Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel"

Transkript

1 Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se tyto programy posuzují z různých hledisek Každý, kdo někdy pracoval s několika různými programy, ví, že na tuto jednoduchou otázku není jednoznačná odpověď Každý z programů má totiž některé slabší a některé silnější stránky, a tak asi nikoho nepřekvapí, když uvedeme, že statistický program si často vybíráme až na základě úlohy, kterou chceme zpracovat Podmínkou pochopitelně je, aby bylo z čeho vybírat Mezi programy, které by asi málokdo zařadil mezi statistické, patří i statistiky často odmítaný MS Excel Přitom, pokud pomineme nekvalitní, místy až zoufalý překlad z angličtiny v oblasti statistiky, se jedná o program, který umožňuje kvalitní aplikaci různých procedur, mnohdy na úrovni srovnatelné s procedurami ve specializovaných (a také daleko dražších) statistických programech Umožňuje např velmi snadnou aplikaci statistických funkcí z nejrůznějších oblastí Nesmíme totiž zapomínat, že právě jednoduché ovládání a dostupnost (tento tabulkový procesor je dnes instalován téměř na každém počítači) je velkou devizou tohoto programu V tomto článku bychom chtěli zhodnotit MS Excel z hlediska pravděpodobnostních rozdělení V první řadě zhodnotíme nabídku pravděpodobnostních rozdělení v tomto programu U každého rozdělení popíšeme možnosti výpočtů hodnot distribuční funkce a kvantilů a syntaxi příslušných funkcí U každého spojitého rozdělení uvedeme obrázek s ukázkou průběhu hustoty pravděpodobnosti pro konkrétní parametry (je ovšem třeba ihned poznamenat, že při jiné volbě parametrů bychom obdrželi jiný tvar hustoty) V závěru rovněž zhodnotíme možnosti generování náhodných hodnot z pravděpodobnostních rozdělení 2 Diskrétní rozdělení V oblasti diskrétních (nespojitých) rozdělení obsahuje MS Excel následující rozdělení, u kterých zároveň uvádíme název příslušné funkce: Jedná se tedy o naprosto základní typy rozdělení, navíc ne vždy je možné spočítat distribuční funkci a kvantily To ale není žádné neštěstí, neboť oboje jsme schopni poměrně snad- 6/2OO6 497

2 no spočítat z hodnot pravděpodobnostní funkce Podívejme se nyní na jednotlivá rozdělení podrobněji 21 Binomické rozdělení Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se jak pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce BINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x (počet úspěchů) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Pokusy n (počet pokusů) Prst_úspěchu π Pravděpodobnost úspěchu Počet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 498

3 Jako pro jediné z nespojitých rozdělení je v Excelu uvedena i funkce pro výpočet kvantilů: CRITBINOM Její argumenty mají obdobný význam, jako u funkce BINOMDIST Pokusy n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Alfa pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x P 22 Negativně binomické rozdělení Náhodná veličina X má negativně binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má pro n celočíselné tvar Připomeňme, že pro přirozená n můžeme náhodnou veličinu X chápat jako počet neúspěchů před n-tým úspěchem Úmyslně uvádíme pravděpodobnostní funkci ve zjednodušeném tvaru, neboť takto je chápána v Excelu Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 499

4 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce NEGBINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Číslo_f x (počet neúspěchů před n-tým úspěchem) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Číslo_s n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Hodnoty distribuční funkce je nutné napočítat z hodnoty pravděpodobnostní funkce, stejně tak i hodnoty kvantilů Speciálním případem negativně binomického rozdělení je rozdělení geometrické Toto rozdělení obdržíme velmi snadno, pokud v negativně binomickém rozdělení položíme n=1 Potom se předchozí pravděpodobnostní funkce zjednoduší do tvaru Náhodnou veličinu X lze potom chápat jako počet neúspěchů před prvním úspěchem Pro střední hodnotu a rozptyl obdržíme V Excelu použijeme funkci NEGBINOMDIST, ve které položíme Číslo_s = 1 23 Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar 500

