DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání: 202 Vyprcovl: Petr Sušovský AME, II. ročník

2 Prohlášení Prohlšuji, že jsem vytvořil tuto diplomovou práci smosttně pod vedením doc. Mgr. Krl Pstor, Ph.D. že jsem v seznmu použité litertury uvedl všechny zdroje použité při zprcování práce. V Olomouci dne

3 Poděkování Rád bych n tomto místě poděkovl svému vedoucímu diplomové práce doc. Mgr. Krlu Pstorovi, Ph.D. z obětvou spolupráci i z čs, který mi věnovl při konzultcích. Tké bych rád poděkovl své rodině přátelům z podporu během studi.

4 Obsh Úvod 4 2 Konečné hry 5 3 Nekonečné hry 3 3. Úvodní pojmy Optimální strtegie Skupiny nekonečných her Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce Hry nčsování Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče Hlučný souboj Tichý souboj Tichý-hlučný souboj Souboj Nekonečné hry, jejíchž prostory strtegií jsou známé prostory funkcí 50 6 Závěr 52

5 Úvod Teorie nekonečných her je přibližně 70 let strá. Zákldem těchto her byl studie von Neumnn Morgenstern, kteří roku 944 vydli knihu, ve které se zbývli jk hrmi konečnými, tk nekonečnými. Smotná studie tktických soubojů zčl v roce 939, kdy ve světě probíhl II. světová válk. O tuto studii se nejvíce zsloužil korporce RAND, která se v té době snžil njít tým mtemtiků, sttistiků, ekonomů sociálních vědců, by nlyzovli význm strukturu tzv. nejistoty války. Měli z úkol vytvořit optimální plán pro budoucí fungování ekonomiky své země při útoku obrně. Právě při této příležitosti vznikl teorie her nčsování jko vedlejší produkt studie tktických soubojů. Název hry nčsování, jkožto tříd tktických soubojů, vznikl roku 950, kdy skupin mtemtiků rozpoznl široký rozsh jejich možných plikcí. Předložená diplomová nbízí čtenářům stručný náhled do teorie nekonečných her her nčsování zároveň uvádí i jejich využití n konkrétních příkldech. První kpitol je úvodem do témtu. Druhá kpitol obshuje úvodní pojmy, které se týkjí teorie konečných her. Vysvětlil jsem zde jednotlivé termíny, které byly pro tuto problemtiku nezbytné uvést, jko npříkld hr v normálním tvru, mticová hr, hr s konstntním součtem, optimální strtegie v neposlední řdě jsem tké ndefinovl smíšené rozšíření mticových her. Pro lepší pochopení jsem uváděl konkrétní příkldy. Kpitol třetí sloužil jko tkový přechod konečných her do nekonečných. Jednotlivé pojmy, které byly ndefinovné v kpitole první, jsem se snžil rozšířit pro hry nekonečné. Dále jsou uvedeny pojmy, které se týkjí pouze nekonečných her. N závěr této kpitoly jsou stručně uvedeny některé typy těchto her. Čtvrtá kpitol je stěžejním bodem této práce. Zde se zbývám právě hrmi nčsování. Uvedl jsem zde zákldní typy těchto her jko je hlučný souboj, tichý souboj tichý-hlučný souboj. Pro lepší názornost pochopení je kždý souboj doplněn konkrétním okomentovným příkldem. Doufám, že tto práce pomůže čtenáři orientovt se v oblsti teorie her. 4

6 2 Konečné hry Všichni se kždý den ocitáme v situcích, kdy musíme zvolit vhodný postup, bychom dospěli k co nejlepšímu výsledku. Jestliže tento výsledek závisí jenom n nás nebo n více dlších vlivech, které můžeme předvídt s určitou prvděpodobností, le které nejsou vzájemně závislé n rozhodnutí kohokoli jiného, pk je situce poměrné jsná. Když se všk do rozhodování vloží ještě nějká dlší osob, můžeme se obrátit k tzv. teorii her. Teorie her vytváří nlyzuje modely situcí, ve kterých dochází k interkci lespoň dvou rcionálních entit, čsto s protichůdnými zájmy. Této interkci se pk říká hr jejími hráči jsou ony entity. Hrou v tomto smyslu může být třeb prtie pokeru, studená válk, veřejná ukce nebo jednání nd podmínkmi smlouvy. V obecných přípdech her se uvžuje užitková (výpltní) funkce, která kždému možnému výsledku hry přiřdí n-tici reálných čísel vyjdřující užitek pro jednotlivé hráče. Trdičně se kldným číslem vyjdřuje zisk, záporným ztrát. Nyní si úvodní pojmy ndefinujeme n konečném prostoru strtegií jednotlivých hráčů. Jednotlivé definice tvrzení s důkzy uvedené v této kpitole byly převzty z litertury [5, 6, 7, 8] jsou ilustrovány vlstními příkldy. Definice 2.. Nechť je dán konečná neprázdná n-prvková množin Q = {, 2,..., n}, dále n neprázdných množin S, S 2,..., S n n reálných funkcí K, K 2,..., K n definovných n krtézském součinu S S 2... S n. Hrou n hráčů v normálním tvru budeme rozumět uspořádnou (2n+)-tici {Q; S, S 2,..., S n ; K (s, s 2,..., s n ), K 2 (s, s 2,..., s n ),..., K n (s, s 2,..., s n )}. () Množinu Q nzveme množinou hráčů, množinu S i nzveme prostorem strtegií hráče i, prvek s i S i nzveme strtegií hráče i funkci K i (s, s 2,..., s n ) nzveme výpltní funkcí hráče i. Klíčovým pojmem při nlýze her je optimální bod hry. Tento bod je definován jko tkový soubor strtegií jednotlivých hráčů, že žádný hráč nemůže získt změnou své strtegie, pokud ji změní jen on sám. 5

7 Definice 2.2. n-tice strtegií s = (s, s 2,...s n ) se nzývá optimálním bodem hry, jestliže pro kždé i {, 2,..., n} všechn s i S i pltí: K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ) K i (s,..., s i, s i, s i+, s n ). (2) Strtegie s i se nzývá optimální strtegie hráče i. Optimální strtegie jsou strtegie, kterými se budou řídit rcionální hráči (hráči, kteří chtějí dosáhnout co největšího zisku). Definice 2.3. Hr v normálním tvru, v níž pro všechn s i S i, i =, 2,..., n, pltí n K i (s,..., s n ) = A, (3) i= kde A je konstnt nezávislá n volbě strtegií s,..., s n se nzývá hr s konstntním součtem. Poznámk 2.. Je-li A=0, jedná se o hru s nulovým součtem - hr s nulovým součtem je tková hr, při které je součet užitků všech n hráčů nulový pro kždý možný výsledek hry. To npř. u hry dvou hráčů znmená, že co jeden hráč získá, druhý trtí (npř. u pokeru). Jestliže součet výpltních funkcí závisí n zvolených strtegiích, jedná se o hru s nekonstntním součtem. V definici 2.2. jsme si definovli, jk vypočítt optimální bod hry pro n hráčů. V dlší části této práce se budeme zbývt hrmi se dvěm hráči. Proto si tuto definici uvedeme pro množinu Q = {, 2} uvedeme si ji rovněž pro hru s konstntním součtem (resp. nulovým součtem). Definice 2.4. Konečná hr s nulovým součtem dvou hráčů je definován jko kde {Q = {, 2}; X = {, 2,..., m}; Y = {, 2,..., n}; K(i, j) = ij ; i X, j Y }, A = 2... n n m m2... mn 6 (4)

8 je mtice hry. Jk už bylo zmíněno v předchozím textu, cílem tkové hry je njít optimální strtegie, díky kterým ob dv hráči se snží mximlizovt svou výhru, resp. minimlizovt svou ztrátu, ve smyslu následující definice. Poznámk 2.2. Pro hru s nulovým součtem pltí, že K (x, y) = K 2 (x, y) pro všechn x X, y Y. Čsto píšeme, že K (x, y) = K(x, y). Definice 2.5. Nechť {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} (5) je hr s konstntním součtem. Optimální strtegie hráče je tková strtegie x X, pro kterou existuje strtegie y Y tk, že pltí K (x, y) K (x, y) K 2 (x, y) K 2 (x, y) (6) pro všechn x X, y Y. Strtegie y Y se ekvivlentně nzývá optimální strtegie hráče 2. Tto definice vychází z definice 2.2. Je-li nvíc {Q = {, 2}; X; Y ; K (x, y); K 2 (x, y)} hr s nulovým součtem, sloučí se nám nerovnosti do následujícího tvru: K(x, y) K(x, y) K(x, y). (7) Vět 2.. Nechť (5) je hr s konstntním součtem, A 0. Potom x, ȳ jsou optimální strtegie ve hře (5) tehdy jen tehdy, jsou-li x, ȳ optimální strtegie ve hře s nulovým součtem, kde K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Důkz: Nechť x, ȳ jsou optimálními strtegiemi ve (5). Z první nerovnosti (6) dostneme K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 (x, ȳ). 7

