TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF WEIGEL TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I GE04_M01 MĚŘICKÉ CHYBY

2 TCHVP Měřické chyby Tento text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. Za jazykovou stránku odpovídá autor Doc. Ing. Josef Weigel, CSc., Brno (26) -

3 Obsah OBSAH 1 Úvod Cíle Požadované znalosti Doba potřebná ke studiu Klíčová slova Metodický návod na práci s textem Měření a zdroje jeho chyb Měření a jeho fáze Podmínky ovlivňující měřický proces Metoda měření Podmínky při měření Měřické chyby Definice chyb Rozdělení chyb a jejich struktura Omyly a hrubé chyby Systematické chyby Náhodné chyby Úplné chyby Charakteristiky přesnosti měření Charakteristiky polohy a proměnlivosti Střední hodnota Základní a výběrová střední chyba Závěr Shrnutí Studijní prameny Seznam použité literatury Seznam doplňkové studijní literatury Odkazy na další studijní zdroje a prameny Klíč (26) -

4

5 Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Cílem modulu Měřické chyby je objasnit studentům oboru Geodézie a kartografie základní pojmy z teorie měření a měřických chyb a zdroje těchto chyb. Studenti budou seznámeni se vzorci a způsoby používanými při stanovení charakteristik přesnosti výsledků měření. V závěru budou seznámeni se zákony (vztahy, pravidly) podle kterých se přesnosti (nejistoty) vstupních veličin projeví na výsledcích funkčních vztahů, tj. na přesnostech (nejistotách) výsledků nějakých výpočtů. Student musí pochopit teoretický význam nadbytečných měření, naučí se rozlišovat různé způsoby vyjádření přesnosti měřených a vypočtených veličin. Po nastudování tohoto modulu by měl získat předpoklady pro rozlišování pojmů vnitřní a vnější přesnost měření. 1.2 Požadované znalosti Při studiu tohoto modulu se studenti neobejdou bez základních znalostí z předmětu Matematika I a některých pasáží i z předmětu Matematika II. Pochopit musí zejména kapitoly týkající se derivací jednoduchých funkcí, rozvojů funkcí pomocí řad, především Taylorovy řady. Rovněž základní znalosti z teorie jednoduchého integrálu budou nezbytné. Souběžně s tímto předmětem probíhá ve stejném semestru i výuka v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Bez nadsázky lze říci, že teorie chyb a metody používané ve vyrovnávacím počtu jsou zcela založeny na principech a teoriích definovaných v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Matematické základy budou okamžitě aplikovány v tomto předmětu a proto se doporučuje studovat tento modul souběžně s texty předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Znalosti z předmětu Geodézie I jsou nutné především k pochopení praktických příkladů. 1.3 Doba potřebná ke studiu Obsah modulu je sestaven tak, že je pak v plné míře využíván v navazujícím předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet II. Protože se jedná o úvodní modul těchto dvou předmětů jsou jeho znalosti klíčové pro pochopení navazujících informací. V prezenční formě studia je předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet I věnován týdenní rozsah výuky 2 hod přednášek a 2 hodiny cvičení, po dobu 13 až 14 týdnů. Celková časová náplň pro nastudování tohoto modulu je asi 50 hodin, z toho se předpokládá 20 hodin na studium teorie a 30 hodin na procvičování příkladů. Časový rozsah jednotlivých kapitol tohoto modulu je uveden vždy u příslušné kapitoly. - 5 (26) -

6 TCHVP Měřické chyby 1.4 Klíčová slova Měření, měřické chyby, náhodné chyby, systematické chyby, hrubá chyba, omyl, charakteristiky přesnosti, variance, kovariance, směrodatná odchylka, střední chyba, jednotková střední chyba, váhy měření, zákony hromadění chyb. 1.5 Metodický návod na práci s textem Text a příklady v něm uvedené jsou seřazeny tak, aby se postupovalo od jednodušších příkladů k příkladům složitějším. Vzorové příklady jsou ve většině případů doplněny postupem výpočtu. Výpočty jsou sestaveny tak, aby mohly být počítány na kalkulačkách. Doporučuji studentům, aby si každý příklad nejprve vypočítali ručně (na kalkulačce se zápisem mezivýsledků na papír) a teprve potom jej realizovali například v tabulkovém procesoru Excel. Cílem totiž není jen vypočítat správný výsledek, ale pochopit detailně jeho jednotlivé fáze. Zvláště doporučuji, aby si student všímal velikosti každého čísla, počtu jeho cifer a jak se které číslo uplatní ve výsledku. V některých příkladech je možno sledovat vliv zaokrouhlování na celkový výsledek. Počet platných cifer má velký význam při výpočtech charakteristik přesnosti středních chyb a vah. Musíme si uvědomit, že se jedná o čísla přibližná, neboť střední chyby středních chyb (charakteristiky druhého řádu) bývají u těchto empirických odhadů dosti pesimistické. Pokud student ovládá nějaký programovací jazyk, nebo pracuje s programovacími systémy typu MATCAD, MATLAB a pod., je vhodné věnovat tvorbě programů v těchto systémech více času, neboť si tak student ušetří čas při výpočtech jednotlivých aplikací vyrovnávacího počtu v navazujících odborných předmětech. Samozřejmě orientační čas uvedený ve stati 1.3 pro studium tohoto modulu pak bývá překročen i vícenásobně. - 6 (26) -

