Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Transkript

1 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací) funkce v bodě c aznačímef (c) nebo d2 f(c) ( d 2 f d 2 )=c. d 2, Poznámka 1. Analogicky jako f (c) definujeme derivace vyšších řádů f (c), f IV (c),..., f (n) (c), n N, tj.derivace n-tého řádu (n-tá derivace) funkce v bodě c je ita (pokud eistuje) f (n) f (n 1) () f (n 1) (c) (c) =. (9.1) c c Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní inde v závorce f (5), f (6),... Poznámka 2. Je-li derivace vyššího řádu funkce definovaná na nějaké množině M D(f), je tato derivace reálnou funkcí jedné reálné proměnné na M. Např. =sin, R: f () =cos, f () = sin, f () = cos, f (4) () =sin, f (5) () =cos,..., f (n) =sin( + n π ),n N l Hospitalovo pravidlo Věta 1 (l Hospitalovo pravidlo). Nechť c R a nechť funkce a g() mají vlastní derivaci na nějakém redukovaném okolí bodu c. Nechťjebuď (i) nebo (ii) f Nechť dále eistuje () c g () aplatí c = c g() =0, c = c g() =+. (vlastní nebo nevlastní ). Pak eistuje i c g() c g() = f () c g ().

2 sin Příklad 1. Vypočtěte itu 0. Řešení: Zkusíme-li dosadit za nulu, dostaneme výraz typu 0. Použijeme-li 0 l Hospitalovo pravidlo, máme Poznámka. 1) Jestliže neeistuje ale naopak, Např. 1+cos 1 cos f () c g () c g() +sin sin sin 0 = cos 0 1 =1., tak to neznamená, že neeistuje také, c g() může eistovat, je třeba ji vypočítat jiným způsobem. + je typu a použitím l Hospitalova pravidla dostaneme + a tato ita zřejmě neeistuje. Algebraickou úpravou získáváme +sin sin = 1+ sin 1 sin f To znamená, že z neeistence () c g () =1. neplyne nic pro eistenci. c g() 2) L Hospitalovo pravidlo používáme pro výpočet it typu nebo 0.Pokudi 0 f () je takovým neurčitým výrazem, můžeme znovu použít l Hospitalovo c g () pravidlo. Pak f () l H f () = c g () c g (), jestliže eistuje. Takto bychom případně mohli postupovat dále. f () c g () Ostatní neurčité výrazy, tj. typy 0 (± ), +,(+ ) 0,0 0,1 (± ), můžeme vždy převést na typ nebo 0 0,astejnětaktyp lze převést na typ 0 0 nebo obráceně, protože někdy bývá tvar f () g () derivování nevede k cíli. Např. vypočítejte Limita ( cos 1 ) 2 mnohem složitější než g() (cos 1 )2. adalší je typu 1 (+ ).Úpravou ( cos 1 ) 2 = e 2 ln cos 1 se dostáváme k výpočtu ity 2 ln cos 1 typu (+ ) 0. Tuto itu můžeme převést na tvar 2 (ln cos 1, ) 1 4

3 cožjetyp + nebo ln cos typu 0. Kdybychom počítali pomocí l Hospitalova pravidla itu 0 2 (ln cos 1 ) 1 l H = 2 (ln cos 1 )2 cos 1 sin 1, tak dostaneme výraz značně složitější. Budeme tedy počítat itu ln cos Substitucí y = 1 ji převedeme na itu ln cos y y 0+ y 2 l H = y 0+ 1 ( sin y) cos y = 1 2y 2, takže ( cos 1 ) 2 = 1. e 9. Výpočet přibližné hodnoty funkce Definice derivace v bodě a je f f(b) f(a) (a) =. b a b a Není-li od a příliš vzdáleno, můžeme předpokládat, že f (a) f(b) f(a), b a odkud nebo jinak Δf f (a) Δ. f(b) f(a)+f (a)(b a), ( ) Příklad 2. Vypočtěme přibližně číslo 8,0. Řešení: Použijeme přibližný vzorec ( ) pro funkci =, f(8,0) f(8) + f (8)(8,0 8), 5

