Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Transkript

1 Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy. Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

2 KAPITOLA : Funkce - úvod reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R zobrazení množiny A R do množiny reálných čísel R funkční hodnota... y = f (x) (x argument) definiční obor... D(f ) (= A); obor hodnot... H(f ) = { y R y = f (x) pro nějaké x A } D(g) = A 1 A = D(f ), f (x) = g(x) x D(g)... {... g zúžení funkce f ( (z A ) na A 1 ) f rozšíření funkce g ( (z A 1 ) na A )

3 Příklady: 1) D(f ) = N... posloupnost ) f (x) = a ( R)... D(f ) = R... konstantní funkce 3) f (x) = sin x... D(f ) = R; g(x) = sin x, x π, π... D(g) = π, π g zúžení funkce f, f rozšíření funkce g 4) f (x) = sgn x = 1 pro x < 0 0 pro x = 0 1 pro x > 0... signum ( znaménko )

4 graf funkce f... { (x, f (x)) x D(f )} Příklady: 1) f (x) = x (x 0 : f (x) = x; x 0 : f (x) = x) f (x) = x y = x y = x 1 ) f (x) = sgn x 1

5 3) f (x) = [x] f g na M... M D(f ) D(g) a f (x) g(x) x M (analogicky ostatní nerovnosti)

6 Operace s funkcemi h h(x) D(h) součet f + g f (x) + g(x) D(f ) D(g) rozdíl f g f (x) g(x) D(f ) D(g) součin f g f (x) g(x) D(f ) D(g) podíl f g f (x) g(x) (D(f ) D(g)) \{x g(x) = 0 } násobek a f a f (x) D(f ) ( a R )

7 složená funkce... h = g f... h(x) = g(f (x)) (musí platit H(f ) D(g)) f vnitřní funkce, g vnější funkce vliv skládání na změnu grafu funkce... viz skripta [JT-DIP] str. 8 (30), Věta 3.31

8 .1 Vlastnosti funkcí prostá funkce... f (x 1 ) f (x ) pro x 1 x ( tj. f (x 1 ) = f (x ) x 1 = x ) inverzní funkce... f 1 (x) = y f (y) = x D(f 1 ) = H(f ) ( f musí být prostá )

9 Definice: Řekneme, že funkce f je zdola omezená na množině A D(f ), jestliže existuje L R tak, že pro všechna x A platí: L f (x). Řekneme, že funkce f je shora omezená na množině A D(f ), jestliže existuje K R tak, že pro všechna x A platí: f (x) K.

10 Definice: Řekneme, že funkce f je omezená na množině A D(f ), jestliže existuje S R tak, že pro všechna x A platí: f (x) S. Funkce je omezená na A, právě když je na A omezená zdola i shora. Funkce je omezená právě tehdy, když je její obor hodnot omezená množina (analogicky funkce omezené z jedné strany). Poznámka: Je-li A = D(f ), vynecháváme v názvu: na množině A. (Podobně i u dalších pojmů.) Příklad.1: Funkce f (x) = 1 x + 1 je omezená.

11 Definice: Řekneme, že funkce f je na množině A D(f ) neklesající ( nerostoucí ), jestliže f (x 1 ) f (x ) ( f (x 1 ) f (x ) ) x 1, x A, x 1 < x, rostoucí ( klesající ), jestliže f (x 1 ) < f (x ) ( f (x 1 ) > f (x ) ) x 1, x A, x 1 < x, monotonní, je-li na A neklesající nebo nerostoucí, ryze monotonní, je-li na A rostoucí nebo klesající. rostoucí ( f (x 1 ) f (x ) ) (x 1 x ) > 0 x 1, x A, x 1 x klesající ( f (x 1 ) f (x ) ) (x 1 x ) < 0 x 1, x A, x 1 x (podobně pro nerostoucí a neklesající)

12 Platí: Je-li funkce f ryze monotonní na D(f ), pak je prostá a existuje f 1. Funkce f 1 má stejný typ monotonie jako f. Příklady: 1) f (x) = [x]... neklesající na D(f ) = R, rostoucí např. na Z nebo na { 1 + k k Z} ) f (x) = 1 ; x D(f ) = (, 0) (0, )... klesající na (, 0) a na (0, ) není ale klesající na celém D(f ) Poznámka: Budeme-li dále mluvit o intervalech, nebudeme brát v úvahu intervaly jednobodové ( tj. intervaly typu a, a ).

