teorie elektronických obvodů Jiří Petržela analýza obvodů s neregulárními prvky

Transkript

1 Jiří Petržela

2 za neregulární z hlediska metody uzlových napětí je považován prvek, který nelze popsat admitanční maticí degenerovaný dvojbran, jedná se především o různé typy imitančních konvertorů obecný imitanční konvertor u i a a u i zatížíme-li imitanční konvertor na výstupní bráně impedancí Z z bude vstupní impedance přímo úměrná této impedanci

3 podle znaménka poměru a /a se imitanční konvertory dělí na pozitivní a negativní aktivní transformátor a Z a a / ideální transformátor ideální měnič výkonu u vstup Z Z i ai a n a n n n a a n a / n ( i ) Bui p u Bp u a

4 negativní imitanční konvertor jedná se vždy o nereciproký dvojbran, protože znaménka parametrů a a a jsou různá dále rozlišujeme napěťový typ (a <) nebo proudový typ (a <) ideální zesilovač napětí a / a jde vlastně o zdroj napětí řízený napětím VCVS

5 ideální zesilovač proudu a a / B jde vlastně o zdroj proudu řízený proudem CCCS ideální operační zesilovač (OZ) a a kaskádní matice obsahuje pouze nulové prvky limitní případ VCVS a CCCS když obě zesílení rostou nade všechny meze, tedy B

6 všechny tyto obvody fungují jako transformátory souřadnic proudů i napětí vztahy mezi vstupními a výstupními proudy a napětími zůstávají nezměněny i po jejich připojení k soustavě regulárních obvodů Obr. : Schematické značky imitančních konvertorů a řízených zdrojů.

7 typy ideálních operačních zesilovačů podle bran SSO (single input single output) s nesymetrickým vstupem i výstupem DSO (double input single output) má symetrický vstup a nesymetrický výstup SDO (single input double output) má nesymetrický vstup a symetrický výstup DDO (double input double output) má vstup i výstup symetrický

8 Obr. : Různé typy operačních zesilovačů podle zapojení bran.

9 modifikované metody uzlových napětí metoda založená na lineárních transformacích metoda razítek metoda zakázaného řádku metoda založená na / grafech

10 postup řešení u metody lineárních transformací obvod rozdělíme na regulární a neregulární část regulární část je popsána běžnou admitanční maticí r k regulární části je připojen mezi i-tý a j-tý uzlový pár jeden neregulární prvek s kaskádními parametry a a a r r to má za následek přídavnou vazbu mezi těmito uzlovými páry, takže napětí jednoho z nich již není nezávislé

11 Obr. : Připojení neregulárního prvku k regulární části obvodu.

12 tento fakt lze vyjádřit lineární transformací spojenou s redukcí počtu nezávislých napětí vztahy mezi souřadnicemi napětí a proudů původní regulární podsoustavy a nové soustavy popisující celý obvod lze vyjádřit maticovými rovnicemi C D r r r r r C Dr DrC r D C r

13 postup řešení u metody lineárních transformací transformační matice C a D již nejsou vzájemně transponované a objevují se v nich kaskádní parametry redukce počtu nezávislých rovnic se projeví v transformačních maticích tak, že každá z nich obsahuje jeden nulový řádek a sloupec zobecněnou metodu smyčkových proudů lze použít pouze u ideálního transformátoru, a to záměnou parametru a (matice C) za /a (matice D)

14 obvod na obrázku obsahuje dva regulární prvky (tranzistor a admitanci) a jeden transformační prvek (transformátor) dílčí admitanční matice regulárních prvků lze uvažovat separátně, do výsledné admitanční matice je potom přetransformovat prostřednictvím matic C a DC T Obr. 4: Příklad na řešení neutralizovaného tranzistorového zesilovače.

