Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,
|
|
- Jozef Kolář
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v, v), ww ( 1, w, w ), pak - skalární součin vektorů u, v je roven součtu součinů jejich souřadnic: uv = uv 11+ uv+ uv, - vektorový součin vektorů u, v vypočítáme pomocí determinantu i j k u v = u u u, 1 v v v 1 - smíšený součin vektorů u, v, w vypočítáme pomocí determinantu u1 u u ( uvw,, ) = v1 v v w1 w w Nechť D je podmnožina množiny reálných čísel Je-li každému reálnému číslu jediný vektor f() t = xti () + yt () j+ ztk () = ( xt (), yt (), zt ()), t D přiřazen říkáme, že v množině D je definována vektorová funkce f () t jednoho reálného argumentu t Množina D se nazývá definiční obor vektorové funkce f ( t); její složky xt (), yt (), zt () jsou reálné funkce argumentu t Z geometrického hlediska představuje vektorová funkce f () t množinu bodů v trojrozměrném prostoru o souřadnicích ( xt ( ), yt ( ), zt ( )), t D, která se nazývá hodograf vektorové funkce Geometrický význam vektorové funkce: Jsou-li funkce xt (), yt (), zt () spojité v intervalu < ab, >, pak spojitá vektorová funkce f () t je rovnicí prostorové křivky, jejíž parametrické vyjádření má tvar x= xt ( ), y= yt ( ), z= zt ( ), t < ab, > Fyzikální význam vektorové funkce: vektorová funkce představuje trajektorii pohybujícího se hmotného bodu Příklad 411 Načrtněte hodograf vektorové funkce a) f( t) = (1 + ti ) + ( t) j, t < 0,1 >, b) f( t) = cos ti+ sin t j, t < 0, π ), c) f( t) = cos ti+ sin t j+ tk, t < 0, + ) Řešení: Všechny tři vektorové funkce jsou ve svém definičním oboru spojité, proto jejich hodografem bude křivka v rovině v případech a), b) a prostorová křivka v případě c) a) Parametrické rovnice křivky x= xt () = 1 + t, y= yt () = t, t < 0,1> jsou rovnicemi úsečky s krajními body A= ( x(0), y(0)) = (1 + 0, 0) = (1, ) a B= ( x(1), y(1)) = (1 + 1, 1) = (,1), viz obr 1a 1
2 y y π f ( ) A π f ( 4 ) x 0 f (0) f (1) B Obr 1a x 7π f ( 6 ) 0=S 7π f ( 4 ) Obr 1b b) Parametrické rovnice křivky x= xt () = cos, t y= yt () = sin t, t=< 0,π > umocníme na druhou a sečteme: x = 9cos t, y = 9sin t x + y = 9 cos t+ 9sin t = 9(cos t+ sin t) = 9 Rovnice x + y = 9 je rovnicí kružnice se středem S = (0,0) a poloměrem r =, viz obr 1b c) Parametrické rovnice křivky x= xt () = cos, t y= yt () = sin t, z= zt () = t, t < 0, ) určují šroubovici s počátkem v bodě (1,0,0) na válcové ploše x + y = 1 Umocněním prvních dvou rovnic na druhou a jejich sečtením analogicky jako v případě b) získáme rovnici řídicí kružnice x + y = 1 válcové plochy, viz obr 1c z t t= 4 π 0 1 t = π x t=0 1 t= 4 π y Obr 1c Příklady k procvičení: Načrtněte hodograf vektorové funkce: a) f( t) = ti+ t j, t < 0,1 >, b) ft ( ) = (1 + t) i+ tj, t (, ), c) f( t) = cos ti+ sin t j, t < 0, π ), d) ft ( ) = ti+ tj, t (, + ), e) f( t) = (1 t) i+ (1+ t) j+ ( + tk ), t < 0, ) Výsledky: a) Úsečka y = x od O= (0, 0) do A= (1,1) ; b) přímka x y 1= 0; c) elipsa x y + = 1; 4 9
