Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel"

Transkript

1 Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se tyto programy posuzují z různých hledisek Každý, kdo někdy pracoval s několika různými programy, ví, že na tuto jednoduchou otázku není jednoznačná odpověď Každý z programů má totiž některé slabší a některé silnější stránky, a tak asi nikoho nepřekvapí, když uvedeme, že statistický program si často vybíráme až na základě úlohy, kterou chceme zpracovat Podmínkou pochopitelně je, aby bylo z čeho vybírat Mezi programy, které by asi málokdo zařadil mezi statistické, patří i statistiky často odmítaný MS Excel Přitom, pokud pomineme nekvalitní, místy až zoufalý překlad z angličtiny v oblasti statistiky, se jedná o program, který umožňuje kvalitní aplikaci různých procedur, mnohdy na úrovni srovnatelné s procedurami ve specializovaných (a také daleko dražších) statistických programech Umožňuje např velmi snadnou aplikaci statistických funkcí z nejrůznějších oblastí Nesmíme totiž zapomínat, že právě jednoduché ovládání a dostupnost (tento tabulkový procesor je dnes instalován téměř na každém počítači) je velkou devizou tohoto programu V tomto článku bychom chtěli zhodnotit MS Excel z hlediska pravděpodobnostních rozdělení V první řadě zhodnotíme nabídku pravděpodobnostních rozdělení v tomto programu U každého rozdělení popíšeme možnosti výpočtů hodnot distribuční funkce a kvantilů a syntaxi příslušných funkcí U každého spojitého rozdělení uvedeme obrázek s ukázkou průběhu hustoty pravděpodobnosti pro konkrétní parametry (je ovšem třeba ihned poznamenat, že při jiné volbě parametrů bychom obdrželi jiný tvar hustoty) V závěru rovněž zhodnotíme možnosti generování náhodných hodnot z pravděpodobnostních rozdělení 2 Diskrétní rozdělení V oblasti diskrétních (nespojitých) rozdělení obsahuje MS Excel následující rozdělení, u kterých zároveň uvádíme název příslušné funkce: Jedná se tedy o naprosto základní typy rozdělení, navíc ne vždy je možné spočítat distribuční funkci a kvantily To ale není žádné neštěstí, neboť oboje jsme schopni poměrně snad- 6/2OO6 497

2 no spočítat z hodnot pravděpodobnostní funkce Podívejme se nyní na jednotlivá rozdělení podrobněji 21 Binomické rozdělení Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se jak pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce BINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x (počet úspěchů) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Pokusy n (počet pokusů) Prst_úspěchu π Pravděpodobnost úspěchu Počet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 498

3 Jako pro jediné z nespojitých rozdělení je v Excelu uvedena i funkce pro výpočet kvantilů: CRITBINOM Její argumenty mají obdobný význam, jako u funkce BINOMDIST Pokusy n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Alfa pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x P 22 Negativně binomické rozdělení Náhodná veličina X má negativně binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má pro n celočíselné tvar Připomeňme, že pro přirozená n můžeme náhodnou veličinu X chápat jako počet neúspěchů před n-tým úspěchem Úmyslně uvádíme pravděpodobnostní funkci ve zjednodušeném tvaru, neboť takto je chápána v Excelu Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 499

4 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce NEGBINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Číslo_f x (počet neúspěchů před n-tým úspěchem) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Číslo_s n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Hodnoty distribuční funkce je nutné napočítat z hodnoty pravděpodobnostní funkce, stejně tak i hodnoty kvantilů Speciálním případem negativně binomického rozdělení je rozdělení geometrické Toto rozdělení obdržíme velmi snadno, pokud v negativně binomickém rozdělení položíme n=1 Potom se předchozí pravděpodobnostní funkce zjednoduší do tvaru Náhodnou veličinu X lze potom chápat jako počet neúspěchů před prvním úspěchem Pro střední hodnotu a rozptyl obdržíme V Excelu použijeme funkci NEGBINOMDIST, ve které položíme Číslo_s = 1 23 Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar 500

5 Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce POISSON Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Střední λ Parametr a zároveň střední hodnota rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 24 Hypergeometrické rozdělení Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, M a n, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Přitom N, M a n jsou přirozená čísla, Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 501