7 Měření a zdroje jeho chyb 2 Měření a zdroje jeho chyb Cílem této kapitoly je objasnit pojem měření v širších souvislostech než je jen realizace vlastního procesu měření. Dále budou uvedeny hlavni zdroje způsobující rozdílnost výsledků v opakovaných měřeních. Průměrný čas k nastudování druhé kapitoly je 3,5 hodiny Objekt, znak, náhodná proměnná, fáze měření, měřický proces, zpracovatelský proces, pravé chyby, skutečné chyby, opravy, Předměty a jevy v přírodě a společnosti existují a uskutečňují se nezávisle na našem vědomí a neustále se mění a vyvíjejí. Jejich zkoumáním se zabývají jednotlivé vědní obory a disciplíny. Nezbytnou složkou tohoto zkoumání jsou kvantitativní stránky předmětů a jevů. I tyto existují nezávisle na našem vědomí. Měření je důležitý prostředek v procesu poznání právě kvantitativních stránek předmětů a jevů. Oborů a vědních disciplín ve kterých se provádí měření je velké množství. Zeměměřictví (geodézie a kartografie) je jedním z oborů v jehož činnosti hraje měření dominantní roli. S pojmem měření jsou úzce spjaty pojmy chyba měření a přesnost měření. 2.1 Měření a jeho fáze Zkoumané předměty či jevy nazýváme objekty. Na každém objektu je nutno definovat jeho znaky, které chceme měřit (pozorovat). Je-li objektem např. nějaká osoba, je poměrně snadné definovat a změřit takové znaky jako je její výška, hmotnost, aj.. Poněkud obtížnější může být definovat a změřit její IQ nebo oblíbenost a téměř nemožné např. zbabělost, smysl pro spravedlnost apod.. V technických disciplínách, mezi které zeměměřictví patří, bývá vymezení jednotlivých znaků obvykle jednoznačnější než v disciplínách humanitních. Ze znaků, přiřazených k určitému objektu nebo jevu budou dále vybrány jen ty, které jsou měřitelné. V praxi má mnoho znaků proměnný charakter a proto je nazýváme proměnnými. Základní dělení proměnných je na proměnné vyjádřené číselnými hodnotami (kvantitativní proměnné) a na proměnné vyjádřené slovním popisem (kvalitativní proměnné). Při dalším zpracování se kvalitativním proměnným obvykle přiřazuje stanovený číselný kód. Podle počtu sledovaných znaků rozdělujeme proměnné na: 1. Jednorozměrné proměnné, když je na objektu zkoumán (měřen, pozorován) jen jeden znak 2. Vícerozměrné proměnné, když jsou zkoumány (měřeny, pozorovány) dva a více znaků - 7 (26) -

8 TCHVP Měřické chyby Veličinou budeme nazývat proměnnou, kterou lze vyjádřit matematicky (skupinou čísel, funkcí aj.). Podle počtu hodnot, kterých proměnná nabývá rozdělujeme proměnné na: 1. Spojité proměnné, které mohou nabýt nespočetně nekonečného počtu hodnot 2. Diskrétní proměnné (nespojité), které nabývají konečného nebo nejvýše spočetného nekonečného počtu hodnot. Měřením budeme nazývat: a) proces, ve kterém se určité veličině přiřazuje její hodnota neboli výsledek měření. b) jednotlivý výsledek měření Hodnota veličiny je její kvantitativní vyjádření v nějakém zvoleném vztažném systému měřické jednotce. Hodnota se vyjadřuje reálným číslem doplněným rozměrem veličiny. Rozměry veličin bývají uváděny v měřických jednotkách nebo jejich násobcích. Existují samozřejmě i veličiny, jejichž hodnoty jsou bezrozměrné. Pokud lze hodnoty veličin přímo změřit, nazýváme takové výsledky přímá měření, pokud jsou hodnoty určeny prostřednictvím známého funkčního vztahu k jiné nebo k jiným, obvykle přímo měřeným veličinám, nazýváme je nepřímá měření Příkladem přímého měření je třeba úhel, jehož hodnota je určena pomocí vhodného přístroje na měření úhlů, např. úhloměru, teodolitu aj. Dalšími typickými příklady přímých měření jsou: vzdálenost naměřená pásmem, teplota teploměrem, čas hodinkami, hmotnost váhami aj, Mezi nepřímo měřené veličiny můžeme zařadit např. obsahy ploch, objemy těles, vzdálenosti a směrníky počítané ze souřadnic, výšky bodů počítané z přímo měřených převýšení, převýšení počítaná ze známých výšek apod.. Otázka 2.1: a) Lze délky naměřené elektronickým tachymetrem (totální stanicí) zařadit do kategorie přímých měření? Odpověď 2.1: b) Ve většině případů považujeme za přímá měření ta měření, která jsou výstupem z nějakého měřícího přístroje, tj. i elektronického tachymetru. Bude-li výstupem naměřená šikmá vzdálenost, pak by bylo možno tuto hodnotu považovat za výsledek procesu přímého měření délek. Bude-li výstupem vodorovná vzdálenost, bylo by ji možno zařadit mezi nepřímá měření, neboť k převodu ze šikmé délky na vodorovnou musel přístroj naměřit i další veličinu - svislý úhel a k převodu použít nějakou matematickou funkci, vztah nebo tabulku. Rovněž by měla být k tomuto převodu v přístroji k dispozici přímo změřená výška přístroje i výška odrazného systému, a případně známy i některé další veličiny (poloměr Země aj.). - 8 (26) -

9 Měření a zdroje jeho chyb V uvedených příkladech je vidět, že zařazení nějakého výsledku mezi přímá nebo nepřímá měření může být někdy dosti komplikované. Exaktní vymezení přímých a nepřímých měření je uvedeno např. v [9] na str. 12. Nejprve se budeme detailněji věnovat hlavně přímým měřením. Z hlediska teorie chyb doplníme měřický proces ještě o zpracovatelský proces. Měřický proces se dále rozdělí na přípravnou fázi měření a vlastní měření a zpracovatelský proces na fázi určení hodnoty měřené veličiny a na fázi úpravy hodnoty. Schématicky jsou tyto fáze ukázány na obr Příprava měření Měřický proces Vlastní měření Přímé měření Určení hodnoty Zpracovatelský proces Obrázek 2.1 Schéma přímého měření Úprava hodnoty Moderní měřické přístroje a systémy v sobě slučují, ve větší či menší míře, měřický i zpracovatelský proces. Příkladem veličiny získané pomocí složitého měřicího systému, ve kterém lze pro uživatele jen obtížně oddělit měřický proces od zpracovatelského procesu, je určování polohy bodů metodou GPS. Na příkladu měření délky elektronickým tachymetrem budou ve zjednodušené podobě ukázány jednotlivé fáze měření. V přípravné fázi je nutno ověřit správnou funkci dálkoměru a na srovnávací základně, nebo jinou vhodnou metodou, stanovit konstanty přístroje a odrazného systému (hranolu). Řadíme sem též rektifikaci přístroje a pomocných zařízení (seřízení libel, centrovačů atd.) a nastavení dalších konstant a parametrů v přístroji. Při vlastním měření dbáme na kvalitní centraci a horizontaci přístroje a odrazného systému, dále změříme výšky přístroje a odrazného zařízení, rovněž změříme teplotu vzduchu, případně i vlhkost a atmosférický tlak. Délku změříme několikrát (opakovaně) a zaznamenáme jednotlivé výsledky. Současně s měřenou délkou měříme a zaznamenáváme i hodnoty svislého úhlu, nejlépe v obou polohách dalekohledu. Ve zpracovatelské fázi se nejprve zavedou k opakovaně měřeným délkám jejich korekce z komparace a z vlivu atmosféry a pak se vypočte pro šikmou délku její průměrná hodnota Při následné úpravě této hodnoty se prostřednictvím matematických redukcí převede šikmá délka na vodorovnou délku v nulové nadmořské výšce a podle potřeby se převede i do roviny kartografického zobrazení (např. S-JTSK). - 9 (26) -

