Metoda POPV, programový systém

Transkript

1 Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 4 Metoda POPV, programový systém ProbCalc Princip metody Přímého optimalizovaného pravděpodobnost- ního výpočtu (POPV) Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu Ukázky výpočtu v programovém systému ProbCalc Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet Metoda Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu (POPV) je vyvíjena od roku 2004 (původně PDPV). Vstupní proměnlivé náhodné veličiny (zatížení, geometrické a materiálové charakteristiky, imperfekce ad.) jsou vyjádřeny histogramy s parametrickým i s tzv. neparametrickým rozdělením. Lze použít pro posouzení spolehlivosti konstrukce nebo jiné pravděpodobnostní výpočty. Analyzovaná funkce spolehlivosti může být vyjádřena analyticky či s využitím dynamické knihovny DLL. Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 2 / 56

3 Základní principy metody POPV Monte Carlo výsledky jsou při každém výpočtu rozdílné. POPV pro histogramy se stejným počtem tříd (intervalů) je výsledek pokaždé stejný. Počet tříd (intervalů) v histogramech je velmi důležitý pro výsledný počet numerických operací a předpokládaný strojový čas výpočtu. Počet numerických operací lze při zachování korektnosti řešení výrazně snížit s využitím optimalizačních technik a postupů. Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 3 / 56

4 Pravděpodobnost výskytu čísla při hodu kostkou p(f) 1/6 p 1 = 1 n 1 6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 0 p = Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 4 / 56

5 Pravděpodobnost výskytu čísla ve 2 hodech kostkou p(f) 1/6 p = p1. p /36 1/9 1/12 1/18 1/36 0 p = Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 5 / 56

6 Pravděpodobnost součtu čísel ve 2 hodech kostkou p(f) 1/6 5/36 1/9 1/12 1 p( 2) = 36 1 p() 3 = + 36 p 4 = ( ) /18 1/ Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 6 / 56

7 Pravděpodobnost součtu čísel ve 2 hodech kostkou Součet čísel ve 2 hodech kostky různé pravděpodobnosti, protože je více možností, jak získat některé hodnoty součtu. Pravděpodobnost získání součtu čísel ve 2 hodech kostkou Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 7 / 56

8 Pravděpodobnost součtu čísel ve 2 hodech kostkou Součet pravděpodobností Pravděpodobnost výskytu libovolného jevu z několika navzájem se vylučujících jevů se rovná součtu pravděpodobností těchto jevů. Součin pravděpodobností Pravděpodobnost současného č výskytu ýkt několika jevů se rovná součinu pravděpodobností těchto jevů. Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 8 / 56

9 Pravděpodobnost rozdílu čísel ve 2 hodech kostkou p(f) 1/6 5/36 1/9 1/12 1 p( 5) = 36 1 p( 4) = 36 p() 3 = /18 1/ Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 9 / 56

10 Pravděpodobnost součinu čísel ve 2 hodech kostkou p(f) 1/9 1/12 1/18 1 p( 1) = 36 1 p( 2) = 36 p() 3 = / Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 10 / 56

11 Výpočet pravděpodobnosti matematických operací A+B A x B A-B Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 11 / 56

12 Pravděpodobnost podílu čísel ve 2 hodech kostkou A/ B A^2 Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 12 / 56

13 Princip numerického výpočtu B = f(a 1, A 2,, A j, A n ) Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 13 / 56

14 Princip numerického výpočtu kombinace zatížení Princip Přímého optimalizovaného pravděpodobnostního výpočtu (POPV) 14 / 56

15 Optimalizační techniky 1. Grupování vstupních proměnlivých veličin, které mohou do výpočtu vstupovat společně a lze pro ně předem zpracovat společný histogram. 2. Intervalová optimalizace - snižování počtu intervalů proměnlivých vstupních veličin jednotlivých histogramů při zachování celého rozsahu každé náhodné vstupní veličiny. 3. Zonální optimalizace - využití pouze intervalů, které se podílejí na hledané hodnotě, např. pravděpodobnosti poruchy konstrukce. 4. Trendová optimalizace využití vhodného směru (trendu) v algoritmu pravděpodobnostního výpočtu. 5. Grupování dílčích výsledků výpočtu. 6. Paralelizace výpočtu - výpočet probíhá současně na několika procesorech. 7. Kombinace uvedených optimalizačních č postupů. ů Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 15 / 56

