TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF WEIGEL TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I GE04_M01 MĚŘICKÉ CHYBY

2 TCHVP Měřické chyby Tento text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. Za jazykovou stránku odpovídá autor Doc. Ing. Josef Weigel, CSc., Brno (26) -

3 Obsah OBSAH 1 Úvod Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Metodický návod na práci s textem Měření a zdroje jeho chyb Měření a jeho fáze Podmínky ovlivňující měřický proces Metoda měření Podmínky při měření Měřické chyby Definice chyb Rozdělení chyb a jejich struktura Omyly a hrubé chyby Systematické chyby Náhodné chyby Úplné chyby Charakteristiky přesnosti měření Charakteristiky polohy a proměnlivosti Střední hodnota Základní a výběrová střední chyba Závěr Shrnutí Studijní prameny Seznam použité literatury Seznam doplňkové studijní literatury Odkazy na další studijní zdroje a prameny Klíč (26) -

4

5 Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Cílem modulu Měřické chyby je objasnit studentům oboru Geodézie a kartografie základní pojmy z teorie měření a měřických chyb a zdroje těchto chyb. Studenti budou seznámeni se vzorci a způsoby používanými při stanovení charakteristik přesnosti výsledků měření. V závěru budou seznámeni se zákony (vztahy, pravidly) podle kterých se přesnosti (nejistoty) vstupních veličin projeví na výsledcích funkčních vztahů, tj. na přesnostech (nejistotách) výsledků nějakých výpočtů. Student musí pochopit teoretický význam nadbytečných měření, naučí se rozlišovat různé způsoby vyjádření přesnosti měřených a vypočtených veličin. Po nastudování tohoto modulu by měl získat předpoklady pro rozlišování pojmů vnitřní a vnější přesnost měření. 1.2 Požadované znalosti Při studiu tohoto modulu se studenti neobejdou bez základních znalostí z předmětu Matematika I a některých pasáží i z předmětu Matematika II. Pochopit musí zejména kapitoly týkající se derivací jednoduchých funkcí, rozvojů funkcí pomocí řad, především Taylorovy řady. Rovněž základní znalosti z teorie jednoduchého integrálu budou nezbytné. Souběžně s tímto předmětem probíhá ve stejném semestru i výuka v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Bez nadsázky lze říci, že teorie chyb a metody používané ve vyrovnávacím počtu jsou zcela založeny na principech a teoriích definovaných v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Matematické základy budou okamžitě aplikovány v tomto předmětu a proto se doporučuje studovat tento modul souběžně s texty předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Znalosti z předmětu Geodézie I jsou nutné především k pochopení praktických příkladů. 1.3 Doba potřebná ke studiu Obsah modulu je sestaven tak, že je pak v plné míře využíván v navazujícím předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet II. Protože se jedná o úvodní modul těchto dvou předmětů jsou jeho znalosti klíčové pro pochopení navazujících informací. V prezenční formě studia je předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet I věnován týdenní rozsah výuky 2 hod přednášek a 2 hodiny cvičení, po dobu 13 až 14 týdnů. Celková časová náplň pro nastudování tohoto modulu je asi 50 hodin, z toho se předpokládá 20 hodin na studium teorie a 30 hodin na procvičování příkladů. Časový rozsah jednotlivých kapitol tohoto modulu je uveden vždy u příslušné kapitoly. - 5 (26) -

6 TCHVP Měřické chyby 1.4 Klíčová slova Měření, měřické chyby, náhodné chyby, systematické chyby, hrubá chyba, omyl, charakteristiky přesnosti, variance, kovariance, směrodatná odchylka, střední chyba, jednotková střední chyba, váhy měření, zákony hromadění chyb. 1.5 Metodický návod na práci s textem Text a příklady v něm uvedené jsou seřazeny tak, aby se postupovalo od jednodušších příkladů k příkladům složitějším. Vzorové příklady jsou ve většině případů doplněny postupem výpočtu. Výpočty jsou sestaveny tak, aby mohly být počítány na kalkulačkách. Doporučuji studentům, aby si každý příklad nejprve vypočítali ručně (na kalkulačce se zápisem mezivýsledků na papír) a teprve potom jej realizovali například v tabulkovém procesoru Excel. Cílem totiž není jen vypočítat správný výsledek, ale pochopit detailně jeho jednotlivé fáze. Zvláště doporučuji, aby si student všímal velikosti každého čísla, počtu jeho cifer a jak se které číslo uplatní ve výsledku. V některých příkladech je možno sledovat vliv zaokrouhlování na celkový výsledek. Počet platných cifer má velký význam při výpočtech charakteristik přesnosti středních chyb a vah. Musíme si uvědomit, že se jedná o čísla přibližná, neboť střední chyby středních chyb (charakteristiky druhého řádu) bývají u těchto empirických odhadů dosti pesimistické. Pokud student ovládá nějaký programovací jazyk, nebo pracuje s programovacími systémy typu MATCAD, MATLAB a pod., je vhodné věnovat tvorbě programů v těchto systémech více času, neboť si tak student ušetří čas při výpočtech jednotlivých aplikací vyrovnávacího počtu v navazujících odborných předmětech. Samozřejmě orientační čas uvedený ve stati 1.3 pro studium tohoto modulu pak bývá překročen i vícenásobně. - 6 (26) -