5 Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce POISSON Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Střední λ Parametr a zároveň střední hodnota rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 24 Hypergeometrické rozdělení Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, M a n, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Přitom N, M a n jsou přirozená čísla, Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 501

6 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce HYPGEOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x Hodnota, ve které počítáme P(x) Celkem n (rozsah výběru) Základ_úspěch M Počet prvků s vlastností M Základ_celkem N (rozsah základního souboru) 3 Spojitá rozdělení V oblasti spojitých rozdělení obsahuje MS Excel řadu rozdělení, u kterých opět uvádíme název příslušné funkce pro výpočet distribuční funkce, hustoty a kvantilu: Je tedy zřejmé, že nabídka spojitých rozdělení je podstatně širší, než je tomu u rozdělení nespojitých Pouze čtyři rozdělení však mají uveden vzorec pro výpočet hustoty, což v ostatních případech pochopitelně bude komplikovat její výpočet a případné grafické zobrazení V takových případech bude nutné zadat vzorec hustoty pravděpodobnosti ručně dle tvaru příslušné funkce 502

7 31 Normální rozdělení Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci a hustotu používá funkce NORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Střed_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 503

8 Funkce pro výpočet kvantilů normálního rozdělení má v Excelu název NORMINV Jedná se skutečně o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Střední µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Kromě normálního rozdělení s obecnými parametry µ a σ 2 nabízí Excel i normované normální rozdělení, tedy rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1 32 Normované normální rozdělení Náhodná veličina U má normální rozdělení s parametry 0 a 1, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar 504

9 V Excelu se pro distribuční funkci používá funkce NORMSDIST Tato funkce má jediný argument: Z u Hodnota, ve které počítáme F(u) Graf hustoty pravděpodobnosti pro normované normální rozdělení vytvořený v Excelu vidíme na následujícím obrázku Hodnoty hustoty pomocí funkce NORMSDIST počítat nelze, je třeba je napočítat z obecného normálního rozdělení při vhodné volbě parametrů To ostatně platí i pro hodnoty kvantilů 33 Logaritmicko normální rozdělení Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 505

10 Střední hodnota a rozptyl mají tvar Připomeňme, že náhodná veličina Y = 1n(X), má potom normální rozdělení s parametry µ a σ 2 tedy přirozený logaritmus náhodné veličiny s logaritmicko normálním rozdělením má normální rozdělení se stejnými parametry µ a σ 2 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce LOGNORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) Střední µ Parametr rozdělení Pozor, nejedná se o střední hodnotu X, nýbrž o střední hodnotu ln(x) Sm_odchylka σ Parametr rozdělení Opět se nejedná o směrodatnou odchylku X, nýbrž o směrodatnou odchylku hodnoty ln(x) 506

11 Funkce pro výpočet kvantilů logaritmicko normálního rozdělení má v Excelu název LOGINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Stř_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota veličiny ln(x) Sm_odch σ Parametr rozdělení, odmocnina ze σ 2 Zároveň směrodatná odchylka veličiny ln(x) 34 Exponenciální rozdělení Náhodná veličina X má exponenciální normální rozdělení s parametrem λ, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 507

12 Pokud položíme λ = 1 δ, dostali bychom tvar rozdělení, v jakém je obvykle uváděn v literatuře Tento tvar je prezentován pro hodnoty x > 0, neuvažujeme tedy možné posunutí A Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce EXPONDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Lambda λ Parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není k dispozici S jejím výpočtem si však snadno poradíme, neboť pro 100P% kvantil exponenciálního rozdělení platí vztah 508

13 35 Weibullovo rozdělení Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení s parametry δ a c, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar vyjádřený pomocí gama funkce Speciálním případem Weibullova rozdělení je pro c = 1 exponenciální rozdělení 6/2OO6 509

14 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce WEIBULL Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Alfa c Parametr rozdělení Beta δ Parametr rozdělení Typ NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není v Excelu k dispozici Pro výpočet 100P% kvantilu Weibullova rozdělení můžeme použít vztah 510