3 d) parabola y = x; e) polopřímka s počátečním bodem (1,1, ) a směrovým vektorem ( 1,, ) Poznámky: 1 Místo termínu vektorová funkce se užívá také termín proměnný vektor Pojem vektorové funkce jedné proměnné t rozšíříme na vektorovou funkci dvou a více nezávisle proměnných Je-li dána libovolná množina bodů Ω E, pak vektorovou funkcí dvou nezávisle proměnných x, y nazýváme funkci, která každému bodu ( xy Ω, ) přiřadí jediný vektor f( xy, ) = Pxyi (, ) + Qxyj (, ) + Rxyk (, ) = ( Pxy (, ), Qxy (, ), Rxy (, )) Analogicky vektorovou funkcí tří nezávisle proměnných x, y, z nazýváme funkci, která každému bodu ( xyz,, ) Ω, Ω E, přiřadí jediný vektor f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ Rxyzk (,, ) = ( Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, )) Stručněji můžeme psát f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ), kde X= ( xy, ) pro funkci dvou proměnných, resp X= ( xyz,, ) pro funkci tří proměnných Vektorová funkce nebo také proměnný vektor je tedy spojením pojmů vektor a funkce Je to vektor, jehož souřadnice jsou funkcemi jedné (dvou, tří nebo více) nezávisle proměnné Právě proto, že jde o spojení pojmů vektor a funkce, můžeme s vektorovými funkcemi provádět operace známé z vektorové algebry (skalární, vektorový a smíšený součin) a z matematické analýzy (limita, derivace, integrál, ) 4 Derivaci podle času t bývá zvykem značit f () t 4 Skalární pole Dobře víte, že fyzikální veličiny dělíme na skaláry, vektory a tenzory Skalární fyzikální veličiny vytvářejí skalární pole Skalární pole v oblasti Ω E je určeno libovolnou funkcí u= uxyz (,, ), která je v oblasti Ω definována Skalární pole tedy přiřazuje každému bodu oblasti Ω jediné reálné číslo (skalár) K popisu skalárního pole slouží hladiny skalárního pole, derivace ve směru a gradient Hladinou skalárního pole u= uxyz (,, ) nebo také skalární hladinou nazýváme plochu vyjádřenou rovnicí uxyz (,, ) = CC, R Na dané skalární hladině proto nabývá skalární pole konstantní hodnoty (z praxe všichni známe izotermy, izobary, vrstevnice ) Mírou změny skalárního pole uxyz (,, ) ve směru vektoru je derivace ve směru V oblasti Ω je dáno skalární pole u= uxyz (,, ), bod A= ( a1, a, a) a jednotkový vektor = ( 1,, ), = 1 Derivací skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru nazýváme limitu ua ( + t ) ua ( ) du( A) lim a značíme ji t t 0+
4 Výpočet derivace ve směru Je-li funkce u= uxyz (,, ) diferencovatelná v bodě A, pak pro derivaci skalárního pole u v bodě A ve směru platí dua ( ) ua ( ) ua ( ) ua ( ) = 1+ + (1) d Poznámky: 1 Je-li směr určen směrovými kosiny = (cos α, cos β, cos γ), platí dua ( ) ua ( ) ua ( ) ua ( ) = cosα + cos β + cos γ d Derivace skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru určuje přírůstek skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru vektoru neboli rychlost růstu skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A ve směru vektoru Směr největšího růstu (největší spád) skalárního pole uxyz (,, ) určuje gradient skalárního pole Gradientem skalárního pole uxyz (,, ) nazýváme vektorovou funkci uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) uxyz (,, ) grad u = i + j + k =,, () Poznámky: 1 Zavedeme-li Hamiltonův operátor nebo také operátor nabla ( vektor, jehož složky tvoří operátory parciálních derivací postupně podle x, y, z) = i + j + k =,,, můžeme gradient skalárního pole u ( x, y,z ) zapsat