13 Definice: Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x D(f ), b) f ( x) = f (x). Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x D(f ), b) f ( x) = f (x). sudá sudá = lichá lichá = sudá sudá lichá = lichá sudá = lichá

14 Definice: Řekneme, že funkce f je periodická s periodou T > 0, jestliže pro každé x D(f ) platí a) x ± T D(f ), b) f (x + T ) = f (x) ( = f (x T ) ). T je perioda, k N k T je perioda základní perioda... nejmenší perioda (pokud existuje) - nemají ji např.: konstantní funkce Dirichletova funkce: f (x) = 1 f (x) = 0 pro x Q pro x Q

15 . Posloupnosti posloupnost reálných čísel zobrazení množiny přirozených čísel do mn. reálných čísel n -tý člen posloupnosti... hodnota zobrazení v bodě n N (Analogicky lze definovat i posloupnost komplexních čísel.) Značení: členy posloupnosti... a n, b n apod. posloupnost... (a n ) n=1, (a n) n N, (a 1, a, a 3,... ) ( často také : {a n } n=1 apod. )

16 Obecněji: Množinu N nahradíme množinou N 0 nebo { k, k + 1, k +,... }, k N ( k Z ) apod. Platí: Posloupnost (a n ) n=1 n N platí je rostoucí právě tehdy, když pro každé a n+1 > a n neboli a n+1 a n > 0. (Analogicky pro další typy monotonie.)

17 Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 je omezená ( shora omezená zdola omezená ), jestliže je množina jejích členů omezená ( shora omezená zdola omezená ), tj. jestliže existuje K R takové, že a n K ( a n K K a n ) pro všechna n N. Poznámka : Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora i zdola. Poznámka : Na omezenost či neomezenost posloupnosti nemá vliv změna konečně mnoha jejích členů.

18 Definice : Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 jestliže je neklesající ( nerostoucí ), a n+1 a n ( a n+1 a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme monotonní, je-li neklesající nebo nerostoucí. Řekneme, že posloupnost (a n ) n=1 je rostoucí ( klesající ), jestliže a n+1 > a n ( a n+1 < a n ) pro každé n N. Posloupnost nazveme ryze monotonní, je-li rostoucí nebo klesající.

19 Poznámka: Pro posloupnost a n = 8(n 1)(n )(n 3) + 7n platí ( a n+1 a n = 4 n 3 ) + 1 > 0 n N, tedy je rostoucí. Pro funkci f (x) = 8(x 1)(x )(x 3) + 7x stejně platí ( f (x + 1) f (x) = 4 x 3 ) + 1 > 0 x D(f ) = R. Funkce f přesto není rostoucí. Máme totiž např > a zároveň f ( 11 5 ) = < 14 = f (). Při zkoumání monotonie funkce tedy nestačí porovnat její hodnoty v bodech x a x + 1.

20 Speciální případy posloupností konstantní posloupnost: a n = A R pro každé n N aritmetická posloupnost dáno a 1 R, d R ( d diference ) a n+1 = a n + d pro n N ( rekurentní zadání ), tj. a n = a 1 + (n 1) d pro n N ( zadání vzorcem pro n -tý člen ) Platí: a 1 + a a n = s n = (a 1 + a n ) n = (a 1 + (n 1) d) n

21 geometrická posloupnost dáno a 1 R, q R ( q kvocient ) a n+1 = a n q pro n N, tj. a n = a 1 q n 1 pro n N ( pokládáme tu q 0 = 1 pro každé q R ) Platí: a 1 + a a n = s n = a 1 1 qn 1 q pro q 1

22 geometrická posloupnost dáno a 1 R, q R ( q kvocient ) a n+1 = a n q pro n N, tj. a n = a 1 q n 1 pro n N ( pokládáme tu q 0 = 1 pro každé q R ) Platí: a 1 + a a n = s n = a 1 1 qn 1 q pro q 1 a 1 + a a n = s n = n a 1 pro q = 1

23 .3 Elementární funkce podrobně viz skripta [JT-DIP] strany (3-4) ( je potřeba znát dobře grafy! )

24 1. Mocnina. Funkce x α, a x, log a x A) OBECNÁ MOCNINA f (x) = x α... α R pevné pro α racionální: D(f ) a H(f ) závisí na α, vždy (0, ) D(f ), a pro α 0 také (0, ) H(f ) pro α iracionální: D(f ) = (0, ), H(f ) = (0, )

25 B) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE ( o základu a ) f (x) = a x... a > 0 pevné D(f ) = R, H(f ) = (0, ) pro a 1, H(f ) = {1} pro a = 1 speciálně pro a = e ( Eulerovo číslo ) značíme e x = exp(x)... exponenciální funkce ( e =., 718, definuje se předpisem e = lim n (1 + 1 n )n )

26 C) LOGARITMICKÁ FUNKCE ( o základu a ) ( inverzní funkce k exponenciální funkci ) log a x = y a y = x... a > 0, a 1 pevné D(f ) = (0, ), H(f ) = R speciálně pro a = e značíme log e x = ln x... přirozený logaritmus

