6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení"

Transkript

1 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů vědy a techniky. Původně bylo odvozeno pro analýzu chyb měření, ale postupně se ukázalo, že normální rozdělení za jistých poměrně obecných podmínek aproximuje jiná rozdělení. Normální rozdělení lze použít všude tam, kde náhodná veličina vznikla jako výsledek působení součtu velkého počtu drobných náhodných vlivů, které jsou vzájemně nezávislé a žádný nemá dominantní vliv. Funkce hustoty normálního rozdělení (Gaussova křivka) má tvar f(x) = 1 σ (x µ) 2 2 π e 2 σ 2, kde parametry µ a σ > 0 jsou parametry rozdělení plně určující tvar Gaussovy křivky. Distribuční funkce normálního rozdělení nelze vyjádřit pomocí jednoduchých matematických funkcí její hodnoty proto určujeme pomocí tabulek (nebo pomocí vhodného SW). To, že náhodná veličina X má charakter normálního rozdělení značíme X N(µ; σ 2 ). Pro střední hodnotu normálního rozdělení platí EX = µ a pro rozptyl DX = σ 2. Obrázek 1: Vliv změny parametru rozptylu σ 2 na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (σ 2 = 1-modrá křivka, σ 2 = 2-červená křivka,σ 2 = 1/2-zelená křivka) Při hledání hodnot distribuční funkce ve statistických tabulkách používáme normované (standardizované) normální rozdělení s parametry µ = 0 a σ 2 = 1. Distribuční funkci normované normální veličiny značíme Φ(x) a funkci hustoty φ(x). Libovolnou veličinu X N(µ; σ 2 ) můžeme transformovat na veličinu Z = X µ, která má normované σ normální rozdělení Z N(0; 1) a pro distribuční funkce platí ( ) X µ F (x) = Φ σ V Excelu použijeme pro určení hodnot distribuční funkce a funkce hustoty normálního rozdělení funkci 1

2 Obrázek 2: Vliv změny parametru střední hodnoty µ na tvar Gaussovy křivky a odpovídající distribuční funkci (µ = 1-modrá křivka, µ = 2-červená křivka,µ = 1-zelená křivka) Tabulka 1: Ukázka tabulky hodnot distribuční funkce normovaného normálního rozdělení u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) u Φ(u) NORMDIST(x;µ;σ;L), kde L je logická hodnota, která určuje, zda hledáme funkci hustoty L=NEPRAVDA nebo distribuční funkce L=PRAVDA. Př.NORMDIST(7;5;2;NEPRAVDA) vrací hodnotu funkce hustoty (nejedná se o pravděpodobnost!) pro normální náhodnou veličinu se střední hodnotou µ = 5 a rozptylem σ 2 = 2 2. Př.NORMDIST(7;5;2;PRAVDA) vrací pravděpodobnost, náhodná veličina, která se řídí normálním rozdělením s parametry µ = 5 a σ = 4 nabude hodnoty menší nebo rovno než 7. Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSDIST(x) a platí NORMSDIST(x)=NORMDIST(x;0;1;PRAVDA). Pro standardizaci náhodné veličiny X (transformaci na veličinu s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem) používáme funkci STANDARDIZE(x;µ;σ). 2

3 Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete procento chlapců, kteří budou menší než 90 cm; v rozmezí 95 až 105 cm; větší než 110 cm. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a použijeme výše uvedené vztahy a funkce P (X 90) = F (90) = NORMDIST (90; 102; 4.5; P RAV DA) = = 0.38% P (95 X 105) = F (105) F (95) = = NORMDIST (105; 102; 4.5; P RAV DA) NORMDIST (95; 102; 4.5; P RAV DA) = = = 68.76% P (X > 110) = 1 P (X 110) = 1 F (110) = 1 NORMDIST (110; 102; 4.5; P RAV DA) = = 3.77% Pravděpodobnost, že chlapec ve sledovaném věku bude menší než 90 cm je 0.38%, pravděpodobnost, že bude v rozmezí cm je 68.76% a pravděpodobnost, že chlapec bude větší než 110 cm je 3.77%. Pravidlo 3 SIGMA Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením platí tzv. pravidlo 3 SIGMA, které na základě tvaru hustoty určuje, že pro normální veličinu s parametry µ a σ bude téměř 70% hodnot ležet ve vzdálenosti menší než 1 směrodatná odchylka od průmeru µ, přesněji 68.27% hodnot leží v intervalu (µ σ; µ + σ), 95.45% hodnot leží v intervalu (µ 2σ; µ + 2σ), resp. přesně 95% hodnot leží v intervalu (µ 1.96σ; µ σ), 99.73% hodnot leží v intervalu (µ 3σ; µ + 3σ), resp. přesně 99% hodnot leží v intervalu (µ 2.57σ; µ σ), Kvantily a kritické hodnoty normálního rozdělení Kritická hodnota normálního rozdělení z α je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) překročí s pravděpodobností α, tedy P (X > z α ) = α Kvantil normálního rozdělení je u α pravděpodobností α, tedy je číslo, které náhodná veličina X N(µ; σ 2 ) nepřekročí s P (X < u α ) = α Pro kvantily a kritické hodnoty tedy platí z α = u 1 α, hodnoty kvantilů, případně kritických hodnot pro normované normální rozdělení jsou tabelovány a pro normální rozdělení s parametry µ a σ platí x α = u α σ + µ, kde x α je kvantil obecného normálního rozdělení a u α je kvantil normovaného normálního rozdělení. 3

