DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání: 202 Vyprcovl: Petr Sušovský AME, II. ročník

2 Prohlášení Prohlšuji, že jsem vytvořil tuto diplomovou práci smosttně pod vedením doc. Mgr. Krl Pstor, Ph.D. že jsem v seznmu použité litertury uvedl všechny zdroje použité při zprcování práce. V Olomouci dne

3 Poděkování Rád bych n tomto místě poděkovl svému vedoucímu diplomové práce doc. Mgr. Krlu Pstorovi, Ph.D. z obětvou spolupráci i z čs, který mi věnovl při konzultcích. Tké bych rád poděkovl své rodině přátelům z podporu během studi.

4 Obsh Úvod 4 2 Konečné hry 5 3 Nekonečné hry 3 3. Úvodní pojmy Optimální strtegie Skupiny nekonečných her Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce Hry nčsování Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče Hlučný souboj Tichý souboj Tichý-hlučný souboj Souboj Nekonečné hry, jejíchž prostory strtegií jsou známé prostory funkcí 50 6 Závěr 52

5 Úvod Teorie nekonečných her je přibližně 70 let strá. Zákldem těchto her byl studie von Neumnn Morgenstern, kteří roku 944 vydli knihu, ve které se zbývli jk hrmi konečnými, tk nekonečnými. Smotná studie tktických soubojů zčl v roce 939, kdy ve světě probíhl II. světová válk. O tuto studii se nejvíce zsloužil korporce RAND, která se v té době snžil njít tým mtemtiků, sttistiků, ekonomů sociálních vědců, by nlyzovli význm strukturu tzv. nejistoty války. Měli z úkol vytvořit optimální plán pro budoucí fungování ekonomiky své země při útoku obrně. Právě při této příležitosti vznikl teorie her nčsování jko vedlejší produkt studie tktických soubojů. Název hry nčsování, jkožto tříd tktických soubojů, vznikl roku 950, kdy skupin mtemtiků rozpoznl široký rozsh jejich možných plikcí. Předložená diplomová nbízí čtenářům stručný náhled do teorie nekonečných her her nčsování zároveň uvádí i jejich využití n konkrétních příkldech. První kpitol je úvodem do témtu. Druhá kpitol obshuje úvodní pojmy, které se týkjí teorie konečných her. Vysvětlil jsem zde jednotlivé termíny, které byly pro tuto problemtiku nezbytné uvést, jko npříkld hr v normálním tvru, mticová hr, hr s konstntním součtem, optimální strtegie v neposlední řdě jsem tké ndefinovl smíšené rozšíření mticových her. Pro lepší pochopení jsem uváděl konkrétní příkldy. Kpitol třetí sloužil jko tkový přechod konečných her do nekonečných. Jednotlivé pojmy, které byly ndefinovné v kpitole první, jsem se snžil rozšířit pro hry nekonečné. Dále jsou uvedeny pojmy, které se týkjí pouze nekonečných her. N závěr této kpitoly jsou stručně uvedeny některé typy těchto her. Čtvrtá kpitol je stěžejním bodem této práce. Zde se zbývám právě hrmi nčsování. Uvedl jsem zde zákldní typy těchto her jko je hlučný souboj, tichý souboj tichý-hlučný souboj. Pro lepší názornost pochopení je kždý souboj doplněn konkrétním okomentovným příkldem. Doufám, že tto práce pomůže čtenáři orientovt se v oblsti teorie her. 4

6 2 Konečné hry Všichni se kždý den ocitáme v situcích, kdy musíme zvolit vhodný postup, bychom dospěli k co nejlepšímu výsledku. Jestliže tento výsledek závisí jenom n nás nebo n více dlších vlivech, které můžeme předvídt s určitou prvděpodobností, le které nejsou vzájemně závislé n rozhodnutí kohokoli jiného, pk je situce poměrné jsná. Když se všk do rozhodování vloží ještě nějká dlší osob, můžeme se obrátit k tzv. teorii her. Teorie her vytváří nlyzuje modely situcí, ve kterých dochází k interkci lespoň dvou rcionálních entit, čsto s protichůdnými zájmy. Této interkci se pk říká hr jejími hráči jsou ony entity. Hrou v tomto smyslu může být třeb prtie pokeru, studená válk, veřejná ukce nebo jednání nd podmínkmi smlouvy. V obecných přípdech her se uvžuje užitková (výpltní) funkce, která kždému možnému výsledku hry přiřdí n-tici reálných čísel vyjdřující užitek pro jednotlivé hráče. Trdičně se kldným číslem vyjdřuje zisk, záporným ztrát. Nyní si úvodní pojmy ndefinujeme n konečném prostoru strtegií jednotlivých hráčů. Jednotlivé definice tvrzení s důkzy uvedené v této kpitole byly převzty z litertury [5, 6, 7, 8] jsou ilustrovány vlstními příkldy. Definice 2.. Nechť je dán konečná neprázdná n-prvková množin Q = {, 2,..., n}, dále n neprázdných množin S, S 2,..., S n n reálných funkcí K, K 2,..., K n definovných n krtézském součinu S S 2... S n. Hrou n hráčů v normálním tvru budeme rozumět uspořádnou (2n+)-tici {Q; S, S 2,..., S n ; K (s, s 2,..., s n ), K 2 (s, s 2,..., s n ),..., K n (s, s 2,..., s n )}. () Množinu Q nzveme množinou hráčů, množinu S i nzveme prostorem strtegií hráče i, prvek s i S i nzveme strtegií hráče i funkci K i (s, s 2,..., s n ) nzveme výpltní funkcí hráče i. Klíčovým pojmem při nlýze her je optimální bod hry. Tento bod je definován jko tkový soubor strtegií jednotlivých hráčů, že žádný hráč nemůže získt změnou své strtegie, pokud ji změní jen on sám. 5

7 Definice 2.2. n-tice strtegií s = (s, s 2,...s n ) se nzývá optimálním bodem hry, jestliže pro kždé i {, 2,..., n} všechn s i S i pltí: K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ) K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ). (2) Strtegie s i se nzývá optimální strtegie hráče i. Optimální strtegie jsou strtegie, kterými se budou řídit rcionální hráči (hráči, kteří chtějí dosáhnout co největšího zisku). Definice 2.3. Hr v normálním tvru, v níž pro všechn s i S i, i =, 2,..., n, pltí n K i (s,..., s n ) = A, (3) i= kde A je konstnt nezávislá n volbě strtegií s,..., s n se nzývá hr s konstntním součtem. Poznámk 2.. Je-li A=0, jedná se o hru s nulovým součtem - hr s nulovým součtem je tková hr, při které je součet užitků všech n hráčů nulový pro kždý možný výsledek hry. To npř. u hry dvou hráčů znmená, že co jeden hráč získá, druhý trtí (npř. u pokeru). Jestliže součet výpltních funkcí závisí n zvolených strtegiích, jedná se o hru s nekonstntním součtem. V definici 2.2. jsme si definovli, jk vypočítt optimální bod hry pro n hráčů. V dlší části této práce se budeme zbývt hrmi se dvěm hráči. Proto si tuto definici uvedeme pro množinu Q = {, 2} uvedeme si ji rovněž pro hru s konstntním součtem (resp. nulovým součtem). Definice 2.4. Konečná hr s nulovým součtem dvou hráčů je definován jko kde {Q = {, 2}; X = {, 2,..., m}; Y = {, 2,..., n}; K(i, j) = ij ; i X, j Y }, A = 2... n n m m2... mn 6 (4)

8 je mtice hry. Jk už bylo zmíněno v předchozím textu, cílem tkové hry je njít optimální strtegie, díky kterým ob dv hráči se snží mximlizovt svou výhru, resp. minimlizovt svou ztrátu, ve smyslu následující definice. Poznámk 2.2. Pro hru s nulovým součtem pltí, že K (x, y) = K 2 (x, y) pro všechn x X, y Y. Čsto píšeme, že K (x, y) = K(x, y). Definice 2.5. Nechť {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} (5) je hr s konstntním součtem. Optimální strtegie hráče je tková strtegie x X, pro kterou existuje strtegie y Y tk, že pltí K (x, y) K (x, y) K 2 (x, y) K 2 (x, y) (6) pro všechn x X, y Y. Strtegie y Y se ekvivlentně nzývá optimální strtegie hráče 2. Tto definice vychází z definice 2.2. Je-li nvíc {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} hr s nulovým součtem, sloučí se nám nerovnosti do následujícího tvru: K(x, y) K(x, y) K(x, y). (7) Vět 2.. Nechť (5) je hr s konstntním součtem, A 0. Potom x, ȳ jsou optimální strtegie ve hře (5) tehdy jen tehdy, jsou-li x, ȳ optimální strtegie ve hře s nulovým součtem, kde K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Důkz: Nechť x, ȳ jsou optimálními strtegiemi ve (5). Z první nerovnosti (6) dostneme K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 (x, ȳ). 7

9 Protože K K (x, ȳ) = K 2 (x, ȳ) K 2 ( x, ȳ) = K K ( x, ȳ) dostáváme z předchozí nerovnosti K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 ( x, ȳ). což je levá nerovnost v (7) pro K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Prvou nerovnost v (7) dostneme zcel obdobně. Nechť obráceně pro x, ȳ pltí předchozí nerovnost. Tento vzth můžeme přepst jko K (x, ȳ) [K K (x, ȳ)] K ( x, ȳ) [K K ( x, ȳ)], odkud dostneme první nerovnost z (6). Obdobně dostneme i druhou nerovnost z (6). Tímto je vět dokázán. Nyní si uvedeme konkrétní příkld, jk vypdá hr s nulovým součtem dvou hráčů. Příkld 2.. Máme hru dvou hráčů (A B), jejíž výpltní funkce vypdjí následovně 4 6 A B Jedná se o hru s konstntním součtem, protože pokud budeme sčítt příslušné výhry z obou mtic hráčů při stejných strtegiích, budeme dostávt jedno to smé číslo. V tomto přípdě získáme vždy 3. Nšim úkolem bude njít optimální strtegie. Abychom tyto strtegie nšli, musíme k jejím zjištěním využít vzth (7). Jelikož se jedná o hru s konstntním součtem, převedeme si tuto hru n hru s nulovým součtem tím, že nhrdíme jednotlivé mtice jednou mticí (buď hráče A nebo B) dle věty 2.. V nšem přípdě mticí hráče A. Získáme tímto mtici