4 tedy 8, ,0. 2 (Volbu a = 8 provádíme tak, abychom mohli snadno vypočítat funkční hodnotu f(a) a aby diference (b a) byla malé číslo.) Dostáváme tak 8, ,0 = 2 + 0,0025 = 2, Příklad. O kolik se přibližně změní objem koule o poloměru r 0 zmenší-li se její poloměr o 1 mm? = 2 dm, Řešení: Pro objem V koule o poloměru r>0platívzorecv = 4 πr.objemv je tedy funkcí proměnné r s definičním oborem R +. Změna (diference) objemu V o poloměru r 0 je přibližně rovna ΔV =4πr 2 0Δr, přičemž Δr = 1 mm= 0,01 dm. ΔV =4π2 2 ( 0, 01) = 0, 16π. = 0,5027. Objem koule se zmenší přibližně o 0,5027 dm. 9.4 Monotónnost funkce a lokální etrémy Věta 2. Nechť funkce má derivaci na intervalu J (v krajních bodech, které do J patří, se jedná o příslušné jednostranné derivace). Pak platí 1) je-li f () > 0 pro každé J, pak je rostoucí na J, 2) je-li f () < 0 pro každé J, pak je klesající na J. Poznámka 4. Věta neplatí obráceně, je-li funkce rostoucí na J, nemusí být f () > 0naJ,např. = je rostoucí na R a její derivace f () = 2 je kladná jen pro 0,f (0) = 0. Definice 2. Řekneme, že funkce mávbodě 0 D(f) lokální maimum, jestliže eistuje redukované okolí P( 0 ) D(f) tak,žepro P( 0 )platí f( 0 ). Řekneme, že funkce mávbodě 0 D(f) lokální minimum, jestliže eistuje redukované okolí P( 0 ) D(f) tak,žepro P( 0 )platí f( 0 ). Platí-li místo neostrých nerovností ostré nerovnosti, mluvíme o ostrém lokálním maimu, resp.ostrém lokálním minimu. Lokální maima a lokální minima se souhrně nazývají lokální etrémy, ostrá lokální maima a ostrá lokální minima ostré lokální etrémy. Poznámka 5. V definici 2 je nevynechatelné eistuje okolí P( 0 ), protože má-li např. funkce vbodě 0 D(f) lokální maimum, nemusí nerovnost f( 0 )platitnakaždémp( 0 ), 6

5 0 δ δ 0 + δ 0 + δ 1 Obr. 1: Lokální etrémy. například f( 0 )pro P δ ( 0 ), ale tato nerovnost už není splněna pro P δ1 ( 0 ). Věta (nutná podmínka eistence lokálního etrému). Nechť funkce má v bodě 0 D(f) lokální etrém a nechť eistuje f ( 0 ).Pakf ( 0 )=0. Poznámka 6. Geometrický význam věty je tento: V bodě ( 0,f( 0 )) eistuje ke grafu funkce tečna, která je rovnoběžná s osou (její směrnice je rovna nule), viz obr. 1. Definice. Nechť mávbodě 0 D(f) derivaci a platí f ( 0 )=0.Pak bod 0 nazýváme stacionární bod funkce. Poznámka 7. Je-li bod 0 D(f) stacionárním bodem funkce, pak v něm nemusí mít funkce lokální etrém, např. =, f (0) = 0, a funkce je v bodě 0 rostoucí. Věta 4 (postačující podmínka eistence lokálního etrému). Nechť funkce je spojitá v bodě 0 D(f) a nechť eistuje redukované okolí P( 0 ) D(f) tak, že má pro každé P( 0 ) vlastní nebo nevlastní derivaci f (). Pak platí: 1. eistuje-li δ>0tak, že pro ( 0 δ, 0 ) je f () > 0 apro ( 0, 0 +δ) je f () < 0, pak má v bodě 0 ostré lokální maimum, 2. eistuje-li δ>0tak, že pro ( 0 δ, 0 ) je f () < 0 apro ( 0, 0 +δ) je f () > 0, pak má v bodě 0 ostré lokální minimum. Poznámka 8. 1) Funkce může mít nebo nemusí mít derivaci v bodě 0. Předpokladem je pouze spojitost vbodě 0.Např. = nemá derivaci v bodě 0 a má tam ostré lokální minimum. Je totiž spojitá v bodě 0 a pro <0je f () = 1 < 0apro>0jef () =1> 0. 7