4 Obrázek 3: Pravidlo 3 SIGMA Tabulka 2: Tabulka kvantilů normovaného normálního rozdělení α u α α u α u p = u 1 p Centrální limitní věta Necht X i, i = 1, 2,..., n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, E(X i ) = µ 0, D(X i ) = σ0. 2 Pak platí n X = X i N(nµ 0 ; nσ0) 2 X = 1 n i=1 n X i N(µ 0 ; σ0/n) 2 i=1 V Excelu použijeme pro určení kvantilů normálního rozdělení funkci NORMINV(α;µ;σ). Př.NORMINV(0.95;2;3) 6.93 nám poskytuje informaci, že pro normální náhodnou veličinu s parametry µ = 2 a rozptylem σ 2 = 3 2 bude 95% měření menších než Pro distribuční funkci normované normální rozdělení používáme funkci NORMSINV(α) a platí NORMSINV(α)=NORMINV(α;0;1). Př. Výška v populaci chlapců ve věku roky má normální rozdělení s průměrem µ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4.5 cm. Určete výšku v tak, aby jsme mohli prohlásit, že 95% chlapců je menších než námi nalezená výška. Řešení: Označme X N(µ = 102; σ 2 = ) a hledáme v tak, aby platilo P (X v) = 95%. Tedy použiji funkci NORMINV(0.95;102;4.5) a dostávám hodnotu v = cm. Tedy výška cm nám rozdělila chlapce na oddělila skupinu 5% nejvyšších chlapců. 4

5 Obrázek 4: Kvantil a kritická hodnota normálního rozdělení 6.2 Rovnoměrné rozdělení R (a; b) a, b R, a < b Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu (a; b) a její výskyt na celém intervalu (a; b) je stejně možný. Pak X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (a; b) a plocha pod křivkou hustoty tvoří obdélník, jehož plocha je rovna 1. To znamená, že X jistě nabude hodnoty 1 z intervalu (a; b). Jelikož šířka tohoto intervalu je (b a), výška hustoty musí být rovna b a (nebot integrál přes hustotu dá 1). { 1 pro x a; b Funkce hustoty f (x) = b a 0 jinde 0 pro x a x a Distribuční funkce F (x) = pro x (a; b) b a 1 pro x b Střední hodnota a rozptyl E(X) = a + b 12 D(X) = (a b)2 12 Použití chyby při zaokrouhlování v numerických výpočtech výchozí rozdělení při simulaci náhodných veličin na počítači, ostatní náhodné veličiny lze získat pomocí různých transformací doba, která uplyne od náhodně zvoleného okamžiku do nastoupení jevu, který se pravidelně opakuje časovém intervalu (a; b) libovolná spojitá veličina z intervalu (a; b), o jejímž chování na tomto intervalu není nic bližšího známo (nouzové řešení v případě neznalosti skutečného rozdělení) 5

6 Obrázek 5: Funkce hustoty a distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 6.3 Exponenciální rozdělení Exp (λ), λ > 0 Exp (δ), δ = 1 λ Náhodná veličina X může nabýt libovolné reálné hodnoty x z intervalu [0, ). { λe Funkce hustoty f (x) = λx = 1 δ e x/δ pro x 0 0 pro x < 0 { 0 pro x < 0 Distribuční funkce F (x) = 1 e λx = 1 e x/δ pro x 0 Střední hodnota a rozptyl E(X) = 1 λ = δ D(X) = 1 λ 2 = δ2 Použití Obrázek 6: Funkce hustoty a distribuční funkce exponenciálního rozdělení doba čekání na určitou náhodnou událost, např. dobu životnosti součástek, které nepodléhají opotřebení λ označuje počet událostí za jednu časovou jednotku δ charakterizuje průměrnou dobu mezi výskytem dvou událostí jestliže se počet výskytů událostí během nějakého časového intervalu řídí Poissonovým rozdělením s parametrem λ, pak doba mezi výskytem dvou událostí se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem λ 6