9 Protože K K (x, ȳ) = K 2 (x, ȳ) K 2 ( x, ȳ) = K K ( x, ȳ) dostáváme z předchozí nerovnosti K (x, ȳ) K 2 (x, ȳ) K ( x, ȳ) K 2 ( x, ȳ). což je levá nerovnost v (7) pro K(x, y) = K (x, y) K 2 (x, y). Prvou nerovnost v (7) dostneme zcel obdobně. Nechť obráceně pro x, ȳ pltí předchozí nerovnost. Tento vzth můžeme přepst jko K (x, ȳ) [K K (x, ȳ)] K ( x, ȳ) [K K ( x, ȳ)], odkud dostneme první nerovnost z (6). Obdobně dostneme i druhou nerovnost z (6). Tímto je vět dokázán. Nyní si uvedeme konkrétní příkld, jk vypdá hr s nulovým součtem dvou hráčů. Příkld 2.. Máme hru dvou hráčů (A B), jejíž výpltní funkce vypdjí následovně 4 6 A B Jedná se o hru s konstntním součtem, protože pokud budeme sčítt příslušné výhry z obou mtic hráčů při stejných strtegiích, budeme dostávt jedno to smé číslo. V tomto přípdě získáme vždy 3. Nšim úkolem bude njít optimální strtegie. Abychom tyto strtegie nšli, musíme k jejím zjištěním využít vzth (7). Jelikož se jedná o hru s konstntním součtem, převedeme si tuto hru n hru s nulovým součtem tím, že nhrdíme jednotlivé mtice jednou mticí (buď hráče A nebo B) dle věty 2.. V nšem přípdě mticí hráče A. Získáme tímto mtici

10 Nyní využijeme vzth (7) njdeme optimální strtegie. Hledáme číslo, které bude nejmenší v řádku (hráči A zručí minimální výhru) zároveň největší v dném sloupci (mximlizuje svou minimální výhru). Je jsné, že tyto dvě podmínky splňuje dvojice strtegií (x 3, y ). Výhr hráče A bude tudíž 5, kdežto výhr hráče B bude -2. Jk už jsme se zmínili dříve, teorie her se snží nlézt v kždé hře optimální bod (ve smyslu definice 2.5), v němž hráči volí tkové strtegie, že žádný z nich nemá důvod svou strtegii změnit z předpokldu, že druhý hráč svou strtegii nezmění. Ne vždy le optimální bod ve smyslu definice 2.5 existuje. Z tohoto důvodu byly zvedeny tzv. smíšené strtegie, které udávjí, s jkou prvděpodobností mjí hráči volit jednotlivé strtegie, by dosáhli co největšího zisku. N konkrétním příkldě si ukážeme, kdy bude optimální bod dán smíšenými strtegiemi. Příkld 2.2. Budeme uvžovt ntgonistický konflikt dvou hráčů, kde výpltní funkce obou hráčů budou obsženy v následující mtici ( ) 3 3 Abychom nšli optimální bod v tzv. ryzích strtegiích (řešení hry), musí zde existovt prvek dle definice 2.5, který je nejmenší v řádku zároveň největší v tom dném sloupci. Z uvedené mtice vidíme, že žádný prvek tyto dvě podmínky nesplňuje. Proto budeme řešení hledt ve smíšených strtegiích. Tento příkld budeme řešit pomocí tzv. simplexové metody. Poznámk 2.3. Simplexovou metodou se řeší úlohy lineárního progrmování je to metod, která slouží mimo jiné i pro ruční výpočty, protože její lgoritmus je jednoduchý neustále se opkuje. Výpočty se provádějí přes jednotlivé iterce. V jednotlivých krocích se vypočte nové řešení, které je z hledisk mximlizce 9

11 účelové funkce lepší nebo lespoň stejné než řešení v předchozím kroku. Smotný výpočet se skládá ze dvou části:. Nlezení výchozího zákldního řešení 2. Iterční postup vedoucí k optimlizci účelové funkce Poznámk 2.4. Podrobnější lgoritmus výpočtu simplexové metody je uveden v litertuře [4]. Nyní se vrátíme k řešení předchozího příkldu. Nejdříve si tuto mtici přepíšeme do následující tbulky Anlogicky z pohledu. hráče nám zse vznikne tto soustv rovnic nerovnic y y 2 x 3 x 2 3 Z pohledu 2. hráče nám vznikne tto soustv nerovnice rovnic 3y + y 2 u y + 3y 2 u y + y 2 =, y 0, y x + x 2 v x + 3x 2 v x + x 2 =, x 0, x 2 0. V dlších krocích je jedno, zd budeme v nšem výpočtu používt soustvu. nebo 2. hráče. Zvolme si npříkld soustvu 2. hráče. Zvedeme si nové proměnné q q 2, které lze získt tkto q = y u, q 2 = y 2 u. 0

12 Pk pltí tto soustv 3q + q 2 q + 3q 2 q + q 2 = u q + q 2 mx Musíme dostt soustvu rovnic. K tomu dojdeme tk, že do kždé nerovnice dodáme dlší proměnnou. V nšem přípdě tj. e e 2. Dlší kroky se řeší přes simplexovou metodu jednotlivé iterce jsou uvedeny v následujících tbulkách. Iterce 2. Iterce q q 2 e e 2 e 3 0 e * q q 2 e e 2 8 e q Iterce q q 2 e e 2 3 q q Vyšel nám vektor (q, q 2, e, e 2 ) = (,, 0, 0). Tzn., že (y 4 4, y 2 ) = (, ). 2. hráč 2 2 bude tudíž hrát první strtegii s prvděpodobností druhou strtegií s prvděpodobností tké. Anlogicky by se vypočítly i jednotlivé prvděpodobnosti 2 2. hráče

13 Definice 2.6. Nechť je dán mticová hr (4). Hru dvou hráčů s nulovým součtem jejíž prostory strtegií jsou (X) = {x T = (x,..., x m ); (Y ) = {y T = (y,..., y n ); m x i = ; x i 0}, (8) i= n y i = ; y i 0} (9) i= výpltní funkce K(x, y) = m n x i ij y j = x T Ay, (0) i= j= nzveme smíšeným rozšířením mticové hry (4). Vět 2.2. Smíšené rozšíření kždé mticové hry má řešení. Důkz: Důkz této věty se provádí přes tzv. simplexovou metodu je uveden v litertuře [5]. Poznámk 2.5. Větě 2.2 se tky říká zákldní vět teorie mticových her. Až doposud jsme se bvili o teorie her s konečným prostorem strtegií. Nyní se budeme zbývt prostorem strtegií, který bude nekonečný. 2

14 3 Nekonečné hry 3. Úvodní pojmy V předchozí kpitole jsme si vysvětlili zákldní pojmy teorie her, kdy prostor strtegií obou hráčů byl konečný. Model, který nám zobrzovl dný konflikt, byl mticová hr. V příkldě n simplexovou metodu jsme si ukázli, že i když jsme měli hráče, u kterých byl prostor strtegií konečný, museli jsme použít právě simplexovou metodu tím jsme jko kdyby popisovli nekonečnou hru. Ve světě všk neexistují pouze konečné ntgonistické konflikty, le existují i ntgonistické konflikty, kde prostor strtegií obou hráčů může být nekonečný. Součástí této kpitoly bude zobecnit si tyto pojmy n nekonečném prostoru strtegií, kdy budeme brát v úvhu dv hráče, opět si tyto pojmy plikujeme n hru s konstntním součtem. Opět jednotlivé definice tvrzení byl převzt z [3, 5]. Nejdříve se budeme zbývt hrmi v normálním tvru, které stojí n rozhrní mezi hrmi mticovými hrmi nekonečnými. Jedná se o hry, kde prostor strtegií obou hráčů X Y jsou nekonečné spočetné množiny. Cílem bude opět njít optimální strtegie obou dvou hráčů, by ob dv mximlizovli svůj zisk (resp. minimlizovli ztrátu). Bude pltit, že X = Y =, 2,.... Dále zde bude pltit, že optimální strtegie budeme hledt spíše ve smíšených strtegiích než v ryzích strtegiích. Proto si ndefinujeme smíšené rozšíření hry pro tyto množiny. Definice 3.. Množin všech rozložení prvděpodobností (X) n X je množin všech nekonečných posloupností x = (x, x 2,... ), pro které pltí: x i =, x i 0, i =, 2,.... () i= Anlogicky množin všech rozložení prvděpodobností (Y ) n Y je množin všech nekonečných posloupností y = (y, y 2,... ), pro které pltí: y j =, y j 0, j =, 2,.... (2) j= 3