10 Nyní využijeme vzth (7) njdeme optimální strtegie. Hledáme číslo, které bude nejmenší v řádku (hráči A zručí minimální výhru) zároveň největší v dném sloupci (mximlizuje svou minimální výhru). Je jsné, že tyto dvě podmínky splňuje dvojice strtegií (x 3, y ). Výhr hráče A bude tudíž 5, kdežto výhr hráče B bude -2. Jk už jsme se zmínili dříve, teorie her se snží nlézt v kždé hře optimální bod (ve smyslu definice 2.5), v němž hráči volí tkové strtegie, že žádný z nich nemá důvod svou strtegii změnit z předpokldu, že druhý hráč svou strtegii nezmění. Ne vždy le optimální bod ve smyslu definice 2.5 existuje. Z tohoto důvodu byly zvedeny tzv. smíšené strtegie, které udávjí, s jkou prvděpodobností mjí hráči volit jednotlivé strtegie, by dosáhli co největšího zisku. N konkrétním příkldě si ukážeme, kdy bude optimální bod dán smíšenými strtegiemi. Příkld 2.2. Budeme uvžovt ntgonistický konflikt dvou hráčů, kde výpltní funkce obou hráčů budou obsženy v následující mtici ( ) 3 3 Abychom nšli optimální bod v tzv. ryzích strtegiích (řešení hry), musí zde existovt prvek dle definice 2.5, který je nejmenší v řádku zároveň největší v tom dném sloupci. Z uvedené mtice vidíme, že žádný prvek tyto dvě podmínky nesplňuje. Proto budeme řešení hledt ve smíšených strtegiích. Tento příkld budeme řešit pomocí tzv. simplexové metody. Poznámk 2.3. Simplexovou metodou se řeší úlohy lineárního progrmování je to metod, která slouží mimo jiné i pro ruční výpočty, protože její lgoritmus je jednoduchý neustále se opkuje. Výpočty se provádějí přes jednotlivé iterce. V jednotlivých krocích se vypočte nové řešení, které je z hledisk mximlizce 9

11 účelové funkce lepší nebo lespoň stejné než řešení v předchozím kroku. Smotný výpočet se skládá ze dvou části:. Nlezení výchozího zákldního řešení 2. Iterční postup vedoucí k optimlizci účelové funkce Poznámk 2.4. Podrobnější lgoritmus výpočtu simplexové metody je uveden v litertuře [4]. Nyní se vrátíme k řešení předchozího příkldu. Nejdříve si tuto mtici přepíšeme do následující tbulky Anlogicky z pohledu. hráče nám zse vznikne tto soustv rovnic nerovnic y y 2 x 3 x 2 3 Z pohledu 2. hráče nám vznikne tto soustv nerovnice rovnic 3y + y 2 u y + 3y 2 u y + y 2 =, y 0, y x + x 2 v x + 3x 2 v x + x 2 =, x 0, x 2 0. V dlších krocích je jedno, zd budeme v nšem výpočtu používt soustvu. nebo 2. hráče. Zvolme si npříkld soustvu 2. hráče. Zvedeme si nové proměnné q q 2, které lze získt tkto q = y u, q 2 = y 2 u. 0

12 Pk pltí tto soustv 3q + q 2 q + 3q 2 q + q 2 = u q + q 2 mx Musíme dostt soustvu rovnic. K tomu dojdeme tk, že do kždé nerovnice dodáme dlší proměnnou. V nšem přípdě tj. e e 2. Dlší kroky se řeší přes simplexovou metodu jednotlivé iterce jsou uvedeny v následujících tbulkách. Iterce 2. Iterce q q 2 e e 2 e 3 0 e * q q 2 e e 2 8 e q Iterce q q 2 e e 2 3 q q Vyšel nám vektor (q, q 2, e, e 2 ) = (,, 0, 0). Tzn., že (y 4 4, y 2 ) = (, ). 2. hráč 2 2 bude tudíž hrát první strtegii s prvděpodobností druhou strtegií s prvděpodobností tké. Anlogicky by se vypočítly i jednotlivé prvděpodobnosti 2 2. hráče

13 Definice 2.6. Nechť je dán mticová hr (4). Hru dvou hráčů s nulovým součtem jejíž prostory strtegií jsou (X) = {x T = (x,..., x m ); (Y ) = {y T = (y,..., y n ); m x i = ; x i 0}, (8) i= n y i = ; y i 0} (9) i= výpltní funkce K(x, y) = m n x i ij y j = x T Ay, (0) i= j= nzveme smíšeným rozšířením mticové hry (4). Vět 2.2. Smíšené rozšíření kždé mticové hry má řešení. Důkz: Důkz této věty se provádí přes tzv. simplexovou metodu je uveden v litertuře [5]. Poznámk 2.5. Větě 2.2 se tky říká zákldní vět teorie mticových her. Až doposud jsme se bvili o teorie her s konečným prostorem strtegií. Nyní se budeme zbývt prostorem strtegií, který bude nekonečný. 2

14 3 Nekonečné hry 3. Úvodní pojmy V předchozí kpitole jsme si vysvětlili zákldní pojmy teorie her, kdy prostor strtegií obou hráčů byl konečný. Model, který nám zobrzovl dný konflikt, byl mticová hr. V příkldě n simplexovou metodu jsme si ukázli, že i když jsme měli hráče, u kterých byl prostor strtegií konečný, museli jsme použít právě simplexovou metodu tím jsme jko kdyby popisovli nekonečnou hru. Ve světě všk neexistují pouze konečné ntgonistické konflikty, le existují i ntgonistické konflikty, kde prostor strtegií obou hráčů může být nekonečný. Součástí této kpitoly bude zobecnit si tyto pojmy n nekonečném prostoru strtegií, kdy budeme brát v úvhu dv hráče, opět si tyto pojmy plikujeme n hru s konstntním součtem. Opět jednotlivé definice tvrzení byl převzt z [3, 5]. Nejdříve se budeme zbývt hrmi v normálním tvru, které stojí n rozhrní mezi hrmi mticovými hrmi nekonečnými. Jedná se o hry, kde prostor strtegií obou hráčů X Y jsou nekonečné spočetné množiny. Cílem bude opět njít optimální strtegie obou dvou hráčů, by ob dv mximlizovli svůj zisk (resp. minimlizovli ztrátu). Bude pltit, že X = Y =, 2,.... Dále zde bude pltit, že optimální strtegie budeme hledt spíše ve smíšených strtegiích než v ryzích strtegiích. Proto si ndefinujeme smíšené rozšíření hry pro tyto množiny. Definice 3.. Množin všech rozložení prvděpodobností (X) n X je množin všech nekonečných posloupností x = (x, x 2,... ), pro které pltí: x i =, x i 0, i =, 2,.... () i= Anlogicky množin všech rozložení prvděpodobností (Y ) n Y je množin všech nekonečných posloupností y = (y, y 2,... ), pro které pltí: y j =, y j 0, j =, 2,.... (2) j= 3

15 Potom výpltní funkce vypdá: K(x, y) = x i ij y j, (3) i= j= kde ij jsou prvky z mtice A, kde ovšem indexy i i jdou do nekonečn. Poznámk 3.. Smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení pro hry, kde prostor strtegií je nekonečná spočetná množin. Důkz pro toto tvrzení je uveden v [5]. Že smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení, je ptrné z toho, že střední hodnot (3) nebude definován pro všechn x (X) y (Y ). Podrobnější problemtik je uveden v [5]. 3.2 Optimální strtegie N zčátek si uvedeme větu, která nám určuje tkové postčující podmínky, by existovly optimální strtegie v nekonečné hře s nulovým součtem. Jenom pro připomenutí, symbolem R budeme znčit množinu reálných čísel symbolem R k budeme znčit k-rozměrný vektorový prostor reálných čísel, kde k =,..., n. Vět 3.. Budiž {Q =, 2; (X), (Y ); K(x, y)} hr v normálním tvru s nulovým součtem. Nechť (X) R m (Y ) R n jsou kompktní konvexní množiny nechť K(x, y) je spojitá funkce n (X) (Y ), která je konkávní v x (pro kždé y (Y )) konvexní v y (pro kždé x (X)). Potom tto hr v normálním tvru má řešení. Důkz: Důkz této věty je uveden v [5]. Poznámk 3.2. Ze zjištěných pozntků plyne, že vět 2.2 je speciálním přípdem předchozí věty. hráče: Postup pro hledání optimálních strtegií je následující: Hráč se snží nlézt svou minimální výhru přes množinu strtegií druhého min K(x, y), (4) y Y 4

16 tuto svou minimální výhru se snží mximlizovt: mx min x X y Y K(x, y). (5) Druhý hráč se chová opčně. Snží se njít mximální výhru prvního hráče: tuto mximální výhru se snží minimlizovt: mx K(x, y), (6) x X min mx y Y x X K(x, y). (7) Musíme si všk dokázt, že dvojice x, y z věty 2.. je t smá, která splňuje vzthy (5) (7). Proto si nyní uvedeme větu, která nám tuto myšlenku potvrdí. Vět 3.2. Budiž {Q={,2};X,Y;K(x,y)} hr s nulovým součtem. Nechť existují hodnoty (5) (7). Potom rovnost min mx y Y x X K(x, y) = mx min x X y Y K(x, y) (8) pltí jenom tehdy, jestliže existují optimální strtegie x, y vyhovující definičnímu vzthu K(x, y) K(x, y) K(x, y), (9) pro všechn x X, y Y. Společná hodnot (9) je potom rovn ceně hry K(x, y). Důkz: Důkz věty je uveden v [5]. Poznámk 3.3. Postup při řešení nekonečných her je znčně složitý, většinou se řeší přes tzv. diferenciální integrální rovnice. V různých typech těchto her existuje postup, jk stnovit optimální strtegie. Tento postup není formální jk u řešení konečných her. Jestliže to je nutné, výpočty mohou být řešeny přes numerické metody. V dlší podkpitole si uvedeme příkldy nekonečných her nstíníme si postup, jk budou řešeny. 5

