Popis jednotlivých kvadrik

Transkript

1 Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik. Poté uvedeme vlastnosti paraboloidů. V další části budeme koumat kuželové a válcové ploch, které patří do skupin singulárních kvadrik. Uvedeme vlastnosti, které jsou pro dané ploch charakteristické, rovněž připojíme možnosti použití uvedených ploch v prai..1 Elipsoid Trojosý elipsoid je středová regulární kvadrika, která má rovnici =1. (.1) c Kladná čísla a, b, c jsou délk os elipsoidu, obr..1 Souřadnicová rovina = protíná elipsoid (.1) v elipse o rovnici =1, (.) b jak se le snadno přesvědčit dosaením a = do rovnice elipsoidu (.1). Vememe-li místo souřadnicové rovin = rovinusnírovnoběžnou = k, pro nějakou konstantu k, vidíme, že pro k >crovina elipsoid neprotíná, pro k <crovina = k protíná elipsoid v elipse, která je podobná elipse (.). Pro k = c je průnikem jediný bod [,,c], který je bodem dotku tečné rovin = c. Obdobné platí pro rovinu = c. Ostatní souřadnicové rovin = a = protínají elipsoid po řadě v elipsách orovnicích a + c =1 a c =1. 67

2 68 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.1: Trojosý elipsoid + + =1. a b c Analogický výsledek jako pro rovinu = k dostaneme, vememe-li místo rovin =a =rovinsnimirovnoběžné = k a = k, pro nějakou reálnou konstantu k. Vrchol elipsoidu A, B, C, D, E, F jsou bod o souřadnicích A =[a,, ], B= [,b,], C=[,,c], D=[ a,,c], E=[, b, c], F =[,, c]. Vrchol leží v průsečících tří os elipsoidu (které v našem případě splývají s osami souřadnic,, ) s elipsoidem Obráek.: Trojosý elipsoid Speciálním případem je rotační elipsoid, jehož dvě os mají stejnou délku. Jestliže a = b > c,potom se elipsoid naývá ploštělý rotační elipsoid sosou

3 .1. ELIPSOIDY 69 rotace. Obráek.3: Zploštělý rotační elipsoid Jestliže a = b < c,potom se jedná o vejčitý (protáhlý) rotační elipsoid s osou Obráek.4: Vejčitý rotační elipsoid a + c =1. rotace v ose, obr..4.

4 7 KAPITOLA. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK Obráek.5: Vejčitý rotační elipsoid Pokud a = b = c = r, potom se tato plocha naývá kulová plocha o poloměru r. Její rovnice je + + = r. Kulová plocha má mnoho ajímavých vlastností a je skutečnou královnou mei plochami. Jednou vlastností je tv. ioperimetrická vlastnost kulové ploch: Mei všemi konveními plochami o daném povrchu má kulová plocha největší objem. Této vlastnosti se vužívá např. při výrobě nádrží, obalů apod. Obráek.6: Mýdlové bublin svým tvarem potvrují ioperimetrickou vlastnost kulové ploch (droj obráku: bubbles.jpg)

5 .. HYPERBOLOIDY 71 Kvadratická plocha, jejíž rovnice je = 1, (.3) c se naývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme rovnice (.3), neobsahuje žádný reálný bod.. Hperboloid Hperboloid patří společně s elipsoid mei středové regulární kvadrik. Vlastní čísla jsou nenulová a mají, na rodíl od elipsoidů, růná naménka. Rolišujeme dva druh hperboloidů jednodílný a dvojdílný. Nejprve se budeme věnovat jednodílnému hperboloidu...1 Jednodílný hperboloid Jednodílný hperboloid má rovnici b =1. (.4) c Kladná čísla a, b, c jsou délk os hperboloidu. 5 5 Obráek.7: Jednodílný hperboloid Souřadnicová rovina = protíná hperboloid (.4) v hperbole b =1, (.5) c jak plne dosaením = do rovnice (.4). Analogick, rovina = protne hperboloid v hperbole a =1, (.6) c