15 Potom výpltní funkce vypdá: K(x, y) = x i ij y j, (3) i= j= kde ij jsou prvky z mtice A, kde ovšem indexy i i jdou do nekonečn. Poznámk 3.. Smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení pro hry, kde prostor strtegií je nekonečná spočetná množin. Důkz pro toto tvrzení je uveden v [5]. Že smíšené rozšíření nekonečného ntgonistického konfliktu nemusí mít vždy řešení, je ptrné z toho, že střední hodnot (3) nebude definován pro všechn x (X) y (Y ). Podrobnější problemtik je uveden v [5]. 3.2 Optimální strtegie N zčátek si uvedeme větu, která nám určuje tkové postčující podmínky, by existovly optimální strtegie v nekonečné hře s nulovým součtem. Jenom pro připomenutí, symbolem R budeme znčit množinu reálných čísel symbolem R k budeme znčit k-rozměrný vektorový prostor reálných čísel, kde k =,..., n. Vět 3.. Budiž {Q =, 2; (X), (Y ); K(x, y)} hr v normálním tvru s nulovým součtem. Nechť (X) R m (Y ) R n jsou kompktní konvexní množiny nechť K(x, y) je spojitá funkce n (X) (Y ), která je konkávní v x (pro kždé y (Y )) konvexní v y (pro kždé x (X)). Potom tto hr v normálním tvru má řešení. Důkz: Důkz této věty je uveden v [5]. Poznámk 3.2. Ze zjištěných pozntků plyne, že vět 2.2 je speciálním přípdem předchozí věty. hráče: Postup pro hledání optimálních strtegií je následující: Hráč se snží nlézt svou minimální výhru přes množinu strtegií druhého min K(x, y), (4) y Y 4

16 tuto svou minimální výhru se snží mximlizovt: mx min x X y Y K(x, y). (5) Druhý hráč se chová opčně. Snží se njít mximální výhru prvního hráče: tuto mximální výhru se snží minimlizovt: mx K(x, y), (6) x X min mx y Y x X K(x, y). (7) Musíme si všk dokázt, že dvojice x, y z věty 2.. je t smá, která splňuje vzthy (5) (7). Proto si nyní uvedeme větu, která nám tuto myšlenku potvrdí. Vět 3.2. Budiž {Q={,2};X,Y;K(x,y)} hr s nulovým součtem. Nechť existují hodnoty (5) (7). Potom rovnost min mx y Y x X K(x, y) = mx min x X y Y K(x, y) (8) pltí jenom tehdy, jestliže existují optimální strtegie x, y vyhovující definičnímu vzthu K(x, y) K(x, y) K(x, y), (9) pro všechn x X, y Y. Společná hodnot (9) je potom rovn ceně hry K(x, y). Důkz: Důkz věty je uveden v [5]. Poznámk 3.3. Postup při řešení nekonečných her je znčně složitý, většinou se řeší přes tzv. diferenciální integrální rovnice. V různých typech těchto her existuje postup, jk stnovit optimální strtegie. Tento postup není formální jk u řešení konečných her. Jestliže to je nutné, výpočty mohou být řešeny přes numerické metody. V dlší podkpitole si uvedeme příkldy nekonečných her nstíníme si postup, jk budou řešeny. 5

17 3.3 Skupiny nekonečných her Rozeznáváme několik typů nekonečných her. Prvním typem her, jsou tzv. hry definovné n jednotce čtverce (kde se budeme hlvně podrobněji zbývt hrmi nčsování). V závěru si pk uvedeme dlší typy Nekonečné hry definovné n jednotce čtverce Tento typ her je jeden z nejjednodušších verzí nekonečných her užívá se zde obdobná definice hry, jko jsme si uváděli v úvodních kpitolách této práce. Definice 3.2. Hr je definován jko trojice {X, Y, K}, kde X Y jsou prostory strtegií hráče hráče 2, K(ξ, η) je výpltní funkce, která se skládá ze dvou proměnných ξ η, jejíž hodnoty nbývjí hodnot n intervlu < 0, >. Prostory strtegií X, Y se skládjí z distribučních funkcí x(ξ) y(η). Výpltní funkce při volbě x hráče volbě y hráče 2 vypdá tkto: K(x, y) = 0 0 K(ξ, η)dx(ξ)dy(η). (20) Více o distribučních funkcí se dozvíme dále v textu. Definice 3.3. Ryzí strtegie jsou speciální strtegie následujícího tvru x ξ0 (ξ) = { 0 ξ < ξ0, ξ ξ 0. (2) Obecně strtegie x(ξ) v X jsou prvděpodobnostním smíšením ryzích strtegií. K(x, y) předstvuje očekávný výnos hráče pro ryzí strtegie ξ η. Poznámk 3.4. Pro zjednodušení budeme v nšem textu používt tento zápis: K(x, η) pro K(x, y η ); K(ξ, y) pro K(x ξ, y) K(ξ, η) pro K(x ξ, y η ). Slovní interpretce npříkld pro K(x, η) zní následovně: K(x, η) je očekávný výnos hráče, jestliže volí strtegii x jestliže hráč 2 volí ryzí strtegii y η. 6

18 Vzth (9) nám ukzuje, jk máme vypočítt optimální strtegie u nekonečných her. Pokud le hru n jednotkovém čtverci povžujeme z speciální přípd nekonečné hry, lze u ní tké dokázt, že pokud K(x, y) je spojitá, tk k určení optimálních strtegií můžeme opět využít vzth (9). Abychom mohli stnovit optimální strtegie těchto her, musíme si nejdříve ndefinovt určité pojmy. Definice 3.4. Množin všech bodů, které ptří (náleží) nějkému členu posloupnosti {S n } je sjednocení množin všech bodů, které náleží všem členům posloupnosti se nzývá průnik. Tyto dvě množiny znčíme n= S n S n (22) n= respektivě. Poznámk 3.5. Množin bodů ptřících do množiny S zároveň neptřící do množiny S 2 se nzývá rozdíl znčí se S S 2. Definice 3.5. Kždá tříd S, která je podmnožinou R k, se nzývá ditivní podmnožin, jestliže splňuje následující podmínky: ) R k S, 2) P okud S,..., S n S, potom S n S, n= 3) P okud S,..., S n S, potom S S 2 S. Definice 3.6. Nejmenší tříd množin, která obshuje obdélníky v R k se nzývá tříd borelovských množin. Definice 3.7. Nezáporná množinová funkce P je funkce, která je definován n třídě borelovských množin S splňuje následující podmínky ) P (S) 0 S S, 2) P ( S n ) = P (S n ), pokud S n S m = φ, pro n m, n= n= 3) P (S) <, je li soubor S omezen. 7

