JAK NA ZEBRY? Marta Volfová, garant oboru matematika

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "JAK NA ZEBRY? Marta Volfová, garant oboru matematika"

Transkript

1 JAK NA ZEBRY? Marta Volfová, garant oboru matematika Učitel autoškoly říká adeptovi šoférského umění: Právě jste přejel zebru! Ten sebou trhne a ptá se: Propána, co se jí stalo? Žije? Tak o těchto zebrách řeč nebude. Nebudeme hovořit ani o tom, jak osedlat zebru ze ZOO. Zebrami nazýváme zajímavé logické kombinatorické úlohy, které vyžadují správně k sobě přiřadit prvky několika různých množin na základě několika (zdánlivě nepostačujících) informací. Název zebra dostaly podle úlohy, která asi před 50 lety okouzlila celý svět a která končila otázkou: Kdo chová zebru? (U nás se tato úloha prvně objevila v r v časopise, který může mladým matematickým talentům hodně dát, neboť stále vychází a mívá zajímavé články a úlohy, totiž v Rozhledech matematickofyzikálních.) Několik posledních let však tato úloha putuje v různě obměněných verzích po internetu pod názvem Einsteinova úloha (i s informací, že 98 % lidí ji vyřešit neumí). Úloha 1 V ulici cizinecké čtvrti stojí vedle sebe pět domků různých barev. V každém bydlí muž jiné národnosti, v každém se pije jiný oblíbený nápoj, v každém domku je oblíben jiný sport, resp. se nesportuje vůbec a konečně v každém se pěstuje jiný druh zvířat. O domcích a jejich obyvatelích známe tyto informace: A) Angličan bydlí v červeném domku. B) Španěl chová psa. C) Káva se pije v zeleném domku. D) Polák pije vodku. E) Zelený domek stojí vedle domku bílého (z hlediska pozorovatele domků). F) Fotbalista pěstuje hlemýždě. G) Ve žlutém domku bydlí cyklista. H) Mléko se pije v prostředním domku. I) V prvním domku bydlí Nor. J) Nesportovec bydlí vedle domku, v němž je chována liška. K) Domek cyklisty sousedí s domkem, v němž je chován kůň. L) Zápasník pije pomerančovou šťávu. M) Japonec je hokejista. 1

2 N) Nor bydlí vedle modrého domku. O) V jednom domku se pije voda. P) V jednom domku je chována zebra. Kdo chová zebru a kdo pije vodu? Jestli jste už takové úlohy řešili, můžete ji zkusit bez dalšího čtení řešit. Jestliže ne, začneme úlohou lehčí a ukážeme, jak se takové úlohy řešit dají. Stará a oblíbená je tato úloha 2 (vyskytuje se v přemnoha variantách) Tři známí sedí spolu v kavárně, povídají si a najednou jeden povídá: to je legrace, my máme stejná zaměstnání jako jsou naše jména, ale nikomu se jméno a zaměstnání nekryje! Na to odpoví pekař: To máte pravdu, pane Zahradníku! Jaké zaměstnání měl pan Tesař? Lze řešit usuzováním, kombinováním, někdo řeší tzv. vhledem. Dobré je u podobných úloh užívat tabulku. pekař zahradník tesař pan Pekař pan Zahradník pan Tesař Proškrtneme dvojice, které se vylučují (Pekař pekař atd.), pak i dvojici těch, co spolu hovořili (a nemohou tedy tvořit jednu osobu): pekař Zahradník. Zbyde-li v nějaké řádce či sloupci jen jedna možnost, vyznačíme ji jako správnou a v příslušném sloupci či řádce vyškrtáme zbylé možnosti. Zde ve 2. řádce zbývá jediná možnost pan Zahradník je tesařem tedy tesařem není pan Pekař, proto ve 3. sloupci vyloučíme možnost Pekař tesař a tabulku dokončíme. pekař zahradník tesař pan Pekař pan Zahradník pan Tesař Pan Pekař je tedy zahradníkem a pan Tesař pekařem. Tuto tabulkovou metodu můžeme využít i u složitějších úloh, jak ukážeme dále. Nejdřív ale připomeneme ještě dvě jiné metody řešení Zeber. 2

