I. Spočtěte následující limity (kombinujte l Hospitalovo pravidlo a elementární metody) 2. lim. 8. lim. x 1+ ( 1. x3 +x 2 +x+1 x 2 +x+1 ln(ex +x)

Transkript

1 cosh cos. lim 6. lim. lim a tg. lim a a a 5. lim arctg 9. lim. lim 4 I. Spočtět ásldující limity kombiujt l Hospitalovo pravidlo a lmtárí mtody tg. lim si. lim tg4 tg cotg 4. lim si4 4si 4 + a 7. lim a si 8. lim cossi cos 9. lim l + 4 cos cotg a aarctg tga. lim + a barctg b, a >, b >, a >. lim +a + + +a 4. lim a + arcsi si + 6. lim 7. lim + 8. lim si si 4 + tg+cotg tg 4 4 tg cotg. lim. lim + si 4 + arcsi lim 4 tg si. lim cos +si l + cos Výsldkyaávody..Lzibzl Hospitalovapravidla. cosh= l Hospitalovopravidlojvhodépoužítalimitutřtímociyfukczzadáí,ásldě spoužijvětaolimitěsložéfukc dosazím,l Hospitalovopravidloítřba,a avíchopoužítlz 5. Lzilmtárě-pomocírozšíříapřvdíalimituv loga, a > Přdpoužitíml Hospitalovapravidlajvhodépoužítvětu oaritmticlimitkodstraěívýrazucos vjmovatli..p siacosa, a + k, k ZNítřbal Hospitalovopravidlo,pokudzámvzorčkprotg y.. a b. ab a a loga pro a >Níutépřímol Hospitalovopravidlo,stačípoužítdfiicidrivacpro fukci a a vbodě =a.. avytkětvhodýčlaalspoňzpočátkupoužívjt lmtárímtodyvýpočtulimit l Hospitalovopravidloítřba Ttopříkladíúplěvhodépočítatl Hospitalovýmpravidlm, ikdyžmožétoj. tgvyjádřímjako si cos,přvdmaspolčéhojmovatladlvětyo aritmticlimitukážm,žjmovatllzahradit 8. Pakpoužijml Hospitalovopravidlo šstkrát po sobě, přičmž po každém použití výraz rozdělím a součt dvou výrazů, z ichž limitu jdoho j možé spočítat lmtárími mtodami a a výpočt limity druhého s zovu použij l Hospitalovopravidlo.. 9 Ttopříkladívhodépočítatl Hospitalovýmpravidlm. Po přvdí a spolčého jmovatl lz podl věty o aritmtic limit ahradit jmovatl výrazm. Přddalšímzjdodušímjjspíštřbal Hospitalovopravidlopoužíttřikrát, příslušé výrazy jsou vlmi dlouhé. Limitu lz spočítat pomocí Taylorova polyomu l Hospitalovopravidloítřba. Ukažtjprv, žlzvychatzlomk l +, a pak spočtět pomocí vhodého rozšíří.

2 II. Taylorův polyom Najdět Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukc.tg, k=6..cossi, k=5..sisi, k=6. 4.si cos, k=. 5.fukc+ / spojitědodfiovaávul, k=. 6., k N 7.arctg, k N. 8.arcsi, k N. + cos. lim si lim. lim 5. lim + 7. lim + l + 9. lim Spočtět limity. lim a >. lim 4. lim 6 si lim / / + cos 8. lim si log+si +cossi si 4 si cossi+cos cos si 4. lim.najdět N,abylimitaalim clim cos costg, dlim a +a si. lim +sicos log+ 4. lim sisi sisi+si cos Další úlohy tgsi sitg + a+bcossi 4.Najdět a,b R,abylim =. 4 5.Najdět a,b R,abylim asi btg 4 cos si +, blim bylakočáarůzáod,aspočtěttutolimitu. =aspočtětlim. 5 Výsldkyaávody asi btg Tk =T k+ = k j= j j Lzpoužítbuďzámýrozvoj fukc+ bopoužítsoučtgomtrickéřadyadruhouimplikacvvětěopaovětvaru zbytku. 