VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s."

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Fakulta ekonomických studií Denisa Kaderková Matematická optimalizace v podniku potravinářského průmyslu DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 2011

2 VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Katedra podnikové ekonomiky Navazující magisterské studium prezenční Denisa Kaderková Matematická optimalizace v podniku potravinářského průmyslu Optimization modeling in a food company DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 2011 Vedoucí diplomové práce: Ing. Václav Janoušek

3 Poděkování Zde bych ráda poděkovala vedoucímu své diplomové práce Ing. Václavu Janouškovi za jeho přístup, trpělivost, cenné a odborné rady, které velikou měrou přispěly k vytvoření této diplomové práce. Dále bych tu ráda poděkovala panu Doc. Ing. Jaroslavu Švastovi, CSc. za jeho odborné konzultace. Nesmím opomenout poděkovat pracovníkům společnosti United Bakeries a.s. za jejich vstřícnost. A mé poslední poděkování patří Věře Cupalové, Anetě Lazarové a Ing. Lence Lazarové za jejich neustálou motivaci a podporu během celého studia a zejména při vzniku této práce. 2

4 Prohlášení P r o h l a š u j i, ţe jsem tuto závěrečnou práci vypracovala zcela samostatně a veškerou pouţitou literaturu a další podkladové materiály, které jsem pouţila, uvádím v seznamu literatury a ţe svázaná a elektronická podoba práce je shodná Denisa Kaderková 3

5 Abstrakt V diplomové práci se zabývám ekonomicko-matematickými optimalizačními metodami známých jako operační analýza nebo operační výzkum, jejímţ cílem je optimalizace ekonomických procesů. Tyto metody byly vyvíjeny po druhé světové válce jak v západních zemích, tak v zemích tehdejšího Sovětského svazu. Na Vysoké škole finanční a správní o.p.s. se tyto metody doposud neprosadily, proto je moje práce svým způsobem pionýrským projektem. V práci konkrétně zpracovávám řešení jedné z těchto metod okruţní dopravní problém. Abstract This research work deals with the mathematical economics optimization methods known as operational research methods - aimed at optimizing economic processes. These methods were developed after the Second World War in both the Western countries and the former Soviet Union. In the University of Finance and Administration o.p.s. these methods have still not been adopted. That is why this thesis can be considered as an innovative, pioneering project. The practical part of the thesis is specifying the processing solution for one of these methods and applying it to the sightseeing transportation problem. 4

6 Klíčová slova Operační analýza, Maďarská metoda, Okruţní dopravní systém, Simplexová metoda Keywords Operational analysis, hungarien method, orbital transportation sproblem, simplex method 5

7 Obsah Prohlášení... 3 Abstrakt... 4 Klíčová slova... 5 Keywords... 5 Obsah... 6 Úvod Operační analýza Úvod do operační analýzy Podstata operačního výzkumu Vlastnosti operační analýzy Teorie modelování ekonomických systémů Teorie modelování matematického modelu Řešení matematického modelu Klasifikace disciplín operační analýzy Matematické programování Lineární programování Kanonický tvar Standardní tvar Obecná úloha lineárního programovaní - převody Lin-Kerninghan metoda Input output modely Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu Identifikace vazeb bilančního modelu Definice parametrů a proměnných bilančního modelu Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace Model mezivýrobkových vztahů Materiálové vstupy do bilančního modelu Nalezení vlastního řešení bilančního modelu Modely hromadné obsluhy Exponenciální model jednoduché obsluhy Základní charakteristiky exponenciálního sytému 41 8 Počítačové simulace Metodika tvorby počítačových simulačních modelů Řízení zásob Význam zásob Členění zásob Funkce zásob... 46

8 10 Systémy řízení zásob poloţek s náhodnou proměnlivou poptávkou v čase Q Systémy P - systémy Teorie grafů Kostra grafu Formulace obecného dopravního problému VAM metoda Okruţní dopravní systém Obecný návrh postupu řešení Metody řešení okruţní dopravní úlohy Metoda nejbliţšího souseda Hamiltonova kruţnice Heuristické algoritmy Kimova metoda Úloha optimálního trasování Swamm metoda Praktická část Dopravní distribuční problém ve společnosti United bakeries a.s Představení společnosti United bakeries a.s Navrţený matematický algoritmus vztahující se k problematice dopravního okruţního problému Úvod Algoritmus Jednotlivé kroky algoritmu Příklad řešení obecného příkladu Maďarská metoda Zdání distribuční úlohy ve společnosti United Bakeries a.s Sestavení matice vzdáleností Nalezení optimální cesty Dopravní okruţní distribuční problém navrţený panem Doc.Švastou Zadání dopravní úlohy Závěr Seznam pouţité literatury Přílohy

9 Úvod Předloţená diplomová práce se zabývá zajímavým tématem operační analýzy a jejími jednotlivými metodami, kterými se daná problematika řeší. Vědní disciplína operační analýza, jinými slovy operační výzkum, se začala vyvíjet po druhé světové válce ve vojenském odvětví, protoţe bylo nezbytné koordinovat zásobování na jednotlivých válečných frontách. Dalším důleţitým mezníkem byl vývoj výpočetní techniky, Rychlý rozvoj informačních technologií způsobil, ţe se metody operační analýzy staly přístupnější širšímu okruhu uţivatelů. S nadsázkou se můţe říci, ţe vyřešení úlohy operační analýzy se stalo z části technickou záleţitostí (např. naprogramované funkce v tabulátoru Excel). Téma operační analýzy jsem si vybrala vzhledem ke svému bakalářskému vzdělání, které jsem získala na Vysoké škole chemicko-technologické v Praze, kde jsem matematickou optimalizaci a s ní spojenou operační analýzu studovala a řešila po celou dobu svého bakalářského stupně vzdělání. V dnešní době operační analýza není primárně zaměřena na vojenství, ale na koordinaci, transport a alokaci výstupů průmyslové výroby (obzvláště v potravinářském a chemickém průmyslu) či na koordinaci sluţeb. Bez rozpaků je moţné tvrdit, ţe pouţití metod operační analýzy má schopnost sníţit náklady podniku aţ o několik procent. Tuto tezi se budu snaţit dokázat v této diplomové práci. Tématem operační analýzy se zabývají spousty autorů. Ze zahraničních autorů se nesmí opomenout uvést Steven Nahmais. Z českého prostředí se tématikou zabývá pan prof. Stanislav Gros, který o problematice publikoval několik rozsáhlých prací např. Kvantitativní metody v manaţerském rozhodování I, II. Dále se tématem zabývá pan. Doc. Švasta, který publikoval rovněţ nespočet publikací týkajících se 8

