6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení"

Transkript

1 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů vědy a techniky. Původně bylo odvozeno pro analýzu chyb měření, ale postupně se ukázalo, že normální rozdělení za jistých poměrně obecných podmínek aproximuje jiná rozdělení. Normální rozdělení lze použít všude tam, kde náhodná veličina vznikla jako výsledek působení součtu velkého počtu drobných náhodných vlivů, které jsou vzájemně nezávislé a žádný nemá dominantní vliv. Funkce hustoty normálního rozdělení (Gaussova křivka) má tvar f(x) = 1 σ (x µ) 2 2 π e 2 σ 2, kde parametry µ a σ > 0 jsou parametry rozdělení plně určující tvar Gaussovy křivky. Distribuční funkce normálního rozdělení nelze vyjádřit pomocí jednoduchých matematických funkcí její hodnoty proto určujeme pomocí tabulek (nebo pomocí vhodného SW). To, že náhodná veličina X má charakter normálního rozdělení značíme X N(µ; σ 2 ). Pro střední hodnotu normálního rozdělení platí EX = µ a pro rozptyl DX = σ 2. Obrázek 1: Vliv změny parametru rozptylu σ 2 na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (σ 2 = 1-modrá křivka, σ 2 = 2-červená křivka,σ 2 = 1/2-zelená křivka) Při hledání hodnot distribuční funkce ve statistických tabulkách používáme normované (standardizované) normální rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1. Distribuční funkci normované normální veličiny značíme Φ(x) a funkci hustoty φ(x). Libovolnou veličinu X N(µ; σ 2 ) můžeme transformovat na veličinu Z = X µ, která má normované σ normální rozdělení Z N(0; 1) a pro distribuční funkce platí ( ) X µ F (x) = Φ σ V Excelu použijeme pro určení hodnot distribuční funkce a funkce hustoty normálního rozdělení funkci 1

2 Obrázek 2: Vliv změny parametru střední hodnoty µ na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (µ = 1-modrá křivka, µ = 2-červená křivka,µ = 1-zelená křivka) Tabulka 1: Ukázka tabulky hodnot distribuční funkce normovaného normálního rozdělení u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) NORMDIST(x;µ;σ;L), kde L je logická hodnota, která určuje, zda hledáme funkci hustoty L=NEPRAVDA nebo distribuční funkce L=PRAVDA. Př.NORMDIST(7;5;2;NEPRAVDA) vrací hodnotu funkce hustoty (nejedná se o pravděpodobnost!) pro normální náhodnou veličinu se střední hodnotou µ = 5 a rozptylem σ 2 = 2 2. Př.NORMDIST(7;5;2;PRAVDA) vrací pravděpodobnost, náhodná veličina, která se řídí normálním rozdělením s parametry µ = 5 a σ = 4 nabude hodnoty menší nebo rovno než 7. Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSDIST(x) a platí NORMSDIST(x)=NORMDIST(x;0;1;PRAVDA). Pro standardizaci náhodné veličiny X (transformaci na veličinu s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem) používáme funkci STANDARDIZE(x;µ;σ). 2

