mají společný vrchol je 1175 cm. Rozměry kvádru jsou v poměru 5: 4:. Vypočtěte délku hran kvádru. ab ac bc 5x 4x 5x x 4x x 0x 15x 1x 47x x x 5 5 cm a5x5 cm b4x0 cm cx15 cm Rozměry kvádru jsou 5 cm, 0 cm a15 cm.. Petra chce zabalit tři dárky, našla si krabice tvaru kvádru, jedna krabice má rozměry dm, 8 cm a 7 dm a zbylé dvě krabice jsou stejné s rozměry 15 cm, 5 cm a 4 dm. Kolik rolí balicího papíru musí koupit a kolik za ně zaplatí, jestliže jedna role balicího papíru vystačí na 1,5 m a stojí 0 Kč? ab ac bc cm cm x cm 1, 77 m Petra potřebuje koupit role balicího papíru, za který zaplatí 40 korun. tránka 101
100 4. Bazén tvaru kvádru má rozměry dna 70 dm a 50 dm. Jaká je výška bazénu, víme-li, že pokud je bazén naplněn 4 cm pod okraj vejde se do něho 80 m vody? V abc V c ab 80 c 1,6 m 75 v 1, 6 0,4 1,94 m 194 cm Výška bazénu je 194 cm. 5. Kolik bude stát barva, která je potřeba na vymalování pokoje i se stropem. Pokoj je dlouhý,8 m, široký je, m a vysoký 55 cm. Barva se prodává po 10 kg, jedno balení stojí 45 Kč a vystačí na 5 m. Pokoj se musí vymalovat dvakrát a dveře s oknem v tomto pokoji zabírají plochu,95 m. p ab ac bc,8,,8,55,,55 47,86 m pl x 47,86,95 44, ,9 m y 88,9:5,54 desetikilová balení z Kč Barva potřebná na vymalování pokoje bude stát 105 Kč. 6. Vypočítejte povrch a objem tělesa na obrázku. Těleso je složené z krychle a kvádru tak, že krychle má stejnou šířku jako kvádr. ab bc ac a b b 5b cm V abc b V cm Povrch tělesa je 1454 cm a objem tělesa je 070 cm. tránka 10
101 7. 6 truhlíků je potřeba osadit muškáty. Truhlík má tvar kvádru, délka je 50 cm, šířka 15 cm a výška 11 cm. Kolik bude stát hlína do truhlíků, pokud 8,5 litrů hlíny stojí 7 Kč? V abc V 5 1,5 1,1 8,5 dm 8,5 l 68,5 49,5 dm 49,5 l 49,5: 8,5 5,8 6 sáčků 67 Kč Hlína do truhlíků bude stát Kč. 8. Posypová sůl je uskladněná v nádobě tvaru kvádru s rozměry dna 1,9 m a 10 cm. Vypočítejte vrstvu soli, pokud víte, že dovezení soli stálo 5 Kč a 1 dm soli stojí 0,55 Kč. Celková částka za sůl a dovezení soli byla 1 01 Kč Kč 1066 : 0,55 198,18 dm V abc V c ab 198,18 c 8,5 dm 191 Vrstva soli je 85 cm. 9. Na stavbu zahradního domečku je potřeba dopravit prken ze smrkového dřeva. Rozměry jednoho prkna jsou 80 cm a,5 dm, tloušťka prkna je 5 mm. Nákladní auto uveze náklad o hmotnosti,4 tuny. Hustota vysušeného dřeva je 440 kg/m. Kolikrát bude muset auto jet, aby požadovaný počet prken převezlo? V abc V,8 0,50,05 0,075 m m V m V m 4400, , 45 kg , kg 47, 05 t 47,05:,4 19,59 0 aut Na převezení prken je potřeba, aby auto jelo 0 krát. tránka 10
102 0. Nádrž tvaru kvádru bez horní podstavy s rozměry dna 56 cm a,8 dm je naplněná vodou 0,15 m pod okraj, výška vody v nádrži je 4 cm. Vypočtěte objem tělesa, které se do vody potopilo, jestliže voda stoupla o 0,4 dm. Vnitřní část nádrže se musí natřít, vypočtěte, kolik decilitrů barvy bude potřeba, pokud 1 l barvy vystačí na, m. Nátěry se musí provést dva. V abc V cm Objem tělesa je 8 51 cm. v cm ab ac bc cm cm,5688 m,5688:, 1,1676 l 11,676 dcl Na dva nátěry potřebujeme 11,676 dcl barvy. 1. Trám z borového dřeva má na průřezu tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami o délce 4 cm a cm, ramena mají délku 17 cm. Délka trámu je,9 m. Vypočítejte hmotnost trámu, je-li hustota borového dřeva po vysušení 510 kg/m. Kolik litrů mořidla bude potřeba na natření trámu, 1 litr mořidla vystačí na 1, m. x 4 : x 5 cm v b x v a a , 48 cm a c va p 4 16, 48 p 601,178 cm V v p h V 601, , 4 cm 0, m m V m 5100, ,574 kg Hmotnost trámu je přibližně 10 kg. tránka 104
