Ing. Radovan Beťko Web editor: Ing. Martin Lukáčik

Transkript

1 Ý

2 Ing. Radovan Bťko Wb ditor: Ing. Martin Lukáčik

3 Obsah Radovan BEŤKO: Výbr portfólia na báz dlhodobých historických charaktristík aktív 4 Michal R. ČERNÝ: Růstové křivky v konomtrii 2 Zuzana ČIČKOVÁ, Marian REIFF: Enrgtická funkcia Hopfildovj nurónovj sit pri rišní úlohy o obchodnom cstujúcom 2 Jiří DOLEJŠÍ: Kritický řtěz omzní kontraproduktivních projktových zákonů 25 Andra FURKOVÁ: Zvyšovani výrobnj kapacity ako nástroj stratégi obmdzovania vstupu na trh 32 Michala CHOCHOLATÁ: Ovrni kurzovj politiky v rámci Marshall-Lrnrovj podminky pr Slovnskú rpubliku 38 Vladislav CHÝNA: Globalizac světových akciových trhů 45 Jana KALČEVOVÁ: Vliv vzdělání na výši příjmů 52 Martina KUNCOVÁ: Modly zásob a jjich použitlnost v dodavatlských řtězcích 60 Martin LUKÁČIK: Analýza stacionarity vybraných konomických indikátorov Slovnska v absolútnych hodnotách a po logaritmickj transformácii 68 Stanislav MĚLNÍČEK: Řšní úlohy obchodního cstujícího pomocí řzů 73 Marian REIFF: Modl LTL 3PL prpravcu 80 Kvtoslava SURMANOVÁ, Zuzana ČIČKOVÁ: Modlovani indxu spotrbitľských cin Box- Jnkinsovou mtodológiou 87 Karol SZOMOLÁNYI: Konzistncia montárnj politiky v konomik SR 95 3

4 Výbr portfólia na báz dlhodobých historických charaktristík aktív Radovan Bťko. Portfólio v pristor primru a rozptylu Markowitz navrhol pravidlo M V: očakávané výnosy rozptyl výnosov, ktoré j súčasťou základu klasickj modrnj tóri portfólia. V príspvku sa budm zaobrať výbrom portfólia z pristoru očakávané výnosy rozptyl výnosov, ktorú však začnm získaním a opisom potrbnj údajovj základn pr výbr portfólia, ďalj bud opísaná mtóda získaním dodatočnj a sprsňujúcj informáci týchto údajov pomocou úlohy ciľového programovania ako aj opis úlohy výbru portfólia z tohto pristoru. Charaktristiky agrgovaných kapitálových trhov.. Charaktristiky agrgovaných kapitálových trhov Pri vštkých analýzach sm vychádzali z agrgovaných nominálnych a rálnych indxov akcií, obligácií a pokladničných poukážok uvdných v Dimson, Marsh a Stauton (200). Autori v nj poskytujú údaj za 5 krajín svta mnovit za Austráliu, Blgicko, Dánsko, Francúzsko, Holandsko, Írsko, Japonsko, Kanadu, Nmcko, Španilsko, Švajčiarsko, Švédsko, Taliansko, USA a Vľkú Britániu. Podobu týchto indxov uvdim za USA v tab.(a) a (b), ako rprzntujúcu krajinu s kapitalizáciou obchodovaných akcií vo výšk 6,6 triliónov USD, čo j takmr polovica (46%) z svtovj hodnoty, ktorá jdnoznačn dominujú v closvtovom mradl. V tab. (b) sú hodnoty rálnych indxov t.j. hodnoty indxov očistných od infláci, s ktorými budm ďalj narábať. Informáci o nominálnych a rálnych výnosoch, ktoré sú mrané prostrdníctvom aritmtického a gomtrického primru, o najnižšom a najvyššom ročnom výnos za každú katgóriu aktív a štandardnj odchýlk, ktorá slúži ako mira rizika sú uvádzané podľa vyšši spomínanj publikáci v tab.2. Tab. : Nomináln (a) a ráln (b) hodnoty indxov kapitálových trhu USA za obdobi (a) (b).január Akci Obligáci Poukážky Inflácia.január Akci Obligáci Poukážky ,5,3, ,96,66 2, ,4 2,96 4, ,2 4,77 4, ,25 6,56 4, ,2 6,52 6, ,93 7,52 9, ,25 2,87 6,

5 .január Akci Obligáci Poukážky Inflácia.január Akci Obligáci Poukážky ,97 42,23 40, ,07 44,84 43, ,23 53,49 46, ,52 57,80 47, ,20 68,34 49, ,65 63,03 5, ,00 82,99 54, ,7 82,22 56, ,55 95,26 59, ,77 07,70 63, ,99 04,60 65, ,4 9,7 69, Tab. 2: Charaktristiky aktív kapitálového trhu USA za obdobi Výnos, %p.a Nominálny výnos Rálny výnos Aktívum Aritmtický primr Gomtrický primr Minimálny výnos Maximálny výnos Štandardná odchýlka [%] Akci 2,0 0, -43,9 57,6 20,0 Obligáci 5, 4,8-9,2 40,4 8, Poukážky 4,3 4,3 0,0 5,2 2,8 Inflácia 3,3 3,2-0,8 20,4 5,0 Akci 8,7 6,7-38, 56,4 20,4 Obligáci 2,,6-9,3 35,2 9,9 Poukážky,2, -5,0 20,0 4,6 Ciľom prác j zostrojni hranic invstičných prílžitostí na základ získaných údajov o ročných výnosoch jdnotlivých aktív. Vzhľadom na to, ž publikácia za obdobi rokov 900 až 990 obsahuj údaj ln po dsaťročiach, vypočítali sm pomocou gomtrického primru rprzntatívny ročný výnos pr každé uvdné dsaťroči. Získané ráln výnosy spolu s ich základnými charaktristikami sú uvdné v tab.3. Vzájomný pohyb mdzi výnosmi jdnotlivých aktív možno zistiť pomocou korlačného koficintu ρ ij, ktorý nadobúda hodnoty od po +, pričom kladná hodnota hovorí o rovnakom pohyb a hodnota blížiaca sa k číslu indikuj silnjúcu tndnciu vzájomných pohybov. Vštky tri sldované aktíva vykazujú rovnakú tndnciu vzájomných pohybov. Korlačné koficinty mdzi jdnotlivými aktívami sú nasldovné: akci a obligáci: 0,524, akci a pokladničné poukážky: 0,35264 a obligáci a pokladničné poukážky 0, J potrbné zdôrazniť, ž práv tito údaj sú podstatné pri konštrukcii hranic invstičných prílžitostí a práv prto j nutné vnovať im dostatočnú pozornosť. V tomto momnt j dôlžité upozorniť, ž charaktristiky aktív autorov E.Dimsona, P.Marsha a M.Stautona (200) uvádzané v tab.2 sú vypočítané na základ úplných ročných údajov. Ak porovnám charaktristiky vštkých aktív v tab.3 s údajmi vypočítaných na základ vštkých ročných hodnôt agrgovaných indxov (tab.2) zisťujm dosť podstatné rozdily v týchto hodnotách. Prto logicky naslduj otázka, akým spôsobom by dalo vyrovnať s týmto problémom. 5