7. Tk =T k = k j j= j j.lzodvoditzpřdchozíhopříkladudíky tomu,ždrivacfukcarctgj T k =T k = k / j j= j j.drivac fukcarcsij ajjírozvojzám. 9...log a Njprvjvhodévytkout apakpřvéstalimituvul.lzspočítatipřímo almtárě,pomocívhodéhorozšíří Zzávorkyjvhodévytkout apak přvést a limitu v ul. Lz spočítat i lmtárě, pomocí dvojího vhodého rozšíří, takový postupjpočtěáročější Njprvjvhodévytkout a pakpřvéstalimituvul. 9. Výpočtszačězjdoduší,provdm-li substituci y=si,tj. pokudpatřičěpoužijmvětuolimitěsložéfukc a =7,limitaj ;b =,limitaj;c =4,limitaj ;d =,limitaj. 4. a= 4, b= 5. a=, b=,limitavyjd 7

3 . 6. III. Mocié řady Najdět poloměr kovrgc a vyštřt kovrgci mociých řad z z z 5+, 4. z!, 5.! z, = = = z 4 a b, a,b > 7. = a + b z, a,b >. = Sčtět ásldující mocié řady a itrvalu kovrgc 8. z 9. z. + z. +!!! z. = = = =. k k 6. k k k 7. k= k+ k+ 4. k= k k+ k+ 5. k= = k= = k= k k! = +! z 8. k kk+ 9. kk+ k.+ k!! k!! k. 4k 4k! k= k= k= k= Výsldky a ávody.. R=,řadakovrgujauzavřémkruhu U,absolutě iakružici.. R =, řadakovrguj absolutěaotvřém kruhu U,, vbodě divrguj, vostatíchbodchkružic z = kovrgujabsolutě.. R = 6, řada kovrgujabsolutěauzavřémkruhu U, R= 6,řadakovrgujabsolutěa otvřémkruhu U, 6,vbodch ± 6 divrguj,vostatíchbodchkružic z = 6 kovrguj absolutě. 5. R = 4z podílového kritéria, řada kovrguj absolutě a otvřém kruhu U, 4, a kružici z = 4 divrguj, protož splňuj utou podmíku kovrgclz spočítat pomocístirligovavzorc. 6.Pro a=bmásmysl. Pro a bj R=ma{a,b},pro a=b má smysl, řada kovrguj absolutě a otvřém kruhu U, R, a kružici z = R divrguj, protožsplňujutoupodmíkukovrgc. 7.J-li a < b,pak R= b ařadakovrguj absolutěauzavřémkruhu U, b. J-li a b,pak R= a,řadakovrgujabsolutěa otvřémkruhu U, a,divrgujpro z= a avostatíchbodchkružic z = a kovrguj z absolutě. 8. a,lzvyužítdrivaciřadyčlpočlu. 9.Pro z R\{}j z součtz +p z+ p z z,pro z=jsoučt.lzbuďěkolikrátvyužítdrivaciřady člpočlubo +! vyjádřit jako součt zlomků s faktoriálm v jmovatli a kostatou včitatli.. z cosz z siza R.cos za[,,cosh za,].+z pz a R.log++log a, 4.arctga, 5. a, 6. + a, 7.cosh= + a R 8.+ log dodfiovaé v ul ulou, a, lz využít drivac čl po člu a ásldé itgrac. 9. a,. a,jtřbavtomrozpozatpříslušoutaylorovu řadu.. cos+cosha R

4 tg. lim 5. lim tg 5 IV. Ukázkové příklady pro.tst Určt ásldující limity:. lim tg+. lim arccos cotg arcsi si 6. lim arctg tg 7.Určt T cotg,. 4. lim cotg 8.Určtpoloměrkovrgc Rmociéřady = a z z kd z,z C, a C, N avyštřtkovrgcidaéřadyvbodch z +R, z R,j-li: i a = +, z = ; ii a = +, z =;iii a = a, z =, a,. 