103 p 601,178 cm p pl av cv bv pl h h h 601, ,56 cm 4,56 m 4,56 :1,,4 l Na namoření trámu bude potřeba, l mořidla.. Koupelna tvaru kvádru má délku m, šířku,5 m a výšku 46 cm. Celá podlaha a stěny do dvou třetin výšky budou obložené kachličkami. Koupelna je bez oken a rozměry dveří, které vedou do koupelny, jsou 90 cm a 190 cm. Majitel má na nákup kachliček k dispozici Kč. Může si koupit kachličky za cenu 88 Kč na 1m? ab,5 7,5 m p p cm 1,64,51,64 0,9 1,9 18,04 1,71 16, m pl 7,5 16,,8 m x, , 04 Kč Při ceně 88 za 1m dojde k překročení plánovaného rozpočtu o 86 korun.. Pravidelný trojboký hranol má všechny hrany shodné. Obsah pláště hranolu je 108 dm. Určete jeho povrch. a pl pl 108 a 6 dm ava pl ava pl v a a 6 10,9 dm 610, ,58 dm Povrch hranolu je 170,6 dm. 4. Učebna má 7 m, šířku 5,5 m a výšku,8 m. Kolik studentů by mohlo být do učebny umístěno, mají-li podle předpisů připadnout na 1 studenta aspoň m vzduchu. V abc V 75,5,8 146, m 146,: 48, studentů Do učebny může být umístěno 48 studentů. tránka 105
104 5. Délky hran kvádru jsou v poměru 5: 7 : 4 a jeho objem je 780 cm. Určete povrch kvádru. V abc 780 5x 7x 4x 140x 780 x 140 a 5 15 cm b 7 1 cm c 4 1 cm ab ac bc cm Povrch kvádru je cm. 6. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu vysokého,5 m. loup má průřez tvaru pravidelného šestiúhelníku s hranou délky 18 dm. Na 1 m betonu je třeba,5 kg cementu, jeden pytel váží 5 kg. v a a ava a a p 6 ava a 18 p V v 841,77 dm V 841, ,95 dm 9, m 9, 46195,5 10,11685 kg p 10,11685: 5 4,146 5 pytlů cementu Na vybetonování sloupu je potřeba necelých 5 pytlů cementu. tránka 106
105 7. Kvádr má jednu podstavnou hranu o, dm delší než druhou. Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem 4,5 dm. Vypočítejte objem a povrch kvádru. ab, u 4,5 u 6,5 dm u a a, 6,5 a a 4, 6a 5, 9 a 4, 6a 6,96 0 a,a 18, 48 0 a, dm b,, 5,5 dm c 6,5 dm V abc V, 5,5 6,5 117,975 dm cm ab ac bc, 5,5, 6,5 5,5 6,5 150,7 dm cm Objem kvádru je cm, povrch je cm. 8. Kolik dm betonu je potřeba na výrobu podstavce tvaru hranolu. Příčný řez hranolem má tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami délek 15 cm a 80 mm, rameno má délku 90 mm. Délka podstavce je 17 dm. a 1,5 dm; c 0,8 dm; r 0,9 dm; v 17 dm V v v a r a a c v a v 1,5 0,8 a c 0,9 0,89 dm 1,5 0,9 0,89 V 17 16,9116 dm Na výrobu podstavce je potřeba 16,9116 dm betonu. tránka 107
106 9. Dřevěný trám má objem 1,59 m. Vypočítejte délku trámu, víme-li, že příčný řez trámu má tvar složený z pravoúhlého lichoběžníku a obdélníku. Obdélník má rozměry 5 cm a 4,5 dm. Lichoběžník má základny,5 dm a 0 cm, výšku 150 mm. a 0,5 m, b 0,45 m; c 0, m; v 0,15 m V v p V v p a c va p ab 0,5 0, 0,15 p 0,5 0,45 0,19875 m 1,59 v 8 m 0,19875 Dřevěný trám má délku 8 m. a 40. Rovnoramenný trojúhelník s délkou základny 1 dm a úhlem proti základně 99 0 je podstavou kolmého hranolu. Obsah pláště tohoto hranolu je roven součtu obsahů jeho podstav. Vypočítejte objem tohoto hranolu. pl zvz zv av zvz vz tg 0,5z v 0,5z tg 0,51 tg400 0,4 dm = 4, cm z vz sin a vz 0,4 a 0,649 dm sin sin 400 1v 0,649v10,4,98v 0,4 v 0,18 dm zv V z p v 10,4 0,18 0,08 dm 8, cm V Objem hranolu je 8, cm. tránka 108
107 41. Určete kolik obkladaček je potřeba na obložení bazénu tvaru čtyřbokého hranolu o délce 5 m, šířce 7 m a hloubce 1,65 m, rozměry obkladačky jsou 15 x 0 cm. Na odpad se musí počítat s 9 %. Výsledek zaokrouhli na desítky. p Pl ab a b v o 0,150, 0,0 m , 65 80,6 m : 80,6 : 0, 0 95, 954 obkladaček o 9 % z , Na obložení bazénu potřebujeme asi dlaždic. 4. Dárková krabička tvaru pravidelného šestibokého hranolu je vysoká 65 mm a víko má strany dlouhé 0 cm. Kolik dm plechu je třeba na její zhotovení, jestliže musíme přidat na záložky 8 % materiálu? v v v a a a p p a B a B , cm ava 6 ava 017, 108 cm o v 6av pl pl 606,5 780 cm cm 8,56 cm 8,56 1, 08 0,8448 cm p p pl Na zhotovení dárkové krabičky je potřeba 0,8448 dm plechu tránka 109
