rovnice 8.1 Úvod Kapitola 8
|
|
- Milena Šmídová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kpitol 8 Zobecněné lineární diferenciální rovnice 8.1 Úvod Všechny integrály v této kpitole jsou KS-integrály, jejichž definice je rozšířen ve smyslu odstvce 6.8 n mticové funkce (tj. funkce zobrzující intervl [, b] do prostoru mtic). Jk jsme již v odstvci 6.8 vysvětlili, všechny vlstnosti KSintegrálu i obou typů RS-integrálu, které jsme doposud dokázli pro sklární funkce, pltí i pro funkce vektorové či mticové, pokud se v příslušných formulích nezmění pořdí, v jkém se tm mticové funkce objevují. V důkzech se tedy budeme pro potřebné vlstnosti funkcí integrálů odvolávt n odpovídjící tvrzení pro sklární funkce z kpitol 1 6. Následující definice zvádí prostory vektorových, resp. mticových funkcí, se kterými budeme v této kpitole prcovt. (ii) 8.1 Definice. (i) G([, b], R n ) je Bnchův prostor funkcí f : [, b] R n, které jsou regulovné n [, b]. Norm n G([, b], R n ) je definován předpisem f = f(t) pro f G([, b], R n ), kde f(t) je norm vektoru f(t) v R n. sup t [,b ] BV([, b], L (R n )) je Bnchův prostor funkcí F : [, b] L (R n ),které mjí konečnou vrici n [, b]. Norm n BV([, b], L (R n )) je definován předpisem F BV = F () + vr b F pro F BV([, b], L (R n )), kde vr b F se definuje jko v odstvci 6.8 F () je norm mtice F () v L (R n ). Podobně se definují prostory BV([, b], R n ), C([, b], L (R n )) C([, b], R n ) normy n nich. Množinu funkcí f : [, b] R n s derivcí spojitou n intervlu [, b] znčíme C 1 ([, b], R n ). (Jko obvykle, definujeme f () = f (+) f (b) = f (b ) pro f C 1 ([, b], R n ).) Témtem této kpitoly budou rovnice tvru 203
2 204 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE x(t) x(s) s d A x = f(t) f(s), (8.1) kde t, s [, b], A je n n-mticová funkce, f je n-vektorová funkce hledáme n-vektorovou funkci x vyhovující následující definici. 8.2 Definice. Funkce x : [, b] R n je řešením rovnice (8.1) n intervlu [, b], jestliže existuje integrál b dax rovnost (8.1) je splněn pro libovolná t, s [, b]. Rovnice (8.1) se nzývá zobecněná lineární diferenciální rovnice. 8.3 Poznámk. Bud dáno [, b] necht x splňuje rovnost x(t) x( ) d A x = f(t) f( ) (8.2) pro t [, b]. Potom pro libovolné s [, b] máme x(s) = x( ) + s d A x + f(s) f( ). Odečteme-li tuto rovnost od (8.2), zjistíme, že (8.1) pltí pro libovolná t, s [, b], tj. x je řešení rovnice (8.1). Funkce x : [, b] R n je tedy řešením rovnice (8.1) n [, b] právě tehdy, když pro nějké pevné [, b] splňuje rovnost (8.2) n [, b]. 8.2 Diferenciální rovnice s impulsy Motivcí pro studium zobecněných diferenciálních rovnic jsou mj. úlohy s impulsy. V řdě prktických úloh se totiž potkáme s perturbcemi, jejichž dob působení je sice znedbtelná v porovnání s dobou celého procesu, které le nicméně podsttně ovlivní studovný proces. Zprvidl vhodným modelem pro popis tkovýchto procesů jsou diferenciální rovnice s impulsy, tj. diferenciální rovnice, jejichž řešení nemusí být hldká, b ni spojitá. Zdrojem modelů s impulsy je zejmén fyzik (npř. popis hodinových mechnismů, oscilce elektromechnických systémů, vyzřování elektrických, resp.
3 STIELTJESŮV INTEGRÁL 205 mgnetických vln v prostředí s rychle se měnícími prmetry, stbilizce Kpicov kyvdl, optimální regulce metodou bng-bng), le tké medicín (distribuce léčivých látek v těle, strtegie impulsní vkcince v epidemiologických modelech, studium účinku hromdného očkování proti splničkám), populční dynmik (modely s rychlými změnmi počtu některých populcí) či ekonomie (modely trhu, které připouštějí prudké změny cen). Nejjednodušší idelizcí impulsních procesů jsou procesy popsné lineárními diferenciálními rovnicemi, n které v konečném počtu pevně dných bodů působí lineární impulsy. Předpokládejme, že r N, < τ 1 <... < τ r < b, P C([, b], L (R n )), q C([, b], R n ), B k L (R n ), d k R n pro k = 1, 2,..., r. (8.3) (V této kpitole budou symboly typu B k, resp. d k znčit tké mtice, resp. vektory.) Oznčme D = { } τ 1, τ 2,..., τ r, τ0 =, τ r+1 = b. Pro kždou regulovnou funkci x : [, b] R n definujme x [1 ] (t) = x(t) pro t [, τ 1 ] (8.4) x(τ k 1 +) když t = τ k 1, x [ k ] (t) = pro k = 2, 3,..., r + 1. x(t) když t (τ k 1, τ k ] Lineární impulsní úloh je pk tvořen lineární diferenciální rovnicí x = P (t) x + q(t) (8.5) lineárními impulsními podmínkmi + x(τ k ) = B k x(τ k ) + d k, k = 1, 2,..., r, (8.6) přičemž řešení jsou určen podle následující definice.
4 206 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.4 Definice. Řekneme, že funkce x : [, b] R n je řešením úlohy (8.5), (8.6), jestliže x [ k] C 1 ([τ k 1, τ k ]) pro kždé k = 1, 2,..., r+1, (8.7) x vyhovuje impulsním podmínkám (8.6) splňuje diferenciální rovnost x (t) = P (t) x(t) + q(t) pro t [, b] \ D. (8.8) 8.5 Poznámk. Povšimněme si, že řešení úlohy (8.5), (8.6) ptří vždy do prostoru G([, b], R n ). Ukážeme nyní, že úlohu (8.5), (8.6) můžeme ekvivlentně přeformulovt jko zobecněnou lineární diferenciální rovnici tvru (8.2). Předpokládejme zprvu, že r = 1, necht x : [, b] R n je řešení impulsní úlohy (8.5), (8.6). Integrcí rovnosti (8.8) dostneme vzthy x(t) = x() + P (s) x(s) d s + q(s) ds pro t [, τ 1 ] x(t) = x(τ 1 +) + P (s) x(s) d s + τ 1 q(s) ds τ 1 pro t (τ 1, b ]. Doszením z podmínek (8.6) (kde k = r = 1) do druhého vzthu pk dostneme pro t (τ 1, b ] tedy x(t) = x(τ 1 ) + B 1 x(τ 1 ) + d 1 + P (s) x(s) d s + τ 1 = x() + x(t) = x() + + P (s) x(s) d s + B 1 x(τ 1 ) + P (s) x(s) d s +χ (τ1,b ](t) B 1 x(τ 1 ) q(s) ds +χ (τ1,b ](t) d 1 τ 1 q(s) ds q(s) ds + d 1, pro t [, b]. (8.9)
5 STIELTJESŮV INTEGRÁL 207 Položme A(t) = P (s) d s + χ (τ1,b ](t) B 1 f(t) = q(s) d s + χ (τ1,b ](t) d 1 pro t [, b]. Pk A BV([, b], L (R n )), f BV([, b], R n ) A(t ) = A(t) f(t ) = f(t) pro t (, b ]. Dále neboli A(t+) = P (s) d s + χ [τ1,b ](t) B 1 f(t+) = + A(t) = χ [τ1 ](t) B 1 + f(t) = χ [τ1 ](t) d 1 pro t [, b). q(s) d s + χ [τ1,b ](t) d 1 Podle věty o substituci 6.47 formule (6.11) z příkldů 6.15 (ii) (viz též příkldy 6.44) pltí d A x = f(t) f() = P (s) x(s) d s +χ (τ1,b ](t) B 1 x(τ 1 ) q(s) ds +χ (τ1,b ](t) d 1 pro t [, b] x G([, b], R n ). Doszením do (8.9) zjistíme, že x splňuje n [, b] rovnost (8.2), kde =. Obráceně, jestliže x G([, b], R n ) splňuje (8.2) n [, b], pk podle výše uvedeného pltí opět (8.9). Odtud vidíme, že definujeme-li funkce x [ k] jko v (8.4), bude pltit (8.7) (8.8). Nvíc, podle Hkeovy věty (viz též cvičení 6.43) je x(t ) = x(t) pro kždé t (, b ] x(t+) = x() + lim = x() + s t+ s d A x +f(t+) f() d A x + f(t) f() + + A(t) x(t) + + f(t) = x(t) + χ [τ1 ](t) ( ) B 1 x(t) + d 1 pro kždé t [, b].