17 3.3 Skupiny nekonečných her Rozeznáváme několik typů nekonečných her. Prvním typem her, jsou tzv. hry definovné n jednotce čtverce (kde se budeme hlvně podrobněji zbývt hrmi nčsování). V závěru si pk uvedeme dlší typy Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce Tento typ her je jeden z nejjednodušších verzí nekonečných her užívá se zde obdobná definice hry, jko jsme si uváděli v úvodních kpitolách této práce. Definice 3.2. Hr je definován jko trojice {X, Y, K}, kde X Y jsou prostory strtegií hráče hráče 2, K(ξ, η) je výpltní funkce, která se skládá ze dvou proměnných ξ η, jejíž hodnoty nbývjí hodnot n intervlu < 0, >. Prostory strtegií X, Y se skládjí z distribučních funkcí x(ξ) y(η). Výpltní funkce při volbě x hráče volbě y hráče 2 vypdá tkto: K(x, y) = 0 0 K(ξ, η)dx(ξ)dy(η). (20) Více o distribučních funkcí se dozvíme dále v textu. Definice 3.3. Ryzí strtegie jsou speciální strtegie následujícího tvru x ξ0 (ξ) = { 0 ξ < ξ0, ξ ξ 0. (2) Obecně strtegie x(ξ) v X jsou prvděpodobnostním smíšením ryzích strtegií. K(x, y) předstvuje očekávný výnos hráče pro ryzí strtegie ξ η. Poznámk 3.4. Pro zjednodušení budeme v nšem textu používt tento zápis: K(x, η) pro K(x, y η ); K(ξ, y) pro K(x ξ, y) K(ξ, η) pro K(x ξ, y η ). Slovní interpretce npříkld pro K(x, η) zní následovně: K(x, η) je očekávný výnos hráče, jestliže volí strtegii x jestliže hráč 2 volí ryzí strtegii y η. 6

18 Vzth (9) nám ukzuje, jk máme vypočítt optimální strtegie u nekonečných her. Pokud le hru n jednotkovém čtverci povžujeme z speciální přípd nekonečné hry, lze u ní tké dokázt, že pokud K(x, y) je spojitá, tk k určení optimálních strtegií můžeme opět využít vzth (9). Abychom mohli stnovit optimální strtegie těchto her, musíme si nejdříve ndefinovt určité pojmy. Definice 3.4. Množin všech bodů, které ptří (náleží) nějkému členu posloupnosti {S n } je sjednocení množin všech bodů, které náleží všem členům posloupnosti se nzývá průnik. Tyto dvě množiny znčíme n= S n S n (22) n= respektivě. Poznámk 3.5. Množin bodů ptřících do množiny S zároveň neptřící do množiny S 2 se nzývá rozdíl znčí se S S 2. Definice 3.5. Kždá tříd S, která je podmnožinou R k, se nzývá ditivní podmnožin, jestliže splňuje následující podmínky: ) R k S, 2) P okud S,..., S n S, potom S n S, n= 3) P okud S,..., S n S, potom S S 2 S. Definice 3.6. Nejmenší tříd množin, která obshuje obdélníky v R k se nzývá tříd borelovských množin. Definice 3.7. Nezáporná množinová funkce P je funkce, která je definován n třídě borelovských množin S splňuje následující podmínky ) P (S) 0 S S, 2) P ( S n ) = P (S n ), pokud S n S m = φ, pro n m, n= n= 3) P (S) <, je li soubor S omezen. 7

19 Tříd všech nezáporných funkcí definovných n třídě borelovských množin reálných čísel je ekvivlentní s třídou všech rostoucích funkcí (opět definovných n množině reálných čísel), které jsou spojité zprv. Tto ekvivlence je jednoznčná, pokud ztotožníme dvě rostoucí funkce, které se všude od sebe liší o fixní konstntu. Ekvivlence je zkonstruován následovně. Vezmeme P libovolnou reálnou hodnotu α tk, že: P {ξ α < ξ x} x > α, F (x, α) = 0 x = α, P {ξ x < ξ α} x < α. F (x, α) je rostoucí funkce pro kždé α spojitá zprv. Dále pltí, že jestliže α < α 2, potom F (x, α ) F (x, α 2 ) = P {ξ α < ξ α 2 }. To znmená, že F (x, α ) F (x, α 2 ) se liší o konstntu, nezávisle n x. N druhou strnu můžeme říct, že pokud F (x) bude nějká rostoucí funkce, která bude spojitá zprv, můžeme definovt P {ξ < ξ b} = F (b) F (). Definice 3.8. Jestliže P {ξ < ξ } =, pk se množinová funkce nzývá prvděpodobností mírou. Definice 3.9. Pokud pltí, že F ( ) = 0 F ( ) =, nzývá se funkce F distribuční. Definice 3.0. Ryzí strtegii ξ se říká zákldní, jestliže existuje optimální strtegie x, v jejímž spektru leží ξ. Definice 3.. Pro jkoukoliv distribuční funkci f n reálné ose je spektrum (nosič) definován jko doplněk největší otevřené množiny, ve které se funkce f nevyskytuje. 8

20 Definice 3.2. Strtegie x je strtegie konečného typu, jestliže x je konečnou konvexní kombincí ryzích strtegií, tzn. že spektrum x se skládá z konečného počtu bodů x se reprezentuje jko x = n λ i x ξi, λ i > 0, i= n λ i =. (23) i= Ryzím strtegiím ξ, ξ 2,..., ξ n, které jsou obsžené v x, se říká zákldní s váhmi λ, λ 2,..., λ n. Poznámk 3.6. Z předchozí definice je ptrné, že konečné strtegie jsou ovlivněny jednk volbou jediné hodnoty j z do n dle svých prvděpodobností λ j (j =,..., m) jednk volbou ryzí strtegie ξ j. Vět 3.3. Nechť x 0 y 0 jsou optimální strtegie η 0 je obsženo v nosiči y 0, potom K(x 0, η 0 ) = v, kde v je cen hry. Důkz: Víme, že v = K(x 0, y 0 ) je cen hry že funkce K(ξ, η) je spojitá. Protože x 0 je optimální, tk pltí, že K(x 0, η) v pro 0 η. Budeme předpokládt, že K(x 0, η 0 ) je ostře větší než v, tudíž nerovnost bude pltit pro intervl okolo η 0. Dále pltí, že η 0 je obsžen v nosiči y 0, což znmená, že i příslušný intervl bude kldný pro y 0 míru. Proto pokud budeme integrovt funkci K(x 0, η) vzhledem k dy 0, dostneme že K(x 0, y 0 ) > v, což je ve sporu s tím, že y 0 je optimální. Definice 3.3. Strtegie x se nzývá ekvlizér, jestliže K( x, η) = c, pro 0 η pro nějkou konstntu c. Důsledek 3.. Jestliže x 0 je zcel smíšená optimální strtegie, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér strtegie. Důsledek 3.2. Jestliže kždé ξ v jednotkovém intervlu je zákldní pro hráče, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér. Poznámk 3.7. Hr s výpltní funkcí K(ξ, η) je symetrická, jestliže K(η, ξ) = K(ξ, η). 9

21 Definice 3.4. Dvojice ryzích strtegií {ξ 0, η 0 } je sedlový bod pro hru, jestliže K(ξ 0, η) K(ξ 0, η 0 ) K(ξ, η 0 ), pro 0 ξ, η. (24) Nyní si ukážeme konkrétní příkldy nekonečných definovných n jednotce čtverce. Zvonovité hry Předstvme si válku, kde se ponork S snží uniknout ponorným bombám, které jsou zhzovány z letdl A. Ponork se nchází v moři, jejíž polohu lze njít v intervlu η, kde je fixní konstnt. Letdlo A si je vědomo různých poloh, kde by se dná ponork mohl ncházet. Jestliže poloh ponorky bude (η) letdlo shodí bombu v poloze (ξ), můžeme předpokládt, že škody, které jsou npáchné, jsou proporční tzv. chybové (škodové) funkce: e b(ξ η)2. Pltí, že výpltní funkce je tvru: K(ξ, η) = e λ(ξ η)2, kde λ je prmetr závislý n konstntách, b. Jedná se o tzv. zvonovité hry, jestliže jádro K(ξ, η) = φ(ξ η), kde φ má následující vlstnosti:. φ(u) je nlytická funkce definovná pro všechn reálná u, 2. pro kždé n pro kždý soubor hodnot ξ i η j, tkové že: ξ ξ 2... ξ n η, η 2... η n je determinnt mtice φ(ξ i η j ) kldný, 3. + φ(u)du <. Pokud jsou splněny následující podmínky, existují optimální strtegie. V tomto přípdě φ(u) = e λu2 mohou být tyto optimální strtegie počítány rekursivně s proměnnou λ. Dlší postup řešení je uveden v litertuře [3]. Více informcí o nekonečných hrách se lze dočíst v litertuře [, 3, 5]. Dlším typem nekonečných her definovných n jednotce čtverce jsou hry nčsování. 20

22 Protože tto problemtik bude tvořit podsttnou část diplomové práce, rozhodl jsem se ji uvést smosttně do 4. kpitoly. Jednotlivé modely, definice tvrzení následující kpitoly jsou převzty z litertury [3] jsou doplněny vlstními ilustrtivními příkldy. Dále je ještě nutné podotknout, že podsttnou část následující kpitoly tvoří různá odvozování. Výsledky těchto odvozování jsou uvedeny v litertuře [3], smotný postup odvození le ne. 2