108 4. Kolik litrů vody se vejde do nádoby tvaru čtyřbokého hranolu, jestliže podstava má tvar rovnoramenného lichoběžníku. Rovnoběžné strany lichoběžníku mají délku 9 cm a 150 mm a ramena mají délku 0,9 dm. Výška nádoby je 18 cm. x 15 9 : x cm a a v b x v 9 8, 49 cm a c va p 9 158, 49 p 101,86 cm V v p V h 101, ,84 cm 1,8 Do nádoby se vejde 1,8 l vody. l tránka 100
109 6.. Válec 1. Kolika sudů tvaru válce o průměru 60 cm a výšce 1, m je zapotřebí k vyprázdnění cisterny tvaru válce o průměru 1,4 m a délce 4, m? V r v d ,6 cm 0,6 m r 0, m v 1, m V 1,4 m 1 0, 1, V 0,4 m d r 0,7 m V V 0, 7 4, 6,6 m V : V 6,6 : 0,4 178, K vyprázdnění cisterny bude zapotřebí 179 sudů.. Vypočtěte hmotnost zlaté medaile, má-li průměr 6 cm a tloušťku mm. Hustota zlata je kg/m. m V V r v 1990 kg/m d 6 cm 0,06 m r 0,0 m v mm 0,00 m V 0,0 0,00 V 8,5 10 m 6 m ,5 10 0,16 kg tránka 101
110 . Malý motocykl má vrtání válce 8 mm, zdvih pístu 44 mm. Vypočtěte objem válce v cm. Vrtání válce znamená průměr, zdvih pístu výšku válce. V r v d 8 mm,8 cm V 1,9 4,4 49,5 cm r 1,9 v 44 mm 4,4 cm Objem válce je 49,5 cm. 4. Na zemi leží dvě polena tvaru válce. Délka prvního polena je dvakrát větší než druhého, ale průměr je jen poloviční. Které z nich má větší hmotnost? (Předpokládáme, že obě mají stejnou hustotu.) m V r v V. Hustota je stejná, proto stačí porovnat objem polen V r v d r v1 v d1 r1 r r r v 1 1 V v v V V 4 Větší hmotnost má kratší poleno. 5. Vypočtěte rozměry válcové nádoby o objemu 5 l, je-li její výška rovna dvojnásobku průměru podstavy. V 5 l = 5 dm V r v 5 r 4r 4 r 5 r v d v 4r r 0,74 dm v 40,74,96 dm 5 4 Válcová nádoba má poloměr 0,74 dm a výšku,96 dm. tránka 10
111 6. Obvod podstavy rotačního válce je stejně velký jako jeho výška. Vypočítej povrch válce, je-li jeho objem 480 cm. V r v 480 o r v r o v v,9 18, cm r r v,9,9 18, 84,8 cm Povrch válce je 84,8 cm. 480 r r 480 r r,9 cm 7. Část kmene je tvaru rotačního válce. Kmen je šikmo seříznutý a má obvod 94, cm. Výška kmene na kratší straně je 105 cm a na delší straně 1,5 dm. Vypočítejte objem seříznutého kmene. v 15 cm; v cm 1 o r o 94, r 15 cm r v v1 v V r v1 r 15 0 V ,5 cm 81, 475 dm Objem kmene je 81,5 dm. 8. Potrubí kruhového průřezu má průměr 160 mm. Potrubím teče voda rychlostí,5 m/s. Jaké množství vody proteče tímto potrubím za dvě hodiny. r 0, 08 m; v18000 m V r v h 60 min 600 s 700 s v, m V 0, , 78 m 6178 dm 6178 l = 617, 8 hl Potrubím za dvě hodiny proteče 617,8 hl vody. tránka 10
112 9. Nádoba tvaru válce má obsah podstavy a obsah pláště v poměru :5. Osový řez válce je obdélník s úhlopříčkou délky 90 mm. Kolik litrů vody se vejde do této nádoby? p r 6v p : pl r : rv r : v : 5 r 5 pl rv u 9 dm r v u 1v v v 5v v 805 v 5 v 15 cm 1,5 dm 6v 615 r 18 cm 1,8 dm 5 5 V r v V Objem nádoby je 15,6 l. 1,8 1,5 15,6 dm 15,6 l 10. Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 56 cm. Vypočtěte objem válce. 56 cm a 56 a 16 cm a r 8 cm v 16 cm V r v V ,99 cm Objem válce je 16,99 cm. 11. Kolik hektolitrů vody proteče za hodinu gumovou hadicí o průměru 6 cm, teče-li voda rychlostí, m/s. Výška válce h se rovná dráze. 1 h 600 s, r cm 0,0 m h v t h, m V r h V 0, 0 880, 4 m 400 dm 400 l 4 hl tránka 104