6 208 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Speciálně doszením t = τ 1 zjistíme, že x splňuje impulsní podmínku (8.6), kde k = r = 1. Vzhledem k poznámce 8.3 je tedy pro r = 1 úloh (8.5), (8.6) ekvivlentní se zobecněnou diferenciální rovnicí (8.1). V obecném přípdě r N, definujeme A(t) = f(t) = P (s) d s + q(s) d s + r χ (τk,b ](t) B k, k=1 r χ (τk,b ](t) d k, k=1 Indukcí sndno ověříme následující tvrzení. pro t [, b]. (8.10) 8.6 Vět. Předpokládejme (8.3) (8.10). Potom impulsní úloh (8.5), (8.6) je ekvivlentní se zobecněnou diferenciální rovnicí (8.2), tj. x : [, b] R n je řešením úlohy (8.5), (8.6) n intervlu [, b] tehdy jen tehdy, když je řešením rovnice (8.1) n intervlu [, b]. 8.3 Lineární operátory Připomeňme nyní stručně několik zákldních pojmů z funkcionální nlýzy, které budeme ndále potřebovt. Podrobnější informci lze njít ve většině učebnic funkcionální nlýzy (viz npř. [3], [16], [32], [41]). Zákldní přehled je obsžen tké v úvodní části monogrfie [55]. Necht X, Y jsou Bnchovy prostory. Zobrzení T : X Y (T zobrzuje X do Y ) je spojitý operátor, jestliže lim x n x X = 0 = n lim T (x n ) T (x) Y = 0, n kde X je norm n X Y je norm n Y. Operátor T : X Y se nzývá lineární, jestliže pltí T (c 1 x 2 + c 2 x 2 ) = c 1 T (x 1 ) + c 2 T (x 2 ) pro x 1, x 2 X c 1, c 2 R. Dále řekneme, že lineární operátor T je ohrničený, existuje-li číslo K [0, ) tkové, že pltí T (x) Y K x X pro kždé x X.
7 STIELTJESŮV INTEGRÁL 209 Je-li T lineární operátor, píšeme, jk je zvykem, T x místo T (x). Je známo, že lineární operátor T : X Y je spojitý právě tehdy, když je ohrničený. Množinu ohrničených lineárních zobrzení prostoru X do prostoru Y znčíme L (X, Y). Je-li X = Y, píšeme L (X) místo L (X, X). N L (X, Y) jsou zřejmým způsobem zvedeny operce sčítání operátorů násobení operátorů reálným číslem L (X, Y) je pk Bnchův prostor vzhledem k normě L L (X,Y) = sup { L x Y : x X x X 1 }. Je známo, že prostor L (R n ) je ekvivlentní s prostorem mtic typu n n. Konečně, řekneme, že L L (X, Y) je kompktní, jestliže zobrzuje kždou množinu ohrničenou v X n množinu reltivně kompktní v Y, tj. jestliže pro kždou posloupnost {x n } ohrničenou v X její obrz {L x n } Y obshuje podposloupnost konvergentní v Y. Je známo, že kždý kompktní lineární operátor je součsně spojitý. V důkzech hlvních výsledků této kpitoly využijeme následující dvě tvrzení. První z nich je zobecněním jedné z Fredholmových vět známých z teorie integrálních rovnic. Jeho důkz je obsžen npř. v monogrfiích N. Dunford J. T. Schwrtze [5], M. Schechter [44] nebo ve skriptech J. Lukeše [32]. 8.7 Vět (FREDHOLMOVA VĚTA O ALTERNATIVĚ). Bud X Bnchův prostor necht operátor L L (X) je kompktní. Potom operátorová rovnice x L x = g (8.11) má jediné řešení pro kždé g X tehdy jen tehdy, když příslušná homogenní rovnice x L x = 0 (8.12) má pouze triviální řešení x = 0 X. Druhé tvrzení je známo tké z elementární teorie mtic. Připomeňme si zde jeho obecnou podobu převztou z monogrfie [58] (viz Lemm 4.1-C). 8.8 Lemm. Necht X je Bnchův prostor, T L (X) T L (X) < 1. Potom existuje ohrničený inverzní operátor [ I T ] 1 k operátoru [ I T ] pltí nerovnost [ I T ] 1 L (X) 1 1 T L (X).
8 210 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.4 Existence řešení zobecněných lineárních diferenciálních rovnic Studium zobecněných lineárních diferenciálních rovnic zhájíme prostým pozorováním vycházejícím ze známých vlstností KS-integrálu. 8.9 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) f G([, b], R n ). Potom kždé řešení x rovnice (8.1) n [, b] je regulovné n [, b] pltí pro něj vzthy } x(t) = A(t) x(t) + f(t) když t (, b ], (8.13) + x(s) = + A(s) x(s) + + f(s) když s [, b). D ů k z plyne z důsledku 6.41 Sksov-Henstockov lemmtu. Vzhledem k větě 8.9 je tedy vhodné hledt řešení zobecněných lineárních diferenciálních rovnic ve třídě G([, b], R n ). Anlogiemi počátečních úloh pro lineární obyčejné diferenciální rovnice jsou úlohy x(t) x d A x = f(t) f( ), (8.14) kde bod [, b] vektor x R n jsou dány předem Definice. Řešením počáteční úlohy (8.14) n intervlu [, b] rozumíme funkci x : [, b] R n, pro kterou je splněn rovnost (8.14) pro kždé t [, b] Poznámk. Vzhledem k poznámce 8.3 je zřejmé, že funkce x je řešením počáteční úlohy (8.14) n [, b] právě tehdy, když je řešením rovnice (8.1) n [, b] pltí x( ) = x. Kždé funkci x G([, b], R n ) bodu [, b] přiřd me funkci A t0 x předpisem (A t0 x)(t) = d A x pro t [, b]. (8.15) Podle důsledku 6.41 jsou funkce A t0 x regulovné n [, b]. Zobrzení A t0 : x G([, b], R n ) A t0 x G([, b], R n )
9 STIELTJESŮV INTEGRÁL 211 je zřejmě lineární dále podle věty 6.18 pltí A t0 x ( vr b A ) x pro kždé x G([, b], R n ). Pro kždé [, b] je tedy A t0 A t0 L (G([, b], R n )). spojitý lineární operátor n G([, b], R n ), tj. Dokážeme nyní, že součsně je předpisem (8.15) definován spojitý lineární operátor zobrzující G([, b], R n ) do BV([, b], R n ) Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht funkce A t0 x je pro x G([, b], R n ) definován vzthem (8.15). Potom A t0 x BV([, b], R n ) pro kždé x G([, b], R n ) operátor x G([, b], R n ) A t0 x BV([, b], R n ) je ohrničený. D ů k z. Bud σ libovolné dělení intervlu [, b]. Podle věty 6.18 pro kždé x G([, b], R n ) máme ν(σ) ν(σ) (A t0 x)(σ j ) (A t0 x)(σ j 1 ) = j=1 j=1 j=1 σj d A x σ j 1 ν(σ) ( vr σ j σ j 1 A ) x = ( vr b A ) x (A t0 x)() = d A x ( vr b A ) x. Tudíž A t0 x BV([, b], R n ) A t0 x BV = (A t0 x)() + vr b (A t0 x) 2 ( vr b A ) x pro kždé x G([, b], R n ). Pomocí operátoru A t0 operátorovou rovnici z (8.15) můžeme přepst počáteční úlohu (8.14) jko x A t0 x = g, kde g = x + f f( ).
10 212 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Protože nemáme k dispozici prostředky postčující k důkzu kompktnosti operátoru A L (G([, b], R n )), nemůžeme přímo plikovt Fredholmovu větu (vět 8.7) musíme postupovt tk trochu oklikou. V následující větě ukážeme pomocí Hellyovy věty Osgoodovy věty, že operátor A t0 generuje kompktní zobrzení prostoru BV([, b], R n ) do sebe Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )). Položme L x = A t0 x pro x BV([, b], R n ). Potom L je kompktní lineární operátor n BV([, b], R n ). D ů k z. Protože je x x BV pro kždé x BV([, b], R n ), plyne z lemmtu 8.12, že L L (BV([, b], R n )). Dokážeme, že pro kždou posloupnost {x n } ohrničenou v BV([, b], R n ) její obrz {L x n } BV([, b], R n ) obshuje podposloupnost, která je konvergentní v BV([, b], R n ). Necht jsou tedy posloupnost {x n } BV[, b] číslo κ [0, ) tkové, že x n BV κ < pro kždé n N. Podle Hellyovy věty (vět 2.46) existují funkce x BV([, b], R n ) rostoucí podposloupnost {n k } N tkové, že x BV 2 κ lim k x nk (t) = x(t) pro kždé t [, b]. Oznčme z k (t) = x nk (t) x(t) pro k N t [, b]. Potom z k (t) 4 κ lim k z k (t) = 0 pro k N t [, b]. Vzhledem k tomu, že integrály d c d A z k d d [vr s A] z k (s) existují pro libovolná c, d [, b] k N, vět 6.18 zručuje, že pltí ν(σ) ν(σ) (L z k )(σ j ) (L z k )(σ j 1 ) = j=1 ν(σ) σj j=1 b j=1 σ j 1 d [ vr s A ] z k (s) pro libovolná σ D [, b] k N. Máme tedy vr b (L z k ) b c σj d A z k σ j 1 d [ vr s A ] z k (s) d [ vr s A ] z k (s) pro k N.
