VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s."

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Fakulta ekonomických studií Denisa Kaderková Matematická optimalizace v podniku potravinářského průmyslu DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 2011

2 VYSOKÁ ŠKOLA FINANČNÍ A SPRÁVNÍ, o.p.s. Katedra podnikové ekonomiky Navazující magisterské studium prezenční Denisa Kaderková Matematická optimalizace v podniku potravinářského průmyslu Optimization modeling in a food company DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 2011 Vedoucí diplomové práce: Ing. Václav Janoušek

3 Poděkování Zde bych ráda poděkovala vedoucímu své diplomové práce Ing. Václavu Janouškovi za jeho přístup, trpělivost, cenné a odborné rady, které velikou měrou přispěly k vytvoření této diplomové práce. Dále bych tu ráda poděkovala panu Doc. Ing. Jaroslavu Švastovi, CSc. za jeho odborné konzultace. Nesmím opomenout poděkovat pracovníkům společnosti United Bakeries a.s. za jejich vstřícnost. A mé poslední poděkování patří Věře Cupalové, Anetě Lazarové a Ing. Lence Lazarové za jejich neustálou motivaci a podporu během celého studia a zejména při vzniku této práce. 2

4 Prohlášení P r o h l a š u j i, ţe jsem tuto závěrečnou práci vypracovala zcela samostatně a veškerou pouţitou literaturu a další podkladové materiály, které jsem pouţila, uvádím v seznamu literatury a ţe svázaná a elektronická podoba práce je shodná Denisa Kaderková 3

5 Abstrakt V diplomové práci se zabývám ekonomicko-matematickými optimalizačními metodami známých jako operační analýza nebo operační výzkum, jejímţ cílem je optimalizace ekonomických procesů. Tyto metody byly vyvíjeny po druhé světové válce jak v západních zemích, tak v zemích tehdejšího Sovětského svazu. Na Vysoké škole finanční a správní o.p.s. se tyto metody doposud neprosadily, proto je moje práce svým způsobem pionýrským projektem. V práci konkrétně zpracovávám řešení jedné z těchto metod okruţní dopravní problém. Abstract This research work deals with the mathematical economics optimization methods known as operational research methods - aimed at optimizing economic processes. These methods were developed after the Second World War in both the Western countries and the former Soviet Union. In the University of Finance and Administration o.p.s. these methods have still not been adopted. That is why this thesis can be considered as an innovative, pioneering project. The practical part of the thesis is specifying the processing solution for one of these methods and applying it to the sightseeing transportation problem. 4

6 Klíčová slova Operační analýza, Maďarská metoda, Okruţní dopravní systém, Simplexová metoda Keywords Operational analysis, hungarien method, orbital transportation sproblem, simplex method 5

7 Obsah Prohlášení... 3 Abstrakt... 4 Klíčová slova... 5 Keywords... 5 Obsah... 6 Úvod Operační analýza Úvod do operační analýzy Podstata operačního výzkumu Vlastnosti operační analýzy Teorie modelování ekonomických systémů Teorie modelování matematického modelu Řešení matematického modelu Klasifikace disciplín operační analýzy Matematické programování Lineární programování Kanonický tvar Standardní tvar Obecná úloha lineárního programovaní - převody Lin-Kerninghan metoda Input output modely Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu Identifikace vazeb bilančního modelu Definice parametrů a proměnných bilančního modelu Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace Model mezivýrobkových vztahů Materiálové vstupy do bilančního modelu Nalezení vlastního řešení bilančního modelu Modely hromadné obsluhy Exponenciální model jednoduché obsluhy Základní charakteristiky exponenciálního sytému 41 8 Počítačové simulace Metodika tvorby počítačových simulačních modelů Řízení zásob Význam zásob Členění zásob Funkce zásob... 46

8 10 Systémy řízení zásob poloţek s náhodnou proměnlivou poptávkou v čase Q Systémy P - systémy Teorie grafů Kostra grafu Formulace obecného dopravního problému VAM metoda Okruţní dopravní systém Obecný návrh postupu řešení Metody řešení okruţní dopravní úlohy Metoda nejbliţšího souseda Hamiltonova kruţnice Heuristické algoritmy Kimova metoda Úloha optimálního trasování Swamm metoda Praktická část Dopravní distribuční problém ve společnosti United bakeries a.s Představení společnosti United bakeries a.s Navrţený matematický algoritmus vztahující se k problematice dopravního okruţního problému Úvod Algoritmus Jednotlivé kroky algoritmu Příklad řešení obecného příkladu Maďarská metoda Zdání distribuční úlohy ve společnosti United Bakeries a.s Sestavení matice vzdáleností Nalezení optimální cesty Dopravní okruţní distribuční problém navrţený panem Doc.Švastou Zadání dopravní úlohy Závěr Seznam pouţité literatury Přílohy

9 Úvod Předloţená diplomová práce se zabývá zajímavým tématem operační analýzy a jejími jednotlivými metodami, kterými se daná problematika řeší. Vědní disciplína operační analýza, jinými slovy operační výzkum, se začala vyvíjet po druhé světové válce ve vojenském odvětví, protoţe bylo nezbytné koordinovat zásobování na jednotlivých válečných frontách. Dalším důleţitým mezníkem byl vývoj výpočetní techniky, Rychlý rozvoj informačních technologií způsobil, ţe se metody operační analýzy staly přístupnější širšímu okruhu uţivatelů. S nadsázkou se můţe říci, ţe vyřešení úlohy operační analýzy se stalo z části technickou záleţitostí (např. naprogramované funkce v tabulátoru Excel). Téma operační analýzy jsem si vybrala vzhledem ke svému bakalářskému vzdělání, které jsem získala na Vysoké škole chemicko-technologické v Praze, kde jsem matematickou optimalizaci a s ní spojenou operační analýzu studovala a řešila po celou dobu svého bakalářského stupně vzdělání. V dnešní době operační analýza není primárně zaměřena na vojenství, ale na koordinaci, transport a alokaci výstupů průmyslové výroby (obzvláště v potravinářském a chemickém průmyslu) či na koordinaci sluţeb. Bez rozpaků je moţné tvrdit, ţe pouţití metod operační analýzy má schopnost sníţit náklady podniku aţ o několik procent. Tuto tezi se budu snaţit dokázat v této diplomové práci. Tématem operační analýzy se zabývají spousty autorů. Ze zahraničních autorů se nesmí opomenout uvést Steven Nahmais. Z českého prostředí se tématikou zabývá pan prof. Stanislav Gros, který o problematice publikoval několik rozsáhlých prací např. Kvantitativní metody v manaţerském rozhodování I, II. Dále se tématem zabývá pan. Doc. Švasta, který publikoval rovněţ nespočet publikací týkajících se 8

10 operační analýzy, ale hlavně se téměř celou svoji akademickou kariéru věnuje dopravnímu okruţnímu problému neboli problému obchodního cestujícího. Problém obchodního cestujícího je taková úloha, kdy existuje n měst, mezi nimi existuje ohodnocené spojení (cesta, silnice s počty kilometrů) a úkolem je nalezení nejkratší cesty, jeţ prochází všemi městy právě jednou a vrátí se zpět do výchozího bodu. Hledá se tedy Hamiltonovská kruţnice. Okruţní dopravní problém je shledáván problematikou pro třetí tisíciletí. A to z toho důvodu, protoţe zatím nebyl publikován obecný algoritmus, jak danou úlohu vyřešit s konečným tzn. nejefektivněji moţným řešením. Aby bylo moţné operační analýzu úspěšně pouţívat, aniţ bychom se omezili na automatické pouţívání přednastavených funkcí v Excelu, je zapotřebí znát matematické operace matic a vektorů z matematiky a zároveň znát principy metody, kterou jsme se rozhodli pouţít. Cílem práce je popsat a vytvořit stručný přehled o uţívaných metodách operační analýzy. Dále v praktické části je tato diplomová práce zaměřena na okruţní dopravní problém. V rámci této diplomové práce se podařila navázat spolupráce s největší pekárenskou firmou v České republice a jednou z největších pekárenských firem ve střední Evropě a to firmou United Bakeries a.s. Díky spolupráci logistického oddělení firmy, konkrétně pana Ing. Hurába, v této práci byly zpracovány a porovnány výsledky teorie s praxí. Hlavním cílem této práce bylo nalezení takové optimální trasy, která bude nejoptimálnější pro daný okruh. Nalezne se tedy Hamiltonovská kruţnice. United Bakeries a.s. kaţdý den uţívá trasu, kterou povaţuje za optimální a tato práce se pokusila nalézt cestu ještě optimálnější. Diplomová práce obsahuje popis algoritmu, který se na řešení problematiky okruţního dopravního problému pouţil. Algoritmus je vlastně modifikovaná Maďarská metoda, která 9

11 je upravena tak, aby byla vhodná na okruţní dopravní problém. 10

12 1 Operační analýza 1.1 Úvod do operační analýzy V moderní společnosti existuje několik důleţitých mezníků, které poloţily základ k formulování vědního oboru - operační analýzy: o Druhá světová válka do období druhé světové války výzkum a věda dostatečně nespolupracovaly s řídícími pracovníky průmyslové praxe a průmyslová praxe neefektivně spolupracovala s vědou a výzkumem, protoţe nedokázala přesně formulovat a definovat své poţadavky. Avšak průběh druhé světové války dal vzniknout potřebě řízení vojenského zásobování a koordinaci vojenských činností. Tím byl poloţen základ nové vědní disciplíny logistiky. Armáda zahájila spolupráci s vědci, kteří dali vzniknout prvním skupinám vojenského operačního výzkumu. [P.Pernica 1998], [Karas, Gros, Sokolová 1992] o 50. Léta bouřlivý ekonomický poválečný rozvoj, praktická potřeba jeho rozvoje. A rozvoj výpočetní techniky Toto vše vedlo k mohutnému znásobování se vazeb v oblasti hmotné výroby a s tím spojené zvyšující se poţadavky na náročnost v řídících a rozhodovacích procesech [Karas, Gros, Sokolová 1992]. Aby řešení ekonomických otázek bylo účelné a efektivní je zapotřebí sesbírat a hlavně vhodně uspořádat informace s řídícím a rozhodovacím procesem spojené. Na základě těchto informací se musí stanovit varianty rozhodnutí a 11

13 správně vyhodnotit a zejména interpretovat jejich důsledky. [Karas, Gros, Sokolová, 1992] Proces rozhodování je řízení zodpovědnosti. Zodpovědnost řídí manaţer, který identifikuje nejdříve problém a poté formuluje cesty, jak postupovat v jeho následném řešení. Jedná se svým způsobem o proces analýzy identifikovaného problému, který má dvě základní formy: kvantitativní a kvalitativní [Římánek, 1979]. Kvalitativní přístup je spojen s úsudkem manaţera či jeho osobní minulou zkušeností. Jedná se o intuitivní rozhodování, které není spojeno s empirickými výpočty. Mnohokrát je kvalitativní přístup postačující. Avšak s rostoucí sloţitostí výroby a produkce je zapotřebí kombinovat kvalitativní přístupy s přístupy kvantitativními. Kvantitativní analýza je zapotřebí, pokud si manaţer nevystačí s intuitivními metodami a vlastní zkušeností. Pokud je problém komplexní a je potřebné uţít důkladnou analýzu zaloţenou na vědeckých základech. Josef Římanek s kolektivem ve své publikaci uvádí: Znalost kvantitativní analýzy problému všeobecné zvyšuje kvalitu řídících schopností manaţerů na všech stupních řízení [J. Římánek, 2002, s. 46]. Výhodou matematického přístupu v oblasti ekonomických jevů je moţnost zpřesnit znalosti o kvantitativních vztazích mezi jednotlivými ekonomickými kategoriemi. (Karas, Gros, Sokolová 1992) 1.2 Podstata operačního výzkumu Jedna z definic operačního výzkumu říká: Operační výzkum představuje způsob týmové spolupráce, při kterém skupina specialistů různého odborného zaměření komplexně řeší 12

14 sloţitý ekonomický, technický, organizační nebo vojenskostrategický problém. [J. Římánek, 2002, s. 46] Základní nástroj operačního výzkumu je matematické modelování [J. Jablonský 2002]. Matematické modelování ekonomických procesů slouţí jako nástroj pro řízení automatizace v řízení, bez které je dnešní fungování ekonomických organismů nepředstavitelné. [Římánek 1994]. Z operačního výzkumu se postupně vydělila operační analýza. [P. Pernica 1998] 1.3 Vlastnosti operační analýzy Čtyři základní vlastnosti operační analýzy dle doc. Grose jsou: a) Vyuţití matematických a statistických metod b) Uţití matematického modelování c) Skupinová spolupráce d) Komplexní (systémový) přístup Ad a.) Za posledních padesát aţ šedesát let se vyvinula řada samostatných disciplín, které se zabývají úkoly efektivnějšího plánování a řízení v podniku. Tyto úkoly se řeší v okolí neustálého pohybu a technického pokroku, coţ vede ke stále sloţitějšímu a důleţitějšímu řešení úkolů. [ J.Walter - J.Lauber, 1975]. Mezi pouţívané metody patří: o Modely hromadné obsluhy [ J.Walter - J.Lauber, 1975] 13

15 o Paralelně řazené kanály [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Sériově řazené kanály [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Modely dopravních proudů [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Zásobovací modely [ J.Walter - J.Lauber, 1975] o Lineární programování [Gros, Karas, Sokolová 1987] o Nelineární programování [Gros, Karas, Sokolová 1987] o Dynamické programování [ Gros, Karas, Sokolová 1987] o Síťová analýza [ J.Walter - J.Lauber, 1975], [Gros, Karas, Sokolová, 1987] Ad c.) K získání poţadovaného a interpretovatelného výstupu z operační analýzy je důleţité pracovat se správnými daty. Sběr dat je spojen s týmovou spoluprací, kdy spolupracuje technologické oddělení a oddělení managementu. Jedním z důleţitých aspektů je přítomnost pracovníků, kteří jsou s objektem zkoumání v denním kontaktu tzn. dělníci, mistři, procesní inţenýři. Dále musí být přítomen odborník, který je znalý v modelování tzn. pracovník, který umí sestavit model a zároveň umí interpretovat výsledky. [Christof Schulte, 1991], [J.Walter - J.Lauber, 1975], [Gros, Karas, Sokolová, 1987] 14

16 2 Teorie modelování ekonomických systémů Modelem se rozumí simplifikované zobrazení reálného systému. Zobrazují se pouze ty vlastnosti, které jsou důleţité při řešení problému. Model předpokládá spousty zjednodušení např. fyzikální modely a jejich zanedbání tření atd. Zobrazení reálného systému modelem můţe být izomorfní či homomorfní. Definice izomorfního modelu zní: Model a systém jsou vzájemně izomorfní, kdyţ jde o přesný obraz, tedy kaţdému prvku a vazbě v systému odpovídá prvek a vazba v modelu [ I.Gros, 2003, s.18]. Homomorfní model je naproti tomu definován: Při homomorfním zobrazení platí tento vztah pouze jednostranně, a to ve směru model-systém, tedy ke kaţdému prvku a vazbě v modelu existuje ekvivalent v systému [ I.Gros, 2003, s.18]. Ekonomické systémy jsou povětšinou zobrazovány homomorfním zobrazením. Ekonomický model tedy zobrazuje zjednodušený reálný model, který obsahuje pouze prvky a vazby, jenţ jsou důleţité pro řešený problém [Josef Jablonský, 2002]. Dle J. Jablonského ekonomický model musí obsahovat: o Cíl analýzy bez určení cíle neexistuje interpretovatelný výsledek. Cíl musí být definován jednoznačně, např. maximalizace zisku, minimální počet kilometrů v distribuční cestě, optimální alokace skladů, nejmenší výrobní dávka atd. o Popis procesů, které v systému probíhají myslí se tím procesy, které v reálném systému probíhají s určitou intenzitou a které mají vliv na 15

17 ekonomický model. Procesy se například myslí výroba určitého výrobku, o Popis činitelů, kteří ovlivňují proces výroby realizace procesů je popsána a limitována mnohými veličinami, které je moţné měřit, např. čas, mnoţství kusů apod. o Popis vzájemného vztahu mezi procesy, veličinami a cílem analýzy Model můţe mít různé znázornění, např. grafické, číselné, verbální. Na ekonomický model bezprostředně navazuje matematický model. 16

18 3 Teorie modelování matematického modelu Na ekonomický model bezprostředně navazuje matematický model. Můţe se říci, ţe matematický model převádí ekonomický model do jazyku matematiky. Historie matematického modelování u nás, v tehdejší Československé socialistické republice, začíná v šedesátých letech 20. století. Rozvoj matematického modelování bezprostředně souvisí s rozvojem výpočetní techniky. Výpočetní technika umoţnila urychlení řešení náročných matematických algoritmů a zároveň eliminovala moţnost chyby způsobené lidským faktorem. Ekonomický model je numerické či slovní vyjádření řešeného problému. Aby bylo moţné problém vyřešit, je zapotřebí zápis ekonomického modelu formalizovat. O Formalizaci se právě stará matematický model. Matematický model se následně řeší stanovenými postupy. Dle Jankulovského matematický model musí obsahovat: o Cíl zpravidla vyjádřen jako lineární či nelineární funkce n proměnných. o V ekonomickém modelu jsou definovány reálné aktivity, které v procesu probíhají s určitou intenzitou. Matematický model těmto aktivitám přiřadí proměnnou a následně hodnotu proměnné. Hodnota proměnné vyjadřuje intenzitu aktivity definovanou v ekonomickém modelu [Jankulovský, 2007]. Při stanovení proměnných je důleţité určit měrnou jednotku, věcný význam a dimenzi [J.Římánek, 1994] 17

19 o Obecně řečeno, proměnné vyjadřují neznámé a hledané úrovně, na nichţ jsou prováděny činnosti (uskutečňovány procesy). [J.Římánek, 1994, s.51] o Činitelé vyjádřené v ekonomickém modelu matematický model vyjádří jako soustavu lineárních rovnic, nelineárních rovnic, lineárních nerovnic anebo nelineárních nerovnic. o Lineární rovnice či nerovnice vyjadřují omezení úlohy. Na pravé straně rovnice či nerovnice stojí poţadované mnoţství vstupu či výstupu. Na levé straně je potřebné mnoţství vstupu či výstupu. o Vazby mezi procesy definované v ekonomickém modelu se matematickém modelu vyjádří neměnnými parametry. 18

20 4 Řešení matematického modelu Řešení matematického modelu je díky novodobé počítačové technice spíše jen technickou záleţitostí. Lze pro něj pouţít celou řadů definovaných postupů a metod. 4.1 Klasifikace disciplín operační analýzy Modely operační analýzy se zabývají rozdílnými oblastmi ekonomického ţivota. Z tohoto důvodu existuje několik různých modelů operační analýzy a postupem času se z nich staly jednotlivé samostatné vědní disciplíny operační analýzy. [Broţová, Houška, 2003], [Jablonský 2007] Jablonský disciplíny operační analýzy člení následovně: a. Matematické programování úlohy, které řeší optimalizační úlohy. Patří sem lineární, nelineární či dynamické programování, stochastické programování, [Broţová, Houška, 2003] b. Teorie grafů jedná se o modely, které jsou v praxi často uţívané. Často se tímto modelem řeší nalezení nejkratší distribuční cesty c. Teorie zásob model, který se zabývá řízením zásobovacího procesu a optimalizací skladových zásob. d. Teorie her model, který se zabývá rozhodováním. Model se snaţí pro určité rozhodovací typy situací definovat pouţitelnou definici optimálního 19

21 rozhodnutí viz. vězňovo dilema z makroekonomie. [Maňas, 1983] e. Teorie hromadné obsluhy = teorie front zabývá se systémy, které osahují požadavky a obslužné linky. Poţadavky poţadují obsluhu a obsluţné linky ji realizují. Alternativou názvu modelu je Teorie front, který se odvodil od skutečnosti, ţe obsluţné linky vytvářejí fronty. [Jablonský, 2007] f. Vícekriteriální rozhodování disciplína, která se zabývá řešením rozhodovacích úloh. Rozhoduje se mezi variantami, které jsou jiţ k dispozici a které se hodnotí dle několika kritérií. Podstatou je v\řešení konfliktu mezi jednotlivými protikladnými kritérii. [Jablonský 2007] g. Modely obnovy řeší a předpovídají počty jednotek, které v systému selţou a budou muset být v procesu nahrazeny. h. Markovské rozhodovací procesy popisují dynamické systémy i. Simulace nástroj pro analýzu sloţitých systémů. Na počítači se simulují ekonomické procesy a porovnávají se s reálnými systémy. Při simulaci se mění jednotlivé parametry a následně se sledují změny systému, za účelem optimalizace takového procesu. Je zapotřebí výkonných počítačů a příslušného softwaru. Příslušný software je poměrně drahý [ Jablonský, 2007]. 20

22 5 Matematické programování Úlohy matematické optimalizace dvojice autorů Walter-Lauber charakterizuje následujícími slovy: Pro řešení některých problémů matematické programování, které lze stručně charakterizovat jako úlohy hledání takového řešení prostoru přípustných řešení, které extremalizuje účelovou funkci, byla vtvořena řada speciálních algoritmů. [Walter-Lauber, 1975, s.71 ] Mezi speciální algoritmy patří: a. Metody lineárního programování b. Metody nelineárního programování c. Metody dynamického programování 5.1 Lineární programování Název lineárního programování nemá nic společného s programováním počítačů, jak je dnes všeobecně vnímáno [Turzík, 2006]. Pojem programování znamená v této souvislosti plánování či rozhodování. Pojem lineární znamená, ţe všechny pouţité matematické funkce jsou lineární. Je zapotřebí definovat účelovou (kriteriální) funkci. Jablonský v publikaci Operační výzkum účelovou funkci definuje takto: Cíl analýzy je v matematickém modelu vyjádřen jako lineární funkce z=f(x), jejíţ extrém (maximum či minimum) je třeba nalézt. Tato funkce se označuje jako účelová nebo kriteriální funkce. [Jablonsky, 2007, s. 44] 21

23 V úlohách lineárního programování existují 2 typy základních úloh: [ Turzík, 2006] o V kanonickém tvaru o Ve standardním tvaru Kanonický tvar V úloze se poţaduje určit: max(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) nebo min(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) (1) pro x 1,..,x n splňující podmínky: a 11 x 1 +a a!n x n b 1 a 21 x 1 +a a 2n x n b 2 a 31 x 1 +a a 3n x n b 3 a m1 x 1 +a m2 +..+a mn x n b m x 1, x 2,,x n 0, kde c j,b i, a ij,..jsou reálná čísla (2) Úlohu lze stručně zapsat ve tvaru: max Σ c j x j Σ a ij x j b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. (3) 22

24 Standardní tvar V úloze se poţaduje určit: max(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) nebo min(c 1 x 1 + c 2 x 2 +..c n x n ) (4) pro x 1,..,x n splňující podmínky: a 11 x 1 +a a!n x n = b 1 a 21 x 1 +a a 2n x n =b 2 a 31 x 1 +a a 3n x n = b 3 a m1 x 1 +a m2 +..+a mn x n = b m x 1, x 2,,x n 0, (5) max Σ c j x j Σ a ij x j = b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. (6) Obecná úloha lineárního programovaní - převody Obecná úloha lineárního programování můţe být zadána v kanonickém či standardním tvaru. Kaţdou úlohu lineárního programování lze převést z kanonického tvaru na tvar standardní a ze standardního tvaru na kanonický tvar. Při převodu z kanonického tvaru na standardní tvar se pouţívá doplňkové proměnné x n+1, pro kterou platí: x n+1 0 [Turzík, 2006]. 23

25 Např: a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3.. +a n x n b (7) a 1 x 1 + a 2 x 2 +a 3 x 3.. +a n x n +a n x n +1 =b (8) Věta 1.1 [Turzík, 2006] Nechť je dána úloha v kanonickém tvaru max Σ c j x j Σ a ij x j b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n s proměnnými x 1,,x n. Zavede se m doplňkových proměnných a uvaţuje se úloha ve standardním tvaru max Σ c j x j Σ a ij x j = b i, i = 1,.,m X j 0, i = 1,.,n. s proměnnými x 1,,x n+m. Potom platí: Je-li x 1,,x n optimální řešení úlohy v kanonickém tvaru je x 1,,x n+m, kde X n+i = b i Σa ij x j, i = 1,,m, optimální řešení úlohy ve standardním tvaru. V zadání úlohy se můţe hledat minimum nebo maximum. Úlohy je moţné mezi sebou převádět. Základem pro převod je Věta 1.2 [Turzík, 2006] Věta 1.2 Nechť funkce f definovaná na mnoţině M R n má v bodě x M lokální maximum, resp. minimum. Pak funkce g definovaná na M předpisem: g(y)= -f(y) má v bodě x lokální minimum, resp. lokální maximum. 24

26 Dle této věty platí: Min {c T x: Ax b, x 0} = - max { - c T : Ax b, x 0} Proměnné v úloze lineárního programování mohou být omezené či neomezené. Kaţdá neomezená proměnná se nahradí 2 novými proměnnými. Převod je zaloţen na skutečnosti, ţe kaţdé reálné číslo x lze zapsat jako rozdíl dvou čísel, která jsou nezáporná, tj. x = x + - x -, x + 0, x - 0 V kaţdé úloze lineárního programování neomezená proměnná bude nahrazena dvojicí nezáporných čísel dle uvedeného vztahu Lin-Kerninghan metoda Metoda větví a mezí je obecný algoritmus v problematice lineárního programování při hledání optimálních řešení různých optimalizačních úkolů, zejména v diskrétní optimalizaci a kombinatorické optimalizaci. Princip metody spočívá v systematickém procházení potencionálních řešení. Uţívají se horní a dolní hodnoty, které jsou optimalizovány [Ing. L. Rychetík,, CSc., 1968]. 25

27 6 Input output modely Základní principy Input-output modelů byly definovány jiţ v roce 1758 ekonomem francouzského původu, Francoisa Quesnay, který ve své Ekonomické tabulce znázornil tok peněţních důchodů mezi jednotlivými třídami (mezi vlastníkem půdy podnikateli zaměstnanci v národním hospodářství). Modifikovaný model ekonomické tabulky pouţil I Karol Marx ve své publikaci Kapitál (Marián Goga, Input-output analýza). Input-output modely neboli bilanční modely jsou však nejvíce spjaty se jménem W. Leontiefa a jeho publikace The Structure of American Economy V knize byly popsány vztahy v reprodukčním procesu na národohospodářské úrovni. Pouţité matematické balance poté byly pouţity na vnitropodnikové úrovni [Ivan Gros, 2003]. Ivan Gros v publikaci Kvantitativní metody v manaţerském rozhodování podnikové bilanční modely definuje: Bilanční modely formalizujeme na podnikové i vnitropodnikové úrovni varianty základních materiálových, energetických nebo hodnotových vazeb mezi prvky modelovaného systému, jejichţ realizace je podmínkou pro transformaci jeho vstupů na poţadované výstupy [I.Gros, 2003, s.31]. Bilanční modely jsou pouţity na úrovni plánování procesu, kde je díky input-output modelům zajištěna algoritmizace bilančních propočtů důleţitých k vytvoření plánu zásobování, distribuce, operativních výrobních úkolů, změn ve výrobě či pouţitých surovin. [I.Gros, 2003]. Bilanční modely jsou rovněţ důleţité k posouzení vlivu změn v materiálových tocích. Formalizovaný bilanční model je tedy matematický model tvořený soustavou rovnic (zpravidla lineárních rovnic). 26

28 Cílem zadaného matematického modelu je nalezení hodnot definovaných veličin ze zadaných parametrů. Základním nástrojem pro input-output modely neboli pro strukturní analýzu jsou symetrické input-output tabulky. Tabulky jsou pouţity hlavně k popisu technologickoekonomických vazeb. V symetrické input-output tabulce jsou zobrazeny číselné vztahy mezi vstupy (náklady) jednotlivých odvětví a jejich výstupy (produkcí). Jednotlivé kroky bilančního modelu: o Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu o Identifikace vazeb bilančního modelu o Definice parametrů a proměnných bilančního modelu o Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace o Nalezení řešení bilančního modelu 6.1 Identifikace jednotlivých prvků bilančního modelu V bilančním modelu výrobního podniku jsou jako prvky shledány suroviny vstupující do výroby, polotovary, obaly, energie, palivo, výrobky vstupující do výroby či výrobky vznikající jako meziprodukt, který můţe být pokračující surovinou ve výrobním procesu anebo nemusí, katalyzátory atd. Je důleţité uvést jednotky jednotlivých surovin, aby získané výsledky měly vypovídací hodnotu. V rozsáhlých výrobách např. v chemických výrobách výroba pneumatik je pouţito procesu agregace jednotlivých prvků, protoţe můţe být identifikováno aţ několik tisíc prvků. Agreguje se na základě společných identifikovaných rysů či vlastností, které pro účely bilančního modelu 27

29 nejsou směrodatné např. prvky, ze kterých vznikají různé směsi. 6.2 Identifikace vazeb bilančního modelu Vazby ve výrobním procesu pro účely bilančního modelu mohou být identifikovány z jednotlivých předpisů, receptur, postupů výroby. Je vhodné tento krok znázornit graficky se všemi tokovými veličinami a zároveň uvést směr toku. 6.3 Definice parametrů a proměnných bilančního modelu Dle prof. Grose je ustálena praxe pouţívat pro vypočítávané mnoţství výrobků a polotovarů tři veličiny zabývající se produkcí a spotřebou výrobků či polotovarů. Dále je definovaná další veličina zabývající se mnoţstvím materiálových vstupů: a. y j - produkce j-tého výrobku, polotovaru určeného ke spotřebě mimo bilancovaný systém, u podnikových procesů jde o poţadavky zákazníků b. x j celková produkce j-tého výrobku nebo polotovaru bez ohledu na další určení c. x ij spotřeba i-tého výrobku, polotovaru na výrobu x j jednotek j-tého výrobku d. s i mnoţství suroviny potřebné pro splnění poţadavků zákazníků e. Pro výpočet x ij a s ij jsou pouţity následující vztahy: 28

30 x ij = a ij. x j (9) s i = s ij. x j (10) kde a ij specifické spotřeby i-tého polotovaru s ij specifické spotřeby materiálových vstupů na jednotkové mnoţství j-tého výrobku, polotovaru. Jejich hodnoty jsou často normovány pro definovaná období. Přesnost modelu je závislá na hodnotě s ij. 6.4 Formulace bilančního modelu a jeho kvantifikace Nejtěţší částí strukturní analýzy jsou předešlé kroky tj. správně definovat prvky a vazby v bilančním modelu. Pokud se postupovala zodpovědně a pečlivě vlastní formulace bilančního modelu není obtíţná. Postupuje se ve 2 na sebe navazujících etapách: model mezivýrobkových vztahů a sestavení materiálových vstupů bilančního modelu Model mezivýrobkových vztahů Model mezivýrobkových vztahů je zaloţen na splnění kritéria, aby mnoţství vyrobených výrobků odpovídalo mnoţství výrobků, které je poţadováno zákazníky [I. Gros, 2003]. Tedy aby nebyla nadvýroba, protoţe by podnik vytvářel zásoby, které jsou spojeny s náklady navíc. Zmíněné kritérium lze vyjádřit matematickým zápisem: xk = xk1 + xk2 + xk3...+ xkn (11) 29

31 Pokud do předchozího vztahu 11se dosadí vztah č. 9 z kapitoly 6.3 vznikne: xk = ak1x1 + ak2x2 + ak3x3...+ aknxn (12) Celková balance mezivýrobkových vztahů má následující maticový zápis [Gros, 2003]: X1 = a11x1 + a12x2 + a13x3...+ a1nxn X2 = a21x1 + a22x2 + a23x3...+ a2nxn X3 = a31x1 + a32x2 + a33x3...+ a3nxn Xn = an1x1 + an2x2 + an3x3...+ annxn, kde n je počet výrobků a polotovarů (13) Materiálové vstupy do bilančního modelu Výrobní proces je limitován materiálovými vstupy, proto je důleţité sestavit matici pro materiálové vstupy. Postupuje se analogicky s modelem mezivýrobkových vztahů. Uvaţuje se d-tá surovina. S d = s d1 x 1 + s d2 x 2 + s d3 x s dn x n, kde n je počet vstupujících surovin (14) Soustava rovnic vyjadřující bilancí všech materiálových vstupů je formulována: [I. Gros, 2003] S 1 = s 11 x 1 + s 12 x 2 + s 13 x s 1n x n S 2 = s 21 x 1 + s 22 x 2 + s 23 x s 2n x n S 3 = s 31 x 1 + s 32 x 2 + s 33 x s 3n x n. S n = s n1 x 1 + s n2 x 2 + s n3 x s nn x n (15) 30

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VIII) Operační výzkum. Ak. rok 2011/2012 vbp 1

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VIII) Operační výzkum. Ak. rok 2011/2012 vbp 1 SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VIII) Operační výzkum Ak. rok 2011/2012 vbp 1 DEFINICE Operační výzkum je prostředek pro nalezení optimálního řešení daného problému při respektování celé řady různorodých omezení,

Více

Matematické modelování 4EK201

Matematické modelování 4EK201 Matematické modelování 4EK0 Ukázkový test Maimum 00 bodů. Pokud má úloha lineárního programování více optimálních řešení, pak (a) jich může být nekonečně mnoho, (b) jich musí být nekonečně mnoho.. Doplňte

Více

Teorie zásob. Kvantifikace zásob. V zásobách je vázáno v průměru 20 % kapitálu (u výrobních podniků) až 50 % kapitálu (u obchodních podniků).

Teorie zásob. Kvantifikace zásob. V zásobách je vázáno v průměru 20 % kapitálu (u výrobních podniků) až 50 % kapitálu (u obchodních podniků). Teorie zásob Souhrn matematických metod používaných k modelování a optimalizaci procesů hromadění různých položek k zabezpečení plynulého chodu zásobovaných složek. Kvantifikace zásob V zásobách je vázáno

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice OPERAČNÍ VÝZKUM 11. TEORIE ZÁSOB Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace

Více

Teorie front. Systém hromadné obsluhy

Teorie front. Systém hromadné obsluhy Teorie front Pokouší se analyzovat a řešit procesy, ve kterých se vyskytují proudy objektů procházejících určitými zařízeními, od nichž vyžadují obsluhu. Vlivem omezené kapacity obsluhy může docházet k

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

Úvod Modely zásob Shrnutí. Teorie zásob. Kristýna Slabá. 9. ledna 2009

Úvod Modely zásob Shrnutí. Teorie zásob. Kristýna Slabá. 9. ledna 2009 Teorie zásob Kristýna Slabá 9. ledna 2009 Obsah 1 Úvod Teorie Klasifikace zásob 2 Modely zásob Teorie Klasifikace modelů zásob Model zásob s okamžitou dodávkou Příklad Model zásob s postupnou dodávkou

Více

Stochastické procesy - pokračování

Stochastické procesy - pokračování Stochastické procesy - pokračování Úvodní pojmy: Stochastické procesy jsou to procesy (funkce) jejichž hodnoty jsou náhodné veličiny závislé na parametru t stav systému souhrn vlastností a charakteristik,

Více

METODICKÝ APARÁT LOGISTIKY

METODICKÝ APARÁT LOGISTIKY METODICKÝ APARÁT LOGISTIKY Metodický aparát logistiky jedná se o metody sloužící k rozhodování při logistických problémech Metodu = použijeme, v případě vzniku problému. Problém = vzniká v okamžiku, když

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Vstup a úkoly pro 1. kapitolu VYMEZENÍ POJMÚ. CÍLE VÝROBNÍ LOGISTIKY.

Vstup a úkoly pro 1. kapitolu VYMEZENÍ POJMÚ. CÍLE VÝROBNÍ LOGISTIKY. Vstup a úkoly pro 1. kapitolu VYMEZENÍ POJMÚ. CÍLE VÝROBNÍ LOGISTIKY. Ekonomický rozvoj vyvolává silný tlak na koordinovaný a sledovaný pohyb všech hmotných a hodnotových toků. Integrací plánování, formování,

Více

Teorie systémů TES 1. Úvod

Teorie systémů TES 1. Úvod Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti. Teorie systémů TES 1. Úvod ZS 2011/2012 prof. Ing. Petr Moos, CSc. Ústav informatiky a telekomunikací Fakulta dopravní ČVUT v Praze

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Systémy plánování a řízení výroby AROP III

Systémy plánování a řízení výroby AROP III Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Systémy plánování a řízení výroby AROP III Technická univerzita v Liberci Výrobní

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY. Michal Dorda. VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy

SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY. Michal Dorda. VŠB - TU Ostrava, Fakulta strojní, Institut dopravy SIMULACE SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMŮ HROMADNÉ OBSLUHY Michal Dorda VŠB - TU Ostrava Fakulta strojní Institut dopravy 1 Úvod V běžné technické praxi se velice často setkáváme s tzv. systémy hromadné obsluhy aniž

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

CW01 - Teorie měření a regulace

CW01 - Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace

Více

Vývoj vědeckého myšlení

Vývoj vědeckého myšlení Vývoj vědeckého myšlení Systémovost logistického řešení je spjata se schopností řešit komplexy navzájem souvisejících úkolů. V rámci vývoje vědeckého myšlení uvádí americký autor Waren Weaver tři vývojová

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

3/10 Plánování zásob ve v robním procesu

3/10 Plánování zásob ve v robním procesu EFEKTIVNÍ V ROBA část 3, díl 10, str. 1 3/10 Plánování zásob ve v robním procesu V dnešní době nelze hovořit o úspěšném zvládnutí výrobních a provozních činností a přitom nevěnovat bedlivou pozornost problematice

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Prognostické metody. Prognostické metody. Vybrané prognostické metody ANALÝZA DAT V REGIONALISTICE. Doc. Ing. Alois Kutscherauer, CSc.

Prognostické metody. Prognostické metody. Vybrané prognostické metody ANALÝZA DAT V REGIONALISTICE. Doc. Ing. Alois Kutscherauer, CSc. Prognostické metody ANALÝZA DAT V REGIONALISTICE Prognostické metody Doc. Ing. Alois Kutscherauer, CSc. Prognostická praxe uplatňuje velké množství různých přístupů a metod (formalizovaných, intuitivních

Více

Kvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková

Kvantitativní metody v rozhodování. Marta Doubková Kvantitativní metody v rozhodování Marta Doubková Seminární práce 28 OBSAH 1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ KAPACITNÍ ÚLOHA... 3 2 DISTRIBUČNÍ ÚLOHA... 7 3 ANALÝZA KRITICKÉ CESTY METODA CPM... 13 4 MODEL HROMADNÉ

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Kalkulace nákladů a jejich využívání v podniku

Kalkulace nákladů a jejich využívání v podniku JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA Katedra ekonomiky Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Obchodní podnikání BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kalkulace nákladů a jejich

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU

NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU NÁSTROJE A TECHNIKY PROJEKTOVÉHO MANAGEMENTU Projektová dekompozice Přednáška Teorie PM č. 2 Úvod do vybraných nástrojů projektového managementu Úvodní etapa projektu je nejdůležitější fáze projektu. Pokud

Více

EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2

EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2 MATERIÁL 5.1. CHARAKTERISTIKA EKONOMIKA PODNIKU PŘEDNÁŠKA č.2 Ing. Jan TICHÝ, Ph.D. jan.tich@seznam.cz Materiál: a) základní materiál b) pomocný materiál c) provozní hmoty d) obaly ad a) zpracovává se

Více

Management projektu III. Fakulta sportovních studií přednáška do předmětu Projektový management ve sportu

Management projektu III. Fakulta sportovních studií přednáška do předmětu Projektový management ve sportu Management projektu III. Fakulta sportovních studií 2016 5. přednáška do předmětu Projektový management ve sportu doc. Ing. Petr Pirožek,Ph.D. Ekonomicko-správní fakulta Lipova 41a 602 00 Brno Email: pirozek@econ.muni.cz

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z tematického okruhu 1 (Logistika)

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z tematického okruhu 1 (Logistika) POŽADAVKY K PÍSEMNÉ PŘIJÍMACÍ ZKOUŠCE pro uchazeče o studium v navazujícím magisterském studijním v oboru LO Logistika, technologie a management dopravy Požadavky k písemné přijímací zkoušce z tematického

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekanálové čekací systémy Stanice obsluhy sestává z několika kanálů obsluhy, pracujících paralelně a navzájem nezávisle. Vstupy i výstupy systému mají poissonovský charakter. Jednotky vstupující do systému

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ. Zpracoval Ing. Jan Weiser

MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ. Zpracoval Ing. Jan Weiser MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Zpracoval Ing. Jan Weiser Obsah výkladu Rozhodovací procesy a problémy Dvě stránky rozhodování Klasifikace rozhodovacích procesů Modely rozhodování Nástroje pro podporu rozhodování

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Simulační modely. Kdy použít simulaci?

Simulační modely. Kdy použít simulaci? Simulační modely Simulace z lat. Simulare (napodobení). Princip simulace spočívá v sestavení modelu reálného systému a provádění opakovaných experimentů s tímto modelem. Simulaci je nutno považovat za

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Sedm základních nástrojů řízení kvality Doc. RNDr. Jiří Šimek,

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Tento příklad popíše asi nejzákladnější promoci. Kdyţ si zákazník koupí 3 kusy, dva kusy zaplatí a jeden dostane zdarma.

Tento příklad popíše asi nejzákladnější promoci. Kdyţ si zákazník koupí 3 kusy, dva kusy zaplatí a jeden dostane zdarma. 3.5.11 PŘÍKLADY PROMOCÍ Tato kapitola neslouţí k popisu nějaké zvláštní agendy nebo funkce, ale měla by slouţit k objasnění a ukázaní práce s promocemi. Promoce jsou poměrně logicky sloţitá záleţitost,

Více

Operační výzkum. Základní informace

Operační výzkum. Základní informace Operační výzkum Přednášející: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Katedra podnikové ekonomiky Cvičící: doc. Ing. Miroslav Žižka, Ph.D. Základní informace rozsah předmětu: 2/2, zakončeno: zkouškou, počet kreditů:

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Logistické náklady, vztahy logistických činností a logistických nákladů

Logistické náklady, vztahy logistických činností a logistických nákladů Není tomu příliš dlouho, kdy se výrobní a obchodní činnost společnosti odvíjela od základní rovnice Cena = náklady + zisk V současnosti tento vztah neplatí!! Cenu neurčuje prodejce zboží, ale především

Více

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti

Časové rezervy. Celková rezerva činnosti Časové rezervy Celková rezerva činnosti CR Volná rezerva činnosti VR Nezávislá rezerva činnosti - NR Celková rezerva činnosti Maximální počet časových jednotek, které jsou k dispozici pro provedení činnosti,

Více

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Pareto analýza. Průmyslové inženýrství. EduCom. Jan Vavruška Technická univerzita v Liberci

Pareto analýza. Průmyslové inženýrství. EduCom. Jan Vavruška Technická univerzita v Liberci Tento materiál vznikl jako součást projektu, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Pareto analýza Technická univerzita v Liberci Průmyslové inženýrství Technická univerzita

Více

Logistika. Souhrnné analýzy. Radek Havlík tel.: URL: listopad 2012 CO ZA KOLIK PROČ KDE

Logistika. Souhrnné analýzy. Radek Havlík tel.: URL:  listopad 2012 CO ZA KOLIK PROČ KDE Logistika Souhrnné analýzy listopad 2012 KDE PROČ KDY CO ZA KOLIK JAK KDO Radek Havlík tel.: 48 535 3366 e-mail: radek.havlik@tul.cz URL: http:\\www.kvs.tul.cz Paretova, ABC a XYZ analýzy Obsah Paretova

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Manažerská ekonomika KM IT

Manažerská ekonomika KM IT KVANTITATIVNÍ METODY INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE (zkouška č. 3) Cíl předmětu Získat základní znalosti v oblasti práce s ekonomickými ukazateli a daty, osvojit si znalosti finanční a pojistné matematiky, zvládnout

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1 NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.

Více

DOKTORSKÉ STUDIUM LOGISTIKY

DOKTORSKÉ STUDIUM LOGISTIKY Prof. Ing. Dr. Otto Pastor, CSc. Prof. Ing. Vladimír Strakoš, DrSc. Dopravní fakulta ČVUT v Praze pastor@df.cvut.cz Vysoká škola logistiky Přerov Vladimir.strakos@vslg.cz Internet of services Internet

Více

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1 Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 Vznik a historie projektového řízení Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Problémové domény a jejich charakteristiky

Problémové domény a jejich charakteristiky Milan Mišovič (ČVUT FIT) Pokročilé informační systémy MI-PIS, 2011, Přednáška 02 1/16 Problémové domény a jejich charakteristiky Prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc. Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová

Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová 1. Aplikace klasifikace nákladů na změnu objemu výroby 2. Modelování nákladů Podstata modelování nákladů Nákladové funkce Stanovení parametrů nákladových funkcí Klasifikační

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ ČESKÉ REPUBLIKY Odbor řízení a koordinace NSRR Staroměstské náměstí 6 110 15 Praha 1. E-mail: nok@mmr.

MINISTERSTVO PRO MÍSTNÍ ROZVOJ ČESKÉ REPUBLIKY Odbor řízení a koordinace NSRR Staroměstské náměstí 6 110 15 Praha 1. E-mail: nok@mmr. NÁRODNÍ ORGÁN PRO KOORDINACI ZÁVAZNÉ POSTUPY PRO ZADÁVÁNÍ ZAKÁZEK SPOLUFINANCOVANÝCH ZE ZDROJŮ EU, NESPADAJÍCÍCH POD APLIKACI ZÁKONA Č. 137/2006 SB., O VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH, V PROGRAMOVÉM OBDOBÍ 2007-2013

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Vývoj IS - strukturované paradigma II

Vývoj IS - strukturované paradigma II Milan Mišovič (ČVUT FIT) Pokročilé informační systémy MI-PIS, 2011, Přednáška 05 1/18 Vývoj IS - strukturované paradigma II Prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc. Katedra softwarového inženýrství Fakulta informačních

Více

Procesní audit VIKMA

Procesní audit VIKMA Procesní audit VIKMA07-2. 5. 2014 Cíl auditu Procesní audit je zaměřen na relevantní firemní procesy marketing, vývoj, nákup, servis apod. a jeho cílem je průběžně kontrolovat jejich úroveň, aby bylo možné

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / uţitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky

Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / uţitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky Příprava podkladů pro přihlášku vynálezu / uţitného vzoru, proces přípravy a podání přihlášky Ing. Jiří Sedlák Patentový zástupce Evropský patentový zástupce Soudní znalec v oboru patenty a vynálezy PŘÍPRAVA

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled

Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Makroekonomická analýza přednáška 4 1 Všeobecná rovnováha 1 Statistický pohled Předpoklady Úspory (resp.spotřeba) a investice (resp.kapitál), kterými jsme se zabývali v minulých lekcích, jsou spolu s technologickým

Více

Konference WITNESS 2005 Kroměříž, 26.-27. 5. 2005

Konference WITNESS 2005 Kroměříž, 26.-27. 5. 2005 PROPOJENÍ OPTIMALIZAČNÍHO A SIMULAČNÍHO MODELU PRO PLÁNOVÁNÍ A ŘÍZENÍ 1. Úvod FARMACEUTICKÉ VÝROBY Ing Petra Vegnerová Prof. Ing. Ivan Gros, CSc. Vysoká škola chemicko-technologická v Praze Fakulta chemicko-inženýrská,

Více

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)* Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná

Více

Vybrané statistické metody. Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací

Vybrané statistické metody. Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, Fakulta dopravní Ústav aplikované matematiky K611 Vybrané statistické metody Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací 1 85 Jakub Ondřich 2010/2011 85101910/0040

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více