ve tvaru grad u = u Pro derivaci skalárního pole uxyz (,, ) ve směru podle (1) platí du u u u = 1+ + d, du u u u po rozepsání =,, ( 1,, ) = grad u () d x y z Derivace skalárního pole uxyzve (,, ) směru jednotkového vektoru tedy je rovna skalárnímu součinu gradientu skalárního pole uxyz (,, ) a jednotkového vektoru směru Vlastnosti gradientu 1 Gradient skalárního pole uxyz (,, ) je v každém bodě kolmý k hladině tímto bodem procházející (má směr normály k hladině) Ve směru gradientu roste skalární pole uxyz (,, ) nejrychleji, ve směru opačném nejrychleji klesá Maximální rychlost růstu skalárního pole uxyzmá (,, ) velikost v = grad u( x, y, z) 4
5 4 Příklad 41 Vypočítejte derivaci skalárního pole uxyz (,, ) = x + 4y + z v bodě A = (1,,1) ve směru, který je určen vektorem AB, B = (4,6,6) Řešení: Nejprve musíme určit grad u, tedy hodnotu parciálních derivací skalárního pole u ( x, y,z ) v bodě A: u u u = 6 x, = 1 y, = 8 z, ua ( ) ua ( ) ua ( ) = 6, = 48, = 8, proto podle () grad u( A ) = (6,48,8) Abychom určili souřadnice jednotkového vektoru směru, vypočítáme postupně: AB = B A = (, 4,5), AB = = 50 = 5, AB 4 5 = =,, =,, AB Po dosazení do vztahu () platí: du( A) = (6,48,8),, = = Skalární pole uxyzv (,, ) bodě A ve směru vektoru roste Příklad 4 Určete gradient skalárního pole u( x, y, z) = x + y + z xy + xz + yz, jednotkový směr maximálního růstu pole v bodě A = (1,,1) a největší hodnotu derivace skalárního pole uxyz (,, ) v bodě A Řešení: Podle vztahu () určíme grad u = ( x y + z, y x + z, z + x + y ) Protože podle vlastnosti roste skalární pole nejrychleji ve směru gradientu, platí postupně v bodě A: grad u( A ) = (0, 4,8), grad u( A ) = 80 = 4 5, du( A) Derivaci vypočítáme použitím vztahu (), při čemž grad u( A) = = 0,, 0,, grad u( A) = : du( A) = grad u( A) = (0,4,8) 0,, = = du( A) Porovnáním výsledků grad u( A ) a zjistíme, že v případě směru maximálního du( A) růstu pole platí = grad u( A), což potvrzuje vlastnost ds Příklad 4 Určete množinu bodů, v nichž je velikost gradientu skalárního pole uxy (, ) ( x y) = + rovna 1 Řešení: Podle vztahu () je Pro jeho velikost platí grad u( x, y) = x ( x + y ) i + y x + y j grad u = 9 x ( x + y ) + 9 y ( x + y ) = 9( x + y )( x + y ) = ( x + y ) 5
6 Podle zadání je grad u( x, y) = 1 = ( x + y ), tedy x + y = 4 Řešením je množina všech bodů kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem Příklady k procvičení: 1 Určete hladiny daných skalárních polí a) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 x y, uxy (, ) > 0, c) d) uxyz (,, ) = x + y + z, uxyz (,, ) = 4 x + y + z Určete derivaci skalárního pole ux ( ) ve směru v bodě A: a) b) 4 u( x, y) = 5x 4xy + y 7, = i, A = (1,1), 5 u( x, y) = 4x 5x y + 10 y, AB, A = (0,1), B = (,4), uxy (, ) = x + y, (4 i j), A= (,4), 0 c) d) uxyz (,, ) = x + y + z, směr svírá s osou x úhel 60 a s osou y 0 úhel 45, A = (1, 0,1) Určete body, v nichž je derivace skalárního pole u( x, y) = x + y + xy v libovolném směru nulová z y 4 Vypočítejte derivaci skalárního pole u = x v bodě A = (1,, ) ve směru průvodiče 4 bodu A 5 Vypočítejte gradient skalárního pole ux ( ) v bodě A: a) b) uxy (, ) = x + y, A= (,1), uxy (, ) = 4 + x + y, A= (1, ), c) u( x, y, z) = x + y + z xyz, A = (0,1,1), 1 4 d) uxyz (,, ) = + + +, A= (1,1,1) x y z xyz 6 Stanovte body, v nichž je gradient skalárního pole u( x, y, z) = x + y + z xyz kolmý k ose x 7 Určete směr, ve kterém je derivace skalárního pole uxyz (,, ) = x + y + z 1 v bodě A = (0,,1) maximální x y z 8 Ve kterém směru roste skalární pole uxyz (,, ) = + + v bodě A= (1, 1,1) s největší y z x rychlostí? 