15 n e e e e n x x n e e e e n x x y y y y y y y y výchozí dílčí admitanční matice jsou n x x transformační rovnice nám udávají, jak jsou jednotlivé regulární prvky zapojeny v rámci celého obvodu n n n transformátor nám vnese do obvodu závislost daný obvod má tedy pouze dva nezávislé uzly

16 výsledná admitanční matice tedy bude mít tvar y y n e e y y e e ( ) n y y n e e n odkud lze standardním způsobem vypočítat přenos napětí Δ, () s Δ y (), e n K s Δ () s,, n y y e e n ( ) Δ Δ y e n n Δ obě brány tranzistoru jsou v tomto případě připojeny přímo na uzlová napětí, dílčí admitanční matice tranzistoru tedy vstoupí do výsledné admitanční matice beze změny n n n

17 výhody transformace pomocí operací s řádky a sloupci přídavná redukce uzlového páru se provede vynecháním příslušného řádku a sloupce univerzální postup při analýze výhodná z hlediska algoritmizace poskytuje obecnější pohled na danou problematiku imitanční konvertory transformují proudy a napětí nezávisle na sobě, operace lze chápat odděleně

18 transformace pomocí operací s řádky a sloupci násobení tří matic je možné vyjádřit operacemi s řádky a sloupci původní admitanční matice Obr. 5: Varianty transformace a redukce napětí a proudů.

19 transformace napětí závislé je napětí rj ri i rj i / a tyto rovnice určují následující operace se sloupci ~ ; a ; j j i závislé je napětí ri a ri a těmto rovnicím odpovídá opět operace se sloupci ~ [; ai j] j ; i rj j

20 transformace proudů redukce rj redukce ri i ri a tyto rovnice určují následující operace s řádky j ~ ; i j [ a j ;] ri / a a těmto rovnicím odpovídá opět operace s řádky i j; ~ a i ; rj rj

21 existují čtyři rovnocenné možnosti transformací, volba závisí na situaci (použitých neregulárních prvcích) závislé rj a rj i j a i j a j j ; ; ~ závislé ri a ri j i a j i a i i ; ; ~

22 závislé ri a rj ~ [ a j i a i j] ; j; i závislé rj a ri ~ a i; j i j; a i j pokud má imitanční konvertor nenulové kaskádní parametry, lze použít kterýkoliv transformační vztah obvodové funkce se počítají z algebraických doplňků admitanční matice podle již známých vzorců

23 analýza obvodů s ideálním zesilovačem napětí nelze použít transformace, kde se vyskytuje výraz /a zbývající možnosti jsou ~ [ ] ; i j ; j i ~ j; j operace se provádí pouze se sloupci operace s řádky se v obou případech omezí pouze na vynechání j-tého řádku, protože ideální zesilovač napětí má nekonečně velkou vstupní impedanci j; i

24 Obr. 6: Příklad obvodu s ideálním zesilovačem napětí. soustava rovnic popisující regulární část obvodu ( ) ( ) ( ) ( ) pro ideální zesilovač napětí se zesílením platí - takže vznikne nová soustava lineárních rovnic ( ) ( ) ( ) ( ) proud operačního zesilovače se při výpočtu neuplatní ( ) ( ) ( )

25 admitanční matice regulární části obvodu ~ admitanční matice po redukci připojením ZN ( ) [ ] ; ; ~ - ( ) [ ] ; ; ~

26 v popisu obvodu již chybí napětí a proud hledaná obvodová funkce může být přenos napětí definovaný poměrem / pro korektnost řešení je potřeba zvolit jiné uzlové napětí jako závislé nová soustava rovnic popisující obvod je

27 pro ideální zesilovač napětí se zesílením platí i opačná relace, tedy - / vedoucí k nové soustavě rovnic ( ) ( ) ( ) / / / proud operačního zesilovače se při výpočtu neuplatní admitanční matice po redukci připojením ZN ( ) [ ] ( ) / / / ~ / ; ; -/ ( ) ( ) ( ) / / / ( ) /

28 nová soustava rovnic popisující obvod je ( ) / / v popisu obvodu tentokrát chybí napětí a opět proud ( ) [ ] ( ) / / ~ / ; ;

29 soustava rovnic popisující regulární část obvodu ( ) ( ) pro ideální zesilovač napětí v zapojení na obrázku se zesílením platí ( ) Obr. 7: Volba uzlových napětí.