10 TCHVP Měřické chyby 2.2 Podmínky ovlivňující měřický proces Z hlediska teorie chyb považujeme měření za pokus. Obecně je pokus jakákoliv činnost nebo proces, které jsou libovolně opakovatelné a uskutečňují se za předem vymezených podmínek. Pokusy rozdělujeme na deterministické a stochastické. Jako deterministické pokusy jsou označovány pokusy, které za vymezených podmínek vedou při jejich opakování vždy ke stejným výsledkům. Jako stochastické (náhodné) pokusy jsou označovány pokusy, kdy na výsledek pokusu působí ještě další podmínky (vlivy), které jsou obvykle náhodného charakteru a způsobují, že se výsledky opakovaných pokusů liší. Pod pojmem předem vymezené podmínky zde rozumíme především metodu měření. Metoda měření v sobě zahrnuje předepsané měřicí zařízení a požadovaný (doporučený) postup měření. Součástí metody měření bývá i vymezení vhodných podmínek pro měření. Podmínky působící na přímé měření: 2. Metoda měření (deterministické podmínky) měřicí zařízení postup měření 3. Podmínky při měření (stochastické podmínky) skutečný stav měřícího zařízení vliv prostředí na měření vliv lidského faktoru při měření Metoda měření Každá metoda měření vyžaduje: měřicí zařízení, což je komplex měřicích přístrojů s jejich přídavnými zařízeními a dalšími nezbytnými pomůckami a doplňky. Měřicí zařízení musí splňovat parametry požadované kvality. Kvalitou se z hlediska teorie chyb rozumí u přístrojů především citlivost nejmenší diference hodnot měřené veličiny, která koresponduje s příslušným dílkem stupnice přístroje, replikovatelnost, (schopnost opakovat údaje), stálost distribuční funkce chyb měření při opakování měření přesnost (vnitřní a vnější). Do parametrů kvality patří i řada dalších, např. složitost obsluhy, poruchovost, energetická náročnost aj. Zvláštní pozornost si zaslouží zejména možnost pravidelné kontroly některých parametrů kvality měřícího zařízení, např. porovnávání měřicího zařízení s předepsanými etalony tzv. komparace. postup měření (technologický postup), což je souhrn postupů, pravidel a podmínek předepsaných pro danou metodu měření. Postup měření vyžaduje zejména použití všech předepsaných přístrojů a pomůcek v souladu s návodem či předpisem pro jejich používání. Důležité je dodržení pořadí a návazností jed (26) -

11 Měření a zdroje jeho chyb notlivých úkonů, dodržení předepsaného či přiměřeného tempa měření, důsledná registrace všech požadovaných údajů atd. V dalším budeme předpokládat, že použitá metoda měření je teoreticky správná a za doporučených podmínek realizovatelná Podmínky při měření Každé reálné měření se koná v konkrétních vnějších podmínkách (teplota, tlak a vlhkost vzduchu, sluneční svit, vítr apod.) a ve většině případů se na vlastním měření podílí i lidský faktor (měřič a jeho pomocníci). Z toho je zřejmé, že při měření nelze obecně oddělovat deterministické podmínky (vyžadované metodou měření) od podmínek náhodných, daných.skutečným stavem celého systému. 1. Vliv měřícího zařízení Vliv měřícího zařízení (jeho skutečného stavu) na výsledky měření záleží na: celkovém stavu přístrojů, zařízení a pomůcek, zejména na kvalitě prováděné i provedené údržby (seřízení přístrojů, rektifikace libel aj.), "okamžitém" stavu (urovnání přístrojů a měřických latí, zaostření dalekohledu, vnitřní pnutí v přístrojích a stojanech, vliv nastavení indexů a stupnic a jejich osvětlení, vliv tzv. mrtvých chodů ustanovek, vliv napětí v bateriích aj.). Velké riziko pro okamžitý stav přináší rovněž nešetrný transport přístrojů a pomůcek na lokalitu a zpět. I dobře v laboratoři seřízený přístroj může být transportem znehodnocen. 2. Vliv prostředí Prostředí ve kterém se měření uskutečňuje se řadí k jedněm z nejvýznamnějších faktorů ovlivňujících výsledky měření: Ovlivnění měřického paprsku nebo signálu. Velká část geodetických měření využívá některého z druhů elektromagnetické záření (světelné vlny, radiové vlny), které je výrazně ovlivňováno prostředím, kterým se šíří. Rychlost a směr šíření elektromagnetických vln jsou závislé na indexech lomu daného prostředí, kde zejména okamžitý stav atmosféry (troposféry, případně i ionosféry) způsobuje celou řadu jevů (např. refrakci, difrakci, zpoždění signálu aj.), které jsou proměnlivé s časem a místem. Vlivem jiných elektromagnetických zdrojů záření působí prostředí na elektromagnetický signál a způsobuje jeho zašumění, rušení či degradaci. Nezanedbatelný může být i vliv falešných odrazů signálu, či ohyb světelného paprsku vlivem blízkých objektů a překážek. Mohou nastat situace, kdy při snížené viditelnosti (opar, smog, déšť, sněžení, mlha či silné chvění obrazu) se zmenší dosah měřícího zařízení nebo je měření zcela znemožněno. Působení prostředí na měřící zařízení. Prostředí dále působí přímo na měřící přístroje a některé pomůcky, např. při osvitu přístroje či stojanu přímým sluncem nebo za mrazu v nich nastávají různá pnutí. Teplota vzduchu ovlivňuje teplotu měřidel (pásem, latí,..) a tím mění i jejich délku. Silnější vítr způsobuje chvění přístrojů a latí, zvětšuje průhyb pásma, způsobuje kývání olovnice, či znemožňuje použití slunečníku - 11 (26) -

