Úvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod. Cílová skupina: 2 Planimetrie"

Transkript

1 PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matemati ky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 2 Planimetrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Planimetrie 3 Obsah Rovinné útvary... 8 Přímka a její části... 8 Přímka a její části Varianta A Přímka a její části Varianta B Přímka a její části Varianta C Polorovina, úhel, dvojice úhlů Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta A Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta B Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta C Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta A Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta B Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta C Trojúhelník Trojúhelník Varianta A Trojúhelník... 42

4 4 Planimetrie Varianta B Trojúhelník Varianta C Shodnost a podobnost trojúhelníků Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta A Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta B Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta C Mnohoúhelníky Mnohoúhelníky Varianta A Mnohoúhelníky Varianta B Mnohoúhelníky Varianta C Čtyřúhelníky Čtyřúhelníky Varianta A Čtyřúhelníky Varianta B Čtyřúhelníky Varianta C Kružnice, kruh Kružnice, kruh Varianta A... 78

5 Planimetrie 5 Kružnice, kruh Varianta B Kružnice, kruh Varianta C Úhly v kružnici Úhly v kružnici Varianta A Úhly v kružnici Varianta B Úhly v kružnici Varianta C Obvody a obsahy rovinných obrazců Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta A Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta B Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta C Euklidovy věty, věta Pythagorova Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta A Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta B Euklidovy věty, věta Pythagorova Varianta C Konstrukční úlohy Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce

6 6 Planimetrie Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta A Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta B Množiny bodů dané vlastnosti, jednoduché geometrické konstrukce Varianta C Konstrukční úlohy Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta A Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta B Konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků Varianta C Konstrukce kružnic Konstrukce kružnic Varianta A Konstrukce kružnic Varianta B Konstrukce kružnic Varianta C Konstrukce na základě výpočtu Konstrukce na základě výpočtu Varianta A Konstrukce na základě výpočtu Varianta B Konstrukce na základě výpočtu

7 Planimetrie 7 Varianta C

8 8 Planimetrie Rovinné útvary Přímka a její části Základní pojmy Věta: Dvěma různými body prochází jediná přímka. D C B p Zápis: bod C náleží přímce p bod D nenáleží přímce p A Věta: Jeden bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a jejich společným počátkem. C B p A Zápis:, bod C dělí přímku p na dvě opačné polopřímky Věta: Úsečka AB je tvořena všemi body přímky AB, které leží mezi body A, B a body A a B.

9 Planimetrie 9 B A A, B krajní body úsečky, všechny ostatní body úsečky nazýváme vnitřní body úsečky. Všechny vnitřní body tvoří vnitřek úsečky AB. Platí:,, Věta: Délka (velikost) úsečky AB je vzdálenost bodů A a B. Zápis: Věta: Dvě shodné úsečky mají stejné délky. Zápis: shodné úsečky AB a CD Poznámka: Platí-li, říkáme, že úsečka AB je větší než úsečka CD, nebo také, že úsečka CD je menší než úsečka AB. Bod S, který dělí úsečku AB na dvě shodné úsečky, se nazývá střed úsečky.

10 10 Planimetrie Přímka a její části Varianta A Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti. X Y P=Q R S a) bod Y náleží polopřímce b) bod Y neleží na úsečce RS c) úsečky XY a RS nemají žádný společný bod a) b) c) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) b) c)

11 Planimetrie 11 Příklady k procvičení: 1) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti. X Y P=Q R S a) bod R náleží polopřímce b) úsečka YP je částí polopřímky c) úsečka XY neleží na polopřímce [a), b), c) ] 2) Na základě obrázku zapište symbolicky následující skutečnosti. X Y P=Q R S a) polopřímky a mají jediný společný bod b) velikost úsečky YP je shodná s velikostí úsečky c) úsečka YR je částí úsečky [a), b), c) ] 3) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení. X Y P=Q R S

12 12 Planimetrie a) b) c) [a) ano, b) ano, c) ne] 4) Na základě obrázku rozhodněte, zda platí následující tvrzení. X Y P=Q R S a) b) c) 0 [a) ne, b) ne, c) ano]

13 Planimetrie 13 Přímka a její části Varianta B Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny polopřímky určené těmito body. Polopřímka je jednoznačně určena dvěma body a navíc záleží na pořadí. Pomocí čtyř bodů K, L, M, N tedy vlastně utvoříme všechny uspořádané dvojice:,,,,,,,,,,, Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:,,,,,,,,,,, Příklady k procvičení: 1) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny úsečky určené těmito body. [ KL, KM, KN, LM, LN, MN] 2) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny dvojice úseček, které nemají žádné společné body. [KL, MN] 3) Na přímce p zvolte čtyři různé body K, L, M, N v uvedeném pořadí a zapište všechny dvojice polopřímek, které nemají žádné společné body. [, ] 4) Na přímce p zvolte pět různých bodů K, L, M, N, O v uvedeném pořadí a zapište, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. [20]

14 14 Planimetrie Přímka a její části Varianta C V rovině je zvoleno 6 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Každý z šesti bodů můžeme spojit s pěti zbývajícími body. Vznikne tak 30 takových dvojic bodů. Jelikož ale při určení přímky pomocí dvou bodů nezáleží na pořadí těchto bodů, je mezi těmito 30 dvojice každá přímka zastoupená dvakrát. Celkový počet různých přímek je tedy poloviční, tzn. 15. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 15 Příklady k procvičení: 1) V rovině je zvoleno 10 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno? [45] 2) V rovině je zvoleno 20 různých bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. Kolik různých přímek je těmito body určeno? [190] 3) Na základě výsledků řešeného příkladu a předcházejících dvou příkladů určete obecný vztah pro n různých bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce. [ 1 ] 4) Je dáno osm různých bodů v rovině (A, B, C, D, E, F, G, H). Čtveřice A, B, C, D a E, F, G, H leží v přímkách. Kolik různých přímek je danými body určeno? [18]

15 Planimetrie 15 Polorovina, úhel, dvojice úhlů Základní pojmy Věta: Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a jejich společnou hranicí, tzv. hraniční přímkou. D B p A C Zápis: nebo nebo Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Bod, který neleží na přímce p, je vnitřním bodem jedné z polorovin. Věta: Dvě různé polopřímky, dělí rovinu na dva úhly AVB.