6 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce HYPGEOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x Hodnota, ve které počítáme P(x) Celkem n (rozsah výběru) Základ_úspěch M Počet prvků s vlastností M Základ_celkem N (rozsah základního souboru) 3 Spojitá rozdělení V oblasti spojitých rozdělení obsahuje MS Excel řadu rozdělení, u kterých opět uvádíme název příslušné funkce pro výpočet distribuční funkce, hustoty a kvantilu: Je tedy zřejmé, že nabídka spojitých rozdělení je podstatně širší, než je tomu u rozdělení nespojitých Pouze čtyři rozdělení však mají uveden vzorec pro výpočet hustoty, což v ostatních případech pochopitelně bude komplikovat její výpočet a případné grafické zobrazení V takových případech bude nutné zadat vzorec hustoty pravděpodobnosti ručně dle tvaru příslušné funkce 502

7 31 Normální rozdělení Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci a hustotu používá funkce NORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Střed_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 503

8 Funkce pro výpočet kvantilů normálního rozdělení má v Excelu název NORMINV Jedná se skutečně o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Střední µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Kromě normálního rozdělení s obecnými parametry µ a σ 2 nabízí Excel i normované normální rozdělení, tedy rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1 32 Normované normální rozdělení Náhodná veličina U má normální rozdělení s parametry 0 a 1, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar 504

9 V Excelu se pro distribuční funkci používá funkce NORMSDIST Tato funkce má jediný argument: Z u Hodnota, ve které počítáme F(u) Graf hustoty pravděpodobnosti pro normované normální rozdělení vytvořený v Excelu vidíme na následujícím obrázku Hodnoty hustoty pomocí funkce NORMSDIST počítat nelze, je třeba je napočítat z obecného normálního rozdělení při vhodné volbě parametrů To ostatně platí i pro hodnoty kvantilů 33 Logaritmicko normální rozdělení Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 505

10 Střední hodnota a rozptyl mají tvar Připomeňme, že náhodná veličina Y = 1n(X), má potom normální rozdělení s parametry µ a σ 2 tedy přirozený logaritmus náhodné veličiny s logaritmicko normálním rozdělením má normální rozdělení se stejnými parametry µ a σ 2 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce LOGNORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) Střední µ Parametr rozdělení Pozor, nejedná se o střední hodnotu X, nýbrž o střední hodnotu ln(x) Sm_odchylka σ Parametr rozdělení Opět se nejedná o směrodatnou odchylku X, nýbrž o směrodatnou odchylku hodnoty ln(x) 506

11 Funkce pro výpočet kvantilů logaritmicko normálního rozdělení má v Excelu název LOGINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Stř_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota veličiny ln(x) Sm_odch σ Parametr rozdělení, odmocnina ze σ 2 Zároveň směrodatná odchylka veličiny ln(x) 34 Exponenciální rozdělení Náhodná veličina X má exponenciální normální rozdělení s parametrem λ, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 507

12 Pokud položíme λ = 1 δ, dostali bychom tvar rozdělení, v jakém je obvykle uváděn v literatuře Tento tvar je prezentován pro hodnoty x > 0, neuvažujeme tedy možné posunutí A Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce EXPONDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Lambda λ Parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není k dispozici S jejím výpočtem si však snadno poradíme, neboť pro 100P% kvantil exponenciálního rozdělení platí vztah 508

13 35 Weibullovo rozdělení Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení s parametry δ a c, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar vyjádřený pomocí gama funkce Speciálním případem Weibullova rozdělení je pro c = 1 exponenciální rozdělení 6/2OO6 509

14 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce WEIBULL Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Alfa c Parametr rozdělení Beta δ Parametr rozdělení Typ NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není v Excelu k dispozici Pro výpočet 100P% kvantilu Weibullova rozdělení můžeme použít vztah 510

15 36 Studentovo rozdělení (t-rozdělení) Náhodná veličina X má Studentovo rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud n > 1 a je rovna E(X) = 0 Rozptyl existuje, pokud n > 2 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce TDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Navíc není možné za x dosadit záporné číslo pro záporná x je tedy nutné využít symetrie Studentova rozdělení kolem nuly (F( x) = 1 F(x)) Argumenty funkce TDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Strany lze dosadit hodnoty 1 a 2 Pro 1 se počítá výraz 1 F(x), pro 2 se počítá pravděpodobnost 2*(1 F(x)), tj 1 P( x < X < x) = P( X > x) 6/2OO6 511