9 S jakou největší rychlostí klesá skalární pole u( x, y, z) = ln( x y + z ) v bodě A = (1,1,1)? 10 Ve kterém bodě skalárního pole u( x, y, z) = x + xy + 4y + z 4z je gradient roven nulovému vektoru? 6
7 11 Ve kterém bodě skalárního pole u( x, y, z) = x 4y 4z xy 5x je gradient roven vektoru a = i j + 4k? 1 Určete úhel gradientů skalárního pole u = ln( x+ ln y) v bodech A= (1,1), B= (5,1) Výsledky: 1 a) kružnice: S = (0,0), r = c, c> 0 ; b) hyperboly: S = (0,0), a= c, b= c, c> 0 ; c) kulové plochy: S = (0,0,0), c> 0, r = c; d) plochy rotačních paraboloidů: a) 4 du( A) = 16 ; b) du( A) 14 = 14 du( A) = 5 ; c) 0; d) 5 a) grad u = 8i + 6 j; b) du( A) du( A), 0 d = 1 d = V 16 = (0,0, ), c 0 A= (0,0), B= ( 1, 1) 1 grad u = i + j ; c) grad u = i + j + k ; c d) grad u = 5i 6j 7 k 6 x = yz 7 10 A = (0,0, ) 11 A = (1, 0, ) 1 ϕ = 0 5 s = ( j + k ) 8 5 s = ( i + k ) 9 v = 4 Vektorové pole Vektorové pole v oblasti Ω E je určeno vektorovou funkcí nezávisle proměnných f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ Rxyzk (,, ), která je definována v oblasti Ω Vektorové pole tedy přiřazuje každému bodu X= ( xyz,, ) oblasti Ω jediný vektor f( xyz,,, ) jehož složky tvoří funkce Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) Jsou-li funkce Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) spojité v oblasti Ω a Pfaffova forma P( X ) dx + Q( X ) dy + R( X ) dz je totálním diferenciálem kmenové funkce φ (x,y,z), (tedy platí: P( X ) dx + Q( X ) dy + R( X ) dz = d φ(x) ), nazývá se tato kmenová funkce φ (x,y,z) potenciál vektorového pole f( xyz,, ) a platí f( X) f( X) f( X) f ( x, y, z) =,, = grad f( x, y, z) Funkce f( xyz,, ) se nazývá gradient potenciálu a vektorové pole (4) určené potenciálem φ ( xyz,, ) se nazývá konzervativní nebo také potenciálové vektorové pole Vektorové pole popisujeme vektorovými čarami, divergencí a rotací Vektorové čáry (siločáry, indukční čáry, proudnice) jsou křivky, jichž se vektor f ( X ) v každém bodě dotýká, viz obr a, b, c Na obr jsou načrtnuta vektorová pole a) obvodové rychlosti rotačního pohybu tuhého tělesa, b) centrálního silového pole, c) rychlosti laminárního proudění kapaliny (4) 7
8 v(x) x v(x) x Obr a Obr b x v(x) Obr c Vektorové pole je určeno vektorovou funkcí f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ), přičemž funkce PX ( ), QX ( ), RX ( ) jsou spojité a diferenciabilní v oblasti Ω 1 Divergencí vektorového pole f ( X ) je skalární pole PX ( ) QX ( ) RX ( ) div f ( X) = + + = f ( X) (5) Vektorové pole, v jehož každém bodě platí div f ( X ) = 0, se nazývá nezřídlové (solenoidální) Body, v nichž platí div f ( X ) > 0, se nazývají zřídla a body, v nichž platí div f ( X ) < 0, se nazývají nory Rotací vektorového pole f ( X ) je vektorové pole i j k R Q P R Q P rot