6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení"

Transkript

1 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů vědy a techniky. Původně bylo odvozeno pro analýzu chyb měření, ale postupně se ukázalo, že normální rozdělení za jistých poměrně obecných podmínek aproximuje jiná rozdělení. Normální rozdělení lze použít všude tam, kde náhodná veličina vznikla jako výsledek působení součtu velkého počtu drobných náhodných vlivů, které jsou vzájemně nezávislé a žádný nemá dominantní vliv. Funkce hustoty normálního rozdělení (Gaussova křivka) má tvar f(x) = 1 σ (x µ) 2 2 π e 2 σ 2, kde parametry µ a σ > 0 jsou parametry rozdělení plně určující tvar Gaussovy křivky. Distribuční funkce normálního rozdělení nelze vyjádřit pomocí jednoduchých matematických funkcí její hodnoty proto určujeme pomocí tabulek (nebo pomocí vhodného SW). To, že náhodná veličina X má charakter normálního rozdělení značíme X N(µ; σ 2 ). Pro střední hodnotu normálního rozdělení platí EX = µ a pro rozptyl DX = σ 2. Obrázek 1: Vliv změny parametru rozptylu σ 2 na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (σ 2 = 1-modrá křivka, σ 2 = 2-červená křivka,σ 2 = 1/2-zelená křivka) Při hledání hodnot distribuční funkce ve statistických tabulkách používáme normované (standardizované) normální rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1. Distribuční funkci normované normální veličiny značíme Φ(x) a funkci hustoty φ(x). Libovolnou veličinu X N(µ; σ 2 ) můžeme transformovat na veličinu Z = X µ, která má normované σ normální rozdělení Z N(0; 1) a pro distribuční funkce platí ( ) X µ F (x) = Φ σ V Excelu použijeme pro určení hodnot distribuční funkce a funkce hustoty normálního rozdělení funkci 1

2 Obrázek 2: Vliv změny parametru střední hodnoty µ na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (µ = 1-modrá křivka, µ = 2-červená křivka,µ = 1-zelená křivka) Tabulka 1: Ukázka tabulky hodnot distribuční funkce normovaného normálního rozdělení u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) NORMDIST(x;µ;σ;L), kde L je logická hodnota, která určuje, zda hledáme funkci hustoty L=NEPRAVDA nebo distribuční funkce L=PRAVDA. Př.NORMDIST(7;5;2;NEPRAVDA) vrací hodnotu funkce hustoty (nejedná se o pravděpodobnost!) pro normální náhodnou veličinu se střední hodnotou µ = 5 a rozptylem σ 2 = 2 2. Př.NORMDIST(7;5;2;PRAVDA) vrací pravděpodobnost, náhodná veličina, která se řídí normálním rozdělením s parametry µ = 5 a σ = 4 nabude hodnoty menší nebo rovno než 7. Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSDIST(x) a platí NORMSDIST(x)=NORMDIST(x;0;1;PRAVDA). Pro standardizaci náhodné veličiny X (transformaci na veličinu s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem) používáme funkci STANDARDIZE(x;µ;σ). 2