27 y a > 1 1 x 0 < a < 1 graf funkce f (x) = log a x

28 Vlastnosti logaritmů ( a, b > 0, a, b 1 ; x, y > 0 ; r R ): ( ) 1 log a = log x a x log a ( x y ) = log a x + log a y ( ) x log a y = log a x log a y log a x r = r log a x log a x = log b x log b a, speciálně: log a x = ln x ln a Platí: a x = e x ln a pro a > 0, x R ( protože e x ln a = e ln ax a funkce ln x je inverzní funkce k e x )

29 . Goniometrické a cyklometrické funkce A) GONIOMETRICKÉ FUNKCE sin x... D(f ) = R, H(f ) = 1, 1, lichá, π-periodická cos x... D(f ) = R, H(f ) = 1, 1, sudá, π-periodická tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x... D(f ) = k Z( π + kπ, π + kπ), lichá, π-periodická... D(f ) = k Z(kπ, (k + 1)π), lichá, π-periodická

30 y 1 3π π π π π 3π 1 cos x sin x x grafy funkcí sin x a cos x

31 y tg x π π 0 π π cotg x x grafy funkcí tg x a cotg x

32 Vybrané vlastnosti funkcí sin x a cos x : sin x = cos (x π ) cos x = sin (x + π ) sin x + cos x = 1 sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x sin x = 1 (1 cos x) cos x = 1 (1 + cos x)

33 sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y sin x y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y

34 Základní hodnoty goniometrických funkcí 0 π 6 π 4 π 3 π 3π 4 π 5π 4 3π 7π 4 sin x cos x tg x cotg x

35 CYKLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní ke goniometrickým zúženým na vhodný interval ) f D(f ) H(f ) f 1 D(f 1 ) H(f 1 ) sin x π, π 1, 1 arcsin x 1, 1 π, π cos x 0, π 1, 1 arccos x 1, 1 0, π tg x ( π, π ) R arctg x R ( π, π ) cotg x ( 0, π ) R arccotg x R ( 0, π )

36 Poznámka: Cyklometrické funkce nejsou inverzními funkcemi ke goniometrickým funkcím jako takovým, ale jen k jejich zúžením na určitý interval. Máme arcsin(sin 0) = arcsin 0 = 0, ale arcsin(sin(π)) = arcsin 0 = 0 π, ( ( 3 )) arcsin sin π = arcsin( 1) = π 3 π. Pro funkci arctg platí: x ( π + kπ, π + kπ), k Z = x = arctg (tg x) + kπ.

37 y π π arcsin x arccos x x 1 1 π grafy funkcí arcsin x a arccos x

38 y π π arctg x π 4 1 arccotg x x π grafy funkcí arctg x a arccotg x

39 HYPERBOLICKÉ FUNKCE f D(f ) H(f ) sinh x = ex e x R R cosh x = ex + e x R 1, ) tgh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x R ( 1, 1 ) cotgh x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x R \ { 0 } (, 1 ) ( 1 )

40 y cosh x sinh x y cotgh x 1 x 1 tgh x 1 grafy hyperbolických funkcí

41 Vybrané vlastnosti funkcí sinh x a cosh x : sinh x < cosh x cosh x sinh x = 1 sinh x = sinh x cosh x cosh x = cosh x + sinh x

42 HYPERBOLOMETRICKÉ FUNKCE ( inverzní k hyperbolickým, případně zúženým na vhodný interval ) f D(f ) H(f ) f 1 D(f 1 ) H(f 1 ) sinh x R R argsinh x R R cosh x 0, ) 1, ) argcosh x 1, ) 0, ) tgh x R ( 1, 1 ) argtgh x ( 1, 1 ) R cotgh x R \ { 0 } R \ 1, 1 argcotgh x R \ 1, 1 R \ { 0 }

43 y cosh x sinh x y argtgh x 1 x 1 1 argcotgh x x grafy hyperbolometrických funkcí

44 Vyjádření hyperbolometrických funkcí pomocí logaritmů argsinh x = ln(x + x + 1 ), x R argcosh x = ln(x + x 1 ), x 1, ) argtgh x = 1 ( ) 1 + x ln, x ( 1, 1) 1 x ( viz Příklad. ) argcotgh x = 1 ( ) 1 + x ln, x (, 1) (1, ) x 1

45 Příklad.: Pro x < 1 vyjádřete argtgh x pomocí logaritmické funkce. Řešení: Označíme y = argtgh x. Pak x = tgh y = ey e y e y + e y. Po rozšíření zlomku výrazem e y postupně dostáváme x = ey 1 e y + 1

46 ( e y + 1)x = e y 1 (x 1) e y = 1 x e y = 1 x x 1 Tedy e y = 1 + x 1 x ( 1 + x ) y = ln. 1 x argtgh x = 1 ( 1 + x ) ln. 1 x