3 Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete procento chlapců, kteří budou menší než 90 cm; v rozmezí 95 až 105 cm; větší než 110 cm. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a použijeme výše uvedené vztahy a funkce P (X 90) = F (90) = NORMDIST (90; 102; 4.5; P RAV DA) = = 0.38% P (95 X 105) = F (105) F (95) = = NORMDIST (105; 102; 4.5; P RAV DA) NORMDIST (95; 102; 4.5; P RAV DA) = = = 68.76% P (X > 110) = 1 P (X 110) = 1 F (110) = 1 NORMDIST (110; 102; 4.5; P RAV DA) = = 3.77% Pravděpodobnost, že chlapec ve sledovaném věku bude menší než 90 cm je 0.38%, pravděpodobnost, že bude v rozmezí cm je 68.76% a pravděpodobnost, že chlapec bude větší než 110 cm je 3.77%. Pravidlo 3 SIGMA Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením platí tzv. pravidlo 3 SIGMA, které na základě tvaru hustoty určuje, že pro normální veličinu s parametry µ a σ bude téměř 70% hodnot ležet ve vzdálenosti menší než 1 směrodatná odchylka od průmeru µ, přesněji 68.27% hodnot leží v intervalu (µ σ; µ + σ), 95.45% hodnot leží v intervalu (µ 2σ; µ + 2σ), resp. přesně 95% hodnot leží v intervalu (µ 1.96σ; µ σ), 99.73% hodnot leží v intervalu (µ 3σ; µ + 3σ), resp. přesně 99% hodnot leží v intervalu (µ 2.57σ; µ σ), Kvantily a kritické hodnoty normálního rozdělení Kritická hodnota normálního rozdělení z α je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) překročí s pravděpodobností α, tedy P (X > z α ) = α Kvantil normálního rozdělení je u α pravděpodobností α, tedy je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) nepřekročí s P (X < u α ) = α Pro kvantily a kritické hodnoty tedy platí z α = u 1 α, hodnoty kvantilů, případně kritických hodnot pro normované normální rozdělení jsou tabelovány a pro normální rozdělení s parametry µ a σ platí x α = u α σ + µ, kde x α je kvantil obecného normálního rozdělení a u α je kvantil normovaného normálního rozdělení. 3

4 Obrázek 3: Pravidlo 3 SIGMA Tabulka 2: Tabulka kvantilů normovaného normálního rozdělení α u α α u α u p = u 1 p Centrální limitní věta Necht X i, i = 1, 2,..., n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, E(X i ) = µ 0, D(X i ) = σ0. 2 Pak platí n X = X i N(nµ 0 ; nσ0) 2 X = 1 n i=1 n X i N(µ 0 ; σ0/n) 2 i=1 V Excelu použijeme pro určení kvantilů normálního rozdělení funkci NORMINV(α;µ;σ). Př.NORMINV(0.95;2;3) 6.93 nám poskytuje informaci, že pro normální náhodnou veličinu s parametry µ = 2 a rozptylem σ 2 = 3 2 bude 95% měření menších než Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSINV(α) a platí NORMSINV(α)=NORMINV(α;0;1). Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete výšku v tak, aby jsme mohli prohlásit, že 95% chlapců je menších než námi nalezená výška. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a hledáme v tak, aby platilo P (X v) = 95%. Tedy použiji funkci NORMINV(0.95;102;4.5) a dostávám hodnotu v = cm. Tedy výška cm nám rozdělila chlapce na oddělila skupinu 5% nejvyšších chlapců. 4

5 Obrázek 4: Kvantil a kritická hodnota normálního rozdělení 6.2 Rovnoměrné rozdělení R (a; b) a, b R, a < b Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu (a; b) a její výskyt na celém intervalu (a; b) je stejně možný. Pak X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a; b) a plocha pod křivkou hustoty tvoří obdélník, jehož plocha je rovna 1. To znamená, že X jistě nabude hodnoty 1 z intervalu (a; b). Jelikož šířka tohoto intervalu je (b a), výška hustoty musí být rovna b a (nebot integrál přes hustotu dá 1). { 1 pro x a; b Funkce hustoty f (x) = b a 0 jinde 0 pro x a x a Distribuční funkce F (x) = pro x (a; b) b a 1 pro x b Střední hodnota a rozptyl E(X) = a + b 12 D(X) = (a b)2 12 Použití chyby při zaokrouhlování v numerických výpočtech výchozí rozdělení při simulaci náhodných veličin na počítači, ostatní náhodné veličiny lze získat pomocí různých transformací doba, která uplyne od náhodně zvoleného okamžiku do nastoupení jevu, který se pravidelně opakuje časovém intervalu (a; b) libovolná spojitá veličina z intervalu (a; b), o jejímž chování na tomto intervalu není nic bližšího známo (nouzové řešení v případě neznalosti skutečného rozdělení) 5

