Elektrické pole vybuzené nábojem Q2 působí na náboj Q1 silou, která je stejně veliká a opačná: F 12 F 21

Transkript

1 Příklad : Síla působící mezi dvěma bodovými náboji Dva bodové náboje na sebe působí ve vakuu silou, která je dána Coulombovým zákonem. Síla je přímo úměrná velikosti nábojů, nepřímo úměrná kvadrátu vzdálenosti, směr síly působí po spojnici mezi náboji, smysl je dán polaritou nábojů. Náboje stejného znaménka se odpuzují, náboje rozdílného znaménka se přitahují. Elektrické pole vybuzené nábojem působí na náboj 2 silou : 2 F 2 r 2 ε 0 ( r ) 2 Elektrické pole vybuzené nábojem 2 působí na náboj silou, která je stejně veliká a opačná: F 2 F 2 celkový konstantní člen ve vztahu lze vyjádřit tímto způsobem: ε 0 kde : konstanta 0 7 µ 0 ε 0 ε π c ( ) se nazývá permitivita vakua, má jednotku [F/m] µ se nazývá permeabilita vakua, má jednotku [H/m] c 30 8 µ 0 ε 0 je rychlost světla ve vakuu. Poznámka : Ze značné velikosti konstanty 0 9 by se mohlo zdát, že elektrické síly nabývají velkých hodnot. Náboje se však řádově pohybují v hodnotách kolem C, hodnota sil je nepatrná. Velikost elementárního náboje náboj jednoho elektronu je -,6.0-9 C. Pomyslným rozdělením Coulombova zákona na dvě části lze definovat intenzitu pole vybuzeného nábojem ve vzdálenosti r : E 2 r 2 ε 0 ( r ) 2 Jednotkou intenzity elektrického pole je [V/m], což z tohoto vztahu přímo neplyne, vychází to z jiné definice. Pro sílu na bodový náboj 2 pomocí intenzity pole potom platí vztah: F 2 E 2 Z tohoto vztahu vyplývá, že intenzita elektrického pole je číselně rovna síle působící na jednotkový bodový náboj.

2 Příklad 2: Síla působící na bodový náboj v elektrickém poli Předpokládané znalosti : Coulombův zákon, Příklad Na bodový náboj v elektrickém poli působí síla, která je dána vztahem: F E { N, C, V/m Pojem bodový náboj je idealizace, která předpokládá, že náboj má natolik malé geometrické rozměry, že lze uvažovat, že na něho působí právě intenzita pole o jedné hodnotě odpovídající danému bodu v prostoru. Intenzita elektrického pole je číselně rovna síle, která by působila na jednotkový bodový náboj. Jednotka intenzity elektrického pole je [V/m] a přímo se silou nesouvisí. Intenzita elektrického pole se zobrazuje pomocí linií, která se nazývají siločáry. Vektor intenzity je v každém místě tečný k siločáře. Siločára ukazuje směr, ve kterém by se v elektrickém poli pohyboval bodový náboj.

3 Příklad 3: Intenzita elektrického pole vybuzená bodovým nábojem Předpokládané znalosti : Coulombův zákon, Příklad Bodový elektrický náboj vybudí ve svém okolí elektrické pole, jehož intenzita je dána vztahem: E r 0 ε 0 ( r ) 2 { V/m, C,m } Velikost vektoru intenzity je přímo úměrná velikosti náboje a klesá s kvadrátem vzdálenosti od náboje. Ve vzdálenosti o konstantním poloměru r má konstantní absolutní hodnotu. Směr intenzity elektrického pole je dán jednotkovým vektorem po spojnici od místa, kde je umístěn budící náboj k místu, ve kterém počítáme pole. Siločáry elektrického pole se symetricky a paprskovitě rozbíhají na všechny strany od bodového náboje.

4 Příklad 4: Rozložení náboje a intenzity elektrického pole na nabitém vodivém tělese Předpokládané znalosti : Síla působící na náboj v elektrickém poli, Příklad 3 Ve vodivých materiálech jsou valenční elektrony velmi slabě vázány k atomům, mohou se volně pohybovat, jsou tedy volnými nosiči náboje. Elektrony jsou v neutrálním stavu ( u tělesa, které není nabito, nebo vloženo do vnějšího elektrického pole) v rovnováze s kladnými náboji - atomy s chybějícími valenčními elektrony. Při nabití tělesa je k vodivému tělesu část elektronů přidána, nebo naopak ubrána, což se projeví jako nabití tělesa záporným, nebo kladným nábojem. V elektrostatickém poli se v ustáleném stavu již žádné nosiče náboje nepohybují, to odpovídá nulové intenzitě pole ve vlastním vodivém tělese. ( viz Příklad 3 síla působící na náboj) Přebytečné náboje v nabitém tělese se v ustáleném stavu rozmístí na povrchu tělesa a uspořádají tak, aby na ně působily pouze vzájemné síly, které směřují kolmo vně z tělesa. Kdyby to tak nebylo a existovala by ještě tečná složka intenzity pole, elektrony by se mohly dál v nabitém tělese pohybovat, nejednalo by se ještě o ustálený stav. Siločáry intenzity elektrického pole vně nabitého tělesa tedy směřují kolmo k povrchu.

5 Příklad 5: Rozložení náboje a intenzity elektrického pole na vodivém tělese vloženém do vnějšího elektrického pole Předpokládané znalosti : Síla působící na náboj v elektrickém poli, Příklad 3 Rozložení nábojů na nabitém vodivém tělese, Příklad 4 Vodivé těleso obsahuje volně pohyblivé nosiče náboje elektrony. V neutrálním stavu jsou pohyblivé elektrony rovnoměrně rozptýleny po tělese a jsou v rovnováze s kladnými náboji atomů bez chybějících valenčních elektronů. Vložíme-li vodivé těleso do elektrického pole, které je v každém bodě jednoznačně popsáno vektorem intenzity elektrického pole ( například homogenní pole jako na obrázku), dojde k pohybu volných elektronů proti směru elektrického pole. Záporný náboj se usadí na jedné straně tělesa, na druhé straně vznikne kladný náboj. Elektrony v tělese se budou pohybovat tak dlouho, dokud se v tělese nevytvoří vlastní pole, které bude v rovnováze s polem výchozím. Důsledkem je nulová intenzita pole v tělese. Intenzita pole rozmístěných elektronů se superponuje s původním polem, siločáry pole vně tělesa jsou deformovány a vtaženy kolmo do tělesa.