16 Grupování vstupních proměnných veličin Nechť je B = A 1 + A 2 + A 3 + A A N přičemž v každém histogramu je n tříd ( např. n = 256, N = 10 ) Při uvážení všech možných kombinací je P 0 = n N = = 1, Stejný výsledek lze získat postupným sčítáním vždy dvou histogramů. Pak je P * 0 = ( N 1) n 2 = 9,256 2 = a poměr P * = 1)n (N 2) = -8 = / P 0 ( N n 9,256 4, Pokud je vytváření společných histogramů grupování korektní, je velmi racionální. Snižuje počet operací. Nemusí se týkat pouze sčítání. Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 16 / 56

17 Intervalová optimalizace Smyslem intervalové optimalizace je minimalizovat počet tříd v histogramech snížit tím počet operací a minimalizovat dobu výpočtu Podmínkou je zachování dostatečné přesnosti výsledků řešení. Pravděpodobnost poruchy P f - MS únosnosti Pravděpodobnost poruchy P f - MS použitelnosti 0, , , , P f 0, , , P f 0, , , Počet intervalů bočního zatížení 8 0, Počet intervalů bočního zatížení 8 Postačující počet tříd (intervalů) histogramu Postačující počet tříd (intervalů) histogramu Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 17 / 56

18 Zonální a trendová optimalizace V zonální analýze se každý histogram rozdělí p f =0 vždy na zóny, které se na vzniku pravděpodobnosti poruchy p f při všech možných hodnotách v p f2 pouze v některých ostatních histogramech: případech 1.zóna podílejí vždy p f1 vždy 2. zóna mohou a nemusí podílet 3.zóna nepodílejí nikdy Znalost zón umožňuje výpočet poruchy: p f = p f 1 + p f 2 Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 18 / 56

19 Zonální a trendová optimalizace Monotonní histogramy: Nemonotonní histogramy: Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 19 / 56

20 Grupování dílčích výsledků Grupování dílčích výsledků je obdobou grupování vstupních veličin. Platí-li např.: Z = R f(a 1, A 2, A 3, A N ) pak je často výhodné provést samostatně výpočet S = f(a 1, A 2, A 3, A N ) a následně Z = R S Lze přitom aplikovat různé optimalizační postupy. Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 20 / 56

21 Paralelizace výpočtů a kombinace optimalizačních postupů Zpracovaný programový systém ProbCalc umožňuje: kombinovat uvedené optimalizační postupy, paralelizaci výpočtu (zatím odzkoušeno na počítačích se dvěma procesory). Posloupnost optimalizačních postupů (doporučení): Grupování - použít dle možností vždy Minimalizovat počet tříd histogramů při odlaďování algoritmu výpočtu, následně optimalizovat pro dosažení korektního výsledku Ostatní optimalizační postupy použít dle možností a složitosti úlohy Přehled optimalizačních technik, snižujících dobu výpočtu 21 / 56

22 Závislé vstupní náhodné veličiny Do pravděpodobnostního výpočtu metodou POPV vstupují statisticky ti ti nezávislé náhodné veličiny. Některé vstupní veličiny jsou však statisticky závislé, např. průřezové charakteristiky, pevnostní a přetvárné vlastnosti atd. Statisticky závislé vstupní veličiny mohou do výpočtu metodou POPV vstoupit zprostředkovaně (nepřímo) jako funkce vhodných nezávislých vstupních veličin. Problematice statisticky závislých vstupních veličiny byla doposud věnována pozornost zejména u průřezových charakteristik válcovaných profilů. Závislé vstupní náhodné veličiny 22 / 56

23 Programový systém ProbCalc Tvořen třemi softwarovými produkty, vytvořenými v prostředí Borland Delphi s programovým modulem TeeChart. HistAn: Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů HistOp: Umožňuje základní aritmetické operace s histogramy ProbCalc: Slouží obecně pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti konstrukcí a pro jiné pravděpodobnostní úlohy. Výpočetní model definován pomocí tzv.kalkulačky l (textový t mód) nebo DLL knihovny (strojový kód). Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 23 / 56

24 Programový nástroj HistAn Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů. Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet č tříd (intervalů) a četnostít tí v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika vstupních histogramů Určení tzv. sumárního histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí) Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením Zpracování naměřených (prvotních) dat Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 24 / 56

25 Parametrická rozdělení v systému ProbCalc Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování. Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením s možností volby počtu intervalů. Použití histogramů s parametrickým rozdělením. K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti. Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 25 / 56

26 Parametrická rozdělení v systému ProbCalc Pravděpodobnost pro useknutí parametrického rozdělení Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X 2 Half-Logistic Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 26 / 56