10 operační analýzy, ale hlavně se téměř celou svoji akademickou kariéru věnuje dopravnímu okruţnímu problému neboli problému obchodního cestujícího. Problém obchodního cestujícího je taková úloha, kdy existuje n měst, mezi nimi existuje ohodnocené spojení (cesta, silnice s počty kilometrů) a úkolem je nalezení nejkratší cesty, jeţ prochází všemi městy právě jednou a vrátí se zpět do výchozího bodu. Hledá se tedy Hamiltonovská kruţnice. Okruţní dopravní problém je shledáván problematikou pro třetí tisíciletí. A to z toho důvodu, protoţe zatím nebyl publikován obecný algoritmus, jak danou úlohu vyřešit s konečným tzn. nejefektivněji moţným řešením. Aby bylo moţné operační analýzu úspěšně pouţívat, aniţ bychom se omezili na automatické pouţívání přednastavených funkcí v Excelu, je zapotřebí znát matematické operace matic a vektorů z matematiky a zároveň znát principy metody, kterou jsme se rozhodli pouţít. Cílem práce je popsat a vytvořit stručný přehled o uţívaných metodách operační analýzy. Dále v praktické části je tato diplomová práce zaměřena na okruţní dopravní problém. V rámci této diplomové práce se podařila navázat spolupráce s největší pekárenskou firmou v České republice a jednou z největších pekárenských firem ve střední Evropě a to firmou United Bakeries a.s. Díky spolupráci logistického oddělení firmy, konkrétně pana Ing. Hurába, v této práci byly zpracovány a porovnány výsledky teorie s praxí. Hlavním cílem této práce bylo nalezení takové optimální trasy, která bude nejoptimálnější pro daný okruh. Nalezne se tedy Hamiltonovská kruţnice. United Bakeries a.s. kaţdý den uţívá trasu, kterou povaţuje za optimální a tato práce se pokusila nalézt cestu ještě optimálnější. Diplomová práce obsahuje popis algoritmu, který se na řešení problematiky okruţního dopravního problému pouţil. Algoritmus je vlastně modifikovaná Maďarská metoda, která 9

11 je upravena tak, aby byla vhodná na okruţní dopravní problém. 10

12 1 Operační analýza 1.1 Úvod do operační analýzy V moderní společnosti existuje několik důleţitých mezníků, které poloţily základ k formulování vědního oboru - operační analýzy: o Druhá světová válka do období druhé světové války výzkum a věda dostatečně nespolupracovaly s řídícími pracovníky průmyslové praxe a průmyslová praxe neefektivně spolupracovala s vědou a výzkumem, protoţe nedokázala přesně formulovat a definovat své poţadavky. Avšak průběh druhé světové války dal vzniknout potřebě řízení vojenského zásobování a koordinaci vojenských činností. Tím byl poloţen základ nové vědní disciplíny logistiky. Armáda zahájila spolupráci s vědci, kteří dali vzniknout prvním skupinám vojenského operačního výzkumu. [P.Pernica 1998], [Karas, Gros, Sokolová 1992] o 50. Léta bouřlivý ekonomický poválečný rozvoj, praktická potřeba jeho rozvoje. A rozvoj výpočetní techniky Toto vše vedlo k mohutnému znásobování se vazeb v oblasti hmotné výroby a s tím spojené zvyšující se poţadavky na náročnost v řídících a rozhodovacích procesech [Karas, Gros, Sokolová 1992]. Aby řešení ekonomických otázek bylo účelné a efektivní je zapotřebí sesbírat a hlavně vhodně uspořádat informace s řídícím a rozhodovacím procesem spojené. Na základě těchto informací se musí stanovit varianty rozhodnutí a 11

13 správně vyhodnotit a zejména interpretovat jejich důsledky. [Karas, Gros, Sokolová, 1992] Proces rozhodování je řízení zodpovědnosti. Zodpovědnost řídí manaţer, který identifikuje nejdříve problém a poté formuluje cesty, jak postupovat v jeho následném řešení. Jedná se svým způsobem o proces analýzy identifikovaného problému, který má dvě základní formy: kvantitativní a kvalitativní [Římánek, 1979]. Kvalitativní přístup je spojen s úsudkem manaţera či jeho osobní minulou zkušeností. Jedná se o intuitivní rozhodování, které není spojeno s empirickými výpočty. Mnohokrát je kvalitativní přístup postačující. Avšak s rostoucí sloţitostí výroby a produkce je zapotřebí kombinovat kvalitativní přístupy s přístupy kvantitativními. Kvantitativní analýza je zapotřebí, pokud si manaţer nevystačí s intuitivními metodami a vlastní zkušeností. Pokud je problém komplexní a je potřebné uţít důkladnou analýzu zaloţenou na vědeckých základech. Josef Římanek s kolektivem ve své publikaci uvádí: Znalost kvantitativní analýzy problému všeobecné zvyšuje kvalitu řídících schopností manaţerů na všech stupních řízení [J. Římánek, 2002, s. 46]. Výhodou matematického přístupu v oblasti ekonomických jevů je moţnost zpřesnit znalosti o kvantitativních vztazích mezi jednotlivými ekonomickými kategoriemi. (Karas, Gros, Sokolová 1992) 1.2 Podstata operačního výzkumu Jedna z definic operačního výzkumu říká: Operační výzkum představuje způsob týmové spolupráce, při kterém skupina specialistů různého odborného zaměření komplexně řeší 12