19 Tříd všech nezáporných funkcí definovných n třídě borelovských množin reálných čísel je ekvivlentní s třídou všech rostoucích funkcí (opět definovných n množině reálných čísel), které jsou spojité zprv. Tto ekvivlence je jednoznčná, pokud ztotožníme dvě rostoucí funkce, které se všude od sebe liší o fixní konstntu. Ekvivlence je zkonstruován následovně. Vezmeme P libovolnou reálnou hodnotu α tk, že: P {ξ α < ξ x} x > α, F (x, α) = 0 x = α, P {ξ x < ξ α} x < α. F (x, α) je rostoucí funkce pro kždé α spojitá zprv. Dále pltí, že jestliže α < α 2, potom F (x, α ) F (x, α 2 ) = P {ξ α < ξ α 2 }. To znmená, že F (x, α ) F (x, α 2 ) se liší o konstntu, nezávisle n x. N druhou strnu můžeme říct, že pokud F (x) bude nějká rostoucí funkce, která bude spojitá zprv, můžeme definovt P {ξ < ξ b} = F (b) F (). Definice 3.8. Jestliže P {ξ < ξ } =, pk se množinová funkce nzývá prvděpodobností mírou. Definice 3.9. Pokud pltí, že F ( ) = 0 F ( ) =, nzývá se funkce F distribuční. Definice 3.0. Ryzí strtegii ξ se říká zákldní, jestliže existuje optimální strtegie x, v jejímž spektru leží ξ. Definice 3.. Pro jkoukoliv distribuční funkci f n reálné ose je spektrum (nosič) definován jko doplněk největší otevřené množiny, ve které se funkce f nevyskytuje. 8

20 Definice 3.2. Strtegie x je strtegie konečného typu, jestliže x je konečnou konvexní kombincí ryzích strtegií, tzn. že spektrum x se skládá z konečného počtu bodů x se reprezentuje jko x = n λ i x ξi, λ i > 0, i= n λ i =. (23) i= Ryzím strtegiím ξ, ξ 2,..., ξ n, které jsou obsžené v x, se říká zákldní s váhmi λ, λ 2,..., λ n. Poznámk 3.6. Z předchozí definice je ptrné, že konečné strtegie jsou ovlivněny jednk volbou jediné hodnoty j z do n dle svých prvděpodobností λ j (j =,..., m) jednk volbou ryzí strtegie ξ j. Vět 3.3. Nechť x 0 y 0 jsou optimální strtegie η 0 je obsženo v nosiči y 0, potom K(x 0, η 0 ) = v, kde v je cen hry. Důkz: Víme, že v = K(x 0, y 0 ) je cen hry že funkce K(ξ, η) je spojitá. Protože x 0 je optimální, tk pltí, že K(x 0, η) v pro 0 η. Budeme předpokládt, že K(x 0, η 0 ) je ostře větší než v, tudíž nerovnost bude pltit pro intervl okolo η 0. Dále pltí, že η 0 je obsžen v nosiči y 0, což znmená, že i příslušný intervl bude kldný pro y 0 míru. Proto pokud budeme integrovt funkci K(x 0, η) vzhledem k dy 0, dostneme že K(x 0, y 0 ) > v, což je ve sporu s tím, že y 0 je optimální. Definice 3.3. Strtegie x se nzývá ekvlizér, jestliže K( x, η) = c, pro 0 η pro nějkou konstntu c. Důsledek 3.. Jestliže x 0 je zcel smíšená optimální strtegie, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér strtegie. Důsledek 3.2. Jestliže kždé ξ v jednotkovém intervlu je zákldní pro hráče, potom kždá optimální strtegie pro hráče 2 je ekvlizér. Poznámk 3.7. Hr s výpltní funkcí K(ξ, η) je symetrická, jestliže K(η, ξ) = K(ξ, η). 9

21 Definice 3.4. Dvojice ryzích strtegií {ξ 0, η 0 } je sedlový bod pro hru, jestliže K(ξ 0, η) K(ξ 0, η 0 ) K(ξ, η 0 ), pro 0 ξ, η. (24) Nyní si ukážeme konkrétní příkldy nekonečných definovných n jednotce čtverce. Zvonovité hry Předstvme si válku, kde se ponork S snží uniknout ponorným bombám, které jsou zhzovány z letdl A. Ponork se nchází v moři, jejíž polohu lze njít v intervlu η, kde je fixní konstnt. Letdlo A si je vědomo různých poloh, kde by se dná ponork mohl ncházet. Jestliže poloh ponorky bude (η) letdlo shodí bombu v poloze (ξ), můžeme předpokládt, že škody, které jsou npáchné, jsou proporční tzv. chybové (škodové) funkce: e b(ξ η)2. Pltí, že výpltní funkce je tvru: K(ξ, η) = e λ(ξ η)2, kde λ je prmetr závislý n konstntách, b. Jedná se o tzv. zvonovité hry, jestliže jádro K(ξ, η) = φ(ξ η), kde φ má následující vlstnosti:. φ(u) je nlytická funkce definovná pro všechn reálná u, 2. pro kždé n pro kždý soubor hodnot ξ i η j, tkové že: ξ ξ 2... ξ n η, η 2... η n je determinnt mtice φ(ξ i η j ) kldný, 3. + φ(u)du <. Pokud jsou splněny následující podmínky, existují optimální strtegie. V tomto přípdě φ(u) = e λu2 mohou být tyto optimální strtegie počítány rekursivně s proměnnou λ. Dlší postup řešení je uveden v litertuře [3]. Více informcí o nekonečných hrách se lze dočíst v litertuře [, 3, 5]. Dlším typem nekonečných her definovných n jednotce čtverce jsou hry nčsování. 20

22 Protože tto problemtik bude tvořit podsttnou část diplomové práce, rozhodl jsem se ji uvést smosttně do 4. kpitoly. Jednotlivé modely, definice tvrzení následující kpitoly jsou převzty z litertury [3] jsou doplněny vlstními ilustrtivními příkldy. Dále je ještě nutné podotknout, že podsttnou část následující kpitoly tvoří různá odvozování. Výsledky těchto odvozování jsou uvedeny v litertuře [3], smotný postup odvození le ne. 2

23 4 Hry nčsování Hry nčsování jsou hry, ve kterých výběr ryzích strtegií reprezentují volby doby k provedení určité kce. Předpokládejme, že máme dvě velké zásilkové společnosti obchodující se zbožím. Obě dvě hodljí vydt své roční ktlogy, kde zveřejní nbídku nového zboží. Než dný ktlog zveřejní, musí si tyto společnosti dobře uvědomit, kdy nstne t nejvhodnější dob pro jejich vydání. T společnost, která ktlog uvede dříve, může mít oproti konkurentovi velkou výhodu, neboť si potencionální zákzník nejdříve přečte její nbídku nového zboží n zákldě toho se může rozhodnout o koupi zboží právě z její nbídky. N druhou strnu může nstt situce, že konkurent bude schválně vyčkávt, ž první společnost vydá svůj ktlog, by mohl později využít jeho slbin. Jko druhý příkld se může vyskytnou v oblsti politiky, kdy budeme mít dvě politické strny s různými názory cíly, to těsně před volbmi. Kždá politická strn se snží získt co nejvíce příznivců, kteří ji budou volit. Aby veřejnost přesvědčily o svých záměrech cílech, budou muset v rámci kmpně posílt letáky se svým politickým progrmem. Opět zde vzniká otázk, kdy zhájit dnou kmpň. N některé lidi jejich letáková kmpň nemusí způsobit z toho důvodu, protože jsou již dávno přesvědčeni o tom koho volit. Ale osttní, což může být většin, se rozhodnou právě ž n zákldě zveřejněného politického progrmu. V tkovém přípdě může opět rozhodovt dob zčátku letákové kmpně. Jko poslední příkld her nčsování si uvedeme ze svět cestování. Předstvme si dvě cestovní gentury, které připrvují zájezd pro vysoce postvené osoby ve společnosti (npř. se může jednt o mjitele několik význmných firem v zemi). T gentur, která poskytne zájezd dné osobě, si zjistí finnční odměnu, jeho přízeň možnost doporučení jeho obchodních prtnerů. Mjitel firem se může rozhodnout n zákldě kvlity dného zájezdu, le rovněž může záležet n době, kdy mu rychlejší cestovní společnost dný zájezd nbídne. Pokud první gentur bude ihned zreguje druhá bude vyčkávt, může se stát, že se mjitel firem rozhodne podle nbídky první společnosti. N druhou strnu, příliš rychlá 22