23 4 Hry nčsování Hry nčsování jsou hry, ve kterých výběr ryzích strtegií reprezentují volby doby k provedení určité kce. Předpokládejme, že máme dvě velké zásilkové společnosti obchodující se zbožím. Obě dvě hodljí vydt své roční ktlogy, kde zveřejní nbídku nového zboží. Než dný ktlog zveřejní, musí si tyto společnosti dobře uvědomit, kdy nstne t nejvhodnější dob pro jejich vydání. T společnost, která ktlog uvede dříve, může mít oproti konkurentovi velkou výhodu, neboť si potencionální zákzník nejdříve přečte její nbídku nového zboží n zákldě toho se může rozhodnout o koupi zboží právě z její nbídky. N druhou strnu může nstt situce, že konkurent bude schválně vyčkávt, ž první společnost vydá svůj ktlog, by mohl později využít jeho slbin. Jko druhý příkld se může vyskytnou v oblsti politiky, kdy budeme mít dvě politické strny s různými názory cíly, to těsně před volbmi. Kždá politická strn se snží získt co nejvíce příznivců, kteří ji budou volit. Aby veřejnost přesvědčily o svých záměrech cílech, budou muset v rámci kmpně posílt letáky se svým politickým progrmem. Opět zde vzniká otázk, kdy zhájit dnou kmpň. N některé lidi jejich letáková kmpň nemusí způsobit z toho důvodu, protože jsou již dávno přesvědčeni o tom koho volit. Ale osttní, což může být většin, se rozhodnou právě ž n zákldě zveřejněného politického progrmu. V tkovém přípdě může opět rozhodovt dob zčátku letákové kmpně. Jko poslední příkld her nčsování si uvedeme ze svět cestování. Předstvme si dvě cestovní gentury, které připrvují zájezd pro vysoce postvené osoby ve společnosti (npř. se může jednt o mjitele několik význmných firem v zemi). T gentur, která poskytne zájezd dné osobě, si zjistí finnční odměnu, jeho přízeň možnost doporučení jeho obchodních prtnerů. Mjitel firem se může rozhodnout n zákldě kvlity dného zájezdu, le rovněž může záležet n době, kdy mu rychlejší cestovní společnost dný zájezd nbídne. Pokud první gentur bude ihned zreguje druhá bude vyčkávt, může se stát, že se mjitel firem rozhodne podle nbídky první společnosti. N druhou strnu, příliš rychlá 22

24 nbídk, může vypdt uspěchně nekvlitně. Z mtemtického hledisk jsou hry nčsování popsány jko hry definovné n jednotkovém čtverci jejich výpltní funkce splňuje tři poždvky to:. L(ξ, η) pro ξ < η, K(ξ, η) = φ(ξ) pro ξ = η, M(ξ, η) pro ξ > η. (25) 2. Dále pltí, že kždá z funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) jsou spojité v proměnných ξ η. 3. L(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, M(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, L(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ, M(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ. Proměnné ξ η oznčují dobu obou soupeřů, kdy propukne kce - npříkld, kdy proběhne volební kmpň. Monotónnost funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) nespojitost výpltní funkce, když ξ = η, se může vysvětlit tkto: Jestliže hráč 2 provede kci v pevném (fixním) čse η, hráč si zvyšuje svou šnci n úspěch tím, že čeká tk dlouho, jk to jde, z předpokldu, že hráč jedná před tím než hráč 2. Pokud hráč jedná ž poté, co zčne jednt hráč 2, může ztrtit, pokud hráč 2 bude úspěšný; odsud vyplývá nespojitost v ξ = η. Jkmile hráč 2 jednl, tk potom postupem čsu se šnce n úspěch hráče zvyšují; to je vyjádřeno monotónní funkci M(ξ, η) jko funkci ξ. Obdobné prohlášení pltí i pro hráče 2, protože výhody. hráče způsobují nevýhody 2. hráče. Existují 2 skupiny her nčsování:. První skupinou se nzývjí hry s kompletními informcemi, kdy funkce L(ξ, η) je funkci pouze ξ M(ξ, η) je funkci pouze η. Myšlenku kompletních informcí je třeb chápt v tom smyslu, že když hráč zčne, jeho 23

25 kce následky jsou soupeři známy. Jedná se npříkld o konkurenci dvou cestovních knceláří, která byl popsán v úvodu (vědělo se, že mohou přijít o odměnu). 2. Druhá skupin se skládá ze všech her nčsování mimo třídu. Jedná se o hry, ve kterých L(ξ, η) nebo M(ξ, η) nebo obě explicitně závisí n obou proměnných ξ η. V těchto hrách pltí prvidlo, že ob soupeři nvzájem neznjí dobu kce její následky. Optimální strtegie zde zhrnují skutečnou náhodnost ryzích strtegií. V dlších kpitolách nrzíme n hry jk s kompletními informcemi, tk i hry s nekompletními informcemi. 4. Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče, jk už bylo zmíněno v předchozí kpitole, jsou důležitou třídou her, které jsou definovány n jednotkovém čtverci. Už ze smotného názvu poznáme, že se bude jednt o duely, při kterých ob hráči budou mít pouze jednu možnost pro provedení své kce. Hodnoty 0 ξ pro hráče 0 η pro hráče 2 předstvují možné čsy, během kterých mohou být provedeny určité kce (dob výstřelu, podpis smlouvy, td.). Pro lehké nstínění této problemtiky si můžeme předstvit následující ideální model. Máme dvě nepřátelské osoby, které budou mít k dispozici jednu jednotku plebné síly. To znmená, že kždý hráč má jednu možnost zsáhnout svého protihráče, s vědomím, že jeho přesnost - tzn. jeho šnce n úspěšnou střelbu - se zvyšuje s čsem. Ve hře tohoto typu záleží úspěch hlvně n pořdí, ve kterém hráči hrjí n jejich příslušném stupni úspěchu. Kždý hráč si zjevně přeje odložit kci n tk dlouho jk je to možné, by zvýšil svou možnost úspěchu, le zároveň si nepřeje opozdit se n tk dlouho, že ho jeho soupeř může předejít s efektivností. Optimální strtegie zde vyjdřují správnou rovnováhu mezi touhou po zpoždění nebezpečím prodlevy. Četné verze válečných her nčsování mohou být vyjádřeny z hledisk toho, jké informce má hráč o činnosti svého protihráče. V úvodu jsme zmínili, že se 24

26 jedná o hru definovnou n jednotkovém čtverci, proto i tto hr bude spojen s výpltní funkcí K(ξ, η), která musí opět splňovt nám už známé tři vlstnosti, které jsou uvedeny v souvislosti se vzthem (25). Nyní si ukážeme několik typů her nčsování, které mohou nstt. 4.. Hlučný souboj Tento souboj je chrkterizován tím, že oběm dvěm protihráčům je dovoleno vystřelit pouze jednou (nutná podmínk), nvíc budeme předpokládt, že mjí tzv. hlučné zbrně. Jinými slovy to znmená, že ob dv soupeři ví, jestli už protihráč vystřelil nebo ne. Termín hlučný bude obecně používán k oznčení stvu kompletní informce, tzn. situce, kdy kždý hráč ví, kdy osttní hrjí. Předpokládá se, že funkce přesnosti P (ξ) (prvděpodobnost úspěchu) pro hráče je spojitá neklesjící v ξ, s P (0) = 0 P () =. Přesnost hráče 2 je popsán podobně, jedná se zde opět o spojitou neklesjící funkci P 2 (η), s hodnotmi P 2 (0) = 0 P 2 () =. Jestliže hráč zsáhne hráče 2, předpokládá se, že hodnot výhry pro hráče bude +, jestli tomu bude nopk, bude jeho hodnot opčná (-). Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot pro hráče, když ob dv hráči použijí ryzí strtegie ξ η. Jestliže ξ < η, prvděpodobnost hráče že zsáhne hráče 2 je P (ξ) hodnot bude P (ξ). Nopk když mine, bude to znment prvděpodobnost s hodnotou P (ξ). Skutečnost, že obě dvě zbrně jsou hlučné, nám ovlivní strukturu výpltní funkce. Můžou zde nstt některé situce, které mohou šnce n úspěch ještě zvýšit. Npříkld, když hráč 2 ještě nevystřelí, le ví, že hráč už nemůže vystřelit znovu, může zvýšit své šnce n úspěch čekáním. Dokud η =. Proto, jestliže hráč mine v ξ, je si jistý tím, že bude zsžen hráčem 2, pokud ξ < η. Tyto zákldní pozntky si můžeme shrnout do následujícího vzthu: L(ξ, η) = P (ξ) + ( )[ P (ξ)] (ξ < η). Obdobně pltí M(ξ, η) = P 2 (η)( ) + [ P 2 (η)]() (ξ > η) 25

27 φ(ξ) = P (ξ)[ P 2 (ξ)]() + P 2 (ξ)[ P (ξ)]( ) (ξ = η). V posledním vzorci se předpokládá, že ob protihráči vypálí zároveň úspěšně nebo neúspěšně, popř. jeden z nich se trefí druhý ne. Hodnot je tudíž 0. Předchozí vzthy si můžeme zjednodušit vyjádříme si je jko: 2P (ξ) pro ξ < η, K(ξ, η) = P (ξ) P 2 (ξ) pro ξ = η, (26) 2P 2 (η) pro ξ > η. Výpltní funkce K(ξ, η) nám určuje hru nčsování třídy (hlučný souboj). Z (26) lze usoudit, že hodnot u η = ξ je průměr hodnot dosžených funkcemi L M. Nyní si tuto problemtiku ukážeme n konkrétním příkldě. Příkld 4.. Máme obchodník s nemovitostmi, který nyní prodává luxusní vilu. Tuto vilu chce nutně prodt, poněvdž nemá peníze n jeho zbylý mjetek mu hrozí exekuce. O tuto vilu projevili zájem dv zhrniční mgnáti. Obchodník si ob dv mgnáty pozve do této vily poskytne jim určitý čs n prohlídku budovy. Ob mgnáti (dále hráči) mohou během této doby učinit nbídku ke koupi tohoto objektu. Pokud nstne situce, že některý z hráčů vysloví nbídku ke koupi vily, le smotný prodej se nevydří, nemá již dný hráč nárok svou nbídku opkovt. V tomto přípdě se o neúspěchu prvního hráče dozví hráč druhý, který z logického hledisk se svou nbídkou počká ž uplyne určená dob n prohlídku objektu. Vzniká zde otázk, v jkém čsovém okmžiku bude nejlepší vyslovit nbídku n tuto koupi. Smotné řešení příkldů spočívá v některých předpokldech. Zájem o prodej jednotlivým hráčům bude zde popsán pro kždého hráče neklesjícími funkcemi. Pro hráče to bude funkce P (ξ) pro hráče 2 to bude funkce P 2 (η). Obě dvě tyto funkce popisují prvděpodobnost prodeje vily určitému hráči v určitém čse - pro hráče je okmžik prodeje popsán proměnnou ξ, pro hráče 2 η. Dále ze zdání vyplývá, že funkce P (ξ) P 2 (η) jsou definovány n intervlu 0, to z 26

