Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7"

Transkript

1 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby jeho čekání na odjezd ze zastávky. b) Prodejna očekává dodávku nového zboží v určitý konkrétní den v době od 8 do 10 hodin. Uskutečnění dodávky je možné kdykoliv v tomto časovém intervalu. Určete pravděpodobnost, že zboží bude oddáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět. c) Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 6). Vypočítejte: a. E(X + 3) b. E(X 5X + ) c. var(6x 7) d. var(x ) Řešení 1a Doba čekání na odjezd X je náhodná veličina se spojitým rovnoměrným rozdělením v intervalu (0, 5). Podle teorie je střední hodnota a rozptyl EX = = 5 =,50 Odtud směrodatná odchylka je var X = (5 0) 1 = 5 1 = 5 1 =,08333 var X =,08333 = 1,3376 Řešení 1b Náhodná veličina X představuje okamžik dodávky zboží v intervalu hodin od 8 do 10. Tato náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (8, 10). Pravděpodobnostní funkce této náhodné veličiny je 1 8 x 10 f(x) = { 0 jinde Odtud pravděpodobnost doručení zboží v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět je 8,75 P(8,50 < X < 8,75) = 1 dx = [ 1 x] 8,50 8,50 8,75 = 1 8,75 1 8,75 8,50 8,50 = = 0,5 = 0,15 Řešení 1c Máme náhodnou veličinu X s rovnoměrným rozdělením v intervalu (, 6). Podle teorie obecně platí E(a + b X) = a + b EX var(a + b X) = b var X var X = EX (EX) V našem konkrétním příkladu tedy platí: d b 1

2 EX = + 6 = 8 = (6 ) var X = = 1 1 = 16 1 = 3 = 1,33333 Naše náhodná veličina má pravděpodobnostní funkci (jde o rovnoměrné rozdělení na intervalu (, 6)) 1 f(x) = { x 6 0 jinde Nyní můžeme vyhodnotit dané výrazy: a) E(X + 3) = EX + 3 = + 3 = 11 b) E(X 5X + ) = EX 5 EX + = = = 15 3 c) d) var(6x 7) = 6 var X = 36 = 1 = 8 3 var(x ) = E(X ) (E(X )) = EX (E(X )) = (5 3 ) = = = = = Poznámka Výraz EX n se nazývá n-tý moment náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x). Počítá se obecně takto: V našich příkladech jsme konkrétně potřebovali EX n = x n f(x) dx EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x 6 = = 5 3 EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x dx = 1 6 [x3 3 ] 1 = ( ) = 1 ( ) dx = 1 6 [x5 5 ] 1 = ( ) = 1 ( ) = 1 77 = Hodnotu EX bylo možné odvodit i jinak z jednoho vzorce pro vlastnosti charakteristik náhodné veličiny. d b

3 Příklad a) Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 000 hodin. Předpokládejme, že doba čekání na poruchu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Stanovte hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než t, byla 0,99. b) Životnost jistého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům, jestliže požaduje, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby přestanou plnit svou funkci, byla v průměru 0,1? c) Stanovte střední dobu obsluhy v prodejně, víte-li, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Přitom předpokládejte, že doba obsluhy má exponenciální rozdělení s A = 1 minuta. d) Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 a rozptylem 5. Jaká je pravděpodobnost, že tato veličina bude mít hodnotu z intervalu (5, 15)? Řešení a Podle zadání úlohy má platit P(X > t) = 0,99 To můžeme upravit pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu využitím distribuční funkce takto: P(X > t) = 1 P(X < t) = 1 F(t) = 0,99 Odtud F(t) = 0,01 Z definice exponenciálního rozdělení dostáváme 1 e λt = 0,01 Přitom pro parametr exponenciálního rozdělení platí dle zadání (jde o převrácenou hodnotu střední doby čekání na událost) λ = Tedy 1 e t = 0,01 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích e t = 1 0,01 = 0,99 ln e t = ln 0,99 1 t ln e = ln 0, t 1 = ln 0, t = ln 0, t = 000 ln 0,99 t 000 ( 0, ) = 0, d b 3