16 16 Planimetrie B V A Zápis: konvexní úhel AVB nekonvexní úhel AVB Jsou-li polopřímky, opačné, je každý z obou úhlů AVB úhel přímý. Totožné polopřímky určují jednak nulový úhel AVB a jednak plný úhel AVB. Jsou-li dva úhly AVB a CUD shodné, zapisujeme to následujícím způsobem: Věta: Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která dělí daný úhel na dva úhly shodné. A V o B Věta: Dva konvexní úhly AVB a AVC se společným ramenem, a jejichž zbylá ramena, jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají úhly vedlejší.

17 Planimetrie 17 A C V B Věta: Dva konvexní úhly AVB a CVD, jejichž ramena, a, jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají vrcholové úhly. A C V B D Věta: Pravý úhel je takový úhel, který se shoduje se svým úhlem vedlejším. Všechny pravé úhly jsou shodné. A C V B

18 18 Planimetrie Výsledkem měření úhlu je nezáporné číslo nazývané velikost úhlu. Zápis: velikost konvexního úhlu AVB velikost nekonvexního úhlu AVB Velikost úhlu měříme v planimetrii zpravidla v úhlových stupních, v teorii goniometrických funkcí a ve fyzice spíše v radiánech. Z úhlového stupně jsou dále odvozeny i menší jednotky úhlová minuta a úhlová vteřina. 1 jeden úhlový stupeň 1 jedna úhlová minuta 1 jedna úhlová vteřina Konvexní úhel o velikosti menší než 90 se nazývá ostrý úhel. Konvexní úhel o velikosti větší než 90 se nazývá tupý úhel.

19 Planimetrie 19 Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta A Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách. d) 23,3125 e) 17,21 Při převodu postupujeme tak, že desetinnou část čísla vyjádřenou ve stupních převedeme na minuty vynásobením číslem 60 a dále desetinnou část takto získaného čísla vyjádřenou v minutách převedeme na vteřiny vynásobením opět číslem 60. a) 0, ,75 0, , b) 0, ,6 0, , Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: d) 23, e) 17,

20 20 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách. a) 123,405 b) 5,12 [a) , b) ] 2) Vyjádřete dané úhly ve stupních, minutách a vteřinách. a) 65,82 b) 115,615 [a) , b) ] 3) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo. a) b) [a) 165,536, b) 61,2225 ] 4) Vyjádřete dané úhly jako desetinné číslo. a) b) [a) 15,3527, b) 71,3327 ]

21 Planimetrie 21 Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta B Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu. a) 56,23 b) Součet dvou vedlejších úhlů je 180. Velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu tedy určíme, tak, že velikost tohoto úhlu odečteme od 180. a) ,23 123,77 b) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) ,23 123,77 b) Příklady k procvičení: 1) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu. a) 22,06 b) [a) 157,94, b) ] 2) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu. a) 122,06 b) [a) 57,94, b) ]

22 22 Planimetrie 3) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu. a) 11,16 b) [a) 168,84, b) ] 4) Určete velikost vedlejšího úhlu k danému úhlu. a) 90,06 b) [a) 89,94, b) ]

23 Planimetrie 23 Polorovina, úhel, dvojice úhlů Varianta C Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem S směr a) SZ b) SSZ Tzv. směrovou růžici můžeme znázornit následujícím obrázkem: SSZ S SSV SZ SV ZSZ VSV Z V ZJZ VJV JZ JV JJZ J JJV Nejmenší úhel ve směrové růžici určíme např. jako 90 : 4 22,5. a) Úhel mezi směrem S a SZ je tvořen dvěma těmito nejmenšími úhly, tedy 2 22,5 45, b) Úhel mezi směrem S a SSZ je tvořen jedním tímto nejmenším úhlem, tedy 1 22,5 22,5. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) 45, b) 22,5

24 24 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem J směr a) SZ b) JJZ [a) 135, b) 22,5 ] 2) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SV směr a) SZ b) VJV [a) 90, b) 67,5 ] 3) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem JZ směr a) SV b) JJV [a) 180, b) 67,5 ] 4) Určete velikost úhlu, který na kompasu svírá se směrem SSZ směr a) SZ b) JJZ [a) 22,5, b) 135 ]

25 Planimetrie 25 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Základní pojmy Pro vzájemnou polohu dvou přímek v rovině mohou nastat tři případy: a) přímky jsou různoběžné (mají jeden společný bod) p q b) přímky jsou rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod p q c) přímky jsou totožné (mají nekonečně mnoho společných bodů) Věta: Daným bodem A lze vést v dané přímce p jedinou rovnoběžku.

26 26 Planimetrie Část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami se nazývá rovinný pás. p q Jsou-li dány dvě rovnoběžné přímky a, b a třetí přímka p, která je obě protíná, říkáme, že přímky a a b jsou proťaty příčkou p. p a b Dvojice úhlů, ;, ;, ;, se nazývají úhly souhlasné. Dvojice úhlů, ;, ;, ;, se nazývají úhly střídavé. Věta: a) Je-li jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b úhly shodné, pak jsou přímky a a b rovnoběžné. b) Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p na přímkách a, b jsou úhly shodné.