113 1. O kolik centimetrů se zvedne hladina při dešti v kádi tvaru válce s průměrem 10 cm a v hranaté nádrži tvaru krychle s hranou délky 10 dm, pokud víme, že spadne 0,5 hl na 1 m. 0,5 hl 50 l V abc V 50 1 c 0,5 dm 5 cm ab 100 V obou případech spadne 5 cm vody. 1. Nádoba tvaru válce má výšku 5 cm a průměr podstavy 15 cm. Nádoba je částečně naplněna vodou, voda sahá do výšky 160 mm. Určete, zda voda přeteče, ponoříme-li do ní železnou kuličku o průměru 10 mm. V K p 4 4 r,14 6,5 1149,76 cm r,14 7,5 176, 65 cm v 1149, 76 :176, 65 6,5 cm 16 6,5,5 cm 5 cm Voda z nádoby nepřeteče, stoupne přibližně o 6,5 cm a bude,5 cm pod okraj nádoby. 14. Je dán válec s obsahem podstavy 56 cm, poloměr podstavy má stejnou velikost jako výška válce. Určete povrch válce. r p r v 56 r rv r r 4 r cm p pl p Povrch válce je čtyřnásobek obsahu podstavy, tj. 4 cm. 15. Železná tyč je dlouhá 475 cm a má průměr 19,4 mm. Vypočítejte její hmotnost. (hustota železa je 7,87 g/cm³). Výsledek zaokrouhlete na setiny. 19,4 mm 1,94 cm V r v,14 0, ,55 cm m 140,55: 7,87 178,1669 g 178, g Hmotnost tyče je 178, gramů. tránka 105
114 16. Zařízení zpracovávající granulát má válcovitý zásobník s průměrem 60 cm a výškou 16 dm. Kolikrát se musí celé zařízení za osmihodinovou pracovní dobu naplnit, jestliže spotřebuje, kg za minutu a 1 kg granulátu má objem 1 dm? 60 cm 6 dm V r v, ,16 dm 45,16 kg, kg...1min x 45,16 :, 05,57 min 8 hod 480min 480 : 05,57,5 Celé zařízení se za směnu naplní krát. 17. Truhlář opracovává dřevěnou tyč tvaru válce. Původní rozměry tyče - poloměr 8 cm, délka tyče je 4 m. Opracováním vytvořil tyč s průměrem o 1 milimetrů menším, než byla původní tyč. Délka zůstala zachovaná. Určete, o kolik procent se zmenšil povrch tyče bez bočních stěn. rv 1 pl pl pl1, cm r 8 1, : 7,4 cm,14 7, ,8 cm 0096 cm % 18588,8 cm... x % x : ,5 % Povrch tyče bez bočních stěn se zmenšil o 7,5 %. 18. ilničáři pokládají asfalt na silnici v délce 10 m, válec, který používají, se na této dráze otočí přibližně dvacetkrát. Jaký je průměr válce a plocha, která válcuje povrch, pokud je šířka válce m? 10 : 0 6,5 m o d d 6,5:,14,07 m rv,14 1,05 19,4994 m Průměr válce je,07 m a plocha, která válcuje je 19,4994 m. tránka 106
115 19. Nádoba tvaru válce je naplněná vodou do výšky 5 dm, průměr nádoby je 16 dm. Pokud ponoříme do válce krychli, stoupne hladina vody o 5 dm. Určete, kolik centimetrů měří ponořené hrana krychle. Rozměr zaokrouhlete na celek. V r v, ,8 dm a 1004,8 10,0159 dm 100,159 cm 100 cm Hrana krychle měří přibližně 100 cm. 0. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Jakou část objemu neopracovaného kmene tvoří výsledný útvar? V r v V V V 1 V K r v VV 1 v 1 VK r r v 6 r v 1 r v 1 r v 4 V1 r v 1 r v V 6 Výsledný útvar tvoří dvě třetiny objemu neopracovaného kmene. 1. Kmen stromu zbavený kůry tvaru rotačního válce se má opracovat tak, že polovina válce bude mít tvar rotačního kužele a druhá část zůstane bez opracování. Obvod kmene je 16 dm a výška opracované části je 18 dm. Jaký je povrch opracované části tvaru rotačního kužele? o r o r 16 r,54 dm rs pl s v r s s 18,54 0, 4516 s 18,178 dm pl,5418, ,980 dm Povrch opracované části je 144,98 dm. tránka 107
116 . Rotační válec s poloměrem 90 mm byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla 75 % původní hmotnosti. Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce. V r 1 V 9 54,4 cm 1 0, 554,4 6,585 cm r V 6,585 r1 4,5 cm 45 mm r r r mm Tloušťka stěny je 45 mm.. Rotační válec byl provrtán podél osy tak, že jeho hmotnost byla 75 % původní hmotnosti. Určete tloušťku stěny takto vzniklého dutého válce. V r 1 1 0,5V 0,5 r r r 0,5V 0,5 r 0,5r tránka 108