3 Úloha 3 Na studiích se sešly tři studentky Kája, Jana a Lenka. Každá dělá jiný sport a pochází z jiného města. Víme o nich, že 1. Jana nedělá balet, 2. Lenka nedělá gymnastiku, 3. gymnastka je z města krajky, 4. ta, co baletí, není z Hradce, 5. Lenka není z Plzně, 6. jedna pěstuje aikido. Můžeme řešit tzv. stromem logických možností např. ke každé dívce připíšeme všechny možnosti prováděného sportu (to je 3. 3 = 9 případů) a ke každému z nich všechna tři města (celkem 27 možností) a pak budeme vyškrtávat podle sdělených informací neslučitelné. Z 1. a 2. však plyne, že u Jany a Lenky přicházejí v úvahu jen dva sporty, z 3., že ke gymnastce přiřadíme jen Vamberk, k baletu by podle 4. patřil Vamberk nebo Plzeň, protože ale Vamberk je přiřazen gymnastce, může být balet spojen jen s Plzní. Pro Lenku přichází v úvahu jen Hradec nebo Vamberk. Tedy Vamberk bude jen u gymnastiky a Plzeň u baletu. Jana gymnastika - Vamberk aikido - Hradec Lenka balet Plzeň (ale podle 5. Lenka z Plzně není) aikido - Hradec Kája balet Plzeň gymnastika - Vamberk aikido Hradec Vidíme, že pro Lenku vychází jen možnost aikido Hradec (škrtneme aikido u druhých děvčat) pak Janě vychází Vamberk a gymnastika a Káje balet a Plzeň. Další metodou, vhodnou pro jednodušší úlohy, je užívat grafického znázornění. Načrtneme trojúhelník (případně i čtyř- nebo pětiúhelník) a na každou jeho stranu vyznačíme prvky jedné z množin (např. lidi, města, pohoří, ). Pak spojíme plnou čarou prvky, které k sobě patří a čárkovaně, které nepatří. 3

4 Užití ukážeme na úloze 4 Každý ze tří kamarádů (Petr, Karel, Jan) o prázdninách podnikal turistické túry právě v jednom z pohoří Alpy, Tatry, Krkonoše a navštívil právě jedno ze zajímavých měst Hradec Králové, Salzburg, Kežmarok. Určete, kdo byl kde, víte-li, že: - Karel si opět zopakoval svou oblíbenou tatranskou túru na Kriváň. - Ten, kdo jel do Krkonoš, si cestou prohlédl Gočárovo řešení Hradce. - Petr říkal, že v Krkonoších byl už aspoň desetkrát, a jel jinam. - Ten, kdo byl v Tatrách, uvěřil reklamě, že při špatném počasí je nejlepší řešení navštívit půvabné městečko Kežmarok a své návštěvy nelitoval. Načrtneme trojúhelník, na každou stranu napíšeme prvky jedné z množin a vyznačíme plnou čarou podle textu pravdivá spojení, čárkovanou neuskutečněná. Dále: - Karel byl v Tatrách, tedy ne v Krkonoších spojíme Karel Krkonoše přerušovanou čarou. - Krkonoše nejsou spojeny plnou čarou ani s Petrem ani s Karlem musí být s Janem. A protože jsou plnou čarou spojeny s Hradcem, dostáváme 1. řešení trojúhelník Jan Krkonoše Hradec Králové. - Petr nejel do Krkonoš ani do Tater (tam byl Karel), jel tedy do Alp. (Vyznačíme plnou čarou.) - Plzně je spojeno Karel Tatry, Tatry Kežmarok, bude i spojení Karel Kežmarok (2. řešení). - Petr je spojen s Alpami, z měst zbývá jediné, tedy propojíme a máme 3. řešení: trojúhelník Petr Alpy Salzburg. 4

5 Vždy platí: každý prvek je spojen právě s jedním prvkem z každé další množiny (spojení vyznačíme plnou čarou); s ostatními prvky té množiny již být spojen nemůže (čárkovaná čára). Má-li prvek vyloučeny z nějaké další množiny již všechny prvky až na jeden, musí být spojen s ním. Tato metoda je výhodná jen pro jednodušší úlohy. Pro trochu složitější úlohy si získala oblibu metoda tabulková. Její užití ukážeme na úloze 5 Určete, kdo má jakého psa, víte-li, že Královi nemají boxera, ale mají psa jménem Nero nebo Dick, Staňkovi mají psa, co se jmenuje Nero nebo Filip a není to určitě vlčák, knírač Alan se se Šmídovým Filipem nemá moc rád. Vlčák není Filip ani Argo, boxer má jméno Nero nebo Dick, u Valentů mají vždy krásně ostříhaného pudla, Majerovi nedali psovi jméno Argo. Jeden pes je jezevčík. Připravíme tabulku a podle textu budeme vyznačovat (to, co platí, tečkou, co neplatí, vodorovnou čarou). boxer vlčák jezevčík knírač pudl Alan Nero Dick Argo Filip Královi Staňkovi Šmídovi Majerovi Valentovi Alan Nero Dick Argo Filip - Královi nemají boxera, jejich pes se nejmenuje ani Alan ani Argo ani Filip (protože je Nero nebo Dick), - Staňkovi nemají vlčáka; jejich pes není Alan ani Dick ani Argo, - knírač je Alan; ke dvojici Alan knírač vyškrtáme zbývající část řádku i (dolního) sloupce, protože knírač Alan nemá rád Filipa od Šmídových, tedy Šmídovi nemají knírače, nemají Alana; mají Filipa; ke dvojici Šmídovi Filip vyškrtáme opět zbylé v řádku i sloupci, - Valentovi mají pudla; k dvojici Valentovi pudl vyškrtáme v příslušném řádku i sloupci zbylá okénka, - Majerovi nemají Arga, 5

