TEORIE NETKANÝCH TEXTILIÍ. Isingův model pro studium smáčení vlákenných systémů Počítačová simulace 8.přednáška

Transkript

1 TEORIE NETKANÝCH TEXTILIÍ Isngův model pro studum smáčení vlákenných systémů Počítačová smulace 8.přednáška

2 Automodel (Isngův model) a metoda Monte Carlo jako prostředek pro smulac jevů smáčení porézních (vlákenných) materálů Slovo smulace pochází z latnského slova smulare a jeho česká synonyma jsou spjata především s medcínou jako předstírání choroby člověkem zdravým. Smulare tedy napodobovat č předstírat získalo svůj velký význam s nástupem výpočetní technky. V oblast výpočetní technky totž pojem smulace znamená napodobení procesu nebo objektu pomocí matematckého popsu. Smulace umožňuje pomocí změny vstupních č jných podmínek zkoumat změny varanty chování objektu, a předstírat tak jeho reálné chování č podobu.

3 Automodel (Isngův model) a metoda Monte Carlo jako prostředek pro smulac jevů smáčení porézních (vlákenných) materálů Jednou z nových metod tohoto studa bylo použtí Isngova modelu [1, 2], který byl původně navržen Lenzem pro vyšetřování přechodu uspořádaného a neuspořádaného stavu feromagnetk v roce 1920 [3]. [1]MANNA, S.S.- HERMANN, H.J. - LANDAU, D.P.: A stochastc method to determne the shape of a drop on a wall, Journal of Statstcal Physcs, Vol.66, Nos. 3/4, 1992, [2]De CONICK, J.- DUNLOP,F. - RIVESEAV, V.: On the mcroscopc valdty of the Wuelff Constructon and of the generalzed Young equaton, Commun. Math Phys. 121, (1989) [3]BRUSH, S.G.: Hstory of the Lenz-Isng model, Revews of modern physcs, Vol.39,No.1,1967,83-893

4 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. Lukas, D., Kostakova, E., Sakar, A.: Computer smulaton of mosture transport n fbrous materals, Thermal and mosture transport n fbrous materals, edted by N. Pan and P. Gbson, Woodhead Publshng Lmted, Cambrdge, pp ISBN-13: , 2006

5 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 1. Vytvoření dvourozměrné č trojrozměrné mříže, složené z konečného množství elementárních buněk z y x

6 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 2. Každé buňce je přdělena hodnota Isngovy proměnné a podle toho jaký typ prostředí má v počáteční konfgurac zastupovat. Kapalna a=1 plyn a=0 vlákno a=2

7 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 3. Reálný systém se v počáteční konfgurac nachází v nerovnovážném stavu a v průběhu smulace dochází k přetváření konfgurace spojené se snžováním energe systému. Počítačová smulace probíhá v krocích opakujících se až do ukončení smulace. Smulační proces je ukončen po dosažení stablního stavu, který by měl být stavem s nejnžší energí, když nesmí být opomenuto, že je-l statstcká teplota větší než nula, pak rovnovážný stav systému nemusí být stavem s mnmální energí (jedná se o představu tepelného kontaktu mez systémem a rezervoárem). Je to systém a vyměňuje s s rezervoárem energ, výměna částc dovolena není ==== KANONICKÝ SYSTÉM (tepelný kontakt) (vz. Fyzka polymerů str.168)

8 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 2D model 3D model

9 vysvětlení pojmů Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. Kawasak knetka Kawasakho knetka souvsí s výběrem buněk v Isngově modelu. Kawasakho knetka na krátké vzdálenost -Kawasak knetcs for short dstances = výběr přímých sousedů. První buňka je vybrána náhodně z rozhraní kapalna plyn a druhá náhodně z jejího přímého sousedství. Kawasakho knetka na dlouhé vzdálenost - Kawasak knetcs for long dstances = dovoluje výběr druhé buňky mmo přímé sousedství první vybrané buňky. Two-dmensonal lattce system wth two dfferent types of cell s selecton from lqud-gas nterface: A and B represent Kawasak dynamcs for short dstances; C and D represents Kawasak dynamcs for long dstance. Pctures A and C show the system before cell exchange and pctures B and D show the system after cell exchange.

10 vysvětlení pojmů Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. Monte Carlo method Metoda Monte Carlo představuje skupnu algortmů pro smulac systémů. Je založena na využtí náhodných čísel. Metoda Monte carlo je založena na provádění náhodných pokusů s modelovým systémem a s jejch vyhodnocením. Metoda využívá generátor pseudonáhodných čísel. Metoda Monte Carlo je v Isngově modelu využívání k vzorkování podle podmínek Kawasakho knetcky a k rozhodování o změně konfgurace souvsející se teplotním fluktuacem systému. Pseudorandom numbers are numbers creatng a successon, whch appears to be random, but n realty these numbers are generated by determnstc algorthm. The prefx pseudo- s used for separaton ths type of random numbers from real random numbers, whch rsng as a random physcal processes results. Ths thess used the word random but wth the pseudorandom meanng.

11 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 4. Krok počítačové smulace Smulační proces probíhá v následujících krocích: 1) Z rozhraní kapalna-plyn je vybrána jedna buňka obsahující kapalnu a jedna buňka obsahující plyn. Je spočítána jejch energe E před. 2) Buňky vybrané v bodě 1 s vymění své pozce systém vytvoří novou konfgurac. 3) Je spočítána energe systému v nové konfgurac E po. 4) Rozdíl energí systému před a po výměně buněk je E=E po -E před. Dále je nutné postup rozdělt do dvou postupů dle volby velkost teploty T v Isngově modelu.