9.Vyštřtkovrgciaabsolutíkovrgciřady = arctg arctg i z i, kd z C..Rozviňtfukc fz= z, gz= a hz= z vmociéřadysstřdmv z z bodě z,kda z =,b z =,c z = i;astaovtpoloměrkovrgctěchtořad..rozviňtfukc fz=pz, gz=zpz, hz=z pzvmociéřadysstřdm vbodě z,kda z =,b z =,c z = 7;astaovtpoloměrkovrgctěchtořad..Rozviňtfukc fz=cosz, gz=zcosz, hz=z coszvmociéřadysstřdm vbodě z,kda z =,b z =,c z = 4,d z =;astaovtpoloměrkovrgctěchto řad.. Rozviňt ásldující fukc v mociou řadu o střdu a určt jjí poloměr kovrgc: a fz=si z,b fz=siz cosz,c fz=cos z,d fz= +z+z, fz= + +z+z +z, f fz=arctg +4. Výsldky a ávody.., přvdm a spolčého jmovatl, čitatl rozvíjímdořádu4..tg=cotg,tdylzpočítatlim cotg ;cotgvyjádřím jako cos si,přvdmaspolčéhojmovatl,čitatlrozvíjímdořádu.. Použijm dfiici obcé mociy, limitu potu počítám pomocí lmtárích mtod, případě l Hospitalovapravidla tg = si cos si tg= cos,přvdmaspolčéhojmovatl,čitatl rozvíjímdořádu5. 5. si 5 tg= cos,přvdmaspolčéhojmovatl,čitatlrozvíjím dořádu5. 6. Jmožéjprvjdoupoužítl Hospitalovopravidlo,pakzjdodušitpomocílmtáríchmtodaazávěrvyužítTaylorůvpolyomřádu. 7.Protožcotg= tg,lzvyužíttaylorůvpolyomfukctgv.dlpříkladuii/jtg=+ +o 4 pro,tdycotg=tg = + +o 4 = +o 4 pro.tdy Tcotg, =. 8.i R=,vbodě + divrguj,vbodě kovrgujabsolutě.iir=,vbodch± divrguj,protožísplěautápodmíka kovrgclimita s spočt s využitím dfiic obcé mociy a Taylorova polyomu pro limitupotu.iii R=,vbodch ±pro a >kovrgujabsolutěapříkladlzpoužít limitísrovávacíkritériumasrovatsřadou,pro a divrguj,protožísplěa utá podmíka kovrgc. 9. J to mociá řada o střdu i, poloměr kovrgc j. Kovrgujabsolutěvkruhu z i <,vbodě z== i idivrgujpodllimitíhosrovávacího kritéria, lz srovat s harmoickou řadou, v ostatích bodch kružic o střdu i a poloměru kovrguj absolutěpro kovrgci s použij postupě Dirichltovo a Ablovo kritérium, divrgcřadyabsolutíchhodotplyzdivrgcvbodě,pro z i >divrguj.. a fz= z, gz=f z= z = +z, hz=zgz= z,poloměr = kovrgc.b fz= = hz=z+gz gz= = = poloměrkovrgc. c fz= = z+, gz=f z= + z+ + = = = = z+ = + +z+ = = z i, gz=f z= i + = = + + z+, z+, i + z i =

5 + z i, hz=z igz+igz= i + = = i + i i + +i + z i + i i + = + i + z i = z i, poloměrkovrgc.. Poloměrkovrgcjvždy ;a fz= z!, gz= i + = z +! = z!, hz= z +! = b fz= = = = =! z, gz=z fz+fz= = =! +! + + = = = =! z + + z, hz=z fz+z fz+fz=! z =! +! +! 7! z+7 + 7! z + = = z c fz= = 7 fz 4z+7fz+7 fz= 7 = 7+ = = = 7! z+7 4 =! z + 7 7! z+7 = = !!!! z, gz= si = = = = = = = 7 7 7!! = = z! ;! z = +! z + + =! z! z = +z +! z+7, gz=z+7fz 7fz= z+7, hz=z+ 7! z ! z z+7! z+, hz=! z! z + = + = 6 + = = = = = +! z + + 6! 6 +! = = 7! z = 7! z+ 7! z+7 = z+.poloměrkovrgcjvždy ;a fz=! z+ ;b fz=cosz cos siz +! z +, gz = z fz+ fz =! z 6 +! z = = z + + z, =! + 6! hz=z fz+ z fz+ 9 fz;c fz=cosz 4 cos 4 siz 4 si 4 =! z 4 +! z 4 +, gz=z 4 fz+ 4 fz, hz=z 4 fz+ = z fz+ 4 6 fz;d fz=cosz cos siz si=cos! z = si +! z +, gz=z fz+fz, hz=z fz+z fz+fz; =.Použijtásldujícívzorc: asi z= cosz,bsiz cosz= siz,csi z= 4 siz z 4siz,d fz= z, fz= z z,f f = V. Vyjádřt primitiví fukc pomocí lmtárích fukcí a maimálích itrvalch istc d cosd. d 4. d 5. d 6. si 7 cosd 7. d 8. tgd 9. cotgd. 6 d. cos d. arcsisi 4 + d. + 5 d d 5. tg d 6. cotg d 7. d + 8. si d 9. cos 4 d. d cos. d. d. d 4. d 5. logd logloglog 6. arctgd 7. si d 8. a cosbd, a,b R 9. α logd. log d. d. log + + d

