Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel"

Transkript

1 Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se tyto programy posuzují z různých hledisek Každý, kdo někdy pracoval s několika různými programy, ví, že na tuto jednoduchou otázku není jednoznačná odpověď Každý z programů má totiž některé slabší a některé silnější stránky, a tak asi nikoho nepřekvapí, když uvedeme, že statistický program si často vybíráme až na základě úlohy, kterou chceme zpracovat Podmínkou pochopitelně je, aby bylo z čeho vybírat Mezi programy, které by asi málokdo zařadil mezi statistické, patří i statistiky často odmítaný MS Excel Přitom, pokud pomineme nekvalitní, místy až zoufalý překlad z angličtiny v oblasti statistiky, se jedná o program, který umožňuje kvalitní aplikaci různých procedur, mnohdy na úrovni srovnatelné s procedurami ve specializovaných (a také daleko dražších) statistických programech Umožňuje např velmi snadnou aplikaci statistických funkcí z nejrůznějších oblastí Nesmíme totiž zapomínat, že právě jednoduché ovládání a dostupnost (tento tabulkový procesor je dnes instalován téměř na každém počítači) je velkou devizou tohoto programu V tomto článku bychom chtěli zhodnotit MS Excel z hlediska pravděpodobnostních rozdělení V první řadě zhodnotíme nabídku pravděpodobnostních rozdělení v tomto programu U každého rozdělení popíšeme možnosti výpočtů hodnot distribuční funkce a kvantilů a syntaxi příslušných funkcí U každého spojitého rozdělení uvedeme obrázek s ukázkou průběhu hustoty pravděpodobnosti pro konkrétní parametry (je ovšem třeba ihned poznamenat, že při jiné volbě parametrů bychom obdrželi jiný tvar hustoty) V závěru rovněž zhodnotíme možnosti generování náhodných hodnot z pravděpodobnostních rozdělení 2 Diskrétní rozdělení V oblasti diskrétních (nespojitých) rozdělení obsahuje MS Excel následující rozdělení, u kterých zároveň uvádíme název příslušné funkce: Jedná se tedy o naprosto základní typy rozdělení, navíc ne vždy je možné spočítat distribuční funkci a kvantily To ale není žádné neštěstí, neboť oboje jsme schopni poměrně snad- 6/2OO6 497

2 no spočítat z hodnot pravděpodobnostní funkce Podívejme se nyní na jednotlivá rozdělení podrobněji 21 Binomické rozdělení Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se jak pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce BINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x (počet úspěchů) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Pokusy n (počet pokusů) Prst_úspěchu π Pravděpodobnost úspěchu Počet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 498

3 Jako pro jediné z nespojitých rozdělení je v Excelu uvedena i funkce pro výpočet kvantilů: CRITBINOM Její argumenty mají obdobný význam, jako u funkce BINOMDIST Pokusy n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Alfa pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x P 22 Negativně binomické rozdělení Náhodná veličina X má negativně binomické rozdělení s parametry n a π, jestliže její pravděpodobnostní funkce má pro n celočíselné tvar Připomeňme, že pro přirozená n můžeme náhodnou veličinu X chápat jako počet neúspěchů před n-tým úspěchem Úmyslně uvádíme pravděpodobnostní funkci ve zjednodušeném tvaru, neboť takto je chápána v Excelu Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 499

4 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce NEGBINOMDIST Její argumenty mají následující význam: Číslo_f x (počet neúspěchů před n-tým úspěchem) Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Číslo_s n (počet pokusů) Prst_s π Pravděpodobnost úspěchu Hodnoty distribuční funkce je nutné napočítat z hodnoty pravděpodobnostní funkce, stejně tak i hodnoty kvantilů Speciálním případem negativně binomického rozdělení je rozdělení geometrické Toto rozdělení obdržíme velmi snadno, pokud v negativně binomickém rozdělení položíme n=1 Potom se předchozí pravděpodobnostní funkce zjednoduší do tvaru Náhodnou veličinu X lze potom chápat jako počet neúspěchů před prvním úspěchem Pro střední hodnotu a rozptyl obdržíme V Excelu použijeme funkci NEGBINOMDIST, ve které položíme Číslo_s = 1 23 Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar 500

5 Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci i pro pravděpodobnostní funkci používá funkce POISSON Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) či P(x) Střední λ Parametr a zároveň střední hodnota rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu pravděpodobnostní funkce P(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 24 Hypergeometrické rozdělení Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, M a n, jestliže její pravděpodobnostní funkce má tvar Přitom N, M a n jsou přirozená čísla, Střední hodnota a rozptyl mají tvar 6/2OO6 501