6 Příklad 6: Ukažte platnost Gaussovy věty v elektrickém poli vybuzeném bodovým nábojem Předpokládané znalosti : Intenzita elektrického pole bodového náboje, Příklad 2 Pro vektor intenzity elektrického pole platí Gaussova věta v následující podobě : E. ds = ε 0 Obklopíme-li náboj (volný i vázaný) myšlenou uzavřenou plochou a integrujeme-li skalární součin vektoru intenzity elektrického pole E s vektorovým elementem plochy ds, je tento integrál vždy roven velikosti náboje, dělené permitivitou vakua bez ohledu na to, ve kterém místě je náboj umístěn, nebo jak je v daném objemu rozložen. ds je vektor, jehož absolutní hodnota je rovna velkosti elementu plochy a směr je dán jednotkovým vektorem n 0, který je kolmý k ploše v daném místě a je orientován ve směru ven z uzavřené plochy. ds dsn 0 EdS E ds cosα n 0 Naznačený skalární součin potom znamená součin elementu plochy a průmětu vektoru intenzity elektrického pole do směru kolmého k této ploše : E n ds V případě bodového náboje lze snadno ukázat, že Gaussova věta platí. Zvolíme-li pro jednoduchost sférickou uzavřenou plochu se středem v bodovém náboji, bude mít s ohledem na tvar pole vektor intenzity elektrického pole konstantní absolutní hodnotu pole v každém místě obalové plochy a navíc bude mít směr kolmý k ploše ( viz Příklad 2) : E ε 0 r 2 Velikost myšlené obalové plochy ( povrch koule se středem v místě, kde je náboj) je : S r 2 Integrál v Gaussově větě lze s ohledem na hodnotu a směr intenzity pole nahradit prostým součinem : E S ε 0 4 r 2 πr 2 ε 0 Výsledek souhlasí se zněním Gaussovy věty. Poznámka : Gaussovu větu lze relativně jednoduše dokázat i pro libovolné rozmístění nábojů a libovolný tvar obalové plochy.

7 Příklad 7 : Elektrické pole bodového náboje v homogenním nevodivém prostředí s permitivitou (ukázka výpočtu pomocí Gaussovy věty). ( Poznámka : Stejný výsledek plyne přímo z Coulombova zákona Příklad 2 ) Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu můžeme aplikovat v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě bodového náboje jsou takové plochy sférické se středem v místě, kde je umístěn náboj. Poloměr obalové plochy je dán vzdáleností, ve které pole počítáme. Siločáry elektrického pole bodového náboje se totiž paprskovitě rozbíhají na všechny strany, pole je sféricky symetrické. Není jediný důvod, proč by v konstantní vzdálenosti od náboje ( na povrchu sférické plochy se středem v bodě, kde je umístěn náboj na obrázku modrá linie) nebyla absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká, směr intenzity je kolmý k této myšlené ploše. Pro oblast mimo náboj platí r > a Ve vzdálenosti r je povrch obalové sférické plochy: S r 2 Podle Gaussovy věty: S 0 Do této plochy je uzavřen celý bodový náboj, : 4 πr 2 0 Pro elektrickou indukci platí vztah: 0 r 2 Pro intenzitu elektrického pole potom platí : Er () ε ε 0 0 ε 0 r 2 Ve velké vzdálenosti od bodového náboje elektrické pole vymizí : E( r ) 0 Elektrická indukce a intenzita elektrického pole v místě bodového náboje roste nade všechny meze: Er ( 0) To je dáno tím, že bodový náboj je určitá matematická a fyzikální abstrakce. Náboj, který by byl umístěn v jednom bodě, ve skutečnosti neexistuje.

8 Příklad 8 : Elektrické pole osamocené nabité vodivé koule v homogenním nevodivém prostředí s permitivitou. Koule má poloměr a a je nabita celkovým nábojem.0. Předpokládané znalosti : Rozložení náboje a intenzity el. pole na vodivém tělese Příklad 4 Elektrické pole bodového náboje, Příklad 7 Vně koule je výsledné pole stejné jako u bodového náboje a výpočet velmi podobný jako v Příkladu 7 Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu můžeme použít v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu potom zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě nabité koule je taková plocha sférická se středem v nabité kouli, její poloměr je dán vzdáleností ve které pole počítáme. V případě vodivého tělesa se volný náboj, kterým je těleso nabito, rozmístí rovnoměrně na povrchu tělesa. Siločáry elektrického pole osamocené nabité koule vystupují kolmo z povrchu vodiče, pole je sféricky symetrické. Není totiž jediný důvod, proč by v konstantní vzdálenosti od povrchu koule ( na povrchu sférické plochy se středem ve středu nabité koule na obrázku modrá linie) nebyla absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká, směr intenzity kolmý k povrchu vodiče. Při výpočtu je třeba celý problém rozdělit na úseky, ve kterých je intenzita elektrického pole spojitá ( části s konstantními parametry): S S 0 0 r<a (prostor uvnitř nabité koule) Ve vzdálenosti r je povrch obalové sférické plochy: S r 2 Do této plochy není uzavřen žádný volný náboj, celý náboj je na povrchu nabité koule : 4 πr Elektrická indukce a intenzita pole uvnitř vodivé koule je nulová : 0 Er () 0

9 r a (prostor na povrchu a vně nabité koule) Podle Gaussovy věty: S 0 V obalové ploše je nyní uzavřen celý volný náboj (je na povrchu nabité koule). 4 πr 2 0 Pro elektrickou indukci platí vztah: 0 r 2 Pro intenzitu elektrického pole platí vztah : Er () ε ε 0 0 ε 0 r 2 Průběh indukce a intenzity elektrického pole vypadá jako na následujícím obrázku: Intenzita elektrického pole je největší na povrchu vodivé koule a nabývá zde hodnoty : Er ( a) 0 ε 0 a 2 S přibývající vzdáleností intenzita klesá s kvadrátem vzdálenosti, v nekonečně velké vzdálenosti je pole nulové. - E r ( ) 0