15 36 Studentovo rozdělení (t-rozdělení) Náhodná veličina X má Studentovo rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud n > 1 a je rovna E(X) = 0 Rozptyl existuje, pokud n > 2 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce TDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Navíc není možné za x dosadit záporné číslo pro záporná x je tedy nutné využít symetrie Studentova rozdělení kolem nuly (F( x) = 1 F(x)) Argumenty funkce TDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Strany lze dosadit hodnoty 1 a 2 Pro 1 se počítá výraz 1 F(x), pro 2 se počítá pravděpodobnost 2*(1 F(x)), tj 1 P( x < X < x) = P( X > x) 6/2OO6 511

16 Funkce pro výpočet kvantilů Studentova rozdělení má v Excelu název TINV Výpočet kvantilů se přitom vymyká postupům u předchozích rozdělení Nepočítá se totiž kvantilová funkce, počítá se funkce kritických hodnot F (x p ) = P( X > x p ) = P Pro výpočet kvantilu tedy platí, že pro zadanou pravděpodobnost P počítá funkce TINV kvantil x 1 p/2 a pozor, nerespektuje se znaménko u kvantilu! Znaménko tedy musí uživatel doplnit sám tak, že od 0 do 50 % kvantilu přiřadí znaménko záporné, od 50 % do 100 % znaménko kladné Funkce TINV je tedy inverzní funkcí k TDIST pro hodnotu argumentu Strany = 2 a má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p/2 (až na znaménko) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 512

17 37 Fischer-Schnedecorovo rozdělení (F rozdělení) Náhodná veličina X má Fischer-Schnedecorovo rozdělení s parametry n a m (počty stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud m > 2 a je rovna Rozptyl existuje, pokud M > 4 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce FDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce FDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 513

18 Funkce pro výpočet kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení má v Excelu název FINV Název je opět zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce FINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Při výpočtu kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení můžeme využít vztah 514

19 38 Chí kvadrát rozdělení (χ 2 rozdělení) Náhodná veličina X má chí-kvadrát rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce CHIDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x, tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce CHIDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 515

20 Funkce pro výpočet kvantilů chí-kvadrát rozdělení má v Excelu název CHINV Opět platí, že název je zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce CHINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 39 Beta rozdělení (4 parametrické) Náhodná veličina X má Beta rozdělení s parametry a, b, α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 516

21 Připomeňme, že B(α, β) je Beta funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Pokud bychom položili a = 0 a b = 1, obdržíme klasické dvouparametrické Beta rozdělení ve tvaru V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce BETADIST Argumenty funkce BETADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = 1 6/2OO6 517

22 Funkce pro výpočet kvantilů Beta rozdělení má v Excelu název BETAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = Gama rozdělení Náhodná veličina X má Gama rozdělení s parametry α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 518

23 Připomeňme, že Γ(α) je Gama funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Excel nemá přímo funkci, která by počítala hodnoty funkce Gama Obsahuje však funkci GAMMALN, která vrací hodnotu přirozeného logaritmu funkce Gama Hodnotu Gama funkce v bodě α pak snadno získáme složením funkce EXP agammaln ve tvaru EXP (GAMMALN (α)) V Excelu rovněž není funkce Beta (viz předchozí rozdělení) Pro její výpočet je možné využít vztah Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozdělení gama se v Excelu používá funkce GAMMADIST Argumenty funkce GAMMADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 519

24 Funkce pro výpočet kvantilů Gama rozdělení má v Excelu název GAMMAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Pokud položíme parametr α = 1, obdržíme exponenciální rozdělení (λ = 1 / β) 4 Generování hodnot z pravděpodobnostních rozdělení Co se týče generování náhodných čísel (přesněji řečeno pseudonáhodných čísel), obsahuje MS Excel pouze jedinou funkci pro generování Jedná se o funkci NÁHČÍSLO, která 520