3 Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete procento chlapců, kteří budou menší než 90 cm; v rozmezí 95 až 105 cm; větší než 110 cm. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a použijeme výše uvedené vztahy a funkce P (X 90) = F (90) = NORMDIST (90; 102; 4.5; P RAV DA) = = 0.38% P (95 X 105) = F (105) F (95) = = NORMDIST (105; 102; 4.5; P RAV DA) NORMDIST (95; 102; 4.5; P RAV DA) = = = 68.76% P (X > 110) = 1 P (X 110) = 1 F (110) = 1 NORMDIST (110; 102; 4.5; P RAV DA) = = 3.77% Pravděpodobnost, že chlapec ve sledovaném věku bude menší než 90 cm je 0.38%, pravděpodobnost, že bude v rozmezí cm je 68.76% a pravděpodobnost, že chlapec bude větší než 110 cm je 3.77%. Pravidlo 3 SIGMA Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením platí tzv. pravidlo 3 SIGMA, které na základě tvaru hustoty určuje, že pro normální veličinu s parametry µ a σ bude téměř 70% hodnot ležet ve vzdálenosti menší než 1 směrodatná odchylka od průmeru µ, přesněji 68.27% hodnot leží v intervalu (µ σ; µ + σ), 95.45% hodnot leží v intervalu (µ 2σ; µ + 2σ), resp. přesně 95% hodnot leží v intervalu (µ 1.96σ; µ σ), 99.73% hodnot leží v intervalu (µ 3σ; µ + 3σ), resp. přesně 99% hodnot leží v intervalu (µ 2.57σ; µ σ), Kvantily a kritické hodnoty normálního rozdělení Kritická hodnota normálního rozdělení z α je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) překročí s pravděpodobností α, tedy P (X > z α ) = α Kvantil normálního rozdělení je u α pravděpodobností α, tedy je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) nepřekročí s P (X < u α ) = α Pro kvantily a kritické hodnoty tedy platí z α = u 1 α, hodnoty kvantilů, případně kritických hodnot pro normované normální rozdělení jsou tabelovány a pro normální rozdělení s parametry µ a σ platí x α = u α σ + µ, kde x α je kvantil obecného normálního rozdělení a u α je kvantil normovaného normálního rozdělení. 3

4 Obrázek 3: Pravidlo 3 SIGMA Tabulka 2: Tabulka kvantilů normovaného normálního rozdělení α u α α u α u p = u 1 p Centrální limitní věta Necht X i, i = 1, 2,..., n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, E(X i ) = µ 0, D(X i ) = σ0. 2 Pak platí n X = X i N(nµ 0 ; nσ0) 2 X = 1 n i=1 n X i N(µ 0 ; σ0/n) 2 i=1 V Excelu použijeme pro určení kvantilů normálního rozdělení funkci NORMINV(α;µ;σ). Př.NORMINV(0.95;2;3) 6.93 nám poskytuje informaci, že pro normální náhodnou veličinu s parametry µ = 2 a rozptylem σ 2 = 3 2 bude 95% měření menších než Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSINV(α) a platí NORMSINV(α)=NORMINV(α;0;1). Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete výšku v tak, aby jsme mohli prohlásit, že 95% chlapců je menších než námi nalezená výška. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a hledáme v tak, aby platilo P (X v) = 95%. Tedy použiji funkci NORMINV(0.95;102;4.5) a dostávám hodnotu v = cm. Tedy výška cm nám rozdělila chlapce na oddělila skupinu 5% nejvyšších chlapců. 4

5 Obrázek 4: Kvantil a kritická hodnota normálního rozdělení 6.2 Rovnoměrné rozdělení R (a; b) a, b R, a < b Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu (a; b) a její výskyt na celém intervalu (a; b) je stejně možný. Pak X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a; b) a plocha pod křivkou hustoty tvoří obdélník, jehož plocha je rovna 1. To znamená, že X jistě nabude hodnoty 1 z intervalu (a; b). Jelikož šířka tohoto intervalu je (b a), výška hustoty musí být rovna b a (nebot integrál přes hustotu dá 1). { 1 pro x a; b Funkce hustoty f (x) = b a 0 jinde 0 pro x a x a Distribuční funkce F (x) = pro x (a; b) b a 1 pro x b Střední hodnota a rozptyl E(X) = a + b 12 D(X) = (a b)2 12 Použití chyby při zaokrouhlování v numerických výpočtech výchozí rozdělení při simulaci náhodných veličin na počítači, ostatní náhodné veličiny lze získat pomocí různých transformací doba, která uplyne od náhodně zvoleného okamžiku do nastoupení jevu, který se pravidelně opakuje časovém intervalu (a; b) libovolná spojitá veličina z intervalu (a; b), o jejímž chování na tomto intervalu není nic bližšího známo (nouzové řešení v případě neznalosti skutečného rozdělení) 5