7 Měření a zdroje jeho chyb 2 Měření a zdroje jeho chyb Cílem této kapitoly je objasnit pojem měření v širších souvislostech než je jen realizace vlastního procesu měření. Dále budou uvedeny hlavni zdroje způsobující rozdílnost výsledků v opakovaných měřeních. Průměrný čas k nastudování druhé kapitoly je 3,5 hodiny Objekt, znak, náhodná proměnná, fáze měření, měřický proces, zpracovatelský proces, pravé chyby, skutečné chyby, opravy, Předměty a jevy v přírodě a společnosti existují a uskutečňují se nezávisle na našem vědomí a neustále se mění a vyvíjejí. Jejich zkoumáním se zabývají jednotlivé vědní obory a disciplíny. Nezbytnou složkou tohoto zkoumání jsou kvantitativní stránky předmětů a jevů. I tyto existují nezávisle na našem vědomí. Měření je důležitý prostředek v procesu poznání právě kvantitativních stránek předmětů a jevů. Oborů a vědních disciplín ve kterých se provádí měření je velké množství. Zeměměřictví (geodézie a kartografie) je jedním z oborů v jehož činnosti hraje měření dominantní roli. S pojmem měření jsou úzce spjaty pojmy chyba měření a přesnost měření. 2.1 Měření a jeho fáze Zkoumané předměty či jevy nazýváme objekty. Na každém objektu je nutno definovat jeho znaky, které chceme měřit (pozorovat). Je-li objektem např. nějaká osoba, je poměrně snadné definovat a změřit takové znaky jako je její výška, hmotnost, aj.. Poněkud obtížnější může být definovat a změřit její IQ nebo oblíbenost a téměř nemožné např. zbabělost, smysl pro spravedlnost apod.. V technických disciplínách, mezi které zeměměřictví patří, bývá vymezení jednotlivých znaků obvykle jednoznačnější než v disciplínách humanitních. Ze znaků, přiřazených k určitému objektu nebo jevu budou dále vybrány jen ty, které jsou měřitelné. V praxi má mnoho znaků proměnný charakter a proto je nazýváme proměnnými. Základní dělení proměnných je na proměnné vyjádřené číselnými hodnotami (kvantitativní proměnné) a na proměnné vyjádřené slovním popisem (kvalitativní proměnné). Při dalším zpracování se kvalitativním proměnným obvykle přiřazuje stanovený číselný kód. Podle počtu sledovaných znaků rozdělujeme proměnné na: 1. Jednorozměrné proměnné, když je na objektu zkoumán (měřen, pozorován) jen jeden znak 2. Vícerozměrné proměnné, když jsou zkoumány (měřeny, pozorovány) dva a více znaků - 7 (26) -

8 TCHVP Měřické chyby Veličinou budeme nazývat proměnnou, kterou lze vyjádřit matematicky (skupinou čísel, funkcí aj.). Podle počtu hodnot, kterých proměnná nabývá rozdělujeme proměnné na: 1. Spojité proměnné, které mohou nabýt nespočetně nekonečného počtu hodnot 2. Diskrétní proměnné (nespojité), které nabývají konečného nebo nejvýše spočetného nekonečného počtu hodnot. Měřením budeme nazývat: a) proces, ve kterém se určité veličině přiřazuje její hodnota neboli výsledek měření. b) jednotlivý výsledek měření Hodnota veličiny je její kvantitativní vyjádření v nějakém zvoleném vztažném systému měřické jednotce. Hodnota se vyjadřuje reálným číslem doplněným rozměrem veličiny. Rozměry veličin bývají uváděny v měřických jednotkách nebo jejich násobcích. Existují samozřejmě i veličiny, jejichž hodnoty jsou bezrozměrné. Pokud lze hodnoty veličin přímo změřit, nazýváme takové výsledky přímá měření, pokud jsou hodnoty určeny prostřednictvím známého funkčního vztahu k jiné nebo k jiným, obvykle přímo měřeným veličinám, nazýváme je nepřímá měření Příkladem přímého měření je třeba úhel, jehož hodnota je určena pomocí vhodného přístroje na měření úhlů, např. úhloměru, teodolitu aj. Dalšími typickými příklady přímých měření jsou: vzdálenost naměřená pásmem, teplota teploměrem, čas hodinkami, hmotnost váhami aj, Mezi nepřímo měřené veličiny můžeme zařadit např. obsahy ploch, objemy těles, vzdálenosti a směrníky počítané ze souřadnic, výšky bodů počítané z přímo měřených převýšení, převýšení počítaná ze známých výšek apod.. Otázka 2.1: a) Lze délky naměřené elektronickým tachymetrem (totální stanicí) zařadit do kategorie přímých měření? Odpověď 2.1: b) Ve většině případů považujeme za přímá měření ta měření, která jsou výstupem z nějakého měřícího přístroje, tj. i elektronického tachymetru. Bude-li výstupem naměřená šikmá vzdálenost, pak by bylo možno tuto hodnotu považovat za výsledek procesu přímého měření délek. Bude-li výstupem vodorovná vzdálenost, bylo by ji možno zařadit mezi nepřímá měření, neboť k převodu ze šikmé délky na vodorovnou musel přístroj naměřit i další veličinu - svislý úhel a k převodu použít nějakou matematickou funkci, vztah nebo tabulku. Rovněž by měla být k tomuto převodu v přístroji k dispozici přímo změřená výška přístroje i výška odrazného systému, a případně známy i některé další veličiny (poloměr Země aj.). - 8 (26) -