12 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 4. Krok počítačové smulace T=0 6) Je nutné porovnat velkost energí před a po výměně buněk. Jestlže výměna buněk způsobla snížení energe, tedy (E před E po ) jedná se o změnu žádoucím směrem do energetcky výhodnější konfgurace. Buňky dále zůstanou ve svých nových pozcích. Smulace pokračuje dále znovu od kroku 1. Pokud výměna buněk způsobla naopak zvýšení energe (E před E po ) jedná se o změnu nežádoucí. Buňky se vrátí zpět do svých původních pozc a smulační proces začíná znovu od bodu 1.

13 Gravtační energe je počítána jen pro kapalnové buňky. výpočet energe Energe jedné elementární buňky možné vyjádřt v smulac takto: E C g z N j j1 C j Celková energe systému se vypočítá jako součet energí všech elementárních buněk. Celková energe má dvě složky. Gravtační složka energe je charakterzovaná gravtační konstantou C g a její velkost závsí na pozc buňky v mříž vzhledem ke svslé ose z. Čím vyšší je hodnota souřadnce z, tím vyšší je gravtační energe G buňky : G C g z, 2

14 výpočet energe Energe jedné elementární buňky možné vyjádřt v smulac takto: E C g z N j j1 C j Další složka energe souvsí s nterakcem v nejblžším okolí -té buňky. V okolí každé buňky se mohou nacházet tř typy prostředí. Podle povahy kohezních a adhezních sl se bude celý systém chovat. Intenzta kohezních a adhezních sl a vzájemného působení mez dvěma sousedním buňkam je daná hodnotam tzv. výměnné energe C j, kde je ndex vybrané buňky a j je ndex buňky z jejího okolí. 2D 3D 2

15 Postup smulace krok smulace - MCS (1/2) - Náhodný výběr dvou buněk z rozhraní kapalna plyn (jedna obsahující kapalnu a druha obsahující plyn) N N j j j N g N pred j C z C E E 1 ; Výpočet celkové energe systému - Pozce buněk jsou vyměněny N N j j j N g N po j C z C E E 1 ; Opětovný výpočet celkové energe systému 2

16 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 4. Krok počítačové smulace T0 6) V smulac je zavedena teplota různá od nuly. Pokud př porovnávání energí před a po výměně buněk bylo zjštěno, že výměna buněk vedla ke snížení energe systému (E před E po ), jedná se o změnu žádoucí. Buňky tedy zůstávají na svých nových pozcích a smulace pokračuje dále znovu od bodu 1. Změna oprot smulac s nulovou teplotou nastává pokud bylo zjštěno, že po výměně pozc buněk došlo k nárůstu energe (E před E po ). V tomto případě je třeba zavést další rozhodovací krtérum založené na poznatcích statcké fyzky. Tedy platí-l, že E před E po rozhodování zda buňky zůstanou č nezůstanou na svých nových pozcích je dáno přechodovou pravděpodobností P vycházející z Boltzmanova faktoru (Fyzka polymerů str E P exp( ) kde = Tk je statstcká teplota, k je Bolzmanova konstanta, T je termodynamcká teplota.

17 Použtá počítačová smulace je založena na trojrozměrném automodelu (konkrétně modfkovaném Isngově modelu) s využtím Kawasakho knetky a metody Monte Carlo. 4. Krok počítačové smulace přechodová pravděpodobnost pro E před E po tedy E=E po -E před 0 P = 1 f E0 P = exp-e/ f E0 T0 P E E P exp( P exp( ) ) E/ Dále je vygenerováno náhodné číslo z ntervalu 0,1. V případě, že toto náhodné číslo je menší než pravděpodobnost přechodu buněk P, zůstávají buňky na svých nových pozcích. Je-l ale náhodné číslo větší než přechodová pravděpodobnost P, vrací se buňky zpět na svá původní místa. Proces pokračuje znovu od bodu 1.

18 Postup smulace krok smulace - MCS (2/2) - Rozdíl mez celkovou energí systému před a po výměně buněk je spočítán E = E po E před If H >0 T = 0 Změna nežádoucí = buňky se vracejí do svých původních pozc T 0 V tomto případě je třeba zavést další rozhodovací krtérum založené na poznatcích statcké fyzky (je počítána přechodová pravděpodobnost založena na Boltzmanově faktoru) E P exp Dále je náhodně generováno číslo z ntervalu (0; 1) If H <0 Změna žádoucí, jde o mnmalzac energe systému = buňky zůstávají ve svých nových pozcích Jestlže je spočítaná P větší než náhodně generované číslo = buňky zůstávají v nových pozcích. Jestlže je spočítaná P menší než náhodně generované číslo = buňky se vrací do svých původních pozc.

19 Postup smulace ukončení smulace - Smulace je ukončena pokud systém dosáhne rovnovážného stavu (celková energe systému se pohybuje okolo konstanty na mnmální hodnotě. - Smulace je ukončena po určtém počtu MCSPS dle uvážení expermentátora. MCSPS = MCS/N MCSPS (monte carlo step per ste) MCSPS reprezentuje v tkání hodn.