11 STIELTJESŮV INTEGRÁL 213 Podle věty 6.51 je ovšem b lim k d [ vr s A ] z k (s) = 0, tudíž tké lim vr ( b L xnk L x ) = lim vr b (L z k ) = 0. k k Podobně lim ( L x nk () L x() ) = lim (L z k )() = lim d A z k k k k [ lim vr s A ] z k (s) = 0. k Vět je dokázán. Následující tvrzení je důsledkem věty 8.7 věty Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom počáteční úloh x(t) d A x = g(t) (8.16) má pro kždou funkci g BV([, b], R n ) jediné řešení n [, b] právě tehdy, když odpovídjící homogenní úloh x(t) d A x = 0 (8.17) má n [, b] pouze triviální řešení x 0. D ů k z. Rovnice (8.16) je ekvivlentní s operátorovou rovnicí x L x = g, kde L x = A t0 x pro x BV([, b], R n ), tj. (L x)(t) = d A x pro x BV([, b], R n ) t [, b]. Podle věty 8.13 je L lineární kompktní operátor n BV([, b], R n ). K dokončení důkzu věty využijeme větu 8.7.
12 214 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Předpokládejme nyní, že τ (, b ] funkce x G([, b], R n ) splňuje rovnost (8.14) n intervlu [, τ). Zřejmě je x( ) = x. Pomocí Hkeovy věty (vět 6.42, viz též příkldy 6.44 cvičení 6.45) sndno ověříme, že pltí x(τ ) = x + lim = x + = x + s τ τ t 0 τ s d A x + ( f(τ ) f( ) ) d A x + f(τ) f( ) lim s τ τ s d A x f(τ) d A x + f(τ) f( ) A(τ) x(τ) f(τ). Má-li tedy funkce x splňovt (8.14) tké v bodě τ, musí hodnot x(τ) vyhovovt rovnici [ I A(τ) ] x(τ) = x(τ ) + f(τ), (8.18) kde I znčí jednotkovou mtici typu n n (viz Úmluvy oznčení (xiv)). Odtud je zřejmé, že řešení počáteční úlohy (8.14) n intervlu [, τ) bude možno jednoznčným způsobem prodloužit do bodu τ, jestliže bude pltit det [ I A(τ) ] 0. (8.19) Podobně jko výše můžeme usoudit, že funkce x G([, b], R n ) splňující (8.14) n intervlu (τ, ], kde τ [, ), splňuje (8.14) tké v bodě τ tehdy jen tehdy, když pltí [ I + + A(τ) ] x(τ) = x(τ+) + f(τ), (8.20) k tomu stčí, by pltilo det [ I + + A(τ) ] 0. (8.21) (Rozmyslete si detily!) Můžeme tedy očekávt, že podmínky (8.19) (8.21) jsou podsttné pro existenci řešení úlohy (8.14) Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom úloh (8.16) má jediné řešení pro kždou funkci g BV([, b], R n ) tehdy jen tehdy, když det [ I A(t) ] 0 pro kždé t (, b ] (8.22) det [ I + + A(s) ] 0 pro kždé s [, ). (8.23) (Zde (, b ] =, když = b, [, ) =, když =.)
13 STIELTJESŮV INTEGRÁL 215 D ů k z. ) Předpokládejme, že [, b), g BV([, b], R n ), A splňuje (8.22) (8.23) x splňuje (8.17) n [, b]. Vzhledem k poznámce 8.3 je x řešením rovnice (8.1) n [, b], přičemž x( ) = 0. Podle věty 8.9 je x regulovná n [, b] z druhé rovnice v (8.13) plyne, že pltí + x( ) = + A( ) x( ) = 0, tj. x( +) = 0. Oznčme α(t) = vr t A pro t [, b ]. Funkce α je neklesjící n intervlu [, b ]. Existuje tedy konečná limit α( +) můžeme zvolit δ (0, b ) tk, by pltilo 0 α( + δ) α( +) < 1/2. Pro kždé t [, +δ] odtud pomocí vět odvodíme nerovnosti x(t) ( lim x d α τ + τ x d α [ α( +δ) α( +) ] ( sup x d α = + α( ) x( ) + = lim τ + ( 1 2 τ sup t [, +δ] ) x(t) ) x(t). ( sup t [, +δ] t [, +δ] ) x(t) ) x(t). To je le možné pouze tehdy, Tudíž sup 1 t [, +δ] 2 když x = 0 n [, + δ]. Položme t = sup{τ (, b ] : x = 0 n [, τ]. Zřejmě je x = 0 n [, t ), tudíž tké x(t ) = 0. Dále podle (8.13) máme 0 = [ I A(t ) ] x(t ). To je le, vzhledem k předpokldu (8.22), možné pouze tehdy, když x(t ) = 0. Předpokládejme, že t < b. Stejnou rgumentcí, jkou jsme n zčátku důkzu dokázli, že existuje δ (0, b ] tkové, že x je nulové n [, + δ], ukázli bychom nyní, že existuje η (0, b t ) tkové, že x se nuluje n [t, t + η], což je ovšem vzhledem k definici t nemožné, tudíž musí být t = b. Dokázli jsme, že kždé řešení úlohy (8.17) je nulové n [, b ]. Podobně bychom pomocí předpokldu (8.23) dokázli, že je-li (, b ], pk se řešení x úlohy (8.17) nuluje tké n [, ]. Dokázli jsme, že pltí-li (8.22) (8.23), má úloh (8.17) pouze triviální řešení n [, b]. Podle věty 8.14 má tedy úloh (8.16) jediné řešení n [, b]. b) Předpokládejme, že nepltí npř. (8.22). Zřejmě je det [ I A(t) ] 0, jestliže je A(t) 1/2. N druhou strnu, podle důsledku 4.11 obrácená nerovnost A(t) > 1/2 pltí pro nejvýše konečně mnoho bodů t (, b ]. Mtice I A(t) tedy není regulární pro nejvýše konečně mnoho bodů t (, b ].
14 216 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Můžeme tedy zvolit t (, b ] tkové, že det [ I A(t) ] 0 pro t (, t ) det [ I A(t ) ] = 0. Dále ze zákldů lineární lgebry je známo, že potom existuje d R n tkové, že [ I A(t ) ] c d pro kždé c R n. (8.24) Definujme g(t) = { 0 když t t, d když t = t. Máme g BV([, b], R n ) g(t ) = d. Předpokládejme, že rovnice (8.16) má n [, b] řešení x. Potom podle první části důkzu [ musí být x = 0 n [, t ), tedy tké x(t ) = 0. Podle věty 8.9 musí pltit I A(t ) ] x(t ) = d. To je ovšem ve sporu s tvrzením (8.24). Úloh (8.16) tedy nemůže mít řešení. Nepltí-li (8.23), pk nlogicky njdeme bod t [, ) funkci g tkové, že bude [ I + + A(t ) ] c + g(t ) pro kždé c R n, což vede opět ke sporu s větou Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) [, b]. Potom počáteční úloh (8.14) má pro kždou funkci f BV([, b], R n ) kždý vektor x R n jediné řešení tehdy jen tehdy, když pltí (8.22) (8.23). D ů k z. Vět je důsledkem lemmtu 8.15, kde položíme g(t) = x + f(t) f( ) pro t [, b]. 8.5 Zobecněné Gronwllovo lemm priorní odhdy řešení Důležitou roli v teorii obyčejných diferenciálních rovnic (npř. při důkzu jednoznčnosti řešení počáteční úlohy nebo při důkzech spojité závislosti řešení n některých prmetrech) hrje tvrzení, které se nzývá Gronwllovo lemm. Připomeňme si jeho znění. Důkz lze njít ve většině učebnic obyčejných diferenciálních rovnic (viz npř. [23, Pomocná vět 4.3.1]).