30 chceme-li považovat napětí uzlu za závislé a redukovat ho, zkusme si ho nejprve vyjádřit jako / ( ) / po dosazení do původní soustavy rovnic pro regulární část obvodu obdržíme ( ) / / po dosazení do ( ) / /

31 admitanční matice po redukci připojením ZN v krocích [ ] ; ~ -/ proud operačního zesilovače se při výpočtu neuplatní ( ) ( ) / / admitanční matice po redukci připojením ZN, druhý krok ( ) [ ] ( ) /, ; ; / / ~ ( ) [ ] / ; ~

32 redukovaná admitanční matice výpočet přenosu dvojbranu K () s ~ [;, ( / ) ], ( ) () s Δ () s Δ Δ, Δ, / ( ) Δ Δ ( ),, ( ) ( R R ) R R ( ) / R

33 analýza obvodů s ideálním zesilovačem proudu nelze použít transformace, kde se vyskytuje výraz /a zbývající možnosti jsou ~ i i; i j; i [ ] ; ; ~ j Bi j B operace se provádí pouze s řádky operace se sloupci se v obou případech omezí pouze na vynechání i-tého sloupce, protože ideální zesilovač proudu má nulovou vstupní impedanci

34 analýza obvodů s ideálním operačním zesilovačem nelze použít transformace, kde je výraz /a a /a lze použít pouze nejobecnější tvar ~ OZ způsobuje v soustavě redukci jednoho proudu (vynechání j-tého řádku) a jednoho napětí (vynechání i-tého sloupce) vynechání i-tého sloupce, protože ideální operační zesilovač udržuje nulové napětí mezi vstupy (virtuální nula) j;i

35 soustava rovnic popisující regulární část obvodu ( ) ( ) ( ) ( ) vzhledem k nulovému diferenčnímu napětí bude, čímž vznikne nová soustava lineárních rovnic proud operačního zesilovače se při výpočtu neuplatní Obr. 8: Příklad obvodu s ideálním operačním zesilovačem SSO.

36 admitanční matice regulární části obvodu ~ admitanční matice po redukci připojením OZ ; ~ tuto admitanční matici využijeme pro výpočet hledaných obvodových funkcí v popisu obvodu již chybí napětí a proud

37 analýza obvodů s DSO operačním zesilovačem diferenční vstup a nesymetrický výstup lze použít následující vztahy ~ ; a b [ ] [; b a] c; a ~ c; b Obr. 8: Příklad obvodu s ideálním operačním zesilovačem DSO.

38 soustava rovnic popisující regulární část obvodu ( ) ( ) vzhledem k nulovému diferenčnímu napětí bude, čímž vznikne nová soustava lineárních rovnic ( ) ( ) proud operačního zesilovače se při výpočtu neuplatní ( )

39 admitanční matice po redukci připojením OZ [ ] ; ; ~ hledanou obvodovou funkcí zde bude přenos napětí () () (),, R R s s s K Δ Δ

40 analýza obvodů s DDO operačním zesilovačem závislé napětí a a proud c [ ] b a d c a c ; ; ~ závislé napětí b a proud c [ ] a b d c b c ; ; ~ závislé napětí a a proud d [ ] b a c d a d ; ; ~ závislé napětí b a proud d [ ] a b c d b d ; ; ~

41 metoda razítek každý neregulární prvek je popsán minimálně jednou rovnicí a o stejný počet se obohatí i množina neznámých současně dojde k modifikaci některých rovnic prvního Kirchhoffova zákona k původní admitanční matici přibudou řádky a sloupce, jejichž koeficienty nemají rozměr admitance každý neregulární prvek má svoje razítko při ruční analýze může více rovnic znamenat problém

42 razítko ideálního zdroje napětí s vnitřním odporem původní rovnice popisující rovnováhu proudů v uzlu a musí být doplněny o vytékající proud x původní rovnice popisující rovnováhu proudů v uzlu b musí být doplněny o vtékající proud x Obr. 9: Řešení obvodu s ideálním zdrojem napětí metodou razítek.

43 razítko ideálního zdroje napětí s vnitřním odporem uzlová napětí a a b jsou nyní svázána vztahy a b x i i Z výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí x b a i i b a Z napětí i je začleněno mezi známé (budicí) veličiny

44 pro daný obvod platí následující soustava rovnic x 4 hledaný proud x potom spočítáme pomocí Cramerova pravidla jako det / det 4 4 x

45 razítko ideálního operačního zesilovače (OZ) OZ po připojení do obvodu způsobí v obvodu ztotožnění napětí uzlů a a b modifikuje proudové poměry v uzlu c Obr. : Řešení obvodu s ideálním operačním zesilovačem metodou razítek.