6 Tab.3: Ráln ročné výnosy aktív USA a ich charaktristiky za január Akci Obligáci Poukážky % 0.30% 2.34% % -4.50% -2.58% % 6.93% 6.26% % 7.0% 3.37% % -2.0% -4.65% % -2.22% -0.20% % -.03%.54% % -.77% -0.89% % 7.8% 3.90% % 0.00%.69% % 5.85% 2.50% % 4.9% 0.8% % 5.38% 0.00% % -0.43%.6% % 28.48% 3.7% % -4.03%.54% % 3.9% 3.4% %.29% 3.66% % -5.38%.77% % 0.07% 2.43% Aritm. primr 9.73% 4.50%.58% Gom.primr 6.70%.6%.08% Štandardná odchýlka 3.0% 9.40% 2.42% Maximum 33.07% 28.48% 6.26% Minimum -3.82% -0.43% -4.65%.2. Úloha archimdovského ciľového programovania Pri výpočtoch charaktristík aktív v tab.3 mali ročné hodnoty z konca 20. storočia vyšši váhy t.j. vyššiu významnosť ako hodnoty za dsaťročia zo začiatku storočia, ktoré prdstavujú ovľa dlhši sldované obdobi. Tnto problém možno rišiť takým spôsobom, kd sa každému výnosu priradí určitá váha λ t (t =, 2,... 20), t.j. významnosť, akou sa podiľajú pri výpočt aritmtického primru a štandardnj odchýlky. Tito budú prdstavovať ciľové hodnoty pr každé aktívum, ktoré j žiadúc dosiahnuť čo možno najprsnjši. Takto ponímanú úlohu ciľového programovania možno zapísať v nasldujúcom tvar za podminok 20 t= r min 2 i= + 3 j= d + + ij dij, (.) 0 0 jt. λ t (0,0.y j ) ( dj - dj ) yj, j =,2,3 (.2) / t( r jt rjt. t) (0,0.y ) ( d 2j 2j - d + λ λ + 2j ) = y2j j =,2,3 (.3) t= t= = λ t 0,05, t =, 2,...,20 (.4) 6

7 7 20 t= λ t = (.5) dij +, dij 0, i =,2; j =,2,3 (.6) pričom zložky λ až λ t, označujú váhy jdnotlivých t-tych dsaťročných rsp. po roku 990 ročných výnosov aktív, t =,2,... 20, r jt j výnos j-tho typu aktíva, j =,2,3 v t-tom období, 20 t= rjt. λt j hodnota primrného výnosu j-tho typu aktíva, y 0 j pr j =,2,3, prdstavuj 0 hodnotu aritmtického primru j-tho typu aktíva, y 2j pr j =,2,3, prdstavuj hodnotu štandardnj odchýlky j-tho aktíva. Prvky vktorov y 0 i, y 0 2i prdstavujú ciľové hodnoty, charaktrizujúc j-t aktívum. Takto zapísané odchýlkové prmnné d + + j a d 2j rprzntujú prcntuáln - -- prkročni j-tj ciľovj hodnoty a odchýlkové prmnné d j a d 2j rprzntujú prcntuáln nsplnni j-tho ciľa (Mlynarovič,998). Potom účlová funkcia (.) j súčtom prcntuálnych odchýlkových prmnných od vštkých ciľových hodnôt a vyjadruj kumulatívn prcntuáln ndosiahnuti týchto hodnôt. Idáln by bolo, kby optimálnmu rišniu pr vktor váh λ * =(λ,...,λ t ) zodpovdali nulové odchýlkové prmnné, prto ohraničnia (.2) (.4) sú v tvar =, tzn. hľadám také optimáln rišni λ *, pr ktoré sa vypočítané hodnoty aritmtického primru a štandardnj odchýlky budú rovnať práv uvádzaným charaktristikám v publikácii E.Dimsona, P.Marsha a M.Stautona (200). Podminka (.4) vyjadruj stav, kď váha (významnosť) jdnotlivého výnosu nsmi byť mnšia ako /0 v 0 ročnom sldovanom období. Podminka (.6) vyjadruj nzápornosť odchýlkových prmnných, kďž mrajú ndosiahnuti ciľovj hodnoty. Na rišni úlohy bol použitý analytický nástroj Solvr z tabuľkového procsora MS Excl. V čom j prínos úlohy ciľového programovania (.) (.6)? Ak nzohľadním význam, akou váhou sa jdnotlivé dsaťročné či ročné hodnoty výnosov aktív za jdnotlivé katgóri aktív podiľajú pri výpočt ich aritmtického primru a štandardnj odchýlky výnosov, potom tito hodnoty môžm za vštky sldované krajiny nájsť v Príloh A, albo pr USA v tab.3 na str. 6. Napríklad vim konštatovať, ž primrný výnos akcií, obligácií a pokladničných poukážok v USA vypočítaný týmto spôsobom j jdnotlivo 9,726%, 4,497% a,585%. Tito hodnoty sú nadhodnotné oproti skutočným hodnotám primrných výnosov 8,7%, 2,% a,2% akcií, obligácii a poukážok v prcntuálnom vyjadrní o,796%, 4,2% a 32,0674%. Naopak štandardné odchýlky výnosov počítané týmto spôsobom (3,03%, 9,396% a 2,42% za jdnotlivú katgóriu aktív) sú podhodnotné oproti skutočným hodnotám (20,4%, 9,9% a 4,9%) o 35,770%, 5,093% a 50,584% prcnt za každú skupinu aktív. Súčt prcntuálnych odchýlkových prmnných pr vštky druhy aktív v USA dosiahol hodnotu 249,434. Primrné výnosy jdnotlivých aktív napríklad pr USA počítané s vktorom významnosti λ * dosiahli skutočné hodnoty primrných výnosov, až na primrný výnos akcií, ktorý bol nadhodnotný o 2,8.0-6 prcnt, čo j pomrn zandbatľná odchýlka.