6 V Excelu se pro pravděpodobnostní funkci používá funkce HYPGEOMDIST Její argumenty mají následující význam: Úspěch x Hodnota, ve které počítáme P(x) Celkem n (rozsah výběru) Základ_úspěch M Počet prvků s vlastností M Základ_celkem N (rozsah základního souboru) 3 Spojitá rozdělení V oblasti spojitých rozdělení obsahuje MS Excel řadu rozdělení, u kterých opět uvádíme název příslušné funkce pro výpočet distribuční funkce, hustoty a kvantilu: Je tedy zřejmé, že nabídka spojitých rozdělení je podstatně širší, než je tomu u rozdělení nespojitých Pouze čtyři rozdělení však mají uveden vzorec pro výpočet hustoty, což v ostatních případech pochopitelně bude komplikovat její výpočet a případné grafické zobrazení V takových případech bude nutné zadat vzorec hustoty pravděpodobnosti ručně dle tvaru příslušné funkce 502

7 31 Normální rozdělení Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro distribuční funkci a hustotu používá funkce NORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Střed_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 503

8 Funkce pro výpočet kvantilů normálního rozdělení má v Excelu název NORMINV Jedná se skutečně o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Střední µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota Sm_odch σ Parametr rozdělení a zároveň odmocnina z rozptylu (tedy směrodatná odchylka) Kromě normálního rozdělení s obecnými parametry µ a σ 2 nabízí Excel i normované normální rozdělení, tedy rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1 32 Normované normální rozdělení Náhodná veličina U má normální rozdělení s parametry 0 a 1, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar 504

9 V Excelu se pro distribuční funkci používá funkce NORMSDIST Tato funkce má jediný argument: Z u Hodnota, ve které počítáme F(u) Graf hustoty pravděpodobnosti pro normované normální rozdělení vytvořený v Excelu vidíme na následujícím obrázku Hodnoty hustoty pomocí funkce NORMSDIST počítat nelze, je třeba je napočítat z obecného normálního rozdělení při vhodné volbě parametrů To ostatně platí i pro hodnoty kvantilů 33 Logaritmicko normální rozdělení Náhodná veličina X má logaritmicko normální rozdělení s parametry µ a σ 2, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 505

10 Střední hodnota a rozptyl mají tvar Připomeňme, že náhodná veličina Y = 1n(X), má potom normální rozdělení s parametry µ a σ 2 tedy přirozený logaritmus náhodné veličiny s logaritmicko normálním rozdělením má normální rozdělení se stejnými parametry µ a σ 2 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce LOGNORMDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x) Střední µ Parametr rozdělení Pozor, nejedná se o střední hodnotu X, nýbrž o střední hodnotu ln(x) Sm_odchylka σ Parametr rozdělení Opět se nejedná o směrodatnou odchylku X, nýbrž o směrodatnou odchylku hodnoty ln(x) 506

11 Funkce pro výpočet kvantilů logaritmicko normálního rozdělení má v Excelu název LOGINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Stř_hodn µ Parametr rozdělení a zároveň střední hodnota veličiny ln(x) Sm_odch σ Parametr rozdělení, odmocnina ze σ 2 Zároveň směrodatná odchylka veličiny ln(x) 34 Exponenciální rozdělení Náhodná veličina X má exponenciální normální rozdělení s parametrem λ, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 6/2OO6 507

12 Pokud položíme λ = 1 δ, dostali bychom tvar rozdělení, v jakém je obvykle uváděn v literatuře Tento tvar je prezentován pro hodnoty x > 0, neuvažujeme tedy možné posunutí A Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce EXPONDIST Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Lambda λ Parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není k dispozici S jejím výpočtem si však snadno poradíme, neboť pro 100P% kvantil exponenciálního rozdělení platí vztah 508

13 35 Weibullovo rozdělení Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení s parametry δ a c, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar vyjádřený pomocí gama funkce Speciálním případem Weibullova rozdělení je pro c = 1 exponenciální rozdělení 6/2OO6 509

14 V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce a hustoty používá funkce WEIBULL Její argumenty mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme F(x), resp f(x) Alfa c Parametr rozdělení Beta δ Parametr rozdělení Typ NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) Funkce pro výpočet kvantilů tohoto rozdělení není v Excelu k dispozici Pro výpočet 100P% kvantilu Weibullova rozdělení můžeme použít vztah 510