9 Měření a zdroje jeho chyb V uvedených příkladech je vidět, že zařazení nějakého výsledku mezi přímá nebo nepřímá měření může být někdy dosti komplikované. Exaktní vymezení přímých a nepřímých měření je uvedeno např. v [9] na str. 12. Nejprve se budeme detailněji věnovat hlavně přímým měřením. Z hlediska teorie chyb doplníme měřický proces ještě o zpracovatelský proces. Měřický proces se dále rozdělí na přípravnou fázi měření a vlastní měření a zpracovatelský proces na fázi určení hodnoty měřené veličiny a na fázi úpravy hodnoty. Schématicky jsou tyto fáze ukázány na obr Příprava měření Měřický proces Vlastní měření Přímé měření Určení hodnoty Zpracovatelský proces Obrázek 2.1 Schéma přímého měření Úprava hodnoty Moderní měřické přístroje a systémy v sobě slučují, ve větší či menší míře, měřický i zpracovatelský proces. Příkladem veličiny získané pomocí složitého měřicího systému, ve kterém lze pro uživatele jen obtížně oddělit měřický proces od zpracovatelského procesu, je určování polohy bodů metodou GPS. Na příkladu měření délky elektronickým tachymetrem budou ve zjednodušené podobě ukázány jednotlivé fáze měření. V přípravné fázi je nutno ověřit správnou funkci dálkoměru a na srovnávací základně, nebo jinou vhodnou metodou, stanovit konstanty přístroje a odrazného systému (hranolu). Řadíme sem též rektifikaci přístroje a pomocných zařízení (seřízení libel, centrovačů atd.) a nastavení dalších konstant a parametrů v přístroji. Při vlastním měření dbáme na kvalitní centraci a horizontaci přístroje a odrazného systému, dále změříme výšky přístroje a odrazného zařízení, rovněž změříme teplotu vzduchu, případně i vlhkost a atmosférický tlak. Délku změříme několikrát (opakovaně) a zaznamenáme jednotlivé výsledky. Současně s měřenou délkou měříme a zaznamenáváme i hodnoty svislého úhlu, nejlépe v obou polohách dalekohledu. Ve zpracovatelské fázi se nejprve zavedou k opakovaně měřeným délkám jejich korekce z komparace a z vlivu atmosféry a pak se vypočte pro šikmou délku její průměrná hodnota Při následné úpravě této hodnoty se prostřednictvím matematických redukcí převede šikmá délka na vodorovnou délku v nulové nadmořské výšce a podle potřeby se převede i do roviny kartografického zobrazení (např. S-JTSK). - 9 (26) -

10 TCHVP Měřické chyby 2.2 Podmínky ovlivňující měřický proces Z hlediska teorie chyb považujeme měření za pokus. Obecně je pokus jakákoliv činnost nebo proces, které jsou libovolně opakovatelné a uskutečňují se za předem vymezených podmínek. Pokusy rozdělujeme na deterministické a stochastické. Jako deterministické pokusy jsou označovány pokusy, které za vymezených podmínek vedou při jejich opakování vždy ke stejným výsledkům. Jako stochastické (náhodné) pokusy jsou označovány pokusy, kdy na výsledek pokusu působí ještě další podmínky (vlivy), které jsou obvykle náhodného charakteru a způsobují, že se výsledky opakovaných pokusů liší. Pod pojmem předem vymezené podmínky zde rozumíme především metodu měření. Metoda měření v sobě zahrnuje předepsané měřicí zařízení a požadovaný (doporučený) postup měření. Součástí metody měření bývá i vymezení vhodných podmínek pro měření. Podmínky působící na přímé měření: 2. Metoda měření (deterministické podmínky) měřicí zařízení postup měření 3. Podmínky při měření (stochastické podmínky) skutečný stav měřícího zařízení vliv prostředí na měření vliv lidského faktoru při měření Metoda měření Každá metoda měření vyžaduje: měřicí zařízení, což je komplex měřicích přístrojů s jejich přídavnými zařízeními a dalšími nezbytnými pomůckami a doplňky. Měřicí zařízení musí splňovat parametry požadované kvality. Kvalitou se z hlediska teorie chyb rozumí u přístrojů především citlivost nejmenší diference hodnot měřené veličiny, která koresponduje s příslušným dílkem stupnice přístroje, replikovatelnost, (schopnost opakovat údaje), stálost distribuční funkce chyb měření při opakování měření přesnost (vnitřní a vnější). Do parametrů kvality patří i řada dalších, např. složitost obsluhy, poruchovost, energetická náročnost aj. Zvláštní pozornost si zaslouží zejména možnost pravidelné kontroly některých parametrů kvality měřícího zařízení, např. porovnávání měřicího zařízení s předepsanými etalony tzv. komparace. postup měření (technologický postup), což je souhrn postupů, pravidel a podmínek předepsaných pro danou metodu měření. Postup měření vyžaduje zejména použití všech předepsaných přístrojů a pomůcek v souladu s návodem či předpisem pro jejich používání. Důležité je dodržení pořadí a návazností jed (26) -

11 Měření a zdroje jeho chyb notlivých úkonů, dodržení předepsaného či přiměřeného tempa měření, důsledná registrace všech požadovaných údajů atd. V dalším budeme předpokládat, že použitá metoda měření je teoreticky správná a za doporučených podmínek realizovatelná Podmínky při měření Každé reálné měření se koná v konkrétních vnějších podmínkách (teplota, tlak a vlhkost vzduchu, sluneční svit, vítr apod.) a ve většině případů se na vlastním měření podílí i lidský faktor (měřič a jeho pomocníci). Z toho je zřejmé, že při měření nelze obecně oddělovat deterministické podmínky (vyžadované metodou měření) od podmínek náhodných, daných.skutečným stavem celého systému. 1. Vliv měřícího zařízení Vliv měřícího zařízení (jeho skutečného stavu) na výsledky měření záleží na: celkovém stavu přístrojů, zařízení a pomůcek, zejména na kvalitě prováděné i provedené údržby (seřízení přístrojů, rektifikace libel aj.), "okamžitém" stavu (urovnání přístrojů a měřických latí, zaostření dalekohledu, vnitřní pnutí v přístrojích a stojanech, vliv nastavení indexů a stupnic a jejich osvětlení, vliv tzv. mrtvých chodů ustanovek, vliv napětí v bateriích aj.). Velké riziko pro okamžitý stav přináší rovněž nešetrný transport přístrojů a pomůcek na lokalitu a zpět. I dobře v laboratoři seřízený přístroj může být transportem znehodnocen. 2. Vliv prostředí Prostředí ve kterém se měření uskutečňuje se řadí k jedněm z nejvýznamnějších faktorů ovlivňujících výsledky měření: Ovlivnění měřického paprsku nebo signálu. Velká část geodetických měření využívá některého z druhů elektromagnetické záření (světelné vlny, radiové vlny), které je výrazně ovlivňováno prostředím, kterým se šíří. Rychlost a směr šíření elektromagnetických vln jsou závislé na indexech lomu daného prostředí, kde zejména okamžitý stav atmosféry (troposféry, případně i ionosféry) způsobuje celou řadu jevů (např. refrakci, difrakci, zpoždění signálu aj.), které jsou proměnlivé s časem a místem. Vlivem jiných elektromagnetických zdrojů záření působí prostředí na elektromagnetický signál a způsobuje jeho zašumění, rušení či degradaci. Nezanedbatelný může být i vliv falešných odrazů signálu, či ohyb světelného paprsku vlivem blízkých objektů a překážek. Mohou nastat situace, kdy při snížené viditelnosti (opar, smog, déšť, sněžení, mlha či silné chvění obrazu) se zmenší dosah měřícího zařízení nebo je měření zcela znemožněno. Působení prostředí na měřící zařízení. Prostředí dále působí přímo na měřící přístroje a některé pomůcky, např. při osvitu přístroje či stojanu přímým sluncem nebo za mrazu v nich nastávají různá pnutí. Teplota vzduchu ovlivňuje teplotu měřidel (pásem, latí,..) a tím mění i jejich délku. Silnější vítr způsobuje chvění přístrojů a latí, zvětšuje průhyb pásma, způsobuje kývání olovnice, či znemožňuje použití slunečníku - 11 (26) -

