Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7"

Transkript

1 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby jeho čekání na odjezd ze zastávky. b) Prodejna očekává dodávku nového zboží v určitý konkrétní den v době od 8 do 10 hodin. Uskutečnění dodávky je možné kdykoliv v tomto časovém intervalu. Určete pravděpodobnost, že zboží bude oddáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět. c) Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 6). Vypočítejte: a. E(X + 3) b. E(X 5X + ) c. var(6x 7) d. var(x ) Řešení 1a Doba čekání na odjezd X je náhodná veličina se spojitým rovnoměrným rozdělením v intervalu (0, 5). Podle teorie je střední hodnota a rozptyl EX = = 5 =,50 Odtud směrodatná odchylka je var X = (5 0) 1 = 5 1 = 5 1 =,08333 var X =,08333 = 1,3376 Řešení 1b Náhodná veličina X představuje okamžik dodávky zboží v intervalu hodin od 8 do 10. Tato náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (8, 10). Pravděpodobnostní funkce této náhodné veličiny je 1 8 x 10 f(x) = { 0 jinde Odtud pravděpodobnost doručení zboží v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět je 8,75 P(8,50 < X < 8,75) = 1 dx = [ 1 x] 8,50 8,50 8,75 = 1 8,75 1 8,75 8,50 8,50 = = 0,5 = 0,15 Řešení 1c Máme náhodnou veličinu X s rovnoměrným rozdělením v intervalu (, 6). Podle teorie obecně platí E(a + b X) = a + b EX var(a + b X) = b var X var X = EX (EX) V našem konkrétním příkladu tedy platí: d b 1

2 EX = + 6 = 8 = (6 ) var X = = 1 1 = 16 1 = 3 = 1,33333 Naše náhodná veličina má pravděpodobnostní funkci (jde o rovnoměrné rozdělení na intervalu (, 6)) 1 f(x) = { x 6 0 jinde Nyní můžeme vyhodnotit dané výrazy: a) E(X + 3) = EX + 3 = + 3 = 11 b) E(X 5X + ) = EX 5 EX + = = = 15 3 c) d) var(6x 7) = 6 var X = 36 = 1 = 8 3 var(x ) = E(X ) (E(X )) = EX (E(X )) = (5 3 ) = = = = = Poznámka Výraz EX n se nazývá n-tý moment náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x). Počítá se obecně takto: V našich příkladech jsme konkrétně potřebovali EX n = x n f(x) dx EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x 6 = = 5 3 EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x dx = 1 6 [x3 3 ] 1 = ( ) = 1 ( ) dx = 1 6 [x5 5 ] 1 = ( ) = 1 ( ) = 1 77 = Hodnotu EX bylo možné odvodit i jinak z jednoho vzorce pro vlastnosti charakteristik náhodné veličiny. d b

3 Příklad a) Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 000 hodin. Předpokládejme, že doba čekání na poruchu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Stanovte hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než t, byla 0,99. b) Životnost jistého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům, jestliže požaduje, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby přestanou plnit svou funkci, byla v průměru 0,1? c) Stanovte střední dobu obsluhy v prodejně, víte-li, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Přitom předpokládejte, že doba obsluhy má exponenciální rozdělení s A = 1 minuta. d) Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 a rozptylem 5. Jaká je pravděpodobnost, že tato veličina bude mít hodnotu z intervalu (5, 15)? Řešení a Podle zadání úlohy má platit P(X > t) = 0,99 To můžeme upravit pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu využitím distribuční funkce takto: P(X > t) = 1 P(X < t) = 1 F(t) = 0,99 Odtud F(t) = 0,01 Z definice exponenciálního rozdělení dostáváme 1 e λt = 0,01 Přitom pro parametr exponenciálního rozdělení platí dle zadání (jde o převrácenou hodnotu střední doby čekání na událost) λ = Tedy 1 e t = 0,01 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích e t = 1 0,01 = 0,99 ln e t = ln 0,99 1 t ln e = ln 0, t 1 = ln 0, t = ln 0, t = 000 ln 0,99 t 000 ( 0, ) = 0, d b 3