6 - uplatníme, že vlčák není Argo a boxer že není Alan ani Argo ani Filip (protože je Nero nebo Dick). (Výsledná podoba tabulky po tomto doplňování informací je na obrázku.) - Nyní ve sloupci Argo zbývá jediné volné políčko Valentovi; k dvojici Valentovi Argo proškrtáme zbylé v řádku i sloupci; Valentovi mají pudla Argo doplníme v dolní tabulce Argo pudl a proškrtáme zbytek sloupce i řádku. - V posledním řádku Filip je teď jediné volné okénko jezevčík ; Filipa mají Šmídovi, tedy mají jezevčíka (vyškrtáme vše k dvojici Filip jezevčík a Šmídovi jezevčík). - V pravé horní tabulce vyznačíme Staňkovi Nero (jediné volné políčko) a proškrtáme sloupec; dále Královi Dick (totéž) a Majerovi Alan (opět táž situace). - Víme tedy, že Majerovi mají Alana a že Alan je knírač; vyznačíme dvojici Majerovi knírač a proškrtáme zbylé v příslušném sloupci i řádku. - Zbývá doplnit, že Královi mají vlčáka; jejich pes se jmenuje Dick; Dick je tedy vlčák. - Uzavřeme posledními dosud volnými políčky: Staňkovi boxer, Nero boxer. Výsledná tabulka sděluje, že Královi mají vlčáka Dicka, Staňkovi boxera Nera, Šmídovi jezevčíka Filipa, Majerovi knírače Alana a Valentovi pudla Arga. Nejsložitější úlohy řešíme úvahou. Pomáháme si tak, že prvky, o nichž již víme, že k sobě patří, skládáme do jakýchsi bloků. Úloha 6 Čtyři manželské páry vyrazily na jarní výlet na české hrady a zámky. Každý pár zvolil jiný dopravní prostředek a jiný cíl. - Užíkovi se jeli podívat na hrad do Litic nad Orlicí. - Jedni manželé jeli vlakem. - Petra byla na zámku Opočno. - Olda se ženou navštívil zámek Doudleby nad Orlicí. - Radka Vlčková na Bezdězu nebyla. - Pan Bárta se nejmenuje Jarda. - Manžel Věry se jmenuje Vili. - Olda nemá příjmení Staněk. - Busem jel Láďa s manželkou. - Jana a její muž vyrazili na kolech. 6

7 - Bártovi si udělali výlet autem. Budeme řešit úvahou a využijeme schémat (bloků). Vypišme cíle cest a co kolem nich víme a jména, která k sobě patří spolu s dopravními prostředky. Opočno Doudleby Vlčkovi Užíkovi Petra (ne Bezděz) Litice Olda Radka Bártovi Staňkovi Užíkovi ne Jarda Věra Láďa Jana Vili ne Olda bus kolo auto Víme, že Radka Vlčková nebyla na Bezdězi, nebyla ani na zámku Opočno (tam byla Petra) ani v Liticích (tam byli Užíkovi), byla tedy v Doudlebech a to s manželem Oldou. Nejeli autem (tím se dopravovali Bártovi) ani na kolech (tak jela Jana s manželem), ani busem (tím jel Láďa se ženou) tedy využili vlak. Věra a Vili nejeli busem (tím jel Láďa) ani na kole (na tom jela Jana) ani vlakem, jak jsme výše usoudili tedy autem byli to tedy Bártovi; nebyli proto ani v Liticích (tam byli Užíkovi) ani v Doudlebách (Vlčkovi) ani v Opočně (tam byla Petra, ne Věra) byli tedy na Bezdězi. Jana jela na kole, jejím manželem tedy nemůže být Láďa (jel busem) Láďa tedy patří k Petře. Láďa s Petrou byli busem v Opočně, jmenují se Staňkovi a k Janě přiřadíme Jardu a příjmení Užíkovi, byli v Liticích. Závěr: Radka a Olda Vlčkovi byli vlakem v Doudlebách, Věra a Vili Bártovi autem na Bezdězi, Petra a Láďa Staňkovi busem v Opočně a Jana a Jarda Užíkovi zajeli na kolech do Litic. Poslední úloha 7 V ulici stojí vedle sebe pět domků (každý jiné barvy). Zjistěte, v jakém pořadí domky stojí, který muž a žena v nich bydlí, jaké zvíře chovají a jaké vlastní auto, víte-li, že: - Adam bydlí v červeném domku, - Leoš má psa, - Milan bydlí v 1. domku zleva, - Jiřina bydlí ve žlutém domku, - Iveta má sousedy, co chovají rybičky, - Milan bydlí vedle modrého domku, 7