4 Řešení b Označíme-li hledanou záruční dobu jako x, pak podle definice exponenciálního rozdělení pro jeho parametr (převrácená hodnota střední doby čekání na událost) a následně i distribuční funkci dle zadání úlohy platí λ = 1 3 F(x) = 1 e 1 3 x = 0,1 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích 1 e 1 3 x = 0,1 e 1 3 x = 1 0,1 e 1 3 x = 0,9 ln e 1 3 x = ln 0,9 1 x ln e = ln 0,9 3 1 x 1 = ln 0,9 3 1 x = ln 0,9 3 x = 3 ln 0,9 x 3 ( 0, ) = 0, Řešení c Dle zadání úlohy máme dobu obsluhy v prodejně s exponenciálním rozdělením. Víme, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je x F X (x) = f(t)dt Pro nás je z hlediska dalšího výpočtu důležité = { 1 e λx pro x 0 0 pro x < 0 F X (x) = 1 e λx Ze zadání víme, že F X () = 0,59 Po dosazení dostáváme a postupně řešíme rovnici pro parametr exponenciálního rozdělení 1 e λ = 0,59 e λ = 1 0,59 e λ = 0,708 ln e λ = ln 0,708 λ ln e = ln 0,708 λ 1 = ln 0,708 λ = ln 0,708 λ = 1 ln 0,708 λ 1 ( 0, ) = 0, d b

5 Z teorie víme, že pro střední hodnotu platí EX = 1 λ Po dosazení dostaneme 1 EX 0, ,3308 Střední doba obsluhy je tedy přibližně 13,33 minuty. Řešení d Ze zadání víme, že náhodná veličina X má exponenciální rozdělení a platí pro ni EX = 5, var X = 5 Podle teorie platí EX = 1 λ, var X = 1 λ Odtud snadno určíme parametr exponenciálního rozdělení λ = 1 5 Distribuční funkce v našem konkrétním případu tedy je F X (x) = { 1 e 1 5 x pro x 0 0 pro x < 0 Máme vypočítat pravděpodobnost P(5 X 15) = F(15) F(5) Dosadíme a upravíme P(5 X 15) = (1 e ) (1 e ) = (1 e 3 ) (1 e 1 ) = 1 e e 1 = e 3 + e 1 0, , = 0, d b 5

6 Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 1) bude mít hodnotu: a. menší než 1,6, b. větší než -1,6, c. v intervalu od -1,96 do 1,96, d. větší než,33, e. menší než -,33? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 16) bude mít hodnotu: a. menší než 16, b. větší než 0, c. v intervalu od 1 do 8, d. menší než 1 nebo větší než 8? c) Pro náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) platí P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Určete hodnoty μ a. d) Náhodná veličina X s rozdělením N(0,; 0,6) představuje chybu měření. Vypočtěte: a. pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, b. horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95. e) Při kontrole se přijímají všechny stromky téhož stáří a druhu určené k prodeji, jejichž výška přesahuje 77 cm. Bylo zjištěno, že střední výška stromků je 75 cm a směrodatná odchylka je 5 cm. Předpokládáme, že výška stromků téhož stáří a druhu určených k prodeji má přibližně normální rozdělení. Určete: a. Pravděpodobnost, že stromek, který prošel kontrolou, je větší než 80 cm, b. Kolik stromků větších než 80 cm můžeme očekávat, je-li kontrolou přijato 1000 kusů. f) Pevnost v tahu dané příze má přibližně rozdělení N(μ; ). Každá špulka příze je před expedicí testována a ta špulka, jejíž příze měla pevnost v tahu větší než μ, je označena jako špulka s velmi kvalitní přízí. Určete: a. pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitní příze, b. střední hodnotu a rozptyl pevnosti v tahu pro velmi kvalitní příze. g) Měřicí přístroj je zatížen náhodnými chybami s normálním rozdělením N(0; 16). Určete, kolikrát je třeba změřit předmět, aby se aritmetický průměr všech měření neodchyloval s pravděpodobností 0,955 od správné hodnoty o více než 1 v obou směrech. h) Bylo provedeno 15 nezávislých měření za stejných podmínek. Předpokládáme, že každé měření je ovlivněno pouze náhodnou chybou, která může s pravděpodobností 0,5 nabývat kladné nebo záporné hodnoty. Určete pravděpodobnost, že se objeví a) 7 záporných chyb, b) méně než 3 záporné chyby, c) alespoň 5 kladných chyb. i) V 1 l vody bylo zjištěno průměrně 1 zrnek nečistot. Určete pravděpodobnost, že v 1 l vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. j) Náhodná veličina X má rozdělení N(1, 9). Vypočtěte pravděpodobnost toho, že a) nabude hodnot z intervalu 1, 3, b) nabude hodnot z intervalu (5, 6), c) překročí hodnotu. d b 6