27 Planimetrie 27 Odchylkou dvou různoběžných přímek a, b je velikost každého s ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají. a b Zápis: Jsou-li přímky a a b rovnoběžné, je jejich odchylka 0. Jsou-li přímky a a b kolmé, je jejich odchylka 90. ( ) Věta: a) Každým bodem A lze vést k dané přímce p jedinou kolmici k. b) Je-li a, pak je. c) Je-li a, pak je. Věta: Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá, se nazývá osa úsečky. Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme nejkratší vzdálenost tohoto bodu od přímky, tedy vzdálenost tohoto bodu od paty kolmice vedené bodem A k přímce p.

28 28 Planimetrie Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta A Jsou dány 4 navzájem různoběžné přímky p, q, r, s, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. Celý problém můžeme znázornit na obrázku: q p s r Z obrázku je patrné, že celkový počet průsečíků je 6. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Celkový počet průsečíků je 6.

29 Planimetrie 29 Příklady k procvičení: 1) Jsou dány 3 navzájem různoběžné přímky, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. [3] 2) Je dáno 5 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. [10] 3) Je dáno 8 navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek. [28] 4) Je dáno n navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Na základě výsledků předcházejících příkladů určete počet všech průsečíků daných přímek. [ 1 ]

30 30 Planimetrie Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta B Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je 32. Určete velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r p q Úhly, jsou úhly vrcholové a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy 32. Úhly, jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy 32. Úhly, jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je 180. Velkost úhlu tedy určíme jako: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 32, 32, 148

31 Planimetrie 31 Příklady k procvičení: 1) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je 122. Určete velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r p q [ 58, 58, 122 ] 2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je 42. Určete velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r p q [ 138, 138, 42 ]

32 32 Planimetrie 3) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je 161. Určete velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r p q [ 161, 19, 19 ] 4) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a jejich příčka r. Velikost úhlu je 45. Určete velikosti všech zbývajících vyznačených úhlů dle obrázku. r p q [ 135, 45, 135 ]

33 Planimetrie 33 Dvě přímky, rovnoběžnost přímek, kolmost přímek Varianta C Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů,,,. c d a b Úhly, 62 jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je 180. Velkost úhlu tedy určíme jako: Úhly, jsou úhly střídavé a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy 118. Úhly, 52 jsou úhly souhlasné a tedy shodné. Velikost úhlu je tedy 52. Úhly, jsou úhly vedlejší a součet jejich velikostí je 180. Velkost úhlu tedy určíme jako: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 118, 118, 52, 128

34 34 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů,,,. c d 45 a 122 b [ 58, 122, 45, 135 ] 2) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů,,,. c d a b [ 169, 111, 33, 147 ]

35 Planimetrie 35 3) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů,,,. c d a b [ 146, 146, 29, 151 ] 4) Na obrázku jsou přímky a a b rovnoběžné. Určete velikosti úhlů,,,. c d 22 a 32 b [ 158, 158, 32, 148 ]

36 36 Planimetrie Trojúhelník Základní pojmy Definice: Tři různé body A, B, C, které neleží na jedné přímce, určují trojúhelník ABC. C b a A c B A, B, C vrcholy trojúhelníku a, b, c strany trojúhelníku,, vnitřní úhly trojúhelníku,, vnější úhly trojúhelníku Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky na: - různostranné (žádné dvě strany nejsou shodné), - rovnoramenné (dvě strany shodné), - rovnostranné (všechny strany shodné). Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na: - ostroúhlé (všechny úhly ostré), - pravoúhlé (jeden úhel pravý), - tupoúhlé (jeden úhel tupý). Věta: a) Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180. b) Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180. c) Velikost vnějšího úhlu je rovna součtu vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů.

37 Planimetrie 37 Věta: Součet velikostí každých dvou stran trojúhelníku je větší než velikost strany třetí. V každém trojúhelníku tedy platí tři tzv. trojúhelníkové nerovnosti: Věta: V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel a naopak, proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana. Definice: Střední příčka trojúhelníku je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku. Je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje a její velikost je rovna polovině délky této strany. C B 1 A 1 A C 1 B

38 38 Planimetrie Definice: Spojnice vrcholu trojúhelníku s patou kolmice vedené tímto bodem k protilehlé straně trojúhelníku se nazývá výška trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží výšky trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném ortocentrum. C B 0 v b V A 0 v a v c A C 0 B Definice: Spojnice vrcholu trojúhelníku se středem protilehlé strany trojúhelníku se nazývá těžnice trojúhelníku. Všechny tři přímky, na nichž leží těžnice trojúhelníku, se protínají v jediném bodě zvaném těžiště trojúhelníku. Vzdálenost těžiště od každého vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice.

39 Planimetrie 39 C B 1 t c T A 1 t a t b A C 1 B Věta: a) Osy stran trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku opsané. b) Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jediném bodě, středu kružnice trojúhelníku vepsané. C k o B 1 A 1 S o A C 1 B

40 40 Planimetrie C k v S v A B

41 Planimetrie 41 Trojúhelník Varianta A Strany trojúhelníku mají délky 16 cm, 20 cm a 25 cm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí. a) tato nerovnost je splněna. b) tato nerovnost je splněna. c) tato nerovnost je splněna. Jelikož jsou splněny všechny tři trojúhelníkové nerovnosti, lze tento trojúhelník sestrojit. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Trojúhelník lze sestrojit. Příklady k procvičení: 1) Strany trojúhelníku mají délky 1,6 cm, 20 mm a 0,11 dm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. [ano] 2) Strany trojúhelníku mají délky 11 mm, 5 mm a 6 mm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. [ne] 3) Strany trojúhelníku mají délky 2,6 cm, 20 mm a 0,01 dm. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. [ne] 4) Strany trojúhelníku mají délky 3,6 m, 2 m a 1,7 m. Rozhodněte, zda tento trojúhelník lze sestrojit. [ano]