28 tkového důvodu, že v čse 0 zčíná prohlídk vily v čse končí prohlídk. Z toho důvodu zde pltí P (0) = P 2 (0) = 0 P () = P 2 () =. Už ze smotného zdání je ptrné, že se jedná o tzv. hlučný souboj. Jelikož se pohybujeme čsově n intervlu 0,, jsou prostory strtegií jednotlivých hráčů definovány jko množiny G = {ξ; ξ 0, }, H = {η; η 0, }. (27) Mohou zde nstt 3 přípdy situcí:. Pro čsový okmžik ξ < η to znmená, že hráč uskutečnil nbídku dříve než hráč Pro čsový okmžik ξ = η to znmená, že ob dv hráči uskuteční nbídku ve stejný čs. 3. Pro čsový okmžik ξ > η to znmená, že hráč 2 uskutečnil nbídku dříve než hráč. Víme, že výpltní funkce má chování náhodné veličiny, tudíž bude střední hodnot závislá n proměnných ξ η. Jedná se o hru s prostory strtegií (27) s výpltními funkcemi (26). Pro tuto hru pltí, že má řešení v ryzích strtegií nvíc pro optimální strtegie pltí: ξ 0 = η 0 = z. (28) Hodnotu z jsme schopni vypočítt z rovnice: P (z) + P 2 (z) =. (29) Jinými slovy pltí, že optimální by bylo, kdyby ob dv mgnáti vyslovili svou nbídku ke koupi součsně. Hodnot z v tomto přípdě reprezentuje určitý čs prohlídky budovy cen hry má tudíž tvr P (z) P 2 (z). Abychom mohli říci, že vzthy (28) (29) splňují podmínku optimálních strtegií, čili musíme dokázt, že pltí: K(ξ, z) P (z) P 2 (z) K(z, η). (30) 27

29 Tento vzth musí pltit pro všechn ξ η, kde ξ 0, η 0,. V této práci si ověříme prvou nerovnost, protože obě dvě nerovnosti se dokzují nlogicky nvíc, důkz n levou nerovnost je uveden v litertuře [5]. Abychom správně ověřili prvou nerovnost, musíme nejdříve rozlišit tři přípdy, které mohou nstt pro proměnnou z. Pro z < η pltí, že K(z, η) = 2P (z). Po využití vzthu (26) lze následně uprvovt: P (z) P 2 (z) 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z) + 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). Zde jsme si dokázli, že prvá nerovnost (30) pltí jko rovnost. 2. Když z = ξ, pk je zřejmé, že i v tomto přípdě nerovnost pltí jko rovnost: P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). 3. Pro z > η pltí, že K(z, η) = 2P 2 (η). Opět využijeme vzth (26) dostneme: P (z) P 2 (z) 2P 2 (η) P (z) P 2 (z) P (z) + P 2 (z) 2P 2 (η) 2P 2 (z) 2P 2 (η) P 2 (z) P 2 (η). I pro tento přípd nerovnost pltí, protože v zdání jsme si uváděli několik předpokldů mezi ně ptřilo npř. to, že funkce P 2 (η) je neklesjící. Zkusíme si vypočítt řešení pro konkrétní funkce P (ξ) P 2 (η). Nechť P (ξ) = ξ 2 pro ξ 0,, P 2 (η) = η 2 pro η 0,. 28

30 Pokud tyto funkce dosdíme do (29), vyjde nám, že z = 2. = 0, 7. Znmená to, že nejoptimálnější bude pro ob dv mgnáty, by svou nbídku řekli součsně. A to v době, jkmile uplyne 0, 7 čsu od zhájení prohlídky. Myslí se to tk, že pokud budou mít n prohlídku vily jednu hodinu, měli by se ozvt, jkmile uplyne 43 minut (0, 7 60) Tichý souboj U tohoto souboje je opět hráčům dovoleno vystřelit pouze jednou. Je zde ovšem změn to tková, že obě dvě zbrně jsou vybveny tlumiči. Čili žádný soupeř nemůže určit, zd jeho protihráč vypálil nebo ne. Předpokládejme situci, že přesnost (prvděpodobnost úspěchu) je dán P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ, tudíž výpltní funkce je popsán následovně: ξ ( ξ)η pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, ξ( η) η pro ξ > η. (3) Odvozování této výpltní funkce je podobné jko u předchozího hlučného souboje. Nejdříve budeme brát situci, že hráč vystřelil dříve než hráč 2 (ξ < η). Pokud hráč zsáhne hráče 2, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot výhry hráče opět bude mít chrkter náhodné veličiny. Střední hodnot tudíž bude ξ ( ξ)η. Opčná situce nstne, pokud hráč vystřelí později než hráč 2 (η < ξ). Pokud hráč 2 zsáhne hráče, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude mít opět chrkter náhodné veličiny střední hodnot bude ξ( η) η. Pokud se stne, že ob dv hráči vystřelí njednou (ξ = η), mohou nstt 4 situce. Buď se ob dv trefí nebo minou, nebo jeden z nich se trefí druhý mine. V tomto přípdě očekávná hodnot výhry bude vždy 0. Výpltní funkce tohoto tichého souboje má jednu důležitou vlstnost to tkovou, že zde pltí: K(ξ, η) = K(η, ξ). Jinými slovy to znmená, že tichý 29

31 souboj (když P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ) je hr symetrická. Hodnot hry je proto 0 jkákoliv strtegie, která je optimální pro jednoho hráče, tk je optimální i pro hráče druhého. Tichý souboj ptří mezi hry nčsování druhé třídy (funkce L(ξ, η) M(ξ, η) závisí n obou proměnných ξ η). Její form je stejná jko v přípdě (25), kde L(ξ, η) = ξ η + ξη, M(ξ, η) = ξ η ξη, dále pro jednotlivá ξ η pltí L ξ (ξ, η) = + η > 0, L 0 ξ, η < = η (ξ, η) = + ξ < 0, M ξ (ξ, η) = η > 0, M η (ξ, η) = ξ < 0. Funkce L ξ M ξ oznčují prciální derivci podle ξ; L η M η mjí podobný význm. Z toho důvodu jsou funkce L(ξ, η), M(ξ, η) rostoucí v ξ klesjící v η n jednotce intervlu 0,. Protože ob dv hráči neví, kdy soupeř provede dnou kci, může kždý z nich čekt n úspěch plný čsový intervl. A proto, rozumný první odhd má optimální strtegii tvořenou hustotou n intervlu ; (přípdně v bodě ). Ukážeme si následující možný příkld z prxe uvedeme jeho řešení. Příkld 4.2. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během těchto dvou dnů prodt. Firm není nijk zujtá vůči zhrničí, proto je jí jedno, zd prodá tento telefon právě tm nebo do tuzemsk. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění dlší nbídky. Protože dný telefon vyrobil firm, které je 30

32 jedno, kdo bude kupcem, nebude mít žádný zákzník výhodu. Aby jednotlivé nbídky probíhly v nonymitě, rozhodl se tto firm, že pokud nějký zákzník vysloví nbídku dříve, druhá strn se nic nedozví. Vzniká zde otázk, kdy ob dv zákzníci mjí učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Nyní si ukážeme postup, jk lze njít optimální strtegie tohoto souboje: Budeme hledt optimální strtegie, které jsou v následujících tvrech: x 0 (ξ) = ξ f(t)dt, y 0 (η) = η g(t)dt. Poždvek konstntního výnosu v může být splněn pouze v intervlu ;. Vět 3.2. nám udává podmínku pro optimlitu tudíž podle této věty pltí K(ξ, η)dx 0 (ξ) = K(ξ, η)f(ξ)dξ = v = 0 (32) pro všechn η ;. Z důvodu symetričnosti, je konstntní výnos roven 0. Pokud si funkci K(ξ, η) vyjádříme v explicitním tvru (využijeme vzth (3)), bude předcházející rovnice vypdt následovně η (ξ η + ξη)f(ξ)dξ + η (ξ η ξη)f(ξ)dξ 0. (33) Pltí vzth f(ξ)dξ =. (34) Při využití předchozího vzthu, můžeme vzth (33) přepst následovně η ξf(ξ)dξ + η ξf(ξ)dξ η 3 η ξf(ξ)dξ η f(ξ)dξ 0

33 η ξf(ξ)dξ η + η ξf(ξ)dξ η η ξf(ξ)dξ 0. (35) Abychom mohli dále uprvit dnou integrální rovnici n diferenciální rovnici, bylo by dobré si uvést 2 věty, dle kterých budeme postupovt. Jedná se o věty, které nám říkjí, jk derivovt integrál jko funkci horní meze. Vět 4.. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce x f(t)dt je spojitá v intervlu, b. c 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d x ) f(t)dt = f(x). (36) dx c Vět 4.2. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce c f(t)dt je spojitá v intervlu, b. x 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d c ) f(t)dt = f(x). (37) dx x V dlším kroku využijeme předchozí věty převedeme si integrální rovnici (35) n diferenciální rovnici. Pro zjednodušení použijeme substituci r(ξ) = ξf(ξ). Výpočet je následující: d η dη : + r(ξ)dξ + ηr(η) + η r(ξ)dξ + 2ηr(η) 32 η η r(ξ)dξ + ηr(η) = 0 r(ξ)dξ = 0.