f ( X) = =,, = f ( X) (6) y z z x x y PX ( ) QX ( ) RX ( ) 4 Vektorové pole, v jehož každém bodě platí rot f ( X ) = o, se nazývá nevírové (bez vírů, laminární) Význam divergence a rotace vektorového pole si objasníme na vektorovém poli rychlosti vxyz (,, ) stacionárního proudění kapaliny Divergence vektorového pole v v bodě A je skalár, určující objemové množství kapaliny, které vyteče za jednotku času z jednotkového objemu v okolí bodu A, neboli vydatnost zřídla jednotkového objemu 8
9 Rotace vektorového pole v v bodě A je vektor, jehož směr určuje osu, kolem které kapalina v bezprostředním okolí bodu A rotuje jako celek Vektorové pole f( X) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ) je v oblasti Ω potenciálové (konzervativní) právě tehdy, když je v Ω nevírové, tj platí rot f ( X ) = o Podle této věty snadno rozhodneme, zda je vektorové pole f( X ) potenciálové Stačí vypočítat rot f ( X ) a podle výsledku rozhodnout: rot f ( X ) rot f ( X ) = o pole f( X ) je potenciálové a má potenciál, o pole f( X ) není potenciálové a nemá potenciál Příklad 41 Znázorněte vektorové pole f( xy, ) = ( x yi ) + ( x+ y) j, které je zadáno v oblasti Ω : x + y 4 Řešení: Zvolíme v oblasti Ω několik bodů a vypočítáme příslušné vektory f, které jsou těmto bodům přiřazeny, viz obr y A= (1,1) f (1,1) = 0i + j, D F E C A B x B= (, 0) f (, 0) = i + j, C = (0, ) f (0, ) = i + j, Obr D= (, 0) f (, 0) = i j, E = (0, ) f (0, ) = i j, F = ( 1,1) f ( 1,1) = i + 0 j Příklad 4 Rozhodněte, zda vektorové pole f ( x, y, z) = ( x + yz) i + ( y + xz) j + ( z + xy) k je a) nezřídlové, b) nevírové c) Určete jeho potenciál, pokud existuje Řešení: V daném vektorovém poli je P Q R P = x + yz, Q = y + xz, R = z + xy, =, x = y, = z a) Podle vztahu (5) platí div f ( x, y, z) = x + y + z 0, vektorové pole je proto zřídlové Například v bodě A = (1,1,1) platí div f ( A ) = 6, tedy v bodě A je zřídlo, v bodě B = ( 1, 1, 1), kde platí div f ( B ) = 6, je naopak nor b) Podle vztahu (6) určíme i j k rot f ( X ) = = x + yz y + xz z + xy 9
10 ( z + xy) ( y + xz ( x + yz) ( z + xy) ( y + xz) ( x + yz) = i + j + k = o, y z z x x y dané pole je tedy nevírové Proto je také potenciálové a má proto potenciál K určení potenciálu vypočítáme integrály: P( X ) dx = x ( x + yz) dx = + xyz + C1 Q( X ) dy = y ( y + xz) dy = + xyz + C R( X ) dy = z ( z + xy) dy = + xyz + C,, Uvědomíme si, že neurčitý integrál je definován jako množina primitivních funkcí Potenciál určíme podobně jako sjednocení těchto funkcí Znamená to tedy, že žádná funkce se ve výsledku nesmí opakovat φ x y z x + y + z ( X ) = xyz + C = + xyz + C Příklad 4 Vektorové pole síly F směřuje do počátku soustavy souřadnic a jeho velikost v libovolném bodě X( xyz,, ) je rovna převrácené hodnotě čtverce vzdálenosti bodu X( xyz,, ) od počátku Určete, zda toto pole je potenciálové Řešení: Síla F má směr polohového vektoru bodu X: OX = X O = ( x, y, z), ale opačnou orientaci: F = ( cx, cy, cz ), kde c R je konstanta úměrnosti Pro její velikost platí F = c x + c y + c z = c x + y + z, vzdálenost bodu X( xyz,, ) od počátku je OX = x + y + z 1 1 Podle zadání je F = =, OX x + y + z Porovnáním zjistíme 1 c x + y + z = x + y + z a určíme 1 c = / ( x + y + z ) Vektorové pole má proto složky FX ( ) = PXi ( ) + QX ( ) j+ RXk ( ) = xi yj zk = / / / ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) Podle vztahu (6) vypočítáme 1/ 1/ yz( x + y + z ) yz( x + y + z ) rot F( X ) = i + ( x y z ) ( x y z ) / 1/ xz( x + y + z ) xz( x + y + z ) + j + ( x y z ) ( x y z ) / 1/ xy( x + y + z ) xy( x + y + z ) + k = o ( x + y + z ) ( x + y + z ) Vektorové pole je proto nevírové a také potenciálové 10
11 Příklady k procvičení: 1 Určete divergenci a rotaci daného vektorového pole: a) f ( x, y, z) = xi + yj + 4 zk, b) f ( x, y, z) = x yzi + xy zj + xyz k, c) f( xyz,, ) = (sin y+ zi ) + ( xcos y z) j, d) f ( x, y, z) = grad( x + y + z ) Rozhodněte, zda dané vektorové pole je nezřídlové, nevírové, potenciálové Určete potenciál, pokud existuje a) f ( x, y, z) = ( x + yz) i + ( y + xz) j + ( z + xy) k, b) f( xyz,, ) = ( y+ zi ) + ( x+ z) j+ ( x+ yk ), c) f( x, y, z) = xi z j+ y k, d) f ( x, y, z) = grad( xyz) 1 x Je proudění o rychlosti v = ( + z) i y y j + xk laminární? Výsledky: 1 a) div f = 9, rot f = o ; b) div f = 6 xyz, rot f = ix( z y ) + jy( x z ) + kz( y x ); c) div f = xsin y, rot f = i + j ; d) div f = 6x + 6y + 6, z rot f = o x + y + z a) zřídlové, nevírové, potenciálové, φ( x, y, z) = + xyz + C ; b) nezřídlové, nevírové, potenciálové, φ ( x, y, z) = xy + xz + yz + C ; c) zřídlové, vírové, není potenciálové, nemá potenciál; d) nezřídlové, nevírové, potenciálové, φ ( x, y, z) = xyz + C Ano 44 Operace druhého řádu Je dáno skalární pole uxyz (,, ) a vektorové pole f( xyz,, ) = Pxyzi (,, ) + Qxyz (,, ) j+ + Rxyzk (,, ), přičemž funkce uxyz (,, ), Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) jsou dvakrát spojitě diferenciabilní v oblasti Ω Operace graduxyz (,, ) = uxyz (,, ) (), divf( xyz,, ) = f( xyz,, ) (5) a rotf( xyz,, ) = f( xyz,, ) (6) nazýváme operacemi prvního řádu Výsledkem operací grad u( X ) a rot f ( X ) jsou vektorová pole, výsledkem div f ( X ) je pole skalární Jestliže na tato pole znovu aplikujeme operace gradient, divergence a rotace, můžeme vytvořit pět operací druhého řádu: u u u u u u div grad u( X ) = u =,,,, = + + = u, x y z x y z přičemž operátor se nazývá Laplaceův operátor = + + (7) 11
12 i j k rot grad u = u = = u u u u u u u u u = i + j + k = o, yz yz xz xz xy xy i j k div rot f = ( f ) =,, = P Q R R Q P R Q P =,,,, = y z z x x y R Q P R Q P = + + = 0, xy xz yz xy xz yz grad div f = ( f ) =,,,, ( P, Q, R) = P Q R P Q R =,, + + = + +, x y z x y z x xy xz P Q R P Q R + +, + + = xy yz xz yz y z P P P Q Q Q R R R =,, +,, +,, = xy xz xy yz xz yz x y z P P P Q Q Q R R R =,, +,, +,, = x y z P Q R = grad + grad + grad, = gradp + gradq + gradr, rot rot f = ( f ) = grad div f f dokážeme analogicky Poznámky: 1 Protože rot grad u = o pro každé skalární pole u a dif rot f = 0 pro každé vektorové pole f, je zřejmé, že tyto dva operátory druhého řádu nemají praktický význam Teoreticky lze další aplikací operací grad u = u, div f = f a rot f = f vytvořit celkem devět operací druhého řádu Operace grad grad u, grad rot f, div div f, rot div f však nelze vytvořit: Výsledkem operace grad u je vektorové pole f, proto na ně nelze znovu aplikovat gradient (je definován výhradně pro pole skalární) 1