12 TCHVP Měřické chyby pro ochranu přístroje před přímým slunečním zářením. Rovněž málo únosný terén (bláto, sníh, led, rozměklý asfalt, oranice, tráva apod.) výrazně snižuje stabilitu přístrojů a pomůcek v průběhu měření. Podobný charakter mají i vibrace v průmyslových závodech či silný dopravní ruch, které způsobují chvění přístrojů a snižují jejich stabilitu. Prostředí působí i na měřiče a jeho pomocníky, zejména je-li nepříznivé (velké vedro či chlad, silný vítr, mrholení, déšť, sníh, hluk apod.). Slapové změny. Mezi vlivy prostředí řadíme i působení dalších jevů, jako jsou změny v tíhovém poli vyvolané např. proměnlivou polohou Slunce a Měsíce, působení magnetického pole Země, vlnění zemské kůry aj., které mají velmi často periodický charakter. Při studiu vlivu prostředí na výsledky měření se zkoumají vlivy jednotlivých jejich složek pokud možno odděleně. Toto studium má obvykle jak teoretickou, tak i experimentální část, která může mít laboratorní nebo terénní charakter. 3. Vliv lidského faktoru. Měřič a jeho pomocníci vnášejí do procesu měření lidský faktor. Ten se může projevit příznivě i nepříznivě. Především se od měřiče očekává, že umí měřit. K tomu účelu musí být vybaven schopnostmi, znalostmi a zkušenostmi: Schopnost. Ne každý člověk je schopen kvalitně měřit. Například při vyhodnocování fotogrammetrických snímků musí být měřič obdařen schopností stereoskopického vidění. Při náročných měřeních v komplikovaném terénu musejí být měřiči i pomocníci přiměřeně fyzicky zdatní apod. S pojmem schopnost bezprostředně souvisí i pojem dovednost. Dovednost je zjednodušeně řečeno rozvinutá a využitá schopnost. Schopnost a dovednost ovlivňují výsledky měření obvykle přímo. Znalosti se získávají především studiem, ať již řádným, v rámci příslušného odborného vzdělávání, tak i studiem při řešení teoretických a praktických problémů. Znalosti působí na kvalitu měření velmi často nepřímo, většinou se projeví již při volbě vhodné metody měření či postupu měření. Zkušenosti jsou nezbytné zejména při řešení nestandardních problémů. Měřické zkušenosti obvykle přinášejí efektivní a někdy i netradiční řešení. Nejsou-li zkušenosti dostatečně doplněné znalostmi, mohou někdy působit i negativně, neboť svádí k přeceňování praxe na úkor teorie. Aktuální fyzický a psychický stav. Člověk je ovlivňován nejen svoji povahou, ale též okamžitým psychickým stavem a fyzickou kondicí. Může být zatížen aktuálními starostmi, problémy, povinnostmi a potřebami. Určitou roli hraje i motivace k získávání kvalitních výsledků. Z uvedeného vyplývá, že při správnosti metody měření ovlivňují vlastní měření především náhodné podmínky, které jsou v neustálém pohybu a změně a v každém okamžiku vytvářejí více či méně odlišnou situaci (26) -

13 Měření a zdroje jeho chyb Je-li měřický proces dostatečně citlivý (přesný), pak je schopen změny podmínek registrovat ve výsledcích měření. Důsledkem je, že při opakovaném měření za vymezených podmínek obdržíme rozdílné výsledky měření, které se navzájem v malých mezích liší. Vývoj metod měření dlouhodobě směřuje ke zkvalitňování přístrojů, pomůcek a postupů měření. Objevují se nové teorie, metody, přístroje a technologie. Podrobně jsou studovány i podmínky měření, zejména vlivy prostředí. U mnoha podmínek při měření lze považovat jejich vliv na výsledek měření spíše za systematický (lze jej popsat nějakou funkční závislostí) než za náhodný. Poznání těchto zákonitostí (systematičností) a eliminace jejich vlivu na měřené výsledky je významných prostředkem zvyšování přesnosti a vývoje metod měření. Lidský faktor je prostřednictvím automatizace a elektronizace postupně z celého procesu měření vytěsňován. Limitujícími pro zvyšování přesnosti měření se tak u řady metod stávají především vlivy prostředí. Kontrolní otázky 2.2: a) Můžeme předem předvídat jakou hodnotou ovlivní prostředí naměřenou hodnotu? b) Je výhodněji měřit pomalejším tempem, ale o to pečlivěji, nebo při měření přiměřeně spěchat? c) Můžeme zvýšit přesnost přímého měření zvýšením přesnosti některých částí použitých přístrojů a pomůcek, např. u teodolitu nebo nivelační latě doplněním citlivější přídavnou libelou apod.? d) Je vhodnější z hlediska proměnlivosti přírodních podmínek měřit za stejných klimatických podmínek, nebo je výhodnější podmínky prostředí vhodně prostřídat? e) Co si představujete pod pojmy vnitřní a vnější přesnost měření? Odpovědi na otázky 2.2: Na žádnou z uvedených otázek neexistuje jednoznačná odpověď. Jedním z cílů studia tohoto předmětu je získat teoretické a částečně i praktické poznatky pro kvalifikovanější odpověď na uvedené otázky. Proto doporučuji studentům zapsat si nyní své názory na problematiku nastíněnou v otázkách a průběžně je konfrontovat s poznatky získanými při studiu (26) -