4 Řešení b Označíme-li hledanou záruční dobu jako x, pak podle definice exponenciálního rozdělení pro jeho parametr (převrácená hodnota střední doby čekání na událost) a následně i distribuční funkci dle zadání úlohy platí λ = 1 3 F(x) = 1 e 1 3 x = 0,1 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích 1 e 1 3 x = 0,1 e 1 3 x = 1 0,1 e 1 3 x = 0,9 ln e 1 3 x = ln 0,9 1 x ln e = ln 0,9 3 1 x 1 = ln 0,9 3 1 x = ln 0,9 3 x = 3 ln 0,9 x 3 ( 0, ) = 0, Řešení c Dle zadání úlohy máme dobu obsluhy v prodejně s exponenciálním rozdělením. Víme, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je x F X (x) = f(t)dt Pro nás je z hlediska dalšího výpočtu důležité = { 1 e λx pro x 0 0 pro x < 0 F X (x) = 1 e λx Ze zadání víme, že F X () = 0,59 Po dosazení dostáváme a postupně řešíme rovnici pro parametr exponenciálního rozdělení 1 e λ = 0,59 e λ = 1 0,59 e λ = 0,708 ln e λ = ln 0,708 λ ln e = ln 0,708 λ 1 = ln 0,708 λ = ln 0,708 λ = 1 ln 0,708 λ 1 ( 0, ) = 0, d b

5 Z teorie víme, že pro střední hodnotu platí EX = 1 λ Po dosazení dostaneme 1 EX 0, ,3308 Střední doba obsluhy je tedy přibližně 13,33 minuty. Řešení d Ze zadání víme, že náhodná veličina X má exponenciální rozdělení a platí pro ni EX = 5, var X = 5 Podle teorie platí EX = 1 λ, var X = 1 λ Odtud snadno určíme parametr exponenciálního rozdělení λ = 1 5 Distribuční funkce v našem konkrétním případu tedy je F X (x) = { 1 e 1 5 x pro x 0 0 pro x < 0 Máme vypočítat pravděpodobnost P(5 X 15) = F(15) F(5) Dosadíme a upravíme P(5 X 15) = (1 e ) (1 e ) = (1 e 3 ) (1 e 1 ) = 1 e e 1 = e 3 + e 1 0, , = 0, d b 5

6 Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 1) bude mít hodnotu: a. menší než 1,6, b. větší než -1,6, c. v intervalu od -1,96 do 1,96, d. větší než,33, e. menší než -,33? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 16) bude mít hodnotu: a. menší než 16, b. větší než 0, c. v intervalu od 1 do 8, d. menší než 1 nebo větší než 8? c) Pro náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) platí P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Určete hodnoty μ a. d) Náhodná veličina X s rozdělením N(0,; 0,6) představuje chybu měření. Vypočtěte: a. pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, b. horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95. e) Při kontrole se přijímají všechny stromky téhož stáří a druhu určené k prodeji, jejichž výška přesahuje 77 cm. Bylo zjištěno, že střední výška stromků je 75 cm a směrodatná odchylka je 5 cm. Předpokládáme, že výška stromků téhož stáří a druhu určených k prodeji má přibližně normální rozdělení. Určete: a. Pravděpodobnost, že stromek, který prošel kontrolou, je větší než 80 cm, b. Kolik stromků větších než 80 cm můžeme očekávat, je-li kontrolou přijato 1000 kusů. f) Pevnost v tahu dané příze má přibližně rozdělení N(μ; ). Každá špulka příze je před expedicí testována a ta špulka, jejíž příze měla pevnost v tahu větší než μ, je označena jako špulka s velmi kvalitní přízí. Určete: a. pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitní příze, b. střední hodnotu a rozptyl pevnosti v tahu pro velmi kvalitní příze. g) Měřicí přístroj je zatížen náhodnými chybami s normálním rozdělením N(0; 16). Určete, kolikrát je třeba změřit předmět, aby se aritmetický průměr všech měření neodchyloval s pravděpodobností 0,955 od správné hodnoty o více než 1 v obou směrech. h) Bylo provedeno 15 nezávislých měření za stejných podmínek. Předpokládáme, že každé měření je ovlivněno pouze náhodnou chybou, která může s pravděpodobností 0,5 nabývat kladné nebo záporné hodnoty. Určete pravděpodobnost, že se objeví a) 7 záporných chyb, b) méně než 3 záporné chyby, c) alespoň 5 kladných chyb. i) V 1 l vody bylo zjištěno průměrně 1 zrnek nečistot. Určete pravděpodobnost, že v 1 l vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. j) Náhodná veličina X má rozdělení N(1, 9). Vypočtěte pravděpodobnost toho, že a) nabude hodnot z intervalu 1, 3, b) nabude hodnot z intervalu (5, 6), c) překročí hodnotu. d b 6