12 TCHVP Měřické chyby pro ochranu přístroje před přímým slunečním zářením. Rovněž málo únosný terén (bláto, sníh, led, rozměklý asfalt, oranice, tráva apod.) výrazně snižuje stabilitu přístrojů a pomůcek v průběhu měření. Podobný charakter mají i vibrace v průmyslových závodech či silný dopravní ruch, které způsobují chvění přístrojů a snižují jejich stabilitu. Prostředí působí i na měřiče a jeho pomocníky, zejména je-li nepříznivé (velké vedro či chlad, silný vítr, mrholení, déšť, sníh, hluk apod.). Slapové změny. Mezi vlivy prostředí řadíme i působení dalších jevů, jako jsou změny v tíhovém poli vyvolané např. proměnlivou polohou Slunce a Měsíce, působení magnetického pole Země, vlnění zemské kůry aj., které mají velmi často periodický charakter. Při studiu vlivu prostředí na výsledky měření se zkoumají vlivy jednotlivých jejich složek pokud možno odděleně. Toto studium má obvykle jak teoretickou, tak i experimentální část, která může mít laboratorní nebo terénní charakter. 3. Vliv lidského faktoru. Měřič a jeho pomocníci vnášejí do procesu měření lidský faktor. Ten se může projevit příznivě i nepříznivě. Především se od měřiče očekává, že umí měřit. K tomu účelu musí být vybaven schopnostmi, znalostmi a zkušenostmi: Schopnost. Ne každý člověk je schopen kvalitně měřit. Například při vyhodnocování fotogrammetrických snímků musí být měřič obdařen schopností stereoskopického vidění. Při náročných měřeních v komplikovaném terénu musejí být měřiči i pomocníci přiměřeně fyzicky zdatní apod. S pojmem schopnost bezprostředně souvisí i pojem dovednost. Dovednost je zjednodušeně řečeno rozvinutá a využitá schopnost. Schopnost a dovednost ovlivňují výsledky měření obvykle přímo. Znalosti se získávají především studiem, ať již řádným, v rámci příslušného odborného vzdělávání, tak i studiem při řešení teoretických a praktických problémů. Znalosti působí na kvalitu měření velmi často nepřímo, většinou se projeví již při volbě vhodné metody měření či postupu měření. Zkušenosti jsou nezbytné zejména při řešení nestandardních problémů. Měřické zkušenosti obvykle přinášejí efektivní a někdy i netradiční řešení. Nejsou-li zkušenosti dostatečně doplněné znalostmi, mohou někdy působit i negativně, neboť svádí k přeceňování praxe na úkor teorie. Aktuální fyzický a psychický stav. Člověk je ovlivňován nejen svoji povahou, ale též okamžitým psychickým stavem a fyzickou kondicí. Může být zatížen aktuálními starostmi, problémy, povinnostmi a potřebami. Určitou roli hraje i motivace k získávání kvalitních výsledků. Z uvedeného vyplývá, že při správnosti metody měření ovlivňují vlastní měření především náhodné podmínky, které jsou v neustálém pohybu a změně a v každém okamžiku vytvářejí více či méně odlišnou situaci (26) -

13 Měření a zdroje jeho chyb Je-li měřický proces dostatečně citlivý (přesný), pak je schopen změny podmínek registrovat ve výsledcích měření. Důsledkem je, že při opakovaném měření za vymezených podmínek obdržíme rozdílné výsledky měření, které se navzájem v malých mezích liší. Vývoj metod měření dlouhodobě směřuje ke zkvalitňování přístrojů, pomůcek a postupů měření. Objevují se nové teorie, metody, přístroje a technologie. Podrobně jsou studovány i podmínky měření, zejména vlivy prostředí. U mnoha podmínek při měření lze považovat jejich vliv na výsledek měření spíše za systematický (lze jej popsat nějakou funkční závislostí) než za náhodný. Poznání těchto zákonitostí (systematičností) a eliminace jejich vlivu na měřené výsledky je významných prostředkem zvyšování přesnosti a vývoje metod měření. Lidský faktor je prostřednictvím automatizace a elektronizace postupně z celého procesu měření vytěsňován. Limitujícími pro zvyšování přesnosti měření se tak u řady metod stávají především vlivy prostředí. Kontrolní otázky 2.2: a) Můžeme předem předvídat jakou hodnotou ovlivní prostředí naměřenou hodnotu? b) Je výhodněji měřit pomalejším tempem, ale o to pečlivěji, nebo při měření přiměřeně spěchat? c) Můžeme zvýšit přesnost přímého měření zvýšením přesnosti některých částí použitých přístrojů a pomůcek, např. u teodolitu nebo nivelační latě doplněním citlivější přídavnou libelou apod.? d) Je vhodnější z hlediska proměnlivosti přírodních podmínek měřit za stejných klimatických podmínek, nebo je výhodnější podmínky prostředí vhodně prostřídat? e) Co si představujete pod pojmy vnitřní a vnější přesnost měření? Odpovědi na otázky 2.2: Na žádnou z uvedených otázek neexistuje jednoznačná odpověď. Jedním z cílů studia tohoto předmětu je získat teoretické a částečně i praktické poznatky pro kvalifikovanější odpověď na uvedené otázky. Proto doporučuji studentům zapsat si nyní své názory na problematiku nastíněnou v otázkách a průběžně je konfrontovat s poznatky získanými při studiu (26) -