6 y y = P ΠObr. 2: Graf funkce y =. Ovšem v případě, že f ( 0 )eistuje,jenutněf ( 0 )=0. 2) Funkce může mít tedy lokální etrém pouze v bodech, ve kterých je derivace f () rovna nule nebo ve kterých derivace f () neeistuje. Věta 5 (postačující podmínka eistence lokálního etrému). Nechť funkce má v bodě 0 D(f) první derivaci f ( 0 )=0a vlastní nebo nevlastní druhou derivaci f ( 0 ) 0.Pak má v bodě 0 ostrý lokální etrém, a to ostré lokální minimum pro f ( 0 ) > 0 a ostré lokální maimum pro f ( 0 ) < 0. Poznámka 9. Větu 5 nelze použít v případech, kdy f ( 0 )=0af ( 0 ) neeistuje nebo f ( 0 )=0af ( 0 )=0.Např. 1) Pro funkci = 4 platí, že f (0) = 0, f (0) = 0, a protože 4 > 0pro 0, má funkce 4 v bodě 0 ostré lokální minimum. 2) Pro funkci = platí, že f (0) = 0, f (0) = 0, a protože > 0pro >0, < 0pro<0, nemá funkce v bodě 0 lokální etrém. V těchto případech rozhodneme o eistenci etrému buď podle definice nebo podle znaménka derivace na levém a pravém redukovaném okolí bodu 0. Příklad 4. Najděte intervaly, na kterých je funkce = 2 ln 2 rostoucí, resp. klesající. Řešení: Nejprve určíme definiční obor D(f) =R \{0}; nad(f) nalezneme f () f () = =22 a určíme stacionární body f () =0 2 1=0 = 1 =1. Znaménko derivace budeme tedy vyšetřovat na intervalech, na které rozdělí reálnou osu čísla 1, 1, 0 (musíme započítat i 0, kde je bod nespojitosti) (, 1), ( 1, 0), (0, 1), (1, + ). Pro ( 1, 0) a (1, + ) jef () > 0apro (, 1) a (0, 1) je f () < 0, tedy 8

7 jerostoucínaintervalech( 1, 0) a (1, + ), je klesající na intervalech (, 1) a (0, 1). To ale také znamená, že funkce má v 1 i 1 lokální minimum. (Ověřte pomocí druhé derivace.) Příklad 5. Najděte lokální etrémy funkce = 4 ( +1). Řešení: Nejprve určíme definiční obor D(f) =R\{ 1};naD(f) nalezneme f () f () = 4 ( +1) ( +1) 2 4 = ( +4) ( +1) 6 ( +1). 4 Definiční obor funkce i její derivace je stejný, D(f )=R\{ 1}, takže má ve všech bodech D(f) derivaci. Najdeme stacionární body: f () =0 ( +4)=0 =0 = 4. K rozhodnutí o lokálních etrémech zkusíme použít větu 5, nalezneme tedy druhou derivaci f (): f () = (2 ( +4)+ )( +1) 4 4( +1) ( +4) = ( +1) 8 = ( )( +1) 4 ( +4) = 122 ( +1) 5 ( +1). 5 Určíme hodnotu druhé derivace f () ve stacionárních bodech: f (0) = 0 a f ( 4) = 4 < 0. Funkce má v bodě = 4 ostré lokální maimum. Lokální etrém v bodě = 0 určíme z chování funkce v jeho okolí, tj. na intervalech 4 ( δ, 0) a (0,δ), kde 0 <δ<4. Pro ( δ, 0) je f () < 0, funkce klesá, a pro (0,δ)jef () > 0, funkce roste. V bodě = 0 má tedy funkce ostré lokální minimum. 9.5 ΠFunkce konvení a konkávní ± a 1 2 b a 1 2 b Obr. : Funkce konvení a konkávní. 9

8 Definice 4. Říkáme, že funkce je konvení (konkávní) na intervalu J D(f), jestliže pro každé tři body 1, 2, J, 1 < 2 <,platí,žebodp 2 = ( 2,f( 2 )) leží buď pod (nad) spojnicí bodů P 1 =( 1,f( 1 )), P =(,f( )) nebo na ní. Platí-li, že bod P Ω 2 leží pod (nad) přímkou ffspojující body P 1 a P, pak se funkce nazývá ryze konvení (ryze konkávní) na intervalu J. Poznámka 10. 1) Následující grafy funkcí ilustrují některé výše uvedené vlastnosti na a, b Φ Ψ a b a b a b ryze konvení konvení konvení i konkávní a b a b není konvení není konvení 2) Je zřejmé, že funkce je (ryze) konkávní, právě když funkce je (ryze) konvení. Proto se dále můžeme omezit jen na studium funkcí konveních, resp. ryze konveních, na J. Věta 6. Nechť funkce je spojitá na intervalu J D(f) a má v každém bodě J vlastní nebo nevlastní druhou derivaci. Pak platí 1. je konvení na J, právě když f () 0 pro každé J, 2. je-li f () > 0 pro každé J, pak je ryze konvení na J. Analogicky: Funkce je konkávní na J, právě když f () 0 pro každé J.Je-lif () < 0 pro každé J, pak je ryze konkávní na J. 9.6 Inflení body Nechť funkce mávbodě 0 D(f) derivaci. Říkáme pak, že funkce má v bodě 0 inflei, jestliže se v tomto bodě mění funkce ryze konvení na funkci ryze konkávní nebo naopak. Bod ( 0,f( 0 )) se nazývá inflením bodem funkce (nebo grafu funkce f). 10