10 Příklad 9 : Elektrické pole osamocené nabité vodivé koule v homogenním nevodivém prostředí s permitivitou 2, která je obklopena dielektrickým pláštěm s permitivitou. Koule má poloměr a a je nabita celkovým nábojem.0, plášť kolem koule má poloměr b.. Předpokládané znalosti : Intenzita el. pole nabité vodivé koule, Příklad 8 Jedná se o velmi podobné řešení jako v Příkladu 8, jsou zde ale dva úseky s různou permitivitou. Z toho vyplývá odlišný průběhem intenzity elektrického pole v úsecích, elektrická indukce je stejná. Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu lze aplikovat v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě nabité koule je taková plocha sférická se středem v nabité kouli, její poloměr je dán vzdáleností, ve které pole počítáme. V případě vodivého tělesa se volný náboj rozmístí rovnoměrně na povrchu tělesa. Siločáry elektrického pole osamocené nabité koule vystupují kolmo z povrchu vodiče, pole je sféricky symetrické. Není jediný důvod, proč by v konstantní vzdálenosti od povrchu koule ( na povrchu sférické plochy se středem ve středu nabité koule na obrázku modrá linie) nebyla absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká a směr intenzity kolmý k povrchu vodiče. Při výpočtu je třeba celý problém rozdělit na úseky, ve kterých je intenzita elektrického pole spojitá (úseky se stejnými parametry) : r<a (prostor uvnitř nabité koule) Ve vzdálenosti r je povrch obalové sférické plochy: S r 2 Do této plochy není uzavřen žádný volný náboj, celý náboj je na povrchu nabité koule : S 4 πr S 0 0 Elektrická indukce a intenzita pole uvnitř vodivé koule je nulová : 0 Er () 0 a r b (prostor v dielektrickém plášti kolem koule) Podle Gaussovy věty: S 0 V obalové ploše je nyní uzavřen celý volný náboj, který je na povrchu nabité koule. 4 πr 2 0 Pro elektrickou indukci platí vztah:

11 0 r 2 Pro intenzitu elektrického pole platí vztah : Er () ε ε 0 0 ε 0 r b vně nabité koule s pláštěm r 2 Podle Gaussovy věty: S 0 V obalové ploše je opět uzavřen celý volný náboj, který je na povrchu nabité koule. 4 πr 2 0 Er () 4 πr 2 0 Pro elektrickou indukci platí vztah zcela stejný jako v předchozím úseku: 0 r 2 Pro intenzitu elektrického pole platí vztah : 0 ε ε 0 2 ε 0 2 r 2 Průběh elektrické indukce a intenzity elektrického pole vypadá jako na následujícím obrázku. Elektrická indukce monotónně klesá, je závislá pouze na volných nábojích, které jsou na povrchu vodivé koule. Intenzita elektrického pole se v závislosti na permitivitě mění skokově. V průběhu se odráží vliv vázaných nábojů v dielektriku. Intenzita elektrického pole na povrchu vodivé koule nabývá hodnoty : Er ( a) 0 ε ε 0 ε 0 a 2 Na rozhraní mezi pláštěm a okolním prostředím se mění skokově, nabývá zleva a zprava jiné hodnoty: E( r b_l) ε ε 0 0 ε 0 b 2 E( r b_p) ε ε 0 0 ε 0 2 b 2 S přibývající vzdáleností intenzita klesá s kvadrátem vzdálenosti, v nekonečně velké vzdálenosti je pole nulové. - E r ( ) 0

12 Příklad 0 : Rozložení náboje a elektrického pole nabitého vodivého dutého tělesa Předpokládané znalosti : Rozložení náboje a intenzity elektrického pole na vodivém nabitém tělese Příklad 4 Náboj ve vodivém elektricky nabitém tělese se jistě rozmístí na jeho povrchu, to odpovídá vlastnostem vodiče. V ustáleném stavu nesmí působit na nosiče náboje uvnitř objemu již žádná síla, náboje se nemohou pohybovat, to odpovídá nulové intenzitě pole uvnitř vodiče. V případě dutého tělesa by však mohla vzniknout otázka, zdá se náboj rozmístí na vnitřním i vnějším povrchu tělesa, nebo pouze na jednom z nich a zda je také intenzita elektrického pole uvnitř dutiny nulová jako ve vodiči. Na tyto otázky se snadno odpoví pomocí Gaussovy věty, ve které vhodně zvolíme pomyslnou uzavřenou integrační plochu. DdS. = S 0 Zvolíme-li integrační plochu uvnitř vodiče ( integrační linie 2), nebude obklopovat zcela jistě žádný náboj, pokud ho do dutiny vodiče sami nevložíme, elektrická indukce a intenzita pole bude v dutině nulová. Zdálo by se z matematického hlediska, že by mohlo existovat takové nenulové rozložení elektrického pole, které by po integraci po uzavřené ploše dalo nulovou hodnotu. Stačí však, když budeme tuto plochu volit postupně různými způsoby, došli bychom k paradoxu, že by pole muselo mít v jednom bodě pokaždé různou hodnotu, což není možné. Na otázku, zda je náboj rozmístěn na vnitřním, nebo vnějším povrchu odpovíme snadno, když si uzavřenou obalovou integrační plochu vedeme vlastním vodičem ( viz linie ). V tomto případě je intenzita všude uvnitř vodiče a tedy i na povrchu zvolené plochy nulová, nulová musí být i hodnota integrálu v Gaussově větě, tomu nutně odpovídá nulový náboj na vnitřním povrchu vodiče, náboj bude rozmístěn pouze na vnějším povrchu.