117 6..4 Kužel 1. Objem nálevky tvaru kužele o poloměru 8 cm je 680 cm. Jaká je její výška? rv V, V v v 10,15 cm 64 r 8 cm Výška nálevky je 10,15 cm.. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm, 7, cm je třeba vyrobit co největší rotační kužel. a) vypočítejte jeho objem b) vypočítejte odpad a) V rv Ze tří možných kuželů musíme vybrat ten, který má největší poloměr. d 4,8 cm b) r,4 cm v 7, cm V V abc,4 7, V 5,6 4,87, 4,4 cm V 19,54 cm odpad = V hranolu V kužele 19,54 4, 4 150,11 Objem kužele je 4,4 cm, odpad činí 150,11 cm.. třecha věže má tvar kužele o průměru podstavy 6 m. Velikost odchylky od roviny podstavuje 75. Vypočtěte spotřebu barvy na její natření, spotřebuje-li se 1 kg barvy na 8 m. třecha se bude natírat dvakrát. pl r cm cos 75 s 11,59 cm s cos75 11,59 109, cm pl rs tránka 109
118 potřeba: 1 kg...8 m 109, 1,65 x x kg...109, m 8 Budeme natírat dvakrát: 1,65 7, Na nátěr potřebujeme 7, kg barvy. tereometrie 4. Hromada písku má tvar rotačního kužele, výška hromady je 1,9 m a obvod hromady na zemi je 10,6 m. Kolik m písku je na hromadě? v1,9 m; o10,6 m 1 V o r r v o 10,6 r 1,649 m 1 V 1,649 1,9 5,41 m Na hromadě je 5,41 m písku. 5. Povrch kužele je 9,1 cm. Osovým řezem je rovnostranný trojúhelník. Vypočítejte objem kužele. s 0 cm v s r v , cm rv V V Objem kužele je 1 81,75 cm , 5441,4 181,75 cm tránka 1040
119 6. Plášť rotačního kužele je 879 cm, obsah podstavy je 45 cm. Určete odchylku strany od roviny podstavy cm pl p r r pl rs p r 879 rs 879 1s 879 s, cm 1 r cos s 1 cos 59, Odchylka strany od rovin podstavy je Lampa tvaru kužele má být potažena látkou. Obvod podstavy je 150 cm a výška je 0,4 m. Kolik metrů látky se spotřebuje, jestliže na záhyby je potřeba 10 % navíc? o r r r,88 cm s pl 40,88 170,544 46,58 cm rs,14,88 46,58 49, 71 cm 1,10 1,10 49, ,981 cm pl Na výrobu lampy je přibližně potřeba 84 cm látky. 8. Zjistěte, jaký je povrch těžítka tvaru rotačního kužele, víte-li, že poměr velikosti obsahu pláště daného kužele a obsahu jeho podstavy je 1:1. Tělesová výška kužele je 5 cm. pl rs rs 1 s 1 1 rs : r 1:1 s r r 1 r 1 1 p r 1 r 1 r r 144 r 5 5r 1445 r r s cm, 1 cm rs r cm Povrch těžítka je 94 cm. pl p tránka 1041
120 9. Osovým řezem rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník s obsahem 70 cm, úhel při hlavním vrcholu má velikost 50. Vypočítejte objem a povrch kužele. ava t a a tg a va v tg tg a a a tg a t a 4tg 4tg a 4 tg 5 70,44 cm v a,44 4,077 cm 0, a V r v va 4 1,44 4,077 17,49 cm V 4 t s a va s 11, 4, 077 6,56 cm aa r( r s) s 11, 44 (11, 44 6,56) 165,16 cm Objem kužele je 17,49 cm a povrch je 165,16 cm. 10. to padesát dopravních kuželů má být natřeno bílou a oranžovou barvou v poměru 1:1. Obvod podstavy kužele je 98,5 cm a výška je 0,45 m. Kolik jaké barvy se spotřebuje, jestliže 1 kg barvy vystačí na 7,5 m plochy? Podstava kužele se nenatírá. o r o r 98,5 r 15,684 cm s v r pl pl s rs 0, 45 0,157 0, , 4766 m 47, 66 cm 0,156840, , 4714 m x150 : 7,5 1500,4714 : 7,5 4,694 kg pl Na natření 150 kuželů potřebujeme,47 kg bílé a,47 kg oranžové barvy. tránka 104
121 6..5 Komolý kužel 1. Jako ozdoba zábradlí budou použity dřeva tvaru komolého kužele. Obvod větší podstavy je 8 cm a menší podstavy 4 cm, výška ozdoby je 6 cm. Těchto ozdob bude potřeba 65 na každou stranu zábradlí. Kolik barvy se spotřebuje na natření všech ozdob, pokud 1 kg barvy natřeme m? o r o r r o 8 o r 6,05 cm,8 cm ( r r ) v ( r r ) pl pl 1 1 (6, 05, 8) 6 (6, 05,8) 198,78 cm x 65198, cm,5789 m y,5789 : 0,8596 kg Na natření ozdob je potřeba 0,8596 kg barvy.. Určete výšku rotačního komolého kužele, který má objem 41 dm, poloměr dolní podstavy má 81 cm a poloměr horní podstavy má 4 cm. v V r rr r V v r rr r v,759 dm 8,1 8,1,4,4 8,7894 Výška komolého kužele je,759 dm. tránka 104