14 TCHVP Měřické chyby - 14 (26) -

15 Charakteristiky přesnosti měření 3 Měřické chyby 3.1 Definice chyb Každá fyzikální veličina vyjadřuje určitou vlastnost (znak) hmotného objektu. Každý hmotný objekt je v neustálém pohybu a podléhá neustálým změnám, proto i příslušná veličina nabývá v různých časových okamžicích různou velikost. Tyto velikosti nazveme pravými hodnotami. Je zřejmé, že pravé hodnoty většiny veličin jsou proto proměnlivé. Velmi často však považujeme objekt a jeho znaky za neměnné a pravou hodnotu proto za stálou. Procesem měření se pokoušíme.určit tuto hodnotu pravé veličiny. Pravé hodnoty (bezchybné hodnoty) jsou známy obvykle pouze v matematických či geometrických vztazích. Pravou hodnotou je např. součet n vnitřních úhlů v uzavřeném rovinném mnohoúhelníku, který se rovná právě hodnotě (n - 2)180 o. Pro n = 3 (součet úhlů v trojúhelníku) je to všeobecně známých 180 o. Jiným příkladem je velikost rozdílu dvojího měření téže veličiny (např. rozdílu měření TAM a ZPĚT ). Tento rozdíl by měl být přesně nulový. Kontrolní otázky 3.1: a) Jaký bude součet vnějších úhlů v n-úhelníku? b) Lze za pravou hodnotu považovat chybu vzniklou zaokrouhlením nějakého čísla? c) Nalezněte alespoň jeden další příklad na pravou hodnotu. Odpovědi jsou uvedeny v závěrečné kapitole v klíči. Zdálo by se nesmyslné, a zejména neekonomické, pravé veličiny získávat měřením, když jejich hodnoty již známe. V geodézii a kartografii existuje mnoho situací, kdy přesto takové hodnoty určujeme. Obvykle je to z důvodu kontroly našich měření. Měřením nelze pravou hodnotu určit neboť: a) každé měření je ovlivněno proměnlivými podmínkami za kterých je realizováno b) pravé hodnoty chyb způsobené proměnlivostí podmínek jsou nepoznatelné c) tyto chyby ovlivňují výsledek měření Skutečnou hodnotou nějaké veličiny budeme označovat číslo μ, které se dostatečně málo liší od její pravé hodnoty, a jímž se pravá hodnota nahrazuje. Skutečná hodnota je měřením poznatelná a představuje obvykle tu hodnotu, která byla získána nejdokonalejšími metodami měření s použitím nejlepších přístrojů a co nejlepší eliminací nepříznivých vlivů vyvolaných proměnlivým charakterem podmínek při měření. Opakováním měření lze řadu těchto nepříznivých vlivů snížit či výrazně eliminovat. Skutečná hodnota je proto obvykle určována z velmi rozsáhlých měřických souborů (26) -

16 TCHVP Měřické chyby Je zřejmé, že získání skutečných hodnot měřených veličin je velmi komplikované a nákladné. Velký význam mají pravé a skutečné hodnoty ve vlastní teorii měření a v teorii chyb. Chybou měření budeme v teorii chyb nazývat rozdíl mezi zvolenou referenční hodnotou a její naměřenou hodnotou. Podle volby referenční hodnoty budeme rozeznávat různé druhy chyb: Pravá chyba je rozdíl pravé hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty Skutečná chyba je rozdíl skutečné hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty Student může v naprosté většině případů považovat oba pojmy za identické. Mějme n výsledků opakovaných měření veličiny X, které označíme x x,...,. Skutečné chyby jednotlivých měření vypočítáme 1, 2 x n ε i = μ x i, (3.1) kde i = 1,2,...,n V praxi z kontrolních a jiných důvodů měření několikrát opakujeme. Neurčíme při tom skutečnou hodnotu měřené veličiny μ, ale z těchto opakovaných měření jen její vyrovnanou hodnotu, (nejpravděpodobnější hodnotu) x. Vyrovnaná hodnota se ke skutečné hodnotě obvykle blíží. Byla-li opakovaná měření vykonána stejnou metodou měření, za obdobných podmínek při měření a jsou-li vzájemně nezávislá, je možno vyrovnanou hodnotu vypočítat jednoduchým aritmetickým průměrem (viz stať textu [12]): n xi 1 i=1 x = ( x1 + x xn) = n n x = n Oprava je rozdíl vyrovnané hodnoty a měřené hodnoty. v. (3.2) = x. (3.3) i x i Opravy se též nazývají nejpravděpodobnější chyby, domnělé chyby, rezidua. Pro opravy vypočítané podle (3.3) platí důležitý kontrolní vztah v =0. (3.4) Důkaz vztahu (3.4) je velmi jednoduchý a vyplývá přímo z (3.3) a (3.2). Jeho odvození je rovněž ve stati textu [12] Jaký je vztah mezi skutečnou chybou a opravou? ε i vi = ( μ xi ) ( x xi ) = μ x = ε. (3.5) x - 16 (26) -