34 V dlším kroku opět využijeme předchozí věty budeme derivovt podruhé d dη : r(η) + 2r(η) + 2ηr (η) + r(η) = 0. Získáme tk tuto lineární diferenciální rovnici Postup výpočtu této rovnice si opět ukážeme 2ηr (η) + 4r(η) = 0. (38) 2ηr (η) + 4r(η) = 0 / : 2η r (η) + 2 η r(η) = 0 ln r(η) = 2ln η + ln k r(η) = e ln η 2 k r(η) = kη 2. (39) Získli jsme tudíž obecné řešení. Po doszení zpět do substituce dostneme, že f(ξ) = kξ 3. Pokud dosdíme f(ξ) = kξ 3 do (35), získáme následující rovnici ( k ) ( η kη η ) η ( + k ) + k ( + kη ) 0 η ( + k 3 + ) 0, η. (40) Tto identit pltí pouze tehdy, jestliže = k =. Dále musíme ověřit, že 3 4 hodnoty k splňují omezení (34). f(ξ)dξ = ( k 2 ) =. (4)

35 A po doszení konkrétních hodnot vidíme, že tto rovnice (popř. toto omezení) pltí. Můžeme pk npst, že hustot optimální strtegie x 0 vypdá tkto pokud se prokáže, že { 0 0 ξ < f(ξ) =, 3 4 ξ 3 ξ, (42) 3 K(ξ, η)f(ξ)dξ > 0 pro všechn η <. Tto skutečnost vyplývá ovšem jko důsledek monotónních vlstností výpltní funkce. Skutečně, pro η <, přičemž d dη K(ξ, η)f(ξ)dξ = M η f(ξ)dξ 0, K(ξ, η)f(ξ)dξ je spojitý pro všechny η je nulový v η =. Proto tvrdíme, že integrál K(ξ, η)f(ξ)dξ je kldný. Jk už bylo zmíněno v úvodu, jedná se o hru symetrickou, tudíž stejná strtegie je optimální i pro hráče 2. Důležitým ukztelem hustoty optimální strtegie je spektrum. Toto spektrum nám udává, kdy nejdříve propukne dná kce, npříkld, kdy dný hráč vystřelí. Intervl spektr se mění v závislosti n prvděpodobnostní funkci úspěchu. Doposud jsme se bvili o situci, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Nyní si ukážeme ještě dv typy těchto funkcí zjistíme hodnotu spektr. Protože se jedná o různé typy prvděpodobnostních funkcí úspěchu, bude se kždý přípd řešit pomocí příslušného modelu, n jehož zákldě se vytvoří příslušné integrální rovnice Vezmeme přípd, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Příslušné integrální rovnice vy- 2 ξ 34

36 pdjí K(ξ, η)f(ξ)dξ v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη v ( ξ ). V druhém přípdě bude pltit, že P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ 2. Příslušné integrální rovnice budou vypdt K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). Hodnot α resp. β předstvuje váhu (neboli prvděpodobnost), že hráč resp. hráč 2 bude čekt se svým výstřelem ž do konce. Jelikož jsou prvděpodobnostní funkce úspěchu složitější, bude jejich postup řešení dleko obtížnější než doposud, uvedeme si zde jenom výsledky řešení. Dnou tbulku jsem použil z [3]. P (ξ) ξ 3 ξ 0,44 2 ξ ξ 2 0,48 Nejdříve se musíme přesvědčit, zd dné funkce splňují podmínku to tkovou, že P (0) = 0 P () =, což lze jednoduše ověřit, že pltí. Dále lze zjistit, že ξ > ξ 2 ξ > ξ2 pro ξ (0; ). N druhou strnu o jednotlivých spektrech se dá říct, že < 0, 44 < 0, 48. Tento fkt si můžeme okomentovt následovně. 3 Čím je hodnot prvděpodobnostní funkce úspěchu vyšší v určitém čsovém okmžiku, tím zčíná intervl spektr optimální strtegie dříve. Znmená to tedy, že čím vyšší prvděpodobnost záshu v dnou dobu u hráče existuje, tím dřívější výstřel můžeme od něho čekt. 35

37 4..3 Tichý-hlučný souboj Tto situce je kombince obou dvou předchozích soubojů. Budeme předpokládt, že hráč má tichou zbrň hráč 2 má zbrň hlučnou. Jinými slovy to znmená, že první hráč ví, kdy druhý hráč vystřelil, le ne nopk. Tudíž hráč bude ve výhodě. Opět si tuto situci znázorníme v přípdě, kdy funkce přesnosti budou P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Jk už bylo zmíněno n zčátku, že se jedná o kombinci tichého hlučného souboje, tk tké výpltní funkce bude touto kombincí ovlivněn. Výpltní funkce L(ξ, η) bude reprezentovt tichý souboj výpltní funkce M(ξ, η) hlučný souboj. Dále zde opět pltí t situce, že pokud ob dv hráči vystřelí njednou, je hodnot výpltní funkce 0. A to v přípdě záshu či minutí. Dohromdy bude výpltní funkce vypdt následovně ξ η + ξη pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, 2η pro ξ > η. (43) Když jsme hledli optimální strtegie u tichého souboje, ukázli jsme si určitý postup. Tento postup budeme tké plikovt n hledání optimálních strtegií u tohoto souboje. Budeme hledt strtegie x 0 (ξ), která se skládá z části hustoty f(ξ) n intervlu ; s váhou α v ξ =, y 0 (η) skládjící se z části hustoty g(η) n tom smém intervlu s váhou β v η =. Nyní se opět vrátíme k příkldu 4.2, u kterého pozměníme zdání tímto ho převedeme do ticho-hlučného souboje. N závěr si zjištěné informce okomentujeme. Příkld 4.3. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během následujících dvou dnů prodt. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk, kdežto zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění 36

38 dlší nbídky. Zákzník z tuzemsk má u zhrničního zákzník špión. Kvůli němu bude mít zhrniční zákzník vůči tuzemskému hndicp spočívjící v podsttné věci. Pokud nbídku učiní zákzník z tuzemsk, zhrniční zákzník se o ní nedozví, le pokud nstne opčná situce to, že nbídku učiní zhrniční zákzník, tuzemský odběrtel se tuto informci vždy od svého špión dozví. Vzniká zde otázk, v jkou dobu mjí ob dv zákzníci učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Při nlezení optimálních strtegií budeme postupovt stejně jko to bylo u tichého souboje. Postup Nejdříve si opět npíšeme, jk budou vypdt příslušné integrální rovnice. K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), (44) K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). (45) Pokud z K(ξ, η) dosdíme konkrétní výpltní funkce, dostneme t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v ( t < ), (46) t ( 2η)g(η)dη + t (t η + tη)g(η)dη + β(2t ) v ( t < ). (47) S využitím vět (4.) (4.2) převedeme tyto integrální rovnice n diferenciální rovnice. Protože se jedná o složitější převod než v přípdě tichého souboje, ukážeme si ještě jednu větu, která nám tento převod usndní. Vět 4.3. Předpokládejme, že funkce f : P R je spojitá má spojité prciální derivce f y n obdélníku P = {(x, y) R2 ; x b c y d}. Dále 37

39 předpokládejme, že α(y) β(y) mjí spojitě diferencovtelné funkce n c, d, jejichž hodnoty leží v, b pro kždé y c, d, potom integrál F (y) = β(y) α(y) f(x, y)dx je definován pro kždé y c, d funkce F (y) je spojitě diferencovtelnou funkcí, přičemž pltí F (y) = f(β(y), y)β (y) f(α(y), y)α (y) + Důkz: Důkz této věty je uveden v [9]. β(y) α(y) f (x, y)dx. (48) y Nyní převedeme rovnice (46) (47) pomocí věty 4.3 n rovnice diferenciální. Jednotlivé převody těchto rovnic jsou nlogické, proto si zde uvedeme postup pro první rovnici. Rovnici (46) si nchystáme, bychom pk mohli použít větu 4.3. Pltí, že F (t) = t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t Využitím vzthu (48) dostneme ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v. F (t) = [(ξ t+ξt)f(ξ)] ξ=t + 2α 0, t ( +ξ)f(ξ)dξ [( 2t)f(ξ)] ξ=t + t 2f(ξ)dξ použijeme druhou derivci dle t získáme d dt : 2tf(t) + t2 f (t) + ( + t)f(t) [ 2f(t) + ( 2t)f (t)] + 2f(t) 0. 38

40 Po vytknutí nvrácení se zpět k proměnné ξ dostneme 3( + ξ)f(ξ) + (ξ 2 + 2ξ )f (ξ) = 0. (49) Po totožných úprvách vzthu (47) obdržíme ( 2η η 2 )g (η) 3( + η)g(η) = 0. (50) Dlším krokem bude opět stnovit obecné řešení těchto diferenciálních rovnic, které nám budou chrkterizovt hustoty funkcí pro optimální strtegie. Jelikož mjí podobnou strukturu, ukážeme postup výpočtu (49). Rovnice je lineární homogenní. f (ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ f(ξ) 3ξ + 3 df(ξ) = f(ξ) ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) df(ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) = k (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 (5) Vzth (50) se počítá nlogicky, proto si uvedeme pouze výsledek g(η) = k 2 (η 2 + 2η ) 3/2 (52) Abychom mohli zjistit úplné (konečné) řešení, musíme vypočítt neznámé konstnty, v, α, β, k k 2. Rovnice (46) (47) nám reprezentují rovnosti pro ξ η. Nyní si uvedeme 2 integrály, které využijeme v dlším odvozováním. ξ + dξ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 39