7 k) V závodě jsou vyráběny výrobky, jejichž rozměry mají náhodné odchylky od normou stanovených hodnot. Tyto odchylky jsou rozděleny normálně se směrodatnou odchylkou = 5 [mm] a střední hodnotou μ = 0 [mm]. a) Vypočítejte, kolik procent výrobků bude průměrně zařazeno do vyšší jakostní třídy, jestliže do této třídy se zařazují výrobky s odchylkou rozměrů menší než 3 mm. b) Za jakou horní hranici odchylek se lze zaručit s pravděpodobností 0,90? l) Měřením pevnosti ocelových drátů byla vypočtena střední hodnota 37 MPa a směrodatná odchylka 1,5 MPa. Kolik drátů s pevností od 380 do 10 MPa můžeme průměrně očekávat ve výrobě 00 kusů, víme-li, že pevnost ocelových drátů je náhodná veličina s normálním rozdělením? Řešení 3a Zadaná náhodná veličina X má normované normální rozdělení N(0; 1). Požadované pravděpodobnosti zjistíme snadno pomocí statistické tabulky distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení se obvykle značí Φ(x).V této tabulce přímo vyhledáme potřebné hodnoty. Pokud v ní nejsou potřebné hodnoty přímo uvedeny, dopočítáme je z dvou okolních hodnot lineární interpolací takto: Φ(x) = Φ(x n ) + (x x n ) Φ(x v) Φ(x n ) x v x n Tedy: a) menší než 1,6 počítáme lineární interpolací hodnot z tabulky P(X < 1,6) = Φ(1,6) Φ(1,60) + (1,6 1,60) 0,955 0,95 0,95 + 0,0 1,70 1,60 Φ(1,70) Φ(1,60) 1,70 1,60 = 0,95 + 0,0 0,010 0,1 = = 0,95 + 0,0 0,10 = 0,95 + 0,0008 = 0,998 b) větší než -1,6 = počítáme s využitím symetričnosti normovaného normálního rozdělení a pravděpodobnosti doplňkového jevu P(X > 1,6) = 1 Φ( 1,6) = 1 (1 Φ(1,6)) = Φ(1,6) = Φ(1,6) 0,998 c) v intervalu od -1,96 do 1,96 počítáme s využitím výše uvedených principů P( 1,96 < X < 1,96) = Φ(1,96) Φ( 1,96) = Φ(1,96) (1 Φ(1,96)) = Φ(1,96) 1 + Φ(1,96) = Φ(1,96) 1 Φ(,00) Φ(1,90) = [Φ(1,90) + (1,96 1,90) ] 1,00 1,90 0,977 0,9713 = [0, ,06 ] 1 0,10 = [0, ,06 0,0059 ] 1 = [0, ,06 0,059] 1 0,10 = [0, ,0035] 1 = 0,978 1 = 1, = 0,9968 d) větší než,33 počítáme pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu d b 7