15 36 Studentovo rozdělení (t-rozdělení) Náhodná veličina X má Studentovo rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud n > 1 a je rovna E(X) = 0 Rozptyl existuje, pokud n > 2 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce TDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Navíc není možné za x dosadit záporné číslo pro záporná x je tedy nutné využít symetrie Studentova rozdělení kolem nuly (F( x) = 1 F(x)) Argumenty funkce TDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Strany lze dosadit hodnoty 1 a 2 Pro 1 se počítá výraz 1 F(x), pro 2 se počítá pravděpodobnost 2*(1 F(x)), tj 1 P( x < X < x) = P( X > x) 6/2OO6 511

16 Funkce pro výpočet kvantilů Studentova rozdělení má v Excelu název TINV Výpočet kvantilů se přitom vymyká postupům u předchozích rozdělení Nepočítá se totiž kvantilová funkce, počítá se funkce kritických hodnot F (x p ) = P( X > x p ) = P Pro výpočet kvantilu tedy platí, že pro zadanou pravděpodobnost P počítá funkce TINV kvantil x 1 p/2 a pozor, nerespektuje se znaménko u kvantilu! Znaménko tedy musí uživatel doplnit sám tak, že od 0 do 50 % kvantilu přiřadí znaménko záporné, od 50 % do 100 % znaménko kladné Funkce TINV je tedy inverzní funkcí k TDIST pro hodnotu argumentu Strany = 2 a má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p/2 (až na znaménko) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 512

17 37 Fischer-Schnedecorovo rozdělení (F rozdělení) Náhodná veličina X má Fischer-Schnedecorovo rozdělení s parametry n a m (počty stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota existuje, pokud m > 2 a je rovna Rozptyl existuje, pokud M > 4 a je roven V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce FDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x), tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce FDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 513

18 Funkce pro výpočet kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení má v Excelu název FINV Název je opět zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce FINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost1 n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Volnost2 m Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti Při výpočtu kvantilů Fischer-Schnedecorova rozdělení můžeme využít vztah 514

19 38 Chí kvadrát rozdělení (χ 2 rozdělení) Náhodná veličina X má chí-kvadrát rozdělení s parametrem n (počet stupňů volnosti), jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar Střední hodnota a rozptyl mají tvar V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce CHIDIST Pozor Excel nepočítá přímo hodnotu distribuční funkce, ale počítá P(X > x, tedy výraz 1 F(x)! Argumenty funkce CHIDIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme výraz 1 F(x) Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 6/2OO6 515

20 Funkce pro výpočet kvantilů chí-kvadrát rozdělení má v Excelu název CHINV Opět platí, že název je zavádějící, protože se nejedná o kvantilovou funkci, nýbrž o funkci kritických hodnot F (x p ) = P(X > x p ) = P Pro zadanou pravděpodobnost P se tedy počítá kvantil x 1 p! Funkce CHINV má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x 1 p Volnost n Parametr rozdělení, počet stupňů volnosti 39 Beta rozdělení (4 parametrické) Náhodná veličina X má Beta rozdělení s parametry a, b, α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 516

21 Připomeňme, že B(α, β) je Beta funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Pokud bychom položili a = 0 a b = 1, obdržíme klasické dvouparametrické Beta rozdělení ve tvaru V Excelu se pro výpočet hodnot distribuční funkce používá funkce BETADIST Argumenty funkce BETADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = 1 6/2OO6 517

22 Funkce pro výpočet kvantilů Beta rozdělení má v Excelu název BETAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení A a, parametr rozdělení, dolní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument B b, parametr rozdělení, horní mez pro hodnoty x Jedná se o nepovinný argument Pokud nejsou argumenty A a B zadány, automaticky platí A = 0 a B = Gama rozdělení Náhodná veličina X má Gama rozdělení s parametry α, β, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar 518