42 42 Planimetrie Trojúhelník Varianta B Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru 1: 2: 6. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180. Řešit tuto úlohu tedy znamená rozdělit 180 v poměru 1: 2: 6. Celkový počet dílů určíme jako Velikost jednoho dílu určíme vydělením: 180 : 9 20 Nejmenšímu úhlu trojúhelníku přísluší jeden díl, tedy má velikost 20. Prostřednímu úhlu přísluší dva díly, tedy jeho velikost určíme jako Největšímu úhlu trojúhelníku přísluší šest dílů, takže jeho velikost určíme jako Daný trojúhelník má tedy vnitřní úhly o velikostech 20, 40, 120. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Daný trojúhelník má vnitřní úhly o velikostech 20, 40, 120. Příklady k procvičení: 1) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru 2: 3: 13. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku. [20, 30, 130 ] 2) Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku jsou v poměru 5: 6: 7. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku. [50, 60, 70 ] 3) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru 11: 12: 13. Určete velikosti všech vnějších úhlů trojúhelníku. [110, 120, 130 ] 4) Velikosti vnějších úhlů trojúhelníku jsou v poměru 5: 15: 16. Určete velikosti všech vnějších úhlů trojúhelníku. [50, 150, 160 ]

43 Planimetrie 43 Trojúhelník Varianta C Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: 34 cm, 17 cm. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? Pro strany trojúhelníku musí být splněny všechny tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek každých dvou stran musí být větší než délka strany třetí. a) b) c) Po dosazení dostáváme následující soustavu nerovnic: a) b) c) Po úpravě dostáváme: a) 51 b) 17 c) 17 Řešením této soustavy nerovnic jsou všechna c, pro která platí: 17 cm; 51 cm. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 17 cm; 51 cm

44 44 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: 22 cm, 16 cm. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? [ 6 cm; 38 cm ] 2) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: 13 mm, 8 mm. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? [ 5 mm; 21 cm ] 3) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: 1,2 m, 0,6 m. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? [ 0,6 m; 1,8 m ] 4) Jsou dány délky dvou stran trojúhelníku ABC: 1,75 dm, 1,85 dm. Jakým podmínkám musí vyhovovat délka třetí strany? [ 0,1 dm; 3,6 dm ]

45 Planimetrie 45 Shodnost a podobnost trojúhelníků Základní pojmy Definice: Dva trojúhelníky nazveme shodné, lze-li je navzájem přemístit tak, že se oba překrývají. Pokud postačuje trojúhelník pouze přemístit, hovoříme o shodnosti přímé, pokud je trojúhelník nutné nejen přemístit, ale i překlopit, hovoříme o shodnosti nepřímé. O shodnosti trojúhelníků ovšem zpravidla nerozhodujeme pomocí přemísťování, nýbrž používáme důležité věty o shodnosti trojúhelníků. Věta: (sss) Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. Věta: (usu) Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné. Věta: (sus) Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Věta: (Ssu) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.

46 46 Planimetrie Definice: Pro každé dvě úsečky AB a CD můžeme stanovit kladné reálné číslo k, pro které platí: : Můžeme také psát:. Číslo k se nazývá poměr úseček AB a CD. Definice: Trojúhelník A B C je podobný trojúhelníku ABC, existuje-li kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí:,, Číslo k se nazývá poměr podobnosti trojúhelníků ABC a A B C. Je-li 1, hovoříme o zvětšení, je-li 1, hovoříme o zmenšení. Pro 1 se jedná o shodnost trojúhelníků. Zápis podobnosti: ~ Z výše uvedené definice podobnosti trojúhelníků také vyplývá: Věta: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže poměr délek každých dvou stran jednoho trojúhelníku je roven poměru délek příslušných stran trojúhelníku druhého. O podobnosti trojúhelníků můžeme také rozhodnout pomocí vět o podobnosti trojúhelníků. Věta: (uu) Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech. Věta: (sus) Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech.

47 Planimetrie 47 Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta A Jsou dány trojúhelníky ABC: 22 cm, 33, 62 a A B C : 2,2 dm, 33, 85. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. Při řešení je vhodné oba trojúhelníky načrtnout. C C A B B A V trojúhelníku A B C můžeme dopočítat velikost úhlu jako Jelikož po převodu jednotek platí, je na základě obrázku patrné, že oba dva trojúhelníky jsou shodné podle věty usu. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: (usu) Příklady k procvičení: 1) Jsou dány trojúhelníky ABC: 18 mm, 14 mm, 62 a MNO: 1,4 cm, 1,8 cm, 62. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [ (sus)]

48 48 Planimetrie 2) Jsou dány trojúhelníky KLM: 1,1 dm, 1,3 dm, 1,2 dm a OPQ:, 12 m, 0,11 m, 0,13 m. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [ (sss)] 3) Jsou dány trojúhelníky DEF: 81 mm, 55, 45 a RST: 8,1 cm, 55, 80. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [ (usu)] 4) Jsou dány trojúhelníky ABC: 18 mm, 23 mm, 55 a A B C : 2,3 cm, 1,8 cm, 55. Rozhodněte, zda jsou dané trojúhelníky shodné. [ (Ssu)]

49 Planimetrie 49 Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta B Danou úsečku AB zvětšete v poměru 3: 2. Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme tři jednotky a označíme je např. body 1, 2, A B B Koncový bod úsečky AB spojíme s bodem 2 a bodem 3 vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod B. Trojúhelníky AB2 a AB 3 jsou podobné podle věty uu s koeficientem podobnosti. Pro úsečky AB a AB tedy platí: 3 : 3:2 2 Varianta A Varianta B Varianta C

