Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Transkript

1 Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání

2 Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy a jejich popis v časové doméně: Konvoluce Impulsní charakteristika Systémy a jejich popis ve frekvenční doméně: Fourierovy řady Odezva systému na harmonický signál, frekvenční charakteristika Příklady: systém pro hledání bodů zlomu v signálu výpočet frekvenční charakteristiky systému z jeho diferenční rovnice

3 Opakování: signály Definice signálu a jeho matematické vyjádření Klasifikace signálů podle čeho dělíme a na co je dělíme A/D převod z čeho se skládá Vzorkovací věta a aliasing Kvantování a kvantizační šum Systém definice, struktura systému Systém tři základní vlastnosti

4 Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy : y[n] = x 2 [n]? y[n] = x[2n]?

5 Vlastnosti systémů lineární x nelineární systémy časově invariantní x časově proměnné systémy kauzální x nekauzální systémy : y[n] = x 2 [n] Nelinární, časově invariantní, kauzální y[n] = n.x[2n] Lineární, časově proměnný, nekauzální

6 LTI systémy Lineární časově invariantní systémy (LTI): disponují elegantní matematické vztahy mezi jeho vstupy a výstupy. lze určit výstupní odezvu systému na jakýkoli vstup lze také určit vstup systému při pozorování jeho výstupu Selský rozum: Znám-li odezvu LTI systému na velmi krátký vstupní signál, mohu pomocí těchto velmi krátkých signálů seskládat libovolný vstupní signál a odezvu LTI systému na něj pak seskládat ze známé odezvy na velmi krátký signál.

7 LTI systémy lineární systém Hledáme základní, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

8 Jednotkový diskrétní impulz?

9 Jednotkový diskrétní impulz Jednotkový diskrétní impulz je elementární posloupnost ve tvaru osamělého vzorku jednotkové velikosti Pozn.: Neplést s Diracovým impulsem!

10 Reprezentace DT signálů jednotkovými impulsy

11 Reprezentace DT signálů jednotkovými impulsy Pozn.: Filtrační vlastnost Diracovy distribuce:

12 Odezva systému na jednotkový impuls x[n] LTI systém y[n] Lineární systém: je odezvou systému na:

13 Odezva systému na jednotkový impuls x[n] LTI systém y[n] Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls:

14 Odezva systému na jednotkový impuls x[n] LTI systém y[n] Lineární a časově invariantní systém s odezvou h[n] na jednotkový impuls: konvoluční suma

15 LTI systémy: konvoluce x[n] LTI systém y[n]

16 LTI systémy: konvoluce x[n] LTI systém y[n] IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA SYSTÉMU

17 LTI systémy: konvoluce x[n] LTI systém y[n] Sečti odezvy přes všechny k

18 LTI systémy: konvoluce x[n] LTI systém y[n]

19 LTI systémy: konvoluce

24 LTI systémy: konvoluce Stabilní systém kritérium v časové oblasti

25 LTI systémy: konvoluce Komutativní vlastnost konvoluce

26 LTI systémy: konvoluce Asociativní vlastnost konvoluce

27 LTI systémy: konvoluce Distributivní vlastnost konvoluce

28 LTI systémy: konvoluce Distributivní vlastnost konvoluce Každý netriviální LTI systém může být rozložen na paralelní spojení jednodušších dílčích LTI systémů.

29 LTI systémy: konvoluce Průměrovací vlastnost konvoluce

30 2. cvičení 1. Realizujte vlastní funkci pro výpočet konvoluce pomocí cyklu, násobení a sčítání. Porovnejte výsledky z Vaší implementace s výsledky z matlabovské funkce conv(). Otestujte, zda je operátor konvoluce komutativní. 2. Realizujte systém představující hranový detektor pro detekce bodů zlomu v signálu. Hranový detektor představuje druhou diferenci. 3. Realizujte systém popsaný touto diferenční rovnicí: y[n] = ( x[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3] x[n-4] x[n-5] x[n-6] x[n-7] x[n-8] x[n-9]) / 100. a prozkoumejte jeho odezvu na předložený signál.

31 2. Cvičení - konvoluce

32 2. Cvičení hranový detektor

33 2. cvičení vyhlazování 10 9 zaruseny originalni vyhlazeny

34 ffgf SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti 34

35 LTI systémy lineární systém Hledáme základní, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled

36 LTI systémy lineární systém Hledáme základní, tj. bázové signály tak, aby: bylo možné reprezentovat libovolné signály jako lineární kombinaci těchto bázových signálů odezva LTI systémů na tyto bázové signály byla jednoduchá a zároveň aby umožňovala dostatečně hluboký vhled MINULE: NYNÍ: jednotkové impulsy sinusové signály - komplexní exponenciály

37 Eulerovy vztahy e jx + e jx cos x = 2 e jx e jx sin x = 2 j

38 Fourierovy řady?

39 Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí.