24 nbídk, může vypdt uspěchně nekvlitně. Z mtemtického hledisk jsou hry nčsování popsány jko hry definovné n jednotkovém čtverci jejich výpltní funkce splňuje tři poždvky to:. L(ξ, η) pro ξ < η, K(ξ, η) = φ(ξ) pro ξ = η, M(ξ, η) pro ξ > η. (25) 2. Dále pltí, že kždá z funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) jsou spojité v proměnných ξ η. 3. L(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, M(ξ, η) je neklesjící funkce v ξ pro kždé η, L(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ, M(ξ, η) je nerostoucí funkce v η pro kždé ξ. Proměnné ξ η oznčují dobu obou soupeřů, kdy propukne kce - npříkld, kdy proběhne volební kmpň. Monotónnost funkcí L(ξ, η) M(ξ, η) nespojitost výpltní funkce, když ξ = η, se může vysvětlit tkto: Jestliže hráč 2 provede kci v pevném (fixním) čse η, hráč si zvyšuje svou šnci n úspěch tím, že čeká tk dlouho, jk to jde, z předpokldu, že hráč jedná před tím než hráč 2. Pokud hráč jedná ž poté, co zčne jednt hráč 2, může ztrtit, pokud hráč 2 bude úspěšný; odsud vyplývá nespojitost v ξ = η. Jkmile hráč 2 jednl, tk potom postupem čsu se šnce n úspěch hráče zvyšují; to je vyjádřeno monotónní funkci M(ξ, η) jko funkci ξ. Obdobné prohlášení pltí i pro hráče 2, protože výhody. hráče způsobují nevýhody 2. hráče. Existují 2 skupiny her nčsování:. První skupinou se nzývjí hry s kompletními informcemi, kdy funkce L(ξ, η) je funkci pouze ξ M(ξ, η) je funkci pouze η. Myšlenku kompletních informcí je třeb chápt v tom smyslu, že když hráč zčne, jeho 23

25 kce následky jsou soupeři známy. Jedná se npříkld o konkurenci dvou cestovních knceláří, která byl popsán v úvodu (vědělo se, že mohou přijít o odměnu). 2. Druhá skupin se skládá ze všech her nčsování mimo třídu. Jedná se o hry, ve kterých L(ξ, η) nebo M(ξ, η) nebo obě explicitně závisí n obou proměnných ξ η. V těchto hrách pltí prvidlo, že ob soupeři nvzájem neznjí dobu kce její následky. Optimální strtegie zde zhrnují skutečnou náhodnost ryzích strtegií. V dlších kpitolách nrzíme n hry jk s kompletními informcemi, tk i hry s nekompletními informcemi. 4. Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče Hry nčsování jedné kce pro kždého hráče, jk už bylo zmíněno v předchozí kpitole, jsou důležitou třídou her, které jsou definovány n jednotkovém čtverci. Už ze smotného názvu poznáme, že se bude jednt o duely, při kterých ob hráči budou mít pouze jednu možnost pro provedení své kce. Hodnoty 0 ξ pro hráče 0 η pro hráče 2 předstvují možné čsy, během kterých mohou být provedeny určité kce (dob výstřelu, podpis smlouvy, td.). Pro lehké nstínění této problemtiky si můžeme předstvit následující ideální model. Máme dvě nepřátelské osoby, které budou mít k dispozici jednu jednotku plebné síly. To znmená, že kždý hráč má jednu možnost zsáhnout svého protihráče, s vědomím, že jeho přesnost - tzn. jeho šnce n úspěšnou střelbu - se zvyšuje s čsem. Ve hře tohoto typu záleží úspěch hlvně n pořdí, ve kterém hráči hrjí n jejich příslušném stupni úspěchu. Kždý hráč si zjevně přeje odložit kci n tk dlouho jk je to možné, by zvýšil svou možnost úspěchu, le zároveň si nepřeje opozdit se n tk dlouho, že ho jeho soupeř může předejít s efektivností. Optimální strtegie zde vyjdřují správnou rovnováhu mezi touhou po zpoždění nebezpečím prodlevy. Četné verze válečných her nčsování mohou být vyjádřeny z hledisk toho, jké informce má hráč o činnosti svého protihráče. V úvodu jsme zmínili, že se 24

26 jedná o hru definovnou n jednotkovém čtverci, proto i tto hr bude spojen s výpltní funkcí K(ξ, η), která musí opět splňovt nám už známé tři vlstnosti, které jsou uvedeny v souvislosti se vzthem (25). Nyní si ukážeme několik typů her nčsování, které mohou nstt. 4.. Hlučný souboj Tento souboj je chrkterizován tím, že oběm dvěm protihráčům je dovoleno vystřelit pouze jednou (nutná podmínk), nvíc budeme předpokládt, že mjí tzv. hlučné zbrně. Jinými slovy to znmená, že ob dv soupeři ví, jestli už protihráč vystřelil nebo ne. Termín hlučný bude obecně používán k oznčení stvu kompletní informce, tzn. situce, kdy kždý hráč ví, kdy osttní hrjí. Předpokládá se, že funkce přesnosti P (ξ) (prvděpodobnost úspěchu) pro hráče je spojitá neklesjící v ξ, s P (0) = 0 P () =. Přesnost hráče 2 je popsán podobně, jedná se zde opět o spojitou neklesjící funkci P 2 (η), s hodnotmi P 2 (0) = 0 P 2 () =. Jestliže hráč zsáhne hráče 2, předpokládá se, že hodnot výhry pro hráče bude +, jestli tomu bude nopk, bude jeho hodnot opčná (-). Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot pro hráče, když ob dv hráči použijí ryzí strtegie ξ η. Jestliže ξ < η, prvděpodobnost hráče že zsáhne hráče 2 je P (ξ) hodnot bude P (ξ). Nopk když mine, bude to znment prvděpodobnost s hodnotou P (ξ). Skutečnost, že obě dvě zbrně jsou hlučné, nám ovlivní strukturu výpltní funkce. Můžou zde nstt některé situce, které mohou šnce n úspěch ještě zvýšit. Npříkld, když hráč 2 ještě nevystřelí, le ví, že hráč už nemůže vystřelit znovu, může zvýšit své šnce n úspěch čekáním. Dokud η =. Proto, jestliže hráč mine v ξ, je si jistý tím, že bude zsžen hráčem 2, pokud ξ < η. Tyto zákldní pozntky si můžeme shrnout do následujícího vzthu: L(ξ, η) = P (ξ) + ( )[ P (ξ)] (ξ < η). Obdobně pltí M(ξ, η) = P 2 (η)( ) + [ P 2 (η)]() (ξ > η) 25

27 φ(ξ) = P (ξ)[ P 2 (ξ)]() + P 2 (ξ)[ P (ξ)]( ) (ξ = η). V posledním vzorci se předpokládá, že ob protihráči vypálí zároveň úspěšně nebo neúspěšně, popř. jeden z nich se trefí druhý ne. Hodnot je tudíž 0. Předchozí vzthy si můžeme zjednodušit vyjádříme si je jko: 2P (ξ) pro ξ < η, K(ξ, η) = P (ξ) P 2 (ξ) pro ξ = η, (26) 2P 2 (η) pro ξ > η. Výpltní funkce K(ξ, η) nám určuje hru nčsování třídy (hlučný souboj). Z (26) lze usoudit, že hodnot u η = ξ je průměr hodnot dosžených funkcemi L M. Nyní si tuto problemtiku ukážeme n konkrétním příkldě. Příkld 4.. Máme obchodník s nemovitostmi, který nyní prodává luxusní vilu. Tuto vilu chce nutně prodt, poněvdž nemá peníze n jeho zbylý mjetek mu hrozí exekuce. O tuto vilu projevili zájem dv zhrniční mgnáti. Obchodník si ob dv mgnáty pozve do této vily poskytne jim určitý čs n prohlídku budovy. Ob mgnáti (dále hráči) mohou během této doby učinit nbídku ke koupi tohoto objektu. Pokud nstne situce, že některý z hráčů vysloví nbídku ke koupi vily, le smotný prodej se nevydří, nemá již dný hráč nárok svou nbídku opkovt. V tomto přípdě se o neúspěchu prvního hráče dozví hráč druhý, který z logického hledisk se svou nbídkou počká ž uplyne určená dob n prohlídku objektu. Vzniká zde otázk, v jkém čsovém okmžiku bude nejlepší vyslovit nbídku n tuto koupi. Smotné řešení příkldů spočívá v některých předpokldech. Zájem o prodej jednotlivým hráčům bude zde popsán pro kždého hráče neklesjícími funkcemi. Pro hráče to bude funkce P (ξ) pro hráče 2 to bude funkce P 2 (η). Obě dvě tyto funkce popisují prvděpodobnost prodeje vily určitému hráči v určitém čse - pro hráče je okmžik prodeje popsán proměnnou ξ, pro hráče 2 η. Dále ze zdání vyplývá, že funkce P (ξ) P 2 (η) jsou definovány n intervlu 0, to z 26