27 Použití primárních dat, neparametrické rozdělení Naměřená data (již setříděno vzestupně) Volba počtu intervalů (tříd) výsledného histogramu Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 27 / 56

28 Použití primárních dat, parametrické rozdělení Charakteristiky odvozených parametrických dat Výběr vhodného rozdělení dle koeficientu těsnosti Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 28 / 56

29 Programový nástroj HistOp S jeho využitím lze provádět základní aritmetické operace s histogramy A a B: Součet histogramů A a B Rozdíl histogramů A a B Součin histogramů AaB Podíl histogramů A a B Druhá mocnina histogramu A Absolutní hodnota histogramu A Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 29 / 56

30 Programový nástroj ProbCalc Grupování proměnných Funkce spolehlivosti Kalkulátor Příkazový řádek Definice analytického modelu Seznam náhodných proměnných Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 30 / 56

31 Programový nástroj ProbCalc P f = 0, dle ČSN obvyklá úroveň ň spolehlivosti Pravděpodobnost poruchy P f Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 31 / 56

32 3D zobrazení funkce spolehlivosti Pravděpodobnost d poruchy Odolnost konstrukce Účinek zatížení Aplikace metody Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 32 / 56

33 Využití programového systému ProbCalc Pravděpodobnostní hodnocení kombinací zatížení Pravděpodobnostní d posudek spolehlivosti průřezů ů i systémů ů staticky (ne)určitých nosných konstrukcí Pravděpodobnostní přístup k hodnocení betonových a drátkobetonových směsí Posudek spolehlivosti obloukové výztuže dlouhých důlních děl s přihlédnutím k jejím prokluzovým vlastnostem Posudek spolehlivosti nosných konstrukcí vystavených nárazu Pravděpodobnostní výpočet šíření únavových trhlin v ocelových konstrukcích a mostech Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 33 / 56

34 Posudek spolehlivosti nosné konstrukce numerickým řešením Statické schéma posuzovaného kruhového oblouku Funkce spolehlivosti Účinek zatížení Odolnost konstrukce N RF = 1 N Sd pl 2 + M M q = 130. DL + LL N A Sd pl var SLvar 48. pl = f y.( A. Avar ) M pl = f y.( W pl. Wvar ) var = 1 2.ε W var var = 1 3. ε Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 34 / 56

35 Posudek spolehlivosti nosné konstrukce vystavené účinku nárazu Funkce spolehlivosti RF = U - W Přetvárná energie nosníku U = F ( δ ) d δ δ max 0 Kinetická energie nárazu W = m v 2 2 W var Náhradní ohybová tuhost t EI E.I EI = MEy f y el δ x = n i= 1 M i m EI ( ) xi i L i Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 35 / 56

36 Pravděpodobnostní hodnocení drátkobetonových směsí Výsledný histogram součinitele pevnosti v tlaku α c pro hodnotu m f1,min = 0 α c Viz např.: Janas, P., Krejsa, M.: Pravděpodobnostní přístup k hodnocení drátkobetonových směsí, sborník referátů Mezinárodního sympozia Fibre Concrete and High Performence Concrete 2003 (editoři Cigánek, J., Kurka, F.), str , , hotel Petr Bezruč v Malenovicích, Beskydy, ISBN: X. Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 36 / 56

37 Pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti Funkce spolehlivosti RF = ( R E) Odolnost konstrukce IPE160 R = N Rd = A nom. A var. f y Účinek zatížení S = N Ed = 80.DL + 293,5.LL SL + 70.WIN + 40.SN Statické schéma táhla Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 37 / 56

38 Výpočet kombinace zatížení 38 / 56 sníh výsledná kombinace zatížení vítr stálé dlouhodobé nahodilé krátkodobé nahodilé Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu

39 Výpočet únosnosti v osovém namáhání Proměnlivost průřezu Únosnost v osovém namáhání Napětí na mezi kluzu f y Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 39 / 56

40 Pravděpodobnostní posudek metodou POPV Mezní stav únosnosti N Ed N Rd P f = 1, < P d = táhlo vyhoví úroveň spolehlivosti zvýšená Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 40 / 56

41 3D zobrazení funkce spolehlivosti Nebezpečná (poruchová) oblast Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 41 / 56

42 Pravděpodobnostní posudek metodou POPV Mezní stav použitelnosti δ max δ lim (5 mm) P f = 7, < P d = 0,023 táhlo vyhoví úroveň ň spolehlivosti zvýšená Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 42 / 56