16 Funkce pro výpočet kvantilů Studentova rozdělení má v Excelu název TINV Výpočet kvantilů se přitom vymyká postupům u předchozích rozdělení Nepočítá se totiž kvantilová funkce, počítá se funkce kritických hodnot F (x p ) = P( X > x p ) = P Pro výpočet kvantilu tedy platí, že pro zadanou pravděpodobnost P počítá funkce TINV kvantil x 1 p/2 a pozor, nerespektuje se znaménko u kvantilu! Znaménko tedy musí uživatel doplnit sám tak, že od 0 do 50 % kvantilu přiřadí znaménko záporné, od 50 % do 100 % znaménko kladné Funkce TINV je tedy inverzní funkcí k TDIST pro hodnotu argumentu Strany = 2 a má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p/2 (až na znaménko) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 512

17 37 Fischer-Schnedecorovo rozdělení (F rozdělení) Náhodná veličina X má Fischer-Schnedecorovo rozdělení s parametry n a m (počty stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud m > 2 a je rovna Rozptyl existuje, pokud M > 4 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce FDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce FDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 513

18 Funkce pro výpočet kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení má v Excelu název FINV Název je opět zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce FINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Při výpočtu kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení můžeme využít vztah 514

19 38 Chí kvadrát rozdělení (χ 2 rozdělení) Náhodná veličina X má chí-kvadrát rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce CHIDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x, tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce CHIDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 515

20 Funkce pro výpočet kvantilů chí-kvadrát rozdělení má v Excelu název CHINV Opět platí, že název je zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce CHINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 39 Beta rozdělení (4 parametrické) Náhodná veličina X má Beta rozdělení s parametry a, b, α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 516

21 Připomeňme, že B(α, β) je Beta funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Pokud bychom položili a = 0 a b = 1, obdržíme klasické dvouparametrické Beta rozdělení ve tvaru V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce BETADIST Argumenty funkce BETADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = 1 6/2OO6 517

22 Funkce pro výpočet kvantilů Beta rozdělení má v Excelu název BETAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = Gama rozdělení Náhodná veličina X má Gama rozdělení s parametry α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 518

23 Připomeňme, že Γ(α) je Gama funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Excel nemá přímo funkci, která by počítala hodnoty funkce Gama Obsahuje však funkci GAMMALN, která vrací hodnotu přirozeného logaritmu funkce Gama Hodnotu Gama funkce v bodě α pak snadno získáme složením funkce EXP agammaln ve tvaru EXP (GAMMALN (α)) V Excelu rovněž není funkce Beta (viz předchozí rozdělení) Pro její výpočet je možné využít vztah Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozdělení gama se v Excelu používá funkce GAMMADIST Argumenty funkce GAMMADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 519

24 Funkce pro výpočet kvantilů Gama rozdělení má v Excelu název GAMMAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Pokud položíme parametr α = 1, obdržíme exponenciální rozdělení (λ = 1 / β) 4 Generování hodnot z pravděpodobnostních rozdělení Co se týče generování náhodných čísel (přesněji řečeno pseudonáhodných čísel), obsahuje MS Excel pouze jedinou funkci pro generování Jedná se o funkci NÁHČÍSLO, která 520

25 generuje hodnoty ze spojitého rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) Hodnoty z dalších pravděpodobnostních rozdělení získáme vhodnou transformací Funkce NÁHČÍSLO má velmi jednoduchou syntaxi nemá totiž žádný argument Není tudíž bohužel ani možné nastavit počáteční hodnotu generátoru Navíc je potřeba počítat s tím, že hodnota této funkce se neustále přepočítává při každé editaci libovolné buňky (samozřejmě pokud je nastaven automatický přepočet tabulky, což je ale standardní nastavení) Chceme-li tedy generovat hodnoty z jiných pravděpodobnostních rozdělení, nezbývá než vyhledat vhodnou literaturu a aplikovat příslušné vzorce 5 Další pravděpodobnostní rozdělení Mohlo by se zdát, že nabídka pravděpodobnostních rozdělení v Excelu je proti statistickým programům chudá Nicméně je třeba si uvědomit, že není žádný problém zadat vhodným vzorcem výpočet pravděpodobnostní funkce či distribuční funkce pro libovolné nespojité rozdělení Poněkud složitější je situace u spojitých rozdělení I zde sice platí, že poměrně snadno spočítáme hustotu pravděpodobnosti pro libovolné rozdělení (tak ostatně byly konstruovány grafy hustot u rozdělení, u kterých Excel vzorec pro výpočet hustoty neobsahuje), horší je to však již při výpočtu distribuční funkce a příslušných kvantilů To však platí pouze v případě, že neznáme tvar distribuční funkce Tato situace je pak pro běžného uživatele (nestatistika) obtížně řešitelná V takovém případě nezbývá, než vyhledat tvar příslušné distribuční funkce v literatuře a zadat ho do Excelu ve formě vzorce (stejně jako při výpočtu hustoty) Bohužel však daleko častěji než vzorec distribuční funkce bývá publikován vzorec hustoty pravděpodobnosti 6 Přesnost výpočtů Na závěr je třeba uvést, že všechna uvedená pravděpodobnostní rozdělení byla v Excelu podrobně prozkoumána a přepočítána Dosažené výsledky (hodnoty pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, hustoty pravděpodobnosti, kvantilů) byly porovnávány s programem Statgraphics Centurion (trial verze) Tento program nám velmi pomohl, neboť v nápovědě obsahuje popis všech obsažených pravděpodobnostních rozdělení a hlavně ke 6/2OO6 521