28 tkového důvodu, že v čse 0 zčíná prohlídk vily v čse končí prohlídk. Z toho důvodu zde pltí P (0) = P 2 (0) = 0 P () = P 2 () =. Už ze smotného zdání je ptrné, že se jedná o tzv. hlučný souboj. Jelikož se pohybujeme čsově n intervlu 0,, jsou prostory strtegií jednotlivých hráčů definovány jko množiny G = {ξ; ξ 0, }, H = {η; η 0, }. (27) Mohou zde nstt 3 přípdy situcí:. Pro čsový okmžik ξ < η to znmená, že hráč uskutečnil nbídku dříve než hráč Pro čsový okmžik ξ = η to znmená, že ob dv hráči uskuteční nbídku ve stejný čs. 3. Pro čsový okmžik ξ > η to znmená, že hráč 2 uskutečnil nbídku dříve než hráč. Víme, že výpltní funkce má chování náhodné veličiny, tudíž bude střední hodnot závislá n proměnných ξ η. Jedná se o hru s prostory strtegií (27) s výpltními funkcemi (26). Pro tuto hru pltí, že má řešení v ryzích strtegií nvíc pro optimální strtegie pltí: ξ 0 = η 0 = z. (28) Hodnotu z jsme schopni vypočítt z rovnice: P (z) + P 2 (z) =. (29) Jinými slovy pltí, že optimální by bylo, kdyby ob dv mgnáti vyslovili svou nbídku ke koupi součsně. Hodnot z v tomto přípdě reprezentuje určitý čs prohlídky budovy cen hry má tudíž tvr P (z) P 2 (z). Abychom mohli říci, že vzthy (28) (29) splňují podmínku optimálních strtegií, čili musíme dokázt, že pltí: K(ξ, z) P (z) P 2 (z) K(z, η). (30) 27

29 Tento vzth musí pltit pro všechn ξ η, kde ξ 0, η 0,. V této práci si ověříme prvou nerovnost, protože obě dvě nerovnosti se dokzují nlogicky nvíc, důkz n levou nerovnost je uveden v litertuře [5]. Abychom správně ověřili prvou nerovnost, musíme nejdříve rozlišit tři přípdy, které mohou nstt pro proměnnou z. Pro z < η pltí, že K(z, η) = 2P (z). Po využití vzthu (26) lze následně uprvovt: P (z) P 2 (z) 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z) + 2P (z) P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). Zde jsme si dokázli, že prvá nerovnost (30) pltí jko rovnost. 2. Když z = ξ, pk je zřejmé, že i v tomto přípdě nerovnost pltí jko rovnost: P (z) P 2 (z) P (z) P 2 (z). 3. Pro z > η pltí, že K(z, η) = 2P 2 (η). Opět využijeme vzth (26) dostneme: P (z) P 2 (z) 2P 2 (η) P (z) P 2 (z) P (z) + P 2 (z) 2P 2 (η) 2P 2 (z) 2P 2 (η) P 2 (z) P 2 (η). I pro tento přípd nerovnost pltí, protože v zdání jsme si uváděli několik předpokldů mezi ně ptřilo npř. to, že funkce P 2 (η) je neklesjící. Zkusíme si vypočítt řešení pro konkrétní funkce P (ξ) P 2 (η). Nechť P (ξ) = ξ 2 pro ξ 0,, P 2 (η) = η 2 pro η 0,. 28

30 Pokud tyto funkce dosdíme do (29), vyjde nám, že z = 2. = 0, 7. Znmená to, že nejoptimálnější bude pro ob dv mgnáty, by svou nbídku řekli součsně. A to v době, jkmile uplyne 0, 7 čsu od zhájení prohlídky. Myslí se to tk, že pokud budou mít n prohlídku vily jednu hodinu, měli by se ozvt, jkmile uplyne 43 minut (0, 7 60) Tichý souboj U tohoto souboje je opět hráčům dovoleno vystřelit pouze jednou. Je zde ovšem změn to tková, že obě dvě zbrně jsou vybveny tlumiči. Čili žádný soupeř nemůže určit, zd jeho protihráč vypálil nebo ne. Předpokládejme situci, že přesnost (prvděpodobnost úspěchu) je dán P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ, tudíž výpltní funkce je popsán následovně: ξ ( ξ)η pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, ξ( η) η pro ξ > η. (3) Odvozování této výpltní funkce je podobné jko u předchozího hlučného souboje. Nejdříve budeme brát situci, že hráč vystřelil dříve než hráč 2 (ξ < η). Pokud hráč zsáhne hráče 2, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude očekávná hodnot výhry hráče opět bude mít chrkter náhodné veličiny. Střední hodnot tudíž bude ξ ( ξ)η. Opčná situce nstne, pokud hráč vystřelí později než hráč 2 (η < ξ). Pokud hráč 2 zsáhne hráče, hodnot jeho výhry bude. Výpltní funkce K(ξ, η) bude mít opět chrkter náhodné veličiny střední hodnot bude ξ( η) η. Pokud se stne, že ob dv hráči vystřelí njednou (ξ = η), mohou nstt 4 situce. Buď se ob dv trefí nebo minou, nebo jeden z nich se trefí druhý mine. V tomto přípdě očekávná hodnot výhry bude vždy 0. Výpltní funkce tohoto tichého souboje má jednu důležitou vlstnost to tkovou, že zde pltí: K(ξ, η) = K(η, ξ). Jinými slovy to znmená, že tichý 29

31 souboj (když P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ) je hr symetrická. Hodnot hry je proto 0 jkákoliv strtegie, která je optimální pro jednoho hráče, tk je optimální i pro hráče druhého. Tichý souboj ptří mezi hry nčsování druhé třídy (funkce L(ξ, η) M(ξ, η) závisí n obou proměnných ξ η). Její form je stejná jko v přípdě (25), kde L(ξ, η) = ξ η + ξη, M(ξ, η) = ξ η ξη, dále pro jednotlivá ξ η pltí L ξ (ξ, η) = + η > 0, L 0 ξ, η < = η (ξ, η) = + ξ < 0, M ξ (ξ, η) = η > 0, M η (ξ, η) = ξ < 0. Funkce L ξ M ξ oznčují prciální derivci podle ξ; L η M η mjí podobný význm. Z toho důvodu jsou funkce L(ξ, η), M(ξ, η) rostoucí v ξ klesjící v η n jednotce intervlu 0,. Protože ob dv hráči neví, kdy soupeř provede dnou kci, může kždý z nich čekt n úspěch plný čsový intervl. A proto, rozumný první odhd má optimální strtegii tvořenou hustotou n intervlu ; (přípdně v bodě ). Ukážeme si následující možný příkld z prxe uvedeme jeho řešení. Příkld 4.2. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během těchto dvou dnů prodt. Firm není nijk zujtá vůči zhrničí, proto je jí jedno, zd prodá tento telefon právě tm nebo do tuzemsk. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění dlší nbídky. Protože dný telefon vyrobil firm, které je 30

32 jedno, kdo bude kupcem, nebude mít žádný zákzník výhodu. Aby jednotlivé nbídky probíhly v nonymitě, rozhodl se tto firm, že pokud nějký zákzník vysloví nbídku dříve, druhá strn se nic nedozví. Vzniká zde otázk, kdy ob dv zákzníci mjí učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Nyní si ukážeme postup, jk lze njít optimální strtegie tohoto souboje: Budeme hledt optimální strtegie, které jsou v následujících tvrech: x 0 (ξ) = ξ f(t)dt, y 0 (η) = η g(t)dt. Poždvek konstntního výnosu v může být splněn pouze v intervlu ;. Vět 3.2. nám udává podmínku pro optimlitu tudíž podle této věty pltí K(ξ, η)dx 0 (ξ) = K(ξ, η)f(ξ)dξ = v = 0 (32) pro všechn η ;. Z důvodu symetričnosti, je konstntní výnos roven 0. Pokud si funkci K(ξ, η) vyjádříme v explicitním tvru (využijeme vzth (3)), bude předcházející rovnice vypdt následovně η (ξ η + ξη)f(ξ)dξ + η (ξ η ξη)f(ξ)dξ 0. (33) Pltí vzth f(ξ)dξ =. (34) Při využití předchozího vzthu, můžeme vzth (33) přepst následovně η ξf(ξ)dξ + η ξf(ξ)dξ η 3 η ξf(ξ)dξ η f(ξ)dξ 0