40 Fourierovy řady Fourierova řada slouží k vyjádření rozvoje funkce prostřednictvím goniometrických funkcí. Fourierovy řady slouží jako teoretický základ pro analýzu signálů a systémů ve frekvenční oblasti.

41 Fourierovy řady x(t) a k. spojitý periodický signál se základní periodou T. diskrétní posloupnost komplexních čísel

42 Fourierovy řady průměr

45 Fourierovy řady periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce) pro všechna k

46 Fourierovy řady periodický sled Diracových impulsů (vzorkovací funkce) pro všechna k Všechny komponenty mají stejnou amplitudu a stejnou fázi.

47 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je. je.

48 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá.

49 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0

50 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0 Příklad: posun o půl periody..

51 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: LINEARITA: KOMPLEXNÍ SDRUŽENÍ: je reálná je sudá, pak je sudá, pak je lichá. je lichá. POSUNUTÍ V ČASE: fázový posun úměrný t 0 Příklad: posun o půl periody.

52 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM:

53 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky

54 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná.

55 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PARCEVALŮVTEORÉM: Průměrný výkon signálu Výkon k-té harmonické složky Energie, ať měřená v časové nebo frekvenční oblasti, zůstává stejná. NÁSOBENÍ: x(t) i y(t) jsou periodické signály s periodou T. důkaz:

56 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T.... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje.

57 Fourierovy řady Vlastnosti FŘ: PERIODICKÁ KONVOLUCE: x(t), y(t) jsou periodické signály s periodou T.... i z(t) je periodický signál s periodou T. Nezáleží na tom, nad kterou periodou se integruje. Násobení ve frekvenční oblasti!!!

58 Fourierovy řady Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci:. aneb k čemu mi je analýza periodických signálů, když většina signálů, které znám, jsou neperiodické? (EKG, epidemiologické trendy, apod.)

59 Fourierovy řady Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci: periodické signály Fourierova řada aperiodické signály. Fourierova transformace periodické s ω 0 = 0 a T =. 8 diskrétní posloupnost koeficientů pro ω 0, 2ω 0, 3ω 0,

60 Fourierovy řady Poznámka o Fourierověřadě a Fourierově transformaci: periodické signály Fourierova řada aperiodické signály. Fourierova transformace periodické s ω 0 = 0 a T =. 8 diskrétní posloupnost koeficientů pro ω 0, 2ω 0, 3ω 0, Integrace přes nekonečno a výsledkem bude spojitý obraz spojité funkce x(t):

61 Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N.

62 Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. řada

63 Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada

64 Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k.

65 Fourierovy řady Fourierova reprezentace diskrétních signálů x[n] periodický signál se základní periodou N. konečná řada a k =? suma přes N kterýchkoliv po sobě jdoucích hodnot k.

66 Fourierovy řady a k =? N rovnic o N neznámých

67 Fourierovy řady a k =? Konečné geometrické řady:

68 Fourierovy řady a k =? Konečné geometrické řady:.. spec. vlastnost u diskrétních signálů

69 Fourierovy řady Poznámka o Fourierověřadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform):.

70 Fourierovy řady Poznámka o Fourierověřadě diskrétního signálu a DTFT (discrete-time Fourier transform): DTFT nějaké posloupnosti se počítá úplně stejně jako se počítají koeficienty Fourierovy řady této posloupnosti

71 Periodické signály a LTI systémy

72 Periodické signály a LTI systémy zesílení amplituda fáze

73 Periodické signály a LTI systémy zesílení amplituda fáze LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty existující ve vstupním signálu.

74 Periodické signály a LTI systémy Frekvenční charakteristika: G(ω) =

75 Periodické signály a LTI systémy Frekvenční charakteristika: G(ω) = je periodická funkce, jejíž výpočet odpovídá výpočtu koeficientů Fourierovy řady impulsní charakteristiky h.

76 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

77 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém..

78 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém..

79 Frekvenční charakteristika PŘÍKLAD: vyhlazovací systém

80 3. cvičení 1. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systému, který aproximuje derivaci signálu: 2. Vypočtěte frekvenční charakteristiku jednoduchého systém, který provádí dvouvzorkové vyhlazování: 3. Aplikujte vyhlazovací a derivovací systém na učitelem dodané 1-D a 2-D signály a sledujte jak frekvenční charakteristika systémů ovlivňuje povahu výstupních signálů.

81 3. cvičení

82 3. cvičení Magnitude Response (db) 5 0 Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample)

83 3. cvičení Incidence Mortalita

84 ffgf Otázky? 84