14 sloţitý ekonomický, technický, organizační nebo vojenskostrategický problém. [J. Římánek, 2002, s. 46] Základní nástroj operačního výzkumu je matematické modelování [J. Jablonský 2002]. Matematické modelování ekonomických procesů slouţí jako nástroj pro řízení automatizace v řízení, bez které je dnešní fungování ekonomických organismů nepředstavitelné. [Římánek 1994]. Z operačního výzkumu se postupně vydělila operační analýza. [P. Pernica 1998] 1.3 Vlastnosti operační analýzy Čtyři základní vlastnosti operační analýzy dle doc. Grose jsou: a) Vyuţití matematických a statistických metod b) Uţití matematického modelování c) Skupinová spolupráce d) Komplexní (systémový) přístup Ad a.) Za posledních padesát aţ šedesát let se vyvinula řada samostatných disciplín, které se zabývají úkoly efektivnějšího plánování a řízení v podniku. Tyto úkoly se řeší v okolí neustálého pohybu a technického pokroku, coţ vede ke stále sloţitějšímu a důleţitějšímu řešení úkolů. [ J.Walter - J.Lauber, 1975]. Mezi pouţívané metody patří: o Modely hromadné obsluhy [ J.Walter - J.Lauber, 1975] 13

15 o Paralelně řazené kanály [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Sériově řazené kanály [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Modely dopravních proudů [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Zásobovací modely [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Lineární programování [Gros, Karas, Sokolová 1987] o Nelineární programování [Gros, Karas, Sokolová 1987] o Dynamické programování [ Gros, Karas, Sokolová 1987] o Síťová analýza [ J.Walter - J.Lauber, 1975], [Gros, Karas, Sokolová, 1987] Ad c.) K získání poţadovaného a interpretovatelného výstupu z operační analýzy je důleţité pracovat se správnými daty. Sběr dat je spojen s týmovou spoluprací, kdy spolupracuje technologické oddělení a oddělení managementu. Jedním z důleţitých aspektů je přítomnost pracovníků, kteří jsou s objektem zkoumání v denním kontaktu tzn. dělníci, mistři, procesní inţenýři. Dále musí být přítomen odborník, který je znalý v modelování tzn. pracovník, který umí sestavit model a zároveň umí interpretovat výsledky. [Christof Schulte, 1991], [J.Walter - J.Lauber, 1975], [Gros, Karas, Sokolová, 1987] 14

16 2 Teorie modelování ekonomických systémů Modelem se rozumí simplifikované zobrazení reálného systému. Zobrazují se pouze ty vlastnosti, které jsou důleţité při řešení problému. Model předpokládá spousty zjednodušení např. fyzikální modely a jejich zanedbání tření atd. Zobrazení reálného systému modelem můţe být izomorfní či homomorfní. Definice izomorfního modelu zní: Model a systém jsou vzájemně izomorfní, kdyţ jde o přesný obraz, tedy kaţdému prvku a vazbě v systému odpovídá prvek a vazba v modelu [ I.Gros, 2003, s.18]. Homomorfní model je naproti tomu definován: Při homomorfním zobrazení platí tento vztah pouze jednostranně, a to ve směru model-systém, tedy ke kaţdému prvku a vazbě v modelu existuje ekvivalent v systému [ I.Gros, 2003, s.18]. Ekonomické systémy jsou povětšinou zobrazovány homomorfním zobrazením. Ekonomický model tedy zobrazuje zjednodušený reálný model, který obsahuje pouze prvky a vazby, jenţ jsou důleţité pro řešený problém [Josef Jablonský, 2002]. Dle J. Jablonského ekonomický model musí obsahovat: o Cíl analýzy bez určení cíle neexistuje interpretovatelný výsledek. Cíl musí být definován jednoznačně, např. maximalizace zisku, minimální počet kilometrů v distribuční cestě, optimální alokace skladů, nejmenší výrobní dávka atd. o Popis procesů, které v systému probíhají myslí se tím procesy, které v reálném systému probíhají s určitou intenzitou a které mají vliv na 15

17 ekonomický model. Procesy se například myslí výroba určitého výrobku, o Popis činitelů, kteří ovlivňují proces výroby realizace procesů je popsána a limitována mnohými veličinami, které je moţné měřit, např. čas, mnoţství kusů apod. o Popis vzájemného vztahu mezi procesy, veličinami a cílem analýzy Model můţe mít různé znázornění, např. grafické, číselné, verbální. Na ekonomický model bezprostředně navazuje matematický model. 16

18 3 Teorie modelování matematického modelu Na ekonomický model bezprostředně navazuje matematický model. Můţe se říci, ţe matematický model převádí ekonomický model do jazyku matematiky. Historie matematického modelování u nás, v tehdejší Československé socialistické republice, začíná v šedesátých letech 20. století. Rozvoj matematického modelování bezprostředně souvisí s rozvojem výpočetní techniky. Výpočetní technika umoţnila urychlení řešení náročných matematických algoritmů a zároveň eliminovala moţnost chyby způsobené lidským faktorem. Ekonomický model je numerické či slovní vyjádření řešeného problému. Aby bylo moţné problém vyřešit, je zapotřebí zápis ekonomického modelu formalizovat. O Formalizaci se právě stará matematický model. Matematický model se následně řeší stanovenými postupy. Dle Jankulovského matematický model musí obsahovat: o Cíl zpravidla vyjádřen jako lineární či nelineární funkce n proměnných. o V ekonomickém modelu jsou definovány reálné aktivity, které v procesu probíhají s určitou intenzitou. Matematický model těmto aktivitám přiřadí proměnnou a následně hodnotu proměnné. Hodnota proměnné vyjadřuje intenzitu aktivity definovanou v ekonomickém modelu [Jankulovský, 2007]. Při stanovení proměnných je důleţité určit měrnou jednotku, věcný význam a dimenzi [J.Římánek, 1994] 17