8 - Berta má kočku, - Eva jezdí v autě Fiat, - Tomáš vlastní auto Seat, - Karel se oženil s Lucií, - sousedi Jiřiny chovají koně, - S Mazdou jsou spokojeni v zeleném domku, - zelený domek je hned nalevo od bílého, - Škodu vlastní v prostředním domku, - někdo vlastní auto Renault, - v jednom domku chovají želvu. Řešení: Nejprve si informace z textu úlohy zaznamenáme do bloků, řešíme postupně úvahou. Dobré je vytvořit si schéma (zde pět domků vedle sebe) a již zjištěná umístění prvků zapisovat na správné místo červený žlutý modrý zelen ý Adam Le oš pes Mila n Jiřina Iveta Ber ta kůň ryby koč ka Ev a Fia t Tomá š Seat Kare l Luci e bílý Mazd a Škod a Uvažujeme a doplňujeme do schématu: 1) Kolikátý je zelený domek? ne 1. to by vedle něj byl modrý ale má být bílý. ne 2. ten je modrý, ne zelený. ne 3. tam mají Škodovku, ne Mazdu. ne 5. má být nalevo od bílého, nemůže být poslední. Je tedy čtvrtý a bílý domek je pátý. 2) Jakou barvu má první domek? ne zelenou tu má 4. ne bílou tu má 5. 8

9 chovají koně). ne modrou tu má 2. ne červenou tam bydlí Adam, ne Milan Je tedy žlutý, proto tam bydlí i Jiřina (a vedle ve 2. domě 3. domek (s Adamem a škodovkou) musí být červený. 3) Ze schématu vidíme, že Eva (s Fiatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5. domku a také Tomáš (se Seatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5. domku, ale buď bydlí Eva ve 2. a Tomáš v 5., nebo Tomáš ve 2. a Eva v 5. (mají různá auta nepatří do téže rodiny každá má právě jedno auto). 4) Dvojici Karla s Lucií můžeme umístit už jen do 4. domku (v 1. už jsou Milan s Jiřinou, ve 2. je Eva nebo Tomáš, stejně tak v 5., a ve 3. je Adam). 5) Leoš se psem se nyní vejde už jen do 5. domku; bude tam s Evou (a s Fiatem) a tedy Tomáš se svým Seatem bude v domku č. 2. 6) Berta s kočkou se vejde už jen do 3. domku. 7) Iveta bude ve 2. domku a sousedi, co pěstují rybičky, budou v 1. 8) Doplníme: auto Renault vlastní v 1. domě, želvu chovají ve 4., úloha je vyřešena. Zkuste nyní vyřešit úvodní Einsteinovu úlohu. (Další úlohy lze nalézt v [1] či [2].) Literatura: [1] Volfová, M.: Metody řešení matematických úloh, Gaudeamus, Hradec Králové, [2] Pěnčík, J. Pěnčíková, J.: Lámejte si hlavu. Prometheus Praha,

Soutěž Vodní světy (CZ) 2.kolo listopad (kategorie 2)

Soutěž Vodní světy (CZ) 2.kolo listopad (kategorie 2) Projekt Pestrý BUNT, Přátelé biodiverzity v Krušných horácch Soutěž Vodní světy 2011 2012 (CZ) 2.kolo listopad (kategorie 2) Základní škola: Třída: 1. Voda v Krušných horách Krušné hory, jejich dlouhý

Více

Logické úlohy, vč. řešení. Marta Volfová

Logické úlohy, vč. řešení. Marta Volfová Logické úlohy, vč. řešení Marta Volfová Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Logické úlohy 1. Muž cestuje s (částečně ochočeným) vlkem, kozou a pytlem zelí. Dojde k dosti široké a hluboké

Více

1.1.5 Porovnávání přirozených čísel

1.1.5 Porovnávání přirozených čísel 1.1.5 Porovnávání přirozených čísel Předpoklady: 010104 Př. 1: Porovnej následující dvojice čísel: a) 11 11 b) 5486 5468 c) 98765 13456 a) 11 > 11 b) 5486 > 5468 c) 98765 < 13456 Př. : Česká republika

Více

Zebra(5x5) - Farmáři. Metoda 3: Hledání cesty - Podrobné řešení

Zebra(5x5) - Farmáři. Metoda 3: Hledání cesty - Podrobné řešení Zebra(5x5) - Farmáři Metoda 3: Hledání cesty - Podrobné řešení Zadání: Na venkově vedle sebe leží pět farem. Každou farmu vlastní jiný z pěti mužů, každý z nich jiného psa, pěstuje právě jinou plodinu