7 Jak bylo uvedeno, exponenciální rozdělení se spolu s Weibullovým hodí pro modely životnosti a přežití, k dispozici máme pouze funkci distribuční EXPONDIST, inverzní funkci je třeba matematicky odvodit. 6.4 Další spojitá rozdělení Jak již bylo uvedeno dříve, patří normální rozdělená k nejvýznamnějším modelům. V praxi se však můžeme setkat i s daty, která nemají symetrický charakter (jako normální rozdělení) nebo máme jiné závažné důvody nepovažovat data za normální. V takovémto případě můžeme vhodnou transformací dat (pomocí logaritmu, druhé mocniny, převrácené hodnoty, Fisherova transformace z = 1 2 ln 1 + x,... ) převést data na novou veličinu, které již 1 x lépe odpovídá normálnímu rozdělení, provést analýzu na transformované veličině a získané výsledky zpětně modifikovat pro naši původně studovanou náhodnou veličinu. Dále máme možnost pracovat přímo s jinými modely spojité náhodné veličiny nebo použít statistické metody, které nejsou založeny na konkrétním typu rozdělení (tzv. neparametrické metody), případně metody, které nejsou příliš citlivé na porušení předpokladu normality dat (tzv. robusní metody). Excel nám nabízí celou řadu funkcí pro různé typy rozdělení, jedná se vždy o funkce distribuční (resp. funkci hustoty)- výsledkem je pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než zadaná hodnota a inverzní funkci k funkci distribuční-výsledkem je číslo tak, aby pravděpodobnost, že sledovaná veličina bude menší než výsledné hodnota je námi zadaná pravděpodobnost. Logaritmicko normální rozdělení se hodí pro modely doby přežití, minimální smrtelné dávky v homogenní skupině a podobně, excelovské funkce jsou LOGNORMDIST a LOGINV. Beta rozdělení je rozdělení, které v závislosti na svých parametrech může nabývat různých tvarů a může být použito v různých situacích, příslušné funkce jsou BETADIST a BETAINV. Gamma rozdělení patří k dalším velice univerzálním rozdělením, funkce jsou GAMMADIST a GAMMAINV. Studentovo t-rozdělení,χ 2 rozdělení a F rozdělení jsou rozdělení velmi používaná pro hodnocení různých statistických testů, příslušné excelovské funkce jsou TDIST a TINV, CHIDIST a CHIINV a FDIST a FINV. U všech funkcí je vždy třeba důkladně prostudovat nápovědu, protože například některé inverzní funkcí vrací místo kvantilů hodnoty kritických hodnot. 7

8 Obrázek 7: Graf hustoty vybraných rozdělení 6.5 Některá vícerozměrná rozdělení, jejich populační charakteristiky V rámci teoretických modelů rozdělení náhodné veličiny byly vypracovány též modely pro vícerozměrná data. Z nich nejpoužívanější je model vícerozměrného normálního rozdělení. Kromě charakteristik polohy a variability jednotlivých znaků sledujeme při vícerozměrných modelech též vzájemnou souvislost veličin. Nejpoužívanějšími charakteristikami pro sledování souvislosti dvou náhodných veličin je kovariance a korelace. Kovarianci dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu σ X,Y = cov(x, Y ) = E((X EX) (Y EY )) = E(XY ) E(X)E(Y ), kovariance může nabývat libovolné hodnoty (kladné i záporné a libovolně velké) Výběrová kovariance je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cov(x, y) = 1 n (x i x)(y i y) n 1 Korelace (Pearsonův koeficient) dvou náhodných veličin (dvou teoretických populací) X a Y určíme podle vztahu ρ X,Y = cor(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y, kde σ X a σ Y jsou odmocniny z rozptylů příslušných náhodných veličin. Kovariance může nabývat pouze hodnot z intervalu 1; 1. 8 i=1