15 STIELTJESŮV INTEGRÁL Lemm (GRONWALL). Necht funkce u p jsou spojité nezáporné n [, b], K 0 necht Potom u(t) K + u(t) K exp ( p(s) d s ) ( p(s) u(s) ) d s pro t [, b]. pro t [, b]. Pro nás bude podobně důležité zobecnění Gronwllov lemmtu n přípd, kdy se v příslušných integrálních nerovnostech vyskytuje Stieltjesův integrál Vět (ZOBECNĚNÉ GRONWALLOVO LEMMA). Předpokládejme, že funkce u : [, b] [0, ) je ohrničená n [, b], funkce h : [, b] [0, ) je neklesjící zlev spojitá n (, b ], K 0, L 0 necht Potom u(t) K + L u d h pro t [, b]. (8.25) u(t) K exp ( L [h(t) h()] ) pro t [, b]. (8.26) D ů k z. Necht κ 0 w κ (t) = κ exp ( L [h(t) h()] ) pro t [, b]. Potom w κ d h = κ = κ exp ( L [h(s) h()] ) d h(s) ( k=0 L k k! [ h(s) h()] k) d h(s) pro t [, b]. L k [ Protože, jk známo, řd h(t) h()] k konverguje stejnoměrně n [, b], k! k=0 můžeme přehodit pořdí opercí integrce sčítání. Použijeme-li nyní nvíc tvrzení z příkldu 6.22, dostneme ( L k [ ] ) k w κ d h = κ h(s) h() d [h(s)] k! κ k=0 ( L k [h(t) h()] k+1 ) = κ (k + 1)! L k=0 = w κ(t) κ L ( ) exp(l [h(t) h()]) 1
16 218 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE pro t [, b]. To znmená, že funkce w κ splňuje pro kždé κ 0 t [, b] nerovnost w κ (t) κ + L w κ d h. (8.27) Bud dáno ε > 0 položme κ = K + ε v ε = u w κ. Odečtením nerovností (8.25) (8.27) zjistíme, že pltí v ε (t) ε + L v ε d h pro t [, b]. (8.28) Speciálně v ε () ε < 0. Zbývjící část důkzu bude připomínt postup z důkzu lemmtu Funkce u i w κ jsou evidentně ohrničené n [, b] pro kždé κ 0. Tudíž tké funkce v ε je ohrničená n [, b]. Podle Hkeovy věty 6.42 (ii) máme v ε d h = v ε () + h() + lim v ε d h δ 0+ +δ tedy v ε (t) ε + L ε + h() + v ε [h(t) h(+)] v ε [h(t) h(+)], v ε d h ε + L v ε [h(t) h(+)] pro t [, b]. Zvolme η > 0 tk, by pltilo L v ε [h(t) h(+)] < ε/2 pro t [, + η ]. Pk bude v ε < 0 n [, + η ]. Oznčme t = sup{τ [, b] : v ε < 0 n [, τ]}. Vidíme, že je t > v ε < 0 n [, t ). Opětným použitím Hkeovy věty 6.42 (i) dostneme z (8.28) v ε (t ) ε + L = ε + L protože h(t ) = 0 v ε d h ( v ε (t ) h(t ) + lim δ 0+ δ δ v ε d h 0 pro kždé δ > 0. ) v ε d h ε < 0, Kdyby bylo t < b, zopkovli bychom předcházející postup ukázli, že existuje θ (0, b t ) tkové, že v ε < 0 n intervlu [, t + θ], což je ve sporu s definicí t. Tudíž t = b, v ε < 0 n celém [, b] u(t) < w κ (t) = K exp ( L (h(t) h()) ) + ε exp ( L (h(t) h()) ) pro t [, b].
17 STIELTJESŮV INTEGRÁL 219 Protože ε > 0 bylo libovolné, znmená to, že pltí (8.26) Cvičení. Dokžte následující vrintu věty 8.18: Předpokládejme, že funkce u : [, b] [0, ) je ohrničená n [, b], funkce h : [, b] [0, ) je neklesjící zprv spojitá n [, b), K 0, L 0 Potom u(t) K + L b t u d h pro t [, b]. (8.29) u(t) K exp ( L [h(b) h(t)] ) pro t [, b]. (8.30) 8.20 Poznámk. Obecnější verze zobecněného Gronwllov lemmtu jsou obsženy v monogrfiích Š. Schwbik [45] (viz větu 1.40) J. Kurzweil [27] (viz kpitol 22). V následující větě využijeme zobecněné Gronwllovo lemm k odvození důležitého odhdu pro řešení úlohy (8.14) Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23), f G([, b], R n ), x R n necht x je řešení počáteční úlohy (8.14) n [, b]. Potom vr b (x f) (vr b A) x <, (8.31) { c (A,t0 ):= mx 1, sup [I A(t)] 1, t (,b ] sup [I + + A(t)] 1 } (8.32) <, t [, ) ( ) ( x(t) c (A,t0 ) x + 2 f exp 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, b ], ( ) ( x(t) c (A,t0 ) x + 2 f exp 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, ]. (8.33) D ů k z. ) Pro libovolné dělení σ intervlu [, b] máme ν(σ) x(σ j ) f(σ j ) x(σ j 1 ) + f(σ j 1 ) j=1 ν(σ) = j=1 σj ν(σ) [ d[ A] x (vr σ j σ j 1 A) x ] = (vr b A) x <. σ j 1 j=1
18 220 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Odtud okmžitě plyne, že pltí (8.31). b) Pro t (, b ] tkové, že A(t) 1 2 máme podle lemmtu 8.8 [I A(t)] A(t) < 2. Protože množin { t [, b]: A(t) > 2} 1 je podle důsledku 4.11 nejvýše konečná, plyne odtud, že sup [I A(t)] 1 <. t (,b ] Podobně bychom dokázli, že je c) Necht x splňuje (8.14). Položme B(t) = { A(t), když t [, t0 ], A(t ), když t (, b ]. Zřejmě A(t) B(t) = A(t) vr t (B A) = s (,b ] sup [I + + A(t)] 1 <. Pltí tedy (8.32). t [, ) A(s) vr t A pro t (, b] (viz důsledek 2.27). Tudíž A B BV([, b], R n ) vr t B 2 vr t A. Dále podle lemmtu 6.31 je d [A B ] x = A(t) x(t) pro t (, b ]. Rovnice (8.14) se tedy n intervlu (, b ] redukuje n [I A(t)] x(t) = x + d [B ] x + f(t) f( ) odtud sndno (tké díky tomu, že je c (A,t0 ) 1) odvodíme nerovnost x(t) K + L x d h pro t [, b ],
19 STIELTJESŮV INTEGRÁL 221 kde K = c (A,t0 ) ( x + 2 f ), L = c (A,t0 ) h(t) = vr t B. Funkce h je neklesjící n [, b ]. Dále protože B je zlev spojitá n (, b ], je podle lemmtu 2.24 funkce h tké zlev spojitá n (, b ]. Podle zobecněného Gronwllov lemmtu 8.18 dostáváme tedy konečně první nerovnost v (8.33). Důkz druhé nerovnosti v (8.33) by se z pomoci vrinty Gronwllovy nerovnosti ze cvičení 8.19 provedl podobně Cvičení. Z předpokldů věty 8.21 dokžte podrobně nerovnosti 0 < sup [I + + A(t)] 1 < t [, ) x(t) c (A,t0 ) ( x + 2 f ) exp ( 2 c(a,t0 ) vr t A ) pro t [, ]. 8.6 Spojitá závislost řešení n prmetrech existence řešení pro regulovné prvé strny Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23), necht x R n, f G([, b], R n ) necht x je řešení úlohy (8.14) n [, b]. Dále necht y je n [, b] řešení počáteční úlohy y(t) ỹ d A y = g(t) g( ), (8.34) kde g G([, b], R n ) ỹ R n. Potom ( x(t) y(t) ) = ( x ỹ ) + pro t [, b]. Podle věty 8.21 tedy máme d A ( x y ) + ( f(t) g(t) ) ( f( ) g( ) ) x y c (A,t0 ) exp ( 2 c (A,t0 ) vr b A ) ( x ỹ + 2 f g ), kde c (A,t0 ) (0, ) je definováno v (8.32). Vidíme, že vzájemná,,vzdálenost řešení počátečních úloh (8.14) (8.34) je přímo úměrná tomu, jk jsou od sebe,,vzdálen vstupní dt (tj. počáteční hodnoty x, ỹ prvé strny f, g ) těchto rovnic. Podrobněji je tento jev popsán v následující větě.
20 222 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.23 Vět. Necht [, b] A BV([, b], L (R n )) splňují (8.22) (8.23). Dále necht f, f k G([, b], R n ) x, x k R n pro k N. Předpokládejme, že lim f k f = 0 k (8.35) lim x k = x. k (8.36) Necht počáteční úlohy x k (t) x k d A x k = f k (t) f k ( ) (8.37) mjí pro k N řešení x k n intervlu [, b]. Potom má tké úloh (8.14) řešení x n intervlu [, b] pltí lim xk x = 0. (8.38) k D ů k z. ) V důsledku (8.35) (8.36) existuje k 0 tkové, že f k f + 1 x k x + 1 pltí pro k k 0. Podle věty 8.21 pltí tedy pro k k 0 tké ( ) ( x k κ 0 <, kde κ 0 = c (A,t0 ) x + 2 f + 3 exp 2 c(a,t0 ) vr b A ) nezávisí n k. Podle téže věty máme dále vr b (x k f k ) κ 0 vr b A < pro k k 0. Nyní, podle Hellyovy věty o výběru (vět 2.46) existují funkce y BV([, b], R n ) rostoucí posloupnost {k l } N tkové, že k 1 k 0, y BV 2 mx{κ 0 vr b A, κ 0 + f + 1} ( lim xkl (t) f kl (t) ) = y(t) pro t [, b]. l Vzhledem k předpokldu (8.35) to ovšem znmená, že pro kždé t [, b] existuje limit x(t):= lim x kl (t) Díky stejnoměrné ohrničenosti posloupnosti {x kl } l pomocí Osgoodovy věty (vět 6.51) tedy získáme pro kždé t [, b] rovnost lim l d A x kl = d A x.