8 Štandardné odchýlky výnosov aktív v USA pri zohľadnní vktora váh boli v prípad akcií podhodnotné o 43,20%, v prípad obligácií sa dosiahla skutočná hodnota 9,9% a štandardná odchýlka pokladničných poukážok sa ndosiahla o 7,944 prcnt. Kumulatívna prcntuálna hodnota ndosiahnutia skutočných charaktristických hodnôt za vštky aktíva v USA po zohľadnní dôlžitosti jdnotlivých období j 6,56 prcnt, čím sm sa priblížili k skutočným hodnotám o viac ako ¾ (z 249,434 na 6,56%) oproti pôvodnému spôsobu výpočtu, čím sa určit posilnia aj nami získané závry. Korlačné koficinty mdzi výnosmi aktív s vypočítanými váhami za USA sú nasldovné: mdzi akciami a obligáciami 0,845, mdzi akciami a pokladničnými poukážkami 0, a mdzi obligáciami a pokladničnými poukážkami 0, Porovnaním s hodnotami 0,524, 0,35264 a 0,43787 počítaných z údajov tab.3 bz ich zohľadnnia dôlžitosti zisťujm značné rozdily, ktoré v končnom dôsldku by mohli byť zdrojom skrslnia informácií o aktívach..3. Výbr portfólia v pristor primru a rozptylu Pri všobcnj formulácii Markowitzovj úlohy výbru portfólia v pristor očakávaného výnosu a rozptylu výnosov (Markowitz, 952, 99), t.j portfólia typu primr rozptyl, použijm nasldujúc označni: w bud stĺpcový vktor zložik w,..., w n, ktoré označujú podil (váhu) alokujúci do i-tho aktíva v portfóliu, i =,2,..., n. Súčt týchto váh j rovný ; j stĺpcový vktor, ktorý obsahuj n jdnotik, a horný indx T označuj transponovani vktora albo matic. E j stĺpcový vktor očakávaných výnosov E,...,E n jdnotlivých aktív, pričom sa prdpokladá, ž ni vštky prvky vktora E sú navzájom rovné, C j kovariančná matica typu n n s prvkami σ ij, i,j =,2,...,n. Prdpokladá sa, ž matica C j rgulárna, C j symtrická a kladn dfinitná (vyplýva zo skutočnosti, ž rozptyly rizikových aktív sú kladné). Pr dané portfólio P jho rozptyl označujm symbolom σ 2 P a j rovný w T.C.w a očakávaný výnos portfólia označný E P j rovný w T.E. V súlad s Markowitzovou formuláciou možno úlohu výbru portfólia P s ciľom dosiahnút stanovný očakávaný výnos E P s čo možno najmnším rizikom zapísať v tvar za podminok min σ 2 P = w T.C.w (.7) w T. = (.8) w T.E = E P (.9) Úloha (.7) minimalizuj rozptyl výnosov portfólia pri dvoch ohraničniach:. súčt váh portfólia musí byť rovný jdnj (ohranični (.8)), čo znamná, ž prinvstované clého bohatstvo 2. ohraničujúca podminka (.9) idntifikuj portfólio, ktoré musí dosiahnúť očakávaný výnos na stanovnj úrovni E P Rozptyl akéhokoľvk portfólia s minimálnym rozptylom pr daný očakávaný výnos E P môžm vypočítať zo vzťahu 8

9 σ 2 P = w T.C.w = [E P ]. A -. [E ] T. C -.C. C - [E ]. A -. E p = = [E P ]. A - E p c - b E p. = [EP ].. 2 a. c b. - b a = a 2b. E + c. E a. c b P = 2 P 2 (.0) V (.0) j vzťah mdzi rozptylom portfólia s minimálnym rozptylom a jho daným očakávaným výnosom E P vyjadrný ako parabola a nazýva sa hranica portfólií s minimálnym rozptylom. V pristor očakávaného výnosu a štandardnj odchýlky j tnto vzťah opísaný ako hyprbola. Horná časť hranic portfólií s minimálnym rozptylom idntifikuj množinu portfólií s najvyšším očakávaným výnosom pr daný rozptyl. Tito portfóliá na nazývajú fktívn portfóliá v pristor očakávaného výnosu a rozptylu. Efktívn portfóliá sú podmnožinou portfólií s minimálnym rozptylom. Uvdné výsldky umožňujú idntifikovať portfólio s globáln minimálnym rozptylom. J to portfólio s najmnším možným rozptylom pr akýkoľvk očakávaný výnos, označný E G, ktorý vypočítam minimalizáciou hodnoty funkci (0) podľa prmnnj E P a dostanm b E P = (.) c Rozptyl tohto portfólia, označný σ G 2, vypočítam dosadním (22) do (2) a dostanm b b a 2. b. + c. σ 2 2 a 2b. EG + c. EG c c G = = = (.2) 2 2 a. c b a. c b c Podobn po dosadní E G z (22) do (20) nájdm váhy portfólia s globáln minimálnym rozptylom, označné w G, w G = C -. [E ] A - c - b b / c C - [ E ] E G - b c = = 2 ( ac b ) 2 C c (.3) 2. Analýza kapitálového trhu za obdobi rokov 900 až Markowitzova úloha výbru portfólia Na opísanom trhu aktív traz skonštruujm hranicu invstičných prílžitostí tak, aby obsahovala také portfólia aktív, ktoré zabzpčujú dosiahnuti požadovaného výnosu pri čo možno najmnšom riziku. Časť tjto hranic, od bodu ktorému zodpovdá portfólio s globáln minimálnym riziko potom, ako j znám s tóri portfólia, tvorí množinu fktívnych portfólií. 9

10 2.2. Hranica množiny invstičných prílžitostí pri možných krátkych prdajoch V tjto časti prdpokladám, ž vštky tri uvažované aktíva, tda akci, obligáci aj poukážky, sú rizikovými aktívami. V tomto prípad možno fktívnu hranicu aproximovať rišním úloh ktoré sa dfinujú ako na Markowitzovom modli výbru portfólia. Z výpočtového hľadiska id tda o rišni séri kvadratického programovania. Umožnni krátkych prdajov znamná, ž invstor si môž jdnotlivé nástroj aj požičiavať, čo z tchnického hľadiska znamná, ž podil takéhoto aktíva v portfóliu j vyjadrný zápornou váhou, rsp. zápornou prcntuálnou hodnotou. Na fktívn zvládnuti rišnia sérií úloh bola využitá procdúra Solvr z tabuľkového prostrdia Excl so špciáln vytvornou VBA procdúrou (Mlynarovič, 200). Niktoré optimáln portfóliá sm opísali v Tab.4 pričom fktívna hranica, ktorú vytvárajú, j ilustrovaná na obr.. Z tabuľky j vidntné, ž pri portfóliách s najnižším rizikom j optimáln invstovať čo najviac do najbzpčnjších aktív t.j. Vládnych pokladničných poukážok a obligácií, pričom modl pri historicky očakávanom výnos okolo % dokonca odporúča zbavovať sa invstícií do akcií. Pri portfóliách s najvyššími výnosmi al aj rizikom naopak j najvhodnjši invstovať čo najviac do akciových inštrumntov a paradoxn aj do pokladničných poukážok, kým pri invstíciách do obligácií sa odporúča zaujať krátku pozíciu. Tab. 4: Vybrané fktívn portfóliá a ich charaktristiky (možné krátk prdaj) Názov portfólia I II III IV V Očakávaný výnos, p.a. 0,8435% 2,50% 5,00% 7,50% 0,00% Riziko mrané štand.odchýlkou, p.a % 4,350% 5,70% 7,549% 9,60% Minimálny výnos (5% hladin. významnosti) -5,92% -4,66% -4,38% -4,92% -5,8% Pravdpodobnosť nkladného výnosu 43,69% 28,27% 9,02% 6,02% 4,90% Pravdpodobnosť pr výnos mnší ako 0% 99,06% 95,77% 80,98% 62,97% 50,00% Pravdpodobnosť pr výnos vyšší ako 20% 0,00% 0,00% 0,43% 4,89% 4,90% Akci -8,59 % 9,38% 56,63% 93,88% 3,3% Aktívum Obligáci 7.26 % -7,06% -49,69% -82,33% -4,96% Pokladničné poukážky 0,02 % 97,68% 93,06% 88,45% 83,83% V tab. 4 j opísaných päť vybraných fktívnych portfólií. Prvé z týchto portfólií j to fktívn portfólio, ktorému zodpovdá (globáln) najmnši možné riziko (so štandardnou odchýlkou 3, % p.a.) a historicky očakávaný výnos 0,63367 % p.a. Na základ údajov z tabuľky vim formulovať nikoľko konštatovaní: Riziko pri vštkých portfóliách s očakávaným výnosom mnším približn ako 8% p.a. bolo vždy vyšši ako očakávaný výnos, al pr portfóliá s očakávaným výnosom vyšším približn ako 8% p.a., riziko rasti pomalším tmpom ako očakávaný výnos. Clková možnosť dosiahnutia straty pr každé vybrané portfólio sa pohybuj približn na úrovni okolo mínus 5% p.a. 0