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

MATEMATIKA NEOTVÍREJ, DOKUD NEDOSTANEŠ POKYN OD ZADÁVAJÍCÍHO! 5. třída

MATEMATIKA NEOTVÍREJ, DOKUD NEDOSTANEŠ POKYN OD ZADÁVAJÍCÍHO! 5. třída MATEMATIKA 5. třída NEOTVÍREJ, DOKUD NEDOSTANEŠ POKYN OD ZADÁVAJÍCÍHO! JMÉNO TŘÍDA ČÍSLO ŽÁKA AŽ ZAHÁJÍŠ PRÁCI, NEZAPOMEŇ: www.scio.cz, s.r.o. Pobřežní 34, 186 00 Praha 8 tel.: 234 705 555 fax: 234 705

Více

Čteme se skřítkem Alfrédem

Čteme se skřítkem Alfrédem Jiřina Bednářová Čteme se skřítkem Alfrédem Čtení s porozuměním a hry s jazykem Edika Brno 2012 Čteme se skřítkem Alfrédem Čtení s porozuměním a hry s jazykem Jiřina Bednářová Odborná korektura: Alena

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

22. Základní škola Plzeň. Až já budu velká. Třída: 7. B. Datum: 8. 12. 2008. Jméno: Kamila Šilhánková

22. Základní škola Plzeň. Až já budu velká. Třída: 7. B. Datum: 8. 12. 2008. Jméno: Kamila Šilhánková 22. Základní škola Plzeň Až já budu velká Třída: 7. B Datum: 8. 12. 2008 Jméno: Kamila Šilhánková V pěti letech jsem onemocněla zánětem ledvin a ležela jsem v nemocnici u svatého Jiří. Byla tam veliká

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL zpracovaný v rámci projektu Číslo projektu Škola Šablona klíčové aktivity V/2 Sada Fyzika 6+7 CZ.1.07/1.4.00/21.1825 Základní škola s rozšířenou výukou výtvarné výchovy, Teplice, Koperníkova

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012

Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012 Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012 MOSTY Spojte všechny ostrovy (tj. kroužky s čísly) pomocí mostů tak, aby bylo možno dojít z každého ostrova na kterýkoliv jiný. Mosty je přitom dovoleno

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

P R A C O V N Í L I S T Domácí mazlíčci. Domácí mazlíčci stupeň ZŠ

P R A C O V N Í L I S T Domácí mazlíčci. Domácí mazlíčci stupeň ZŠ 10 1. stupeň ZŠ PL-1 1. stupeň ZŠ 11 PL-2 Pes Kočka Morče Křeček Rybičky Želva Chameleon Králík Papoušek 12 1. stupeň ZŠ PL-3a Druh zvířete: Popis (věk, velikost, barva, tvar těla, dovednosti ) Potrava:

Více

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2014, kategorie A, B

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2014, kategorie A, B Doporučené hodnocení školního kola: Hodnotit mohou buď učitelé školy, tým rodičů nebo si žáci, kteří se zúčastní soutěže, mohou ohodnotit úlohy navzájem sami (v tomto případě doporučujeme, aby si žáci

Více

V tomto prostředí jsou postupně zaváděny různé typy úloh.

V tomto prostředí jsou postupně zaváděny různé typy úloh. Matematické prostředí Děda Lesoň umožňuje dětem pracovat s veličinou zapsanou ikonicky (nikoliv číslem). Uvedeno je příběhem o dědovi Lesoňovi, ochránci zvířátek. Nejprve jsou u Lesoně pouze tři druhy

Více

PREZENTACE DAT: SLOŽITĚJŠÍ GRAFY

PREZENTACE DAT: SLOŽITĚJŠÍ GRAFY PREZENTACE DAT: SLOŽITĚJŠÍ GRAFY V kombinační tabulce 8.7 jsme roztřídili soubor pracovníků dle znaku pracovní kategorie na 4 třídy dělníci, techničtí pracovníci, hospodářští pracovníci, provozní a obsluhující

Více

1 kvě. 2 kvě. 3 kvě. 4 kvě. 5 kvě. 6 kvě. 7 kvě. 8 kvě. Knihovna města Hradce Králové - program na květen 2015

1 kvě. 2 kvě. 3 kvě. 4 kvě. 5 kvě. 6 kvě. 7 kvě. 8 kvě. Knihovna města Hradce Králové - program na květen 2015 Knihovna města Hradce Králové - program na ten 2015 1 2 3 4 5 6 7 8 Knihovna města Hradce Králové - program na ten 2015 9 10 11 12 13 14 Knihovna města Hradce Králové - program na ten 2015 15 16 17 18