7 k) V závodě jsou vyráběny výrobky, jejichž rozměry mají náhodné odchylky od normou stanovených hodnot. Tyto odchylky jsou rozděleny normálně se směrodatnou odchylkou = 5 [mm] a střední hodnotou μ = 0 [mm]. a) Vypočítejte, kolik procent výrobků bude průměrně zařazeno do vyšší jakostní třídy, jestliže do této třídy se zařazují výrobky s odchylkou rozměrů menší než 3 mm. b) Za jakou horní hranici odchylek se lze zaručit s pravděpodobností 0,90? l) Měřením pevnosti ocelových drátů byla vypočtena střední hodnota 37 MPa a směrodatná odchylka 1,5 MPa. Kolik drátů s pevností od 380 do 10 MPa můžeme průměrně očekávat ve výrobě 00 kusů, víme-li, že pevnost ocelových drátů je náhodná veličina s normálním rozdělením? Řešení 3a Zadaná náhodná veličina X má normované normální rozdělení N(0; 1). Požadované pravděpodobnosti zjistíme snadno pomocí statistické tabulky distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení se obvykle značí Φ(x).V této tabulce přímo vyhledáme potřebné hodnoty. Pokud v ní nejsou potřebné hodnoty přímo uvedeny, dopočítáme je z dvou okolních hodnot lineární interpolací takto: Φ(x) = Φ(x n ) + (x x n ) Φ(x v) Φ(x n ) x v x n Tedy: a) menší než 1,6 počítáme lineární interpolací hodnot z tabulky P(X < 1,6) = Φ(1,6) Φ(1,60) + (1,6 1,60) 0,955 0,95 0,95 + 0,0 1,70 1,60 Φ(1,70) Φ(1,60) 1,70 1,60 = 0,95 + 0,0 0,010 0,1 = = 0,95 + 0,0 0,10 = 0,95 + 0,0008 = 0,998 b) větší než -1,6 = počítáme s využitím symetričnosti normovaného normálního rozdělení a pravděpodobnosti doplňkového jevu P(X > 1,6) = 1 Φ( 1,6) = 1 (1 Φ(1,6)) = Φ(1,6) = Φ(1,6) 0,998 c) v intervalu od -1,96 do 1,96 počítáme s využitím výše uvedených principů P( 1,96 < X < 1,96) = Φ(1,96) Φ( 1,96) = Φ(1,96) (1 Φ(1,96)) = Φ(1,96) 1 + Φ(1,96) = Φ(1,96) 1 Φ(,00) Φ(1,90) = [Φ(1,90) + (1,96 1,90) ] 1,00 1,90 0,977 0,9713 = [0, ,06 ] 1 0,10 = [0, ,06 0,0059 ] 1 = [0, ,06 0,059] 1 0,10 = [0, ,0035] 1 = 0,978 1 = 1, = 0,9968 d) větší než,33 počítáme pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu d b 7