14 TCHVP Měřické chyby - 14 (26) -

15 Charakteristiky přesnosti měření 3 Měřické chyby 3.1 Definice chyb Každá fyzikální veličina vyjadřuje určitou vlastnost (znak) hmotného objektu. Každý hmotný objekt je v neustálém pohybu a podléhá neustálým změnám, proto i příslušná veličina nabývá v různých časových okamžicích různou velikost. Tyto velikosti nazveme pravými hodnotami. Je zřejmé, že pravé hodnoty většiny veličin jsou proto proměnlivé. Velmi často však považujeme objekt a jeho znaky za neměnné a pravou hodnotu proto za stálou. Procesem měření se pokoušíme.určit tuto hodnotu pravé veličiny. Pravé hodnoty (bezchybné hodnoty) jsou známy obvykle pouze v matematických či geometrických vztazích. Pravou hodnotou je např. součet n vnitřních úhlů v uzavřeném rovinném mnohoúhelníku, který se rovná právě hodnotě (n - 2)180 o. Pro n = 3 (součet úhlů v trojúhelníku) je to všeobecně známých 180 o. Jiným příkladem je velikost rozdílu dvojího měření téže veličiny (např. rozdílu měření TAM a ZPĚT ). Tento rozdíl by měl být přesně nulový. Kontrolní otázky 3.1: a) Jaký bude součet vnějších úhlů v n-úhelníku? b) Lze za pravou hodnotu považovat chybu vzniklou zaokrouhlením nějakého čísla? c) Nalezněte alespoň jeden další příklad na pravou hodnotu. Odpovědi jsou uvedeny v závěrečné kapitole v klíči. Zdálo by se nesmyslné, a zejména neekonomické, pravé veličiny získávat měřením, když jejich hodnoty již známe. V geodézii a kartografii existuje mnoho situací, kdy přesto takové hodnoty určujeme. Obvykle je to z důvodu kontroly našich měření. Měřením nelze pravou hodnotu určit neboť: a) každé měření je ovlivněno proměnlivými podmínkami za kterých je realizováno b) pravé hodnoty chyb způsobené proměnlivostí podmínek jsou nepoznatelné c) tyto chyby ovlivňují výsledek měření Skutečnou hodnotou nějaké veličiny budeme označovat číslo μ, které se dostatečně málo liší od její pravé hodnoty, a jímž se pravá hodnota nahrazuje. Skutečná hodnota je měřením poznatelná a představuje obvykle tu hodnotu, která byla získána nejdokonalejšími metodami měření s použitím nejlepších přístrojů a co nejlepší eliminací nepříznivých vlivů vyvolaných proměnlivým charakterem podmínek při měření. Opakováním měření lze řadu těchto nepříznivých vlivů snížit či výrazně eliminovat. Skutečná hodnota je proto obvykle určována z velmi rozsáhlých měřických souborů (26) -

16 TCHVP Měřické chyby Je zřejmé, že získání skutečných hodnot měřených veličin je velmi komplikované a nákladné. Velký význam mají pravé a skutečné hodnoty ve vlastní teorii měření a v teorii chyb. Chybou měření budeme v teorii chyb nazývat rozdíl mezi zvolenou referenční hodnotou a její naměřenou hodnotou. Podle volby referenční hodnoty budeme rozeznávat různé druhy chyb: Pravá chyba je rozdíl pravé hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty Skutečná chyba je rozdíl skutečné hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty Student může v naprosté většině případů považovat oba pojmy za identické. Mějme n výsledků opakovaných měření veličiny X, které označíme x x,...,. Skutečné chyby jednotlivých měření vypočítáme 1, 2 x n ε i = μ x i, (3.1) kde i = 1,2,...,n V praxi z kontrolních a jiných důvodů měření několikrát opakujeme. Neurčíme při tom skutečnou hodnotu měřené veličiny μ, ale z těchto opakovaných měření jen její vyrovnanou hodnotu, (nejpravděpodobnější hodnotu) x. Vyrovnaná hodnota se ke skutečné hodnotě obvykle blíží. Byla-li opakovaná měření vykonána stejnou metodou měření, za obdobných podmínek při měření a jsou-li vzájemně nezávislá, je možno vyrovnanou hodnotu vypočítat jednoduchým aritmetickým průměrem (viz stať textu [12]): n xi 1 i=1 x = ( x1 + x xn) = n n x = n Oprava je rozdíl vyrovnané hodnoty a měřené hodnoty. v. (3.2) = x. (3.3) i x i Opravy se též nazývají nejpravděpodobnější chyby, domnělé chyby, rezidua. Pro opravy vypočítané podle (3.3) platí důležitý kontrolní vztah v =0. (3.4) Důkaz vztahu (3.4) je velmi jednoduchý a vyplývá přímo z (3.3) a (3.2). Jeho odvození je rovněž ve stati textu [12] Jaký je vztah mezi skutečnou chybou a opravou? ε i vi = ( μ xi ) ( x xi ) = μ x = ε. (3.5) x - 16 (26) -