Více

Statistika babyboxů ke dni 12. listopadu 2015

Statistika babyboxů ke dni 12. listopadu 2015 Statistika babyboxů ke dni. listopadu 2015 pořadí den datum čas jméno místo 2006 1. sobota 17. 2. 2006 20:10 Sonička Praha Hloubětín 2. sobota 25. 2. 2006 21:30 Lenka Praha Hloubětín 3. neděle 26. 2. 2006

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Statistika babyboxů ke dni 5. září 2016

Statistika babyboxů ke dni 5. září 2016 Statistika babyboxů ke dni 5. září 2016 pořadí den datum čas jméno místo 2006 1. sobota 17. 2. 2006 20:10 Sonička Praha Hloubětín 2. sobota 25. 2. 2006 21:30 Lenka Praha Hloubětín 3. neděle 26. 2. 2006

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

Matematický KLOKAN : ( ) = (A) 1 (B) 9 (C) 214 (D) 223 (E) 2 007

Matematický KLOKAN : ( ) = (A) 1 (B) 9 (C) 214 (D) 223 (E) 2 007 Matematický KLOKN 007 kategorie enjamín Úlohy za 3 body. Které číslo patří do prázdného rámečku? 007 : ( + 0 + 0 + 7) 0 0 7 = () () 9 (C) 4 (D) 3 (E) 007. Který z dílů stavebnice musíš přiložit k dílu

Více

ZŠ a MŠ Panenské Břežany

ZŠ a MŠ Panenské Břežany Hlavní 63, 250 70 Panenské Břežany www.zsmsbrezany.cz, zsbrezany@seznam.cz Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol Číslo projektu: Šablona: Cz.1.07/1.4.00/21.1997 VY_32_INOVACE_41-60

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Základy Hejného metody zpracovala Ivana Čiháková Matematika dle metody VOBS.

Základy Hejného metody zpracovala Ivana Čiháková Matematika dle metody VOBS. Základy Hejného metody zpracovala Ivana Čiháková ivana.cihakova@centrum.cz Matematika dle metody VOBS. Úlohy jsou z učebnic matematiky pro 1. 5. ročník vydané nakladatelstvím Fraus v letech 2007-2011 Autoři

Více

1. Jméno. jméno. příjmení. mapa. Jaroslav. stůl. Antonín. moře. Vladimír. Jan. vana. sprcha. Blanka. Trénink funkcionální komunikace I.

1. Jméno. jméno. příjmení. mapa. Jaroslav. stůl. Antonín. moře. Vladimír. Jan. vana. sprcha. Blanka. Trénink funkcionální komunikace I. 1. Jméno 1 Václav Procházka jméno příjmení 1. VYBERTE JENOM JMÉNA. mapa Antonín moře Jan sprcha Jaroslav stůl Vladimír vana Blanka 1 2. JAK SE JMENUJE AUTOR TOHOTO TEXTU. Dobrý den, jmenuji se Robert Kouba,

Více

Einsteinova hádanka. Pokud si nevíte rady, podívejte se na další stránku. Patříte mezi 2 % nejinteligentnějších lidí na světě?

Einsteinova hádanka. Pokud si nevíte rady, podívejte se na další stránku. Patříte mezi 2 % nejinteligentnějších lidí na světě? Einsteinova hádanka. Patříte mezi 2 % nejinteligentnějších lidí na světě? Einstein vytvořil tuto hádanku v minulém století. Tvrdil, že 98% lidí na světě není schopno ji vyřešit. Budete-li mít tabulku celou

Více

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.

{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2. 9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrovství České republiky v logických úlohách Blok 1 - Logický mixer 10:00-11:40 Řešitel 1 Praha 013 Mrakodrapy 3 Heywake 4 Rybáři 5 Dvojblok Pentomina 7 Nádraží 8 Slalom 9 Plot 10 Kriskros 11 Cesta

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Datum odevzdání 12. prosince Vypočtěte velikost strany čtverce ABCD s vrcholem A = [0, 0], jestliže

Datum odevzdání 12. prosince Vypočtěte velikost strany čtverce ABCD s vrcholem A = [0, 0], jestliže Příklady k řešení (. kolo) Datum odevzdání. prosince 00 PŘÍKLAD. Vypočtěte velikost strany čtverce ABCD s vrcholem A = [0, 0], jestliže úhlopříčka BD leží na přímce p :x +y = 0. PŘÍKLAD. Jsou dány body

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod Magické čtverce Tomáš Roskovec Úvod Magické čtverce patří k dávným matematickým hrátkám, které i přes dvoutisíciletou historii dodnes nejsou zcela prozkoumány. Během přednášky se budeme zabývat nejprve