8 P(X >,33) = 1 P(X <,33) = 1 Φ(,33) Φ(,0) Φ(,30) = 1 [Φ(,30) + (,33,30) ],0,30 0,9918 0,9893 = 1 [0, ,03 ] = 1 [0, ,03 0,005 0,10 0,10 ] = 1 [0, ,03 0,05] = 1 [0, ,00075] = 1 0,99005 = 0,00995 e) menší než -,33 počítáme opět s použitím výše uvedených principů P(X <,33) = Φ(,33) = 1 Φ(,33) = 1 0,99005 = 0,00995 Řešení 3b Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0; 16). Pro další výpočty si transformujeme X na normovanou veličinu Z pomocí vztahů z teorie. X~N(μ, X μ ) Z = ~N(0,1) x μ μ x μ μ P(X < x) = P (Z < ) = P (X < ) = Φ (x ) b μ a μ P(a < X < b) = P(X < b) P(X < a) = P (Z < ) P (Z < ) X μ b μ μ a μ μ μ = P ( < ) P (X < ) = Φ (b ) Φ (a ) Distribuční funkce Φ pak je distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Můžeme tedy využívat příslušnou tabulku pro vyhledání potřebných hodnot v následujících výpočtech. Ze zadání úlohy víme: μ = 0, = 16, = Tyto hodnoty využijeme v transformačním výrazu. Máme zjistit pravděpodobnost, že X bude: a) menší než 16, P(X < 16) = P (Z < ) = Φ ( ) = Φ ( ) = Φ( 1) = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 b) větší než 0, P(X > 0) = P (Z > ) = 1 Φ ( ) = 1 Φ ( 0 ) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 c) v intervalu od 1 do 8, P(1 < X < 8) = P ( < Z < ) = Φ ( ) Φ ( ) = Φ ( 8 ) Φ ( 8) = Φ() Φ( ) = Φ() (1 Φ()) = Φ() 1 + Φ() = Φ() = 1,95 1 = 0,95 d) menší než 1 nebo větší než 8? P(X < 1 X > 8) = 1 P(1 < X < 8) = 1 0,95 = 0,056 V tomto řešení jsme s výhodou využili pravděpodobnost doplňkového jevu. d b 8

9 Řešení 3c Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) takovou, že P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Máme určit hodnoty μ a. Využijeme transformace do normovaného normálního rozdělení a dostaneme z obou rovnic 85 μ μ P(X < 85) = P (Z < ) = Φ (85 ) = 0,90 95 μ μ P(X < 95) = P (Z < ) = Φ (95 ) = 0,95 V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení nalezneme Φ(1,0) = 0,889 Φ(1,30) = 0,903 Φ(1,60) = 0,95 Φ(1,70) = 0,955 Pomocí lineární interpolace těchto hodnot nalezneme x 1, x tak, že Φ(x 1 ) = 0,90, Φ(x ) = 0,95 Pro tuto lineární aproximaci platí stejný vztah, jako v úloze 3a. Jen ho nyní použijeme v jistém smyslu opačně. Dostaneme Φ(1,851366) = 0,90, Φ(1,670588) = 0,95 Odtud 85 μ 95 μ = 1,851366, = 1, Tuto soustavu rovnic budeme řešit 85 μ = 1,851366, 95 μ = 1, Od druhé rovnice odečteme první rovnici, dostaneme 10 = 0, Odtud = 7,31361 Dosadíme do první rovnice a dostaneme μ = 85 1, ,31361 = 85 35, = 9, Vypočteme rozptyl = 7,31361 = 75,80986 Daná náhodná veličina X má tedy rozdělení N(9, ; 75,80986). Řešení 3d Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0,; 0,6) představující chybu měření. Transformace této náhodné veličiny do normovaného normálního rozdělení má tvar X 0, Z = 0,8 Máme vypočítat: a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, neboli 1 0, P(X < 1 ) = P( 1 < X < 1) = P ( < Z < 1 0, 0,8 ) = P ( 1, < Z < 0,8 0,8 0,8 0,8 ) = P( 1,5 < Z < 1) = Φ(1) Φ( 1,5) = 0,813 0,0668 = 0,775 b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95, neboli máme najít hodnotu, která s pravděpodobností 0,95 nebude překročena. To je taková hodnota, pro kterou platí d b 9