26 každému rozdělení uvádí vzorec pravděpodobnostní funkce nebo hustoty pravděpodobnosti Srovnání dopadlo pro Excel velmi uspokojivě, neboť jsme nezaznamenali žádné výrazné rozdíly v obou programech Lze tedy konstatovat, že MS Excel (verze 2003) je, co se týče popsaných pravděpodobnostních rozdělení, zcela srovnatelný s tímto statistickým programem (ten má pochopitelně mnohem širší nabídku pravděpodobnostních rozdělení) Pokud se vyskytly nějaké rozdíly, byly většinou způsobeny tvarem parametrů rozdělení (Excel např počítá s převrácenou hodnotou parametru oproti Statgraphicsu apod) Pokud jsme však respektovali tyto odlišnosti, vycházely výsledky stejně Literatura [1] Nápověda k programu MS Excel [2] Nápověda k programu Statgraphics Centurion Luboš Marek, Katedra statistiky a pravděpodobnosti Vysoké školy ekonomické v Praze, nám W Churchilla 4, Praha 3 - Žižkov, Abstract The aim of this article is to evaluate the offer of probability distributions in MS Excel Each division is firstly described theoretically (including formulas for the mean value and variance), further the way of calculating the values of probability or distribution function including their syntax is practically described as well Attention is also given to possibilities of calculating values of probability density in continuous distribution and quantiles In each continuous distribution a picture is given, showing the course of density probability for concrete parameters In the end a possibility of generating random values from continuous uniform distribution in the interval (01) is shown Key words: MS Excel, probability distribution, probability function, distribution function, probability density, quantile, critical value 522

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti 7 7 7 Ročník 23, číslo 3, září 2012 WALDŮV INTERVALOVÝ ODHAD PARAMETRU BINOMICKÉHO ROZDĚLENÍ A JEHO ALTERNATIVY Martina Litschmannová Adresa: Ing. Martina Litschmannová, VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

OBSAH. 1. Co jsou funkce listu 3

OBSAH. 1. Co jsou funkce listu 3 OBSAH 1. Co jsou funkce listu 3 1.1. Průvodce funkcí 3 1.2. Konvence 3 1.3. Syntax funkcí 3 1.4. Jména argumentů 4 1.5. Použití argumentů 4 1.6. Typy argumentů 4 2. Seznam funkcí podle kategorií 5 2.1.

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

MS Excel - Základní funkce

MS Excel - Základní funkce Informatika B MS Excel 1/10 Matematické MS Excel - Základní funkce ABS ARCCOS ARCCOSH ARCSIN ARCSINH ARCTG ARCTG2 ARCTGH ZAOKR.NAHORU KOMBINACE COS COSH COUNTIF DEGREES ZAOKROUHLIT.NA.SUDÉ EXP FAKTORIÁL

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Milan Holický Kloknerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady -

Více

Využití matematických vzorců s odkazy na obsahy jednotlivých buněk je jednou ze základních funkcí programu.