43 Pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti Funkce spolehlivosti RF = ( R E) Odolnost konstrukce R = M Rd = W nom. W var. f y Rd nom var f y Statické schéma ohýbaného nosníku Účinek zatížení S = M Ed =2,1.DL + 3,5.LL Ukázka dvou odlišných přístupů k zadání matematického modelu pravděpodobnostního výpočtu Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 43 / 56

44 Pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti l 6 m průřez HEB 300 z oceli Fe360/S235 E 2, Pa počáteční imperfekce a +/- 30 mm Zatížení Typ Návrhová hodnota [kn] D Stálé 350 L S Dlouhodobé nahodilé Krátkodobé nahodilé W Vítr EQ Zemětřesení ( D + L + S ) = = 25 Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 44 / 56

45 Matematický model pravděpodobnostního výpočtu Výpočet maximálního vodorovného přemístění δ dle teorie II. řádu s uvažováním vlivu počátečních imperfekcí: a F W + EQ +. F tan. l δ = l EI K = 1 F F l.k l. kde EI Ohybový moment v kritickém průřezu: M 1 = δ.( + K K) F Normálové napětí v krajních vláknech: σ = M F δ.(1 + K ) + = F ( + W A K. W 1 ) A Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 45 / 56

46 Popis funkce spolehlivosti Mezní stav únosnosti RF = R Q R odolnost konstrukce napětí na mezi kluzu f y Q účinek zatížení normálové napětí v krajních vláknech σ Mezní stav použitelnosti RF δ δ = tol δ tol odolnost konstrukce povolená max. deformace (35 mm) δ účinek zatížení maximální vodorovné přetvoření sloupu Výpočet obsahuje 8 variabilních veličin: 5 složek zatížení proměnnost průřezu vlivem možného pod a převálcování počáteční imperfekce ve sloupu napětí na mezi kluzu f y Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 46 / 56

47 Grupování vstupních proměnných Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 47 / 56

48 Intervalová optimalizace Citlivostní analýza Kombinace bočních zatížení W+EQ Vliv na pravděpodobnost poruchy je vysoká. Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 48 / 56

49 Intervalová optimalizace Citlivostní analýza Kombinace bočních zatížení D+L +S Vliv na pravděpodobnost poruchy je nízká. Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 49 / 56

50 Zonální optimalizace Zonální analýza kombinace bočních zatížení W+EQ p f nikdy p f někdy p f vždy Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 50 / 56

51 Pravděpodobnostní posudek, M.S.použitelnosti Největší horizontální přetvoření sloupu δ Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 51 / 56

52 Pravděpodobnostní posudek, M.S.použitelnosti P f = 1, < P d = (úroveň spolehlivosti obvyklá) Výsledný histogram funkce spolehlivosti RF Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 52 / 56

53 Pravděpodobnostní posudek, M.S.únosnosti P f = 4, < P d = (úroveň spolehlivosti zvýšená) Výsledný histogram funkce spolehlivosti RF Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 53 / 56

54 Pravděpodobnostní posudek, M.S.únosnosti Pravděpodobnost poruchy P f 3D histogram funkce spolehlivosti RF Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 54 / 56

55 Použitý optimalizační krok Počet intervalů v jednotlivých histogramech Počet simulačních kroků Pravděpodobnost poruchy P f (MS použitelnosti) Strojový čas (ipentium IV- 1,4 GHz) Bez optimalizace Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 N = = = 6, , Výpočet nebyl proveden Grupování 1,E+24 Pouze intervaly, které se podílí na P f 1,E+20 1,E+16 1,E+12 Snížení počtu intervalů 1,E+08 1,E+04 Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 6,6 64E+17 Zatížení (5x) 256, Průřez 10, Imperfekce 256, f y 236 Boční zatížení 256, svislé zatížení 16, Průřez 10, Imperfekce 16, f y 58 3,9 96E+10 N = N 1 +N 2 N 1 = = = N 2 = = N = N 1 + N 2 N 1 = = = N 2 = = = , :10 min Počet simulačních kroků v závislosti na použité optimalizaci 2E+09 7,4 N = N 1 + N 2 N 1 = = = N 2 = cca = = , :20 min 3,83E ,43E , :01 min N = N 1 + N 2 Boční zatížení 256, Kombinace 1,E+00 všech N svislé zatížení 16, 1 = = optimalizačních Průřez 10, Imperfekce = , :00 min kroků 16, f y 58 a N 2 b= cca c = d e Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 55 / 56

56 Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti Blíže viz a lite (trial) verze programu ProbCalc Ukázky výpočtu metodou Přímého Optimalizovaného Pravděpodobnostního Výpočtu 56 / 56