23 Připomeňme, že Γ(α) je Gama funkce, definovaná jako Střední hodnota a rozptyl mají tvar Excel nemá přímo funkci, která by počítala hodnoty funkce Gama Obsahuje však funkci GAMMALN, která vrací hodnotu přirozeného logaritmu funkce Gama Hodnotu Gama funkce v bodě α pak snadno získáme složením funkce EXP agammaln ve tvaru EXP (GAMMALN (α)) V Excelu rovněž není funkce Beta (viz předchozí rozdělení) Pro její výpočet je možné využít vztah Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozdělení gama se v Excelu používá funkce GAMMADIST Argumenty funkce GAMMADIST mají následující význam: X x Hodnota, ve které počítáme hodnotu distribuční funkce F(x) Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Součet NEPRAVDA pro hodnotu hustoty f(x), PRAVDA pro hodnotu distribuční funkce F(x) 6/2OO6 519

24 Funkce pro výpočet kvantilů Gama rozdělení má v Excelu název GAMMAINV Jedná se o kvantilovou funkci F(x p ) = P(X < x p ) = P, která má následující argumenty: Prst pravděpodobnost P pro hodnotu kvantilu x p Alfa α, parametr rozdělení Beta β, parametr rozdělení Pokud položíme parametr α = 1, obdržíme exponenciální rozdělení (λ = 1 / β) 4 Generování hodnot z pravděpodobnostních rozdělení Co se týče generování náhodných čísel (přesněji řečeno pseudonáhodných čísel), obsahuje MS Excel pouze jedinou funkci pro generování Jedná se o funkci NÁHČÍSLO, která 520

25 generuje hodnoty ze spojitého rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) Hodnoty z dalších pravděpodobnostních rozdělení získáme vhodnou transformací Funkce NÁHČÍSLO má velmi jednoduchou syntaxi nemá totiž žádný argument Není tudíž bohužel ani možné nastavit počáteční hodnotu generátoru Navíc je potřeba počítat s tím, že hodnota této funkce se neustále přepočítává při každé editaci libovolné buňky (samozřejmě pokud je nastaven automatický přepočet tabulky, což je ale standardní nastavení) Chceme-li tedy generovat hodnoty z jiných pravděpodobnostních rozdělení, nezbývá než vyhledat vhodnou literaturu a aplikovat příslušné vzorce 5 Další pravděpodobnostní rozdělení Mohlo by se zdát, že nabídka pravděpodobnostních rozdělení v Excelu je proti statistickým programům chudá Nicméně je třeba si uvědomit, že není žádný problém zadat vhodným vzorcem výpočet pravděpodobnostní funkce či distribuční funkce pro libovolné nespojité rozdělení Poněkud složitější je situace u spojitých rozdělení I zde sice platí, že poměrně snadno spočítáme hustotu pravděpodobnosti pro libovolné rozdělení (tak ostatně byly konstruovány grafy hustot u rozdělení, u kterých Excel vzorec pro výpočet hustoty neobsahuje), horší je to však již při výpočtu distribuční funkce a příslušných kvantilů To však platí pouze v případě, že neznáme tvar distribuční funkce Tato situace je pak pro běžného uživatele (nestatistika) obtížně řešitelná V takovém případě nezbývá, než vyhledat tvar příslušné distribuční funkce v literatuře a zadat ho do Excelu ve formě vzorce (stejně jako při výpočtu hustoty) Bohužel však daleko častěji než vzorec distribuční funkce bývá publikován vzorec hustoty pravděpodobnosti 6 Přesnost výpočtů Na závěr je třeba uvést, že všechna uvedená pravděpodobnostní rozdělení byla v Excelu podrobně prozkoumána a přepočítána Dosažené výsledky (hodnoty pravděpodobnostní funkce, distribuční funkce, hustoty pravděpodobnosti, kvantilů) byly porovnávány s programem Statgraphics Centurion (trial verze) Tento program nám velmi pomohl, neboť v nápovědě obsahuje popis všech obsažených pravděpodobnostních rozdělení a hlavně ke 6/2OO6 521

26 každému rozdělení uvádí vzorec pravděpodobnostní funkce nebo hustoty pravděpodobnosti Srovnání dopadlo pro Excel velmi uspokojivě, neboť jsme nezaznamenali žádné výrazné rozdíly v obou programech Lze tedy konstatovat, že MS Excel (verze 2003) je, co se týče popsaných pravděpodobnostních rozdělení, zcela srovnatelný s tímto statistickým programem (ten má pochopitelně mnohem širší nabídku pravděpodobnostních rozdělení) Pokud se vyskytly nějaké rozdíly, byly většinou způsobeny tvarem parametrů rozdělení (Excel např počítá s převrácenou hodnotou parametru oproti Statgraphicsu apod) Pokud jsme však respektovali tyto odlišnosti, vycházely výsledky stejně Literatura [1] Nápověda k programu MS Excel [2] Nápověda k programu Statgraphics Centurion Luboš Marek, Katedra statistiky a pravděpodobnosti Vysoké školy ekonomické v Praze, nám W Churchilla 4, Praha 3 - Žižkov, Abstract The aim of this article is to evaluate the offer of probability distributions in MS Excel Each division is firstly described theoretically (including formulas for the mean value and variance), further the way of calculating the values of probability or distribution function including their syntax is practically described as well Attention is also given to possibilities of calculating values of probability density in continuous distribution and quantiles In each continuous distribution a picture is given, showing the course of density probability for concrete parameters In the end a possibility of generating random values from continuous uniform distribution in the interval (01) is shown Key words: MS Excel, probability distribution, probability function, distribution function, probability density, quantile, critical value 522