6 Obrázek 5: Funkce hustoty a distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 6.3 Exponenciální rozdělení Exp (λ), λ > 0 Exp (δ), δ = 1 λ Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu [0, ). { λe Funkce hustoty f (x) = λx = 1 δ e x/δ pro x 0 0 pro x < 0 { 0 pro x < 0 Distribuční funkce F (x) = 1 e λx = 1 e x/δ pro x 0 Střední hodnota a rozptyl E(X) = 1 λ = δ D(X) = 1 λ 2 = δ2 Použití Obrázek 6: Funkce hustoty a distribuční funkce exponenciálního rozdělení doba čekání na určitou náhodnou událost, např. dobu životnosti součástek, které nepodléhají opotřebení λ označuje počet událostí za jednu časovou jednotku δ charakterizuje průměrnou dobu mezi výskytem dvou událostí jestliže se počet výskytů událostí během nějakého časového intervalu řídí Poissonovým rozdělením s parametrem λ, pak doba mezi výskytem dvou událostí se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem λ 6

7 Jak bylo uvedeno, exponenciální rozdělení se spolu s Weibullovým hodí pro modely životnosti a přežití, k dispozici máme pouze funkci distribuční EXPONDIST, inverzní funkci je třeba matematicky odvodit. 6.4 Další spojitá rozdělení Jak již bylo uvedeno dříve, patří normální rozdělená k nejvýznamnějším modelům. V praxi se však můžeme setkat i s daty, která nemají symetrický charakter (jako normální rozdělení) nebo máme jiné závažné důvody nepovažovat data za normální. V takovémto případě můžeme vhodnou transformací dat (pomocí logaritmu, druhé mocniny, převrácené hodnoty, Fisherova transformace z = 1 2 ln 1 + x,... ) převést data na novou veličinu, které již 1 x lépe odpovídá normálnímu rozdělení, provést analýzu na transformované veličině a získané výsledky zpětně modifikovat pro naši původně studovanou náhodnou veličinu. Dále máme možnost pracovat přímo s jinými modely spojité náhodné veličiny nebo použít statistické metody, které nejsou založeny na konkrétním typu rozdělení (tzv. neparametrické metody), případně metody, které nejsou příliš citlivé na porušení předpokladu normality dat (tzv. robusní metody). Excel nám nabízí celou řadu funkcí pro různé typy rozdělení, jedná se vždy o funkce distribuční (resp. funkci hustoty)- výsledkem je pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než zadaná hodnota a inverzní funkci k funkci distribuční-výsledkem je číslo tak, aby pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než výsledné hodnota je námi zadaná pravděpodobnost. Logaritmicko normální rozdělení se hodí pro modely doby přežití, minimální smrtelné dávky v homogenní skupině a podobně, excelovské funkce jsou LOGNORMDIST a LOGINV. Beta rozdělení je rozdělení, které v závislosti na svých parametrech může nabývat různých tvarů a může být použito v různých situacích, příslušné funkce jsou BETADIST a BETAINV. Gamma rozdělení patří k dalším velice univerzálním rozdělením, funkce jsou GAMMADIST a GAMMAINV. Studentovo t-rozdělení,χ 2 rozdělení a F rozdělení jsou rozdělení velmi používaná pro hodnocení různých statistických testů, příslušné excelovské funkce jsou TDIST a TINV, CHIDIST a CHIINV a FDIST a FINV. U všech funkcí je vždy třeba důkladně prostudovat nápovědu, protože například některé inverzní funkcí vrací místo kvantilů hodnoty kritických hodnot. 7

8 Obrázek 7: Graf hustoty vybraných rozdělení 6.5 Některá vícerozměrná rozdělení, jejich populační charakteristiky V rámci teoretických modelů rozdělení náhodné veličiny byly vypracovány též modely pro vícerozměrná data. Z nich nejpoužívanější je model vícerozměrného normálního rozdělení. Kromě charakteristik polohy a variability jednotlivých znaků sledujeme při vícerozměrných modelech též vzájemnou souvislost veličin. Nejpoužívanějšími charakteristikami pro sledování souvislosti dvou náhodných veličin je kovariance a korelace. Kovarianci dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu σ X,Y = cov(x, Y ) = E((X EX) (Y EY )) = E(XY ) E(X)E(Y ), kovariance může nabývat libovolné hodnoty (kladné i záporné a libovolně velké) Výběrová kovariance je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cov(x, y) = 1 n (x i x)(y i y) n 1 Korelace (Pearsonův koeficient) dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu ρ X,Y = cor(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y, kde σ X a σ Y jsou odmocniny z rozptylů příslušných náhodných veličin. Kovariance může nabývat pouze hodnot z intervalu 1; 1. 8 i=1