8 P(X >,33) = 1 P(X <,33) = 1 Φ(,33) Φ(,0) Φ(,30) = 1 [Φ(,30) + (,33,30) ],0,30 0,9918 0,9893 = 1 [0, ,03 ] = 1 [0, ,03 0,005 0,10 0,10 ] = 1 [0, ,03 0,05] = 1 [0, ,00075] = 1 0,99005 = 0,00995 e) menší než -,33 počítáme opět s použitím výše uvedených principů P(X <,33) = Φ(,33) = 1 Φ(,33) = 1 0,99005 = 0,00995 Řešení 3b Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0; 16). Pro další výpočty si transformujeme X na normovanou veličinu Z pomocí vztahů z teorie. X~N(μ, X μ ) Z = ~N(0,1) x μ μ x μ μ P(X < x) = P (Z < ) = P (X < ) = Φ (x ) b μ a μ P(a < X < b) = P(X < b) P(X < a) = P (Z < ) P (Z < ) X μ b μ μ a μ μ μ = P ( < ) P (X < ) = Φ (b ) Φ (a ) Distribuční funkce Φ pak je distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Můžeme tedy využívat příslušnou tabulku pro vyhledání potřebných hodnot v následujících výpočtech. Ze zadání úlohy víme: μ = 0, = 16, = Tyto hodnoty využijeme v transformačním výrazu. Máme zjistit pravděpodobnost, že X bude: a) menší než 16, P(X < 16) = P (Z < ) = Φ ( ) = Φ ( ) = Φ( 1) = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 b) větší než 0, P(X > 0) = P (Z > ) = 1 Φ ( ) = 1 Φ ( 0 ) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 c) v intervalu od 1 do 8, P(1 < X < 8) = P ( < Z < ) = Φ ( ) Φ ( ) = Φ ( 8 ) Φ ( 8) = Φ() Φ( ) = Φ() (1 Φ()) = Φ() 1 + Φ() = Φ() = 1,95 1 = 0,95 d) menší než 1 nebo větší než 8? P(X < 1 X > 8) = 1 P(1 < X < 8) = 1 0,95 = 0,056 V tomto řešení jsme s výhodou využili pravděpodobnost doplňkového jevu. d b 8

9 Řešení 3c Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) takovou, že P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Máme určit hodnoty μ a. Využijeme transformace do normovaného normálního rozdělení a dostaneme z obou rovnic 85 μ μ P(X < 85) = P (Z < ) = Φ (85 ) = 0,90 95 μ μ P(X < 95) = P (Z < ) = Φ (95 ) = 0,95 V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení nalezneme Φ(1,0) = 0,889 Φ(1,30) = 0,903 Φ(1,60) = 0,95 Φ(1,70) = 0,955 Pomocí lineární interpolace těchto hodnot nalezneme x 1, x tak, že Φ(x 1 ) = 0,90, Φ(x ) = 0,95 Pro tuto lineární aproximaci platí stejný vztah, jako v úloze 3a. Jen ho nyní použijeme v jistém smyslu opačně. Dostaneme Φ(1,851366) = 0,90, Φ(1,670588) = 0,95 Odtud 85 μ 95 μ = 1,851366, = 1, Tuto soustavu rovnic budeme řešit 85 μ = 1,851366, 95 μ = 1, Od druhé rovnice odečteme první rovnici, dostaneme 10 = 0, Odtud = 7,31361 Dosadíme do první rovnice a dostaneme μ = 85 1, ,31361 = 85 35, = 9, Vypočteme rozptyl = 7,31361 = 75,80986 Daná náhodná veličina X má tedy rozdělení N(9, ; 75,80986). Řešení 3d Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0,; 0,6) představující chybu měření. Transformace této náhodné veličiny do normovaného normálního rozdělení má tvar X 0, Z = 0,8 Máme vypočítat: a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, neboli 1 0, P(X < 1 ) = P( 1 < X < 1) = P ( < Z < 1 0, 0,8 ) = P ( 1, < Z < 0,8 0,8 0,8 0,8 ) = P( 1,5 < Z < 1) = Φ(1) Φ( 1,5) = 0,813 0,0668 = 0,775 b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95, neboli máme najít hodnotu, která s pravděpodobností 0,95 nebude překročena. To je taková hodnota, pro kterou platí d b 9