19 o Obecně řečeno, proměnné vyjadřují neznámé a hledané úrovně, na nichţ jsou prováděny činnosti (uskutečňovány procesy). [J.Římánek, 1994, s.51] o Činitelé vyjádřené v ekonomickém modelu matematický model vyjádří jako soustavu lineárních rovnic, nelineárních rovnic, lineárních nerovnic anebo nelineárních nerovnic. o Lineární rovnice či nerovnice vyjadřují omezení úlohy. Na pravé straně rovnice či nerovnice stojí poţadované mnoţství vstupu či výstupu. Na levé straně je potřebné mnoţství vstupu či výstupu. o Vazby mezi procesy definované v ekonomickém modelu se matematickém modelu vyjádří neměnnými parametry. 18

20 4 Řešení matematického modelu Řešení matematického modelu je díky novodobé počítačové technice spíše jen technickou záleţitostí. Lze pro něj pouţít celou řadů definovaných postupů a metod. 4.1 Klasifikace disciplín operační analýzy Modely operační analýzy se zabývají rozdílnými oblastmi ekonomického ţivota. Z tohoto důvodu existuje několik různých modelů operační analýzy a postupem času se z nich staly jednotlivé samostatné vědní disciplíny operační analýzy. [Broţová, Houška, 2003], [Jablonský 2007] Jablonský disciplíny operační analýzy člení následovně: a. Matematické programování úlohy, které řeší optimalizační úlohy. Patří sem lineární, nelineární či dynamické programování, stochastické programování, [Broţová, Houška, 2003] b. Teorie grafů jedná se o modely, které jsou v praxi často uţívané. Často se tímto modelem řeší nalezení nejkratší distribuční cesty c. Teorie zásob model, který se zabývá řízením zásobovacího procesu a optimalizací skladových zásob. d. Teorie her model, který se zabývá rozhodováním. Model se snaţí pro určité rozhodovací typy situací definovat pouţitelnou definici optimálního 19

21 rozhodnutí viz. vězňovo dilema z makroekonomie. [Maňas, 1983] e. Teorie hromadné obsluhy = teorie front zabývá se systémy, které osahují požadavky a obslužné linky. Poţadavky poţadují obsluhu a obsluţné linky ji realizují. Alternativou názvu modelu je Teorie front, který se odvodil od skutečnosti, ţe obsluţné linky vytvářejí fronty. [Jablonský, 2007] f. Vícekriteriální rozhodování disciplína, která se zabývá řešením rozhodovacích úloh. Rozhoduje se mezi variantami, které jsou jiţ k dispozici a které se hodnotí dle několika kritérií. Podstatou je v\řešení konfliktu mezi jednotlivými protikladnými kritérii. [Jablonský 2007] g. Modely obnovy řeší a předpovídají počty jednotek, které v systému selţou a budou muset být v procesu nahrazeny. h. Markovské rozhodovací procesy popisují dynamické systémy i. Simulace nástroj pro analýzu sloţitých systémů. Na počítači se simulují ekonomické procesy a porovnávají se s reálnými systémy. Při simulaci se mění jednotlivé parametry a následně se sledují změny systému, za účelem optimalizace takového procesu. Je zapotřebí výkonných počítačů a příslušného softwaru. Příslušný software je poměrně drahý [ Jablonský, 2007]. 20

22 5 Matematické programování Úlohy matematické optimalizace dvojice autorů Walter-Lauber charakterizuje následujícími slovy: Pro řešení některých problémů matematické programování, které lze stručně charakterizovat jako úlohy hledání takového řešení prostoru přípustných řešení, které extremalizuje účelovou funkci, byla vtvořena řada speciálních algoritmů. [Walter-Lauber, 1975, s.71 ] Mezi speciální algoritmy patří: a. Metody lineárního programování b. Metody nelineárního programování c. Metody dynamického programování 5.1 Lineární programování Název lineárního programování nemá nic společného s programováním počítačů, jak je dnes všeobecně vnímáno [Turzík, 2006]. Pojem programování znamená v této souvislosti plánování či rozhodování. Pojem lineární znamená, ţe všechny pouţité matematické funkce jsou lineární. Je zapotřebí definovat účelovou (kriteriální) funkci. Jablonský v publikaci Operační výzkum účelovou funkci definuje takto: Cíl analýzy je v matematickém modelu vyjádřen jako lineární funkce z=f(x), jejíţ extrém (maximum či minimum) je třeba nalézt. Tato funkce se označuje jako účelová nebo kriteriální funkce. [Jablonsky, 2007, s. 44] 21

23 V úlohách lineárního programování existují 2 typy základních úloh: [ Turzík, 2006] o V kanonickém tvaru o Ve standardním tvaru Kanonický tvar V úloze se poţaduje určit: max(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) nebo min(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) (1) pro x 1,..,x n splňující podmínky: a 11 x 1 +a a!n x n b 1 a 21 x 1 +a a 2n x n b 2 a 31 x 1 +a a 3n x n b 3 a m1 x 1 +a m2 +..+a mn x n b m x 1, x 2,,x n 0, kde c j,b i, a ij,..jsou reálná čísla (2) Úlohu lze stručně zapsat ve tvaru: max Σ c j x j Σ a ij x j b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. (3) 22

24 Standardní tvar V úloze se poţaduje určit: max(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) nebo min(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) (4) pro x 1,..,x n splňující podmínky: a 11 x 1 +a a!n x n = b 1 a 21 x 1 +a a 2n x n =b 2 a 31 x 1 +a a 3n x n = b 3 a m1 x 1 +a m2 +..+a mn x n = b m x 1, x 2,,x n 0, (5) max Σ c j x j Σ a ij x j = b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. (6) Obecná úloha lineárního programovaní - převody Obecná úloha lineárního programování můţe být zadána v kanonickém či standardním tvaru. Kaţdou úlohu lineárního programování lze převést z kanonického tvaru na tvar standardní a ze standardního tvaru na kanonický tvar. Při převodu z kanonického tvaru na standardní tvar se pouţívá doplňkové proměnné x n+1, pro kterou platí: x n+1 0 [Turzík, 2006]. 23

