MECHANIKA. Mechanický pohyb změna vzájemných poloh těles (přemísťování těles) KINEMATIKA geometrie pohybu

Transkript

1 Mechanika 4/04/018, str. 1 MECHANIKA Mechanický pohyb změna vzájemných poloh těles (přemísťování těles) KINEMATIKA geometrie pohybu DYNAMIKA příčiny pohybu speciální případ STATIKA rovnováhy Různá skupenství látek různé mezimolekulární síly různé účinky sil mechanika tuhého tělesa mechanika kapalin mechanika plynů

2 Mechanika 4/04/018, str. MECHANIKA HMOTNÉHO BODU HMOTNÝ BOD - abstrakce těleso, jehož (lineární) rozměry jsou menší než nepřesnost v určení jeho souřadnic jeho tvar a rozměry není nutné při popisu pohybu uvažovat! nemusí být nutně těleso malých rozměrů (např. popis pohybu Země kolem Slunce) tato abstrakce snižuje počet stupňů volnosti nelze ji použít při studiu rotačního pohybu

3 Mechanika 4/04/018, str. 3 VZTAŽNÁ SOUSTAVA pohyb (resp. souřadnice) vždy vůči něčemu pohyb je relativní (v různých vztažných soustavách se může jevit různě) Auto ujelo 1 km. myslíme vůči povrchu Země vůči Slunci může být 1000 km od původního místa vůči cestujícím se nepohnulo ZÁKLADNÍ OTÁZKA: nezávislost popisu pohybu (resp. popisu všech fyzikálních dějů) na volbě vztažné soustavy 1) nalézt rovnice pro transformaci souřadnic mezi různými vztažnými soustavami ) zjistit, zda jsou fyzikální zákony vůči této transformaci invariantní

4 Mechanika 4/04/018, str. 4 DYNAMIKA základní problémy 1. CO ZPŮSOBUJE POHYB?. ZNÁMA PŘÍČINA VÝSLEDNÝ POHYB? zkušenost: změny v povaze pohybu těles jsou důsledkem jejich vzájemného působení SÍLA (empirický pojem) fyzikální veličina charakterizující vzájemné působení těles základ klasické mechaniky NEWTONOVY ZÁKONY platí v inerciálních souřadných soustavách souřadné soustavy, které jsou navzájem v klidu nebo se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře

5 1. Newtonův z. PRINCIP SETRVAČNOSTI Hmotný bod (těleso) zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém právě tehdy, když je výslednice vnějších sil působících na hmotný bod nulová jízda v dopravním prostředku - pohyb cestujícího při změně velkosti rychlosti: vpřed/vzad vůči dopravnímu prostředku při změně směru rychlosti: ve směru tečny k původní rychlosti jízda výtahem při prudkém zastavení výtahu se člověku nahrne krev do hlavy uvolnění zbytku kečupu z láhve prudkým pohybem naražení kovové části kladiva či sekery na dřevěnou násadu rychlým úderem ANIMACE: náraz dodávky s žebříkem: auto a zeď: motocykl a zeď Mechanika 4/04/018, str. 5

6 Mechanika 4/04/018, str. 6. Newtonův z. ZÁKON SÍLY, POHYBOVÁ ROVNICE F = ma Síla působící na hmotný bod v daném časovém okamžiku se rovná hmotnosti pohybujícího se hmotného bodu násobené jeho okamžitým zrychlením fyzikální veličina hmotnost ~ konstanta úměrnosti (míra setrvačnosti) okamžité zrychlení fyzikální veličina, která udává, o kolik by se změnila rychlost za jednotku času, pokud by během této časové jednotky bylo zrychlení konstantní

7 Mechanika 4/04/018, str. 7 OKAMŽITÁ HODNOTA x PRŮMĚRNÁ HODNOTA FYZIKÁLNÍ VELIČINY příklad: poloha (r x, r y, r z ), rychlost (v x, v y, v z ), zrychlení (a x, a y, a z ) PRŮMĚRNÁ RYCHLOST je definovaná jako podíl dráhy a příslušného časového intervalu r r v ( t, t) = = ( v ) x,v y,vz t r r x y r resp. v x( t, t) = ; v y( t, t) = ; v z( t, t) = t t t průměrná rychlost závisí na 1) na okamžiku, kdy začneme měřit ) na době měření Průměrná hodnota dané veličiny v časovém intervalu od okamžiku t do okamžiku t + t poskytuje tím lepší informaci o hodnotě této veličiny v časovém okamžiku t, čím je časový interval t kratší. t z

8 Mechanika 4/04/018, str. 8 Obecný pohyb po přímce 0,7 0,6 souřadnice 0,5 souřadnice 0,4 0,3 0, 0, ,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 čas

9 Mechanika 4/04/018, str. 9 t počátek intervalu 0 max délka intervalu tmax = 1 průměrná rychlost st ( max) v = t konec intervalu Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování 0,7 14 0,6 průměrná rychlost v(t) 1 interval poloha 0,5 0,4 0,3 0, s(t) 1 interval 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45-0,1-4 čas 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 čas dráha v čase t st ( ) = v t

10 Mechanika 4/04/018, str. 10 délka intervalu tmax = průměrná rychlost v prvním intervalu st ( 1) st ( 0) v1 = průměrná rychlost v druhém intervalu st ( ) st ( 1) v = st ( k) st ( k ) v k = hranice intervalu tk = k Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování 0,7 14 0,6 průměrná rychlost v(t) 1 interval intervaly poloha 0,5 0,4 0,3 0, s(t) 1 interval intervaly 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45-0,1-4 čas 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 čas poloha v prvním intervalu st ( ) = st ( ) + v t= v t poloha v druhém intervalu st ( ) = st ( ) + v t= v t+ v t 1 1 1

11 Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování 0,7 14 0,6 průměrná rychlost v(t) intervaly 4 intervaly poloha 0,5 0,4 0,3 0, s(t) intervaly 4 intervaly 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45-0,1-4 čas 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 čas Mechanika 4/04/018, str. 11

12 Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování 0,7 14 0,6 průměrná rychlost v(t) 8 intervalu 0 intervaly poloha 0,5 0,4 0,3 0, s(t) 8 intervalu 0 intervalu 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45-0,1-4 čas 0 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 čas Mechanika 4/04/018, str. 1

13 průměrná rychlost Průměrné rychlosti pro zkracující se intervaly průměrování v(t) 1 interval intervaly 4 intervaly 5 intervalu 8 intervalu 0 intervaly tmax i = i počet intervalů i st ( k) st ( k i) si( tk) v( i tk) = = k i k i k i i pořadové čislo intervalu s ( t ) = v ( t ) i 0-0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 poloha -4 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 čas Výpočet dráhy pomocí průměrné rychlosti 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 s(t) 1 interval intervaly 4 intervaly 5 intervalu 8 intervalu 0 intervalu si( t1) = si( t1) = v i( t1) i si( t) = v( i t1) + i v( i t) i s ( t ) = v( t) + v( t ) + v( t ) i 3 i 1 i i i i 3 i s ( t ) = s ( t ) i max i j= 1 j= 1 ( 0, resp. i ) i = v( t ) ( ) tmax s t i i j max i i 0 i j= 1 i dělení na nekonečně malé intervaly i = lim v ( t) j = t max t= 0 v( t) dt čas Mechanika 4/04/018, str. 13

14 Mechanika 4/04/018, str. 14 OKAMŽITÁ RYCHLOST je limitní hodnota průměrné rychlosti, když se časový interval, během kterého je rychlost průměrována blíží nule, resp. je nekonečně malý. r v= lim t 0 = (v x,v y,v z) t rx ry rz vx = lim t 0 ; vy = lim t 0 ; vz = lim t 0 t t t diferenciální počet matematická teorie zabývající se vztahy mezi dvojicemi funkcí, které spolu souvisí prostřednictvím stejně definované limity jako rychlost a poloha f df dx ( x) funkce f x = lim x 0 derivace funkce ( x) poskytuje jednoduchá pravidla pro manipulaci s tímto typem funkcí f

15 . Newtonův z. ZÁKON SÍLY, POHYBOVÁ ROVNICE dv d r dp F = ma = m = m = dt dt dt okamžitá rychlost = (první) časová derivace polohy správná formulace podle teorie relativity (m závisí na rychlosti) dr dr dr dr dt dt dt dt x y z v = =,, okamžité zrychlení = (první) časová derivace rychlosti a d v dv d v dv dt dt dt dt x y z = =,, = druhá časová derivace polohy a d r dr dr x y dr z = =,, dt dt dt dt d p F = p= m(v) v( t) dt Mechanika 4/04/018, str. 15

16 Mechanika 4/04/018, str. 16 praktické využití 1 a( t) = Fi ( t) m i t v( t) = at ( )dt+ v( t0) t 0 síly zrychlení zrychlení rychlost t rt () = v()d t t+ rt ( 0) t 0 rychlost souřadnice poznámka. NZ v této formě platí v inerciálních souřadných soustavách v neinerciálních souřadných soustavách je nutné kromě reálných sil uvažovat ještě tzv. setrvačné síly (pomocné, fiktivní) příklad otáčení Zeměkoule: síla gravitační + síla odstředivá síla Coriolisova tíhové zrychlení závisí na Zem. šířce

17 TYP POHYBU V KLIDU ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ SÍLA ZRYCHLENÍ nulová nulové ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PO PŘÍMCE OBECNÝ PO PŘÍMCE OBECNÝ V PROSTORU Ft () at () = Ft () m RYCHLOST nulová t at ( )d t+ v( t 0) t 0 SOUŘADNICE konstantní t v( t)d t+ rt ( 0) t UNIVERZÁLNÍ POSTUP PRO VŠECHNY SITUACE!!! Mechanika 4/04/018, str. 17

18 Mechanika 4/04/018, str. 18 UKÁZKY Z WEBU zoo slon a peříčko: parašutista:

19 Albert Einstein: Jak vidím svět Mechanika 4/04/018, str. 19

20 Mechanika 4/04/018, str Newtonův z. PRINCIP VZÁJEMNÉHO PŮSOBENÍ Vzájemné síly mezi dvěma hmotnými body (resp. tělesy) mají vždy stejnou velikost a opačný směr akce, reakce rovnocenné lépe interakce

21 Mechanika 4/04/018, str. 1. Newtonův zákon okamžité fyzikální veličiny (bod prostoru, časový okamžik) Experiment integrální fyzikální veličiny (měření trvá určitou dobu, během které těleso projde určitou dráhu) pro aplikaci.nz na reálné děje je nutná integrace a) časová b) dráhová

22 Mechanika 4/04/018, str. Časová integrace. Newtonova zákona Frt [ ( ), t] = m dv[ rt ( ), t] dt t t 1 Frt [ ( ), t] dt v = mdv = mv mv v 1 1 = p p1 = p definice definice Impulz síly v časovém intervalu od t 1 do t hybnost p= mv

23 Mechanika 4/04/018, str. 3 Zákon zachování hybnosti v izolované soustavě hmotných bodů VNĚJŠÍ SÍLY lze zanedbat VNITŘNÍ SÍLY na základě 3.NZ je lze uspořádat do dvojic, které se navzájem vykompenzují 3.NZ součet vnitřních sil (vektorový!) se rovná nule součet impulzů vnitřních sil se rovná nule součet impulzů sil se rovná nule změna hybnosti izolované soustavy je nulová široká oblast aplikací základ experimentální jaderné fyziky srážky elementárních částic základ cestování vesmírem raketový motor

24 Mechanika 4/04/018, str. 4 ILUSTRACE

25 Mechanika 4/04/018, str. 5 Dráhová integrace. Newtonova zákona y ds F T F elementární dráha působící síla d s = (d x,d y,d z) F = F + F T N 1 F N F T směr tečny k dráze (změna velikosti rychlosti) x F N směr normály k dráze (změna směru rychlosti) dv dv dvy dv x z F= m ( Fx, Fy, Fz) = m, m, m dt dt dt dt

26 Mechanika 4/04/018, str. 6 1 Dráhová integrace. Newtonova zákona dvx dx Fx = m, vx = d t d t dv dx F dx= m dx= mdvx = dt x x dt = mv dv = m(v ) m(v ) 1 ( F dx+ F dy+ Fd z) = x y z x x x, x,1 1 1 m[ (v ) + (v ) + (v ) m[ (v ) + (v ) + (v ) ] ] x, y, z, x,1 y,1 z,1

27 Mechanika 4/04/018, str F d s = m(v ) m(v ) = E E = E 1 1 k, k,1 k definice definice W práce E k kinetická energie definice skalárního součinu vektorů (a x,a y,a z ) a (b x,b y,b z ) a b= ab = ab + ab + ab cosα x x y y z z poznámka velikost fyzikální práce je přímo úměrná velikosti síly přímo úměrná délce dráhy závisí na úhlu mezi vektorem síly a dráhy

28 F zmáčknutá pružina příklad PRÁCE ELASTICKÉ SÍLY (PRUŽINA) rovnovážná poloha F u 1 ( ) E p = ½ ku potenciální energie pružnosti u u natažená pružina F du = ku du = ku du cosπ F du= kudu F u u 1 1 W = F du = kudu = k( u ) k( u ) = E E = E u 0 u du PRÁCE nezávisí na dráze závisí pouze na poloze bodů 1 a prostřednictvím nějaké vhodně definované funkce je rovna změně potenciální energie p, p,1 p Mechanika 4/04/018, str. 8

29 y ds G ϑ d y příklad GRAVITAČNÍ POLE 1 x G G ds = Gdscosϑ ds cosϑ = dy G ds = Gdy W = G s = G y = mg y = mgy mgy = E E = E d d d 1 p, p,1 p definice E p = mgy GRAVITAČNÍ potenciální energie PRÁCE nezávisí na dráze závisí pouze na poloze bodů 1 a prostřednictvím nějaké vhodně definované funkce je rovna změně potenciální energie Mechanika 4/04/018, str. 9

30 Mechanika 4/04/018, str. 30 SILOVÉ POLE ( x, y, z, t) KONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE práce síly nezávisí na dráze, závisí pouze na počáteční a koncové hodnotě veličiny nazývané POTENCIÁLNÍ ENERGIE příklady: síla gravitační, síla elastická, síla elektrostatická,... F ZÁKON ZACHOVÁNÍ MECHANICKÉ ENERGIE v izolovaných konzervativních soustavách platí E k + E = 0 tzn. probíhají vratné přeměny kinetické a potenciální energie příklad pohyb kuličky bez tření v jamce v gravitačním poli pohyb kyvadla ve vakuu p

31 Mechanika 4/04/018, str. 31 NEKONZERVATIVNÍ (DISIPATIVNÍ) SILOVÉ POLE dochází k chaotické disipaci mechanické energie mezi částice hmoty disipovaná energie se již nemůže přeměnit zpět na energii, ze které vznikla (nevratný proces) příklad: třecí síla platí ZÁKON ZACHOVÁNÍ CELKOVÉ ENERGIE E total = 0 nutno uvažovat (např. pomocí statistické fyziky) všechny formy energie (vnitřní, deformační, chemickou,...) příklad pohyb kuličky v jamce v poli gravitační a třecí síly pohyb kyvadla v husté kapalině

32 Hustota toku kinetické energie proudícího prostředí definice: kinetická energie objemu prostředí, které projde za jednotku času jednotkovou plochou ϕ = 1 ρv 3 ρ v v ρ velikost rychlosti proudícího prostředí hustota prostředí S S velikost plochy, kterou prostředí protéká t časový interval Mechanika 4/04/018, str. 3

33 Mechanika 4/04/018, str. 33 V = S t v objem prostředí, které projde plochou S za čas t M = ρv = ρs t v hmotnost prošlého prostředí Ek = M v = ρs tvv = ρs tv 3 kinetická energie E t k Φ S = = 1 ρ S v 3 tok kinetické energie plochou S, tj. kinetická energie, kterou prostředí přenese plochou S za jednotku času ϕ Φ S S = = 1 ρv 3 hustota toku kinetické energie, tj. tok jednotkovou plochou, resp. kinetická energie prostředí, které projde jednotkovou plochou za jednotku času

34 Příklad: větrný mlýn m Rychlost větru v = 10 s Plocha lopatky Hustota vzduchu S =1 m kg ρ =1. m 3 VÝKON = tok kinetické energie plochou S, tj. kinetická energie, kterou prostředí přenese plochou S za jednotku času 3 Ek 1 3 kg m P=Φ S = = ρ S v = 700 m = 700 W 3 3 t m s maximální hodnota Předpoklady vzduch se úplně zastaví nulové ztráty mechanické energie při otáčení mlýna Existuje limitní hodnota účinnosti (asi 59 %) David JC MacKay: Sustainable Energy - without the hot air Mechanika 4/04/018, str. 34

35 Mechanika 4/04/018, str. 35 y r 1 N F = F + F * F i * ** i i i SOUSTAVA NĚKOLIKA HMOTNÝCH BODŮ 1 3 pohybové rovnice jednotlivých hmotných bodů r i x d ri Fi = mi ; i = 1,,... N dt polohový vektor i-tého hmotného bodu r celková síla působící na i-tý hmotný bod vnější síla působící na i-tý hmotný bod ** F i vnitřní síla působící na i-tý hmotný bod,

36 Mechanika 4/04/018, str. 36 vnitřní síla působící na i-tý hmotný bod je součet jednotlivých vnitřních sil, kterými na něj působí ostatní vnitřní body ** ** ** ** ** N ** i = i1 + i + i3 + + = in j= 1 ij i j 3. Newtonův zákon SOUČET VNITŘNÍCH SIL F F F F F F ** F ij síla, kterou působí j-tý hmotný bod na i-tý hmotný bod F = F ** ** ij ji součet všech vnitřních sil působících v soustavě N ** ** ** ** ** F 1 i = F1 + F + F F i N = = ** ** ** = F1 + F F1 N + ** ** ** F1 + F3 + + F N + F + F + F + + F + ** ** ** ** N F + F + F + + F = F = ** ** ** ** N N ** N1 N N 3 N, N 1 i= 1 j= 1 ij i j 0

37 ?POPIS POHYBU SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ JAKO CELKU? F d R R = M N d t * F = i = F 1 i celková vnější síla působící na soustavu * N N * N ** N N d ri F = F 0 i 1 i + = F i 1 i + F i 1 i = F i 1 i = m = = = = i= 1 i d t d R N d ri? jak splnit rovnost: M = m i 1 i dt = dt??? existuje hmotnost M a polohový vektor, pro které platí: definice polohový vektor těžiště N mr i= 1 i i R= + R N m i= 1 i 0 Celková hmotnost soustavy R 0 libovolný vektor daný počátečními podmínkami, resp. volbou souřadné soustavy M N = = i 1 m i Mechanika 4/04/018, str. 37

38 Mechanika 4/04/018, str. 38 ZÁVĚR Pohyb soustavy složené z libovolného počtu hmotných bodů lze studovat pomocí pohybu jediného hmotného bodu -tzv. TĚŽIŠTĚ o hmotnosti M na který působí celková vnější síla F N = m a poloze i= 1 i = 1 i N mr i i R= + N m i= 1 i R 0 poznámka teoreticky velmi důležitý poznatek!, který umožňuje aplikovat dynamiku hmotného bodu na dynamiku těles konečných rozměrů

39 ILUSTRACE Mechanika 4/04/018, str. 39 pohyb rotující hozené cvičební tyče a jejího těžiště pohyb trosek rakety po výbuchu a jejich těžiště dráha těžiště tělesa v zemském gravitačním poli = parabola stejně jako u hmotného bodu P. A. Tipler: Physics, str 7

40 Mechanika 4/04/018, str. 40 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA umístění tělesa v prostoru poloha 3 bodů TUHÉ TĚLESO abstrakce body tělesa nemění svou vzájemnou polohu skutečnost: vnější síla změna tvaru tělesa (deformace) v řadě situací ji ale není nutné uvažovat TYPY POHYBŮ TUHÉHO TĚLESA TRANSLACE: změna vzdáleností vybraných tří bodů od počátku souřadné soustavy ROTACE: změna úhlů, které svírají úsečky spojující vybrané body s osami souřadné soustavy poznámka všechny reálné pohyby lze rozložit na konečný počet translací a rotací (experimentálně ověřeno, teoreticky dokázat nelze)

41 Mechanika 4/04/018, str. 41 TRANSLACE TUHÉHO TĚLESA tuhé těleso si lze představit jako soustavu složenou z nekonečně mnoha malých tělísek, pro jejichž hmotnost platí M = m ; resp. M = ρ d V i i pohyb tuhého tělesa = pohyb hmotného bodu - těžiště, na které působí celková vnější síla V poznámka chování tuhého tělesa, ve kterém jsou pevné vzdálenosti mezi jeho jednotlivými částmi v důsledku jejich vzájemného působení, SE VELICE LIŠÍ od pohybu volných hmotných bodů, které mohou měnit svou vzájemnou polohu

42 PŘÍKLAD dva hmotné body M a m, na které působí stejně velké ale opačně orientované síly, jež neleží na jedné přímce F y M T 1. hmotné body jsou volné - translace hmotné body se od sebe budou vzdalovat rovnoměrně zrychleně, avšak jejich těžiště zůstane na místě, protože výslednice sil působících na soustavu je nulová m F x X X X m M T 1 F = t m 1 F = t M M xm + mxm = = 0 M + m. hmotné body jsou spojené nehmotnou tyčí dochází k jejich rotaci kolem společného těžiště y T x y T x Mechanika 4/04/018, str. 4

43 ROTACE TUHÉHO TĚLESA KOLEM OSY teoreticky: rozklad tělesa na malé částečky a popis jejich pohybu pomocí. NZ - pracné y F r ϕ F = F + F F φ experiment: 1) translační rychlost jednotlivých elementů závisí na jejich vzdálenosti od osy otáčení není vhodná pro popis rotace tuhého tělesa jako celku úhlová rychlost ω = dϕ dt x na vzdálenosti od osy otáčení nezávisí ) otáčivý účinek síly závisí na F r, resp. na F a Φ je výhodnější popis pomocí rotačních analogů dosud používaných veličin Mechanika 4/04/018, str. 43

44 TRANSLACE změna polohy translační rychlost zrychlení ROTACE je rovnoběžný s osou otáčení jeho orientace je dána směrem otáčení, síla F moment síly vůči ose rotace r F hmotnost m hybnost p ds v = ds dt dϕ = ds ω = moment setrvačnosti vůči ose J = mr, resp. r dm moment hybnosti vůči ose rotace dϕ dt dω α = ; α = dt Γ= dv d s a = rα a = = d úhlové zrychlení dt dt ω změna úhlu r v = rω úhlová rychlost V ds dϕ r ϕ dt L = Jω ; pro hmotný bod L = r p v = ω r Mechanika 4/04/018, str. 44

45 TRANSLACE pohybová rovnice d p dl F = ma = Γ= Jα = dt dt ROTACE kinetická energie T EK = 1 m v R EK = 1 J ω poznámka: zákon zachování mechanické energie - nutno brát do úvahy i rotační kinetickou energii h E = E + E = M k p mgh = m v + J ω Mechanika 4/04/018, str. 45

46 Mechanika 4/04/018, str. 46 DVOJICE SIL (definice): dvě síly stejně velké opačně orientované, které neleží na jedné přímce r F r * F * = F R moment dvojice sil = součet momentů obou sil * * * * Γ= r F + r F = r F r F = r r F = R F ( ) Γ= R F moment dvojice sil nezávisí na volbě vztažného bodu!!!

47 Mechanika 4/04/018, str. 47 IZOLOVANÁ SOUSTAVA: vnější síly lze zanedbat vnitřní síly lze uspořádat do dvojic, které se navzájem kompenzují (3.NZ) POHYBOVÁ ROVNICE SOUSTAVY časová integrace pohybové rovnice ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI V IZOLOVANÝCH SOUSTAVÁCH dl Γ= dt Γ dt = dl Zákon zachování momentu hybnosti v izolované soustavě L = široká oblast aplikací jaderná fyziky srážky elementárních částic sport (krasobruslařské piruety,... ) helikoptéra několik vrtulí 0

48 Mechanika 4/04/018, str. 48 DYNAMIKA SOUBORU ČÁSTIC MAKROSKOPICKÝ SYSTÉM tvořen mnoha částicemi (N A =6, mol -1, objem molu plynu,4 l) jeho vlastnosti jsou určeny pohybovými rovnicemi všech částic N částic ~ soustava 3N navzájem provázaných diferenciálních rovnic + nutnost znát počáteční podmínky analytické řešení není možné!!!!!! STATISTICKÁ MECHANIKA statistickými metodami zkoumá obecné zákonitosti, jimiž se řídí makroskopické systémy

49 Mechanika 4/04/018, str. 49 s rostoucím počtem částic vlastnosti systému přestávají být určovány vlastnostmi jednotlivých částic závisí na středních (průměrných) hodnotách celého souboru částic do popředí vystupují nové zákonitosti specifické právě pro soustavy velkého počtu částic výsledný makroskopický jev (proces) nezávisí na tom, které konkrétní částice se daného jevu zúčastnily rozhoduje počet a stav všech částic, které se na procesu podílí OBECNÉ ZÁKONITOSTI MAKROSTAVŮ = = vztahy mezi středními hodnotami fyzikálních veličin poznámka čím je počet částic daného systému větší tím je i jeho stav, resp. sledovaný děj, méně citlivý ke změnám v chování malého počtu částic

50 Mechanika 4/04/018, str. 50 střední hodnota fyzikální veličiny i= 1 Y 1 N 1 = Y = NY j N N i j j N celkový počet mikročástic Y i hodnota dané fyzikální veličiny pro i-tou mikročástici N j počet mikročástic, u kterých má fyzikální veličina hodnotu Y j fluktuace fyzikální veličiny y = Y Y krátkodobá odchylka fyzikální veličiny od její střední hodnoty v malé části objemu v krátkém časovém intervalu

51 KINETICKÁ TEORIE HMOTY Mechanika 4/04/018, str. 51 EXPERIMENTY chemická cesta Dalton zákon násobných poměrů slučovacích Gay Lussacův zákon jednoduchých objemových poměrů slučovacích Avogadrův zákon fyzikální cesta Bernoulliho model ideálního plynu (tlak = důsledek nárazů částic na stěny,...) Joulovi experimenty 1840 experimentálně prokázal ohřev vody mechanickým mícháním tři základní axiomy 1. hmota se skládá z velmi malých částic, atomů nebo molekul. tyto částice jsou v neustálém neuspořádaném pohybu (tzv. tepelný pohyb) 3. pohyb částic se řídí základními zákony mechaniky (Newtonovy zákony)

52 závěry kinetické teorie hmoty souhlasí s experimentálně pozorovanými jevy tj. s makroskopickými jevy, které jsou důsledkem tepelného pohybu pohyb jednotlivých částic experimentálně studovat nelze BROWNŮV POHYB chaotický pohyb drobných zrnek na vodní hladině kinetická teorie vysvětluje vliv velikosti částic a teploty CHOVÁNÍ IDEÁLNÍHO PLYNU kinetická teorie vysvětluje tlak, stavovou rovnici umožňuje i uvážení některých vlastností reálných plynů TRANSPORTNÍ JEVY DIFÚZE přenos částic proti směru gradientu koncentrace VEDENÍ TEPLA přenos kinetické energie proti směru gradientu teploty VISKOZITA přenos hybnosti proti směru gradientu hybnosti gradient má směr maximálního růstu veličiny Q Q Q Q grad Q( x, z, y) =,, x y z proti směru gradientu veličiny Q = ve směru klesání veličiny Q Mechanika 4/04/018, str. 5

53 Mechanika 4/04/018, str. 53 ilustrace: MAKROČÁSTICE (NAPŘ. PÍST) V TRUBICI S PLYNEM m M M m n v hmotnost makročástice hmotnost mikročástice hustota mikročástic rychlost mikročástic

54 Mechanika 4/04/018, str. 54 1) nepůsobí žádná vnější síla počet mikročástic narážejících na píst kolísá, fluktuuje kolem určité střední hodnoty, která je pro obě strany pístu stejně velká a) makročástice je velká ve srovnání se vzdáleností mezi mikročásticemi sčítá se působení mnoha mikročástic M >> m změna rychlosti makročástice v důsledku jedné srážky << rychlost mikročástice makročástice se nepohybuje b) makročástice je malá ve srovnání se vzdáleností mezi mikročásticemi (M m ) fluktuace počtu narážejících mikročástic lze pozorovat prostřednictvím trhavého pohybu makročástic tzv. Brownův pohyb

55 Mechanika 4/04/018, str. 55 ) působí vnější síla např. síla vyvolávající pohyb pístu doprava rychlostí V 0 1 velikost rychlosti V charakterizuje vychýlení od rovnováhy, tj. od nulové rychlosti počet nárazů mikročástic zleva je menší než počet nárazů zprava V F vnější síla musí překonávat odpor prostředí velikost silového působení prostředí, F t, je přímo úměrná hustotě prostředí hmotnosti mikročástic rychlosti pohybu mikročástic velikosti makročástice rychlosti makročástice

56 Mechanika 4/04/018, str. 56 makročástice v klidu + zapnutí vnější síly makročástice se začne pohybovat, čím rychleji se pohybuje, tím větší je síla F t a tím menší je celková síla při určité rychlosti V 0 dojde k vyrovnání vnější síly a odporu prostředí rychlost makročástice se přestane měnit příklad: parašutista s padákem kulička padající v husté kapalině makročástice pohybující se rychlosti V 0 + vypnutí vnější síly systém relaxuje do rovnovážného stavu makročástice je brzděna odporem prostředí čím pomaleji se pohybuje, tím menší je síla F t při zastavení makročástice odpor prostředí vymizí - systém bude v rovnováze příklad: zastavení člunu na vodě po vypnutí motoru

57 Mechanika 4/04/018, str. 57 působení vnější síly podrobněji např. síla vyvolávající pohyb pístu doprava rychlostí V 1 velikost rychlosti V charakterizuje vychýlení od rovnováhy, tj. od nulové rychlosti zjednodušující předpoklad: pohyb mikročástic konstantní velikost rychlosti - dva stejně pravděpodobné směry (doleva -, doprava + ) N počet nárazů mikročástic zleva počet nárazů mikročástic zprava N 1 N 1 < N V F vznik dodatečné síly (odpor prostředí, tření), kterou musí vnější síla překonávat

58 Mechanika 4/04/018, str. 58 počet nárazů na plochu o velikosti S za dobu t zleva 1 N1 = n( v V) t S 1 N = n + t S J = J + J zprava ( v V) výsledný impulz síly 1 J J 1 1 ( ) = Nm v V ( ) = Nm v+ V pohybová rovnice makročástice J = 4nmvV S t = Ft t F t F dv 4 nm vv S = M d t F dv = M + dt MV M 4nmv S relaxační čas τ = M 4nmv S

59 dv MV F = M + d t τ makročástice v klidu + zapnutí vnější síly makročástice se začne pohybovat, čím rychleji se pohybuje, tím větší je síla F t a tím menší je celková síla při určité rychlosti V 0 dojde k vyrovnání vnější síly a odporu prostředí rychlost makročástice se přestane měnit V t F τ 1 exp t 1 exp t = M = τ τ ( ) V0 makročástice pohybující se rychlosti V 0 + vypnutí vnější síly systém relaxuje do rovnovážného stavu makročástice je brzděna odporem prostředí čím pomaleji se pohybuje, tím menší je síla F t při zastavení makročástice odpor prostředí vymizí - systém bude v rovnováze V t = τ ( ) exp t V0 Mechanika 4/04/018, str. 59

60 Mechanika 4/04/018, str. 60 RELAXACE návrat systému do rovnováhy (případně jiného stacionárního stavu) po skončení působení vnějšího vlivu, který tento rovnovážný (stacionární) stav porušil relaxační proces bývá charakterizován vztahem: ( ) exp t y0 y t kde y je fyzikální veličina charakterizující výchylku od rovnovážného stavu y 0 je počáteční odchylka t je čas = τ τ je relaxační čas (relaxační časová konstanta) za čas t = τ se fyzikální veličina charakterizující odchylku od rovnováhy zmenší e-krát

61 Mechanika 4/04/018, str. 61 TEPELNÝ POHYB A TEPLOTA teplota fyzikální veličina charakterizující tepelný stav těles zavedena intuitivně měřena relativně pomocí jiných fyzikálních veličin, které rovněž závisí na tepelném stavu tělesa (pokud možno lineárně a dostatečně citlivě) tepelný pohyb objektivní míra tepelného stavu tělesa ideální jednoatomový plyn T = S 3k ε 1 v ε S = m střední kinetická energie mikročástic k = 1,3810 J K 3-1 Boltzmannova konstanta TEPLOTA VLASTNOST SYSTÉMU JAKO CELKU

62 Mechanika 4/04/018, str. 6 MĚŘENÍ TEPLOTY teplota intenzivní fyzikální veličina (zůstává stejná i po rozdělení soustavy) relativní měření (porovnávání) teplo samovolně přechází z teplejšího tělesa na studenější, dokud nedojde k vyrovnání teplot se změnou tepelného stavu těles se mění řada jejich fyzikálních vlastností (objem, tlak, elektrický odpor,...)

63 ZAVEDENÍ TEPLOTNÍ STUPNICE 1. Výběr extenzivní veličiny X X musí záviset pouze na teplotě nesmí mít stejnou hodnotu pro dvě různé teploty např. objem konstantního množství plynu při konstantním tlaku. Změření X ve dvou přesně definovaných stavech např. bod tání X 1 a varu X 3. Přiřazení konkrétních hodnot teploty těmto stavům např. t 1 (X 1 )=0 a t (X )= Rozdělení změny ΔX=X-X1 na příslušný počet dílků ΔX=100 nejjednodušší předpoklad: lineární závislost t (obecně stačí monotónní závislost) t =100 t = t + 1 X X1 X X t t ( ) ( ) 1 1 t t 1 =0 X 1 X X x Mechanika 4/04/018, str. 63

64 Mechanika 4/04/018, str. 64 různé fyzikální veličiny mohou záviset na teplotě různě např. elektrický odpor polovodiče a vodiče nemusely by si odpovídat teploty mezi definovanými body domluva výběr jedné veličiny (v principu to může být kterákoliv) jako standardní a podle této stupnice kalibrovat ostatní vybrán objem (přesněji součin objemu a tlaku) konstantního množství plynu CELSIOVA TEPLOTNÍ STUPNICE (t, o C)