13 Příklad : Práce, kterou vykoná elektrické pole buzené bodovým nábojem, při přenesení jednotkového náboje = z místa A do místa B v tomto poli. Napětí a potenciál v poli bodového náboje.. Předpokládané znalosti : Intenzita elektrického pole od bodového náboje Příklad 2, Příklad 7 Síla působící na bodový náboj v elektrickém poli Příklad 3 Siločáry elektrického pole, které je buzeno bodovým elektrickým nábojem, mají tvar jako na obrázku. Intenzita elektrického pole ve vzdálenosti r od náboje je dána vztahem( viz Příklad 2, 7): Er () ε 0 r 2 Vložíme-li do místa s touto intenzitou jednotkový náboj, bude na něho působit síla : F () r ( ) E() r Necháme-li pole přemístit jednotkový náboj z bodu A do bodu B, bude se náboj pohybovat ve směru siločáry a elektrické pole vykoná práci : A ( ) r B r A E() r dr r B r A ε 0 r 2 dr ε 0 r A r B Tato práce je definována jako napětí mezi body A a B v elektrickém poli. Napětí je současně rovno rozdílu potenciálů v bodě A a B: A ( ) r B r A E() r dr U AB φ A φ B V případě, že se budeme pohybovat z bodu A a do bodu B po jiné dráze, než by odpovídalo siločáře vedené z náboje, bude vykonaná práce zcela shodná, elektrostatické pole je potenciálové, na tvaru dráhy nezáleží pouze na koncových bodech. Z matematického hlediska se při výpočtu uplatní skalární součin vektoru intenzity pole a dráhy ( počítáme průměty vektoru E do směru dráhy).

14 Příklad 2 : Potenciál v elektrickém poli bodového náboje.. Předpokládané znalosti : Intenzita elektrického pole bodového náboje Příklad 2, Příklad 7 Práce vykonaná v poli bodového náboje napětí Příklad Vztah mezi intenzitou elektrického pole a potenciálem je dán obecně rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole sféricky symetrické a všechny veličiny jsou navíc pouze funkcí poloměru, platí pro gradient jednoduchý vztah: d Er () dr φ () r Pomocí tohoto vztahu je možné určit i potenciál pole, které je buzeno bodovým elektrickým nábojem: Pro intenzitu elektrického pole platí ( viz Příklad 7): Er () ε ε 0 a pro potenciál potom: 0 ε 0 φ () r Er () dr+ K dr ε 0 ε r r 2 r 2 ε 0 Pro jednoznačně určené rozložení intenzity elektrického pole je potenciál obecně nejednoznačný, může se lišit o libovolnou aditivní konstantu K. Počítáme-li napětí mezi dvěma body v elektrickém poli z rozdílu potenciálů, na konstantě K nezáleží, ve vztazích se odečte. V případě použití potenciálu k jinému účelu je třeba velikost konstanty K definovat pomocí určité hodnoty potenciálu v určitém bodě. Je-li například definován potenciál na poloměru r x velikostí φ(r=r x ), bude platit : r + K ( r x ) φ r ε 0 r x + K z toho konstanta K : K φ ( r r x ) ε 0 r x Volíme-li například vztažný bod v nekonečnu a přiřadíme mu nulový potenciál, potom bude : ( ) 0 φ r konstanta K bude nulová. K 0

15 Průběh potenciálu v závislosti na poloměru bude jako na obrázku. Na nulovém poloměru roste hodnota potenciálu i intenzity elektrického pole nade všechny meze, je to dáno tím, že bodový náboj je matematická abstrakce. Ve skutečnosti mají všechna nabitá tělesa konečné rozměry a konečnou hodnotu intenzity i potenciálu na svém povrchu. Pro poloměry jdoucí k nekonečnu klesá potenciál na hodnotu, která je dána velikostí konstanty K. Při výpočtu napětí pro uspořádání z příkladu platí pro potenciál v bodě A a B : ( r A ) φ r ε 0 r A + K ( r B ) φ r ε 0 r B + K Rozdíl potenciálů mezi dvěma body udává napětí, na konstantě K vůbec nezáleží : U AB φ A φ B φ r r A ( ) φ ( r r B ) Výsledek je totožný s Příkladem. ε 0 r A r B

16 Příklad 3 : Potenciál v elektrickém poli nabité vodivé koule, která je umístěna v homogenním prostředí s permitivitou. Předpokládané znalosti : Rozložení elektrického pole nabité koule - Příklad 8 Obecně je dán vztah mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole sféricky symetrické a všechny veličiny jsou navíc pouze funkcí poloměru, platí pro gradient jednoduchý vztah: d Er () dr φ () r Pomocí tohoto vztahu je možné určit i potenciál pole, které je buzeno nábojem rovnoměrně rozloženým na povrchu vodivé koule. Celý problém je nutno rozdělit na intervaly, ve kterých je intenzita pole spojitá (části se stejnými parametry) : Úsek vnitřek koule r < a Intenzita elektrického pole uvnitř vodivé koule je všude nulová ( viz Příklad 8) E () r 0 a pro potenciál φ () r E () r dr+ K 0 dr + K K Vodič a jeho povrch je místo s konstantním potenciálem je ekvipotenciální. Úsek 2 vnější oblast kolem koule r a Intenzita elektrického pole je dána vztahem (viz Příklad 8): E 2 () r ε 0 r 2 Pro potenciál platí : φ 2 () r E 2 () r dr+ K 2 dr + K 2 ε 0 ε r r 2 ε 0 + K 2 r