11 Hranica portfólií s minimálnym rizikom pri možných krátkych prdajoch USA očakávaný výnos,p.a. 6% 4% 2% 0% 8% 6% 4% 2% 0% 0% 2% 4% 6% 8% 0% 2% 4% 6% štandardná odchýlka, p.a. Obr. Pravdpodopnosť dosiahnutia nkladného výnosu postupn klsá s hodnoty 42,54% na 4,90% pr portfólio s očakávaným výnosom 0% p.a. Pravpodopnosť dosiahnuť rálny výnosu, ktorý j mnší ako 0% j u každého portfólia vľmi vysoká. Zárovň žiadn z vybraných portfólií nmá pravdpodobnosť dosiahnuť výnos vyšší ako 20% vyššiu ako 4,9%. Individuálny invstor vo všobcnosti nvyužíva možnosť krátkych prdajov. V tomto prípad však aj portfólio s globáln minimálnym rizikom prdpokladá krátky prdaj akcií, a to do rizika približn 4 %. V štruktúr vštkých portfólií so zvyšovaním rizika stúpa podil akcií a prkvapujúco aj pokladničných poukážok, a v skladb portfólia do záporných hodnôt sa dostáva podil obligácii. Vštky portfóliá od rizika približn 4 % odporúčajú krátky prdaj obligácií, čo zrjm naznačuj, ž dlhodobo dochádzalo k rálnmu poklsu cin indxov obligácií pravdpodobn v dôsldku rastu rálnych úrokových mir. Summary This papr dals with problm of choic optimal portfolio at bas of long-trm historical charactristics of assts. Litratúra. Mlynarovič, V. (998): Modly a mtódy viackritriálnho rozhodovania. Vydavatľstvo Ekonóm. 2. Mlynarovič, V. (200): Finančné invstovani Tóri a aplikáci, IUA EDITION. 3. Dimson, E., P. Marsh and M.Staunton (200): MILLENIUM BOOK II. 0 Yars of Invstmnt Rturns, London Businss School. Ing. Radovan Bťko (btko@dc.uba.sk) Katdra opračného výskumu a konomtri Fakulta hospodárskj informatiky Ekonomická univrzita Dolnozmská csta /b, Bratislava, Slovnska rpublika

12 Růstové křivky v konomtrii Michal R. Črný Růstovými křivkami v tomto článku rozumím křivky, ktré bývají někdy nazývány křivkami sigmoidálními 2. Jsou to křivky, ktré popisují závislost jistého jvu njčastěji na čas, a tato závislost prochází třmi fázmi: fází počátční stagnac, kdy s s časm sldovaná vličina (téměř) nmění, tato fáz j násldována fází růstu, ktrá posléz přchází opět do stagnac (nasycní). Růstové křivky přdstavují důlžitou třídu modlů, pomocí ktrých j možno popisovat řadu procsů z njrůznějších oborů. V biochmii s pomocí růstových křivk modlují procsy růstu počtu mikroorganismů v potravinách a nchá s pomocí nich například studovat zrání piva či sýrů. Biochmická intrprtac j taková, ž po počátčním impulsu, kdy j mikroorganismům vytvořno prostřdí, kd s mohou začít množit (vhodná tplota, ph apod.), obvykl chvíli trvá, něž s růst projví (. fáz), posléz dochází k růstu téměř xponnciálnímu (2. fáz), avšak tnto růst způsobí tvorbu mtabolitů, jjichž přítomnost v prostřdí růst brzdí a tnto růst posléz ustává a počt mikroorganismů s ustálí (3. fáz). Povídání o zrání piva či sýrů zdánlivě npatří do txtu o konomii, avšak popsaný procs biochmický má řadu analogií v procsch konomických a porozumění těmto procsům nám umožní volbu vhodných modlů při vysvětlování konomických jvů. Ostatně, růstové modly historicky vznikaly z potřby biologi a změdělství a řada modlů byla odvozna právě v důsldku této potřby. Jdním z příkladů, ktré popisují obdobný procs, j dynamika poptávky po zboží dlouhodobé spotřby (podrobněji viz [6]). Přdměty dlouhodobé spotřby (např. byty, auta apod.), narozdíl od běžné, rychloobrátkové spotřby, obvykl vyžadují vlkou počátční invstici, ktrá s postupně běhm poměrně dlouhé doby spotřbovává. 3 Budm-li zkoumat individuální poptávku po přdmětch dlouhodobé spotřby, shldám, ž po počátčním růstu této poptávky dojd k rlativnímu nasycní, ktré trvá dlouhou dobu, a dochází jn k výdajům na rprodukci. Individuální vybavnost přdměty dlouhodobé spotřby tak dlší dobu stagnuj. Podobný trnd lz pozorovat i u poptávky většího počtu subjktů po přdmětch dlouhodobé spotřby, ktré s nově uvádějí na trh. Po uvdní na trh obvykl dojd jisté fázi Fakulta informatiky a statistiky, Vysoká škola konomická Praha; crnym@vs.cz 2 A to i přsto, ž tyto křivky ani zdalka npřipomínají tvar písmn sigma. Písmno sigma můž mít podl kontxtu různý tvar, jako například v slově Σισυϕος, avšak tnto tvar autorovi růstové křivky i přs vškrou snahu nasociuj. 2