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48 Matematický KLOKAN 007 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Lucka, Radek a David mají dohromady 30 míčů. Jestliže Radek dá 5 míčů Davidovi, David dá 4 míče Lucce a Lucka dá míče Radkovi, budou mít oba chlapci

Více

Poměry a úměrnosti II

Poměry a úměrnosti II 1.1.12 Poměry a úměrnosti II Předpoklady: 010111 U následujících úloh je nutné poznat, zda jde o přímou nebo nepřímou úměrnost případně příklad, který není možné řešit ani jedním z obou postupů. Pedagogická

Více

M08-01 Přijímačky nanečisto osmileté studium matematika

M08-01 Přijímačky nanečisto osmileté studium matematika M08-01 Přijímačky nanečisto osmileté studium matematika Řešení 1) Bratři Martin a Tomáš dostali stolní hru, ve které se hrálo o papírové peníze - dolary. Martin rozdělil peníze před začátkem hry tak, že

Více

Obecné studijní předpoklady TEST 1

Obecné studijní předpoklady TEST 1 Obecné studijní předpoklady TEST 1 A.) Text k první sérii otázek ( porozumění textu ) Před 2,5 až 2 miliardami let se začala tvářnost Země výrazně měnit. Mnoho radioaktivních prvků přítomných při vzniku

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Voltampérová charakteristika diody

Voltampérová charakteristika diody Voltampérová charakteristika diody Pozn.: Voltampérovou charakteristiku diod, resp. i rezistorů, žárovek aj. lze proměřovat se soupravou ISES-PCI a též i s ISES-USB. Souprava ISES-PCI, resp. ISES-PCI Professional

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.

KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. KALENDÁŘOVÉ ÚLOHY PRO TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Kalendářové úlohy jsou zahaleny určitou tajemností a přitahují

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

Pana školníka se ptali Martin Kubík a Jakub Gregor.

Pana školníka se ptali Martin Kubík a Jakub Gregor. Pana školníka se ptali Martin Kubík a Jakub Gregor. 1. Máte rád svoje povolání? Proč? - pro svoji pestrost a i určitou volnost volby pořadí této práce - možnosti tvůrčí práce - a pod. 2. Jak dlouho děláte

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l

N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 1 2 5, R A P O T Í N N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o

Více

2.1.12 Spojování poznatků

2.1.12 Spojování poznatků 2.1.12 Spojování poznatků Předpoklady: Pedagogická poznámka: Z klasického pohledu je tato hodina zbytečná. Studenti se nenaučí žádný nový matematický fakt. V případě, že respektujeme realitu, patří mezi

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Matematický projekt Součtové pyramidy

Matematický projekt Součtové pyramidy Matematický projekt Součtové pyramidy Marie Kubínová, Naďa Stehlíková Tento materiál popisuje matematický projekt Součtové pyramidy, součtové hrozny, který byl připraven pro žáky 6. a 7. ročníku ZŠ. Jeho

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Řešení 1H, 2D, 3B, 4C, 5F, 6E, 7J, 8G, 9I, 10A

Řešení 1H, 2D, 3B, 4C, 5F, 6E, 7J, 8G, 9I, 10A Materiál pro domácí VY_07_Vla5E_26 přípravu žáků: Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovativní metody v prvouce, vlastivědě a zeměpisu Registrační číslo

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Základy statistiky, kombinační úsudek v úlohách Klíčová slova: tabulky, grafy, diagramy Autor: Mlynářová 1 Základy statistiky Statistika je vědní obor, který se zabývá

Více

II. kolo kategorie Z5. Z čísel a vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých

II. kolo kategorie Z5. Z čísel a vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých II. kolo kategorie Z5 Z5 II 1 Z čísel 959 362 a 192 075 vyškrtneme celkem 5 číslic. Pak od většího z takto vzniklých čísel odečteme číslo menší. Jaký nejmenší rozdíl můžeme dostat? Řešení. Z jednoho čísla

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika 2.ročník Převod rovnice lineární lomené funkce

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy 1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Gabriela Janská. Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz

Gabriela Janská. Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz PŘÍRUČKA KE KURZU: ZÁKLADY PRÁCE NA PC MS WORD 2003 Gabriela Janská Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz Obsah: 1. Písmo, velikost písma, tučně, kurzíva, podtrhnout

Více

Kurzy v počítačových aplikacích - MOODLE

Kurzy v počítačových aplikacích - MOODLE Kurzy v počítačových aplikacích - MOODLE Lektor: Mgr. Martin Šín Základy práce s Moodlem 1 Základní informace První přihlášení jak se přihlásit do Moodlu, jak řešit problémy s přihlašováním. Založení nového

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Královské pohádky. Vyšlo také v tištěné verzi. Objednat můžete na

Královské pohádky. Vyšlo také v tištěné verzi. Objednat můžete na Královské pohádky Vyšlo také v tištěné verzi Objednat můžete na www.cpress.cz www.albatrosmedia.cz František Zacharník Královské pohádky e-kniha Copyright Albatros Media a. s., 2017 Všechna práva vyhrazena.