17 Charakteristiky přesnosti měření Vidíme, že rozdíl mezi pravými (skutečnými) chybami a příslušnými opravami je konstantní pro všechna měření x i (i = 1, 2,..., n). Skutečnou hodnotu měřené veličiny obvykle neznáme, víme jen, že všechny opravy jsou od svých skutečných chyb odchýleny o konstantu ε x. Této hodnotě říkáme skutečná chyba aritmetického průměru. Poznámka 3.1 Vzorec (3.2) je rozepsán ve třech podobách. Při použití značky sumy by měly být formálně uváděny indexy sčítanců (viz. druhý vztah). V dalším textu budeme používat neformální zápis a označení indexů bude vynecháváno (viz.třetí vztah). Poznámka 3.2 V případě výpočtu oprav je referenční hodnotou vyrovnaná hodnota (např. jednoduchý aritmetický průměr) a jednotlivá měření se od něj odečítají. Podobně u pravých a skutečných chyb. V teorii pravděpodobnosti a v řadě dalších vědních disciplín je tomu právě naopak. Naším důvodem je požadavek, abychom při vyrovnání opravy k měřeným veličinám přičítali a tak jsme získali vyrovnané hodnoty (hodnotu). Je to však jen otázkou konvence znamének oprav a znamének pravých či skutečných chyb. V teorii chyb a vyrovnávacím počtu se vžilo pravidlo, že znaménko chyby se určuje podle hesla má býti - mínus jest. Má býti vyjadřuje vyrovnanou, pravou či skutečnou hodnotu, jest měřenou hodnotu. Poznámka 3.3 V praxi se občas porovnávají výsledky měření získané dvěma metodami, z nichž jedna je mnohem přesnější (minimálně o jeden řád přesnější). Rozdíly mezi výsledky získanými oběma metodami se často považují za skutečné chyby, tj. jako by přesnější metoda byla bezchybná. Úkol 3.1 Délka mezi dvěma body byla měřena třemi různými metodami krokováním, pásmem a elektronickým dálkoměrem vždy 10 krát. Jednotlivá měření jsou uvedena v tab Kroky byly přibližně metrové. Vypočítejte: - průměrné hodnoty pro jednotlivé metody a také příslušné opravy k těmto průměrným hodnotám - skutečné chyby jednotlivých výsledků z metody krokování. Považujte pro tuto metodu průměrnou hodnotu určenou dálkoměrem za skutečnou hodnotu měřené délky. Určete průměrnou délku kroku. Tabulka 3.1 krokování pásmo dálkoměr krokování pásmo dálkoměr i x i [počet kroků] y i [m] z i [m] i x i [počet kroků] y i [m] z i [m] ,65 125, ,66 125, ,63 125, ,67 125, ,64 125, ,66 125, ,67 125, ,64 125, ,60 125, ,69 125, (26) -

18 TCHVP Měřické chyby 3.2 Rozdělení chyb a jejich struktura Jednou z hypotéz o vzniku měřických chyb je představa, že chyba měření vzniká jako algebraický součet tzv. elementárních chyb δ. Obecně je měření složitý proces s mnoha dílčími činnostmi a vlivy, z nichž každý může být zdrojem jiné chyby. Elementární chyby mají v každém okamžiku různou velikost i znaménko a výsledná chyba je součtem velkého množství těchto elementárních chyb. ε i = δ. (3.6) Při měření úhlů teodolitem lze za elementární chyby považovat chyby v zacílení, chyby v koincidenci, chyby dělení stupnic, chyby z dalších konstrukčních nedokonalostí přístroje, z kroucení stativu v průběhu měření, z vlivu refrakce atd. Takto definované elementární chyby lze dále dělit např. na chyby v zacílení na levý směr a na pravý směr atd. Z příčin uvedených ve stati 2.2 nelze obecně podchytit všechny elementární chyby. Úkol 3.2 Pokuste se vyjmenovat hlavní elementární chyby vznikající při měření délek pásmem. Proměnlivost velikosti i znaménka jednotlivých elementárních chyb způsobuje, že se z velké části vzájemně eliminují. Velikost každé elementární chyby je omezená, tzn. že nepřekročí určité limitní hodnoty. Pokud při měření nedošlo k nějakému omylu, chyby jednotlivých měření prakticky nepřekročí v absolutní hodnotě limitní hodnotu danou součtem limitních absolutních hodnot jednotlivých elementárních chyb. Z čistě teoretického hlediska může být elementárních chyb nekonečně mnoho a limitní hodnota chyby měření by proto mohla být nekonečně velká. Naše zkušenosti však tomu nenasvědčují. Naopak, vyskytneli se v nějakém měření velká chyba, předpokládáme že došlo při měření k nějakému omylu. Na měření působí nejen uvedené vlivy náhodné ale i vlivy systematické. Proto dělíme chyby principiálně na náhodné chyby a systematické chyby. Uvedené typy doplňme o chyby, které se při měření rovněž vyskytují. Jsou to hrubé chyby a omyly. Schéma rozdělení jednotlivých měřických chyb podle jejich typu je na obr Základním kritériem pro rozhodnutí, zda je měření zatíženo hrubou chybou nebo omylem, je překročení objektivně stanovené meze, která je definována tzv. mezní chybou ε mez. Platí-li pro i-té měření ε i > ε mez, (3.7) pak takové měření z dalšího procesu vylučujeme a obvykle nahrazujeme měřením novým. Stanovení mezních chyb je poměrně komplikovaná záležitost a bude jí věnována pozornost později (26) -

19 Charakteristiky přesnosti měření Náhodné chyby Δ i Menší než objektivně stanovená mezní chyba ε i < ε mez Systematické chyby c i Měřické chyby ε i Hrubé chyby Větší než objektivně stanovená mezní chyba ε i > ε mez Omyly Obrázek 2.2 Typy měřických chyb Omyly a hrubé chyby Omyl vznikne nejčastěji lidskou nepozorností nebo při selhání nějaké funkce měřícího přístroje. Pozná se obvykle tak, že výsledky zatížené omylem se nápadně liší od předpokládané hodnoty nebo hodnot získaných při opakovaných měřeních. Hrubá chyba je chyba která sice překročí mezní chybu, ale její příčinou nebyl omyl. Za zatížené hrubou chybou považujeme ta měření, ve kterých se soustředily elementární chyby převážně se stejným znaménkem, takže ve svém součtu jejich velikost překročila mezní chybu. Velikost mezní chyby bývá stanovena obvykle tak, že ji překročí 1% až 5 % ze všech správných měření. Dalšími příčinami vzniku hrubých chyb bývají: nedodržený postup měření, nedokonale seřízený přístroj, nepříznivé podmínky při měření apod.. V uspořádaném souboru opakovaných měření zaujímají měření zatížená hrubou chybou nebo omylem nápadně krajní pozice a říkáme jim proto odlehlé hodnoty. Proti omylům a hrubým chybám se zabezpečujeme opakovanými a kontrolními měřeními. Příkladem kontrolního měření je změření nadbytečného třetího úhlu v trojúhelníku, oboustranné připojení a orientace polygonového pořadu apod. V geodézii platí známé pravidlo: Jedno měření žádné měření Odlehlé hodnoty z dalšího procesu vylučujeme a vyloučené měření obvykle nahrazujeme měřením novým. Příklady typických omylů způsobených měřičem či jeho pomocníky jsou: zacílení na jiný bod, opomenutí nebo zanedbání nějakého úkonu (koincidence, urovnání libely), záměny bodů, čísel, znamének, chybná čtení, chybný zápis a mnoho dalších. Rovněž přístroje a měřící systémy mohou vykazovat během měření nějaké poruchy či vady, které zatíží výsledky mylnými údaji (26) -