13 stagnac k růstu této poptávky, avšak po jisté době s poptávka ustálí na jisté rovnovážné úrovni, ktrá odráží jn nutnost rprodukc přdmětů dlouhodobé spotřby, ktrými jsou již subjkty vybavny. Z uvdných úvah j vidět, ž při prognos a modlování poptávky po přdmětch dlouhodobé spotřby j třba brát v úvahu njn čas, úspory (nboť přdměty dlouhodobé spotřby bývají financovány z úspor či z úvěrů a mají tak povahu invstic), al i takové faktory, jako j vybavnost subjktů těmito přdměty a jjich vývoj v čas. Ruku v ruc s poptávkou po přdmětch dlouhodobé spotřby lz modlovat i poptávku po zdrojích na jjich financování. Příkladm za všchny mohou být hypotéky po uvdní hypoték na trh nastala fáz postupného růstu poptávky po nich, ktrá trvá dosud, a lz do budoucna očkávat, ž s tato poptávka (ndojd-li k zásadní změně podmínk, lgislativy apod.) ustálí na jisté, rovnovážné hladině. Při analýz podobných procsů vždy proti sobě jdou dvě síly. Jdna síla, ať už biologická nbo konomická, působí na růst sldované vličiny, zatímco druhá na jjí pokls. Vzájmný poměr těchto sil pak určuj tmpo růstu a jjich vyrovnávání má za důsldk nalzní tržní či biologické rovnováhy systému. V dalším txtu používám t jako nzávisl proměnnou (ktrá v drtivé většině případů rprsntuj čas). Dál označm f(t) nbo jn f objm sldované vličiny (objm poptávky po zboží dlouhodobé spotřby, objm poptávky po hypotékách apod.) v čas t. Funkc f můž mít mnoho podob a můž závist na řadě paramtrů, ktré xplicitně uvdm jako argumnty funkc podl kontxtu. My funkci f zd budm přdpokládat jn to, ž jjím dfiničním oborm j rálný intrval (omzný či nomzný) a ž j na svém dfiniční oboru difrncovatlná podl t. Obcně lz popsané procsy modlovat funkcmi, ktré jsou řšním rovnic typu df dt = g( f )(() h a h( f )), () kd g a h jsou rostoucí spojité funkc splňující g(0) = 0 a h(0) = 0 a a j konstanta, ktrá určuj stav nasycní. Rovnic popisuj situaci, kdy tmpo růstu vysvětlované vličiny f j úměrné aktuální hodnotě vličiny f ( typ této úměry popisuj funkc g) a kdybychom místo výrazu h(a) f(a) psali v () jn a f, bylo by tmpo růstu úměrné tomu, kolik jště zbývá vličině f k dosažní nasycné úrovně a. Rovnic () j poněkud obcnější; v ní použitou funkci h můžm nazvat užitkovou funkcí, ktrá (nějak) kvantifikuj užitk z toho, ž 3 V podnikovém účtnictví s tato dlouhodobá spotřba zachycuj pomocí odpisů dlouhodobého majtku. 3

14 sldovaná vličina má aktuální hodnotu f. Výraz h(a) h( f ) pak popisuj rozdíl mzi užitkm z aktuální výš vličiny f a užitkm, ktrého má být dosažno při nasycní. J zřjmé, ž požadavk, aby funkc užitku h byla spojitá, rostoucí a splňovala h(0) = 0 zaručuj, ž bud-li s hodnota f blížit k hodnotě, kdy nastává nasycní, půjd tmpo růstu df/dt k nul a hodnota f bud konvrgovat k rovnovážnému stavu (nasycní). Dobř známý logistický modl a Ltabk (,,, )= + b kt (2) j (po obvyklé paramtrisaci) řšním rovnic () pro g( f ) = f a h( f ) = f. V roc 938 von Brtalanffy studoval a jsm opět u biologi modl růstu změdělských zvířat. Uvažoval tak, ž přírůstk biologické hmoty rost s jistou mocninou hmotnosti zvířt a proti tomu linárně ubývá. Ekonomicky zní takový modl možná jště přirozněji. Aktuální poptávka f na jdné straně indukuj další, dodatčnou poptávku. Přdstavm si například trh s mobilními tlfony po uvdní na trh s postupně rozšiřují zprávy o kvalitách nového tlfonu, lidé si jj doporučují mzi sbou a lavinovitě tak indukují další poptávku po tlfonu. Na druhé straně ovšm, jak dochází k nasycní trhu, proti počátčnímu dynamickému nárůstu začn působit pozvolný, linární trnd rprsntující nasycní, ktrý růst poptávky brzdí. Tuto situaci popisuj rovnic df dt d = uf vf, (3) kd d, u a v jsou konstanty. Von Brtalanffy uvažoval pouz 0 < d <. Empiricky odhadl hodnotu xponntu d na 2/3. Při fixaci d = 2/3 a obvyklé paramtrisaci pak má jho modl tvar Bt (, a, kl,) a( kx ( l ) = ). (4) 3 Násldující obrázk pro ilustraci ukazuj srovnání funkcí f 2/3 a f. J z něj vidět, jak od nuly rost kladný čln f 2/3 v (3) rychlji nž záporný čln f. 4

15 Fixac paramtru d = 2/3 ovšm nmůž být uspokojivá. Vyjděm nyní z modlu (3), kd paramtr d nbudm považovat za fixní. Položm na modl (3) přiroznou podmínku, aby v okamžiku nasycní (tj. f = a) bylo tmpo růstu rovno nul: df dt = 0 při f = a. (5) Dosazní (5) do (3) dává d d d 0 = uf vf = ua va = a( ua v ) a jlikož j rozumné přdpokládat, aby úrovň nasycní a byla ostř větší nž nula, dostávám Modl (3) pak dává d ua v = 0 a tudíž v = ua d. df dt d d d d d f = uf vf = uf ua f = ua f ( ). d a Rozšířím-li posldní výraz zlomkm ( d)/( d), dostanm po substituci k = ua d ( d) tvar df dt = ua d ( d ) f d d d d f a kd f f a kd f a = d = ( ). f Posldní rovnici už vyřším snadno. Paramtr d musí být nnulový; vyštřm například d d >. Substituc y = f a d dává dy dt d df = ( d) f a po úpravě dt df dt = d dy f dt d. d d Dosadím-li tuto substituci do (6) spolu s vyjádřním a = f y, dostanm d d dy f dt d kd f f y k f d f d y d = = (6) a rovnic tak přchází do jdnoduchého tvaru d y = ky, jjímž řšním j y = kt ( l). Po dt dosazní do substituc dostávám tzv. Richardsovu křivku d k( t l) d f = ( a + ). (7) d Obdobně bychom postupovali v případě d < ; použili bychom substituci y = a f dospěli bychom k tvaru Richardsovy křivky d a 5