10 x 0, 0, P(X < x) = P (Z < ) = Φ (x 0,8 0,8 ) = 0,95 Z tabulky kvantilů normovaného normálního rozdělení nebo o něco pracněji z tabulky distribuční funkce téhož rozdělení dostaneme Φ(1,65) = 0,95 Odtud dostáváme rovnici, kterou vyřešíme x 0, = 1,65 0,8 x 0, = 1,65 0,8 x = 1,65 0,8 + 0, = 1, , = 1,516 Řešení 3e a) Označme jev A projití stromku kontrolou a jev B skutečnost, že je vyšší než 80 cm. Pak pravděpodobnosti těchto jevů jsou (využijeme transformaci na normovaný tvar) P(A) = P(X > 77) = P (Z > ) = P (Z > 5 5 ) = 1 P (Z < ) = 1 P(Z < 0,) 5 = 1 Φ(0,) 1 0,655 = 0, P(B) = P(X > 80) = P (Z > ) = P (Z > ) = 1 P (Z < 5 ) = 1 P(Z < 1) 5 = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 Pro vyřešení daného úkolu stanovíme podmíněnou pravděpodobnost s tím, že je zřejmé, že všechny stromky nad 80 cm jsou podmnožinou všech stromků nad 77 cm. P(A B) P(B A) = = P(B) P(X > 80) = P(A) P(A) P(X > 77) 0,1587 0,36 = 0, b) Nyní uvažujme jako náhodnou veličinu počet stromků vyšších než 80 cm ve výběru 1000 stromků. V tomto případě nejde o spojitý případ, ale o případ diskrétní. Tato veličina má binomické rozdělení Bi(0,60; 1000). Parametr počtu je dán v zadání úlohy a parametr pravděpodobnosti jsme vypočítali v předchozím podúkolu. Zbývá určit, kolik stromků vyšších než 80 cm můžeme očekávat ve výběru 1000 stromků. Jde tedy o to, určit střední hodnotu. Ta je pro toto rozdělení podle teorie rovna EZ = n p = ,60 = 60 Řešení 3f Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ). a) Pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitního výrobku znamená, že naše náhodná veličina bude mít hodnotu větší než μ, neboli při znormování μ μ P(X > μ) = P (Z > ) = P (Z > 0 ) = P(Z > 0) = 1 P(Z < 0) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 b) Nyní budeme uvažovat náhodnou veličinu Y představující pevnost v tahu velmi kvalitních výrobků. Je-li F X (x) distribuční funkce veličiny X, pak distribuční funkce F Y (x) veličiny Y, je rovna pro x > μ F Y (x) = F X(x) F X (μ) = F X(x) 0,5 = F X(x) 0,5 1 F X (μ) 1 0,5 0,5 Odtud hustota pravděpodobnosti je d b 10

11 f Y (x) = { f X(x) = π 1 e (x μ ) x > μ 0 jinde Jde o normální rozdělení s useknutou levou polovinou a zdvojnásobenou pravou polovinou. Střední hodnota (první moment) potom je Pro druhý moment platí EY = x π e EY = x π e μ μ 1 (x μ ) 1 (x μ ) Odtud můžeme odvodit rozptyl podle známého vzorce var Y = EY (EY) Dosadíme a upravíme dx = π + μ dx = + μ π + μ var Y = + μ π + μ ( π + μ) = + μ π + μ π μ π μ = π = (1 π ) Řešení 3g Výsledky jednotlivých měření jsou náhodné jevy označené postupně X i, pro i = 1,,, n. Všechna tato měření mají stejné rozdělení N(μ, ). Náhodnou veličinou X je aritmetický průměr výsledků těchto jednotlivých měření. Náhodná veličina X má rozdělení n X = 1 n X i N (0; 16 n ) Naším úkolem je najít takové číslo n, aby pro náhodnou veličinu X byla splněna podmínka P( 1 < X < 1) = 0,955 Transformujeme do normovaného tvaru P( 1 < X < 1) = P ( 1 0 n = Φ ( n Řešíme poslední rovnici postupnými úpravami i=1 < Z < 1 0 ) = P ( n n < Z < n n ) = Φ ( n) Φ ( ) ) (1 Φ ( n)) = Φ ( n) 1 + Φ ( n) = Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) = 0, d b 11