6 Výsldkyaávody. Výsldkyjsouuvdy ažakostatu log a,aa, log +sia,aa,. 4, 4 a R a,aa, 5. +, a,aa, substituc y = 6. 8 si8 a R 7. a R 8. log cos akaždémzitrvalů +k, +k, k Z 9.log si akaždémzitrvalů k,k+, k Z. 4,a R.si [ ] + [ + ] +,a R. log+ + +4log [, ] F= + log+ +4log 4 [, ] log+ [, ] log+ +4log 4 [, ] log+ + +4log [, ] R. 5 log+ log5 5log5log a = 4 6,a = 4+ 6,a R 4. +,a R 5.tg,akaždémzitrvalů +k, +k, k Z 6. cotg,akaždémzitrvalůk,k+, k Z 7. 6 arctg 6,a R 8. 4 si,a R sicos+ 4 sicos,a R. tg,akaždémzitrvalů +k, +k, k Z. 8 log+4,a R. arctg,a R.log loglog,a,aa, 4. a R 5. log a, 6. arctg log+ a R 7. si+cos,a R 8. a a +b acosb+bsiba R,pokud a +b ; a R,pokud a=b= 9. +α +α log +a, a, pro α ; l,a, pro α=. 4 4 l 8 4 l+ 4,a,.,a, substituc y=. log + + +,a R prparts log + + VI. Spočtět primitiví fukc. 7 5 d. 7 5 d d 4. d 5. d d + pomocí =tgy d 8. d Projakývztahmziparamtry a, b, c Rjprimitivífukckfukci f racioálí,j-li f= a +b+c?. d ++. d + +. d +. d d d 6. p p+ d 7. d 8. d d. +d ++. d ++4. d +. d 4. sicos +si 4 d 5. si d d si cos sicos si d. si+cos 5. d d, ε > 6. +εcos cos d. d si +cos +cossi d d 4. si +cos si 4 +cos 4 d 7. si. si +si d si+cos a si +b cos, a,b R Výsldky a ávody.. 4log,,bo, k k k k log +log +,, bo,bo, log 9 8 log + log,,bo,bo, bo,+ 4. 6log ++ + arctg+,, bo, log arctg ++ 4 arctg arctg log+ + log + +log + + arctg + arctg arctg a+b+c =. 6 9 u/ 8 u4/ + 7 u7/6 6 u+ 5 u5/6 4,kd u/ u=+,,+.log + +arctg ++ +,

7 ,.log u u 4 +u + arctg u+ + arctg u,kd u= +,, + 6. bo,bo,+. t= + 4. t= t= log +, R 7. log+ 8. log ++, R log +,, bo +,+.log t 4t+6+ t + arctg t arctg t,kd t= ++4, R.argsih= log+ +a R. log + a, aa,+. + arcsia, 4. arctgsi ar 5. log +cos cos akaždémz itrvalůk,k+, k Z 6. log +si si akaždémzitrvalů + k, + k, k Z 7.a 8.substituc y=tg 9.substituc y=tg.substituc y=cos. substituc y=tg.substituc y=tg. substituc y=tg 4. substituc y=tg 5.substituc y=cotg 6.substituc y=tg VII. Vypočtět ásldující itgrály. d. d cosα+, α,. d +εcos, ε [, 4. d a si +b cos, ab 5. log cosd 6. d 7. cosd 8. log d 9. arctgd. log d. a a d. arcsi d. d log d d 6. d +cos +cos 7. d 8. si 4 +cos 4 cos d 9. + d, N Výsldkyaávody.... siα,substituc t=cotg ε 4. apř. ab t=tg log a4. 