20 TCHVP Měřické chyby Hrubé chyby mohou být také způsobeny např. silným větrem, ozářením přístroje sluncem, vibracemi přístroje, chvěním vzduchu, nedostatečným osvětlením stupnic, neseřízenými nebo neurovnanými libelami na přístrojích a latích, neseřízeným centrovacím zařízením, menší pečlivostí, spěchem nebo přílišným otálením při měření, únavou měřiče a obdobnými příčinami. I když budeme měřit velmi pečlivě, kvalitním přístrojem a za ideálních podmínek, určité procento výsledků bude zatíženo hrubými chybami Systematické chyby Systematické chyby jsou chyby, které systematicky ovlivňují výsledky měření. Příčinou jsou různé faktory (známé i neznámé), na kterých jsou výsledky závislé. Někdy lze formulovat zákon (pravidlo), kterým se systematické chyby řídí, či definovat funkci vlivu faktoru na výsledek měření. V mnoha případech tyto faktory ani funkce jejich působení neznáme. Systematické chyby rozdělujeme na: konstantní (stálé), které se vyznačují stejným znaménkem a přibližně stejnou velikostí, jednostranné, které mají stejné znaménko ale proměnlivou velikost, proměnlivé, jejichž znaménka jsou různá a velikosti proměnlivé. V literatuře se můžeme setkat s dalšími kategoriemi systematických chyb. Např. skupinové chyby působí ve skupině měření jako konstantní a jejich velikost se liší skupinu od skupiny. Periodické chyby se opakují v rámci určité periody. Osobní chyby příslušející určitému měřiči. Jako chyby teorie se nazývají chyby vzniklé při zjednodušení matematických vztahů (rozvoje v řady, některá numerická řešení apod.). Příklady jevů které způsobují konstantní systematické chyby: nesprávná délka měřidla, posunutý počátek stupnice latě, chybná konstanta odrazného hranolu, indexová chyba svislého kruhu teodolitu aj. Příklady jevů které způsobují jednostranné systematické chyby: vybočení pásma ze směru, nevodorovnost pásma, nesvislost měřické latě, chybná násobná konstanta dálkoměru aj.. Příklady jevů které způsobují proměnlivé systematické chyby: nepravidelné dělení stupnic, refrakce, proměnlivá teplota měřidla, slapové jevy aj.. Systematické chyby se v procesu měření snažíme eliminovat, nebo snížit jejich vliv na únosnou míru. Z časového hlediska existují tři způsoby eliminace: před měřením: správnou funkci přístroje a příslušných pomůcek zabezpečujeme pomocí jejich rektifikace, komparace apod. (tzv. konstrukční eliminace). Do této skupiny patří i zaškolení a výcvik měřické skupiny nebo kontrolní měření. při měření (tzv. technologická eliminace): jedná se o: použití vhodného postupu měření (např. měření ve dvou polohách dalekohledu), volbu vhodné doby a příznivých podmínek pro měření - při opakovaných měřeních se podle potřeby střídají doby i podmínky, registraci všech požadovaných prvků pro následné zavádění korekcí či oprav apod (26) -

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů

Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 Ing. Hana Staňková, Ph.D. Měření úhlů Popis teodolitu Podmínky správnosti teodolitu Metody měření úhlů GEODÉZIE 5. PŘEDNÁŠKA LETNÍ 00 POPIS TEODOLITU THEO 00 THEO 00 kolimátor dalekohled

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky.

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5. Měření délek. 5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5.2 Měření délek pásmem. 5.3 Optické měření délek. 5.3.1 Paralaktické měření délek. 5.3.2 Ryskový dálkoměr. 5.4 Elektrooptické měření délek. 5.4.1

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Měření délek. Přímé a nepřímé měření délek

Měření délek. Přímé a nepřímé měření délek Měření délek Přímé a nepřímé měření délek Délkou rozumíme vzdálenost mezi dvěma body vyjádřenou v délkových jednotkách - vodorovné délky - šikmé délky Pro další účely se délky redukují do nulového horizontu

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Inženýrská geodézie II 1/5 Určení nepřístupné vzdálenosti

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin

Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454. Název DUM: Měření fyzikálních veličin Základní škola národního umělce Petra Bezruče, Frýdek-Místek, tř. T. G. Masaryka 454 Zpracováno v rámci OP VK - EU peníze školám Jednička ve vzdělávání CZ.1.07/1.4.00/21.2759 Název DUM: Měření fyzikálních

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu Geodézie v podzemních prostorách 10 úloha/zadání H/190-4 název úlohy Hloubkové

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 (Měření délek) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. říjen 2015 1 Geodézie 1 přednáška č.5 MĚŘENÍ DÉLEK Podle

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

GEODÉZIE II. metody Trigonometrická metoda Hydrostatická nivelace Barometrická nivelace GNSS metoda. Trigonometricky určen. ení. Princip určen.

GEODÉZIE II. metody Trigonometrická metoda Hydrostatická nivelace Barometrická nivelace GNSS metoda. Trigonometricky určen. ení. Princip určen. Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví GEODÉZIE II Ing. Hana Staňková, Ph.D. 3. URČOV OVÁNÍ VÝŠEK metody Trigonometrická metoda

Více

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu:

4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU. Vysvětlení symbolů a jejich významu: 4. URČOVÁNÍ VÝŠEK BODŮ TECHNICKOU NIVELACÍ 4. 1. PRINCIP GEOMETRICKÉ NIVELACE ZE STŘEDU SMĚR MĚŘENÍ Vysvětlení symbolů a jejich významu: A daný bod výškového bodového pole, H A výška bodu A v systému Bpv,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc.

obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc. obor bakalářského studijního programu Metrologie Prof. Ing. Jiří Pospíšil, CSc. *Studium je čtyřleté *Zaměřeno na zvládnutí základních principů metrologických činností a managementu kvality *Studium je

Více

Fyzika aplikovaná v geodézii

Fyzika aplikovaná v geodézii Průmyslová střední škola Letohrad Vladimír Stránský Fyzika aplikovaná v geodézii 1 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví.