17 Konstantu K a K2 lze určit parametrizací potenciálu ( přiřazením jedné konkrétní hodnoty potenciálu jednomu bodu). Zvolíme-li například vztažný bod v nekonečnu a přiřadíme mu nulový potenciál, bude: ( ) 0 φ r takto specifikovaný bod se známým potenciálem se v našem případě nachází v úseku 2 a platí : φ 2 r ( ) ε 0 + K 2 K 2 0 Konstanta K2 je nulová a potenciál v oblasti 2 má průběh : φ 2 () r ε 0 r Při určení konstanty K a potenciálu v oblasti je nutné vycházet ze skutečnosti, že se potenciál mění ve všech oblastech i na hranicích mezi nimi spojitě ( narozdíl od intenzity elektrického pole a indukce, která se může měnit skokově). Vyplývá to z toho, že potenciál souvisí s potenciální energií, která se také musí měnit spojitě. Na hranici mezi povrchem koule a okolím platit rovnost: φ ( r a) φ 2 ( r a) Po dosazení pro potenciál na povrchu koule : φ ( r a) φ () r konst K ε 0 Potenciál je možno teoreticky použít k výpočtu napětí mezi dvěma body. Zvolíme-li například jeden bod na povrchu koule ( r=a) a druhy bod v nekonečnu ( r ), lze mezi nimi určit napětí : a ( ) U a_n φ ( r a) φ r ε 0 0 a ε 0 a Snadnější je v tomto případě vypočítat napětí pomocí intenzity elektrického pole: U a_n a Er () dr a ε 0 r 2 dr ε 0 a

18 Příklad 4 : Potenciál v elektrickém poli nabité vodivé koule, která je obklopena dielektrickým pláštěm s permitivitou a umístěna v homogenním prostředí s permitivitou 2. Předpokládané znalosti : Rozložení elektrického pole viz Příklad 9 Potenciál nabité koule Příklad 3 Obecně je dán vztah mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole sféricky symetrické a všechny veličiny jsou navíc pouze funkcí poloměru, platí pro gradient jednoduchý vztah: Úsek vnitřek koule r < a d Er () dr φ () r Pomocí tohoto vztahu je možné určit i potenciál pole, které je buzeno nábojem rovnoměrně rozloženým na povrchu vodivé koule. Celý problém je nutno rozdělit na intervaly, ve kterých je intenzita pole spojitá (části se stejnými parametry) : Intenzita elektrického pole uvnitř vodivé koule je všude nulová ( viz Příklad 8) E () r 0 a pro potenciál φ () r E () r dr+ K 0 dr + K K Úsek 2 dielektrický plášť a r b E 2 () r ε 0 r 2 φ 2 () r E 2 () r dr+ K 2 dr + K 2 ε 0 ε r r 2 ε 0 + K 2 r Úsek 3 vnější oblast kolem dielektrického pláště r b

19 E 3 () r ε 0 2 r 2 φ 3 () r E 3 () r dr+ K 3 dr + K 3 ε 0 ε r2 r 2 ε K 3 r Konstantu K, K2 a K3 lze určit parametrizací potenciálu ( přiřazením jedné konkrétní hodnoty potenciálu jednomu bodu). Zvolíme-li například vztažný bod v nekonečnu a přiřadíme-li mu nulový potenciál, bude: ( ) 0 φ r takto specifikovaný bod se známým potenciálem se nachází v úseku 3 a platí : φ 3 r ( ) ε K 3 K 3 0 Konstanta K3 je nulová a potenciál v oblasti 3 má průběh : φ 3 () r ε 0 2 r Při určení konstanty K2 a potenciálu v oblasti 2 je nutné vycházet ze skutečnosti, že se potenciál mění ve všech oblastech i na hranicích mezi nimi spojitě ( narozdíl od intenzity elektrického pole i indukce, která se může měnit skokově). Vyplývá to z toho, že potenciál souvisí s potenciální energií, která se také musí měnit spojitě. Na rozhraní mezi povrchem pláště a okolím platí vztah: φ 2 ( r b) φ 3 ( r b) ε 0 + K 2 b ε 0 2 b K 2 ε 0 b 2 a potenciál v oblasti 2 : φ 2 () r + K 2 ε 0 r ε 0 r + ε 0 b 2 Na rozhraní mezi pláštěm a nabitou koulí platí vztah:

20 φ ( r a) φ () r konst K ε 0 a φ ( r a) φ () r konst K ε 0 což je současně potenciál na povrchu koule. a + ε 0 b 2 Potenciál je možno teoreticky použít k výpočtu napětí mezi dvěma body. Zvolíme-li například jeden bod na povrchu koule ( r=a) a druhy bod v nekonečnu ( r ), lze mezi nimi určit napětí : ( ) U a_n φ ( r a) φ r ε 0 a + ε 0 b 2 Snadnější je v tomto případě vypočítat napětí pomocí intenzity elektrického pole: U a_n a Er () dr b a ε 0 r 2 dr + b ε 0 2 r 2 dr U a_n ε 0 a b + ε 0 2 b

21 Příklad 5 : Elektrické pole a potenciál dielektrické koule s permitivitou, která je umístěna v prostředí s permitivitou ε.r2 a rovnoměrně nabita prostorovým nábojem o objemové hustotě ρ.. Předpokládané znalosti : Potenciál nabité vodivé koule Příklad 3, Příklad 4 Problém je velice podobný jako v příkladu 3 a 4 pouze s tím rozdílem, že pole uvnitř dielektrické koule není nulové, protože zde není nulový náboj. Celý problém je nutno rozdělit na intervaly, ve kterých je intenzita pole spojitá (části se stejnými parametry) : Prostor uvnitř dielektrické koule r < a Zdánlivá sférická obalová plocha v Gaussově větě v tomto intervalu obklopí pouze část celkového náboje a platí: D ()S r D ()4 r πr 2 4 π 3 r3 ρ kde ρ je objemová hustota náboje. Z toho vyplývá vztah pro elektrickou indukci uvnitř nabité dielektrické koule : ρ D () r 3 r a vztah pro intenzitu elektrického pole : ρ E () r r 3ε 0 Pro potenciál uvnitř koule platí vztah : φ () r E () r dr+ K ρ r 2 + K 6 ε 0 Hodnota konstanty K bude určena později na základě spojitosti potenciálu a parametrizace potenciálu v jednom bodě. Prostor vně nabité dielektrické koule: r > a V tomto úseku zdánlivá uzavřená integrační obalová plocha v Gaussově větě obklopí celý náboj nabité koule a platí: D 2 ()S r D 2 ()4 r πr 2 3 a3 ρ Pro elektrickou indukci vyplyne vztah: D 2 () r a 3 ρ 3 r 2