4. log ,substituc t=cotg 7.,apř.substituc t=tga, ! VIII. Ukázkové příklady pro.tst.sčtětmociouřadui = + +, R,ii =, R, iii = + +, R,uvitřitrvalukovrgc..Určt fdamaimálíchotvřýchitrvalch,kdistuj,j-li: a f= ,b f= 5 +,c f= +,d f= +, f= +4,f f= 9,g f= 5+6,h f= ++ i f=,j f= si +sicos+cos cos,k f= +si cos, m f= si 4, f= si,o f=l,p f=coslsi,,l f= +cos +si, q f= l,r f= l +l. Výsldky a ávody.. i l a,. Lz vytkout a pak buď použít zámou Taylorovu řadu pro l bo použít drivaci čl po člu, součt gomtrické řady a výpočt primitiví fukc. ii + a,. Lz vytkout a pak vyjádřit jako drivaci jié mocié řady. Tto postup lz opakovat jště jdou, dostam pak gomtrickou řadu. iii 8 l + 6 l + ++ arctg + a,. Lz zdrivovat čl po člu, dostam gomtrickou řadu, sčtm a spočtm primitiví fukci, ktrá má v ul hodotu ula.. Primitiví fukc jsou uvdy až a kostatu. a+ +l + arctg a,aa,.b +arctg a R. Substituc y= cl + l arctg a, aa +,.Substituc y=.d 8 +7/ / a R.Substituc y= +

8 boj y = +; bovyjádřit = + apoužítprvísubstitučímtodu l +4 + a R. LzpoužítEulrovusubstituci +4 y= +4 ;botaké=sihy.f 8 9 l a, aa,.lzpoužíteulrovusubstituci y= 9 ;botaké=coshy.g l a,aa,. Lzpoužítapř.Eulrovusubstituci y= 5+6.h l l l ++ + a,aa,.lzpoužíteulrovusubstituci y= { ++. arctg tg+ + k, +k, +k,k Z, i F= k+, = +k,k Z. j log +si si akaždém zitrvalů +k, +k, k Zk l tg tg +l +tg +tg akaždémz itrvalůk,k+, k Z. { tg l +tg + + arctg tg +tg l F= + +k, +k,+k,k Z, k+, =+k,k Z. m cotg cotgakaždémzitrvalůk,k+, k Z. { cos+4k, [k,k+],k Z, F= cos+4k+, [k+,k+],k Z. o la,.l = laprimitivífukciklspočtmprparts.psi lsiakaždémzitrvalů k,k+, k Z.Substituc y=si.q l +l+a,.prparts. l r +l 8 arctg la,.substituc y=l. IX. Další příklady a výpočt určitých itgrálů. si +cos d. coslog d.a si db cos d 4. d d 6. m log d 7. 4 si si d. si si si cos si+cos +d [] d[]začícloučástčísla d a +b+c, ac b > cos si cos d Výsldkyaávody.. 4. Substituc =y+,potérozdělitasoučtdvouitgrálů, z ichž jd j ulový jakožto itgrál z liché fukc a druhý s spočt stadardím způsobm.. + / +. Njprvsubstituc = y,potérozdělitasoučtitgrálů, každý z ich přvést pomocí substituc[posuutí] a itgrál přs,, použít vlastosti pociályadopočítat..itgrályzaazbsrovajísubstituc = y.ozačím-lij I,pomocímtodyprpartslzodvoditrkurtívztah I + = + + I.PřitomI = a I =. 4.Substitucí =sit, t,lzpřvésta I + zpřdchozíhopříkladu. 5.Substitucí =sit, t,lzpřvésta I zpřdmiuléhopříkladu. 6.Ozačmitgrál I m,.pak I m, = m+ apro j I m,= m+ I m, l. Substitucí y = tg lz přvést a itgrál z racioálí fukc. Na výsldý itgrál lz aplikovat substituc z= y y+ apakdopočítat. 8.Ozačmitgrál I. Stadardímpostupmitgracpříslušéhoparciálíhozlomkudostam I = + a 4ac b J,kd J = y + dy. Přitom J = apomocímtodyprpartslzodvoditvztah J + = + J. 9.pro sudé, pro liché. Njprv vyjádřím jako trojásobk itgrálu přs, použijm aditivitu Nwtoova itgrálu a priodičost[tdy větu o substituci]. Poté vyjádřím jako součt kosiů s využitím vyjádří goiomtrických fukcí pomocí komplí pociály.. pro sudé, pro liché.njprvprovdmsubstituci =yapakpostupujmjakovpřdchozímpřípadě.. k= k k k+ k k.rozdělímasoučtitgrálůpřsitrvalyk,k+, k=,...,.. Lzrozdělitaitgrálpřsitrvaly 6, 4 a 4,5 6.