25 generuje hodnoty ze spojitého rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) Hodnoty z dalších pravděpodobnostních rozdělení získáme vhodnou transformací Funkce NÁHČÍSLO má velmi jednoduchou syntaxi nemá totiž žádný argument Není tudíž bohužel ani možné nastavit počáteční hodnotu generátoru Navíc je potřeba počítat s tím, že hodnota této funkce se neustále přepočítává při každé editaci libovolné buňky (samozřejmě pokud je nastaven automatický přepočet tabulky, což je ale standardní nastavení) Chceme-li tedy generovat hodnoty z jiných pravděpodobnostních rozdělení, nezbývá než vyhledat vhodnou literaturu a aplikovat příslušné vzorce 5 Další pravděpodobnostní rozdělení Mohlo by se zdát, že nabídka pravděpodobnostních rozdělení v Excelu je proti statistickým programům chudá Nicméně je třeba si uvědomit, že není žádný problém zadat vhodným vzorcem výpočet pravděpodobnostní funkce či distribuční funkce pro libovolné nespojité rozdělení Poněkud složitější je situace u spojitých rozdělení I zde sice platí, že poměrně snadno spočítáme hustotu pravděpodobnosti pro libovolné rozdělení (tak ostatně byly konstruovány grafy hustot u rozdělení, u kterých Excel vzorec pro výpočet hustoty neobsahuje), horší je to však již při výpočtu distribuční funkce a příslušných kvantilů To však platí pouze v případě, že neznáme tvar distribuční funkce Tato situace je pak pro běžného uživatele (nestatistika) obtížně řešitelná V takovém případě nezbývá, než vyhledat tvar příslušné distribuční funkce v literatuře a zadat ho do Excelu ve formě vzorce (stejně jako při výpočtu hustoty) Bohužel však daleko častěji než vzorec distribuční funkce bývá publikován vzorec hustoty pravděpodobnosti 6 Přesnost výpočtů Na závěr je třeba uvést, že všechna uvedená pravděpodobnostní rozdělení byla v Excelu podrobně prozkoumána a přepočítána Dosažené výsledky (hodnoty pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, hustoty pravděpodobnosti, kvantilů) byly porovnávány s programem Statgraphics Centurion (trial verze) Tento program nám velmi pomohl, neboť v nápovědě obsahuje popis všech obsažených pravděpodobnostních rozdělení a hlavně ke 6/2OO6 521

26 každému rozdělení uvádí vzorec pravděpodobnostní funkce nebo hustoty pravděpodobnosti Srovnání dopadlo pro Excel velmi uspokojivě, neboť jsme nezaznamenali žádné výrazné rozdíly v obou programech Lze tedy konstatovat, že MS Excel (verze 2003) je, co se týče popsaných pravděpodobnostních rozdělení, zcela srovnatelný s tímto statistickým programem (ten má pochopitelně mnohem širší nabídku pravděpodobnostních rozdělení) Pokud se vyskytly nějaké rozdíly, byly většinou způsobeny tvarem parametrů rozdělení (Excel např počítá s převrácenou hodnotou parametru oproti Statgraphicsu apod) Pokud jsme však respektovali tyto odlišnosti, vycházely výsledky stejně Literatura [1] Nápověda k programu MS Excel [2] Nápověda k programu Statgraphics Centurion Luboš Marek, Katedra statistiky a pravděpodobnosti Vysoké školy ekonomické v Praze, nám W Churchilla 4, Praha 3 - Žižkov, Abstract The aim of this article is to evaluate the offer of probability distributions in MS Excel Each division is firstly described theoretically (including formulas for the mean value and variance), further the way of calculating the values of probability or distribution function including their syntax is practically described as well Attention is also given to possibilities of calculating values of probability density in continuous distribution and quantiles In each continuous distribution a picture is given, showing the course of density probability for concrete parameters In the end a possibility of generating random values from continuous uniform distribution in the interval (01) is shown Key words: MS Excel, probability distribution, probability function, distribution function, probability density, quantile, critical value 522

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá statistikou v programu Excel. Cílem této práce je vypracování metodiky pro řešení statistických funkcí v software Excel. Popsat možnosti a omezení modulu a funkcí.