50 50 Planimetrie Výsledek řešení: A B B Příklady k procvičení: 1) Danou úsečku AB zvětšete v poměru 5: A B B

51 Planimetrie 51 2) Danou úsečku AB zvětšete v poměru 3: A B B 3) Danou úsečku AB zmenšete v poměru 2: A B B

52 52 Planimetrie 4) Danou úsečku AB zmenšete v poměru 2: A B B

53 Planimetrie 53 Shodnost a podobnost trojúhelníků Varianta C Danou úsečku AB rozdělte v poměru 3: 2. Úsečku AB doplníme na konvexní úhel BAX. Na polopřímku naneseme pět jednotek (celkový počet dílů) a označíme je např. body 1, 2, 3, 4, A X B Koncový bod úsečky AB spojíme s posledním bodem 5 a bodem 3 (první člen poměru) vedeme s touto spojnicí rovnoběžku. Tato rovnoběžka určí na polopřímce bod X. Trojúhelníky AB5 a AX3 jsou podobné podle věty uu s koeficientem podobnosti. Pro poměr úseček AX a XB tedy platí stejný poměr jako pro úsečky A3 a 35 (tedy 3: 2) : : 3:2 Varianta A Varianta B Varianta C

54 54 Planimetrie Výsledek řešení: A X B Příklady k procvičení: 1) Danou úsečku AB rozdělte v poměru 3: A X B

55 Planimetrie 55 2) Danou úsečku AB rozdělte v poměru 6: A X B 3) Danou úsečku AB rozdělte v poměru 1: 2: A X Y B

56 56 Planimetrie 4) Danou úsečku AB rozdělte v poměru 1: 2: 3: A X Y Z B

57 Planimetrie 57 Mnohoúhelníky Základní pojmy Definice: Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čárou se nazývá mnohoúhelník. Délka lomené čáry ohraničující mnohoúhelník se nazývá obvod mnohoúhelníku. Vrcholy lomené čáry se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Strany lomené čáry se nazývají strany mnohoúhelníku. Mnohoúhelníku o n vrcholech říkáme n-úhelník (pro 3 trojúhelník, pro 4 čtyřúhelník, ). Každý vrchol n-úhelníku má dva sousední vrcholy. Spojnice dvou nesousedních vrcholů mnohoúhelníku se nazývá úhlopříčka mnohoúhelníku. Věta: Počet úhlopříček v n-úhelníku je dán vztahem 3. Definice: Mnohoúhelník, který celý leží v jedné z polorovin určených kteroukoliv jeho stranou, se nazývá konvexní mnohoúhelník. Mnohoúhelník, který není konvexní, se nazývá nekonvexní mnohoúhelník.

58 58 Planimetrie Konvexní šestiúhelník Nekonvexní pětiúhelník E D D F E C B C A B A Definice: Každá taková polorovina, v níž daný konvexní mnohoúhelník leží, se nazývá opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku. Definice: Vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je průnik opěrných polorovin sousedních stran. Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je konvexní. Věta: Součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku jed dán vztahem Definice: Pravidelný n-úhelník je takový konvexní mnohoúhelník, jehož všechny vnitřní strany i úhly jsou shodné

59 Planimetrie 59 Pravidelný (rovnostranný) trojúhelník Pravidelný čtyřúhelník (čtverec) Pravidelný pětiúhelník Pravidelný šestiúhelník

60 60 Planimetrie Mnohoúhelníky Varianta A V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů 720? Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah: Odtud pro n dostáváme: V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů 720. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: V konvexním šestiúhelníku je součet vnitřních úhlů 720. Příklady k procvičení: 1) Určete součet vnitřních konvexního osmiúhelníku. [1080 ] 2) Určete součet vnitřních konvexního dvanáctiúhelníku. [1800 ] 3) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů 540? [v pětiúhelníku] 4) V jakém konvexním n-úhelníku je součet vnitřních úhlů 3240? [v dvacetiúhelníku]

61 Planimetrie 61 Mnohoúhelníky Varianta B Který konvexní n-úhelník má 35 úhlopříček? Pro počet úhlopříček u v konvexním n-úhelníku platí vztah: Odtud po dosazení dostáváme: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou postupně upravíme na anulovaný tvar , , , , ; 7 Jelikož řešením je počet úhlů mnohoúhelníku, je řešením dané úlohy pouze číslo 10. V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: V konvexním desetiúhelníku je 35 úhlopříček.

62 62 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Kolik úhlopříček má konvexní osmiúhelník? [20] 2) Kolik úhlopříček má konvexní šestnáctiúhelník? [104] 3) Který konvexní n-úhelník má 14 úhlopříček? [sedmiúhelník] 4) Který konvexní n-úhelník má 77 úhlopříček? [čtrnáctiúhelník]

63 Planimetrie 63 Mnohoúhelníky Varianta C Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost 165? Pro součet s vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku platí vztah: Jelikož se současně jedná o pravidelný n-úhelník, lze součet s vnitřních úhlů vyjádřit také vztahem: 165 Z výše uvedených dvou rovnic tedy vyplývá: Jedná se o lineární rovnici, kterou řešíme následujícím způsobem: :15 24 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 24

64 64 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost 160? [ 18] 2) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost 168? [ 30] 3) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném desetiúhelníku. [144 ] 4) Určete velikost vnitřních úhlů v pravidelném dvacetiúhelníku. [162 ]

65 Planimetrie 65 Čtyřúhelníky Základní pojmy Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin, na různoběžníky, lichoběžníky a rovnoběžníky. Definice: Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné. Definice: Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou rovnoběžné. Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník. Věta: Střední příčka lichoběžníku je spojnice středů jeho ramen. Je rovnoběžná s oběma základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. Definice: Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvě dvojice protilehlých stran jsou rovnoběžné. Podle velikosti úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na pravoúhlé (obdélník, čtverec) a kosoúhlé (kosodélník, kosočtverec). Podle délek stran dělíme rovnoběžníky na rovnostranné (čtverec, kosočtverec) a různostranné (obdélník, kosodélník).