9 X. Vyštřt kovrgciabsolutí, absolutí ásldujících itgrálů.a log db log d. d. d 4 4. d 5 d 5. d 6. d 7. si d 8. β arcsi si d 9. d cos α si si p cos q d si q si p d p l q ll r. 5. d p l q logsi. k + t d 6. d p l q cos m. d p l q ll r d 7. k si +si d 8. α arctg β d 9. α β tg γ d. si d.. siarccotgsid. 6. α l+cosd 7. si d 4. α si arctgd si α d 5. cos 4 d d sisi α Výsldky a ávody.. a divrguj, b kovrgujabsolutě. kovrgujabsolutě. divrguj 4. kovrgujabsolutě 5. kovrgujabsolutě 6. divrguj 7. kovrgujabsolutě 8. kovrgujabsolutě, pokud α, β R, divrguj, j-li jdo z α, β kočé 9.kovrgujabsolutě,pokud p <aq<,jiakdivrguj.kovrguj absolutě,pokud q <ap<,jiakdivrguj.kovrgujabsolutě,pokud p > a q <,jiakdivrguj.kovrgujabsolutě,pokud p >bo p=&q>,jiak divrguj.kovrgujabsolutě,pokud p >&r<bo p=&q>&r<,jiak divrguj 4.kovrgujabsolutě,pokud p >bo p=&q>bo p=q=&r>, jiakdivrguj 5.kovrgujabsolutě,pokud < k < t bo > k > t,jiak divrguj 6. kovrgujabsolutě, pokud m <, jiak divrguj 7. kovrgujabsolutě,pokud k <,jiakdivrguj 8.kovrgujabsolutě,pokud α < < α+β, jiakdivrguj 9. kovrgujabsolutě,pokud α+γ > aβ γ >,jiakdivrguj.kovrgujabsolutějprvpoužijtsubstituci y=,pakkovrgcplyz Dirichltovakritéria,prodivrgciitgráluzabsolutíhodotyvyužijtodhad si si a vyjádří pomocí dvojásobého argumtu. kovrguj absolutěpostup j podobý jako v přdchozím příkladu. kovrguj absolutědirichltovo kritérium, divrgc itgrálu z absolutí hodoty s ukáž podobě jako v přchozích příkladch, avíc s použij jště jdou srovávací kritérium. kovrguj absolutě pro α >, absolutě pro α, ], divrgujpro α divrgcpro α sukážpomocíbolzao-cauchyovypodmíky. 4. kovrgujabsolutěpro α,,jiakdivrguj 5.kovrgujabsolutěpro α,, absolutěpro α [,,jiakdivrguj. 6.kovrgujabsolutěpro α,,absolutě pro α [,, jiak divrguj. 7. kovrguj absolutě

10 XI.Otvřéauzavřémožiy,vitřk,uzávěr.... Rozhodět, zda ásldující možiy jsou otvřé v. uzavřé, zjistět jjich vitřk, uzávěr, vějšk, hraici a drivaci. a Q, b N, c { N}, d, { Q >} VšchytytomožiyuvažujtivRsobvykloumtrikouiivroviěR suklidovskou mtrikou.. Rozhodět, zda ásldující možiy jsou otvřé v. uzavřé, zjistět jjich vitřk, uzávěr, vějšk, hraici. a A={,y R >, y }; b B= {,y R +y +y=5}; c C= {,y,z R,y >,+y=,z }; d D= {f C[,] f =}; E= {f C[,] f,}; f F= {f C[,] fd=} g G={,y R +y > +y} g H= {,y R y = y}.platírovosti Ua,δ={ ρa, δ}ait{ ρa, δ}=ua,δprokaždé δ > a v každém mtrickém prostoru b v ormovaém liárím prostoru? 4. Platí ásldující rovosti? i M M = M M ; ii M M = M M ; iiiitm itm =itm M ; ivitm itm =itm M ; vm = M ; vi M R,s R,s=supM s Ms M,s M. Výsldkyaávody. ivr: aníotvřáaiuzavřá,itq=tq=, Q = Q= Q=R.bUzavřá, N =itn=,tn=r\n, N= N=N.cNíotvřáaiuzavřá, vitřkj,uzávěrihraicj { N} {},vějšk R\{ N} {},drivacj {}. dníotvřáaiuzavřá,vitřkj,,uzávěridrivac R,hraic[,,vějšk. ii V roviějakožto podmožiy osy, ktrou začím R: a Ní otvřá ai uzavřá, itq=,tq=r \R, Q = Q=Q=R.bUzavřá,itN=,tN=R \N, N= N=N. cníotvřáaiuzavřá, vitřkj, uzávěrihraicj { N} {}, vějšk R \{ N} {},drivac{}.dníotvřáaiuzavřá,vitřkj,uzávěr,drivac ihraic R,vějšk R \ R..aNíotvřáaiuzavřá,itA={,y >,y <}, ta={,y <bo y >}, A={,y,y }, A={,y,y= ttbo=,y }. buzavřá,itb=, B= B= B,tB= R \ B. cní otvřáaiuzavřá, itc =, C = C = {,y,z,y,+y =,z }, tc= R \C. duzavřá,itd=, D= D=D,tD= {f f }. Otvřá, ite = E, E = {f f [,]}, E = {f f {,}},te = {f f / [,]}. fuzavřá,itf =, F = F = F, tf = {f f }. gotvřá, itg=g, G={,y +y }, G={,y +y=},tg={,y +y >}. huzavřá, ith = {,y > y}, H = {,y =y},th = {,y < y}, H = H..V mtrickémprostoruplatitmusíapř. diskrétíprostoraδ=,alvnlpplatí..platí: i,iv,vi případ Ma M.Nplatí:ii,iii,v,vi případ M. XII. Spočtět parciálí drivac fukcí všud, kd istují. m y. y. y+yz+z 4. +y 5. +y 6. y 7. y 8. y si 9. siy si. +y. f,y= +y l +y, f,= z. f,y= +y+y, f,=. 4. y z 5. yz y

11 Výsldkyaávody.. = mm y, y = m y pro,y R.. = yy, y = y pro,y R.. = y+z, = +y, y z = +ypro,y,z R. 4.,y= +y, y,y= y +y,pokud,y,.,a y,istují. 5.,y= +y, y,y= y +y,pokud y.,=,=, y, a y, istujípro. 6.,y= y sgpro. y,y= sgypro y.,= y,=.,ypro y a y,pro istují. 7.,y= y y,y= pro. pro y. y,= y,=.,ypro y a y,pro istují. 8.,y= sgy si cos,,y=sgy si,pokud y si. y y,siistujpro R. + k, k =pro k Z.,siistujpro + k. 9.,y=cossgsi siy, y,y= cosysgsi siy,pokud si siy. +k, +l= y +k, +l=prok,l Z, k lsudé.vostatíchbodch parciálídrivacistují..,y= +y, y,y= y +y,pokud y,,a y,istujípro R..,y= log +y log +y +y +y +y +y + +y, +y y,y= +y,pokud y.v, istujíparciálídrivacpokud + 4, pokud + 4 =, jsouoběparciálídrivaculové.. = +y+y +y +y+y, y = +y+y +y pro,y,;vbodě,jsouoběparciálídrivaculové. +y+y z ;.Pokud,y >bo,y <,pak = z y z ; z y y = z y y z = y log y. 4.Pokud >ay,pak = y z y z ; y = y z log z ; z = y y z log. 5. z Pokud,y >,pak = yz yz ; y = log zy z ; yz z = log y z logy. yz XIII. Ukázkové příklady pro.tst.spočtětitgrálya d +si,b d +cossi,c d 4 5+si cos,d si cos +si d, + d,f + d,g l+ + d,h l d,ch p d, i d,j + d + +4,k d.. Určt, pro ktré hodoty paramtrů kovrgujíabsolutě případě absolutě itgrály a f si α arctgd,b l d,c d p + q,g lcostgp d,h* j cos 4 d,k* si+ p d l + d,d cos si d, p a d,i l+ d, si d,

12 Výsldkyaávody...a 6 substituc y=tg;b l l+ 6 l + l+ substituc y=cos;c 5 substituc y=tg ;ditgrálistuj. Itgradjspojitýa, aa,,přitomprimitivífukcvbodě ±mávlastí limitu. l l+ l7rozložitaparciálízlomky;f + l + l + substituc y= +;gprparts...;h l l+substituc = y,pak prparts;chsubstituc =y,pakprparts;i 4 apř.substituc y= ++ ;j 6 rozložitaparciálízlomky;k Eulrovasubstituc y= ;botakéadvakrát, jprvsubstituc y= apak z= y..apro α,kovrgujabsolutě,pro α,]kovrgujabsolutě,jiakdivrguj. U+srovats α ;u+ díkysymtrické vrziablovakritériahrajroliarctgato,kdykovrgujabsolutě sid,vím.b α Kovrguj absolutě. U + srovám apříklad s,v mávlastílimitu. ckovrguj absolutě.u+srovámapříklads,u+ apříklads /.dkovrgujabsolutěpro p,4,jiakdivrguj.u+srováms p,u+ s