21 STIELTJESŮV INTEGRÁL 223 Tudíž limitním přechodem l v rovnici (8.37) ( tké s použitím předpokldů (8.35) (8.36)) dospějeme ke zjištění, že x je řešením úlohy (8.14) n [, b]. b) Zopkujeme-li nyní pro kždé k N úvhu z úvodu tohoto odstvce, přičemž v ní x k nhrdí y, f k nhrdí g x k nhrdí ỹ, zjistíme, že pro kždé k N pltí x x k K ( x xk + 2 f fk ), kde K = c (A,t0 ) exp ( 2 c (A,t0 ) vr b A ) < nezávisí n k. Pltí tedy tké (8.38). Poždvek existence řešení rovnic (8.37) v předchozí větě byl podsttný. Existenční vět 8.16, kterou máme ztím k dispozici, se vzthuje pouze n přípdy, kdy prvá strn f má konečnou vrici n [, b]. Nyní můžeme konečně doplnit větu 8.16 n obecný přípd f G([, b], R n ) Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] pltí (8.22) (8.23). Potom pro kždou funkci f G([, b], R n ) kždý vektor x R n má počáteční úloh (8.14) jediné řešení n [, b]. D ů k z. ) Máme-li dvě řešení x, y úlohy (8.14) n intervlu [, b], bude jejich rozdíl n [, b] řešením homogenní úlohy (8.17), která má ovšem podle lemmtu 8.15 pouze triviální řešení. Musí tedy pltit x y n [, b]. b) Položme x k = x pro k N. Podle věty 4.8 existuje posloupnost {f k } jednoduchých skokových funkcí (tedy funkcí z BV([, b], R n )), která konverguje stejnoměrně n [, b] k f. Podle věty 8.16 pro kždé k N existuje jediné řešení x k úlohy (8.37) podle věty 8.23 posloupnost {x k } konverguje stejnoměrně k řešení úlohy (8.14). Ve zbývjící části odstvce se omezme pro jednoduchost n přípd =, tj. vyšetřujeme počáteční úlohu x(t) x jko limitu úloh x k (t) x k d A x = f(t) f() (8.39) d A k x k = f k (t) f k (), (8.40) kde tké jádr A k závisí n prmetru k N. Tento přípd je poněkud složitější než ten, který jsme řešili ve větě Nejprve dokážeme konvergenční větu pro KS-integrály pro situci, která není pokryt větmi z kpitoly 6.
22 224 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.25 Vět. Necht f, f k G([, b], R n ), A, A k BV([, b], L (R n )) pro k N. Předpokládejme, že pltí (8.35), Potom lim A k A = 0 k α := sup k N lim k ( sup t [,b ] (8.41) vr b A k <. (8.42) d A k f k ) d A f = 0. D ů k z. Bud dáno ε > 0. Podle věty 4.8 můžeme zvolit funkci ϕ : [, b] R n tkovou, že kždá její komponent je jednoduchá skoková funkce n [, b] přitom f ϕ < ε. Dále podle (8.35) (8.41) můžeme zvolit k 0 N tk, by součsně pltilo f k f < ε A k A < ε pro k k 0. Pro dné t [, b] k k 0 máme podle vět d A k f k d A f ( d A k fk ϕ ) + d [ A k A ] ϕ + d A ( ϕ f ) (vr b A k ) f k ϕ + 2 A k A ϕ BV + (vr b A) ϕ x α ( f k f + f ϕ ) + 2 A k A ϕ BV + (vr b A) ϕ f ( 2 α + 2 ϕ BV + vr b A ) ε = K ε, kde K = ( 2 α + 2 ϕ BV + vr b A ) (0, ) nezávisí ni n k ni n t. Tím je vět dokázán. Dále je třeb dokázt následující pomocné tvrzení Lemm. Necht A, A k BV([, b], L (R n )) pro k N. Dále předpokládejme, že pltí (8.22) (kde = ) (8.41). Potom existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 pltí det [ I A k (t) ] 0 pro t (, b ] (8.43)
23 STIELTJESŮV INTEGRÁL 225 sup [I A k (t)] 1 < 2 c A, (8.44) t (,b ] kde c A = c (A,) (0, ) je konstnt definovná v (8.32) pro =. D ů k z. Díky (8.41) pltí podle lemmtu 4.15 Můžeme tedy zvolit k 0 N tk, by bylo lim A k A = 0. k A k (t) A(t) < 1 4 c A pro t [, b] k k 0. (8.45) Necht t (, b] k k 0 jsou dány. Sndno ověříme, že pltí rovnost kde I A k (t) = [ I A(t) ] [ I T k (t) ], T k (t) = [ I A(t) ] 1 ( A k (t) A(t) ). Vzhledem k předpokldu (8.22) je tudíž mtice I A k (t) regulární tehdy jen tehdy, když je regulární mtice I T k (t). Podle (8.32) (8.45) máme T k (t) = [ I A(t) ] 1 A k (t) A(t) < 1 4. Lemm 8.8 tedy zručuje, že mtice I T k (t), tudíž tké I A k (t) jsou regulární, že pltí [ I T k (t) ] 1 < 2. Odtud z (8.32) plyne [ I A k (t) ] 1 [ I Tk (t) ] 1 [ I A(t) ] 1 < 2 ca. Důkz je dokončen. Nyní můžeme zformulovt dokázt hlvní větu tohoto odstvce Vět. Necht =, A, A k BV([, b], L (R n )), f, f k G([, b], R n ), x, x k R n pro k N. Dále předpokládejme, že pltí (8.22), (8.35), (8.36), (8.41) (8.42). Potom existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 má počáteční úloh (8.40) jediné řešení x k n [, b] pltí (8.38), kde x je řešení úlohy (8.39).
24 226 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE D ů k z. Podle věty 8.24 má úloh (8.39) jediné řešení x n [, b]. Dále podle lemmtu 8.26 existuje k 0 N tkové, že (8.43) pltí pro k k 0. Tudíž, vzhledem k větě 8.24, úloh (8.40) má pro kždé k k 0 jediné řešení x k n [, b]. Položme Potom w k = (x k f k ) (x f). (8.46) w k (t) = w k + kde w k = ( x k f k ()) ( x f()) h k (t) = Dokážeme, že d A k w k + h k (t) h k () pro k N t [, b], ( ) d [A k A ] (x f) + d A k f k d A f. (8.47) lim w k = 0. k (8.48) Podle (8.42), (8.44) věty 8.21 je w k (t) 2 c A ( w k + h k ) exp ( 4 c A α ) pro t [, b], (8.49) kde, podobně jko v lemmtu 8.26, píšeme c A místo c (A,). Stčí tedy dokázt, že lim w k = 0 lim h k = 0. (8.50) k k Nejprve si povšimněme, že první vzth z (8.50) plyne okmžitě z předpokldů (8.35) (8.36). Dále podle věty 8.25 je lim sup k t [,b ] d A k f k d A f = 0. (8.51) Součsně podle věty 6.25 máme d [A k A] (x f) 2 A k A x f BV pro t [, b].