41 Tento integrál řešíme pomocí tzv. substituce ξ 2 + 2ξ = t 2 (2ξ + 2)dξ = 2tdt t = ξ 2 + 2ξ. Po využití této substituce dostneme integrál t 2 dt. Pk po zintegrování nvrácení se k původní proměnné dostneme, že ξ + (ξ 2 + 2ξ ) dξ = + c. (53) 3/2 ξ2 + 2ξ Druhý integrál je o trochu složitější řeší se přes tři substituce. Opět si ukážeme stručný postup dξ (ξ 2 + 2ξ ) = 3/2 dξ ((ξ + ) 2 2) 3/2 Nejdříve si zvedeme první substituci získáme zvedeme si druhou substituci x = ξ + dx = dξ, dξ (x 2 2) 3/2 x = t dx = t 2 dt, 40

42 přičemž získáme dt t 2 (( t )2 2) = 3/2 tdt ( 2t 2 ) 3/2. Nkonec si zvedeme třetí substituci 2t 2 = u 4tdt = du tdt = 4 du. Obdržíme integrál, ve kterém už nemusíme zvádět substituci, doszením z substituci se doprcujeme k výsledku 4 du u = 3/2 2 ( 2t 2 ) + c = x /2 2 x2 2 + c. Po doszení z první substituci dostneme, že dξ (ξ 2 + 2ξ ) = ξ + 3/2 2 ξ2 + 2ξ. (54) Jestliže nhrdíme hodnoty f(ξ) g(η) vzthy (5) (52) dosdíme je do (46) (47) získáme dvě rovnice. V jednotlivých postupech využijeme právě pomocné integrály, které jsme odvodili. Opět v obou dvou rovnicích se objevuje nlogický postup, proto si podrobněji odvodíme jen rovnici vycházející ze vzthu (46). Pro zjednodušení jsme si zvedli substituci, ve které P () = Postup odvození je následující: Po doszení získáme výrz t (ξ t+ξt)k dξ+ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 t ( 2t)k dξ+α( 2t) v. (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 4

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013,

NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.4.2013 C(2013) 2420 finl NAŘÍZENÍ KOMISE V PŘENESENÉ PRAVOMOCI (EU) č. /.. ze dne 30.4.2013, kterým se mění nřízení (ES) č. 809/2004, pokud jde o poždvky n zveřejňování

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Virtuální svět genetiky 1

Virtuální svět genetiky 1 Chromozomy obshují mnoho genů pokud nejsou rozděleny crossing-overem, pk lely přítomné n mnoh lokusech kždého homologního chromozomu segregují jko jednotk během gmetogeneze. Rekombinntní gmety jsou důsledkem

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Gaussovská prvočísla

Gaussovská prvočísla Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, 658 70 Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium

Více

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík

Základy vyšší matematiky(nejen) pro arboristy. Robert Mařík Zákldy vyšší mtemtiky(nejen) pro rboristy Robert Mřík 2.září2014 Ústv mtemtiky lesnická dřevřská fkult Mendelov univerzit v Brně E-mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik Podpořeno projektem

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinaci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Národní orgán pro koordinci POKYN PRO TVORBU A OBSAH ZPRÁVY O REALIZACI OPERAČNÍHO PROGRAMU PRO MONITOROVACÍ VÝBOR ŘÍJEN 2014 MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ Odbor řízení

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti

Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk 5.1.1. Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. "Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice

PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE. Poradenství a vzdělávání při zavádění moderních metod řízení pro. Město Klimkovice PÍSEMNÁ ZPRÁVA ZADAVATELE pro zjednodušené podlimitní řízení n služby v rámci projektu Hospodárné odpovědné město Klimkovice, reg. č. CZ.1.04/4.1.01/89.00121, který bude finncován ze zdrojů EU "Pordenství

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

1. Vznik zkratů. Základní pojmy.

1. Vznik zkratů. Základní pojmy. . znik zkrtů. ákldní pojmy. E k elektrizční soustv, zkrtový proud. krt: ptří do ktegorie příčných poruch, je prudká hvrijní změn v E, je nejrozšířenější poruchou v E, při zkrtu vznikjí přechodné jevy v

Více

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela zpětná vazba, stabilita a oscilace Jiří Petržel zpětná vzb, stbilit oscilce zpětná vzb, stbilit oscilce zpětnou vzbou (ZV) přivádíme záměrněčást výstupního signálu zpět n vstup ZV zásdně ovlivňuje prkticky všechny vlstnosti dného zpojení

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui

Stavební firma. Díky nám si postavíte svůj svět. 1.D Klára Koldovská Šárka Baronová Lucie Pancová My Anh Bui Stvební firm Díky nám si postvíte svůj svět. 1.D Klár Koldovská Šárk Bronová Lucie Pncová My Anh Bui Obsh 1) Úvod 2) Přesvědčení bnky 3) Obchodní jméno, chrkteristik zákzník, propgce 4) Seznm mjetku 5)

Více

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004.

ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Zatížení konstrukcí Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha : ČNI, 2004. STÁLÁ UŽITNÁ ZTÍŽENÍ ČSN EN 1991-1-1 (Eurokód 1): Ztížení konstrukcí Objemové tíhy, vlstní tíh užitná ztížení pozemních stveb. Prh : ČNI, 004. 1. Stálá ztížení stálé (pevné) ztížení stvebních prvků zhrnuje

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí.

10. Nebezpečné dotykové napětí a zásady volby ochran proti němu, ochrana živých částí. 10. Nebezpečné dotykové npětí zásdy volby ochrn proti němu, ochrn živých částí. Z hledisk ochrny před nebezpečným npětím rozeznáváme živé neživé části elektrického zřízení. Živá část je pod npětím i v

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: KOPPA, v.o.s., se sídlem Mozrtov 679/21, 460 01 Liberec, ustnovená prvomocným Usnesením č.j. KSUL 44 INS 5060/2014-A-13, ze dne 04. dubn 2014, insolvenčním správcem

Více

Národní centrum výzkumu polárních oblastí

Národní centrum výzkumu polárních oblastí Národní centrum výzkumu polárních oblstí Dohod o spolupráci při výzkumu polárních oblstí Země Msrykov univerzit Žerotínovo nám. 9, 601 77 Brno, IČ 00216224, zstoupená rektorem Prof. PhDr. Petrem Filou,

Více

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school

Příprava žáků k přijímacím zkouškám z matematiky na střední školu. Preparing students for entrance exams in mathematics at high school Technická univerzit v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚHUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Ktedr: Studijní progrm: Studijní obor: Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky N750 Učitelství pro zákldní školy Učitelství fyziky pro.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

visual identity guidelines Česká verze

visual identity guidelines Česká verze visul identity guidelines Česká verze Osh 01 Filosofie stylu 02 Logo 03 Firemní rvy 04 Firemní písmo 05 Vrice log 06 Komince rev Filosofie stylu Filozofie společnosti Sun Mrketing vychází ze síly Slunce,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

Studijní materiál PASCAL

Studijní materiál PASCAL Obsh Studijní mteriál PASCAL /76 Obsh Obsh Algoritmus 5 Vlstnosti lgoritmu 5 Metod návrhu lgoritmu 5 3 Rekurzivní lgoritmy 5 4 Překldč jeho struktur 6 4 Druhy překldčů 6 4 Hlvní části překldče 6 Jzyk Pscl

Více

Podmínky externí spolupráce

Podmínky externí spolupráce Podmínky externí spolupráce mezi tlumočnicko překldtelskou genturou Grbmüller Jzykový servis předstvující sdružení dvou fyzických osob podniktelů: Mrek Grbmüller, IČO: 14901820, DIČ: CZ6512231154, místo

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích

Kapitola 1. Formální jazyky. 1.1 Formální abeceda a jazyk. Cíle kapitoly: Cíle této části: Klíčová slova: abeceda, slovo, jazyk, operace na jazycích Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech.

Více

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ

SMLOUVU O UZAVŘENÍ BUDOUCÍ SMLOUVY KUPNÍ Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: se sídlem: Koterovská 633/29, 326 00 Plzeň, ustnovený prvomocným Usnesením č.j. KSPL 54 INS 378/2012-A-19 ze dne 29.3.2012, insolvenčním správcem dlužník:. prvomocným

Více

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník

Smlouva o partnerství s finančním příspěvkem uzavřená podle 1746 odst. 2 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník Smlouv o prtnerství s finnčním příspěvkem uzvřená podle 1746 odst. 2 zákon č. 89/2012 Sb., občnský zákoník Článek I Smluvní strny PROFIMEDIA s.r.o. sídlo: tříd Spojenců 550/18, 74601 Opv - Předměstí zpsná

Více

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10)

Ke schválení technické způsobilosti vozidla je nutné doložit: Musí být doložen PROTOKOL O TECHNICKÉ KONTROLE? ANO NE 10) ÚTAV INIČNÍ A MĚTKÉ DPRAVY.s., Prh 4,Chodovec, Türkov 1001,PČ 149 00 člen skupiny DEKRA www.usmd.cz,/ Přehled zákldních vrint pltných pro dovoz jednotlivých vozidel dle zákon č.56/2001b. ve znění zákon

Více

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky.

Přímá montáž SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ. Hilti. Splní nejvyšší nároky. SPŘAHOVÁNÍ OCELOBETONOVÝCH STROPŮ Hilti. Splní nejvyšší nároky. Spřhovcí prvky Technologie spřhovcích prvků spočívá v připevnění prvků přímo k pásnici ocelového nosníku, nebo připevnění k pásnici přes

Více

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM

ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM ZATÍŽENÍ KRUHOVÝCH ŠACHET PROSTOROVÝM ZEMNÍM TLAKEM Ing. Michl Sedláček, Ph.D. ko-k s.r.o., Thákurov 7, Prh 6 Sptil erth pressure on circulr shft The pper present method for estimtion sptil erth pressure

Více

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012

Ulice Agentura sociální práce, o. s. Účetní závěrka za rok 2012 Ulice Agentur sociální práce, o. s. Účetní závěrk z rok 2012 Osh: I. OBECNÉ INFORMACE... 2 1. POPIS ÚČETNÍ JEDNOTKY... 2 2. ZAMĚSTNANCI A OSOBNÍ NÁKLADY... 2 3. POSKYTNUTÉ PŮJČKY, ZÁRUKY ČI JINÁ PLNĚNÍ...