12 Φ ( n ) = 0, = 1,955 = 0,9775 Z tabulky normovaného normálního rozdělení dostaneme Postupně upravíme n = n = = 8 n = 8 = 6 Řešení 3h Náhodná veličina X bude vyjadřovat počet záporných odchylek popsaného měření. Je zcela zřejmé, že X je diskrétní (máme 15 nezávislých měření dávajících pouhé dvě hodnoty kladná nebo záporná odchylka, obě s pravděpodobností 0,5). Z toho je zřejmé že X má binomické rozdělení, neboli X~Bi(15; 0,5). V tomto případě pro pravděpodobnostní funkci platí q(x) = ( 15 x ) 0,5x (1 0,5) 15 x Tento vztah použijeme pro výpočet jednotlivých úloh. Aritmetické výpočty dle uvedeného vzorce svěříme MS Excel, výsledky budeme prezentovat na 7 desetinných míst. Pravděpodobnost 7 záporných chyb dostaneme přímo P(X = 7) = q(7) = 0, Pravděpodobnost méně než 3 záporných chyb je součtem pravděpodobností 0, 1 či záporných chyb P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) = q(0) + q(1) + q() = 0, , , = 0, Pravděpodobnost alespoň 5 kladných chyb je rovna pravděpodobnosti nejvýše 10 záporných chyb. P(X 10) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = ) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = q(0) + q(1) + q() + q(3) + q() + q(5) + q(6) + q(7) + q(8) + q(9) + q(10) = 0, , , , , , , , , , ,09169 = 0,90765 Výpočet by bylo možná se stejným výsledkem (ale menší výpočetní námahou) provést i pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu, neboli vyloučit záporných chyb. V tomto případě bychom dostali P(X 10) = 1 (P(X = 11) + P(X = 1) + P(X = 13) + P(X = 1) + P(X = 15)) = 1 (0, , , , , ) = 1 0,05936 = 0,90765 Řešení 3i Budeme se zabývat náhodným jevem X, který vyjadřuje počet zrn nečistot v půl litru vody. Máme informaci, kolik zrn nečistot je průměrně v jednom litru vody. Je tedy třeba brát průměrný počet zrn nečistot v půl litru vody jako polovinu počtu zadaného pro jeden litr, neboli 7. Vzhledem k charakteru zkoumaného jevu je zřejmé, že tento jev má Poissonovo rozdělení X~Po(7). V tomto konkrétním případě má tedy X pravděpodobnostní funkci d b 1

13 7 x e 7 q(x) = { pro x = 0, 1, x! 0 jinak Máme vypočítat pravděpodobnost, že v půl litru vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. Tedy za pomoci aritmetických výpočtů v MS Excel dostaneme výsledek P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) = q(0) + q(1) + q() + q(3) = 70 e e e e 7 0! 1!! 3! = 0, , , ,0519 = 0, = 0,08 Řešení 3j Řešení MS Excel Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;1;ODMOCNINA(9);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(1,9) rozdil -1 0, , ,95 5 0, , ,03 0,8137 0,1587 Pro jednotlivé úlohy nyní můžeme psát P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = F(3) F( 1) = 0, ,595 = 0,950 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = F(6) F(5) = 0, , = 0,03 P(X > ) = 1 P(X ) = 1 F() = 1 0,8137 = 0,1587 Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(1, 9) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 1 ~N(0, 1) 9 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách takto P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = P ( X ) P (X ) = P (U ) P (U 3 3 ) = Φ ( 3 ) Φ ( 3 ) = Φ ( 3 ) (1 Φ ( 3 )) = Φ ( 3 ) 1 + Φ ( 3 ) = Φ ( ) 1 = 0,786 1 = 1,97 1 = 0,97 3 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = P ( X 1 9 < ) P (X 9 9 < ) = P (U < 5 3 ) P (U < 3 ) = Φ (5 3 ) Φ ( ) = 0,955 0,908 = 0,03 3 d b 13