Více

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce 4 Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce Předpoklady: 40 Př : Najdi všechny úhly x 0;π ), pro které platí sin x = Postřeh: Obrácená úloha než dosud Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

62.ročník Matematické olympiády. I.kolo kategorie Z6

62.ročník Matematické olympiády. I.kolo kategorie Z6 62.ročník Matematické olympiády I.kolo kategorie Z6 Z6 I 1 Libor si myslí trojmístné přirozené číslo, které má všechny své číslice liché. Pokud kněmupřičte421,dostanetrojmístnéčíslo,kterénemáanijednusvoučíslicilichou.najděte

Více

StatSoft Odkud tak asi je?

StatSoft Odkud tak asi je? StatSoft Odkud tak asi je? Ukážeme si, jak bychom mohli vypočítat pravděpodobnosti, na které jsme se ptali v minulém newsletteru Úkolem bylo zjistit, z kterého kraje nejpravděpodobněji pochází náš výherce

Více

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3

MATEMATIKA. Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno. Ing. Milan Hausner, ZŠ Lupáčova, Praha 3 MATEMATIKA Vypracovala skupina pro přípravu standardů z matematiky ve složení: Vedoucí: Koordinátor za VÚP: Členové: Doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc., Přírodovědecká fakulta MU Brno RNDr. Eva Zelendová, VÚP

Více

Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU

Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU Řešíme slovní úlohy Růžena Blažková Pedagogická fakulta MU blazkova@ped.muni.cz V úvodu si položme několik otázek: - Proč řešíme slovní úlohy? - Je řešení slovních úloh žáky oblíbené? - Jaká tématika slovních

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC aneb matematikem bez nesnází Jednoduché matematické, fyzikální či chemické vzorce a rovnice můžeme zapsat poměrně snadno za pomoci znaků na klávesnici a použitím horního nebo dolního

Více

II. kolo kategorie Z9

II. kolo kategorie Z9 6. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z9 Z9 II Je dán kosodélník jako na obrázku. Po straně se pohybuje bod a po straně se pohybuje bod tak, že úsečka je rovnoběžná s. Když byl průsečík úseček

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol. Zašifrované verše

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol. Zašifrované verše Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol ZŠ Litoměřice, Ladova Ladova 5 412 01 Litoměřice www.zsladovaltm.cz vedeni@zsladovaltm.cz Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.0948

Více

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA pro žáky základních škol a nižších ročníků víceletých gymnázií 65. ROČNÍK, 2015/2016 http://math.muni.cz/mo Milí mladí přátelé, máte rádi zajímavé matematické úlohy a chtěli byste

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc.

ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu. doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. ÚLOHY SE SPORTOVNÍ TÉMATIKOU PRO MATEMATICKÉ TALENTY, vč. metodického listu doc. PhDr. Marta Volfová, CSc. Centrum talentů M&F&I, Univerzita Hradec Králové, 2010 Úlohy se sportovní tematikou pro matematické

Více

1.4.6 Negace složených výroků I

1.4.6 Negace složených výroků I 1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat

Více

Turistický průvodce III. zajímavosti z českých hradů a zámků 1

Turistický průvodce III. zajímavosti z českých hradů a zámků 1 Turistický průvodce III. zajímavosti z českých hradů a zámků 1 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 2 2 7 5 2 4 Turistický průvodce

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu

Kombinatorika, základní kombinatorická pravidla, pravidlo součtu, pravidlo součinu Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

CZ.1.07/1.5.00/ Číslo projektu. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1. Škola. Mgr.

CZ.1.07/1.5.00/ Číslo projektu. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1. Škola. Mgr. Číslo projektu CZ..07/.5.00/.09 Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodin Předmět Ročník// Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarkovo nám. Mgr. Renata Kučerová VY INOVACE_6MA..0

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Sbírka řešených slovních úloh na téma POMĚR

Sbírka řešených slovních úloh na téma POMĚR Základní škola Pardubice Studánka Pod Zahradami 317 Sbírka řešených slovních úloh na téma POMĚR Vytvořil autorský kolektiv žáků třídy 7.B Vedoucí práce: Hana Šamánková 2005 Autor: Barbora Kučerová Poměr

Více

Opakování ČJ 2. Ročník 1.

Opakování ČJ 2. Ročník 1. Opakování ČJ 2. Ročník 1. Úkol 1: V každém řádku škrtni slovo, které tam nepatří. Zajíc, liška, jablko, veverka, divočák, srnec, jelen Lev, tygr, opice, žirafa, krokodýl, slepice, velbloud Kráva, tele,

Více