25 Např: a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3.. +a n x n b (7) a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3.. +a n x n +a n x n +1 =b (8) Věta 1.1 [Turzík, 2006] Nechť je dána úloha v kanonickém tvaru max Σ c j x j Σ a ij x j b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n s proměnnými x 1,,x n. Zavede se m doplňkových proměnných a uvaţuje se úloha ve standardním tvaru max Σ c j x j Σ a ij x j = b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. s proměnnými x 1,,x n+m. Potom platí: Je-li x 1,,x n optimální řešení úlohy v kanonickém tvaru je x 1,,x n+m, kde X n+i = b i Σa ij x j, i = 1,,m, optimální řešení úlohy ve standardním tvaru. V zadání úlohy se můţe hledat minimum nebo maximum. Úlohy je moţné mezi sebou převádět. Základem pro převod je Věta 1.2 [Turzík, 2006] Věta 1.2 Nechť funkce f definovaná na mnoţině M R n má v bodě x M lokální maximum, resp. minimum. Pak funkce g definovaná na M předpisem: g(y)= -f(y) má v bodě x lokální minimum, resp. lokální maximum. 24

26 Dle této věty platí: Min {c T x: Ax b, x 0} = - max { - c T : Ax b, x 0} Proměnné v úloze lineárního programování mohou být omezené či neomezené. Kaţdá neomezená proměnná se nahradí 2 novými proměnnými. Převod je zaloţen na skutečnosti, ţe kaţdé reálné číslo x lze zapsat jako rozdíl dvou čísel, která jsou nezáporná, tj. x = x + - x -, x + 0, x - 0 V kaţdé úloze lineárního programování neomezená proměnná bude nahrazena dvojicí nezáporných čísel dle uvedeného vztahu Lin-Kerninghan metoda Metoda větví a mezí je obecný algoritmus v problematice lineárního programování při hledání optimálních řešení různých optimalizačních úkolů, zejména v diskrétní optimalizaci a kombinatorické optimalizaci. Princip metody spočívá v systematickém procházení potencionálních řešení. Uţívají se horní a dolní hodnoty, které jsou optimalizovány [Ing. L. Rychetík,, CSc., 1968]. 25

27 6 Input output modely Základní principy Input-output modelů byly definovány jiţ v roce 1758 ekonomem francouzského původu, Francoisa Quesnay, který ve své Ekonomické tabulce znázornil tok peněţních důchodů mezi jednotlivými třídami (mezi vlastníkem půdy podnikateli zaměstnanci v národním hospodářství). Modifikovaný model ekonomické tabulky pouţil I Karol Marx ve své publikaci Kapitál (Marián Goga, Input-output analýza). Input-output modely neboli bilanční modely jsou však nejvíce spjaty se jménem W. Leontiefa a jeho publikace The Structure of American Economy V knize byly popsány vztahy v reprodukčním procesu na národohospodářské úrovni. Pouţité matematické balance poté byly pouţity na vnitropodnikové úrovni [Ivan Gros, 2003]. Ivan Gros v publikaci Kvantitativní metody v manaţerském rozhodování podnikové bilanční modely definuje: Bilanční modely formalizujeme na podnikové i vnitropodnikové úrovni varianty základních materiálových, energetických nebo hodnotových vazeb mezi prvky modelovaného systému, jejichţ realizace je podmínkou pro transformaci jeho vstupů na poţadované výstupy [I.Gros, 2003, s.31]. Bilanční modely jsou pouţity na úrovni plánování procesu, kde je díky input-output modelům zajištěna algoritmizace bilančních propočtů důleţitých k vytvoření plánu zásobování, distribuce, operativních výrobních úkolů, změn ve výrobě či pouţitých surovin. [I.Gros, 2003]. Bilanční modely jsou rovněţ důleţité k posouzení vlivu změn v materiálových tocích. Formalizovaný bilanční model je tedy matematický model tvořený soustavou rovnic (zpravidla lineárních rovnic). 26

28 Cílem zadaného matematického modelu je nalezení hodnot definovaných veličin ze zadaných parametrů. Základním nástrojem pro input-output modely neboli pro strukturní analýzu jsou symetrické input-output tabulky. Tabulky jsou pouţity hlavně k popisu technologickoekonomických vazeb. V symetrické input-output tabulce jsou zobrazeny číselné vztahy mezi vstupy (náklady) jednotlivých odvětví a jejich výstupy (produkcí). Jednotlivé kroky bilančního modelu: o Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu o Identifikace vazeb bilančního modelu o Definice parametrů a proměnných bilančního modelu o Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace o Nalezení řešení bilančního modelu 6.1 Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu V bilančním modelu výrobního podniku jsou jako prvky shledány suroviny vstupující do výroby, polotovary, obaly, energie, palivo, výrobky vstupující do výroby či výrobky vznikající jako meziprodukt, který můţe být pokračující surovinou ve výrobním procesu anebo nemusí, katalyzátory atd. Je důleţité uvést jednotky jednotlivých surovin, aby získané výsledky měly vypovídací hodnotu. V rozsáhlých výrobách např. v chemických výrobách výroba pneumatik je pouţito procesu agregace jednotlivých prvků, protoţe můţe být identifikováno aţ několik tisíc prvků. Agreguje se na základě společných identifikovaných rysů či vlastností, které pro účely bilančního modelu 27

29 nejsou směrodatné např. prvky, ze kterých vznikají různé směsi. 6.2 Identifikace vazeb bilančního modelu Vazby ve výrobním procesu pro účely bilančního modelu mohou být identifikovány z jednotlivých předpisů, receptur, postupů výroby. Je vhodné tento krok znázornit graficky se všemi tokovými veličinami a zároveň uvést směr toku. 6.3 Definice parametrů a proměnných bilančního modelu Dle prof. Grose je ustálena praxe pouţívat pro vypočítávané mnoţství výrobků a polotovarů tři veličiny zabývající se produkcí a spotřebou výrobků či polotovarů. Dále je definovaná další veličina zabývající se mnoţstvím materiálových vstupů: a. y j - produkce j-tého výrobku, polotovaru určeného ke spotřebě mimo bilancovaný systém, u podnikových procesů jde o poţadavky zákazníků b. x j celková produkce j-tého výrobku nebo polotovaru bez ohledu na další určení c. x ij spotřeba i-tého výrobku, polotovaru na výrobu x j jednotek j-tého výrobku d. s i mnoţství suroviny potřebné pro splnění poţadavků zákazníků e. Pro výpočet x ij a s ij jsou pouţity následující vztahy: 28