9 Výběrová korelace je odpovídající charakteristika z náhodného výběru a spočteme ji podle vztahu cor(x, y) = cov(x, y) s x s y, kde s X a s Y jsou výběrové směrodatné odchylky příslušných dat. V Excelu použijeme pro výpočet výběrové kovariance funkci COVAR(oblast dat X;oblast dat Y) a pro výpočet výběrové korelace funkci CORREL(oblast dat X;oblast dat Y). Obrázek 8: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0) Obrázek 9: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0) 9

10 Obrázek 10: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N(µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 1; ρ = 0.5) Obrázek 11: Graf hustoty dvourozměrného normálního rozdělení a odpovídající vrstevnice veličiny X N = (µ 1 = 0; µ 2 = 0; σ 1 = 1; σ 2 = 4; ρ = 0.5) 6.6 Příklady 1. Mějme náhodnou veličinu X R (8; 12.5). Spočtěte (a) P (X = 9.75); (b) P (X > 11.3); (c) P (8.8 < X < 10.1); (d) 50% kvantil x 0.5. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (8.8 < X < 10.1). (f) Nakreslete graf distribuční funkce náhodné veličiny X a znázorněte v něm x 0.5. Řešení: Hustota pravděpodobnosti je konstantní na intervalu (8; 12.5), jinde je nulová. Tedy f (x) = { = 1 = pro x (8; 12.5) jinde. Distribuční funkce pro x (8; 12.5) je pak F (x) = x

11 (a) P (X = 9.75) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X > 11.3) = 1 P (X 11.3) = 1 F (11.3) = = (c) P (8.8 < X < 10.1) = F (10.1) F (8.8) = = (d) F (x 0.5 ) = 0.5 x 0.5 = 0.5 (12.5 8) + 8 = (e) Hustota rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 12: Funkce hustot rovnoměrného rozdělení (f) Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení R (8; 12.5) Obrázek 13: Distribuční funkce rovnoměrného rozdělení 2. Náhodná veličina má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0; 5). Určete: (a) pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty vyšší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. (b) pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty nižší než 4, za předpokladu, že náhodná veličina již nabyla hodnoty 2. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = x = x 5. (a) P (X > 4 X > 2) = (b) P (X < 4 X > 2) = P (X > 4) P (X > 2) = 1 F (4) 1 F (2) = 1 4/5 1 2/5 = = 1 3 P (2 < X < 4) P (X > 2) = F (4) F (2) 1 F (2) = 4/5 2/5 1 2/5 = =

12 3. Předpokládejme, že průměrná doba zpracování zakázky je 30 sekund a řídí se exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti. (a) Určete pravděpodobnost, že zakázka se zpracuje do 1 minuty. (b) Určete dobu, do níž se zakázka zpracuje s pravděpodobností Řešení: Doba zpracování zakázky (v sekundách) X Exp (δ = 30) = Exp ( λ = 1 ) 30 (a) P (X < 60) = P (X 60) = F (60) = 1 e 60/30 = (b) F (t) = 0.95 t = 30 ln 0.05 = 89.87[s] 4. Výrobce udává, že střední doba životnosti určité součástky je 4 roky. Za předpokladu, že životnost součástky se řídí exponenciálním rozdělením pravděpodobnosti a údaj daný výrobcem je pravdivý, spočtěte pravděpodobnost, že životnost náhodně vybrané součástky bude kratší, než půl roku. Řešení: Životnost součástky X Exp (δ = 4). Platí P (X < 0.5) = P (X 0.5) = F (0.5) = 1 e 0.5/4 = Mějme náhodnou veličinu X Exp (δ = 11). Spočtěte (a) P (X = 27.5); (b) P (X < 9.9); (c) P (18.5 X 54.7); (d) 10% kvantil x 0.1. (e) Nakreslete graf hustoty náhodné veličiny X a znázorněte v něm P (18.5 X 54.7) a x 0.1. Řešení: Distribuční funkce této náhodné veličiny je F (x) = 1 e x/11 pro x 0. (a) P (X = 27.5) = 0 jedná se o spojitou náhodnou veličinu (b) P (X < 9.9) = F (9.9) = 1 e 9.9/11 = (c) P (18.5 X 54.7) = F (54.7) F (18.5) = = (d) F (x 0.1 ) = 0.1 x 0.1 = 11 ln (1 0.1) = (e) Hustota exponenciálního rozdělení Exp (δ = 11) 6. Čekáme na autobus v horské vesnici. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že zpoždění odjezdu autobusu ze zastávky se přibližně řídí normálním rozdělením se střední hodnotou 10 min. a rozptylem 25 (min 2 ). Spočtěte: (a) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min.; (b) ppst, že autobus odjede dříve; 12