14 P(X > ) = 1 P(X ) = 1 P ( X 1 9 < 1 9 ) = 1 P (U < 3 3 ) = 1 Φ(1) = 1 0,813 = 0,1587 Řešení 3k Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;0;ODMOCNINA(5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek Pro první úlohu nyní můžeme psát P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = F(3) F( 3) = 0,75 0,7 = 0,51~5,1 % Pro druhou úlohu je třeba zvážit, že normální rozdělení je symetrické. Zajímá nás pravděpodobnost 0,90, hodnoty jsou symetricky rozděleny kolem středu. Takže krajní hodnoty pravděpodobnosti jsou 0,05 a 0,95. K výpočtu využijeme funkci NORM.INV(0,05;0;ODMOCNINA(5)), která poskytuje hodnoty inverzní funkce k distribuční funkci F. Viz obrázek Hledali jsme tedy F 1 (0,05) a F 1 (0,95) Že se hodnoty liší jen znaménkem, jsme očekávali. Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(0, 5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 0 ~N(0, 1) 5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro první úlohu to bude takto P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = P ( X ) P (X ) = P (U 3 3 ) P (U 5 5 ) = Φ (3 5 ) Φ ( 3 5 ) = Φ (3 5 ) (1 Φ (3 5 )) = Φ ( 3 5 ) 1 + Φ (3 5 ) x ND(0,5) rozdil -3 0, ,7577 0,519 ND(0,5) x 0,05-8, ,95 8,68135 = Φ ( 3 ) 1 = 0,757 1 = 1,51 1 = 0,51~5,1 % 5 d b 1

15 Pro druhou úlohu musíme provést obrácenou úvahu. Hledáme x takové, aby P( x X x) = 0,9 Výraz vlevo upravíme a normalizujeme. Dostaneme P( x X x) = P(X x) P(X x) = P ( X 0 5 x 0 0 ) P (X 5 5 x 0 5 ) = P (U x x ) P (U 5 5 ) = Φ (x 5 ) Φ ( x 5 ) = Φ (x 5 ) (1 Φ (x 5 )) Po této úpravě dostáváme rovnici. Odtud po snadné úpravě = Φ ( x 5 ) 1 + Φ (x 5 ) = Φ (x 5 ) 1 Φ ( x 5 ) 1 = 0,9 Φ ( x 5 ) = 0,9 + 1 = 1,9 = 0,95 Uplatníme inverzní funkci k distribuční funkci Φ. Ta je obvykle označována jako u(α) = Φ 1 (α) Tato funkce je pro důležité hodnoty α k dispozici v tabulkách. V našem výpočtu konkrétně dostáváme Φ 1 (Φ ( x 5 )) = x 5 = Φ 1 (0,95) Odtud x = 5 Φ 1 (0,95) Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách a dokončíme výpočet x = 5 Φ 1 (0,95) = 5 1,65 = 8,5 Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení 3l Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 10,5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;37;ODMOCNINA(10,5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(37; 10,5) rozdil 380 0, , ,86181 Pro naši úlohu nyní můžeme psát P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) = F(10) F(380) = 0,9956 0,709 = 0,86 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,86. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 11 kusů. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(37; 10,5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto d b 15

16 X 37 U = ~N(0, 1) 10,5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro naši úlohu to bude takto P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) X X = P ( ) P ( 10,5 10,5 10,55 10,5 ) = P (U 38 8 ) P (U 1,5 1,5 ) = Φ ( 38 1,5 ) Φ ( 8 1,5 ) = Φ(,6) Φ(0,55) = 0,9956 0,7088 = 0,868 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,868. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 115 kusů. d b 16

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Určete polohu a variabilitu mediánem a kvartilovou odchylkou Q(X). g) Určete modus: a. Nespojité náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí

Určete polohu a variabilitu mediánem a kvartilovou odchylkou Q(X). g) Určete modus: a. Nespojité náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí Příklad a) V sérii výrobků je 8 % s povrchovou vadou neomezující funkčnost. Pravděpodobnost reklamace takových výrobků je,8. Pro prodej výrobků s touto povrchovou vadou byly určeny dvě strategie. První

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Statistika I (KMI/PSTAT)

Statistika I (KMI/PSTAT) Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální

Více

Výpočet pravděpodobností

Výpočet pravděpodobností Výpočet pravděpodobností Pravděpodobnostní kalkulátor v programu STATISTICA Cvičení 5 Statistické metody a zpracování dat 1 (podzim 2016) Brno, říjen 2016 Ambrožová Klára Trocha teorie Náhodné jevy mají

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více