33 η ξf(ξ)dξ η + η ξf(ξ)dξ η η ξf(ξ)dξ 0. (35) Abychom mohli dále uprvit dnou integrální rovnici n diferenciální rovnici, bylo by dobré si uvést 2 věty, dle kterých budeme postupovt. Jedná se o věty, které nám říkjí, jk derivovt integrál jko funkci horní meze. Vět 4.. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce x f(t)dt je spojitá v intervlu, b. c 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d x ) f(t)dt = f(x). (36) dx c Vět 4.2. Nechť < b, existuje b f(t)dt nechť c je libovolné číslo z intervlu ; b. Potom pltí tto tvrzení: ) Funkce c f(t)dt je spojitá v intervlu, b. x 2) Je-li < x < b je-li funkce f(t) spojitá v bodě x, existuje v tomto bodě derivce Důkz: Důkz této věty je uveden v [2]. ( d c ) f(t)dt = f(x). (37) dx x V dlším kroku využijeme předchozí věty převedeme si integrální rovnici (35) n diferenciální rovnici. Pro zjednodušení použijeme substituci r(ξ) = ξf(ξ). Výpočet je následující: d η dη : + r(ξ)dξ + ηr(η) + η r(ξ)dξ + 2ηr(η) 32 η η r(ξ)dξ + ηr(η) = 0 r(ξ)dξ = 0.

34 V dlším kroku opět využijeme předchozí věty budeme derivovt podruhé d dη : r(η) + 2r(η) + 2ηr (η) + r(η) = 0. Získáme tk tuto lineární diferenciální rovnici Postup výpočtu této rovnice si opět ukážeme 2ηr (η) + 4r(η) = 0. (38) 2ηr (η) + 4r(η) = 0 / : 2η r (η) + 2 η r(η) = 0 ln r(η) = 2ln η + ln k r(η) = e ln η 2 k r(η) = kη 2. (39) Získli jsme tudíž obecné řešení. Po doszení zpět do substituce dostneme, že f(ξ) = kξ 3. Pokud dosdíme f(ξ) = kξ 3 do (35), získáme následující rovnici ( k ) ( η kη η ) η ( + k ) + k ( + kη ) 0 η ( + k 3 + ) 0, η. (40) Tto identit pltí pouze tehdy, jestliže = k =. Dále musíme ověřit, že 3 4 hodnoty k splňují omezení (34). f(ξ)dξ = ( k 2 ) =. (4)

35 A po doszení konkrétních hodnot vidíme, že tto rovnice (popř. toto omezení) pltí. Můžeme pk npst, že hustot optimální strtegie x 0 vypdá tkto pokud se prokáže, že { 0 0 ξ < f(ξ) =, 3 4 ξ 3 ξ, (42) 3 K(ξ, η)f(ξ)dξ > 0 pro všechn η <. Tto skutečnost vyplývá ovšem jko důsledek monotónních vlstností výpltní funkce. Skutečně, pro η <, přičemž d dη K(ξ, η)f(ξ)dξ = M η f(ξ)dξ 0, K(ξ, η)f(ξ)dξ je spojitý pro všechny η je nulový v η =. Proto tvrdíme, že integrál K(ξ, η)f(ξ)dξ je kldný. Jk už bylo zmíněno v úvodu, jedná se o hru symetrickou, tudíž stejná strtegie je optimální i pro hráče 2. Důležitým ukztelem hustoty optimální strtegie je spektrum. Toto spektrum nám udává, kdy nejdříve propukne dná kce, npříkld, kdy dný hráč vystřelí. Intervl spektr se mění v závislosti n prvděpodobnostní funkci úspěchu. Doposud jsme se bvili o situci, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Nyní si ukážeme ještě dv typy těchto funkcí zjistíme hodnotu spektr. Protože se jedná o různé typy prvděpodobnostních funkcí úspěchu, bude se kždý přípd řešit pomocí příslušného modelu, n jehož zákldě se vytvoří příslušné integrální rovnice Vezmeme přípd, kdy P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Příslušné integrální rovnice vy- 2 ξ 34

36 pdjí K(ξ, η)f(ξ)dξ v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη v ( ξ ). V druhém přípdě bude pltit, že P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ 2. Příslušné integrální rovnice budou vypdt K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). Hodnot α resp. β předstvuje váhu (neboli prvděpodobnost), že hráč resp. hráč 2 bude čekt se svým výstřelem ž do konce. Jelikož jsou prvděpodobnostní funkce úspěchu složitější, bude jejich postup řešení dleko obtížnější než doposud, uvedeme si zde jenom výsledky řešení. Dnou tbulku jsem použil z [3]. P (ξ) ξ 3 ξ 0,44 2 ξ ξ 2 0,48 Nejdříve se musíme přesvědčit, zd dné funkce splňují podmínku to tkovou, že P (0) = 0 P () =, což lze jednoduše ověřit, že pltí. Dále lze zjistit, že ξ > ξ 2 ξ > ξ2 pro ξ (0; ). N druhou strnu o jednotlivých spektrech se dá říct, že < 0, 44 < 0, 48. Tento fkt si můžeme okomentovt následovně. 3 Čím je hodnot prvděpodobnostní funkce úspěchu vyšší v určitém čsovém okmžiku, tím zčíná intervl spektr optimální strtegie dříve. Znmená to tedy, že čím vyšší prvděpodobnost záshu v dnou dobu u hráče existuje, tím dřívější výstřel můžeme od něho čekt. 35

37 4..3 Tichý-hlučný souboj Tto situce je kombince obou dvou předchozích soubojů. Budeme předpokládt, že hráč má tichou zbrň hráč 2 má zbrň hlučnou. Jinými slovy to znmená, že první hráč ví, kdy druhý hráč vystřelil, le ne nopk. Tudíž hráč bude ve výhodě. Opět si tuto situci znázorníme v přípdě, kdy funkce přesnosti budou P (ξ) = P 2 (ξ) = ξ. Jk už bylo zmíněno n zčátku, že se jedná o kombinci tichého hlučného souboje, tk tké výpltní funkce bude touto kombincí ovlivněn. Výpltní funkce L(ξ, η) bude reprezentovt tichý souboj výpltní funkce M(ξ, η) hlučný souboj. Dále zde opět pltí t situce, že pokud ob dv hráči vystřelí njednou, je hodnot výpltní funkce 0. A to v přípdě záshu či minutí. Dohromdy bude výpltní funkce vypdt následovně ξ η + ξη pro ξ < η, K(ξ, η) = 0 pro ξ = η, 2η pro ξ > η. (43) Když jsme hledli optimální strtegie u tichého souboje, ukázli jsme si určitý postup. Tento postup budeme tké plikovt n hledání optimálních strtegií u tohoto souboje. Budeme hledt strtegie x 0 (ξ), která se skládá z části hustoty f(ξ) n intervlu ; s váhou α v ξ =, y 0 (η) skládjící se z části hustoty g(η) n tom smém intervlu s váhou β v η =. Nyní se opět vrátíme k příkldu 4.2, u kterého pozměníme zdání tímto ho převedeme do ticho-hlučného souboje. N závěr si zjištěné informce okomentujeme. Příkld 4.3. V České republice se n dvoudenním veletrhu objevil nový typ mobilního telefonu, o který projevili zájem dv zákzníci () (2). Česká firm, která tento telefon vyrobil, se bude snžit tento produkt během následujících dvou dnů prodt. O jednotlivých zákznících víme, že zákzník () je z tuzemsk, kdežto zákzník (2) je ze zhrničí. Ob dv zákzníci mjí dv dny n to, by učinili nbídku. Opět zde může nstt situce, při které když dný zákzník učiní nbídku t se z nějkého důvodu nevydří, ztrácí tímto nárok n opětovné učinění 36