25 STIELTJESŮV INTEGRÁL 227 Protože (x f) BV([, b], R n ) podle (8.31), plyne odtud díky (8.41), že pltí tké lim sup d[ A k A] (x f) = 0. (8.52) k t [,b ] Souhrnem, podle (8.47) (8.51) (8.52) dostáváme lim k h k = 0. Pltí tedy (8.50), vzhledem k (8.49) tudíž tké (8.48). Podle (8.46) je x k x = w k + ( f k f ). Tvrzení věty tudíž plyne z (8.35) (8.48). 8.7 Fundmentální mtice Zobecněním homogenních systémů lineárních obyčejných diferenciálních rovnic je rovnice x(t) x(s) s d A x = 0. (8.53) Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht pltí (8.22) (8.23). Potom podle věty 8.16 (kde f(t) f() n [, b]) má rovnice (8.53) pro kždé x R n právě jedno řešení x BV([, b], R n ) n [, b] tkové, že x( ) = x. Nopk, kždému řešení x rovnice (8.53) můžeme přiřdit hodnotu x( ) R n. Vzhledem k poznámkám je tento vzth mezi řešeními rovnice (8.53) vektorovým prostorem R n vzájemně jednoznčný. Sndno ověříme, že jsou-li x, y řešení rovnice (8.53) n [, b] α, β R n, pk α x + β y je tké řešení rovnice (8.53) n [, b]. Nyní můžeme tyto úvhy shrnout do následujícího tvrzení Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.22) (8.23). Potom množin řešení rovnice (8.53) je lineární tvoří podprostor BV([, b], R n ) dimenze n. Nyní ukážeme, že i pro zobecněné lineární diferenciální rovnice existuje obdob fundmentální mtice. Fundmentální mtici pro zobecněné lineární diferenciální rovnice definujeme následujícím způsobem Definice. Mticová funkce X : [, b] L (R n ) se nzývá fundmentální mtice rovnice (8.53) n intervlu [, b], jestliže splňuje rovnost X(t) = X(s) + s d A X pro t, s [, b] (8.54)
26 228 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE det X(t) 0 pro lespoň jedno t [, b] Poznámk. Jestliže mticová funkce X splňuje vzth (8.54), pk sndno ověříme, že pro libovolné c R n je funkce x(t) = X(t) c řešením rovnice (8.53) Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] necht pltí (8.22) (8.23). Potom pro kždou mtici X L (R n ) existuje jednoznčně určená mticová funkce X t0 BV([, b], L (R n )) tková, že pltí X t0 (t) = X + d A X t0 pro t [, b]. (8.55) D ů k z. Pro k = 1, 2,..., n oznčme k-tý sloupec mtice ) X jko x k. Máme tedy x k R n pro k = 1, 2,..., n X = ( x1, x 2,..., x n. Podle věty 8.16 pro kždé k {1, 2,..., n} existuje právě jedn funkce x k BV([, b], R n ) vyhovující rovnosti x k (t) x k d A x k = 0 pro t [, b]. Funkce X t0 (t) = ( x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) ) (tj. mticová funkce se sloupci x k pro k = 1, 2,..., n) splňuje tedy vzth (8.55) je určen jednoznčně Poznámk. Je-li [, b], X L (R n ) funkce X t0 je určená lemmtem 8.31, pk funkce X = X t0 zřejmě splňuje vzth (8.54). Je-li tedy det X 0, pk je tkto definovná funkce X fundmentální mticí rovnice (8.53). Nyní, pro usndnění, poněkud zesílíme nše předpokldy (8.22) (8.23). Budeme nyní předpokládt, že pltí det [ I A(t) ] 0 pro kždé t (, b ] det [ I + + A(s) ] (8.56) 0 pro kždé s [, b) Lemm. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.56). Potom pro libovolnou fundmentální mtici X rovnice (8.53) je det X(t) 0 pro kždé t [, b]. (8.57) D ů k z. Necht X je fundmentální mtice rovnice (8.53) n [, b] necht (8.57) nepltí. Potom existují body τ 0, τ 1 [, b] tkové, že det X(τ 0 ) 0 det X(τ 1 ) = 0.
27 STIELTJESŮV INTEGRÁL 229 Z druhé rovnosti plyne, že sloupce x 1 (τ 1 ), x 2 (τ 1 ),..., x n (τ 1 ) mtice X(τ 1 ) jsou lineárně závislé. Existují tedy koeficienty c 1, c 2,..., c n R tkové, že n c k > 0 k=1 n c k x k (τ 1 ) = 0. k=1 Položme x(t) = n c k x k (t) pro t [, b]. Potom x je řešením rovnice (8.53) k=1 (viz poznámku 8.30) x(τ 1 ) = 0. Doszením s = τ 1 do (8.53) odečtením tkto získné rovnosti od (8.53) zjistíme, že x je řešením počáteční úlohy x(t) = τ 1 d A x pro t [, b]. Vzhledem k předpokldu (8.56) jsou podmínky (8.22) (8.23) splněny pro = τ 1, protože stejnou úlohu jko x splňuje i identicky nulová funkce, plyne z věty 8.16, kde položíme = τ 1, že x = 0 n [, b]. Speciálně x(τ 0 ) = n c k x k (τ 0 ) = 0, k=1 což ovšem, vzhledem k předpokldům det X(τ 0 ) 0 n c k > 0, není možné. Připomeňme nyní některá oznčení užívná pro funkce dvou proměnných Oznčení. Necht U: [, b] [, b] L (R n ). Potom pro dné τ [, b] znčí symboly U(τ, ), resp. U(, τ) funkce jedné proměnné Podobně k=1 U(τ, ) : s [, b] U(τ, s) resp. U(, τ) : t [, b] U(t, τ). U(τ, s+) = lim U(τ, s + δ), U(τ, s ) = lim U(τ, s δ), δ 0+ δ 0+ U(t+, τ) = lim U(t + δ, τ), U(t, τ) = lim U(t δ, τ). δ 0+ δ 0+ Následující vět je důsledkem lemmt
28 230 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.35 Vět. Necht A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56). Potom existuje právě jedn mticová funkce U : [, b] [, b] L (R n ) tková, že pltí U(t, s) = I + s d [A(τ) ] U(τ, s) pro t, s [, b] [, b]. (8.58) Pro kždé [, b] je funkce U(, ) : t [, b] U(t, ) R n fundmentální mtice rovnice (8.53). Funkce U má nvíc tyto vlstnosti: (i) U(, s) BV([, b], L (R n )) pro kždé s [, b], (ii) U(t, t) = I pro kždé t [, b], (iii) det U(t, s) 0 pro všechn t, s [, b]. D ů k z. Pro kždé s [, b] existuje podle lemmtu 8.31 právě jedn mticová funkce X s BV([, b], L (R n )) tková, že pltí X s (t) = I + s d A X s pro t [, b]. Definujme U(t, s) = X s (t) pro t, s [, b]. Potom U splňuje (8.58) U(t, t) = I pro t [, b]. Vzhledem k poznámce 8.32 odtud plyne, že pro kždé [, b] je U(, ) fundmentální mtice rovnice (8.53) n [, b]. Konečně, podle lemmtu 8.33 je det U(t, s) 0 pro všechn t, s [, b] Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b], x R n, necht pltí (8.56) necht mticová funkce U je určen větou Potom x : [, b] R n je řešení počáteční úlohy x(t) x d A x = 0 (8.59) n intervlu [, b] tehdy jen tehdy, když x(t) = U(t, ) x pro t [, b]. (8.60) D ů k z. ) Dosdíme-li (8.60) do d A x využijeme-li (8.58), dostneme d A x = d [A(τ) ] U(τ, s) x = ( U(t, ) I ) x = x(t) x
29 STIELTJESŮV INTEGRÁL 231 pro t [, b], tj. funkce x definovná vzthem (8.60) je řešení úlohy (8.59). b) Obrácená implikce plyne z jednoznčnosti řešení počáteční úlohy (8.59) (viz větu 8.16) Definice. Necht A BV([, b], L (R n )) necht pltí (8.56). Potom mticovou funkci U určenou větou 8.35 nzýváme Cuchyov mtice rovnice (8.53) Důsledek. Necht A BV([, b], L (R n )), [, b] X L (R n ). Dále necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom mticová funkce X : [, b] L (R n ) splňuje rovnost X(t) = X + d A X pro t [, b] tehdy jen tehdy, když (8.61) X(t) = U(t, ) X pro t [, b]. (8.62) D ů k z. Pro kždý sloupec x k, k = 1, 2,..., n, mticové funkce X pltí podle věty 8.36 x k (t) = U(t, ) x k pro t [, b], kde x k jsou sloupce mtice X. Odtud tvrzení okmžitě plyne Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom vzthy U(t, r) U(r, s) = U(t, s), (8.63) (U(t, r)) 1 = U(r, t) pltí pro libovolnou trojici bodů t, s, r z intervlu [, b]. D ů k z. ) Pro libovolná t, s, r [, b] máme podle (8.58) U(t, s) = I + = I + s r s = U(r, s) + d [A(τ) ] U(τ, s) d [A(τ) ] U(τ, s) + r d [A(τ) ] U(τ, s). r d [A(τ) ] U(τ, s) (8.64)