17 Charakteristiky přesnosti měření Vidíme, že rozdíl mezi pravými (skutečnými) chybami a příslušnými opravami je konstantní pro všechna měření x i (i = 1, 2,..., n). Skutečnou hodnotu měřené veličiny obvykle neznáme, víme jen, že všechny opravy jsou od svých skutečných chyb odchýleny o konstantu ε x. Této hodnotě říkáme skutečná chyba aritmetického průměru. Poznámka 3.1 Vzorec (3.2) je rozepsán ve třech podobách. Při použití značky sumy by měly být formálně uváděny indexy sčítanců (viz. druhý vztah). V dalším textu budeme používat neformální zápis a označení indexů bude vynecháváno (viz.třetí vztah). Poznámka 3.2 V případě výpočtu oprav je referenční hodnotou vyrovnaná hodnota (např. jednoduchý aritmetický průměr) a jednotlivá měření se od něj odečítají. Podobně u pravých a skutečných chyb. V teorii pravděpodobnosti a v řadě dalších vědních disciplín je tomu právě naopak. Naším důvodem je požadavek, abychom při vyrovnání opravy k měřeným veličinám přičítali a tak jsme získali vyrovnané hodnoty (hodnotu). Je to však jen otázkou konvence znamének oprav a znamének pravých či skutečných chyb. V teorii chyb a vyrovnávacím počtu se vžilo pravidlo, že znaménko chyby se určuje podle hesla má býti - mínus jest. Má býti vyjadřuje vyrovnanou, pravou či skutečnou hodnotu, jest měřenou hodnotu. Poznámka 3.3 V praxi se občas porovnávají výsledky měření získané dvěma metodami, z nichž jedna je mnohem přesnější (minimálně o jeden řád přesnější). Rozdíly mezi výsledky získanými oběma metodami se často považují za skutečné chyby, tj. jako by přesnější metoda byla bezchybná. Úkol 3.1 Délka mezi dvěma body byla měřena třemi různými metodami krokováním, pásmem a elektronickým dálkoměrem vždy 10 krát. Jednotlivá měření jsou uvedena v tab Kroky byly přibližně metrové. Vypočítejte: - průměrné hodnoty pro jednotlivé metody a také příslušné opravy k těmto průměrným hodnotám - skutečné chyby jednotlivých výsledků z metody krokování. Považujte pro tuto metodu průměrnou hodnotu určenou dálkoměrem za skutečnou hodnotu měřené délky. Určete průměrnou délku kroku. Tabulka 3.1 krokování pásmo dálkoměr krokování pásmo dálkoměr i x i [počet kroků] y i [m] z i [m] i x i [počet kroků] y i [m] z i [m] ,65 125, ,66 125, ,63 125, ,67 125, ,64 125, ,66 125, ,67 125, ,64 125, ,60 125, ,69 125, (26) -

18 TCHVP Měřické chyby 3.2 Rozdělení chyb a jejich struktura Jednou z hypotéz o vzniku měřických chyb je představa, že chyba měření vzniká jako algebraický součet tzv. elementárních chyb δ. Obecně je měření složitý proces s mnoha dílčími činnostmi a vlivy, z nichž každý může být zdrojem jiné chyby. Elementární chyby mají v každém okamžiku různou velikost i znaménko a výsledná chyba je součtem velkého množství těchto elementárních chyb. ε i = δ. (3.6) Při měření úhlů teodolitem lze za elementární chyby považovat chyby v zacílení, chyby v koincidenci, chyby dělení stupnic, chyby z dalších konstrukčních nedokonalostí přístroje, z kroucení stativu v průběhu měření, z vlivu refrakce atd. Takto definované elementární chyby lze dále dělit např. na chyby v zacílení na levý směr a na pravý směr atd. Z příčin uvedených ve stati 2.2 nelze obecně podchytit všechny elementární chyby. Úkol 3.2 Pokuste se vyjmenovat hlavní elementární chyby vznikající při měření délek pásmem. Proměnlivost velikosti i znaménka jednotlivých elementárních chyb způsobuje, že se z velké části vzájemně eliminují. Velikost každé elementární chyby je omezená, tzn. že nepřekročí určité limitní hodnoty. Pokud při měření nedošlo k nějakému omylu, chyby jednotlivých měření prakticky nepřekročí v absolutní hodnotě limitní hodnotu danou součtem limitních absolutních hodnot jednotlivých elementárních chyb. Z čistě teoretického hlediska může být elementárních chyb nekonečně mnoho a limitní hodnota chyby měření by proto mohla být nekonečně velká. Naše zkušenosti však tomu nenasvědčují. Naopak, vyskytneli se v nějakém měření velká chyba, předpokládáme že došlo při měření k nějakému omylu. Na měření působí nejen uvedené vlivy náhodné ale i vlivy systematické. Proto dělíme chyby principiálně na náhodné chyby a systematické chyby. Uvedené typy doplňme o chyby, které se při měření rovněž vyskytují. Jsou to hrubé chyby a omyly. Schéma rozdělení jednotlivých měřických chyb podle jejich typu je na obr Základním kritériem pro rozhodnutí, zda je měření zatíženo hrubou chybou nebo omylem, je překročení objektivně stanovené meze, která je definována tzv. mezní chybou ε mez. Platí-li pro i-té měření ε i > ε mez, (3.7) pak takové měření z dalšího procesu vylučujeme a obvykle nahrazujeme měřením novým. Stanovení mezních chyb je poměrně komplikovaná záležitost a bude jí věnována pozornost později (26) -