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia

Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia Statistika Základní pojmy balíček: Statistics Pro veškeré výpočty je třeba načíst balíček Statistic. Při řešení můžeme použít proceduru infolevel[statistics]:=1,

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti 7 7 7 Ročník 23, číslo 3, září 2012 WALDŮV INTERVALOVÝ ODHAD PARAMETRU BINOMICKÉHO ROZDĚLENÍ A JEHO ALTERNATIVY Martina Litschmannová Adresa: Ing. Martina Litschmannová, VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech.

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. Statistics ToolBox Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. [manual ST] 1. PROBABILITY DISTRIBUTIONS Statistics

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Univerzita Pardubice Fakulta Ekonomicko- správní. Testy hypotéz s využitím programu MS EXCEL. Tomáš Borůvka

Univerzita Pardubice Fakulta Ekonomicko- správní. Testy hypotéz s využitím programu MS EXCEL. Tomáš Borůvka Univerzita Pardubice Fakulta Ekonomicko- správní Testy hypotéz s využitím programu MS EXCEL Tomáš Borůvka Bakalářská práce 010 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré literární prameny

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ

Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ Název projektu Číslo projektu Název školy Autor Název šablony Název DUMu Stupeň a typ vzdělávání Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Inovace výuky prostřednictvím šablon pro SŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0748

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O

T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O Č E T 2 č. úlohy 6 název úlohy T

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Milan Holický Kloknerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady -

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Funkce a vzorce v Excelu

Funkce a vzorce v Excelu Funkce a vzorce v Excelu Lektor: Ing. Martin Kořínek, Ph.D. Formátování tabulky V této kapitole si vysvětlíme, jak tabulku graficky zdokonalit, jak změnit nastavení šířky a případně výšky sloupců, jak

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

DUM 01 téma: Obecné vlastnosti tabulkového editoru, rozsah, zápis do buňky, klávesové zkratky

DUM 01 téma: Obecné vlastnosti tabulkového editoru, rozsah, zápis do buňky, klávesové zkratky DUM 01 téma: Obecné vlastnosti tabulkového editoru, rozsah, zápis do buňky, klávesové zkratky ze sady: 02 tematický okruh sady: Tabulkový editor ze šablony: 07 KANCELÁŘSKÝ SOFTWARE určeno pro: 1-4. ročník

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci

Více

OBSAH. 1. Co jsou funkce listu 3

OBSAH. 1. Co jsou funkce listu 3 OBSAH 1. Co jsou funkce listu 3 1.1. Průvodce funkcí 3 1.2. Konvence 3 1.3. Syntax funkcí 3 1.4. Jména argumentů 4 1.5. Použití argumentů 4 1.6. Typy argumentů 4 2. Seznam funkcí podle kategorií 5 2.1.

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Charakteristiky kategoriálních veličin. Absolutní četnosti (FREQUENCY)

Charakteristiky kategoriálních veličin. Absolutní četnosti (FREQUENCY) Charakteristiky kategoriálních veličin Absolutní četnosti (FREQUENCY) Charakteristiky kategoriálních veličin Relativní četnosti Charakteristiky kategoriálních veličin Relativní četnosti Charakteristiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Přejímka jedním výběrem

Přejímka jedním výběrem Přejímka jedním výběrem Menu: QCExpert Přejímka Jedním výběrem Statistická přejímka jedním výběrem slouží k rozhodnutí, zda dané množství nějakých výrobků vyhovuje našim požadavkům na kvalitu, která je

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo

Více

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Martin Fajkus Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky, Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Míra přerozdělování příjmů v ČR

Míra přerozdělování příjmů v ČR Míra přerozdělování příjmů v ČR Luboš Marek, Michal Vrabec Anotace V tomto článku počítají autoři hodnoty Giniho indexu v České republice. Tento index je spočítán nejprve za celou ČR, poté pro skupinu

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více