6 Obrázek 5: Funkce hustoty a distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 6.3 Exponenciální rozdělení Exp (λ), λ > 0 Exp (δ), δ = 1 λ Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu [0, ). { λe Funkce hustoty f (x) = λx = 1 δ e x/δ pro x 0 0 pro x < 0 { 0 pro x < 0 Distribuční funkce F (x) = 1 e λx = 1 e x/δ pro x 0 Střední hodnota a rozptyl E(X) = 1 λ = δ D(X) = 1 λ 2 = δ2 Použití Obrázek 6: Funkce hustoty a distribuční funkce exponenciálního rozdělení doba čekání na určitou náhodnou událost, např. dobu životnosti součástek, které nepodléhají opotřebení λ označuje počet událostí za jednu časovou jednotku δ charakterizuje průměrnou dobu mezi výskytem dvou událostí jestliže se počet výskytů událostí během nějakého časového intervalu řídí Poissonovým rozdělením s parametrem λ, pak doba mezi výskytem dvou událostí se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem λ 6

7 Jak bylo uvedeno, exponenciální rozdělení se spolu s Weibullovým hodí pro modely životnosti a přežití, k dispozici máme pouze funkci distribuční EXPONDIST, inverzní funkci je třeba matematicky odvodit. 6.4 Další spojitá rozdělení Jak již bylo uvedeno dříve, patří normální rozdělená k nejvýznamnějším modelům. V praxi se však můžeme setkat i s daty, která nemají symetrický charakter (jako normální rozdělení) nebo máme jiné závažné důvody nepovažovat data za normální. V takovémto případě můžeme vhodnou transformací dat (pomocí logaritmu, druhé mocniny, převrácené hodnoty, Fisherova transformace z = 1 2 ln 1 + x,... ) převést data na novou veličinu, které již 1 x lépe odpovídá normálnímu rozdělení, provést analýzu na transformované veličině a získané výsledky zpětně modifikovat pro naši původně studovanou náhodnou veličinu. Dále máme možnost pracovat přímo s jinými modely spojité náhodné veličiny nebo použít statistické metody, které nejsou založeny na konkrétním typu rozdělení (tzv. neparametrické metody), případně metody, které nejsou příliš citlivé na porušení předpokladu normality dat (tzv. robusní metody). Excel nám nabízí celou řadu funkcí pro různé typy rozdělení, jedná se vždy o funkce distribuční (resp. funkci hustoty)- výsledkem je pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než zadaná hodnota a inverzní funkci k funkci distribuční-výsledkem je číslo tak, aby pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než výsledné hodnota je námi zadaná pravděpodobnost. Logaritmicko normální rozdělení se hodí pro modely doby přežití, minimální smrtelné dávky v homogenní skupině a podobně, excelovské funkce jsou LOGNORMDIST a LOGINV. Beta rozdělení je rozdělení, které v závislosti na svých parametrech může nabývat různých tvarů a může být použito v různých situacích, příslušné funkce jsou BETADIST a BETAINV. Gamma rozdělení patří k dalším velice univerzálním rozdělením, funkce jsou GAMMADIST a GAMMAINV. Studentovo t-rozdělení,χ 2 rozdělení a F rozdělení jsou rozdělení velmi používaná pro hodnocení různých statistických testů, příslušné excelovské funkce jsou TDIST a TINV, CHIDIST a CHIINV a FDIST a FINV. U všech funkcí je vždy třeba důkladně prostudovat nápovědu, protože například některé inverzní funkcí vrací místo kvantilů hodnoty kritických hodnot. 7

8 Obrázek 7: Graf hustoty vybraných rozdělení 6.5 Některá vícerozměrná rozdělení, jejich populační charakteristiky V rámci teoretických modelů rozdělení náhodné veličiny byly vypracovány též modely pro vícerozměrná data. Z nich nejpoužívanější je model vícerozměrného normálního rozdělení. Kromě charakteristik polohy a variability jednotlivých znaků sledujeme při vícerozměrných modelech též vzájemnou souvislost veličin. Nejpoužívanějšími charakteristikami pro sledování souvislosti dvou náhodných veličin je kovariance a korelace. Kovarianci dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu σ X,Y = cov(x, Y ) = E((X EX) (Y EY )) = E(XY ) E(X)E(Y ), kovariance může nabývat libovolné hodnoty (kladné i záporné a libovolně velké) Výběrová kovariance je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cov(x, y) = 1 n (x i x)(y i y) n 1 Korelace (Pearsonův koeficient) dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu ρ X,Y = cor(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y, kde σ X a σ Y jsou odmocniny z rozptylů příslušných náhodných veličin. Kovariance může nabývat pouze hodnot z intervalu 1; 1. 8 i=1