19 Charakteristiky přesnosti měření Náhodné chyby Δ i Menší než objektivně stanovená mezní chyba ε i < ε mez Systematické chyby c i Měřické chyby ε i Hrubé chyby Větší než objektivně stanovená mezní chyba ε i > ε mez Omyly Obrázek 2.2 Typy měřických chyb Omyly a hrubé chyby Omyl vznikne nejčastěji lidskou nepozorností nebo při selhání nějaké funkce měřícího přístroje. Pozná se obvykle tak, že výsledky zatížené omylem se nápadně liší od předpokládané hodnoty nebo hodnot získaných při opakovaných měřeních. Hrubá chyba je chyba která sice překročí mezní chybu, ale její příčinou nebyl omyl. Za zatížené hrubou chybou považujeme ta měření, ve kterých se soustředily elementární chyby převážně se stejným znaménkem, takže ve svém součtu jejich velikost překročila mezní chybu. Velikost mezní chyby bývá stanovena obvykle tak, že ji překročí 1% až 5 % ze všech správných měření. Dalšími příčinami vzniku hrubých chyb bývají: nedodržený postup měření, nedokonale seřízený přístroj, nepříznivé podmínky při měření apod.. V uspořádaném souboru opakovaných měření zaujímají měření zatížená hrubou chybou nebo omylem nápadně krajní pozice a říkáme jim proto odlehlé hodnoty. Proti omylům a hrubým chybám se zabezpečujeme opakovanými a kontrolními měřeními. Příkladem kontrolního měření je změření nadbytečného třetího úhlu v trojúhelníku, oboustranné připojení a orientace polygonového pořadu apod. V geodézii platí známé pravidlo: Jedno měření žádné měření Odlehlé hodnoty z dalšího procesu vylučujeme a vyloučené měření obvykle nahrazujeme měřením novým. Příklady typických omylů způsobených měřičem či jeho pomocníky jsou: zacílení na jiný bod, opomenutí nebo zanedbání nějakého úkonu (koincidence, urovnání libely), záměny bodů, čísel, znamének, chybná čtení, chybný zápis a mnoho dalších. Rovněž přístroje a měřící systémy mohou vykazovat během měření nějaké poruchy či vady, které zatíží výsledky mylnými údaji (26) -

20 TCHVP Měřické chyby Hrubé chyby mohou být také způsobeny např. silným větrem, ozářením přístroje sluncem, vibracemi přístroje, chvěním vzduchu, nedostatečným osvětlením stupnic, neseřízenými nebo neurovnanými libelami na přístrojích a latích, neseřízeným centrovacím zařízením, menší pečlivostí, spěchem nebo přílišným otálením při měření, únavou měřiče a obdobnými příčinami. I když budeme měřit velmi pečlivě, kvalitním přístrojem a za ideálních podmínek, určité procento výsledků bude zatíženo hrubými chybami Systematické chyby Systematické chyby jsou chyby, které systematicky ovlivňují výsledky měření. Příčinou jsou různé faktory (známé i neznámé), na kterých jsou výsledky závislé. Někdy lze formulovat zákon (pravidlo), kterým se systematické chyby řídí, či definovat funkci vlivu faktoru na výsledek měření. V mnoha případech tyto faktory ani funkce jejich působení neznáme. Systematické chyby rozdělujeme na: konstantní (stálé), které se vyznačují stejným znaménkem a přibližně stejnou velikostí, jednostranné, které mají stejné znaménko ale proměnlivou velikost, proměnlivé, jejichž znaménka jsou různá a velikosti proměnlivé. V literatuře se můžeme setkat s dalšími kategoriemi systematických chyb. Např. skupinové chyby působí ve skupině měření jako konstantní a jejich velikost se liší skupinu od skupiny. Periodické chyby se opakují v rámci určité periody. Osobní chyby příslušející určitému měřiči. Jako chyby teorie se nazývají chyby vzniklé při zjednodušení matematických vztahů (rozvoje v řady, některá numerická řešení apod.). Příklady jevů které způsobují konstantní systematické chyby: nesprávná délka měřidla, posunutý počátek stupnice latě, chybná konstanta odrazného hranolu, indexová chyba svislého kruhu teodolitu aj. Příklady jevů které způsobují jednostranné systematické chyby: vybočení pásma ze směru, nevodorovnost pásma, nesvislost měřické latě, chybná násobná konstanta dálkoměru aj.. Příklady jevů které způsobují proměnlivé systematické chyby: nepravidelné dělení stupnic, refrakce, proměnlivá teplota měřidla, slapové jevy aj.. Systematické chyby se v procesu měření snažíme eliminovat, nebo snížit jejich vliv na únosnou míru. Z časového hlediska existují tři způsoby eliminace: před měřením: správnou funkci přístroje a příslušných pomůcek zabezpečujeme pomocí jejich rektifikace, komparace apod. (tzv. konstrukční eliminace). Do této skupiny patří i zaškolení a výcvik měřické skupiny nebo kontrolní měření. při měření (tzv. technologická eliminace): jedná se o: použití vhodného postupu měření (např. měření ve dvou polohách dalekohledu), volbu vhodné doby a příznivých podmínek pro měření - při opakovaných měřeních se podle potřeby střídají doby i podmínky, registraci všech požadovaných prvků pro následné zavádění korekcí či oprav apod (26) -

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1 ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc Ing Jaromír Procházka CSc s využitím přednášky doc Ing Martina

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 Teorie měření a regulace Praxe názvy 1. ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. OBECNÝ ÚVOD - praxe Elektrotechnická měření mohou probíhat pouze při

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 Ing. Hana Staňková, Ph.D. Měření úhlů Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů GEODÉZIE 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 POPIS TEODOLITU THEO 00 THEO 00 kolimátor dalekohled

Více

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky.

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5. Měření délek. 5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5.2 Měření délek pásmem. 5.3 Optické měření délek. 5.3.1 Paralaktické měření délek. 5.3.2 Ryskový dálkoměr. 5.4 Elektrooptické měření délek. 5.4.1

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Seminář z geoinformatiky Měření vodorovných úhlů Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Základním

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Vytyčení polohy bodu polární metodou

Vytyčení polohy bodu polární metodou Obsah Vytyčení polohy bodu polární metodou... 2 1 Vliv měření na přesnost souřadnic... 3 2 Vliv měření na polohovou a souřadnicovou směrodatnou odchylku... 4 3 Vliv podkladu na přesnost souřadnic... 5

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Chyby a neurčitosti měření

Chyby a neurčitosti měření Radioelektronická měření (MREM) Chyby a neurčitosti měření 10. přednáška Jiří Dřínovský Ústav radioelektroniky FEKT VUT v Brně Základní pojmy Měření je souhrn činností s cílem určit hodnotu měřené veličiny

Více

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová

Úvod do teorie měření. Eva Hejnová Úvod do teorie měření Eva Hejnová Literatura: Novák, R. Úvod do teorie měření. Ústí nad Labem: UJEP, 2003 Sprušil, B., Zieleniecová, P.: Úvod do teorie fyzikálních měření. Praha: SPN, 1985 Brož, J. a kol.