66 66 Planimetrie Věta: a) Protější strany rovnoběžníku jsou shodné. b) Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné. c) Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a jejich společný střed je středem rovnoběžníku. Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový čtyřúhelník. Věta: Součet protějších úhlů tětivového čtyřúhelníku je 180. Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový čtyřúhelník. Věta: Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny. Definice: Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový čtyřúhelník. Definice: Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé a jedna z nich prochízí středem druhé.

67 Deltoid Planimetrie 67

68 68 Planimetrie Čtyřúhelníky Varianta A V lichoběžníku ABCD ( ) platí: 62 3 Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. Jelikož v daném lichoběžníku platí, je zřejmé, že součet úhlů, a, je vždy 180 (viz. souhlasné a vedlejší úhly). Pro velikost úhlu tedy platí: Pro úhly, pak platí následující soustava rovnic: Při řešení můžeme např. využít dosazovací metodu a z druhé rovnice dosadit do první za : Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 45 ; 135 ; 118 Příklady k procvičení: 1) V lichoběžníku ABCD ( ) platí: 48 4 Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [ 36 ; 144 ; 132 ]

69 Planimetrie 69 2) V lichoběžníku ABCD ( ) platí: 52 5 Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [ 30 ; 150 ; 128 ] 3) V lichoběžníku ABCD ( ) platí: 59 7 Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [ ; 121 ; ] 4) V lichoběžníku ABCD ( ) platí: 61 8 Vypočtěte velikosti zbylých vnitřních úhlů lichoběžníku. [ 20 ; 119 ; 160 ]

70 70 Planimetrie Čtyřúhelníky Varianta B V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí 42 20, Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. V tětivovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších vnitřních úhlů úhel přímý, platí tedy: Pro velikosti zbylých vnitřních úhlů tedy platí: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ; ] 2) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí 72 13, Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ; ] 3) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí 44 33, Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ; ] 4) V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platí , Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. [ ; ]

71 Planimetrie 71 Čtyřúhelníky Varianta C V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí 20 cm, 15 cm. Vypočtěte velikosti zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 80 cm. V tečnovém čtyřúhelníku je součet velikostí protějších stran shodný, platí tedy: Pro obvod čtyřúhelníku dále platí: Dostáváme tak soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými: Z první rovnice můžeme vyjádřit c: 5 Z tohoto vyjádření dosadíme do druhé rovnice: :2 25 Pro velikost strany c pak platí: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 20 cm; 25 cm

72 72 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí 23 mm, 13 mm. Vypočtěte velikosti zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 100 mm. [ 27 mm; 37 mm] 2) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí 3,8 m, 1,2 m. Vypočtěte velikosti zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 15,1 m. [ 3,75 m; 6,35 m] 3) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí 1,6 cm, 1,6 cm. Vypočtěte velikosti zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 11,6 cm. [ 4,2 cm; 4,2 cm] 4) V tečnovém čtyřúhelníku ABCD platí 21 mm, 9 mm. Vypočtěte velikosti zbývajících stran čtyřúhelníku, je-li obvod čtyřúhelníku 78 mm. [ 18 mm; 30 mm]

73 Planimetrie 73 Kružnice, kruh Základní pojmy Definice: Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k (S; r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Bod S se nazývá střed kružnice, číslo r je poloměr kružnice. Definice: Množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá kruh K (S; r). Bod S se nazývá střed kruhu, číslo r je poloměr kruhu. Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší (větší) než poloměr, tvoří vnitřní (vnější) oblast kruhu, popř. kružnice.

74 74 Planimetrie Definice: Úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Tětiva, která prochází středem, je průměr kružnice; značíme ho d. S k A B Věta: Pro vzájemnou polohu přímky a kružnice může nastat jedna z následujících možností: a) Přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka se v tomto případě nazývá vnější přímka kružnice. b) Přímka a kružnice mají jeden společný bod bod dotyku. Přímka se v tomto případě nazývá tečna kružnice. c) Přímka a kružnice mají dva společné body průsečíky. Přímka se v tomto případě nazývá sečna kružnice. a) b) c) k k B k P S P=T S P S P A p p p

75 Planimetrie 75 Věta: a) Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem tětivy AB. b) Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice. Věta: Pro vzájemnou polohu dvou kružnic ( ; ), ( ; ) může nastat jedna z následujících možností: a) 0 kružnice nazýváme soustředné b)

76 76 Planimetrie c) kružnice mají vnitřní dotyk d) kružnice mají dva společné body e) kružnice mají vnější dotyk

77 f) Planimetrie 77

78 78 Planimetrie Kružnice, kruh Varianta A Je dána kružnice ( ; 4 cm) a přímka p, pro kterou platí 6 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. Jelikož je vzdálenost přímky od středu kružnice větší, než je poloměr kružnice, je patrné, že přímka a kružnice nemají žádný společný bod. Přímka p je tedy vnější přímka kružnice k. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Přímka p je vnější přímka kružnice k. Příklady k procvičení: 1) Je dána kružnice ( ; 40 mm) a přímka p, pro kterou platí 0 mm. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je sečnou kružnice k.] 2) Je dána kružnice ( ; 2,4 dm) a přímka p, pro kterou platí 2,3 dm. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je sečnou kružnice k.] 3) Je dána kružnice ( ; 0,4 dm) a přímka p, pro kterou platí 4 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je tečnou kružnice k.] 4) Je dána kružnice ( ; 87 mm) a přímka p, pro kterou platí 10 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky p a kružnice k. [Přímka p je vnější přímka kružnice k.]