30 232 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Oznčíme-li sloupce mtice U symboly u k, k = 1, 2,..., n, zjistíme, že pro kždé k = 1, 2,..., n r, s [, b] je funkce x(t) = u k (t, s) řešením úlohy x(t) u k (r, s) r d A x = 0 n [, b]. Podle věty 8.36 tudíž pltí u k (t, s) = U(t, r) u k (r, s) pro k = 1, 2,..., n t, s, r [, b]. Odtud už vzth (8.63) okmžitě plyne. b) Speciálně jestliže t = s, pk podle věty 8.35 dostáváme U(t, r) U(r, t) = I pro kždé r [, b]. Vzhledem k větě 8.35 (iii) tedy pltí (8.64) Poznámk. Je-li U Cuchyov mtice pro (8.53), pk podle věty 8.39 pltí U(t, s) = U(t, ) U(, s) = U(t, ) (U(s, )) 1 pro t, s [, b]. Oznčíme-li tedy X(t) = U(t, ), bude pltit U(t, s) = X(t) (X(s)) 1 t, s [, b]. Připomeňme, že X je fundmentální mtice rovnice (8.53). pro Ve zbývjící části tohoto odstvce uvedeme ještě několik dlších vlstností Cuchyovy mtice rovnice (8.53) Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom existuje M (0, ) tkové, že pltí U(t, s) + vr b U(, s) + vr b U(t, ) M pro t, s [, b]. (8.65) D ů k z. ) Pro k = 1, 2,..., n oznčme symbolem e k k-tý sloupec jednotkové mtice I. Potom e k = 1 pro kždé k = 1, 2,..., n. Podle věty 8.21 máme u k (t, s) M 1 : = c A exp ( 2 c A vr b A ) < pro t, s [, b] k = 1, 2,..., n, kde díky předpokldu (8.56) můžeme položit { c A := mx 1, sup [I A(t)] 1, sup [I + + A(t)] 1 }. t (,b ] t [,b) Tudíž U(t, s) = mx u k(t, s) M 1 pro t, s [, b]. (8.66) k=1,2,...,n
31 STIELTJESŮV INTEGRÁL 233 b) Necht t 1, t 2, s [, b] t 1 t 2. Potom u k (t 2, s) u k (t 1, s) = 2 d [A(τ) ] u k (τ, s) M 1 vr t 2 t 1 t1 A. Pro libovolné s [, b], k = 1, 2,..., n libovolné dělení σ intervlu [, b] tedy máme proto ν(σ) V (u k (, s), σ) M 1 vr σ j σ j 1 A = M 1 vr b A =: M 2 <, vr b U(, s) j=1 mx vr b u k (, s) M 2 pro s [, b]. (8.67) k=1,2,...,n c) Necht s 1, s 2 [, b] s 1 s 2. Potom pro kždé t [, b] máme u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) = = s 2 d [A(τ) ] u k (τ, s 2 ) s2 s 1 d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ) + s 2 d [A(τ) ] u k (τ, s 1 ) s2 s 1 d [A(τ) ] u k (τ, s 1 ) s 2 d [A(τ) ] ( u k (τ, s 2 ) u k (τ, s 1 )). Funkce x(t) = u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) je tedy n [, b] řešením počáteční úlohy x(t) = s2 s 1 d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ) + s 2 d A x. Podle věty 8.36 pro kždé t [, b] k = 1, 2,..., n pltí ( s 2 ) u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) = U(t, s 2 ) d [A(τ) ]u k (τ, s 1 ). s 1 Tudíž u k (t, s 2 ) u k (t, s 1 ) M 2 1 vr s 2 s 1 A pro k = 1, 2,..., n t [, b]. Pro libovolné t [, b], k = 1, 2,..., n libovolné dělení σ intervlu [, b] pltí V (u k (t, ), σ) M 2 1 ν(σ) vr σ j σ j 1 A = M1 2 vr b A =: M 3 <, j=1
32 234 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE proto vr b U(t, ) mx vr b u k (t, ) M 3 pro t [, b]. (8.68) k=1,2,...,n d) Podle (8.65) (8.67) tvrzení věty pltí pro M = M 1 + M 2 + M Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom pltí U(t+, s) = [ I + + A(t) ] U(t, s) pro t [, b), s [, b], U(t, s) = [ I A(t) ] U(t, s) pro t (, b ], s [, b], U(t, s+) = U(t, s) [ I + + A(s) ] 1 (8.69) pro t [, b], s [, b), U(t, s ) = U(t, s) [ I + A(s) ] 1 pro t [, b], s (, b ]. D ů k z. Nejprve si všimněme, že podle předchozí věty mjí funkce U(, s) U(t, ) konečné vrice n [, b] pro libovolná t, s [, b]. Všechny jednostrnné limity objevující se ve vztzích (8.69) tedy mjí smysl. ) První dv vzthy odvodíme, jestliže do vzthů (8.13) z lemmtu 8.15 dosdíme postupně z x sloupce mticové funkce U. b) Necht s [, b) δ (0, b s). Potom podle (8.58) máme U(t, s + δ) U(t, s) = = s+δ s+δ d [A(τ)] U(τ, s + δ) d [A(τ)] ( U(τ, s + δ) U(τ, s) ) s s+δ s d [A(τ)] U(τ, s) d [A(τ)] U(τ, s) pro kždé t [, b]. Mticová funkce Y (t) = U(t, s + δ) U(t, s) tedy splňuje rovnost kde Y (t) = Ỹ + s+δ d [A(τ)] Y (τ) pro t [, b], s+δ Ỹ = d [A(τ)] U(τ, s). s
33 STIELTJESŮV INTEGRÁL 235 Podle důsledku 8.38 tudíž máme U(t, s + δ) U(t, s) = Y (t) = U(t, s + δ) Ỹ = U(t, s + δ) s+δ s d [A(τ)] U(τ, s) pro t [, b]. Limitním přechodem δ 0+ při použití Hkeovy věty 6.42 odtud dostneme U(t, s+) U(t, s) = U(t, s+) + A(s) U(s, s) = U(t, s+) + A(s) neboli U(t, s) = U(t, s+) [ I + + A(s) ]. Odtud okmžitě plyne pltnost třetího vzthu z (8.69). Zbývjící rovnost bychom dokázli nlogicky. Pro funkce dvou proměnných je možno definovt pojem vrice několik různými způsoby. Pro nás je zjímvá definice Vitliov Definice. Necht F : [, b] [, b] L (R n ). Pro dná dělení σ, ρ intervlu [, b], j = 1, 2,..., ν(σ) k = 1, 2,..., ν(ρ) položme j,k (F, σ, ρ) = F (σ j, ρ k ) F (σ j 1, ρ k ) F (σ j, ρ k 1 )+F (σ j 1, ρ k 1 ). Potom veličin v(f ) = sup σ, ρ D [,b ] j,k (F, σ, ρ) ν(σ) ν(ρ) j=1 k=1 se nzývá Vitliov vrice funkce F n intervlu [, b] [, b] Vět. Necht A BV([, b], L (R n )), necht pltí (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom v(u) <. D ů k z. Mějme dvě libovolná dělení σ, ρ intervlu [, b]. Podle věty 8.39 (viz též poznámku 8.40) je U(t, s) = U(t, ) U(, s) pro t, s [, b]. Pro libovolná j = 1, 2,..., ν(σ) k = 1, 2,..., ν(ρ) tedy máme j,k (U, σ, ρ) ν(σ) ν(ρ) j=1 k=1 ν(σ) ν(ρ) = [ U(σ j, ) U(σ j 1, ) ] [ U(, ρ k ) U(, ρ k 1 ) ] j=1 k=1 vr b U(, ) vr b U(, ) M 2, kde M < bylo určeno ve větě 8.41.
34 236 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.8 Nehomogenní rovnice Vrt me se nyní k nehomogenní počáteční úloze x(t) x d A x = f(t) f( ). (8.14) Budeme předpokládt, že A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56). Pro libovolná x R n f G([, b], R n ) existuje podle věty 8.24 jediné řešení x počáteční úlohy (8.14) toto řešení je regulovné n [, b]. Následující vět ukzuje, že toto řešení je možno vyjádřit ve tvru připomínjícím formuli vrice konstnt známou z teorie obyčejných diferenciálních rovnic Vět. Necht [, b], A BV([, b], L (R n )) splňuje (8.56) necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53). Potom úloh (8.14) má pro kždé x R n kždé f G([, b], R n ) jediné řešení x n [, b]. Toto řešení je dáno formulí x(t) = U(t, ) x + f(t) f( ) d s [U(t, s) ] ( f(s) f( ) ) pro t [, b]. (8.70) Je zřejmé, že pro podrobný důkz je nutné něco vědět o integrálních operátorech typu K : x G([, b], R n ) y(t) = d s [K(t, s) ] x(s), (8.71) kde funkce K má stejné vlstnosti jko Cuchyov mtice U příslušné homogenní rovnice symbol d s nznčuje, že integrujeme funkce proměnné s, ztímco t je zde prmetr. Vzhledem k vlstnostem funkce U popsným v předešlém odstvci je vidět, že pro kždou funkci x G([, b], R n ) je její obrz y = K x dobře definován n celém intervlu [, b]. (Jde vždy o integrci funkce regulovné vzhledem k funkci s konečnou vricí.) Bohužel, vlstnosti operátorů tvru (8.72) nejsou už tk n první pohled zřejmé. Nvíc, bychom dokázli, že funkce x je řešením úlohy (8.14), potřebujeme umět změnit pořdí integrce ve dvojném integrálu d [A(τ) ] ( τ d s [U(τ, s) ] ( f(s) f( ) ))
35 STIELTJESŮV INTEGRÁL 237 tk, by bylo možno využít vzth (8.58) definující funkci U. K tomu je nutné mít k dispozici prát umožňující zcházení s dvojnými integrály. Ten se opírá též o pojem vrice funkcí dvou proměnných zvedený v definici Toto vše se v potřebném rozshu už do tohoto textu nevejde. Nebudeme zde tedy provádět podrobné důkzy jenom se pokusíme spoň přiblížit jejich hlvní myšlenky. Většinou není obtížné doplnit vynechné detily n zákldě znlosti postupů z předešlých kpitol. Podrobnosti týkjící se vrice funkcí dvou proměnných integrálních operátorů určených tkovýmito funkcemi lze njít zejmén v kpitole III monogrfie [11] v odstvci I.6 kpitole II monogrfie [55]. Formule vrice konstnt pro f BV([, b], R n ) je dokázán v [55, III.2] nebo v [45, Theorem 6.17], ztímco v [59, Proposition 4.4.3] je dokázán pro f regulovnou. Omezíme se nyní n přípd =, tj. hledáme řešení úlohy (8.39). Důkz je rozdělen n 4 kroky: Nejprve definujeme U(t, s) když s t b, K(t, s) = U(t, t) když t < s b. Zřejmě je vr b K(t, ) vr t U(t, ) vr b K(, s) vr b s U(, s) pro libovolná t, s [, b]. Lze tké dokázt, že je v(k) < (viz [55, Lemm III.2.7]). Existuje tedy konstnt κ (0, ) tková, že v(k) + vr b K(t, ) + vr b K(, s) κ < pro t, s [, b]. Dále pro kždé x G([, b], R n ) je funkce y : t [, b] b dobře definován n [, b], přičemž d s [K(t, s) ] x(s) (8.72) c d s [K(t, s) ] x(s) = d s [U(t, s) ] x(s) pro kždé t [, b] c [t, b]. Podle [55, Theorem I.6.18] je vr b y v(k) x <.