Více

Klasická měření v geodetických sítích. Poznámka. Klasická měření v polohových sítích

Klasická měření v geodetických sítích. Poznámka. Klasická měření v polohových sítích Klasická měření v geodetických sítích Poznámka Detailněji budou popsány metody, které se používaly v minulosti pro budování polohových, výškových a tíhových základů. Pokud se některé z nich používají i

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Měření délek. Přímé a nepřímé měření délek

Měření délek. Přímé a nepřímé měření délek Měření délek Přímé a nepřímé měření délek Délkou rozumíme vzdálenost mezi dvěma body vyjádřenou v délkových jednotkách - vodorovné délky - šikmé délky Pro další účely se délky redukují do nulového horizontu

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost

Více

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně Fyzikální veličiny - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny Obecně Fyzika zkoumá objektivní realitu - hmotu - z určité stránky. Zabývá se její látkovou formou

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

MĚŘENÍ, TYPY VELIČIN a TYPY ŠKÁL

MĚŘENÍ, TYPY VELIČIN a TYPY ŠKÁL MĚŘENÍ, TYPY VELIČIN a TYPY ŠKÁL Matematika a stejně i matematická statistika a biometrie s námi hovoří řečí čísel. Musíme tedy vlastnosti nebo intenzitu vlastností jedinců změřit kvantifikovat. Měřením

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Nástin formální stavby kvantové mechaniky

Nástin formální stavby kvantové mechaniky Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Inženýrská geodézie II 1/5 Určení nepřístupné vzdálenosti

Více

Stanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území

Stanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území Stanovení nejistot při výpočtu kontaminace zasaženého území Michal Balatka Abstrakt Hodnocení ekologického rizika kontaminovaných území představuje komplexní úlohu, která vyžaduje celou řadu vstupních

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu Geodézie v podzemních prostorách 10 úloha/zadání H/190-4 název úlohy Hloubkové

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Základní statistické charakteristiky

Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ # Nejistoty měření Přesnost měření Klasický způsob vyjádření přesnosti měření chyba měření: Absolutní chyba X = X M X(S) Relativní chyba δ X = X(M) X(S) - X(M) je naměřená hodnota

Více

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 1. Základy měření

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 1. Základy měření FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA 1. KAPITOLY 1. Základy měření Úvod do problematiky experimentální

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Měření vzdáleností, určování azimutu, práce s buzolou.

Měření vzdáleností, určování azimutu, práce s buzolou. Měření vzdáleností, určování azimutu, práce s buzolou. Měření vzdáleností Odhadem Vzdálenost lze odhadnout pomocí rozlišení detailů na pozorovaných objektech. Přesnost odhadu závisí na viditelnosti předmětu

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 (Měření délek) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. říjen 2015 1 Geodézie 1 přednáška č.5 MĚŘENÍ DÉLEK Podle

Více

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Seminář z geoinformatiky Metody měření výškopisu, Tachymetrie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu:

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu: 4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU SMĚR MĚŘENÍ Vysvětlení symbolů a jejich významu: A daný bod výškového bodového pole, H A výška bodu A v systému Bpv,

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454 Zpracováno v rámci OP VK - EU peníze školám Jednička ve vzdělávání CZ.1.07/1.4.00/21.2759 Název DUM: Měření fyzikálních

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

GEODÉZIE II. metody Trigonometrická metoda Hydrostatická nivelace Barometrická nivelace GNSS metoda. Trigonometricky určen. ení. Princip určen.

GEODÉZIE II. metody Trigonometrická metoda Hydrostatická nivelace Barometrická nivelace GNSS metoda. Trigonometricky určen. ení. Princip určen. Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví GEODÉZIE II Ing. Hana Staňková, Ph.D. 3. URČOV OVÁNÍ VÝŠEK metody Trigonometrická metoda

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

HE18 Diplomový seminář. VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební

HE18 Diplomový seminář. VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební HE18 Diplomový seminář VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební Bc. Kateřina Brátová 26.2.2014 Nivelace Měřický postup, kterým se určí převýšení mezi dvěma body. Je-li známá nadmořská výška v příslušném

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Seminář z geoinformatiky Úvod do geodézie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Úvod do geodézie

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Kartografické stupnice. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita

Kartografické stupnice. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Kartografické stupnice Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Datum vytvoření dokumentu: 20. 9. 2004 Datum poslední aktualizace: 16. 10. 2012 Stupnice

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Viz oskenovaný text ze skript Sprušil, Zieleniecová: Úvod do teorie fyzikálních měření http://physics.ujep.cz/~ehejnova/utm/materialy_studium/chyby_meridel.pdf

Více

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti. 6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové

Více

obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc.

obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc. obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc. *Studium je čtyřleté *Zaměřeno na zvládnutí základních principů metrologických činností a managementu kvality *Studium je

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví.

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví. Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Geodézie ve stavebnictví Pořadov é číslo 1 Téma Označení

Více

Fyzika aplikovaná v geodézii

Fyzika aplikovaná v geodézii Průmyslová střední škola Letohrad Vladimír Stránský Fyzika aplikovaná v geodézii 1 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 4/003 Průběh geoidu z altimetrických měření

Více

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Úkoly měření: 1. Odhad rozměrů mikro-objektů z informací uváděných výrobcem. 2. Záznam difrakčních obrazců (difraktogramů) vzniklých interakcí laserového

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy )

Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy ) Postup pro kalibraci vyměřené zkušební dráhy pro stanovení konstanty vozidla W a účinného obvodu pneumatik (dále jen dráhy ) Kalibrace se provede porovnávací metodou pomocí kalibrovaného ocelového měřicího

Více