9 flobr. 6 ffi ffl Obr. 4: Inflení body. Poznámka 11. Sestrojíme-li v inflením bodě ( 0,f( 0 )) tečnu ke grafu funkce, pak graf funkce leží pro P ( 0 ) nad tečnou a pro P + ( 0 )pod tečnou nebo naopak. Protože v inflením bodě eistuje tečna ke grafu, nemůže nastat situace jako na následujících obrázcích. Obr. 5: Mezi oblouky není inflení bod. V bodě, ve kterém má funkce inflei a je spojitá, může být derivace i nevlastní. Např. =, f (0) = +. y P Bod P =( 0,f( 0 )) je inflení bod, i když někdy se požaduje vlastní derivace v inflením bodě a pak by tento bod za inflení nebyl považován. V literatuře není definice inflee jednotná. Věta 7 (nutná podmínka eistence inflee). Nechť funkce má v bodě 0 D(f) inflei a nechť eistuje vlastní nebo nevlastní f ( 0 ).Pakf ( 0 )=0. 11

10 Věta 8 (postačující podmínka eistence inflee). Zjednodušeně řečeno: Mění-li f () při průchodu bodem 0 znaménko, má v bodě 0 inflei, nemění-li f () znaménko, nemá v bodě 0 inflei. Poznámka 12. Body, ve kterých může nastat inflee, jsou tedy pouze body, které získáme řešením rovnice f () = 0 nebo ve kterých eistuje derivace 1. řádu a neeistuje derivace 2. řádu. Dále musíme o eistenci inflee rozhodnout podle některé z postačujících podmínek pro eistenci inflee Věta 9 (postačující podmínka eistence inflee). Nechť funkce má v bodě 0 D(f) derivaci 2. řádu f ( 0 )=0a vlastní nebo nevlastní f ( 0 ) 0.Pak má v bodě 0 inflei. Poznámka 1. Větu nelze použít v případech, kdy f ( 0 )=0af ( 0 ) neeistuje nebo f ( 0 )=0af ( 0 ) = 0. Např. pro funkci = 4 platí, že f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 0 a funkce 4 má v bodě 0 ostré lokální minimum, tzn. nemá v bodě 0 inflei. 9.7 Průběh funkce V této části uvedeme postup při vyšetřování průběhu funkce, který ovšem nelze považovat za závazný, jen za doporučený. Při zadání funkce předpisem y =, určujeme zejména následující vlastnosti (pokud mají pro danou funkci smysl): 1. Definiční obor, body nespojitosti, intervaly spojitosti, nulové body. Sudost, lichost, periodičnost. Limity v krajních bodech intervalů spojitosti. Vertikální asymptoty, asymptoty v bodech + a. 2. Definiční obor f (), nulové body f () a body, ve kterých f () neeistuje. Intervaly ryzí monotónnosti, lokální etrémy.. Definiční obor f (), nulové body f () a body, ve kterých f () neeistuje. Intervaly ryzí konvenosti a ryzí konkávnosti, inflení body. Nakonec kreslíme graf, který poskytuje názornou představu o průběhu funkce. Příklad 6. Vyšetřete průběh funkce = 2 1. Řešení: a) D(f) =(, 1) ( 1, 1) (1, + ). Body nespojitosti: = ±1. Intervaly spojitosti: (, 1), ( 1, 1), (1, + ). Nulový bod: =0. 12

11 > 0pro ( 1, 0) (1, + ), < 0pro (+, 1) (0, 1). Funkce je lichá, tzn. stačí vyšetřovat její průběh pro 0. =+, Vertikální asymptoty: = 1, = 1. Asymptoty v bodě + : k = =+, =0, q = 2 1 nemá asymptoty v bodech + a. b) f () = (2 1), D(f )=D(f). 4 = =+, Nulové body derivace: =, =. rostoucí(f () > 0) na (, ), (, + ), klesající(f () < 0) na (, 1), ( 1, 1), (1, ). = ostré lokální minimum, = ostré lokální maimum. c) f () = 2 ( 1 2 ) (2 1), D(f )=D(f). 7 Nulové body druhé derivace: =0, =, =. ryze konvení (f () > 0) na (, ), ( 1, 0), (1, ), ryze konkávní (f () < 0) na (, 1), (0, 1), (, + ). Inflení body: =0, =, =. Směrnice tečny v infleních bodech: f (0) = 1, f (±) = 1. 8 y 1 P 1 Obr. 7: Graf funkce =