36 238 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Druhý krok spočívá v důkzu, že pltí y(t+) = y(t ) = b b d s [K(t+, s) ] x(s) když t [, b), (8.73) d s [K(t, s) ] x(s) když t (, b ]. (8.74) Podle [55, Lemm I.6.14] mjí všechny funkce K(t+, ) K(s, ), t [, b), s (, b ], konečnou vrici n [, b], tudíž jsou integrály n prvých strnách v (8.73) dobře definovány. Protože x je n [, b] stejnoměrná limit jednoduchých skokových funkcí, stčí dokázt, že rovnosti (8.73) pltí pro kždou funkci typu χ [,τ], χ [τ,b ], τ [, b]. (8.75) Je-li npříkld x = χ [,τ], kde τ [, b], pk pro kždé t [, b] dostneme (viz (6.18)) y(t) = K(t, τ+) K(t, ), tudíž y(t+) = K(t+, τ+) K(t+, ) když t [, b) y(t ) = K(t, τ+) K(t, ) když t (, b ]. N druhou strnu, máme b b d s [K(t+, s)]χ [,τ] = K(t+, τ+) K(t+, ) když t [, b) d s [K(t, s)]χ [,τ] = K(t, τ+) K(t, ) když t (, b ], tj. pltí (8.73) pro x = χ [,τ]. Podobně bychom ověřili pltnost relcí (8.73) pro funkce tvru x = χ [τ,b ], τ [, b], tedy i pro kždou funkci x G([, b], R n ). Vidíme tedy, že funkce x(t) definovná formulí (8.70) je regulovná n [, b] pro kždou funkci f G([, b], R n ) kždý vektor x R n. Třetím krokem je důkz, že z nšich předpokldů je pro kždé t [, b] kždou funkci f G([, b], R n ) prvdivá relce Fubiniov typu ( d [A(τ) ] d s [K(τ, s) ] ( f(s) f() )) = [ (f(s) ) d s d [A(τ) ] K(τ, s)] f().
37 STIELTJESŮV INTEGRÁL 239 V důkzu tohoto kroku se opět využije stejnoměrná proximce regulovných funkcí jednoduchými skokovými funkcemi, vzorce z příkldů 6.15 konvergenční vlstnosti KS-integrálu. Nvíc je ovšem nutno tké použít vlstnosti operátorů tvru f G([, b], R n ) b N závěr dosdíme (8.70), tj. K(, s) d [f(s) ]. x(t) = U(t, ) x + f(t) f() d s [K(t, s) ] ( f(s) f() ), do integrálu d A x, vzhledem k definici funkce K, dostneme d A x = d [A(τ) ] U(τ, ) x + ( τ 0 0 d [A(τ) ] d [A(s) ] (f(s) f()) ) d s [U(τ, s)] (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) ( ) d [A(τ) ] d s [K(τ, s)] (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) [ ] d s d [A(τ)] K(τ, s) (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + d[ A(s)] (f(s) f()) [ s ] d s d [A(τ)] U(τ, τ) (f(s) f()) [ ] d s d [A(τ)] U(τ, s) (f(s) f()) = [U(t, ) I] x + s d [A(s) ] (f(s) f()) d[ A(s)](f(s) f()) d s [U(t, s) I] (f(s) f())
38 240 ZOBECNĚNÉ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE = [U(t, ) I] x d s [U(t, s) ] (f(s) f()) = x(t) x f(t) + f(). Funkce x je tedy řešení úlohy (8.39) n [, b]. Tímto je důkz věty 8.45 dokončen. Jestliže je funkce A spojitá zlev n intervlu (, b ] =, pk je možno vzorec (8.70) poněkud zjednodušit, definujeme-li X(t) = U(t, ) pro t [, b] Y (s) = { U(, s+), když s < b, U(, b), když s = b. (8.76) 8.46 Důsledek. Necht = A BV([, b], L (R n )) je zlev spojitá n (, b ] pltí det[i + + A(t)] 0 pro t [, b). Necht U je Cuchyov mtice rovnice (8.53), X(t) = U(t, ) pro t [, b] Y je definovná předpisem (8.76). Potom rovnice (8.39) má pro kždé x R n kždou funkci f G([, b], R n ) zlev spojitou n (, b ] jediné řešení x n [, b]. Toto řešení je dáno formulí ( x(t) = X(t) x +X(t) ) Y d f pro t [, b]. (8.77) D ů k z. Necht x R n necht f G([, b], R n ) je zlev spojitá n (, b ]. Podle věty 8.45 má rovnice (8.39) jediné řešení x n [, b]. Formuli (8.70) můžeme přepst ve tvru x(t) = X(t) x + ( f(t) f() ) ( X(t) d [X 1 (s) ] ( f(s) f() )), kde X 1 (s) = U(, s) pro s [, b]. Vzhledem k definici (8.76) máme X 1 (s) = Y (s) + X 1 (s) pro s [, b). Podle lemmtu 6.35 je tedy pro kždé t [, b] d [X 1 (s) ] ( f(s) f() ) = d [Y (s) ] ( f(s) f() ) + X 1 (t) ( f(t) f() ).
39 STIELTJESŮV INTEGRÁL 241 Protože f je zlev spojitá n (, b ] Y je zprv spojitá n [, b), integrcí perprtes (vět 6.36) dostneme pro kždé t [, b] x(t) = X(t) x + ( f(t) f() ) ( X(t) = X(t) x ( f(t) f() ) + X(t) d [X 1 (s) ] ( f(s) f() )) Y d f + X(t) + X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) Y (t) ( f(t) f() ). Konečně, protože pro kždé t [, b] X(t) + X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) Y (t) ( f(t) f() ) = X(t) ( X 1 (t+) X 1 (t) ( f(t) f() ) X(t) X 1 (t+) ( f(t) f() ) = ( f(t) f() ), dostáváme konečně (8.77). Díky větě 8.45, resp. jejímu důsledku 8.46 je již možné s úspěchem vyšetřovt npříkld okrjové úlohy, ve kterých se hledá funkce, která splňuje n intervlu [, b] rovnici (8.59) nvíc i nějké dodtečné podmínky, npříkld dvoubodové podmínky M x() + N x(b) = 0, kde M, N L (R n ). To je le už jiný příběh, který se do tohoto textu, stejně jko řd dlších témt, jko jsou souvislosti s funkcionálně-diferenciálními rovnicemi, dynmickými systémy n tzv. čsových škálách (time scles), plikce n úlohy s impulsy dlší, už oprvdu nevejde. Jko doplňkovou literturu k této kpitole lze doporučit npříkld monogrfie [12], [27], [45], [59] nebo články [1], [7], [38], [51], [52].
4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceStieltjesův integrál (Kurzweilova teorie)
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizce studijního progrmu Mtemtik n PřF Univerzity Plckého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Stieltjesův integrál (Kurzweilov teorie) Vybrné kpitoly z mtemtické nlýzy
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceKřivkový integrál funkce
Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd
VíceZ aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005
Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceI Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5
Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Vícea i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
Více1. Pokyny pro vypracování
1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceMatematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček
Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceUčební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)
Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy
VíceÚvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2
Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceNerovnosti a nerovnice
Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
Více2.3. DETERMINANTY MATIC
2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceTeorie jazyků a automatů
Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceObsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12
Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................
VíceMasarykova univerzita v Brně Ekonomicko správní fakulta. Matematika B. Miloslav Mikuĺık
Msrykov univerzit v Brně Ekonomicko správní fkult Mtemtik B distnční studijní opor Miloslv Mikuĺık Luboš Buer Brno 2005 Tento projekt byl relizován z finnční podpory Evropské unie v rámci progrmu SOCRATES
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
Více