30 x ij = a ij. x j (9) s i = s ij. x j (10) kde a ij specifické spotřeby i-tého polotovaru s ij specifické spotřeby materiálových vstupů na jednotkové mnoţství j-tého výrobku, polotovaru. Jejich hodnoty jsou často normovány pro definovaná období. Přesnost modelu je závislá na hodnotě s ij. 6.4 Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace Nejtěţší částí strukturní analýzy jsou předešlé kroky tj. správně definovat prvky a vazby v bilančním modelu. Pokud se postupovala zodpovědně a pečlivě vlastní formulace bilančního modelu není obtíţná. Postupuje se ve 2 na sebe navazujících etapách: model mezivýrobkových vztahů a sestavení materiálových vstupů bilančního modelu Model mezivýrobkových vztahů Model mezivýrobkových vztahů je zaloţen na splnění kritéria, aby mnoţství vyrobených výrobků odpovídalo mnoţství výrobků, které je poţadováno zákazníky [I. Gros, 2003]. Tedy aby nebyla nadvýroba, protoţe by podnik vytvářel zásoby, které jsou spojeny s náklady navíc. Zmíněné kritérium lze vyjádřit matematickým zápisem: xk = xk1 + xk2 + xk3...+ xkn (11) 29

31 Pokud do předchozího vztahu 11se dosadí vztah č. 9 z kapitoly 6.3 vznikne: xk = ak1x1 + ak2x2 + ak3x3...+ aknxn (12) Celková balance mezivýrobkových vztahů má následující maticový zápis [Gros, 2003]: X1 = a11x1 + a12x2 + a13x3...+ a1nxn X2 = a21x1 + a22x2 + a23x3...+ a2nxn X3 = a31x1 + a32x2 + a33x3...+ a3nxn Xn = an1x1 + an2x2 + an3x3...+ annxn, kde n je počet výrobků a polotovarů (13) Materiálové vstupy do bilančního modelu Výrobní proces je limitován materiálovými vstupy, proto je důleţité sestavit matici pro materiálové vstupy. Postupuje se analogicky s modelem mezivýrobkových vztahů. Uvaţuje se d-tá surovina. S d = s d1 x 1 + s d2 x 2 + s d3 x s dn x n, kde n je počet vstupujících surovin (14) Soustava rovnic vyjadřující bilancí všech materiálových vstupů je formulována: [I. Gros, 2003] S 1 = s 11 x 1 + s 12 x 2 + s 13 x s 1n x n S 2 = s 21 x 1 + s 22 x 2 + s 23 x s 2n x n S 3 = s 31 x 1 + s 32 x 2 + s 33 x s 3n x n. S n = s n1 x 1 + s n2 x 2 + s n3 x s nn x n (15) 30

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2

EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2 MATERIÁL 5.1. CHARAKTERISTIKA EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2 Ing. Jan TICHÝ, Ph.D. jan.tich@seznam.cz Materiál: a) základní materiál b) pomocný materiál c) provozní hmoty d) obaly ad a) zpracovává se

Více

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice OPERAČNÍ VÝZKUM 11. TEORIE ZÁSOB Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Systémy plánování a řízení výroby AROP III

Systémy plánování a řízení výroby AROP III Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Systémy plánování a řízení výroby AROP III Technická univerzita v Liberci Výrobní

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

1. Stavební management

1. Stavební management 1. Stavební management Klíčová slova: Management, podstata managementu, organizační uspořádání podniku, organizační struktura, rozhodování, osobnost manažera, projektové a procesní řízení. Anotace textu:

Více

Management. Rozhodování. Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky

Management. Rozhodování. Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky Management Rozhodování Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Hlavním důvodem vytváření zásob je rozpojování materiálového toku mezi jednotlivými články logistického řetězce.

Hlavním důvodem vytváření zásob je rozpojování materiálového toku mezi jednotlivými články logistického řetězce. H) ŘÍZENÍ ZÁSOB Hlavním důvodem vytváření zásob je rozpojování materiálového toku mezi jednotlivými články logistického řetězce. Zásoby představují velkou a nákladnou investici. Jejich kvalitním řízením

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Management projektů. Programová podpora auditu sytému managementu kvality HOT 4IT. Plán projektu

Management projektů. Programová podpora auditu sytému managementu kvality HOT 4IT. Plán projektu Management projektů Programová podpora auditu sytému managementu kvality HOT 4IT Plán projektu Historie Verze Datum Status Kdo Poznámka 0.1 8. 4. 2010 Špaček Petr Vytvoření 0.2 11. 4. 2010 Špaček Petr

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

DOKTORSKÉ STUDIUM LOGISTIKY

DOKTORSKÉ STUDIUM LOGISTIKY Prof. Ing. Dr. Otto Pastor, CSc. Prof. Ing. Vladimír Strakoš, DrSc. Dopravní fakulta ČVUT v Praze pastor@df.cvut.cz Vysoká škola logistiky Přerov Vladimir.strakos@vslg.cz Internet of services Internet

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Manažerská ekonomika přednáška OPTIMALIZACE ZÁSOB, MODERNÍ PŘÍSTUPY K ŘÍZENÍ ZÁSOB, STRATEGIE NÁKUPU 1. OPTIMALIZACE ZÁSOB