13 Obrázek 14: Funkce hustoty exponenciálního rozdělení (c) ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; (d) ppst, že autobus bude mít zpoždění více než 20 min., jestliže již má zpoždění 15 min.; (e) čas, ve který bychom měli být na zastávce, aby nám autobus neujel alespoň na 90%. (f) nakreslete graf hustoty pravděpodobnosti a v něm znázorněte ppst, že autobus odjede o 0 až 2.5 min. dříve; Řešení X... zpoždění autobusu X N(10; 25) { ( }} ){ (a) P (X > 20) = 1 P (X 20) = 1 φ = } {{ } ( ) 0 10 (b) P (X < 0) = P (X 0) = F (0) = φ = φ( 2) = 1 φ(2) = 5 = ( ) (c) P ( 2.5 < X < 0) = F (0) F ( 2.5) = φ = 5 = φ ( 2.5) = φ(2.5) = = P (X > 20) (d) P (X > 20 X > 15) = P (X > 15) = 1 F (20) 1 F (15) = 1 φ ( 10 ) 5 1 φ ( ) = = = = 14.36% (e) x 0.1 = µ + σu 0.1 = = Náhodná proměnná X má normální rozdělení s parametry µ, σ 2 0. Zjistěte následující pravděpodobnosti (a) P (X (µ σ; µ + σ)) (b) P (X (µ 2σ; µ + 2σ)) (c) P (X (µ 3σ; µ + 3σ)) 2 13

14 Řešení ( ) ( ) µ + σ µ µ σ µ (a) P (µ σ < X < µ + σ) = F (µ + σ) F (µ σ) = φ φ σ σ φ (1) φ ( 1) = φ (1) 1 + φ (1) = (b) P (µ 2σ < X < µ + 2σ) = φ (2) φ ( 2) = (c) P (µ 3σ < X < µ + 3σ) = φ (3) φ ( 3) = = 8. Pro náhodnou proměnnou s normálním rozdělením platí, že Zjistěte hodnoty parametrů µ, σ 2 0. Řešení: u 0.6 = = 4 µ σ P (X 4) = 0.6, P (X 0) = 0.8 neznámých získáme řešení µ = 3.08, σ 2 0 = a současně u 0.8 = = µ. Řešením soustavy dvou rovnic o dvou σ 9. Telefonní ústředna spojí průměrně 76 hovorů za minutu a jejich počet se řídí Poissonovým rozdělením. Spočtěte pravděpodobnost, že ústředna za minutu spojí více než 80 hovorů. 14

15 Řešení: X P o(76) X {0, 1,...} P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 P (0) P (1)... P (80). Výpočet standardním způsobem je velice náročný. Prověříme předpoklady možných aproximací. Rozptyl náhodné veličiny má hodnotu 76, tzn. podmínka aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním je splněna (σ 2 9). Platí tedy X N(76; 76) ( ) P (X > 80) = 1 P (X 80) = 1 F P oisson (80) = 1 F Norm. (80.5) = 1 φ = = 10. Zaokrouhlovací chyba na celé jednotky má rovnoměrné rozložení na intervalu (-0.5; 0.5). Spočtěte pravděpodobnost, že součet 100 zaokrouhlovacích chyb (nezávislých) bude v absolutní hodnotě menší než 5. Řešení: 100 Označme S = X i N(100 0; ) i=1 Zaokrouhlovací chyba X i R( 0.5; 0.5) Máme zjistit P ( 5 < S < 5) = F (5) F ( 5) = φ φ =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Lorenzova křivka UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lorenzova křivka Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Ondřej Vencálek Rok odevzdání:

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D

Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Milan Holický Kloknerův ústav ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady -

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277,

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277, Příklad : Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude roven 5? Jev A značí příznivé možnosti: {,, 3}; {,, }; {, 3, }; {,, }; {,, }; {3,, }; P (A) = A Ω = 6 6 3 = 36 = 0.077, kde. značí

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce Seminarni prace Popisná statistika, data nesmí být časovou řadou Zkoumat můžeme třeba mzdy, obraty atd. (takže možná QA?) Formát pdf, poslat nejpozději den před zkouškou. Podrobnější informace jsou na

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183

otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 Regresní analýza 1. Byla zjištěna výška otců a výška jejich nejstarších synů [v cm]. otec 165 178 158 170 180 160 170 167 185 165 173 175 syn 162 184 163 170 189 165 177 170 187 176 171 183 c) Odhadněte

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M3 ZÁKLADY TEORIE ODHADU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více