13 Výsledkem operace rot f je vektorové pole g, proto na ně nelze znovu aplikovat gradient (je definován výhradně pro pole skalární) Výsledkem operace div f je skalární pole u, proto na ně nelze znovu aplikovat divergenci (je definována výhradně pro pole vektorové) Výsledkem operace div f je skalární pole u, proto na ně nelze znovu aplikovat rotaci (je definována výhradně pro pole vektorové) Shrneme-li předchozí poznámky, vidíme, že význam mají pouze tři operace druhého řádu u u u Nejdůležitější z nich je Laplaceův operátor u = + + = div grad u( X ) = u 4 Skalární pole uxyz (,, ), v jehož každém bodě platí uxyz (,, ) = 0, se nazývá Laplaceovo pole Příklad 441 Vypočítejte u 4, kde u= uxyz (,, ) = x + 4y z Řešení: Podle vztahu (7) musíme vypočítat všechny druhé čisté parciální derivace funkce uxyz (,, ) u u u u u u = 6 x, = 6, = 1 y, = 4 y, = 8 z, = 4z x y z x y z Platí tedy Příklady k procvičení: 1 Vypočítejte u 4 u = 6 + 4y 4z Pole u = x + 4y z tedy není Laplaceovo, je-li dáno: a) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 x y, c) uxyz (,, ) = x + y + z Rozhodněte, zda dané vektorové pole u(x) je Laplaceovo: a) d) uxy (, ) = x + y, b) uxy (, ) = 4 + x + y, c) u( x, y, z) = x + y + z xyz, 1 uxyz (,, ) = + +, x 0, y 0, z 0, e) uxyz (,, ) = x+ y+ z x y z Výsledky: 1 a) u = 4 ; b) u = 6 ; c) a) není; b) není; c) není; d) není; e) je u = x + y + z 1
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 18 Vektorová analýza a teorie pole Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 18 Vektorová funkce jedné
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky
Matematika III Základy vektorové analýzy Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Skalární a vektorový součin Skalární součin Vektorový součin
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
VEKTOROVÁ POLE Podíváme se podrobněji na vektorové funkce. Jde často o zkoumání fyzikálních veličin jako tlak vzduchu, proudění tekutin a podobně. VEKTOROVÁ POLE Na zobrazení z roviny do roviny nebo z
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceObsah. 1 Afinní prostor 2. 2 Křivky 10
Matematická analýza 3 1 Obsah 1 Afinní prostor 2 2 Křivky 10 3 Křivkové integrály, Greenova věta 15 3.1 Křivkové integrály................. 15 3.2 Greenova věta.................... 18 3.3 Důsledky Greenovy
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
Vícev aplikacích. Vznikala v průběhu minulého století a mj. reagovala na potřeby zejména
Přírodovědecká fakulta MU Ondřej Došlý Jaromír uben ŘIVOVÝ INTEGRÁL Brno 2005 Došlý Ondřej, uben Jaromír řivkový integrál Copyright c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., doc. RNDr. Jaromír uben, CSc., 2005
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
Více3 Křivkové integrály, Greenova věta Křivkové integrály Greenova věta Důsledky Greenovy věty... 20
Matematická analýza 3 1 Obsah 1 Afinní prostor 2 2 Křivky 10 3 Křivkové integrály, Greenova věta 15 3.1 Křivkové integrály................. 15 3.2 Greenova věta.................... 18 3.3 Důsledky Greenovy
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Více