122 . Kmen tvaru komolého rotačního kužele je m dlouhý, na tlustším konci má obvod 0,9 m, na tenčím konci 0,6 m. Z kmene se má vytesat trám čtvercového průřezu, který je shodný se čtvercem vepsaným do menší podstavy. Vypočtěte objem odpadu. v VK r r r r o r r 0,14 m 1 r 0,095 m V K 1 1 a a r 0,14 0,14 0,095 0,095 0,15 m a v a r 0,095 0,14 m V V Kv Kv 0,14 0, m 0,15 0, , 081 m 81 dm Odpad má objem 81 dm 4. tarý komín je potřeba odstranit a sutiny odvést na rekultivaci. Kolik nákladních aut, musíme použít na odvoz, pokud jedno auto odveze najednou 10 tun. Komín má tvar dutého rotačního komolého kužele - dolní podstavy s průměry, m a,0 m a horní podstavy s průměry 1,7 m a 1, m. Výška komínu je m. Hustota zdiva je kg/m -. r 1,6 m; r 0,85 m; 1600 kg/m ; v m 1 v V r1 r1 r r V1 1,6 1,6 0,85 0,85 155,49 m V 1 1 0,6 0,6 65,646 m V V V 155, 49 65, ,84 m 1 m 89, kg t 14, 744 :10 14, aut Na odvoz sutin bude potřeba 15 nákladních aut. tránka 1044
123 5. Kolik čtverečních metrů látky bude potřeba na výrobu lampy tvaru rotačního kužele s poloměry podstav 1,6 dm a 60 mm, výška stínítka je,4 dm. r 0,16 m; r 0,06 m; v 0,4 m 1 r r r r v r r ,16 0, 06 0,16 0, 06 0, 4 0,16 0, 06 0, 7196 m Na výrobu lampy bude potřeba 0,7196 m látky. tránka 1045
124 6..6 Jehlan, komolý jehlan 1. Je dán kolmý pravidelný čtyřboký jehlan, a = 7 cm, s = 10 cm. Vypočítejte objem. V s avt u vt u a u 7 9,89 cm u 4,95 v t V 10 4,95 8, 69 cm 7 8,69 141,94 cm Objem jehlanu je 141,94 cm.. Vypočtěte objem kolmého jehlanu, jehož boční hrana o délce 8 cm svírá se čtvercovou podstavou úhel o velikosti 7. avt V vt sin s vt sin 7 vt 8sin 7 7,6 cm 8 u cos u s s u scos u 8cos 7 4,94 cm u a u a 4,94 a,49 cm, 49 7, V 9,64 cm Objem jehlanu je 9,64 cm. tránka 1046
125 . Vypočítejte povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li výška 4 cm a boční hrana s = 8 cm. a 4 u 8 4 trojúhelníku u u 4 u a a a s v 868 u 47 u 58,9 cm 58,9 a vs s u 41,6 cm 8 0,8 1, 79 cm avs t 41,61,79 t 677,6 cm 41,6 4677,6 444, 46 cm Povrch jehlanu je 444,46 cm. 4. Podstavou kolmého jehlanu je kosočtverec s úhlopříčkami délky 10 mm a 0,7 dm. Délka boční hrany jehlanu je 0,16 m. Jaký je objem a povrch tohoto jehlanu? e 1 cm; f 7 cm; h 16 cm 1 1 V pv efv 6 e v h ,8 cm ,8 07,648 cm V 6 a e f e f a 6,5 6,946 cm tránka 1047
126 a va h 16, 47 16,7 cm ef ava ef p pl 4 ava 17 6,946 16,7 69,41 cm Objem jehlanu je 07,648 cm a povrch jehlanu je 69,448 cm. 5. Čtyřboký jehlan obdélníkové podstavy, kde a = 16 cm, b = 0 cm má boční hranu c = 6 cm. Vypočtete povrch jehlanu. p p P cm v v pl a b 16v 1 s1 s1 1 s pl 6 8 4,74 164, ,9 cm 0vs v s pl cm cm 197, ,84 cm 0 875, ,84 cm Povrch jehlanu je 1195,84 cm. 6. Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky 6 cm. Vypočítejte povrch pláště a objem čtyřbokého jehlanu ABCDE. pl pl a a a a ,9 cm av 6 6 V 7 cm Povrch pláště čtyřbokého jehlanu ABCDE je 86, 9 cm. Objem čtyřbokého jehlanu ABCDE je 7 cm. tránka 1048
127 7. Vypočítejte výšku pravidelného čtyřstěnu s hranou délky 6 dm. Výšku zaokrouhlete na dvě platné číslice. a a v a va a va a 4 a a v 1 v a a a v a 6 a 6 v 6 1, 8 dm 1 dm Výška pravidelného čtyřstěnu je přibližně 1 dm. 8. Vypočtěte objem pravidelného pětibokého jehlanu, jehož podstavě lze opsat kružnici s poloměrem 15,6 cm. Výška tělesa je,5 dm. v p V ava p 5 60 :10 6 a rsin 15, 60, ,4 cm v a rcos 15,6 0,81 1,6 cm 1 18,41, 6 V ,891 cm Objem jehlanu je 481,891 cm. tránka 1049
Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů
1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou
Více7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC
Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.
VíceSTEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*
STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou
VícePovrch a objem těles
Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová
VíceZadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.
STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M
VícePojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),
Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný
Více+ S pl. S = S p. 1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) 9. ročník Tělesa
1. Jehlan ( síť, objem, povrch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstavu tvaru n-úhelníku. Podle počtu vrcholů n-úhelníku má jehlan název. Stěny tvoří n rovnoramenných trojúhelníků se společným vrcholem
VíceStereometrie pro učební obory
Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových
VíceSTEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceStereometrie pro studijní obory
Variace 1 Stereometrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Vzájemné polohy prostorových
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 2SB
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 2SB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceSTEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...
STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...
VíceSTEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
VíceČtyřúhelníky. Příklad 1: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li dáno: Příklad 2: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li dáno:
Čtyřúhelníky Příklad 1: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li dáno: Příklad 2: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li dáno: Příklad 3: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li dáno: Příklad 4: Sestroj rovnoběžník ABCD, je-li
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třída 3ODK Učebnice určená k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo ledna až března. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn
VíceTělesa můžeme v rovině zobrazit pomocí volného rovnoběžného promítání.
9. Hranol 6. ročník 9. Hranol 9.1. Volné rovnoběžné promítání Tělesa můžeme v rovině zobrazit pomocí volného rovnoběžného promítání. Zásady : 1) Plochy, které jsou rovnoběžné s naší rýsovací plochou zobrazujeme
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceVypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm.
Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. 8 cm u s = 11,3137085 cm pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ABC u t = 13,85640646 cm opět pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ACA'
Více9.5. Kolmost přímek a rovin
9.5. Kolmost přímek a rovin Pro kolmost přímek a rovin platí následující věty, které budeme demonstrovat na krychli ABCDEFGH se středy podstav S, Q. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám této
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceSada 7 odchylky přímek a rovin I
Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána
VíceAutor: Jana Krchová Obor: Matematika. Hranoly
Převeď na jednotky v závorce: Hranoly a) 0,5 cm 2 (mm 2 ) = 8,4 dm 2 (cm 2 ) = b) 2,3 m 2 (dm 2 ) = 0,078 m 2 (cm 2 ) = c) 0,09 ha (a) = 0,006 km 2 (a) = d) 4 a (m 2 ) = 540 cm 2 (m 2 ) = e) 23 cm 3 (mm
VícePísemná práce. 1. Rozhodni zda trojúhelník s následujícími délkami je pravoúhlý: a) 8,5 m; 13m; 15,1 m. b) 9,5cm; 16,8cm; 19,3cm
Písemná práce Třída:. Jméno:.. Skupina : A Vyhodnocení: 1. Rozhodni zda trojúhelník s následujícími délkami je pravoúhlý: a) 8,5 m; 13m; 15,1 m b) 9,5cm; 16,8cm; 19,3cm čet bodů: 2. Je dán kvádr ABCDEFGH
Vícematematika 5 stavební fakulta ČVUT 1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je
1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného rotačního válce je a) 4:π, b) :π, c) :4π, d) :4π, e) π :,. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme o 0 %, zmenší
Víceje-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!
-----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4
VícePřípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro
Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.
VíceSTEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114
STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
VíceS = 2. π. r ( r + v )
horní podstava plášť výška válce průměr podstavy poloměr podstavy dolní podstava Válec se skládá ze dvou shodných podstav (horní a dolní) a pláště. Podstavou je kruh. Plášť má tvar obdélníka, který má
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
Více6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly
6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,
VíceSTEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117
STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této
VíceGeometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.
18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa
VíceC. METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU
36. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan V. Určete průsečíky přímky s hranicí jehlanu. Pro body, platí: = S, = S SV, bod S je střed podstavy.. TRIÉ VSTOSTI ÚTVRŮ V PROSTORU.1 Odchylky přímek a rovin V odchylka
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
Více10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )
Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina
VícePříklady pro 8. ročník
Příklady pro 8. ročník Procenta: 1.A Vyjádřete v procentech: a) desetina litru je % b) polovina žáků je % c) pětina výměry je % d) padesátina délky je % e) tři čtvrtiny objemu je % f) dvacetina tuny je
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceS T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A
S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,
VíceVzorové příklady k přijímacím zkouškám. 1) Doplňte číselné řady o další dvě čísla. a) 3, 6, 12, 24, 48, 96,... b) 875, 764, 653, 542, 431,...