9 Výběrová korelace je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cor(x, y) = cov(x, y) s x s y, kde s X a s Y jsou výběrové směrodatné odchylky příslušných dat. V Excelu použijeme pro výpočet výběrové kovariance funkci COVAR(oblast dat X;oblast dat Y) a pro výpočet výběrové korelace funkci CORREL(oblast dat X;oblast dat Y). Obrázek 8: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0) Obrázek 9: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0) 9

10 Obrázek 10: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0.5) Obrázek 11: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N = (µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0.5) 6.6 Příklady 1. Mějme náhodnou veličinu X R (8; 12.5). Spočtěte (a) P (X = 9.75); (b) P (X > 11.3); (c) P (8.8 < X < 10.1); (d) 50% kvantil x 0.5. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (8.8 < X < 10.1). (f) Nakreslete graf distribuční funkce náhodné veličiny X a znázorněte v něm x 0.5. Řešení: Hustota pravděpodobnosti je konstantní na intervalu (8; 12.5), jinde je nulová. Tedy f (x) = { = 1 = pro x (8; 12.5) jinde. Distribuční funkce pro x (8; 12.5) je pak F (x) = x

11 (a) P (X = 9.75) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X > 11.3) = 1 P (X 11.3) = 1 F (11.3) = = (c) P (8.8 < X < 10.1) = F (10.1) F (8.8) = = (d) F (x 0.5 ) = 0.5 x 0.5 = 0.5 (12.5 8) + 8 = (e) Hustota rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 12: Funkce hustot rovnoměrného rozdělení (f) Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 13: Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 2. Náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0; 5). Určete: (a) pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty vyšší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. (b) pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty nižší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = x = x 5. (a) P (X > 4 X > 2) = (b) P (X < 4 X > 2) = P (X > 4) P (X > 2) = 1 F (4) 1 F (2) = 1 4/5 1 2/5 = = 1 3 P (2 < X < 4) P (X > 2) = F (4) F (2) 1 F (2) = 4/5 2/5 1 2/5 = =

12 3. Předpokládejme, že průměrná doba zpracování zakázky je 30 sekund a řídí se exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti. (a) Určete pravděpodobnost, že zakázka se zpracuje do 1 minuty. (b) Určete dobu, do níž se zakázka zpracuje s pravděpodobností Řešení: Doba zpracování zakázky (v sekundách) X Exp (δ = 30) = Exp ( λ = 1 ) 30 (a) P (X < 60) = P (X 60) = F (60) = 1 e 60/30 = (b) F (t) = 0.95 t = 30 ln 0.05 = 89.87[s] 4. Výrobce udává, že střední doba životnosti určité součástky je 4 roky. Za předpokladu, že životnost součástky se řídí exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti a údaj daný výrobcem je pravdivý, spočtěte pravděpodobnost, že životnost náhodně vybrané součástky bude kratší, než půl roku. Řešení: Životnost součástky X Exp (δ = 4). Platí P (X < 0.5) = P (X 0.5) = F (0.5) = 1 e 0.5/4 = Mějme náhodnou veličinu X Exp (δ = 11). Spočtěte (a) P (X = 27.5); (b) P (X < 9.9); (c) P (18.5 X 54.7); (d) 10% kvantil x 0.1. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (18.5 X 54.7) a x 0.1. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = 1 e x/11 pro x 0. (a) P (X = 27.5) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X < 9.9) = F (9.9) = 1 e 9.9/11 = (c) P (18.5 X 54.7) = F (54.7) F (18.5) = = (d) F (x 0.1 ) = 0.1 x 0.1 = 11 ln (1 0.1) = (e) Hustota exponenciálního rozdělení Exp (δ = 11) 6. Čekáme na autobus v horské vesnici. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že zpoždění odjezdu autobusu ze zastávky se přibližně řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 10 min. a rozptylem 25 (min 2 ). Spočtěte: (a) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min.; (b) ppst, že autobus odjede dříve; 12