Více

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING

PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING PŘEDSTAVENÍ APLIKACE SMARTSELLING CO JE TO SMARTSELLING SmartSelling je první kompletní nástroj n[ českém [ slovenském trhu, který pod jednou střechou spojuje všechny nezbytné nástroje moderního online

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla

Dobývání znalostí z databází (MI-KDD) Přednáška číslo 4 Asociační pravidla Dobývání znlostí z dtbází (MI-KDD) Přednášk číslo 4 Asociční prvidl (c) prof. RNDr. Jn Ruch, CSc. KIZI, Fkult informtiky sttistiky VŠE zimní semestr 2011/2012 Evropský sociální fond Prh & EU: Investujeme

Více

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT

SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT POLICEJNÍ AKADEMIE ČESKÉ REPUBLIKY V PRAZE AKADÉMIA POLICAJNÉHO ZBORU V BRATISLAVE pořádjí ČTVRTOU VIRTUÁLNÍ VĚDECKOU KONFERENCI s mezinárodní účstí SCIENTIFIC REFLECTION OF NEW TRENDS IN MANAGEMENT PRAHA

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky ..7 Příkldy řešené pomocí ět pro trojúhelníky Předpokldy:, 6 Pedgogická poznámk: U následujících příkldů ( u mnoh dlších příkldů z geometrie) pltí, že nedílnou součástí řešení je nápd (který se tké nemusí

Více

Český jazyk a literatura

Český jazyk a literatura Český jzyk litertur Chrkteristik předmětu Předmět je rozdělen n tři disciplíny literární výchovu, jzykovou výchovu ční slohovou výchovu, které tvoří svébytné celky, le zároveň jsou ve výuce čsto propojovány.

Více

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I 3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost

Více

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td

Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Budoucnost zvzuje Monitorování zbytkové vlhkosti do -90 C td Nový senzor, odolný proti kondenzci s technologií sol-gel Nejvyšší poždvky n tlkový vzduch Monitorování zbytkové vlhkosti předchází poškození

Více

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita

Stabilita atomového jádra. Radioaktivita Stbilit tomového jádr Rdioktivit Proton Kldný náboj.67 0-7 kg Stbilní Atomové jádro Protony & Neutrony Neutron Bez náboje.67 0-7 kg Dlouhodobě stbilní jen v jádře Struktur jádr A Z N A nukleonové číslo

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Úvod do politiky soudržnosti EU pro období 2014-2020

Úvod do politiky soudržnosti EU pro období 2014-2020 Úvod do politiky EU pro období 2014-2020 Politik Červen 2014 Co je politik? Politik je hlvní investiční politik EU Cílí n všechny měst v Evropské unii. Jejím cílem je podpor vytváření prcovních míst, konkurenceschopnosti

Více

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ

SPS SPRÁVA NEMOVITOSTÍ SMLOUVA O REZERVACI POZEMKU A SMLOUVA O BUDOUCÍ SMLOUVĚ O DÍLO Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli: 1. EURO DEVELOPMENT JESENICE, s.r.o., IČ 282 44 451, se sídlem Ječná 550/1, Prh 2, PSČ 120 00, zpsná

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence:

Konvence Integrovaného dopravního systému Libereckého kraje (IDOL) Účastníci Konvence: Konvence Integrovného doprvního systému Libereckého krje (IDOL) Účstníci Konvence: KORID LK, spol. s r.o. Liberecký krj Město Česká Líp Město Jblonec nd Nisou Sttutární město Liberec Město Turnov České

Více

U S N E S E N Í 62. schůze Rady obce Dětmarovice. konané dne 8.9.2014

U S N E S E N Í 62. schůze Rady obce Dětmarovice. konané dne 8.9.2014 U S N E S E N Í 62. schůze Rdy obce Dětmrovice. konné dne 8.9.2014 Rd obce Dětmrovice po projednání v souldu se zákonem č. 128/2000 Sb., o obcích, ve znění pozdějších předpisů 1601/62 bere n vědomí informci

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli

smlouvu o složení finanční částky do advokátní úschovy Níže uvedeného dne, měsíce a roku uzavřeli Níže uvedeného dne, měsíce roku uzvřeli 1. Zdeněk Berntík, nr. 14.5.1954 Jrmil Berntíková, nr. 30.12.1956 ob bytem Stroveská 270/87, Ostrv-Proskovice ob jko Smluvní strn 1 2. Tělovýchovná jednot Petřvld

Více

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ

E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ E V R O P S K Á Ú M L U V A O K R A J I NĚ Sdělení Ministerstv zhrničníh věí č. 13/2005 S.m.s. Ministerstvo zhrničníh věí sděluje, že dne 20. říjn 2000 yl ve Florenii přijt Evropská úmluv o krjině. Jménem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vážené dámy, vážení pánové,

Vážené dámy, vážení pánové, 2013 2011 ÚVODNÍ SLOVO Dr. Pvel Doležl ředitel Zlté koruny Vážené dámy, vážení pánové, devátý loni oslvil ročník Zltá soutěže korun opět deset potvrdil, let že letošním Zltá korun ročníkem má tk n českém

Více

Úvod 1. Pojetí canisterapie 1.1 Zvířata lidem 1.2 Vznik canisterapie ve světě 1.3 Rozvoj canisterapie v ČR 1.4 Metody a formy canisterapie

Úvod 1. Pojetí canisterapie 1.1 Zvířata lidem 1.2 Vznik canisterapie ve světě 1.3 Rozvoj canisterapie v ČR 1.4 Metody a formy canisterapie Obsh Úvod 1. Pojetí cnisterpie 1.1 Zvířt lidem 1.2 Vznik cnisterpie ve světě 1.3 Rozvoj cnisterpie v ČR 1.4 Metody formy cnisterpie 1. Shrnutí 2. Zákldní terminologie indikce cnisterpie v sociální práci

Více

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II

1.3.5 Řešení slovních úloh pomocí Vennových diagramů II 1.3.5 Řešení slovníh úloh pomoí Vennovýh igrmů II Přepokly: 1304 Pegogiká poznámk: Ieální je poku tto hoin vyje n vičení. Postup stuentů je totiž velmi iniviuální ěljí velké množství hy, oěht elou tříu

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Základní pravidla pro psaní

Základní pravidla pro psaní Zákldní prvidl pro psní 1. Zákldní principy Je nutné volit typ písm který je vhodný pro příslušný druh dokumentu. Celý dokument by měl být pokud možno sáen jednoho typu popř. jedné rodiny písm nebo lespoň

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Šéfové si dali dostaveníčko: Michael Tretter a Roman Paulus představují unikátní menu

Šéfové si dali dostaveníčko: Michael Tretter a Roman Paulus představují unikátní menu Šéfové si dli dostveníčko: Michel Tretter Romn Pulus předstvují unikátní menu Prh (BN) Ob spojuje úspěch smysl pro detil. Jeden je šéfem mjitelem vyhlášeného koktejlového bru Tretter s, druhý uznávný šéfkuchř

Více

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES)

NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 178/2002 ze dne 28. ledn 2002, kterým se stnoví obecné zásdy poždvky potrvinového práv, zřizuje se Evropský úřd pro bezpečnost potrvin stnoví postupy týkjící

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Z Á P I S. ze 7. zasedání zastupitelstva obce Albrechtice nad Vltavou konaného dne 15. prosince 2014.

Z Á P I S. ze 7. zasedání zastupitelstva obce Albrechtice nad Vltavou konaného dne 15. prosince 2014. Albrechtice nd Vltvou Z Á P I S ze 7. zsedání zstupitelstv obce Albrechtice nd Vltvou konného dne 15. prosince 2014. Místo konání: OÚ Albrechtice n. Vlt. Zčátek: 19,00 hodin Zsedání řídil: strost ing.

Více

ešení Teorie mezinárodního obchodu

ešení Teorie mezinárodního obchodu ešení Teorie mezinárodního obchodu Absolutní výhody P íkld 1 1) mecko má bsolutní výhodu ve výrob ut, nebo vyrobí jedno uto z 30 hodin, ztímco eská republik z 50 hodin. opk eská republik má bsolutní výhodu

Více

Příloha č. 2a k rozhodnutí o změně registrace sp.zn. sukls184943/2010 a příloha k sp.zn.sukls44956/2010

Příloha č. 2a k rozhodnutí o změně registrace sp.zn. sukls184943/2010 a příloha k sp.zn.sukls44956/2010 Příloh č. 2 k rozhodnutí o změně registrce sp.zn. sukls184943/2010 příloh k sp.zn.sukls44956/2010 SOUHRN ÚDAJŮ O PŘÍPRAVKU 1. NÁZEV PŘÍPRAVKU Biclutmide Bluefish 50 mg pothovné tblety 2. KVALITATIVNÍ A

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

5. Učební osnovy. 5. 1 Vzdělávací oblast Jazyk a jazyková komunikace

5. Učební osnovy. 5. 1 Vzdělávací oblast Jazyk a jazyková komunikace 5. Učební osnovy 5. 1 Vzdělávcí oblst Jzyk jzyková komunikce 5. 1. 1 Chrkteristik vzdělávcí oblsti Vzdělávcí oblst Jzyk jzyková komunikce je relizován v povinných vyučovcích předmětech český jzyk litertur,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu

Studijní informační systém. Elektronický zápis předmětů a rozvrhu. I. Postup zápisu předmětů a rozvrhu Studijní informční systém Elektronický zápis předmětů rozvrhu V odoí elektronického zápisu předmětů proíhá tzv. předěžný zápis. Student má předměty zpsné ztím pouze předěžně může je po celé odoí elektronického

Více

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa

Smlouva o ustájení a zajišťování veterinární péče pro toulavá a opuštěná zvířata odchycená na území města Česká Lípa Smlouv o ustájení zjišťování veterinární péče pro toulvá opuštěná zvířt odchycená n území měst Česká Líp Smluvní strny Objedntel: Město Česká Líp, náměstí TGM 1,47001 Česká Líp Zstoupené : p. Jiřím Pzourkem,

Více