16 Oba tvary (7) a (8) lz rparamtrisovat do jdnotného tvaru d k( t l) d f = ( a ). (8) Rtad kc a d kt ( c ) d (,,,,) = ( + ( ) ), (9) ktrý s užívá njčastěji. Richardsova křivka má tu obrovskou výhodu, ž v sobě obsahuj logistickou křivku (2) jako podmodl pro d = 2, von Brtalanffyho modl pro d = 2/3 a známou Gomprtzovu křivku jako limitní podmodl pro d. Tato obcnost j značnou výhodou, protož zaručuj značnou pružnost Richardsovy křivky a umožňuj spojovat výhody jdnotlivých podmodlů. Logistická křivka například často nvyhovuj praktickým aplikacím díky tomu, ž j symtrická kolm své inflx. Násldující obrázk ukazuj tvar Richardsovy křivky R(t,, d, 3, 4) odlva doprava pro d = 5, d = 4, d = 3, d = 2 (logistická křivka), d (Gomprtzova křivka) a d = 2/3 (von Brtalanffyho křivka; body mimo dfiniční obor (9) jsou doplněny nulou). Stjně jako v případě řady dalších nlinárních modlů nám dává jjich odvozní jako řšní difrnciální rovnic popisující konkrétní situaci porozumět podstatě této křivky a tudíž i mz jjího použití. Budm-li modlovat konomický procs, j njprv třba zhodnotit, zdali výchozí přdpoklady použité pro konstrukci tohoto modlu, tdy rovnic (3), můž dostatčně popsat danou konomickou ralitu. Připomňm, ž rovnic (3) popisovala situaci, kdy na tmpo růstu sldované vličiny proti sobě působí dvě síly jdna dynamická s xponnciálním faktorm d a proti ní pozvolná, linární síla, ktrá procs tlumí. Pokud by taková intrprtac dané konomické situac byla příliš rduktivní, těžko můž Richardsův modl (a jho zmiňované podmodly, jako křivka logistická či Gomprtzova) při modlování tohoto procsu uspět. V takové situaci by ovšm bylo možno například sutudovat modly složitější, například zobcnění modlu (3) do tvaru 6

17 df dt d = uf vf d2. Vlkou výhodou nlinárních modlů oproti linárním bývá dobrá intrprtac významu jdnotlivých paramtrů. Význam paramtrů nám dává informaci o chování konomického procsu (např. délka počátční stagnac, tmpo růstu, inflx a maximum tmpa růstu, horní asymptota úrovň nasycní, konc fáz růstu a počátk fáz stability). Podrobnou analýzu uvádí např. Hlubinka [3]. Z prax j dobř známo, ž při odhadu paramtrů nlinárních modlů pomocí itračních mtod (njčastěji nlinárních njmnších čtvrců) hrají podstatnou roli jjich počátční odhady. Kvalitní počátční odhady lz stanovit z pozorovaných dat právě díky názornému významu paramtrů. Odhady paramtrů Richardsovy křivky lz samozřjmě použít i při odhadu paramtrů jjích podmodlů. Z výrazu (9) j zřjmé, ž paramtr a j bodm nasycní (horní asymptotou) a paramtr c křivku pouz posouvá. J třba upozornit, ž tvar (9) má v případě d < omzný dfiniční obor j-li k kladné, křivka (9) j dfinována pouz pro t c + ln( d)/k a j-li k záporné, pouz pro t c ln( d)/k. Tato skutčnost komplikuj situaci při numrické minimalisaci kritriální funkc při prokládání křivky daty, nboť dostan-li s itrační procs blízko okraji dfiničního oboru, můž s stát, ž běhm několika dalších kroků s část pozorování octn mimo dfiniční obor, což má zpravidla za násldk divrgnci itračního procsu. Nastiňm krátc význam paramtrů. Richardsova křivka rost, j-li (a) d > a k > 0 nbo (b) d < a k > 0. Případ (a) j njtypičtější; jjí limita v j 0 a limita v + j a. V tomto případě křivka modluj jak první fázi stagnac, tak i růst a konvrgnci procsu k rovnováz. Často s přípustný obor paramtrů přímo takto omzuj. V případě (b) křivka sic též rost, avšak limita v ndává dobrý smysl díky omznému dfiničnímu oboru. Richardsova křivka j pak schopna modlovat pouz část růstové fáz a finální konvrgnci k rovnovážnému stavu. Pro konomické aplikac s njvíc hodí případ (a); budm proto uvažovat jn jj. Bod c j bodm inflx. Pokud bychom do (9) dosadili t = c, obdržím hodnotu ad d d. Proto poměr ad : d a =d popisuj poměr bodu nasycní ku inflxi (tj. úrovni sldované vličiny, kdy j jjí růst njrychljší). Pomocí tohoto poměru říkjm mu poměr asymtri lz tdy usuzovat na míru nsymtri Richardsovy křivky kolm inflx. Funkc d d nabývá hodnoty 7

18 /2 pro d = 2; to j Richardsova křivka symtrická a přchází v logistickou křivku. Poměru asymtri lz využít k počátčnímu odhadu hodnoty paramtru d z dat; sofistikovanější postup navrhuj Hlubinka [3]. Míru asymtri lz kromě poměru asymtri měřit i mnoha jinými způsoby, například jako T 0 a R( c + t) R( c t) dt, kd T j dostatčně vlká konstanta (příp. lz uvážit T ) a píšm pouz R( ), přičmž ostatní paramtry považujm za konstantní. Jistým problémm j intrprtac paramtru d. Jak jsm uvdli, hraj roli v míř asymtri Richardsovy křivky. V praxi s osvědčuj, j-li jako počátční odhad zvolna hodnota d = 2, kdy j Richardsova křivka symtrická (j to d facto logistická křivka), a nchat jj běhm itračního postupu upravovat. Na druhou stranu lz ovšm očkávat, ž paramtr d bud při numrickém odhadu činit njvětší potíž, nboť j njvíc nlinární. Obcně lz problémy, ktré s odhadm paramtrů nlinárních modlů vyvstávají v praxi, ukazuj násldující obrázk. J zd zachycn vrstvnicový graf, jak můž vypadat graf kritriální funkc i( yi R( t i, a, d, k, c)) 2, kd dvojic (y i, t i ) jsou pozorovaná data, v průběhu jjí numrické minimalisac. V grafu j zachycna závislost hodnot kritriální funkc (tmavé oblasti označují mnší, světlé oblasti větší hodnoty) na hodnotách dvou paramtrů Richardsovy křivky (vodorovná a svislá osa), přičmž ostatní paramtry jsou považovány za konstantní. V obrázku j zachycn křížk, ktrý ukazuj, jak s numrický minimalisační algoritmus přibližuj k jdnomu z lokálních minim, ktré j označno njpravější šipkou; prostřdní šipka ukazuj sdlový bod a njlvější šipka ukazuj na oblast divrgnc, rokli na grafu funkc. Obrázk ukazuj, jak obtížné můž být nalzní globálního minima kritriální funkc 8