22 Pro intenzitu elektrického pole: E 2 () r a 3 ρ 3ε 0 2 r 2 a pro potenciál v této oblasti : a 3 ρ φ 2 () r E 2 () r dr+ K 2 dr + K 2 3 ε 0 2 r 2 a 3 ρ 3ε K 2 r Potenciál je obecně nejednoznačný, lze ho parametrizovat určením konstant K a K 2. Potenciál se stane jednoznačným, přiřadíme-li mu v jednom konkrétním bodě jednu konkrétní hodnotu. Zvolíme-li nulovou hodnotu potenciálu pro poloměry jdoucí k nekonečnu, bude platit : φ 2 r ( ) K 2 0 Pro potenciál vně dielektrické koule potom platí vztah: φ 2 () r a 3 ρ 3ε 0 2 r Konstantu K a skutečný průběh potenciálu uvnitř dielektrické koule lze určit na základě podmínky, že potenciál musí být spojitý uvnitř každé oblasti i na hranici mezi nimi: φ ( r a) φ 2 ( r a) ρ a 2 + K 6 ε 0 a 3 ρ 3ε 0 2 a Z toho vyplývá velikost konstanty K : K a 2 ρ 3ε Skutečný průběh potenciálu uvnitř dielektrické koule potom bude: φ () r ρ r ε 0 a 2 ρ 3ε

23 Příklad 6 : Elektrické pole a potenciál nekonečně dlouhého, nekonečně tenkého rovnoměrně nabitého vodiče ( nabitého vlákna). Předpokládané znalosti : Výpočet elektrického pole bodového náboje pomocí Gaussovy věty Příklad 7 Řešení je velice podobné výpočtu elektrického pole bodového náboje pomocí Gaussovy věty ( Příklad 7) s tím rozdílem, že v tomto případě je pole válcově a ne sféricky symetrické. Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu můžeme použít v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu potom zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě nabitého tenkého a dlouhého vodiče je taková plocha válcová s osou totožnou s nabitým vodičem, její poloměr je dán vzdáleností ve které pole počítáme. V případě tenkého nekonečně dlouhého vodiče se volný náboj, kterým je vodič nabit, rozmístí rovnoměrně po celé délce vodiče. Siločáry elektrického pole vystupují kolmo z povrchu vodiče, pole je válcově symetrické. Není jediný důvod k tomu, proč by v konstantní vzdálenosti od vodiče ( na povrchu válcové plochy s osou totožnou s vodičem) nebyla absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká, směr intenzity kolmý k povrchu vodiče. Zvolíme-li kolem části vodiče o délce l obalovou válcovou plochu jako na obrázku, bude platit podle Gaussovy věty : 2 πrl τ l Pozn.: V případě nekonečně dlouhého vodiče nemůžeme obalovou plochou obklopit celý vodič, ale pouze jeho část o délce l. τ je liniová hustota náboje, je to náboj připadající na jednotku délky vodiče. Pro elektrickou indukci potom platí vztah: τ 2π r Pro intenzitu elektrického pole : Er () ε 0 2π τ rε 0

24 Vztah mezi intenzitou elektrického pole a potenciálem je dán obecně rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole válcově symetrické a všechny veličiny jsou navíc pouze funkcí poloměru, platí pro gradient jednoduchý vztah: d Er () dr φ () r Pomocí tohoto vztahu je možné určit i potenciál pole, které je buzeno rovnoměrně nabitým dlouhým a tenkým vodičem : τ φ () r Er () dr+ K dr 2π ε 0 r 2 π τ ε 0 ln r + K Pro jednoznačně určené rozložení intenzity elektrického pole je potenciál obecně nejednoznačný, může se lišit o libovolnou aditivní konstantu K. Při výpočtu napětí jako rozdílu potenciálů na absolutní hodnotě velikosti konstanty K nezáleží, ve vztazích se vždy odečte. V případě potřeby je možné velikost potenciálu parametrizovat určit velikost konstanty K přiřazením jedné konkrétní hodnoty potenciálu jednomu bodu. V případě nekonečně dlouhého vodiče nelze definovat s ohledem na charakter vztahů hodnotu potenciálu nulovou v nekonečné vzdálenosti od vodiče. Zvolíme li vztažný bod na poloměru r=, bude platit : φ ( r ) 2 π τ ε 0 ln r + K K Konstanta K je tedy velikost potenciálu na jednotkovém poloměru. Pro poloměr blížící se k nule roste hodnota indukce, intenzity i potenciálu nade všechny meze, to je dáno matematickou a fyzikální abstrakcí, kterou nekonečně tenký vodič představuje. Na vodiči o konečném průměru je hodnota těchto veličin vždy konečná. Pro poloměr limitující k nekonečnu je hodnota intenzity a indukce nulová. Hodnota potenciálu limituje v tomto případě k mínus nekonečnu. To je dáno tím, že nekonečně dlouhý rovnoměrně nabitý vodič představuje ve skutečnosti nekonečně veliký celkový náboj a to je také matematická a fyzikální abstrakce. Ve skutečnosti je každý vodič konečně dlouhý.

25 Příklad 7 : Elektrické pole a potenciál nekonečně dlouhého rovnoměrně nabitého vodiče o konečném poloměru. Předpokládané znalosti : Elektrické pole a potenciál dlouhého tenkého vodiče Příklad 6 Elektrické pole nabité vodivé koule Příklad 8 Řešení je velice podobné výpočtu elektrického pole nabité vodivé koule pomocí Gaussovy věty (Příklad 8) s tím rozdílem, že v tomto případě je pole válcově a ne sféricky symetrické. Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu můžeme použít v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu potom zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě nabitého nekonečně dlouhého vodiče je taková plocha válcová s osou totožnou s nabitým vodičem, její poloměr je dán vzdáleností, ve které pole počítáme. Volný náboj, kterým je vodič nabit, se rozmístí rovnoměrně po celém povrchu vodiče. Siločáry elektrického pole vystupují kolmo z povrchu vodiče, pole je válcově symetrické. Není jediný důvod k tomu, proč by v konstantní vzdálenosti od vodiče ( na povrchu válcové plochy s osou totožnou s vodičem) nebyla absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká, směr intenzity kolmý k povrchu vodiče. Celý problém je nutno rozdělit na intervaly, ve kterých bude elektrická inducke a intenzita elektrického pole spojitá (intervaly se stejnými parametry) : r<a (prostor uvnitř nabitého vodiče) Zvolíme-li kolem části vodiče obalovou válcovou plochu o délce l jako na obrázku, bude platit pro velikost plochy: S 2π r l Do této plochy není uzavřen žádný volný náboj, celý náboj je na povrchu nabitého vodiče : S 2 πr l 0 Elektrická indukce a intenzita pole uvnitř vodiče je nulová : 0 Er () 0