38 dlší nbídky. Zákzník z tuzemsk má u zhrničního zákzník špión. Kvůli němu bude mít zhrniční zákzník vůči tuzemskému hndicp spočívjící v podsttné věci. Pokud nbídku učiní zákzník z tuzemsk, zhrniční zákzník se o ní nedozví, le pokud nstne opčná situce to, že nbídku učiní zhrniční zákzník, tuzemský odběrtel se tuto informci vždy od svého špión dozví. Vzniká zde otázk, v jkou dobu mjí ob dv zákzníci učinit nbídku, by jejich šnce n koupi tohoto telefonu byl co největší. Při nlezení optimálních strtegií budeme postupovt stejně jko to bylo u tichého souboje. Postup Nejdříve si opět npíšeme, jk budou vypdt příslušné integrální rovnice. K(ξ, η)f(ξ)dξ + αk(, η) v ( η ), (44) K(ξ, η)g(η)dη + βk(ξ, ) v ( ξ ). (45) Pokud z K(ξ, η) dosdíme konkrétní výpltní funkce, dostneme t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v ( t < ), (46) t ( 2η)g(η)dη + t (t η + tη)g(η)dη + β(2t ) v ( t < ). (47) S využitím vět (4.) (4.2) převedeme tyto integrální rovnice n diferenciální rovnice. Protože se jedná o složitější převod než v přípdě tichého souboje, ukážeme si ještě jednu větu, která nám tento převod usndní. Vět 4.3. Předpokládejme, že funkce f : P R je spojitá má spojité prciální derivce f y n obdélníku P = {(x, y) R2 ; x b c y d}. Dále 37

39 předpokládejme, že α(y) β(y) mjí spojitě diferencovtelné funkce n c, d, jejichž hodnoty leží v, b pro kždé y c, d, potom integrál F (y) = β(y) α(y) f(x, y)dx je definován pro kždé y c, d funkce F (y) je spojitě diferencovtelnou funkcí, přičemž pltí F (y) = f(β(y), y)β (y) f(α(y), y)α (y) + Důkz: Důkz této věty je uveden v [9]. β(y) α(y) f (x, y)dx. (48) y Nyní převedeme rovnice (46) (47) pomocí věty 4.3 n rovnice diferenciální. Jednotlivé převody těchto rovnic jsou nlogické, proto si zde uvedeme postup pro první rovnici. Rovnici (46) si nchystáme, bychom pk mohli použít větu 4.3. Pltí, že F (t) = t (ξ t + ξt)f(ξ)dξ + t Využitím vzthu (48) dostneme ( 2t)f(ξ)dξ + α( 2t) v. F (t) = [(ξ t+ξt)f(ξ)] ξ=t + 2α 0, t ( +ξ)f(ξ)dξ [( 2t)f(ξ)] ξ=t + t 2f(ξ)dξ použijeme druhou derivci dle t získáme d dt : 2tf(t) + t2 f (t) + ( + t)f(t) [ 2f(t) + ( 2t)f (t)] + 2f(t) 0. 38

40 Po vytknutí nvrácení se zpět k proměnné ξ dostneme 3( + ξ)f(ξ) + (ξ 2 + 2ξ )f (ξ) = 0. (49) Po totožných úprvách vzthu (47) obdržíme ( 2η η 2 )g (η) 3( + η)g(η) = 0. (50) Dlším krokem bude opět stnovit obecné řešení těchto diferenciálních rovnic, které nám budou chrkterizovt hustoty funkcí pro optimální strtegie. Jelikož mjí podobnou strukturu, ukážeme postup výpočtu (49). Rovnice je lineární homogenní. f (ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ f(ξ) 3ξ + 3 df(ξ) = f(ξ) ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) df(ξ) = 3ξ + 3 ξ 2 + 2ξ dξ f(ξ) = k (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 (5) Vzth (50) se počítá nlogicky, proto si uvedeme pouze výsledek g(η) = k 2 (η 2 + 2η ) 3/2 (52) Abychom mohli zjistit úplné (konečné) řešení, musíme vypočítt neznámé konstnty, v, α, β, k k 2. Rovnice (46) (47) nám reprezentují rovnosti pro ξ η. Nyní si uvedeme 2 integrály, které využijeme v dlším odvozováním. ξ + dξ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 39

41 Tento integrál řešíme pomocí tzv. substituce ξ 2 + 2ξ = t 2 (2ξ + 2)dξ = 2tdt t = ξ 2 + 2ξ. Po využití této substituce dostneme integrál t 2 dt. Pk po zintegrování nvrácení se k původní proměnné dostneme, že ξ + (ξ 2 + 2ξ ) dξ = + c. (53) 3/2 ξ2 + 2ξ Druhý integrál je o trochu složitější řeší se přes tři substituce. Opět si ukážeme stručný postup dξ (ξ 2 + 2ξ ) = 3/2 dξ ((ξ + ) 2 2) 3/2 Nejdříve si zvedeme první substituci získáme zvedeme si druhou substituci x = ξ + dx = dξ, dξ (x 2 2) 3/2 x = t dx = t 2 dt, 40

42 přičemž získáme dt t 2 (( t )2 2) = 3/2 tdt ( 2t 2 ) 3/2. Nkonec si zvedeme třetí substituci 2t 2 = u 4tdt = du tdt = 4 du. Obdržíme integrál, ve kterém už nemusíme zvádět substituci, doszením z substituci se doprcujeme k výsledku 4 du u = 3/2 2 ( 2t 2 ) + c = x /2 2 x2 2 + c. Po doszení z první substituci dostneme, že dξ (ξ 2 + 2ξ ) = ξ + 3/2 2 ξ2 + 2ξ. (54) Jestliže nhrdíme hodnoty f(ξ) g(η) vzthy (5) (52) dosdíme je do (46) (47) získáme dvě rovnice. V jednotlivých postupech využijeme právě pomocné integrály, které jsme odvodili. Opět v obou dvou rovnicích se objevuje nlogický postup, proto si podrobněji odvodíme jen rovnici vycházející ze vzthu (46). Pro zjednodušení jsme si zvedli substituci, ve které P () = Postup odvození je následující: Po doszení získáme výrz t (ξ t+ξt)k dξ+ (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 t ( 2t)k dξ+α( 2t) v. (ξ 2 + 2ξ ) 3/2 4

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ

APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ APLIKACE METODY RIPRAN V SOFTWAROVÉM INŽENÝRSTVÍ Brnislv Lcko VUT v Brně, Fkult strojního inženýrství, Ústv utomtizce informtiky, Technická 2, 616 69 Brno, lcko@ui.fme.vutbr.cz Abstrkt Příspěvek podává

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

1.3.8 Množiny - shrnutí

1.3.8 Množiny - shrnutí 1.3.8 Množiny - shrnutí Předpokldy: 010307 Pedgogická poznámk: Kpitol o množinách spolu s následujícími dvěm kpitolmi (výroky dělitelnost) slouží k nácviku učení. Součástí učení je tké příprv n písemky

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

GENEROVÁNÍ VÍCEKANÁLOVÉHO DITHERU

GENEROVÁNÍ VÍCEKANÁLOVÉHO DITHERU GEEROVÁÍ VÍCEKÁLOVÉHO DITHERU Z. ureš, F. Kdlec ČVUT v Prze, Fkult elektrotechnická, ktedr rdioelektroniky bstrkt Při kvntizci zvukových signálů dochází ke vzniku chybového signálu, který ovlivňuje kvlitu

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MATEMATIA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁ 11. červenec 01 Název zrcovného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s rmetrem obshuje kromě neznámých

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku Zákldní principy fyziky seestrální projekt Studiu dyniky kldky, závží vozíku Petr Luzr I/4 008/009 Zákldní principy fyziky Seestrální projekt Projekt zdl: Projekt vyprcovl: prof. In. rntišek Schuer, DrSc.

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ Ing. Igor Neckř APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ posluchč doktorského studi oboru Soudní inženýrství FAST VUT v Brně E-mil: inec@volny.cz Přednášk n konferenci znlců ÚSI

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy

Křivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Astronomická olympiáda 2010/2011

Astronomická olympiáda 2010/2011 Astronomická olympiád 00/0 Úvod V roce 00 jsme si připomenuli jedno význmné domácí výročí, uplynulo totiž 600 let od vyrobení nejstrších částí pržského orloje. V roce 0 nás tké čeká celá řd stronomických

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D.

matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D. Aplikce pro numerické řešení mtemtických úloh Diplomová práce Studijní progrm: Studijní obor: Autor práce: Vedoucí práce: N2612 Elektrotechnik informtik 1802T007 Informční technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr.

Více

Regulace f v propojených soustavách

Regulace f v propojených soustavách Regulce f v propojených soustvách Zopkování principu primární sekundární regulce f v izolovné soustvě si ukážeme obr.,kde je znázorněn S Slovenské Republiky. Modře jsou vyznčeny bloky, které jsou zřzeny

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více