9 Výběrová korelace je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cor(x, y) = cov(x, y) s x s y, kde s X a s Y jsou výběrové směrodatné odchylky příslušných dat. V Excelu použijeme pro výpočet výběrové kovariance funkci COVAR(oblast dat X;oblast dat Y) a pro výpočet výběrové korelace funkci CORREL(oblast dat X;oblast dat Y). Obrázek 8: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0) Obrázek 9: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0) 9

10 Obrázek 10: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0.5) Obrázek 11: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N = (µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0.5) 6.6 Příklady 1. Mějme náhodnou veličinu X R (8; 12.5). Spočtěte (a) P (X = 9.75); (b) P (X > 11.3); (c) P (8.8 < X < 10.1); (d) 50% kvantil x 0.5. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (8.8 < X < 10.1). (f) Nakreslete graf distribuční funkce náhodné veličiny X a znázorněte v něm x 0.5. Řešení: Hustota pravděpodobnosti je konstantní na intervalu (8; 12.5), jinde je nulová. Tedy f (x) = { = 1 = pro x (8; 12.5) jinde. Distribuční funkce pro x (8; 12.5) je pak F (x) = x

11 (a) P (X = 9.75) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X > 11.3) = 1 P (X 11.3) = 1 F (11.3) = = (c) P (8.8 < X < 10.1) = F (10.1) F (8.8) = = (d) F (x 0.5 ) = 0.5 x 0.5 = 0.5 (12.5 8) + 8 = (e) Hustota rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 12: Funkce hustot rovnoměrného rozdělení (f) Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 13: Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 2. Náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0; 5). Určete: (a) pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty vyšší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. (b) pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty nižší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = x = x 5. (a) P (X > 4 X > 2) = (b) P (X < 4 X > 2) = P (X > 4) P (X > 2) = 1 F (4) 1 F (2) = 1 4/5 1 2/5 = = 1 3 P (2 < X < 4) P (X > 2) = F (4) F (2) 1 F (2) = 4/5 2/5 1 2/5 = =

12 3. Předpokládejme, že průměrná doba zpracování zakázky je 30 sekund a řídí se exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti. (a) Určete pravděpodobnost, že zakázka se zpracuje do 1 minuty. (b) Určete dobu, do níž se zakázka zpracuje s pravděpodobností Řešení: Doba zpracování zakázky (v sekundách) X Exp (δ = 30) = Exp ( λ = 1 ) 30 (a) P (X < 60) = P (X 60) = F (60) = 1 e 60/30 = (b) F (t) = 0.95 t = 30 ln 0.05 = 89.87[s] 4. Výrobce udává, že střední doba životnosti určité součástky je 4 roky. Za předpokladu, že životnost součástky se řídí exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti a údaj daný výrobcem je pravdivý, spočtěte pravděpodobnost, že životnost náhodně vybrané součástky bude kratší, než půl roku. Řešení: Životnost součástky X Exp (δ = 4). Platí P (X < 0.5) = P (X 0.5) = F (0.5) = 1 e 0.5/4 = Mějme náhodnou veličinu X Exp (δ = 11). Spočtěte (a) P (X = 27.5); (b) P (X < 9.9); (c) P (18.5 X 54.7); (d) 10% kvantil x 0.1. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (18.5 X 54.7) a x 0.1. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = 1 e x/11 pro x 0. (a) P (X = 27.5) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X < 9.9) = F (9.9) = 1 e 9.9/11 = (c) P (18.5 X 54.7) = F (54.7) F (18.5) = = (d) F (x 0.1 ) = 0.1 x 0.1 = 11 ln (1 0.1) = (e) Hustota exponenciálního rozdělení Exp (δ = 11) 6. Čekáme na autobus v horské vesnici. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že zpoždění odjezdu autobusu ze zastávky se přibližně řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 10 min. a rozptylem 25 (min 2 ). Spočtěte: (a) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min.; (b) ppst, že autobus odjede dříve; 12