10 x 0, 0, P(X < x) = P (Z < ) = Φ (x 0,8 0,8 ) = 0,95 Z tabulky kvantilů normovaného normálního rozdělení nebo o něco pracněji z tabulky distribuční funkce téhož rozdělení dostaneme Φ(1,65) = 0,95 Odtud dostáváme rovnici, kterou vyřešíme x 0, = 1,65 0,8 x 0, = 1,65 0,8 x = 1,65 0,8 + 0, = 1, , = 1,516 Řešení 3e a) Označme jev A projití stromku kontrolou a jev B skutečnost, že je vyšší než 80 cm. Pak pravděpodobnosti těchto jevů jsou (využijeme transformaci na normovaný tvar) P(A) = P(X > 77) = P (Z > ) = P (Z > 5 5 ) = 1 P (Z < ) = 1 P(Z < 0,) 5 = 1 Φ(0,) 1 0,655 = 0, P(B) = P(X > 80) = P (Z > ) = P (Z > ) = 1 P (Z < 5 ) = 1 P(Z < 1) 5 = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 Pro vyřešení daného úkolu stanovíme podmíněnou pravděpodobnost s tím, že je zřejmé, že všechny stromky nad 80 cm jsou podmnožinou všech stromků nad 77 cm. P(A B) P(B A) = = P(B) P(X > 80) = P(A) P(A) P(X > 77) 0,1587 0,36 = 0, b) Nyní uvažujme jako náhodnou veličinu počet stromků vyšších než 80 cm ve výběru 1000 stromků. V tomto případě nejde o spojitý případ, ale o případ diskrétní. Tato veličina má binomické rozdělení Bi(0,60; 1000). Parametr počtu je dán v zadání úlohy a parametr pravděpodobnosti jsme vypočítali v předchozím podúkolu. Zbývá určit, kolik stromků vyšších než 80 cm můžeme očekávat ve výběru 1000 stromků. Jde tedy o to, určit střední hodnotu. Ta je pro toto rozdělení podle teorie rovna EZ = n p = ,60 = 60 Řešení 3f Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ). a) Pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitního výrobku znamená, že naše náhodná veličina bude mít hodnotu větší než μ, neboli při znormování μ μ P(X > μ) = P (Z > ) = P (Z > 0 ) = P(Z > 0) = 1 P(Z < 0) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 b) Nyní budeme uvažovat náhodnou veličinu Y představující pevnost v tahu velmi kvalitních výrobků. Je-li F X (x) distribuční funkce veličiny X, pak distribuční funkce F Y (x) veličiny Y, je rovna pro x > μ F Y (x) = F X(x) F X (μ) = F X(x) 0,5 = F X(x) 0,5 1 F X (μ) 1 0,5 0,5 Odtud hustota pravděpodobnosti je d b 10

11 f Y (x) = { f X(x) = π 1 e (x μ ) x > μ 0 jinde Jde o normální rozdělení s useknutou levou polovinou a zdvojnásobenou pravou polovinou. Střední hodnota (první moment) potom je Pro druhý moment platí EY = x π e EY = x π e μ μ 1 (x μ ) 1 (x μ ) Odtud můžeme odvodit rozptyl podle známého vzorce var Y = EY (EY) Dosadíme a upravíme dx = π + μ dx = + μ π + μ var Y = + μ π + μ ( π + μ) = + μ π + μ π μ π μ = π = (1 π ) Řešení 3g Výsledky jednotlivých měření jsou náhodné jevy označené postupně X i, pro i = 1,,, n. Všechna tato měření mají stejné rozdělení N(μ, ). Náhodnou veličinou X je aritmetický průměr výsledků těchto jednotlivých měření. Náhodná veličina X má rozdělení n X = 1 n X i N (0; 16 n ) Naším úkolem je najít takové číslo n, aby pro náhodnou veličinu X byla splněna podmínka P( 1 < X < 1) = 0,955 Transformujeme do normovaného tvaru P( 1 < X < 1) = P ( 1 0 n = Φ ( n Řešíme poslední rovnici postupnými úpravami i=1 < Z < 1 0 ) = P ( n n < Z < n n ) = Φ ( n) Φ ( ) ) (1 Φ ( n)) = Φ ( n) 1 + Φ ( n) = Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) = 0, d b 11

