Průběh funkce I (monotónnost)

Transkript

1 0..0 Průěh funkce I (monotónnost) Předpoklad: 00, 009 Pedagogická poznámka: Tato hodina je značně osáhlá, tak je nutné uď přenechat poslední příklad na příští hodinu, neo se příliš nezdržovat úvodní částí. V této a několika následujících hodinách se udeme zaývat průěhem funkce a tím, co vše se o něm dá pomocí derivací zjistit. Na začátek se seznámíme se dvěma větami, jejichž důležitost poznáme pouze částečně. Rolleova věta: Mějme funkci f, která má tto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu a; ) v každém odě otevřeného intervalu ( a; ) má derivaci c ) f ( a) = f ( ) Potom eistuje v otevřeném intervalu ( a; ) aspoň jeden od c, pro který platí f ( c) 0 =. Př. : Nakresli orázek liovolné funkce, která splňuje předpoklad Rolleov vět. Do orázku vznač od c. f(a)=f() a c Funkce má mít v odě c nulovou derivaci tečna v tomto odě musí ýt rovnoěžná s osou, funkce nesmí v odě ani růst ani klesat Pedagogická poznámka: Můžete nechat student, a zkusili nakreslit funkci, která splňuje podmínk vět a nemá nikde nulovou derivaci. Př. : Ověř platnost Rolleov vět pro funkce: a) =, ; ) =, ; a) =, ; spojitost ano, jde o polnomickou funkci = eistuje pro každé ; eistence derivace: ( ) f ( ) = ( ) ( ) = f ( ) = = f ( a) = f ( ) předpoklad platí musí eistovat od s nulovou derivací:

2 = = 0 = c Jde o graf funkce ( ) ) =, ; = + = spojitost ano eistence derivace: funkce = má špičku pro = 0 derivace neeistuje f ( ) = = f ( ) = = f ( a) = f ( ) předpoklad neplatí nemusí eistovat od s nulovou derivací: z orázku je zřejmé, že neeistuje Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je dorým místem na zdůraznění toho, derivace neeistuje tam, kde má funkce ostré hran. Lagrangeova věta o střední hodnotě: Mějme funkci f, která má tto vlastnosti: a) je spojitá v uzavřeném intervalu a; ) v každém odě otevřeného intervalu ( a; ) má derivaci Potom eistuje v otevřeném intervalu ( a; ) aspoň jeden od c, pro který platí f ( ) f ( a) f ( c) =.. a

3 Př. : Jaký je vztah mezi Rolleovou a Lagrangeovou větou? Rolleova věta osahuje v předpokladech podmínku navíc. Pokud hodnot funkce v odech a, l stejné, platilo f ( ) f ( a) = 0 a pro hodnotu derivace chom dostali ( ) ( ) 0 f f a f ( c) = = = 0 pro f ( ) = f ( a) přechází Lagrangeova věta ve větu a a Rolleovu Rolleova věta je speciální případ vět Lagrangeov Př. : Nakresli orázek liovolné funkce, která splňuje předpoklad Rolleov vět. Do orázku vznač od c. f() f(a) a c Tečna grafu funkce má v odě c stejný směr jako přímka daná od a; f ( a) a ; f ( ). Kromě geometrické interpretace z předchozího příkladu můžeme Lagrangeovu větu interpretovat i fzikálně (na mnoha různých případech). Na příklad u pohu můžeme postupovat takto: = s( t) - závislost dráh na čase místo a, píšeme t, t, místo f ( ), f ( a ) píšeme ( ) ( ) ( ) ( ) f f a s t s t s s( t ), s( t ) = = = v = pomocí hodnot v krajních odech a t t t jsme určili průměrnou rchlost. ds s okamžitá rchlost: f ( c) = ( c) = = v dt t v některém z okamžiků se okamžitá rchlost rovná průměrné rchlosti. Ve skutečnosti je Lagrangeova věta užitečnější než se nám teď zdá. = pro Př. 5: (BONUS) Dokaž sporem pomocí Lagrangeov vět větu: Platí-li f ( ) 0 každé ( a; ), potom je f konstantní funkce. Předpokládáme, že platí f ( ) = 0 a zároveň funkce f ( ) není konstantní. Pokud funkce není konstantní musí v intervalu ( a; ) eistovat čísla, jejichž hodnot nejsou stejné f ( ) f ( ). Z těchto odů sestavíme kraje nového intervalu ;, ve kterém podle f ( ) f ( ) Lagrangeov vět eistuje od pro který platí f ( ) = 0 s předpokladem.. Což už je rozpor

4 Monotónnost funkce a derivace monotónnost = zda je funkce rostoucí neo klesající. Místo zadání: Urči, kd je funkce rostoucí neo klesající, udeme řešit příklad Urči monotónnost funkce. Př. 6: Zformuluj vztah mezi monotónností funkce v intervalu ( a; ) a hodnotami její derivace v tomto intervalu. Na grafech jsme si to již ukazovali mnohokrát: a; kladnou derivaci, je v tomto Má-li funkce f v každém odě intervalu ( ) intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém odě intervalu ( ; ) intervalu klesající. a zápornou derivaci, je v tomto Pedagogická poznámka: Část studentů si to určitě ude pamatovat, té druhé napíšu na tauli vztah pro derivaci funkce v odě a ukážeme si, jak musí funkce vpadat, a ze vztahu vpadlo kladné neo záporné číslo. Blíže v hodině00. Př. 7: Dokumentuj vztah mezi monotónností funkce a hodnotami její derivace na funkcích: a) = ) = c) = Pro každou funkci jsou v jednom orázku nakreslen dva graf: modře graf funkce červeně graf její derivace a) = Funkce = je rostoucí v intervalu 0; ) V intervalu 0; ) jsou hodnot derivace (funkce = ) kladné Funkce = je klesající v intervalu ( ;0 V intervalu ( ;0 jsou hodnot derivace (funkce = ) záporné ) =

5 Funkce = je rostoucí v R Hodnot derivace (funkce = ) jsou kladné c) = Funkce ( 0; ). = je klesající v intervalech ( ;0) a Hodnot derivace (funkce = ) jsou v oou těchto intervalech záporné. Př. 8: Urči interval monotónnosti funkcí: a) = + ) = a) = + = +, řešíme nerovnici + > 0 > pro ( ; ) derivace funkce = + je kladná a funkce rostoucí, kontrolou je třea graf = + je 5

6 ) = =, řešíme nerovnici nulové od: ( )( ) > 0 / : > = + = 0 =, =, před 0 je + grafem je ďolík - ( ; ) ( ; ) ( ;) 0 = > funkce 0 = < funkce Opět můžeme výsledek zkonrolovat pomocí grafu = je rostoucí = je klesající 6

7 Př. 9: Petáková: strana 57/cvičení 8 f, f 5 strana 58/cvičení 9 g, g, g 5, g 0 Shrnutí: Podle znaménka derivace poznáme, zda je funkce rostoucí neo klesající. 7