13 Obrázek 14: Funkce hustoty exponenciálního rozdělení (c) ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; (d) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min., jestliže již má zpoždění 15 min.; (e) čas, ve který bychom měli být na zastávce, aby nám autobus neujel alespoň na 90%. (f) nakreslete graf hustoty pravděpodobnosti a v něm znázorněte ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; Řešení X... zpoždění autobusu X N(10; 25) { ( }} ){ (a) P (X > 20) = 1 P (X 20) = 1 φ = } {{ } ( ) 0 10 (b) P (X < 0) = P (X 0) = F (0) = φ = φ( 2) = 1 φ(2) = 5 = ( ) (c) P ( 2.5 < X < 0) = F (0) F ( 2.5) = φ = 5 = φ ( 2.5) = φ(2.5) = = P (X > 20) (d) P (X > 20 X > 15) = P (X > 15) = 1 F (20) 1 F (15) = 1 φ ( 10 ) 5 1 φ ( ) = = = = 14.36% (e) x 0.1 = µ + σu 0.1 = = Náhodná proměnná X má normální rozdělení s parametry µ, σ 2 0. Zjistěte následující pravděpodobnosti (a) P (X (µ σ; µ + σ)) (b) P (X (µ 2σ; µ + 2σ)) (c) P (X (µ 3σ; µ + 3σ)) 2 13

14 Řešení ( ) ( ) µ + σ µ µ σ µ (a) P (µ σ < X < µ + σ) = F (µ + σ) F (µ σ) = φ φ σ σ φ (1) φ ( 1) = φ (1) 1 + φ (1) = (b) P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = φ (2) φ ( 2) = (c) P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = φ (3) φ ( 3) = = 8. Pro náhodnou proměnnou s normálním rozdělením platí, že Zjistěte hodnoty parametrů µ, σ 2 0. Řešení: u 0.6 = = 4 µ σ P (X 4) = 0.6, P (X 0) = 0.8 neznámých získáme řešení µ = 3.08, σ 2 0 = a současně u 0.8 = = µ. Řešením soustavy dvou rovnic o dvou σ 9. Telefonní ústředna spojí průměrně 76 hovorů za minutu a jejich počet se řídí Poissonovým rozdělením. Spočtěte pravděpodobnost, že ústředna za minutu spojí více než 80 hovorů. 14

15 Řešení: X P o(76) X {0, 1,...} P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 P (0) P (1)... P (80). Výpočet standardním způsobem je velice náročný. Prověříme předpoklady možných aproximací. Rozptyl náhodné veličiny má hodnotu 76, tzn. podmínka aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním je splněna (σ 2 9). Platí tedy X N(76; 76) ( ) P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 F P oisson (80) = 1 F Norm. (80.5) = 1 φ = = 10. Zaokrouhlovací chyba na celé jednotky má rovnoměrné rozložení na intervalu (-0.5; 0.5). Spočtěte pravděpodobnost, že součet 100 zaokrouhlovacích chyb (nezávislých) bude v absolutní hodnotě menší než 5. Řešení: 100 Označme S = X i N(100 0; ) i=1 Zaokrouhlovací chyba X i R( 0.5; 0.5) Máme zjistit P ( 5 < S < 5) = F (5) F ( 5) = φ φ =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá statistikou v programu Excel. Cílem této práce je vypracování metodiky pro řešení statistických funkcí v software Excel. Popsat možnosti a omezení modulu a funkcí.

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech.

Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. Statistics ToolBox Nadstavba pro statistické výpočty Statistics ToolBox obsahuje více než 200 m-souborů které podporují výpočty v následujících oblastech. [manual ST] 1. PROBABILITY DISTRIBUTIONS Statistics

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2

Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 Modul 5: Popis nekategorizovaných dat Co se dozvíte v tomto modulu? Kdy používat modus, průměr a medián. Co je to směrodatná odchylka. Jak popsat distribuci

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O

T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu T E O R I E C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O Č E T 2 č. úlohy 6 název úlohy T

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lorenzova křivka Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Ondřej Vencálek Rok odevzdání:

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 Regresní analýza 1. Byla zjištěna výška otců a výška jejich nejstarších synů [v cm]. otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 c) Odhadněte

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více