Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ."

Transkript

1 Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Necht jsou v okolí bodu [1, 2, 0] pomocí soustavy rovnic xy + xz + yz 2z = 2, y 2 + z 2 xy + e xz = 3 definovány funkce y(x) a z(x). Najděte jejich druhé derivace y (1) a z (1). Pomocí substituce u = xy 2 a v = y x najděte souřadnici y T Ω R 2, která je dána nerovnostmi těžiště homogenní oblasti jestliže víte, že její obsah je 9. 1 xy 2 8, x 27y 27x, Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci silového pole f = zi + xj + 2yk po křivce dané parametrickými rovnicemi x = ln t, y = t, z = 1 t, 1 t 2, která je orientovaná ve směru rostoucího parametru t. Najděte hmotnost plochy S, která je daná rovnicemi a jejíž hustota je ρ(x, y, z) = z. z 2 = x 2 y 2, y 2 + z 2 2y, x, z 0

2 Ukázka 2 Necht má funkce f(x, y) spojité parciální derivace n tého řádu. Napište Taylorův polynom stupně n této funkce se středem v bodě [ x 0, y 0 ]. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2, kde x, y, z > 0. z Necht je funkce z = z(x, y) definována v okolí bodu [1, 1, 1] jako řešení rovnice Najděte její parciální derivaci x 2 y 2 + z x 2 + y 2 + z 2 + xz + yz = 3. 2 z (1, 1). x y Najděte souřadnici x T homogenního tělesa T R 3, které je dáno nerovnostmi 9x 2 + 4y 2 z 2, 0 z 3, x 0, jestliže víte, že jeho objem je V = 3 π. 4 Najděte křivkový integrál (x dx + z dy 2y dz), kde C je křivka daná rovnicemi C x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 = y, která leží v prvním oktantu, tj. x, y, z 0, a začíná v bodě [0, 0, 1]. Najděte obsah plochy S, která je dána parametrickými rovnicemi x = uv, y = 1 2 (u2 v 2 ), z = 1 2 (u2 + v 2 ), u 2 + v 2 2, u, v 0.

3 Ukázka 3 Jak najdete objem rovnoběžnostěnu, jehož strany jsou vektory u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) a w = (w 1, w 2, w 3 )? Necht je funkce f(x, y) definována vztahem f(x, y) = F ( u(x, y), v(x, y) ), kde funkce F (u, v) má spojité druhé parciální derivace a Vyjádřete 2 f x y u(x, y) = ln ( x x 2), v(x, y) = x 2 + xy + y 2. pomocí parciálních derivací funkce F (u, v). Necht je funkce y(x) definována v okolí bodu [1, 0] rovnicí ln x 2 + y 2 = arctg y x. Najděte její Taylorův polynom druhého řádu se středem v bodě x = 1. Necht je I = 0 e x2 dx. Pak platí rovnost I 2 = 0 e x2 dx 0 e y2 dy = kde Ω R 2 je dána nerovnostmi x, y > 0. Pomocí substituce do polárních souřadnic najděte integrál I. Ω e x2 y 2 dx dy, Najděte délku křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = t 1 + t, y = t, t R. 2 Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru souřadných os x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi + yj + zk plochou S, která je dána vztahy z = 1 x 2 + y 2, 0 z 1 a je orientována tak, že třetí složka vektoru její normály je kladná.

4 Ukázka 4 Necht má vektorová funkce f(x, y, z) spojité parciální derivace. Co je div f(x, y, z)? V bodě A = [1, 1, 2] najděte parametrické rovnice tečny ke křivce C, která v okolí bodu A je dána jako řešení soustavy rovnic z 2 xy + yz + x sin(x + y) = 3, xy + xz + yz + 1 = 0. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = 2x 2 3xy 2y 2 za podmínky x 2 + y 2 = 40. Pomocí substituce x = r cos 2 ϕ, y = r sin 2 ϕ, kde r > 0 a 0 < ϕ < 1 π, najděte obsah 2 oblasti Ω R 2, která je určena nerovnostmi ( ) 4 x + y 4xy, x, y 0. Najděte hmotnost křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, 0 < t <, jestliže je její lineární hustota ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Najděte plošný integrál ( ) (x 2 + yz) dy dz + (y 2 + xz) dz dx + (z 2 + xy) dx dy, S kde S je kladně orientovaná hranice polokoule x 2 + y 2 + z 2 1, z 0.

5 Ukázka 5 Necht má vektorová funkce f(x, y, z) spojité parciální derivace. Co je rot f(x, y, z)? Napište rovnici tečné roviny v bodě A = [2, 1, 1] k ploše S, která je v okolí bodu A definována rovnicí xy ln(x z 2 ) + ze x(y+z) = 1. Jaké rozměry má otevřená vana, která má průřez půlkruh a daný povrch stěn S = 27π m 2 a která má největší objem? Najděte objem tělesa T R 3, které je dáno nerovnostmi x 2 + y 2 2z, z 4 x 2 + y 2. Najděte potenciál vektorového pole ( ) x f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ), y 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ), z 3/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 a pomocí toho spočítejte práci pole f po křivce C, která začíná v bodě A = [2, 1, 2], končí v bodě B = [4, 0, 3] a neprochází počátkem souřadnic. Najděte obsah plochy S, která je dána parametrickými rovnicemi x = 2r cos 2 ϕ, y = r sin 2 ϕ, z = r, 0 ϕ 1 2 π, 0 < r < 1.

6 Ukázka 6 Jak spočítáte množství kapaliny, které proteče za jednotku času rovnoběžníkem se stranami a = (a 1, a 2, a 3 ) a b = (b 1, b 2, b 3 ), jestliže je rychlost proudění kapaliny v = (v 1, v 2, v 3 ). Najděte derivaci funkce f(x, y) = x 2 y + ln ke grafu funkce y = 3 x v bodě A. x + y v bodě A = [1, 1] ve směru normály x2 + y2 Necht je funkce z = z(x, y) definována v okolí bodu [1, 1, 1] jako řešení rovnice yz 3 + x 2 z + xy 2 y 2 = 0. Najděte její Taylorův polynom druhého řádu se středem v bodě [1, 1]. Na plochu S R 2, která je dána nerovnostmi 3x 2 + 2y 2 6, x y 2, x, y > 0, působí tlak p(x, y) = 2y. Najděte celkovou sílu F, která působí na plochu S, tj. integrál F = p(x, y) dx dy. S Najděte souřadnici y T těžiště homogenní křivky C, která je dána parametrickými rovnicemi x = cos t, y = sin t, z = 1 ln cos t, 0 t 1 3 π, jestliže víte, že její délka je ln ( ). Necht jsou i, j, resp. k jednotkové vektory ve směru souřadných os x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi xj + z 2 k plochou S, která je popsána parametrickými rovnicemi x = r cos t i + r sin t j + r 2 k, 0 < t < π, 0 < r < 1, a je orientována tak, že třetí složka vektoru její normály je kladná.

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE

VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u, 4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v,

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =

QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d = . cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více