79 Planimetrie 79 Kružnice, kruh Varianta B Je dána kružnice ( ; 50 mm) a bod A, pro kterou platí 130 mm. Určete vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A. Z obrázku je patrné, že tečna vedená ke kružnici k z bodu A je kolmá na poloměr, tedy na úsečku ST. Pro daný pravoúhlý trojúhelník pak platí Pythagorova věta: Pro hledanou velikost úsečky AT pak platí: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

80 80 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Je dána kružnice ( ; 3 cm) a bod B, pro kterou platí 5 cm. Určete vzdálenost bodu B od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu B. [ ] 2) Je dána kružnice ( ; ) a bod C, pro kterou platí 26 cm. Vzdálenost bodu C od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu C je 24 cm. Určete poloměr kružnice k. [ ] 3) Je dána kružnice ( ; ) a bod D, pro kterou platí 20 mm. Vzdálenost bodu D od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu D je 16 mm. Určete poloměr kružnice k. [ ] 4) Je dána kružnice ( ; 18 cm) a bod A, pro kterou platí 30 cm. Určete vzdálenost bodu A od bodu dotyku tečny vedené ke kružnici k z bodu A. [ ]

81 Planimetrie 81 Kružnice, kruh Varianta C Jsou dány kružnice ( ; 50 mm) a ( ; 30 mm). Pro vzdálenost jejich středů platí 130 mm. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic. Abychom mohli rozhodnout o vzájemné poloze obou kružnic, určíme hodnoty následujících dvou výrazů: mm mm Platí tedy nerovnost: Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Kružnice nemají žádný společný bod a žádná z nich neleží uvnitř druhé.

82 82 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Jsou dány kružnice ( ; 50 mm) a ( ; 30 mm). Pro vzdálenost jejich středů platí 80 mm. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic. [Kružnice mají vnější dotyk.] 2) Jsou dány kružnice ( ; 50 mm) a ( ; 30 mm). Pro vzdálenost jejich středů platí 20 mm. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic. [Kružnice mají vnitřní dotyk.] 3) Jsou dány kružnice ( ; 2,3 cm) a ( ; 3,8 cm). Pro vzdálenost jejich středů platí 6 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic. [Kružnice mají dva společné body.] 4) Jsou dány kružnice ( ; 2,3 cm) a ( ; 3,8 cm). Pro vzdálenost jejich středů platí 1 cm. Rozhodněte o vzájemné poloze obou kružnic. [Kružnice nemají žádný společný bod a menší z nich leží uvnitř druhé.]

83 Planimetrie 83 Úhly v kružnici Základní pojmy Definice: Úhel nazýváme středový úhel příslušný k oblouku AB. K danému oblouku AB existuje jediný středový úhel. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu. Definice: Úhly,, nazýváme obvodové úhly příslušné k oblouku AB. K danému oblouku AB existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Oblouk AB vždy leží uvnitř tohoto úhlu. Věta: Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku.

84 84 Planimetrie Důsledky: a) Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné. b) Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. c) Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. d) Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý. Věta: (Thaletova) Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.

85 Planimetrie 85 Úhly v kružnici Varianta A Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. Celá situace je patrná z následujícího obrázku: Jelikož délka celé kružnice odpovídá středovému úhlu o velikosti 360, určíme velikost středového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice takto: Pro velikost obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku pak platí: 40 2 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 40

86 86 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [ 30 ] 2) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [ 135 ] 3) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [ 144 ] 4) Vypočtěte velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je délky kružnice. [ 105 ]

87 Planimetrie 87 Úhly v kružnici Varianta B V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BDE. Z obrázku je patrné, že k oblouku BD přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: 45 2 Z obrázku je patrné, že k oblouku DE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:

88 88 Planimetrie Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: 22,5 2 Z obrázku je patrné, že k oblouku BE přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: 2 112,5 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 22,5 ; 112,5 ; 45 Příklady k procvičení: 1) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BEG. [ 45 ; 67,5 ; 67,5 ] 2) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BFG. [ 22,5 ; 67,5 ; 90 ] 3) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BFH. [ 45 ; 45 ; 90 ] 4) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku BHA. [ 22,5 ; 22,5 ; 135 ]

89 Planimetrie 89 Úhly v kružnici Varianta C Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 10, 11. Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 11 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: 45 2 Z obrázku je patrné, že k oblouku 2, 10 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí:

90 90 Planimetrie Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: Z obrázku je patrné, že k oblouku 10, 11 přísluší středový úhel a z vlastností pravidelného osmiúhelníku vyplývá, že pro jeho velikost platí: Úhel je pak obvodovým úhlem k témuž oblouku a pro jeho velikost tedy platí: 2 15 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 45 ; 15 ; 120 Příklady k procvičení: 1) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 5, 7. [ 105 ; 30 ; 45 ] 2) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 4, 7, 12. [ 75 ; 45 ; 60 ] 3) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 2, 3, 7. [ 105 ; 60 ; 15 ] 4) Na hodinovém ciferníku vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku tvořeného vrcholy 1, 7, 12. [ 75 ; 90 ; 15 ]

91 Planimetrie 91 Obvody a obsahy rovinných obrazců Základní pojmy Útvar Obrázek Obvod a obsah Trojúhelník obvod: obsah: 2 2 2, kde (Herónův vzorec) Čtverec obvod: obsah: Obdélník Kosočtverec obvod: obsah: obvod: obsah:

92 92 Planimetrie Útvar Obrázek Obvod a obsah Kosodélník obvod: obsah: Lichoběžník obvod: obsah: Kružnice, kruh obvod: obsah: Mezikruží obsah:

93 Planimetrie 93 Věta: Je-li a délka strany pravidelného n-úhelníku, pak platí:, kde je poloměr kružnice vepsané danému n-úhelníku. Věta: Délku l kruhového oblouku AB příslušného ke středovému úhlu v kružnici s poloměrem r lze vyjádřit takto: a), je-li úhel vyjádřený ve stupních, b), je-li úhel vyjádřený v radiánech.