19 růstového modlu a jak významnou roli hraj počátční odhad hodnot paramtrů z dat. Jak j vidět, zatímco z linárních modlů jsm zvyklí, ž kritriální funkc má tvar paraboloidu, v případě nlinárních modlů můž být tvar vlmi komplikovaný. Význam paramtru k zjistím, budm-li zkoumat hodnotu maxima drivac Richardsovy křivky. Hodnota drivac Richardsovy křivky v inflxi j akd ; budm-li uvažovat na chvíli a =, pak paramtr k popisuj, kolikrát j maximální tmpo růstu vyšší nž poměr asymtri. Této intrprtac lz s výhodou využít i při stanovování počátčních odhadů paramtrů při prokládání křivk daty pomocí numrických mtod. Poznámka. V praxi s stkávám s problémm, jak poměřovat různé křivky co do tmpa jjich růstu. Takové poměřování bývá součástí rozhodování, ktrý z několika různých modlů-kandidátů, ktré s jví jako vhodné, nakonc bud použit. Problém j v tom, ž různé křivky mívají různý tvar a prosté porovnání hodnot jjich drivací v daném bodě t nmusí o clém průběhu křivky nic spolhlivého vypovídat. Dobrým měřítkm můž být průměrné tmpo růstu zavdné například jako d a a d 0 f f dt d. V případě Richardsovy křivky j průměrné tmpo růstu k/(2d + 2). Podrobnější analýzu a srovnání různých typů křivk a jjich průměrného tmpa růstu viz []. Konkrétní algoritmické postupy, jjich silné a slabé stránky při prokládání konkrétních dat růstovými křivkami, zd ndiskutujm; čtnář s můž obrátit například na knihu [5]. Úvahy o růstových křivkách v konomii lz dál rozšiřovat a prohlubovat. Lz například uvažovat růstové modly s víc nž jdnou inflxí takové modly popisují situac, kdy po první fázi růstu dochází k (krátkému) utlumní či stagnaci a pak růstový procs opět nabírá svoji dynamiku. V těchto situacích lz uvážit například modly, ktré popisují každou z obou růstových fází oddělně, použít součtů dvou růstových křivk s různými inflxmi či další zobcnění standardních křivk. 4 Poznámka. Jako přirozné zobcnění logistické křivky (3) lz uvažovat například a Ltab (,,, k, b2, k2) = + kt b + b kt Zajímavý výzkum na toto téma provdl přdsda Čské statistické spolčnosti prof. Jaromír Antoch. Pomocí zobcněných růstových křivk s víc inflxmi modloval například závislost výšky lidí na jjich věku. Existuj i zajímavá diplomová prác MFF UK na toto téma; patrně však díky povodním, ktré postihly knihovnu MFF UK v Praz-Karlíně, s ji autorovi tohoto txtu npodařilo dohldat. 9

20 Popsaný způsob odvozní a použití růstových křivk v konomii samozřjmě nní jdiný možný. Sama s nabízí možnost používat jako růstové křivky různě transformované distribuční funkc všch možných pravděpodobnostních rozložní a využívat tak známých vlastností, jako j jjich šikmost, špičatost apod. k úpravě jjich tvaru. Distribuční funkc obvyklých rozložní ovšm mívají tu nvýhodu, ž to často njsou lmntární funkc a j třba pak používat různých aproximací. Tnto přístup s však o přístupu diskutovaného v minulém txtu značně liší již díky intrprtaci takto získaných křivk. Modly Richardsovy, von Brtalanffyho, Gomprtzův a další vycházjí z procsu popsaného jistou difrnciální rovnicí a snažím-li s vysvětlit nějaký konomický jv, měli bychom njprv zvážit, zdali tnto jv j principiálně možné alspoň za nějakého zjdnodušní intrprtovat jako procs modlovaný příslušnou difrnciální rovnicí. Pokud bychom pouz našli šikovnou křivku, avšak jjí smysl daný jjím odvozním by námi vysvětlovanému procsu odporoval, těžko bychom pak mohli považovat takové vysvětlní za uspokojivé. Nní stoprocntním cílm nalzní křivky, ktrá by co njtěsněji prokládala pozorovaná data; ostatně, mám-li n pozorování vličiny f naměřných v různých časových okamžicích, mohli bychom závislost f modlovat polynomm (n )-ního stupně a dosáhli bychom stoprocntní úspěšnosti. Avšak co bychom pak vlastně vysvětlili? Litratura [] Sbr, G. A. F. Wild, C. J.: Nonlinar Rgrssion. Wily, Nw York 988 [2] Ratkowski, D. A.: Nonlinar Rgrssion Modlling. Dkkr, Nw York 983 [3] Hlubinka, D.: Mtody prokládání křivk s použitím na rálných datch. In: Robust 98 (sborník). Jdnota čských matmatiků a fyziků, Praha 998, str [4] Monahan, J. F.: Numrical Mthods of Statistics. Cambridg Univrsity Prss, 200 [5] Antoch, J. Črný, M. R. Máša, P.: Nlinární modly v mikrobiologii. Výzkumná zpráva, Výzkumný ústav mlékárnský, Tábor 999 [6] Hušk, R. Plikán, J.: Aplikovaná konomtri tori a prax. Profssional Publishing, Praha

21 Enrgtická funkcia Hopfildovj nurónovj sit pri rišní úlohy o obchodnom cstujúcom Zuzana Čičková, Marian Riff.ÚLOHA O OBCHODNOM CESTUJÚCOM (TSP) Prdpokladajm, ž mám graf G s n uzlami a h hranami. Ak sú jdnotlivým hranám grafu priradné ohodnotnia c i,j, môžm formulovať úlohu obchodného cstujúcho. Za úlohu obchodného cstujúcho považujm dopravný problém s obmdzniami:. aby obchodný cstujúci navštívil každé msto práv raz, 2. vzdialnosť, ktorú musí prjsť bola minimálna (prípustnosť rišnia j potom daná nájdním Hamiltonovskj kružnic). Kďž úloha o obchodnom cstujúcom patrí mdzi tzv. NP-hard úlohy (čas známych najlpších mtód pr rišni týchto úloh rasti xponnciáln s vľkosťou problému), v cntr pozornosti aj naďalj zostávajú huristické mtódy. 2.NEURÓNOVÉ SIETE Nurónové sit, tak ako ich poznám dns, sú výsldkom súbžného vývoja v oblasti modlovania nurobiologických systémov a v oblasti tchnických aplikácií. Štruktúrou a procsmi napodobňujú skutočné nurónové sit, ktoré sú súčasťou nrvovj sústavy človka. Súčasti nurónovj sit:. modl štruktúry nurónovj sit tzv. architktúra sit, 2. modl vlastností prvkov sit (nurónov) a väzib mdzi nimi ( synapsi), 3. modl prnosu signálu, 4. modl prnosu učnia. () až (4) j potrbné popísať matmaticky a výpočtovo ralizovať (simulátor nurónových sití) 3. RIEŠENIE TSP POMOCOU NEURÓNOVÝCH SIETÍ 2