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá statistikou v programu Excel. Cílem této práce je vypracování metodiky pro řešení statistických funkcí v software Excel. Popsat možnosti a omezení modulu a funkcí.

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Design Experimentu a Statistika - AGA46E

Design Experimentu a Statistika - AGA46E Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: M 14:00 15:30 W 15:30 17:00

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Analýza dat na PC I.

Analýza dat na PC I. CENTRUM BIOSTATISTIKY A ANALÝZ Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Popisná analýza v programu Statistica IBA výuka Základní popisná statistika Popisná statistika

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Výpočet pravděpodobností

Výpočet pravděpodobností Výpočet pravděpodobností Pravděpodobnostní kalkulátor v programu STATISTICA Cvičení 5 Statistické metody a zpracování dat 1 (podzim 2016) Brno, říjen 2016 Ambrožová Klára Trocha teorie Náhodné jevy mají

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnostní rozdělení

Pravděpodobnostní rozdělení Náhodná proměnná Pravděpodobnostní rozdělení Základy logiky a matematiky, ISS FSV UK Martin Štrobl Tento pomocný materiál neobsahuje všechnu látku k danému tématu, pouze se zaměřuje na pochopení důležitých

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia

Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia Pomůcka pro cvičení: 3. semestr Bc studia Statistika Základní pojmy balíček: Statistics Pro veškeré výpočty je třeba načíst balíček Statistic. Při řešení můžeme použít proceduru infolevel[statistics]:=1,

Více

Stochastické signály (opáčko)

Stochastické signály (opáčko) Stochastické signály (opáčko) Stochastický signál nemůžeme popsat rovnicí, ale pomocí sady parametrů. Hodit se bude statistika a pravděpodobnost (umíte). Tohle je jen miniminiminiopáčko, později probereme

Více

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy

Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Přednáška XI. Asociace ve čtyřpolní tabulce a základy korelační analýzy Relativní riziko a poměr šancí Princip korelace dvou náhodných veličin Korelační koeficienty Pearsonůva Spearmanův Korelace a kauzalita

Více

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti

Na Katedře aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava se, zejména v souvislosti 7 7 7 Ročník 23, číslo 3, září 2012 WALDŮV INTERVALOVÝ ODHAD PARAMETRU BINOMICKÉHO ROZDĚLENÍ A JEHO ALTERNATIVY Martina Litschmannová Adresa: Ing. Martina Litschmannová, VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky

Více

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec

Vzorce. StatSoft. Vzorce. Kde všude se dá zadat vzorec StatSoft Vzorce Jistě se Vám již stalo, že data, která máte přímo k dispozici, sama o sobě nestačí potřebujete je nějak upravit, vypočítat z nich nějaké další proměnné, provést nějaké transformace, Jinak

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech.

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. Statistics ToolBox Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. [manual ST] 1. PROBABILITY DISTRIBUTIONS Statistics

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Simulační modely. Kdy použít simulaci?

Simulační modely. Kdy použít simulaci? Simulační modely Simulace z lat. Simulare (napodobení). Princip simulace spočívá v sestavení modelu reálného systému a provádění opakovaných experimentů s tímto modelem. Simulaci je nutno považovat za

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)* Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Význam ekonomického modelování

Význam ekonomického modelování Základy ekonomického modelování Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility:

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data

Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení příbuzná Transformace náhodných veličin

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Význam ekonomického modelování

Význam ekonomického modelování Základy ekonomického modelování Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility:

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9. Statistické testování hypotéz PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii seminář 9 Statistické testování hypotéz Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení hodnoty parametru =stanovení intervalu spolehlivosti na μ, σ, ρ,

Více