12 Φ ( n ) = 0, = 1,955 = 0,9775 Z tabulky normovaného normálního rozdělení dostaneme Postupně upravíme n = n = = 8 n = 8 = 6 Řešení 3h Náhodná veličina X bude vyjadřovat počet záporných odchylek popsaného měření. Je zcela zřejmé, že X je diskrétní (máme 15 nezávislých měření dávajících pouhé dvě hodnoty kladná nebo záporná odchylka, obě s pravděpodobností 0,5). Z toho je zřejmé že X má binomické rozdělení, neboli X~Bi(15; 0,5). V tomto případě pro pravděpodobnostní funkci platí q(x) = ( 15 x ) 0,5x (1 0,5) 15 x Tento vztah použijeme pro výpočet jednotlivých úloh. Aritmetické výpočty dle uvedeného vzorce svěříme MS Excel, výsledky budeme prezentovat na 7 desetinných míst. Pravděpodobnost 7 záporných chyb dostaneme přímo P(X = 7) = q(7) = 0, Pravděpodobnost méně než 3 záporných chyb je součtem pravděpodobností 0, 1 či záporných chyb P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) = q(0) + q(1) + q() = 0, , , = 0, Pravděpodobnost alespoň 5 kladných chyb je rovna pravděpodobnosti nejvýše 10 záporných chyb. P(X 10) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = ) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = q(0) + q(1) + q() + q(3) + q() + q(5) + q(6) + q(7) + q(8) + q(9) + q(10) = 0, , , , , , , , , , ,09169 = 0,90765 Výpočet by bylo možná se stejným výsledkem (ale menší výpočetní námahou) provést i pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu, neboli vyloučit záporných chyb. V tomto případě bychom dostali P(X 10) = 1 (P(X = 11) + P(X = 1) + P(X = 13) + P(X = 1) + P(X = 15)) = 1 (0, , , , , ) = 1 0,05936 = 0,90765 Řešení 3i Budeme se zabývat náhodným jevem X, který vyjadřuje počet zrn nečistot v půl litru vody. Máme informaci, kolik zrn nečistot je průměrně v jednom litru vody. Je tedy třeba brát průměrný počet zrn nečistot v půl litru vody jako polovinu počtu zadaného pro jeden litr, neboli 7. Vzhledem k charakteru zkoumaného jevu je zřejmé, že tento jev má Poissonovo rozdělení X~Po(7). V tomto konkrétním případě má tedy X pravděpodobnostní funkci d b 1

13 7 x e 7 q(x) = { pro x = 0, 1, x! 0 jinak Máme vypočítat pravděpodobnost, že v půl litru vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. Tedy za pomoci aritmetických výpočtů v MS Excel dostaneme výsledek P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) = q(0) + q(1) + q() + q(3) = 70 e e e e 7 0! 1!! 3! = 0, , , ,0519 = 0, = 0,08 Řešení 3j Řešení MS Excel Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;1;ODMOCNINA(9);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(1,9) rozdil -1 0, , ,95 5 0, , ,03 0,8137 0,1587 Pro jednotlivé úlohy nyní můžeme psát P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = F(3) F( 1) = 0, ,595 = 0,950 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = F(6) F(5) = 0, , = 0,03 P(X > ) = 1 P(X ) = 1 F() = 1 0,8137 = 0,1587 Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(1, 9) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 1 ~N(0, 1) 9 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách takto P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = P ( X ) P (X ) = P (U ) P (U 3 3 ) = Φ ( 3 ) Φ ( 3 ) = Φ ( 3 ) (1 Φ ( 3 )) = Φ ( 3 ) 1 + Φ ( 3 ) = Φ ( ) 1 = 0,786 1 = 1,97 1 = 0,97 3 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = P ( X 1 9 < ) P (X 9 9 < ) = P (U < 5 3 ) P (U < 3 ) = Φ (5 3 ) Φ ( ) = 0,955 0,908 = 0,03 3 d b 13

14 P(X > ) = 1 P(X ) = 1 P ( X 1 9 < 1 9 ) = 1 P (U < 3 3 ) = 1 Φ(1) = 1 0,813 = 0,1587 Řešení 3k Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;0;ODMOCNINA(5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek Pro první úlohu nyní můžeme psát P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = F(3) F( 3) = 0,75 0,7 = 0,51~5,1 % Pro druhou úlohu je třeba zvážit, že normální rozdělení je symetrické. Zajímá nás pravděpodobnost 0,90, hodnoty jsou symetricky rozděleny kolem středu. Takže krajní hodnoty pravděpodobnosti jsou 0,05 a 0,95. K výpočtu využijeme funkci NORM.INV(0,05;0;ODMOCNINA(5)), která poskytuje hodnoty inverzní funkce k distribuční funkci F. Viz obrázek Hledali jsme tedy F 1 (0,05) a F 1 (0,95) Že se hodnoty liší jen znaménkem, jsme očekávali. Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(0, 5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 0 ~N(0, 1) 5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro první úlohu to bude takto P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = P ( X ) P (X ) = P (U 3 3 ) P (U 5 5 ) = Φ (3 5 ) Φ ( 3 5 ) = Φ (3 5 ) (1 Φ (3 5 )) = Φ ( 3 5 ) 1 + Φ (3 5 ) x ND(0,5) rozdil -3 0, ,7577 0,519 ND(0,5) x 0,05-8, ,95 8,68135 = Φ ( 3 ) 1 = 0,757 1 = 1,51 1 = 0,51~5,1 % 5 d b 1