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví. Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0015 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Geodézie ve stavebnictví Pořadov é číslo 1 Téma Označení

Více

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin

Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Chyby měřidel a metody měření vybraných fyzikálních veličin Jaké měřidlo je vhodné zvolit? Pravidla: Přesnost měřidla má být pětkrát až desetkrát vyšší, než je požadovaná přesnost měření. Např. chceme-li

Více

HE18 Diplomový seminář. VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební

HE18 Diplomový seminář. VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební HE18 Diplomový seminář VUT v Brně Ústav geodézie Fakulta stavební Bc. Kateřina Brátová 26.2.2014 Nivelace Měřický postup, kterým se určí převýšení mezi dvěma body. Je-li známá nadmořská výška v příslušném

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Hodnocení kvality logistických procesů

Hodnocení kvality logistických procesů Téma 5. Hodnocení kvality logistických procesů Kvalitu logistických procesů nelze vyjádřit absolutně (nelze ji měřit přímo), nýbrž relativně porovnáním Hodnoty těchto znaků někdo buď předem stanovil (norma,

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Geotechnický monitoring učební texty, přednášky Způsoby monitoringu doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního oboru Geotechnika CZ.1.07/2.2.00/28.0009.

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Podrobné polohové bodové pole (1)

Podrobné polohové bodové pole (1) Podrobné polohové bodové pole (1) BUDOVÁNÍ NEBO REVIZE A DOPLNĚNÍ PODROBNÉHO POLOHOVÉHO BODOVÉHO POLE Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti Prohloubení nabídky zeměměřictví dalšího vzdělávání

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná.

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte tloušťku tenké vrstvy ve dvou různých místech. 2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 3. Okalibrujte

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

17. Celá čísla.notebook. December 11, 2015 CELÁ ČÍSLA

17. Celá čísla.notebook. December 11, 2015 CELÁ ČÍSLA CELÁ ČÍSLA 1 Teploměr na obrázku ukazuje teplotu 15 C Říkáme: je mínus 15 stupňů Celsia je 15 stupňů pod nulou je 15 stupňů mrazu Ukaž na teploměru: 10 C, 8 C, +3 C, 6 C, 25 C, +36 C 2 Teploměr Teploměr

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Určení svislosti. Ing. Zuzana Matochová

Určení svislosti. Ing. Zuzana Matochová Určení svislosti Ing. Zuzana Matochová Svislost stěn Jedná se o jeden z geometrických parametrů, který udává orientaci části konstrukce vzhledem ke stanovenému směru. Geometrické parametry jsou kontrolovány

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla Klasické provedení a didaktické aspekty pokusu U kyvadla, jakožto dalšího typu mechanického oscilátoru, platí obdobně vše, co bylo řečeno v předchozích experimentech SCLPX-7 a SCLPX-8. V současném pojetí

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

KIS a jejich bezpečnost I Šíření rádiových vln

KIS a jejich bezpečnost I Šíření rádiových vln KIS a jejich bezpečnost I Šíření rádiových vln Podstata jednotlivých druhů spojení, výhody a nevýhody jejich použití doc. Ing. Marie Richterová, Ph.D. Katedra komunikačních a informačních systémů Černá

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

MATEMATIKA. Statistika

MATEMATIKA. Statistika MATEMATIKA Statistika Během těchto vyučovacích hodin změří žáci pomocí senzorů Pasco svoji klidovou tepovou frekvenci a tepovou frekvenci po námaze. Získané výsledky budou v další hodině zpracovávat do

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt Automatický výpočet chyby nepřímého měření František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009 Abstrakt Pro správné vyhodnocení naměřených dat je třeba také vypočítat chybu měření. Pokud je neznámá

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt Nejistota měření Thomas Hesse HBM Darmstadt Prof. Werner Richter: Výsledek měření bez určení nejistoty měření je nejistý, takový výsledek je lépe ignorovat" V podstatě je výsledek měření aproximací nebo

Více

Geodézie a pozemková evidence

Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.5 Metody výškového měření, měření vzdáleností, měřické přístroje Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Věra Fišerová 26.11.2013 Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Při skenování se používá mnoho pojmů.. Shodnost měření, rozlišení, pravdivost měření, přesnost, opakovatelnost, nejistota měření, chyba

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

První jednotky délky. Délka jedna z prvních jednotek, kterou lidstvo potřebovalo měřit První odvozování bylo z rozměrů lidského těla

První jednotky délky. Délka jedna z prvních jednotek, kterou lidstvo potřebovalo měřit První odvozování bylo z rozměrů lidského těla Měření délky První jednotky délky Délka jedna z prvních jednotek, kterou lidstvo potřebovalo měřit První odvozování bylo z rozměrů lidského těla stopa asi 30 cm palec asi 2,5 cm loket (vídeňský) asi 0,75

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Úvodní list. 45 min, příp. další aktivita (*) mimo běžnou školní výuku

Úvodní list. 45 min, příp. další aktivita (*) mimo běžnou školní výuku Úvodní list Předmět: Fyzika Cílová skupina: 8. nebo 9. ročník ZŠ Délka trvání: 45 min, příp. další aktivita (*) mimo běžnou školní výuku Název hodiny: Měření tlaku vzduchu v terénu Vzdělávací oblast v

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Korekční křivka napěťového transformátoru

Korekční křivka napěťového transformátoru 8 Měření korekční křivky napěťového transformátoru 8.1 Zadání úlohy a) pro primární napětí daná tabulkou změřte sekundární napětí na obou sekundárních vinutích a dopočítejte převody transformátoru pro

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Měření vzdáleností. KGI/KAMET Alžběta Brychtová

Měření vzdáleností. KGI/KAMET Alžběta Brychtová Měření vzdáleností KGI/KAMET Alžběta Brychtová Minule... 5 základních úloh kartometrie měření vzdáleností, ploch, směrů, odečítání souřadnic, interpretace kartografického vyjádřené kvantity a kvality jevů

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více