Vzorové příklady k přijímacím zkouškám ) Doplňte číselné řady o další dvě čísla. a), 6,, 4, 48, 96,... b) 87, 764, 6, 4, 4,... c), 6, 8,,, 0, 6,... d),,, 7,,, 7, 9,,... e) ; ; ; ; ; 8 ) Doplňte číslo místo.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více1. Opakování učiva 6. ročníku
. Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla
VícePříklady na 13. týden
Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceM - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprava na 4. zápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceM - Řešení pravoúhlého trojúhelníka
M - Řešení pravoúhlého trojúhelníka Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument byl
VícePovrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3
y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceTest žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:
Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 15. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Přednáška trvala 80 minut a skončila
VíceTest žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:
Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou čtyři červené
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceUkázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů
Ukázky z pracovních listů z matematiky pro ZŠ a nižší třídy gymnázií A: Množiny bodů 1) Zapiš matematickými symboly: bod A leží na přímce p bod M leží v průsečíku přímek k, m 2) Je dána přímka p, bod K
VíceČtyřúhelníky. Autor: Jana Krchová Obor: Matematika. Vybarvi ( nebo vyšrafuj) čtyřúhelníky: Napiš názvy jednotlivých rovinných útvarů: 1) 2) 3) 4)
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vybarvi ( nebo vyšrafuj) čtyřúhelníky: Čtyřúhelníky 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Napiš názvy jednotlivých rovinných
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceStereometrie metrické vlastnosti 01
Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceMetodické pokyny k pracovnímu listu č Povrchy a objemy těles II
Název projektu: Spokojená škola Číslo projektu: OPVK.CZ.1.07/1.2.33/02.0039 Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 9.10 Povrchy a objemy těles II Pracovní list je zaměřen především na výpočty povrchů a
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceSlouží k procvičení aplikace vzorců pro povrch a objem těles ve slovních úlohách
Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Martina Smolinková Datum 11. 1. 2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika
VíceStereometrie metrické vlastnosti
Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek
VíceOtázky z kapitoly Stereometrie
Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14
VíceSbírka. úloh z matematiky. pro 3. ročník. tříletých učebních oborů
Sbírka úloh z matematiky pro 3. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: 1 Obsah Funkce 3 Lineární funkce 6 Kvadratické funkce 13 Nepřímá úměrnost 15 Rostoucí a klesající funkce 17 Orientovaný úhel
VíceMATEMATIKA 6. ročník II. pololetí
Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =
VíceOčekávaný výstup Žák zvládne náčrtek a rys jednoduchých hranolů, dosadí do vzorce, účelně použije kalkulátor Speciální vzdělávací žádné
Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/1.3763 utor Mgr. Martina Smolinková Datum 11. 1. 014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika
VíceÚlohy k procvičení kapitoly Obsahy rovinných obrazců
Úlohy k procvičení kapitoly Obsahy rovinných obrazců 1. Vypočtěte obvod a obsah obrazců nakreslených na obrázku 1. (Rozměry jsou udány v mm.) Obrázek 1 2. Na pokrytí 1 m 2 střechy se spotřebuje 26 ražených
VíceZobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VícePříklady k opakování učiva ZŠ
Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 3. čtvrtletku - třída 3ODK Učebnice je určena pro přípravu na 3. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceTělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na
Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany
Více8. Stereometrie 1 bod
8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme
Více6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)
6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,
VícePovrch a objem válce - slovní úlohy
Povrch a objem válce - slovní úlohy 1) Vodní nádrž má tvar válce s průměrem podstavy 4,2m a je hluboká 80 cm. Za jak dlouho se naplní 10 cm pod okraj přítokem, kterým přitéká 2 litry za sekundu? 2) Kolem
VíceZapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.
7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed
VíceCVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr
VíceMetrické vlastnosti v prostoru
Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii
VíceSBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n =
SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n = 017-1957 Mgr. Petr Říman Gymnázium Ostrava-Zábřeh, Volgogradská a červen 017 1. Vypočítejte: 1 0, 4 1 8 0,75. Vypočítejte:. Vypočítejte: ( 4 4) ( + ) ( i) [ + 4i]
VícePLANIMETRIE. 1) Vypočítejte velikost úhlu DAB v kosočtverci ABCD, jestliže ABD = [ ]
PLANIMETRIE 1) Vypočítejte velikost úhlu DAB v kosočtverci ABCD, jestliže ABD = 21 40 [136 40 ] 2) Vypočítejte velikost úhlu γ = ACB obecného trojúhelníku ABC, znáte-li velikost stran a = 8cm, b = 6 cm,
VíceDoučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy
Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceSMART Notebook verze Aug
SMART Notebook verze 10.6.219.2 Aug 5 2010 Pořadové číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.3007 Šablona č.: III/2 Datum vytvoření: 3.9.2012 Pro ročník: 6. až 9. Vzdělávací obor předmět: Matematika Klíčová slova:
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - Z.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: eometrie radovaný řetězec úloh Téma: Komolý jehlan utor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy: Komolý
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
Více