26 Vztah mezi intenzitou elektrického pole a potenciálem je dán obecně rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole válcově symetrické a všechny veličiny jsou navíc pouze funkcí poloměru, platí pro gradient jednoduchý vztah: d Er () dr φ () r Pomocí tohoto vztahu je možné určit i potenciál pole, které je buzeno rovnoměrně nabitým dlouhým vodičem : Pro potenciál uvnitř vodiče platí : φ () r Er () dr+ K K Potenciál ve vodiči je konstantní, vodič je ekvipotenciální. r a (prostor na povrchu a vně nabitého vodiče) Podle Gaussovy věty platí: S 2 πrl τ l V obalové ploše je nyní uzavřen celý volný náboj části vodiče o délce l (je na povrchu nabitého vodiče). Pozn.: V případě nekonečně dlouhého vodiče nemůžeme obalovou plochou obklopit celý vodič, ale pouze jeho část o délce l. τ je liniová hustota náboje, je to náboj připadající na jednotku délky vodiče (nevadí, že náboj je ve skutečnosti rozložen rovnoměrně na povrchu vodiče s nějakou plošnou hustotou, důležitá je válcová symetrie celé úlohy a to, že na stejnou délku vodiče připadá stejný náboj). Pro elektrickou indukci platí vztah: τ 2π r Pro intenzitu elektrického pole platí vztah : Er () ε 0 2 π τ ε 0 r Pro potenciál vně vodiče platí :

27 τ φ 2 () r Er () dr+ K 2 dr 2π ε 0 r 2 π τ ε 0 ln r + K 2 Pro jednoznačně určené rozložení intenzity elektrického pole je potenciál obecně nejednoznačný, může se lišit o libovolnou aditivní konstantu K. Parametrizujeme-li potenciál podmínkou : φ 2 ( r ) 0 z toho vyplyne: K 2 0 A pro potenciál v této oblasti : φ 2 () r 2 π τ ε 0 ln r Potenciál uvnitř vodiče lze zpětně parametrizovat na základě podmínky spojitosti na rozhraní mezi vodičem a okolním prostředím : φ ( r a) φ 2 ( r a) Z toho vyplyne velikost konstanty K, což je současně velikost potenciálu na vodiči : φ ( r a) K φ 2 ( r a) 2 π τ ε 0 ln a Potenciál pro poloměry jdoucí k nekonečnu limituje k mínus nekonečnu i u vodiče o konečném průměru. Pokusíme-li se vypočítat napětí mezi bodem na povrchu vodiče a bodem v nekonečnu podobně jako u nabité koule, vyjde narozdíl od koule nekonečně veliká hodnota. To je dáno tím, že na nekonečně dlouhém vodiči by byl teoreticky nekonečně veliký náboj, což je matematická a fyzikální abstrakce. Také pojem kapacity izolovaného nekonečně dlouhého vodiče proti elektrodě, která je umístěna v nekonečnu,nemá smysl.

28 Příklad 8 : Elektrické pole a potenciál nekonečně rozlehlé a rovnoměrně nabité roviny Při řešení problému je možno s výhodou využít vztah pro elektrickou indukci, který je dán Gaussovou větou: DdS. = S 0 Gaussovu větu můžeme použít v případech, kdy známe tvar a symetrii pole, ne však jeho velikost. Myšlenou obalovou plochu potom zvolíme tak, aby bylo možno naznačený integrál snadno vyčíslit, tedy takovou, na které je pole konstantní a kolmé na tuto plochu. V případě nekonečně rozlehlé nabité roviny je intenzita pole a indukce konstantní na libovolné rovnoběžné rovině. Náboj se rozmístí rovnoměrně po celé ploše. Siločáry elektrického pole vystupují kolmo z povrchu roviny symetricky na obě strany, pole má rovinnou symetrii. Není jediný důvod k tomu, proč by neměla být v konstantní vzdálenosti od roviny ( na rovnoběžné rovině) absolutní hodnota intenzity všude stejně veliká, směr intenzity kolmý k povrchu roviny. Uzavřenou obalovou plochu podle Gaussovy věty lze zvolit tak, že rovinu protkneme kolmo uzavřenou plochou, které bude mít podélně všude stejný průřez S. Může to například být válcová plocha jako na obrázku. Taková plocha vytkne na rovině oblast o ploše S, na které bude náboj : 0 σ S σ je plošná hustota náboje, je to náboj připadající na jednotku plochy nabité roviny. Podle Gaussovy věty platí pro integrál uzavřenou obalovou plochou: Dx () 2S σ S intenzity rovnoběžný s obalovou plochou). ( uplatní se pouze čelní části obalové plochy o velikosti 2 * S, tok vektoru elektrické indukce pláštěm je nulový, protože je tam vektor Z toho elektrická indukce ve vzdálenosti x : σ Dx () 2 Ze vztahu je vidět, že velikost indukce není na vzdálenosti od roviny závislá, indukce je všude konstantní : σ D konst fx () 2

29 Také intenzita elektrického pole je v libovolné vzdálenosti od nekonečně rozlehlé nabité roviny konstantní : σ E konst 2ε 0 Vztah mezi intenzitou elektrického pole a potenciálem je dán obecně rovnicí : E grad( φ) V případě, že je pole rovině symetrické a všechny veličiny mohou být navíc pouze funkcí vzdálenosti od nabité roviny x, platí pro gradient jednoduchý vztah: grad( φ) d d x φ () x φ () x Ex () dx+ K σ 2ε 0 x + K Pro jednoznačně určené rozložení intenzity elektrického pole je potenciál obecně nejednoznačný, může se lišit o libovolnou aditivní konstantu K. Potenciál je možno parametrizovat přiřazením jedné konkrétní hodnoty potenciálu jednomu konkrétnímu bodu. Volíme-li například potenciál nulový na nabité rovině, bude platit : φ ( x 0) 0 Konstanta K bude nulová : K 0 Pro potenciál v libovolném bodě platí vztah : σ φ () x x 2ε 0