46 výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí oz c b a c b a je-li jeden ze vstupů OZ spojen se zemí, neobjeví se v posledním řádku jedna z jedniček (častý případ) jednička v posledním sloupci reprezentuje připočtení proudu oz k celkové bilanci proudů vytékajících z uzlu c

47 pro uvedený příklad obvodu platí soustava rovnic oz 4 4 napěťová vazební podmínka je přídavná rovnice říká, že druhou neznámou lze vyloučit výstupní proud OZ vytéká z uzlu 4

48 hledaný přenos bude K () s () s () s ( ) 4 ( ) Δ a po převodu vodivostí na odpory dostáváme ( ) () 4 R R R K s R R / 4 Δ Δ Δ,4, Δ Δ,4, ( ) R 4 4

49 razítko ideálního zesilovače napětí (ZN) vlastnosti ideálního zesilovače napětí nekonečně velký vstupní odpor nulový výstupní odpor (ideální zdroj napětí) výstupní napětí je rovno rozdílu vstupních napětí násobenému konstantou OZ je limitní případ ZN pro zesílení rostoucí nade všechny meze

50 napěťový sledovač je zvláštním případem, kdy uzemníme invertující vstup a předpokládáme výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí oz c b a c b a napěťová vazební podmínka b a c

51 Obr. : Řešení obvodu s ideálním zesilovačem napětí metodou razítek. pro uvedený obvod platí soustava rovnic Z

52 napěťová vazební podmínka v tomto případě je výpočet přenosu K () s () s () s ( ) OZ ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ převod vodivostí na rezistory K () s,, R Δ Δ,, ( R ) R R ( ) ( )

53 razítko proudového konvejoru typu CC CC po připojení do obvodu způsobí v obvodu ztotožnění napětí uzlů x a y modifikuje proudové poměry v uzlu x a z výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí z y x z y x

54 Obr. : Řešení obvodu s proudovým konvejorem CC metodou razítek. pro uvedený obvod platí soustava rovnic sc sc sc sc sc in

55 ze soustavy rovnic vypočteme jako Δ ( ),... in odtud vyjádříme výstupn proud Δ ( ),... out in takže hledaný přenos proudu je out in ( ) Δ, Δ C C R R Δ s Δ C ( R R ) s

56 razítko proudového operačního zesilovače (CF) CF se skládá z CC a oddělovacího zesilovače výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí out c b a c b a

57 Obr. : Řešení obvodu s proudovým zesilovačem metodou razítek. výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí out

58 hledaný přenos bude () () () ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ,,,, s s s K det det R R

59 razítko obecného imitančního konvertoru tento neregulární prvek po připojení mezi vstupní uzly a, b respektive výstupní uzly c, d podle obrázku způsobí vazbu a b a ( ) c d a ac b a c c c d c Obr. 4: Připojení imitančního konvertoru k regulární soustavě.

60 c d c b a d c b a a a a a výsledná soustava rovnic s pseudoadmitanční maticí

61 metoda zakázaného řádku na rozdíl od metody razítek zachovává počet rovnic originální metody uzlových napětí je vhodná pro analýzu obvodů s ideálními operačními zesilovači a ideálními zesilovači napětí pokud není cílem analýzy výpočet proudu oz lze tuto proměnnou vynechat proud oz se uplatní pouze v jednom uzlu, lze tedy vynechat i celý tento řádek, proud oz lze vypočítat pouze ze znalosti této rovnice

62 postup při řešení obvodů metodou zakázaného řádku zjistíme počet nezávislých uzlových napětí, referenčnímu uzlu přiřadíme, načrtneme kostru maticové rovnice, vyplníme vektor neznámých napětí a budicích proudů zjistíme číslo uzlu, ke kterému je připojen výstup ideálního OZ nebo ideálního zdroje napětí označíme řádek odpovídající tomuto uzlu symbolem, sem je zakázáno vepisovat admitance zbytek pseudoadmitanční matice sestavíme normálně

63 Obr. 5: nvertující zesilovač s ideálním operačním zesilovačem. vazební podmínka pro napětí je a výstup ideálního operačního zesilovače je připojen k uzlu, což vede na maticovou rovnici ve tvaru

64 odtud pro přenos napětí dostáváme vztah ( ) Δ, () () s Δ, R K s Δ () s ( ) Δ Δ, R Δ, Obr. 6: ntoniův imitanční konvertor s ideálními operačními zesilovači.