13 Obrázek 14: Funkce hustoty exponenciálního rozdělení (c) ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; (d) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min., jestliže již má zpoždění 15 min.; (e) čas, ve který bychom měli být na zastávce, aby nám autobus neujel alespoň na 90%. (f) nakreslete graf hustoty pravděpodobnosti a v něm znázorněte ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; Řešení X... zpoždění autobusu X N(10; 25) { ( }} ){ (a) P (X > 20) = 1 P (X 20) = 1 φ = } {{ } ( ) 0 10 (b) P (X < 0) = P (X 0) = F (0) = φ = φ( 2) = 1 φ(2) = 5 = ( ) (c) P ( 2.5 < X < 0) = F (0) F ( 2.5) = φ = 5 = φ ( 2.5) = φ(2.5) = = P (X > 20) (d) P (X > 20 X > 15) = P (X > 15) = 1 F (20) 1 F (15) = 1 φ ( 10 ) 5 1 φ ( ) = = = = 14.36% (e) x 0.1 = µ + σu 0.1 = = Náhodná proměnná X má normální rozdělení s parametry µ, σ 2 0. Zjistěte následující pravděpodobnosti (a) P (X (µ σ; µ + σ)) (b) P (X (µ 2σ; µ + 2σ)) (c) P (X (µ 3σ; µ + 3σ)) 2 13

14 Řešení ( ) ( ) µ + σ µ µ σ µ (a) P (µ σ < X < µ + σ) = F (µ + σ) F (µ σ) = φ φ σ σ φ (1) φ ( 1) = φ (1) 1 + φ (1) = (b) P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = φ (2) φ ( 2) = (c) P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = φ (3) φ ( 3) = = 8. Pro náhodnou proměnnou s normálním rozdělením platí, že Zjistěte hodnoty parametrů µ, σ 2 0. Řešení: u 0.6 = = 4 µ σ P (X 4) = 0.6, P (X 0) = 0.8 neznámých získáme řešení µ = 3.08, σ 2 0 = a současně u 0.8 = = µ. Řešením soustavy dvou rovnic o dvou σ 9. Telefonní ústředna spojí průměrně 76 hovorů za minutu a jejich počet se řídí Poissonovým rozdělením. Spočtěte pravděpodobnost, že ústředna za minutu spojí více než 80 hovorů. 14

15 Řešení: X P o(76) X {0, 1,...} P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 P (0) P (1)... P (80). Výpočet standardním způsobem je velice náročný. Prověříme předpoklady možných aproximací. Rozptyl náhodné veličiny má hodnotu 76, tzn. podmínka aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním je splněna (σ 2 9). Platí tedy X N(76; 76) ( ) P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 F P oisson (80) = 1 F Norm. (80.5) = 1 φ = = 10. Zaokrouhlovací chyba na celé jednotky má rovnoměrné rozložení na intervalu (-0.5; 0.5). Spočtěte pravděpodobnost, že součet 100 zaokrouhlovacích chyb (nezávislých) bude v absolutní hodnotě menší než 5. Řešení: 100 Označme S = X i N(100 0; ) i=1 Zaokrouhlovací chyba X i R( 0.5; 0.5) Máme zjistit P ( 5 < S < 5) = F (5) F ( 5) = φ φ =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :

S1P Příklady 02. Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: : S1P Příklady 02 Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 2 3 cm Na stranách jsou obrázky: : Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Pravděpodobnost a statistika pro FEL

Pravděpodobnost a statistika pro FEL Pravděpodobnost a statistika pro FEL Blanka Šedivá, Patrice Marek, Tomáš Ťoupal, Eva Wagnerová Cíl kurzu: Základní počet pravděpodobnosti, náhodná proměnná, náhodný vektor, limitní věty, statistické soubory,

Více

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract

Abstrakt. Klíčová slova. Statistika v Excelu, analýza dat, soubor, Excel. Abstract Abstrakt Tato bakalářská práce se zabývá statistikou v programu Excel. Cílem této práce je vypracování metodiky pro řešení statistických funkcí v software Excel. Popsat možnosti a omezení modulu a funkcí.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více