15 Pro druhou úlohu musíme provést obrácenou úvahu. Hledáme x takové, aby P( x X x) = 0,9 Výraz vlevo upravíme a normalizujeme. Dostaneme P( x X x) = P(X x) P(X x) = P ( X 0 5 x 0 0 ) P (X 5 5 x 0 5 ) = P (U x x ) P (U 5 5 ) = Φ (x 5 ) Φ ( x 5 ) = Φ (x 5 ) (1 Φ (x 5 )) Po této úpravě dostáváme rovnici. Odtud po snadné úpravě = Φ ( x 5 ) 1 + Φ (x 5 ) = Φ (x 5 ) 1 Φ ( x 5 ) 1 = 0,9 Φ ( x 5 ) = 0,9 + 1 = 1,9 = 0,95 Uplatníme inverzní funkci k distribuční funkci Φ. Ta je obvykle označována jako u(α) = Φ 1 (α) Tato funkce je pro důležité hodnoty α k dispozici v tabulkách. V našem výpočtu konkrétně dostáváme Φ 1 (Φ ( x 5 )) = x 5 = Φ 1 (0,95) Odtud x = 5 Φ 1 (0,95) Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách a dokončíme výpočet x = 5 Φ 1 (0,95) = 5 1,65 = 8,5 Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení 3l Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 10,5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;37;ODMOCNINA(10,5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(37; 10,5) rozdil 380 0, , ,86181 Pro naši úlohu nyní můžeme psát P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) = F(10) F(380) = 0,9956 0,709 = 0,86 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,86. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 11 kusů. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(37; 10,5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto d b 15

16 X 37 U = ~N(0, 1) 10,5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro naši úlohu to bude takto P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) X X = P ( ) P ( 10,5 10,5 10,55 10,5 ) = P (U 38 8 ) P (U 1,5 1,5 ) = Φ ( 38 1,5 ) Φ ( 8 1,5 ) = Φ(,6) Φ(0,55) = 0,9956 0,7088 = 0,868 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,868. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 115 kusů. d b 16

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM

CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM CVIČENÍ č. 11 ZTRÁTY PŘI PROUDĚNÍ POTRUBÍM Místní ztráty, Tlakové ztráty Příklad č. 1: Jistá část potrubí rozvodného systému vody se skládá ze dvou paralelně uspořádaných větví. Obě potrubí mají průřez

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

2.4.6 Hookův zákon. Předpoklady: 2405. Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 0,0015 0,003 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ

2.4.6 Hookův zákon. Předpoklady: 2405. Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 0,0015 0,003 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ .4.6 Hookův zákon Předpoklady: 405 Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 500 P 50 0,0015 0,00 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ U je normálové napětí přímo úměrné relativnímu

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Oběžný majetek. Peníze Materiál Nedokončená výroba Hotové výrobky Pohledávky Peníze. Plánování a normování materiálových zásob.

Oběžný majetek. Peníze Materiál Nedokončená výroba Hotové výrobky Pohledávky Peníze. Plánování a normování materiálových zásob. Součástí oběžného majetku jsou: zásoby oběžný finanční majetek pohledávky Oběžný majetek Charakteristickým rysem oběžného majetku je jednorázová spotřeba, v procesu výroby mění svoji formu. Tato změna

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekanálové čekací systémy Stanice obsluhy sestává z několika kanálů obsluhy, pracujících paralelně a navzájem nezávisle. Vstupy i výstupy systému mají poissonovský charakter. Jednotky vstupující do systému

Více