30 Příklad 9 : Elektrické pole dvou koncentrických opačně nabitých koulí Předpokládané znalosti : Elektrické pole nabité vodivé koule Příklad 8 Výsledný tvar a velikost elektrického pole dvou opačně nabitých koncentrických koulí lze chápat jako superpozici polí osamocených nabitých koulí ( viz Příklad 8) Platí totiž : Vnitřek malé koule : r < a Sečteme-li pole vnitřní ( červené) kladně nabité koule, ze které vystupují siločáry ve směru z povrchu ven, s elektrickým polem vnější ( modré) duté záporně nabité koule, do které siločáry vstupují, zjistíme, že nenulové pole bude pouze mezi koulemi. Ve vnitřní kladně nabité kouli stejně jako vně obou koulí bude intenzita elektrického pole nulová. Intenzita uvnitř vodivé elektrody je nulová, nulová je i zde. E=0. Prostor mezi nabitými koulemi : a r b pole od vnitřní koule : E () r ε 0 r 2 pole od vnější kulové elektrody : E 2 () r 0 Výsledné pole : Er () E () r + E 2 () r ε 0 r 2 Prostor vně nabitých koulí: r > b Elektrické pole od vnitřní kulové elektrody: E () r ε 0 r 2 Elektrické pole od vnější kulové elektrody :

31 E 2 () r ε 0 r 2 Výsledné elektrické pole : Er () E () r + E 2 () r 0 Stejný výsledek dostaneme přímo a snadněji aplikací Gaussovy věty : Zvolíme-li uzavřenou obalovou plochu uvnitř vnitřní kulové elektrody, nebude v ní obsažen žádný náboj a pole zde bude nulové. Zvolíme-li obalovou plochu mezi elektrodami, bude v ní obsažen celý kladný náboj + a pole bude zcela stejné, jako vně osamocené kladně nabité koule. Zvolíme-li obalovou plochu vně elektrod, obklopíme celý náboj + a celý náboj, tedy celkový součtový náboj je nulový a pole také nulové. Průběh intenzity elektrického pole a elektrické indukce bude jako na obrázku :

32 Příklad 20 : Elektrické pole dvou souosých opačně nabitých válců Předpokládané znalosti : Elektrické pole válcového dlouhého vodiče Příklad 7 Elektrické pole dvou koncentrických nabitých koulí Příklad 9 Tento příklad je velice podobný Příkladu 9, v tomto případě je však válcová symetrie elektrického pole, při výpočtu lze použít postup pro výpočet pole válcového vodiče z Příkladu 7. Velikost elektrického pole lze určit přímou aplikací Gaussovy věty Vnitřní válcová elektroda : r < a Při aplikaci Gaussovy věty nebude uzavřen v obalové ploše žádný náboj, celý náboj vnitřní elektrody je totiž rozložen rovnoměrně na povrchu, tomu odpovídá i nulová hodnota intenzity elektrického pole uvnitř elektrody. E=0. Prostor mezi nabitými válcovými elektrodami : a r b Při aplikaci Gaussovy věty bude v uzavřené válcové obalové ploše o délce l uzavřen celý kladný náboj, který této délce odpovídá. Bude platit : S 2 πrl τ l Z toho elektrická indukce: τ 2π r a intenzita elektrického pole : τ Er () ε 0 2π ε 0 r Prostor vně nabitých válcových elektrod: r > b

33 Při aplikaci Gaussovy věty bude v uzavřené válcové obalové ploše o délce l uzavřen celý kladný a celý záporný náboj co této délce odpovídá, tedy nulový součtový náboj. Tomu odpovídá mulová intenzita pole v této oblasti. E 0 Výsledný tvar a velikost elektrického pole dvou opačně nabitých koncentrických válců lze se stejným výsledkem chápat také jako superpozici polí dvou izolovaných válců : Sečteme-li pole vnitřního( červeného) kladně nabitého válce, ze kterého vystupují siločáry ve směru z povrchu ven, s elektrickým polem vnějšího ( modrého) dutého záporně nabitého válce, do kterého siločáry vstupují, zjistíme, že nenulové pole bude pouze mezi válci. Ve vnitřním kladně nabitém válci stejně jako vně obou válců bude intenzita elektrického pole nulová. Průběh elektrické indukce a intenzity elektrického pole vypadá jako na obrázku :

34 Příklad 2 : Elektrické pole dvou rovnoběžných opačně nabitých rovin Předpokládané znalosti : Elektrické pole nekonečně rozlehlé rovnoměrně nabité roviny Příklad 8 Elektrické pole dvou koncentrických koulí Příklad 9 Elektrické pole dvou souosých válců Příklad 20 Jedná se o podobný problém jako v Příkladu 9 nebo 20, v tomto případě však s rovinnou symetrií elektrického pole, při výpočtu lze superponovat pole dvou osamocených nekonečně rozlehlých rovin z Příkladu 8. Sečteme-li elektrické pole kladně nabité roviny (na obrázku červená), jehož siločáry vystupují kolmo z roviny, s elektrickým polem záporně nabité roviny (na obrázku modré), které vstupují kolmo do povrchu roviny, zjistíme, že nenulové pole bude pouze mezi rovinami, mimo nabité roviny je elektrické pole nulové. Mezi rovinami se pole kladné a záporné roviny sečte, výsledné pole bude dvojnásobné, než pole osamocené nabité roviny. Pro elektrickou indukci bude platit: D σ 2 2 σ Pro intenzitu elektrického pole : E 2 σ 2ε 0 σ ε 0 Průběh elektrické indukce a intenzity elektrického pole bude jako na obrázku dole: