OBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI

Transkript

1 OBJÍMKA VÁZANÁ RUŽINOU NA NELAKÉM OTOČNÉM RAMENI SEIFIKAE ROBLÉMU Rameno čvercového průřezu roue konanní úhlovou rychloí ω Na něm e nasazena obímka hmonoi m s koeicienem ření mezi ní a ěnami ramene Obímka e vázaná k pevné ose roace lineární pružinou volné délky l a uhoi k V průběhu roace ramene obímku podržíme v poloze dané volnou délkou pružiny a puíme z relaivního klidu opíšeme relaivní pohyb obímky po rouícím rameni ŘEŠENÍ Relaivní výchylku kóueme od volné délky pružiny (viz obr) Silové účinky budeme vyadřova v souřadnicové souavě y z rouící s obímkou ohyb obímky rozložíme na unášivý roační konanní úhlovou rychlo ω Jemu odpovídá ediný servačný účinek a sice odředivá síla ve směru osy o velikoi m ( l ) ω ruhonému posuvu po rameni se zrychlením & & odpovídá servačná síla m & v záporném směru osy roože rozklad pohybu r r r m ω & roože ω r a r & e obecný e dalším servačným účinkem oriolisova síla ( ) sou kolmé vekory má veliko F c mω & a směr kladné osy z Saickými akcemi sou íha ve směru záporné osy y vraná síla pružiny ve směru proi relaivnímu pohybu (záporné osy ) Seného směru sou i řecí síly ( N N ) od obou ýkaících se ploch Saické reakce N a N maí směr os y (vyrovnává íhu) a z (vyrovnává oriliosovu sílu) Jedná se o proorovou souavu sil (procházeící ěžišěm obímky) ohybové rovnice maí var m( l ) ω k m & ( N N ) () F c : y : N mg () z: N mω& (3)

2 Vlaní pohybovou rovnici získáme vyloučením reakcí osazením z () a (3) do () máme m & k m( g ω & ) m ( l ) ω Zavedením vlaní rekvence přidružené nelumené kmiavé souavy hmonoi m a uhoi k edy získáme pohybovou rovnici ve varu k () m ( ω ) l g & & ω () ro neznámou unkci ( se edná o dierenciální rovnici řádu s konanními koeicieny a konanní pravou ranou Rovnice () e kvaliaivně ená ako rovnice lumeného kmiavého pohybu buzeného skokem (konanou) roože model byl poaven na předpokladu pohybu obímky vpravo po rameni nemůže bý konana na pravé raně () záporná Jeliže by vycházela záporná znamená o že řecí síla od íhové reakce převyšue odředivou sílu V om případě obímka zůane v relaivním klidu ( neodlepí se od ramene) odle () se edná o případ kdy l g ω < (3) Není-li splněna relace (3) řešíme () běžnou meodou při riviálních počáečních podmínkách ro obecné řešení plaí ( ) ; & ( ) (4) ( ( ( (5) omogenní řešení má var podle kořenů charakeriické rovnice varu iskriminan e Mezní případ nulového diskriminanu dává ) ro ω < ( ) λ λ ω ( ω ω ) 4 ω ( ) ω (6) e diskriminan záporný a kořeny charakeriické rovnice sou ( ) λ ± i ω Obecné řešení homogenní rovnice k rovnici () proo má var ( e ( cos sin (7) Zde a sou inegrační konany keré na závěr určíme z počáečních podmínek a e úhlová rekvence pro niž plaí

3 ( ) ω (8) roože nula není kořenem charakeriické rovnice odhadueme parikulární řešení aké ako konanu Tao konana musí splňova rovnici () Musí edy býi lω g () kon ω osazením (7) a (9) do (5) získáme obecné řešení ako Časovou derivací pak ( e ( cos sin () & ( e [ ( cos sin ( sin cos ] osazením času do posledních dvou rovnic a zohledněním počáečních podmínek (4) doaneme ( ) & ( ) osazením vypočíaných inegračních konan do () získáme konkréní řešení () vyhovuící riviálním počáečním podmínkám ako ω ω () e cos sin () kde e dáno v (8) a v (9) Relaivním pohybem budou lumené kmiy kolem nové π aické rovnovážné polohy s rekvencí (dobou periody T ) Tlumení bude ím silněší čím věší bude řecí koeicien a čím rychleší bude roace ramene ůležiá poznámka: roože maemaický model () byl poaven za předpokladu pohybu vpravo plaí vzah () pouze do prvního erému éo unkce s kladnou hodnoou nabývání ak by obímka byla v relaivním klidu v akési eremální hodnoě a naal by zpěný pohyb Museli bychom řeši model při obrácených řecích silách ohybová rovnice by pak měla var ( ω ) l g & & ω kerou bychom řešili při počáečních podmínkách ( ) ; & ( ) Too řešení zachází už za rámec ohoo eu Na závěr éo důležié poznámky ešě určíme do akého času plaí řešení () Zavedením paramerů A (ampliudy) a γ (áze) výrazy A (9)

4 cosγ A ω ; sin γ A přepíšeme () do varu výhodněšího pro nalezení prvního erému s kladným bodem nabývání (neboli prvního kladného nulového bodu rychloi) Teno var () e erivací pak [ ] ( A e sin( γ ) ( ) ( ) ωsin( γ) cos( γ) v & A e Zřemě pro nulové body rychloi plaí Tedy plaí v ( ) sin( γ ) cos( γ ); g ω ( γ) γ arcg π Nemenší kladný bod kde e oo splněno e pro edy Řešení () e plané pouze na arcg γ π ω ω ) ro ω > e diskriminan charakeriické rovnice kladný a eí kořeny sou λ ( ) ω ± ω Obecné řešení homogenní rovnice k () má proo var ( e ( cosh sin h () kde i ( i ) sou inegrační konany a pro plaí vzah ( ) ω (3) Zde e nuné vzhledem k parikulárním řešení rozliši dva podpřípady: a) Nechť ω ak zřemě žádný kořen charakeriické rovnice není nulový a parikulární má opě var (9) Výsledné řešení získáme dosazením () a (9) do (5) oaneme erivací poé ( e ( cosh sin h (4) v( & ( e [ ( cosh sin h ( sin h cosh ] osazením času do posledních dvou rovnic a zohledněním počáečních podmínek doaneme

5 ( ) & ( ) Konkréní řešení splňuící riviální počáeční podmínky e poom ω ω () e cosh sin h (5) kde e dáno v (3) a v (9) roože (5) e na libovolný čas b) Nechť ω (i eno případ spadá pod případ má var Opě plaí harakeriická rovnice e varu Má edy kořeny roo e ω > rooucí plaí oo řešení pro ) oom pohybová rovnice & & l g (6) ( ( ( (7) λ λ λ ; λ ( e (8) arikulární řešení (vzhledem k omu že nula e ednoduchým kořenem charakeriické rovnice) musíme odhadova ve varu ( K Konanu K určíme z idenického splnění rovnice (6) ímo řešením osazením doáváme arikulární řešení proo e K l g l g K ( l g) (9) osazením (8) a (9) do (7) získáme obecné řešení ve varu ( ) l g () e ()

6 erivací l g () & e osazením do posledních dvou rovnic a zohledněním riviálních počáečních podmínek doaneme g l ( ) ( ) l g l g & ( ) ( ) Konkréní řešení pro eno případ získáme dosazením určených inegračních konan do () Máme () ( l g) 3) osledním případem e mezní av kdy ( e ) () ω () iskriminan charakeriické rovnice e pak nulový a ao má dvonásobný kořen Obecné řešení homogenní rovnice () e λ ( e ( (3) ro parikulární řešení plaí (proože žádný kořen charakeriické rovnice není nulový) ále (viz (9)) což vzhledem k () dává l ω g kon ω ( ) l g kon osazením (3) a (4) do známého vzahu ( ( ( získáme obecné řešení ako erivací odud ( ) l g () e ( ) & () e ( (4) (5)

7 osazením času do posledních dvou rovnic a zohledněním riviálních počáečních podmínek vznikne ( ) ( ) ( ) g l g l ( ) & osazením do (5) za vypočíané inegrační konany doaneme konkréní řešení ve varu () ( ) e g l