Manažerská ekonomika přednáška OPTIMALIZACE ZÁSOB, MODERNÍ PŘÍSTUPY K ŘÍZENÍ ZÁSOB, STRATEGIE NÁKUPU 1. OPTIMALIZACE ZÁSOB Manažerská ekonomika přednáška OPTIMALIZACE ZÁSOB, MODERNÍ PŘÍSTUPY K ŘÍZENÍ ZÁSOB, STRATEGIE NÁKUPU 1. OPTIMALIZACE ZÁSOB Jaký je základní přístup k řízení zásob? Je to tzv. optimalizační přístup, který

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Teorie síťových modelů a síťové plánování

Teorie síťových modelů a síťové plánování KSI PEF ČZU Teorie síťových modelů a síťové plánování Část přednášky doc. Jaroslava Švasty z předmětu systémové analýzy a modelování. Zápis obsahuje základní vymezení projektu, časového plánování a popis

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

ERP systémy ve výrobních podnicích

ERP systémy ve výrobních podnicích ERP systémy ve výrobních podnicích David Čech, konzultant Klasifikace ERP systémů Klasifikace ERP systémů Best of Breed oborová řešení Připraveno výrobcem a jeho vývojovými partnery podle požadavků daného

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

APLIKACE ÚHOLY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO PRO VÝBĚR OPTIMÁLNÍHO POŘADÍ FÁZÍ SVĚTELNĚ ŘÍZENÝCH KŘIŽOVATEK

APLIKACE ÚHOLY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO PRO VÝBĚR OPTIMÁLNÍHO POŘADÍ FÁZÍ SVĚTELNĚ ŘÍZENÝCH KŘIŽOVATEK APLIKACE ÚHOLY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO PRO VÝBĚR OPTIMÁLNÍHO POŘADÍ FÁZÍ SVĚTELNĚ ŘÍZENÝCH KŘIŽOVATEK APPLICATION OF TRAVEL SALESMAN PROBLEM FOR OPTIMAL ORDER OF PHASES OF LIGHT CONTROLLED INTERSECTIONS

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Funkce a úkoly útvaru nákupu

Funkce a úkoly útvaru nákupu NÁKUP Funkce a úkoly útvaru nákupu Nákupní marketingový mix Aktivity marketingového nákupního procesu Řízení zásob Nákupní logistika Strategické řízení nákupu Funkce a úkoly útvaru nákupu Základní funkcí

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Příloha č. 10 Obecná pravidla (rámcová metodika) pro vykazování skutečných nepřímých nákladů v projektech OP VaVpI

Příloha č. 10 Obecná pravidla (rámcová metodika) pro vykazování skutečných nepřímých nákladů v projektech OP VaVpI Příloha č. 10 Obecná pravidla (rámcová metodika) pro vykazování skutečných nepřímých nákladů v projektech OP VaVpI 1 Úvod Tato metodika se zabývá dílčí problematikou vykazování skutečných způsobilých nákladů

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Simulace příletů cestujících na schengenský terminál letiště Praha - Ruzyně a jejich přestupů na navazující lety SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Vybrané statistické

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Projekt: Koordinační centrum pro zavádění e-gov v územní veřejné správě. Koncepční dokument pro oblast řízení. Procesní model

Projekt: Koordinační centrum pro zavádění e-gov v územní veřejné správě. Koncepční dokument pro oblast řízení. Procesní model Koncepční dokument pro oblast řízení a koordinaci e-gov: Procesní model 18. 09. 2013 OBSAH Obsah... 2 Seznam zkratek... 3 Použité pojmy... 4 1 Úvodní informace... 6 2 Procesní model: životní cyklus e-gov...

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

19.11.2013. Projektový management. Projektový management. Další charakteristiky projektu. Projekt

19.11.2013. Projektový management. Projektový management. Další charakteristiky projektu. Projekt Projektový management Lekce: 8 Projektový management Doc. Ing. Alois Kutscherauer, CSc. Projektový management je typ managementu uplatňovaného k zabezpečení realizace jedinečných, neopakovatelných, časově

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MODELOVÁNÍ POTRUBNÍCH SÍTÍ. Vladimír Hanta. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí techniky

MODELOVÁNÍ POTRUBNÍCH SÍTÍ. Vladimír Hanta. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí techniky MODELOVÁNÍ POTRUBNÍCH SÍTÍ Vladimír Hanta Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí techniky Klíčová slova: distribuční logistika, potrubní sítě, optimální potrubní cesta,

Více

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ. Zpracoval Ing. Jan Weiser

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ. Zpracoval Ing. Jan Weiser MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Zpracoval Ing. Jan Weiser Obsah výkladu Rozhodovací procesy a problémy Dvě stránky rozhodování Klasifikace rozhodovacích procesů Modely rozhodování Nástroje pro podporu rozhodování

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

Konference WITNESS 2005 Kroměříž, 26.-27. 5. 2005

Konference WITNESS 2005 Kroměříž, 26.-27. 5. 2005 PROPOJENÍ OPTIMALIZAČNÍHO A SIMULAČNÍHO MODELU PRO PLÁNOVÁNÍ A ŘÍZENÍ 1. Úvod FARMACEUTICKÉ VÝROBY Ing Petra Vegnerová Prof. Ing. Ivan Gros, CSc. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Fakulta chemicko-inženýrská,

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Informační systémy a plánování výroby

Informační systémy a plánování výroby Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Informační systémy a plánování výroby Technická univerzita v Liberci INVESTICE DO

Více

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 Maturitní zkouška se skládá ze společné části a profilové části. 1. Společná část maturitní zkoušky Dvě povinné zkoušky a) český jazyk a literatura b) cizí jazyk

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Přehled základních právních forem podnikání podává tato grafika: Právní formy podnikání. k.s. s.r.o. a.s.

Přehled základních právních forem podnikání podává tato grafika: Právní formy podnikání. k.s. s.r.o. a.s. PRÁVNÍ FORMY PODNIKÁNÍ Právní formy podnikání - přehled Podrobné cíle učení: Umět vysvětlit, proč existují různé právní formy podnikání. Podnikání se vţdy uskutečňuje v určité právní formě. Chce-li někdo

Více

ALTERNATIVNÍ ZDROJE FINANCOVÁNÍ VEŘEJNÉHO SEKTORU (PPP PROJEKTY A JEJICH ANALÝZA)

ALTERNATIVNÍ ZDROJE FINANCOVÁNÍ VEŘEJNÉHO SEKTORU (PPP PROJEKTY A JEJICH ANALÝZA) 1. medzinárodná internetová konferencia MLADÁ VEDA VŠEMVS 2012 Vysoká škola ekonómie a manaţmentu verejnej správy v Bratislave ALTERNATIVNÍ ZDROJE FINANCOVÁNÍ VEŘEJNÉHO SEKTORU (PPP PROJEKTY A JEJICH ANALÝZA)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Forecasting, demand planning a řízení zásob: Skrytý potenciál. Tomáš Hladík Logio

Forecasting, demand planning a řízení zásob: Skrytý potenciál. Tomáš Hladík Logio Forecasting, demand planning a řízení zásob: Skrytý potenciál Tomáš Hladík Logio 14.3.2012 Obsah Cíl správného řízení zásob Proč segmentovat portfolio? Dobrý forecasting je základ Jak na pomaluobrátkové

Více

Podniková logistika 2

Podniková logistika 2 Podniková logistika 2 Podniková strategie a logistika DNES -Kupující jsou ochotni platit stále více za individuální výrobky a služby, za vysokou kvalitu a pohotovost nabídky Nízké ceny mohou být pro někoho

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Přehled technických norem z oblasti spolehlivosti

Přehled technických norem z oblasti spolehlivosti Příloha č. 1: Přehled technických norem z oblasti spolehlivosti NÁZVOSLOVNÉ NORMY SPOLEHLIVOSTI IDENTIFIKACE NÁZEV Stručná charakteristika ČSN IEC 50(191): 1993 ČSN IEC 60050-191/ Změna A1:2003 ČSN IEC

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

ROZVAHA A ZMĚNY ROZVAHOVÝCH POLOŽEK. ROZVAHOVÉ A VÝSLEDKOVÉ ÚČTY. PODVOJNÝ ÚČETNÍ ZÁPIS. SYNTETICKÉ A ANALYTICKÉ ÚČTY.

ROZVAHA A ZMĚNY ROZVAHOVÝCH POLOŽEK. ROZVAHOVÉ A VÝSLEDKOVÉ ÚČTY. PODVOJNÝ ÚČETNÍ ZÁPIS. SYNTETICKÉ A ANALYTICKÉ ÚČTY. Rozvaha ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ 5 5 ZÁKLADY ÚČETNICTVÍ ROZVAHA A ZMĚNY ROZVAHOVÝCH POLOŽEK. ROZVAHOVÉ A VÝSLEDKOVÉ ÚČTY. PODVOJNÝ ÚČETNÍ ZÁPIS. SYNTETICKÉ A ANALYTICKÉ ÚČTY. 5.1 Rozvaha 5.1.1 Aktiva a pasiva

Více

Zboží - výrobky, které účetní jednotka nakupuje za účelem prodeje a prodává je. (Patří k nim i vlastní výrobky, předané do vlastních prodejen.

Zboží - výrobky, které účetní jednotka nakupuje za účelem prodeje a prodává je. (Patří k nim i vlastní výrobky, předané do vlastních prodejen. 1 Základy účetnictví 6. přednáška Zásoby - mají za úkol zajistit plynulost výroby, - snaha o snižování (optimalizaci) zásob (JIT) Člení se a/ nakupované materiálové zásoby a zboží, b/ vytvořené vlastní

Více

7. Slovní úlohy na lineární rovnice

7. Slovní úlohy na lineární rovnice @070 7. Slovní úlohy na lineární rovnice Slovní úlohy jsou často postrachem studentů. Jenţe Všechno to, co se učí mimo slovní úlohy, jsou postupy, jak se dopracovat k řešení nějaké sestavené (ne)rovnice.

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

3. Účtová tř. 1 Zásoby a 2 Finanční účty

3. Účtová tř. 1 Zásoby a 2 Finanční účty 3. Účtová tř. 1 Zásoby a 2 Finanční účty Oběžný majetek - nemusí ho být v podniku mnoho - je v podniku v různých formách (ve věcné podobě jako suroviny, materiál apod., v peněžní podobě jako peníze, pohledávky,

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu

Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326 PROJEKT

Více

ANALÝZA A OPTIMALIZACE VÝROBNÍCH PROCESŮ MALOSÉRIOVÉ SLOŽITÉ VÝROBY V NOVÝCH VÝROBNÍCH PROSTORECH NA ZÁKLADĚ DISKRÉTNÍ SIMULACE

ANALÝZA A OPTIMALIZACE VÝROBNÍCH PROCESŮ MALOSÉRIOVÉ SLOŽITÉ VÝROBY V NOVÝCH VÝROBNÍCH PROSTORECH NA ZÁKLADĚ DISKRÉTNÍ SIMULACE ANALÝZA A OPTIMALIZACE VÝROBNÍCH PROCESŮ MALOSÉRIOVÉ SLOŽITÉ VÝROBY V NOVÝCH VÝROBNÍCH PROSTORECH NA ZÁKLADĚ DISKRÉTNÍ SIMULACE Doc. Václav Votava, CSc. (a), Ing. Zdeněk Ulrych, Ph.D. (b), Ing. Milan Edl,

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Standardní dokumenty

Standardní dokumenty Standardní dokumenty Zadávací dokumentace pro projekty EPC Principy European Energy Service Initiative EESI IEE/08/581/SI2.528408 Duben 2011 Výhradní odpovědnost za obsah tohoto materiálu nesou autoři.

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Majetek. MAJETEK členění v rozvaze. Dlouhodobý majetek

Majetek. MAJETEK členění v rozvaze. Dlouhodobý majetek Majetek Podnikání se bez majetku neobejde, různé druhy podnikání ovlivňují i skladbu a velikost majetku. Základem majetku jsou peníze, za které se nakupují potřebné majetkové části. Rozvaha (bilance) písemný

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více