p.kovrgujabsolutě.u+ srovámapříklads,u+ apříklads 5/4.fKovrgujabsolutě,pokudma{p,q} > ami{p,q} <,jiakdivrguj.u+srováms mi{p,q},u+ s ma{p,q}.gkovrguj absolutěpro p,,jiakdivrguj. U+srováms +p. U pro p <srováms +p,pro p s.hkovrgujabsolutěpro a,5absolutěpro a,], jiakdivrguj.u+srováms 4 a svyužitímtaylorovarozvoj.u+ pro a >srovám s a. Pro a ukážm,žčl kovrgci ai absolutí kovrgci ovlivňuj. i Divrguj. U + sic kovrguj, protož tam má itgrad limitu ula; u + však divrguj, vyjádřímsi = cos.jkovrgujabsolutě.substitucí 4 = ypřvdmaitgrál z cos. kkovrgujabsolutěpro p,,jiakdivrguj. Rozdělíma a. Njprvvyštřím podobějako stjýtvarjako, věmprovdmsubstituci y = + avýsldýitgrálvyštřím sid.vitgrálu α provdmsubstituci y=,výsldýitgrálbudmít projiouhodotu p,atdymůžmpoužítvýsldkvyštřováí. XIV. Limita, spojitost a totálí difrciál fukcí víc proměých Zjistět, zda istují limity, a istují-li, spočtět j. lim y 5. lim y 9. lim y. lim y +y +y + +y 4 +y 4 siy. lim y y + +y 6. lim+ y y. lim y +y cos +y 4. lim y +y. lim y 7. lim +y y. lim y +y 4 +y 4 y si +y +y y y + y siy +y siy 4 +y. lim y 4. lim y cos +y +y y 8. lim+ysi si y y cos cos y +y 6 +y 5. lim 6. lim y y Lz ásldující fukc spojitě rozšířit a clou roviu? 7. +y 8. y 9. y. siy. cos +y +y +y 4 +y 4 +y y.+ysi si. ysi y si 4. y si y si y Určt, v ktrých bodch mají ásldující fukc totálí difrciála spočtět jj 5. y+yz+z 6. +y 7. +y 8. y 9. y. y si. siy si. +y. f,y= +y l +y, f,= 4. f,y= +y+y, f,=

13 Výsldky a ávody.. rozšířímapakdosadím. rozšířímapakpoužijm pravidlo omzákrátslimitouula.odhadm si +y +y + y apakpoužijmpravidlo omzákrátslimitouula 4.Nistuj fukcídfiovaá aprstcovémokolíbodu,.limitapřsmožiu {,y: y}j Nistuj. 8. Nistuj, protož fukc í dfiovaá a prstcovém okolí bodu,. Limitapřsmožiu {,y: y}j. 9.Nistuj,protožfukcídfiovaá aprstcovémokolíbodu,. Limitapřsmožiu {,y: }j... použijmpravidlo omzákrátslimitouula. jmožépoužíttaylorůvrozvoj druhého řádu pro cos a pro cosy počítám limitu přvrácé hodoty apoužijmvyjádří 4 + y 4 = + y y 5.Nistujpoosáchjlimita,po paraboly= jlimita 6.Nistuj,protožfukcídfiovaáaprstcovémokolí bodu,.limitapřsmožiu {,y: y}rověžistuj,protožpoosáchjlimita apoparabol y= jlimita. 7.N. 8.Ao. f,= 9.Ao. f,=. Ao. f,y=y.n,vizpříklad4..n..ao,aosáchdodfiovathodotou. 4.N. Pozámka: V příkladch 5 4 s používají parciálí drivac těchto fukcí, ktré s počítaly v příkladch zasadyxii. 5. df,y,zu,v,w=y+zu++zv++yw,istuja R. 6. df,yu,v= u yv +y+ +y,a R \{,}. 7. df,yu,v= u +y / + y v,ar \{a, a;a R}, df,istuj. 8. df,yu,v= y sg u+ sgy +y / vpro, y. df,=. 9. df,yu,v= y u+ y vpro, y. df,istuj.. df,yu,v= sgy si cos u+sgy si v,pokudy si.. df,yu,v=cossgsi siy u cosysgsi siy v,pokudsi siy. df + k, + l=pro k,l Z, k lsudé.. df,yu,v= u +y + yv +y, pokud y log.. df,yu,v= +y + +y log +y +y u+ +y +y +y +y +y v, pokud y. dfa, a =,pokud a +a 4 =. 4. df,yu,v= u+ R. +y+y +y+y +y +y+y +y +y+y vpro,y,. df,=. Parciálídrivacjsouspojitéa