65 vazební podmínka pro napětí je a výstup ideálního operačního zesilovače je připojen k uzlu, což vede na maticovou rovnici ve tvaru první zakázaný řádek patří k hornímu a druhý zakázaný řádek patří ke spodnímu ideálnímu operačnímu zesilovači

66 () () () ( ) Δ Δ Δ Δ,, s s s Z vstup odtud pro vstupní impedanci dostáváme vztah ( ) Δ Δ det det 4 5 R R R R R

67 Obr. 7: Syntetický ztrátový induktor s ideálním zesilovačem napětí. sc sc vazební podmínka pro napětí je a výstup ideálního operačního zesilovače je připojen k uzlu, což vede na soustavu rovnic popsanou maticově ve tvaru

68 odtud lze již snadno odvodit pro vstupní impedanci vztah ( ) Δ, () () Δ Δ s, ( sc) Z vstup s () s Δ ( sc) sc sc sc sc sc sc ( ) pro zesílení se tento vztah dále zjednoduší sc sc Z vstup () s scr R

69 diakoptická hybridní metoda řešení složitých obvodů je založena na rozetnutní obvodu na dvě nebo více částí jednu část regulárního obvodu řešíme metodou metodou uzlových napětí a druhou smyčkových proudů Obr. 8: Rozdělení obvodu na dvěčásti a jeho smíšený popis.

70 náhradní budicí zdroje jsou N B N R R T B B B T Z R R kde incidenční matice ( ) T T B B M D D M R diakoptická hybridní metoda řešení složitých obvodů vzájemnou interakci obou částí zachytíme submaticí R

71 B i B Z B S Z B S... diakoptická hybridní metoda řešení složitých obvodů u obvodů s neregulárními prvky povedeme řez těmito prvky a jejich popis zahrneme do vedlejší diagonály matice smíšeného popisu hledané veličiny nebo obvodové funkce lze získat přímo z matice S standardně přes výpočet algebraických doplňků

72 postup řešení u diakoptické hybridní metody metodou uzlových napětí určíme uzlová napětí v podobvodu vybuzená zdroji určíme náhradní zdroje napětí v podobvodu B způsobená buzením podobvodu N aplikujeme metodu smyčkových proudů na podobvod B, přičemž incidenční část s B popíšeme jako Z B ZB B

73 postup řešení u diakoptické hybridní metody smyčkové proudy jsou potom dány vztahy B Z B B ( ) N z B určíme uzlová napětí v podobvodu způsobená buzením podobvodu B B B hledaná uzlová napětí v podobvodu jsou potom dána superpozicí B B

74 metoda založená na / grafech vychází z metody napěťových a proudových grafů přítomnost každého ideálního operačního zesilovače snižuje počet řešených rovnic o jedničku značné urychlení ručního výpočtu do vektoru neznámých se nezapočítává jedno ze vstupních napětí ideálního operačního zesilovače redukci neznámých odpovídá redukce rovnic, nesestavuje se rovnice pro uzel kde je OZ připojen

75 postup řešení metodou založenou na / grafech ve schématu označíme referenční uzel a ostatní uzly očíslujeme načrtneme kostru maticové rovnice a řádky opatříme vzestupněčísly uzlů, vynecháme však indexy odpovídajícím výstupům jednotlivých OZ do záhlaví sloupců napíšeme uzlová napětí, přičemž ztotožníme plovoucí vstupy OZ (například ) a nulové napětí vlivem virtuální nuly OZ se v rovnicích vůbec neuvažuje

76 postup řešení metodou založenou na / grafech prvky matice se vyplní podle klasického algoritmu metody uzlových napětí až na to, že se musí brát všechny kombinace indexů v řádcích a sloupcích matice Obr. 9: ntoniův imitanční konvertor jako příklad na metodu / grafu.

77

78

79 děkuji za pozornost