94 94 Planimetrie Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta A Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 10,8 cm 2 a obvod 13,8 cm. 10,8 cm 13,8 cm?? Pro obsah obdélníku platí: a pro obvod: 2 Po dosazení tedy dostáváme následující soustavu rovnic:: 10,8 2 13,8 Soustavu řešíme např. dosazovací metodou tak, že z první rovnice vyjádříme neznámou a a dosadíme do druhé rovnice: 10,8 2 10,8 13,8 :2 10,8 6,9 10,8 6,9 6,9 6,9 10,8 0 Obdrželi jsme kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce:, 6,9 6,9 4 10,8 2 6,9 2,1, 2 4,5 cm; 2,4 cm Dosazením do rovnice pak pro hodnoty neznámé a dostáváme:

95 Planimetrie 95 2,4 cm; 4,5 cm Srovnáním obou výsledků vidíme, že řešením je jediný obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Řešením je obdélník se stranami délky 2,4 cm a 4,5 cm. Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 2340,8 mm 2 a obvod 253,8 mm. [Řešením je obdélník se stranami délky 22,4 mm a 104,5 mm.] 2) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 0,651 m 2 a obvod 3,94 m. [Řešením je obdélník se stranami délky 0,42 m a 1,55 m.] 3) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 204,6 cm 2 a obvod 57,8 cm. [Řešením je obdélník se stranami délky 12,4 cm a 16,5 cm.] 4) Vypočtěte délky stran obdélníku, jehož obsah je 4,9 dm 2 a obvod 9,8 dm. [Řešením je obdélník se stranami délky 1,4 dm a 3,5 dm.]

96 96 Planimetrie Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta B Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 12 cm středovému úhlu o velikosti 126. Pro délku kruhového oblouku příslušného na kružnici o poloměru r středovému úhlu vyjádřeného ve stupních platí vztah: ,39 cm 180 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 26,39 cm Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 1,12 m středovému úhlu o velikosti 56. [ 1,09 m] 2) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 12,12 dm středovému úhlu o velikosti 96. [ 10,15 dm] 3) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o poloměru 233 mm středovému úhlu o velikosti 1,2 rad. [ 279,6 mm] 4) Vypočtěte délku kruhového oblouku AB příslušného na kružnici o průměru 68 cm středovému úhlu o velikosti rad. [ 71,21 cm]

97 Planimetrie 97 Obvody a obsahy rovinných obrazců Varianta C Vypočtěte obsah mezikruží, jeho ž menší poloměr má délku 12 cm a větší poloměr má třikrát větší délku. 12 cm cm? Pro obsah mezikruží platí vztah:, Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:, Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte poloměr kružnice vepsané pravidelnému šestiúhelníku s obsahem 1500 mm 2 a délkou strany 16 mm. [ 31,25 mm] 2) Vypočtěte obsah trojúhelníku, jehož strany mají délky 20 cm, 16 cm a 28 cm. [, ] 3) Určete poloměr kruhového hřiště, které musí žáci oběhnout pětkrát, aby uběhli 1500 m. [, ] 4) Vypočtěte obsah kruhu, jehož obvod je roven součtu obvodů tří kruhů s poloměry 1 cm, 2 cm a 3 cm. [, ]

98 98 Planimetrie Euklidovy věty, věta Pythagorova Základní pojmy Věta: V každém pravoúhlém trojúhelníku s přeponou c a odvěsnami a, b platí: a) - Euklidova věta o výšce b) - Euklidova věta o odvěsně c) - Euklidova věta o odvěsně d) - Pythagorova věta Věta: (obrácená Pythagorova) Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah, je tento trojúhelník pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram 4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými

Více

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

GEODETICKÉ VÝPOČTY I. SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

Syntetická geometrie II

Syntetická geometrie II Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Obrázek 13: Plán starověké Alexandrie,

Obrázek 13: Plán starověké Alexandrie, 4 Geometrické útvary v rovině Obrázek 13: Plán starověké Alexandrie, https://commons.wikimedia.org Jestliže rovinu chápeme jako množinu bodů, potom uvažované geometrické útvary jsou jejími podmnožinami.

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia utoři projektu Student na prahu 21. století - využití IT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTIE

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem Číselné obory 1. Přirozená čísla vyjadřují počet. 1,2,3, 2. Celá čísla Kladná: nula Záporná: Kladná + nula = nezáporná čísla Celá čísla = přirozená + nula + záporná celá 3. Racionální čísla = celá čísla

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +

Více

Geometrie v rovině 2

Geometrie v rovině 2 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

ARITMETIKA - TERCIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - TERCIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - TERCIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

3 Geometrie ve škole. krychle a její obrázek, koule a její stín, průměty trojrozměrného útvaru do roviny

3 Geometrie ve škole. krychle a její obrázek, koule a její stín, průměty trojrozměrného útvaru do roviny 3 Geometrie ve škole Geometrie by měla být od samého začátku orientována na poznávání prostoru, v němž žák žije, a na rozvíjení představivosti. Základem zde mohou být zkušenosti s dělením prostoru, s vyplňováním

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více

Obrázek 101: Podobné útvary

Obrázek 101: Podobné útvary 14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více