Využití matematických vzorců s odkazy na obsahy jednotlivých buněk je jednou ze základních funkcí programu. MS EXCEL Vzorce (funkce) Obsah MS EXCEL Vzorce a funkce... 1 1) Varianty vložení vzorce... 1 a) vložení adres do vzorce pomocí myši... 1 b) vložení adres do vzorce přímým zápisem z klávesnice... 2 c) vložení

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B

META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA. Medicína založená na důkazu - Modul 3B META-ANALÝZA Z POHLEDU STATISTIKA Medicína založená na důkazu - Modul 3B OBSAH: Úvodní definice... 2 Ověření homogenity pomocí Q statistiky... 3 Testování homogenity studií pomocí I 2 indexu... 6 Výpočet

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce Seminarni prace Popisná statistika, data nesmí být časovou řadou Zkoumat můžeme třeba mzdy, obraty atd. (takže možná QA?) Formát pdf, poslat nejpozději den před zkouškou. Podrobnější informace jsou na

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lorenzova křivka Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Ondřej Vencálek Rok odevzdání:

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Administrativní kalkulačka skutečně pro každého, včetně manažerů. Bohemius k.s. BIUS2 - BIUS 3. www.bohemius.cz

Administrativní kalkulačka skutečně pro každého, včetně manažerů. Bohemius k.s. BIUS2 - BIUS 3. www.bohemius.cz Administrativní kalkulačka skutečně pro každého, včetně manažerů Bohemius k.s. BIUS2 - BIUS 3 www.bohemius.cz Modul je součástí administrativní i manažerské kalkulačky DALŠÍ OBSAH : O produktu Kdo bude

Více

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Martin Fajkus Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky, Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1

Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 Prezentace dat. Slovní popis a tabulky prosté Aleš Drobník strana 1 8. PREZENTACE DAT Jakými prostředky sdělujeme informace, údaje, účetní a statistické charakteristiky? Používáme tyto prostředky sdělování

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Nestandardní regulační diagramy pro SPC. No. 2311 December 2011

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Nestandardní regulační diagramy pro SPC. No. 2311 December 2011 kademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace cademy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and utomation RESERCH REPORT Josef Křepela, Jiří Michálek: Nestandardní

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Statistické funkce. Analýza rozložení dat

Statistické funkce. Analýza rozložení dat Statistické K A P I T O L A Microsoft Excel 2007 nabízí celou řadu nástrojů, jejichž prostřednictvím lze analyzovat statistická data. V programu je vestavěno mnoho funkcí, jež pomáhají při jednoduchých

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Vyhledávací a databázové funkce v MS Excel 2007. Martin Tůma

Vyhledávací a databázové funkce v MS Excel 2007. Martin Tůma 1 Úvod Vyhledávací a databázové funkce v MS Excel 2007 Martin Tůma Cílem této seminární práce je stručně vysvětlit princip a syntaxi vyhledávacích a databázových funkcí v aplikaci MS Excel 2007 a na praktických

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Míra přerozdělování příjmů v ČR

Míra přerozdělování příjmů v ČR Míra přerozdělování příjmů v ČR Luboš Marek, Michal Vrabec Anotace V tomto článku počítají autoři hodnoty Giniho indexu v České republice. Tento index je spočítán nejprve za celou ČR, poté pro skupinu

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Lokální definice (1) plocha-kruhu

Lokální definice (1) plocha-kruhu Lokální definice (1) syntaxe: (local (seznam definic) výraz) definice jsou dostupné pouze uvnitř příkazu local příklad: (local ( (define Pi 3.1415926) (define (plocha-kruhu r) (* Pi r r)) ) (plocha-kruhu

Více

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s.

BIUS 2 BIUS 3. Bohemius k.s. Máš chybu na pojistném? Jak ale zjistit vyměřovací základ, když zaokrouhlujeme na Kč nahoru, nebo třeba na stokoruny? Jak zjistit výši původní chyby? Bohemius k.s. BIUS 2 BIUS 3 www.bohemius.cz O PRODUKTU

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

Model pro simulaci staví na výpočtu hrubého domácího produktu výdajovou metodou:

Model pro simulaci staví na výpočtu hrubého domácího produktu výdajovou metodou: Model vývoje HDP ČR Definice problému Očekávaný vývoj hrubého domácího produktu jakožto základní makroekonomické veličiny ovlivňuje chování tržních subjektů, které v důsledku očekávání modulují své chování

Více

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce

Excel Matematické operátory. Excel předdefinované funkce Excel Matematické operátory a) Sčítání + příklad =A1+A2 sečte obsah buněk A1 a A2 b) Odčítání - příklad =A1-A2 odečte hodnotu buňky A2 od hodnoty buňky A1 c) Násobení * příklad =A1*A2 vynásobí obsah buněk

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více