22 Pri rišní úlohy o obchodnom cstujúcom použitím nurónových sití j potrbné: a. popísať štruktúru nurónovj sit, b. dfinovať nrgtickú funkciu sit (na vyštrni stability sit), c. nájsť maticu váh prpojní tak, aby sa nrgia sit vždy pri zmn jj stavu znížila. a. Úplnú dopravnú siť môžm popísať na tzv. Hopfildovj siti s n 2 nurónmi (jdnotlivé mstá prdstavujú nuróny a prpojnia mdzi mstami rprzntujú synapsi, nuróny sú duáln t.j. vstupné aj výstupné zárovň). b. Zavďm sústavu binárnych prmnných: v xi =, ak msto x j i-tym mstom na tras obchodného cstujúcho v xi = 0, inak a nch d xy rprzntuj vzdialnosť mdzi mstami x a y Potom napr. trasu A-C-D-B môžm popísať takto: A B C D Enrgtická funkcia nurónovj sit bud potom funkciou prmnných v xi Určím: - pnál za to, ak by msto bolo navštívné viackrát: a E = A n n n v xi v 2 xj x= i= j=, j i - pnál za to, ak by na tom istom kroku bolo navštívné viac ako jdno msto: B n n n E b = v v 2 i = x = y =, y x xi yi - pnál za to, ak by trasa obsahovala viac ako n mist: c E C n n = v n 2 x = i = xi 2 22

23 - pnál za to, ak by nájdná trasa nbola najkratšou trasou: d D n n n E = d xy v ( v, + v, ) 2 x = i = y =, y x xi y i+ y i pričom: d xy v xi ( v, +, ) y i+ v = y i d xy, ak msto y j na tras prd albo za mstom x d xy v xi ( v, + v, ) = 0, inak y i+ y i Potom pr skôr uvdný príklad s 5-timi mstami dostanm : V $!#!" V V A! $!#!" B4! $!#!" C2! $!#!" V D3! d AB + d AC + d BA + d BD + d CD + d CA + d DB + d DC Rišni j optimáln ak funkcia E = E a + E b + E c + E d nadobúda svoj minimum, pričom A, B, C, D sú konštanty gnrované mtódou pokusov a omylov. c. Enrgtická funkcia Hopfildovj sit pri maticovom číslovaní nurónov vyzrá nasldovn: n n n n n n E Hop = - w v v + Ο v 2 i = j = k ij = l = ij, kl kl i = j = ij ij Prpíšm funkciu E v tvar kvivalntnom funkcii E Hop : n n n n n n E = - w v v + Ο v 2 i = x = y =, y x j =, j i xi, yj xi yj i = x = xj xj kd w xi, yj = Aδ xy( δ ij ) Bδ ij ( δ xy ) C Dd xy ( δ, + δ, ) j i+ j i O xi = Cn 4. ALGORITMUS PRE TSP k : Priradni váh prpojniam a nastavni prahov nurónov: w xi, yj = Aδ xy( δ ij ) Bδ ij ( δ xy ) C Dd xy ( δ, +, ) j i δ + j i O xi = Cn A,B,C,D sú zvolné paramtr sit (sú mnitľné). 23

24 k2: Inicializácia: náhodn nastaviť hodnoty nurónov u xi (0) hodnotou z intrvalu 0, tak, n n aby v n x i xi (0) = = = k3: Simulácia pokiaľ siť nskonvrgovala (tda jj stav sa nmní) - možným problémom j zacyklni sit k4:opakovani od k2: Ak došlo k zacyklniu sit, j potrbný nový výpočt začínajúci nastavním nových počiatočných hodnôt u xi (0) albo začať znova od k a nastaviť nové paramtr A,B,C,D. Summary In this papr w prsnt Hopfild Nural Ntwork as way to solv Travlling Salsman Problm. Such Nural Nts ar suitd in principl to that problm, bcaus thy minimiz an nrgy function, w prsnt how this optimization problm's objctiv to nrgy function can b mappd. Litratúra Sinčák,P.,Andrjková,G.: Nurónové sit (Inžinirsky prístup).dil.lfa s.r.o.,košic, Autor Ing. Zuzana Čičková, EU FHI KOVE Bratislava, cickova@uba.sk Ing. Marian Riff, EU FHI KOVE Bratislava, riff@uba.sk Rcnznt doc. Ing. Ivan Brzina, CSc., EU FHI KOVE Bratislava, brzina@dc.uba.sk 24

25 Kritický řtěz omzní kontraproduktivních projktových zákonů Jiří Doljší V podstatě již od začátku sofistikovanějšího vývoj mtod řízní projktů v 50. ltch 20. stoltí, tj. v době vzniku mtody kritické csty CPM, ktrá byla poprvé využita armádou USA při vývoji nové řady amrických ponork jako odpovědi na jadrný arznál thdjšího SSSR [4], s při zpětných vyhodnocních úspěšnosti ralizovaných projktů často narazilo, n-li na všchny, tak alspoň na jdn z násldujících problémů []: - Projkty většinou nkončí v přdm plánovaném čas, natož dřív ; - Často j nutné řšit konflikty zdrojů; - Dochází k přkračování rozpočtů; - Někdy ndošlo ani k splnění původního záměru projktu. Příčinu těchto núspěchů lz v většině případů nalézt v oblasti řízní a plánování projktů, kdy jako základní chybný přdpoklad bylo bráno dtrministické chápání všch prvků projktu, namísto uvažování o jjich skutčném stochastického původu. Právě určitý stupň njistoty v odhadch, ktré s v fázi plánování projktu podíljí na stanovování trmínů, plánování potřbných zdrojů a rozpočtu, má původ v principch chování lidských zdrojů, ktré vycházjí jak z podstaty lidstva, tak i z xistujících pracovních podmínk. Tyto principy, s ktrými musí projktový managmnt počítat a snažit s j liminovat, s dají popsat těmito třmi kontraproduktivními projktovými zákony : Parkinsonův projktový zákon: Činnost trvá njméně tak dlouho, jak dlouhý má přidělný časový intrval Murphyho projktový zákon: Vždy s něco pokazí Studntův syndrom zdroj mají tndnci zahajovat projktovou činnost na posldní chvíli. Postup, jak v projktovém řízní již při sstavování plánu zohldnit tyto rušivé faktory, uvdl v roc 997 Dr. Eliyahu Goldratt prostřdnictvím své knihy Critical Chain. Tato mtoda kritického řtězu, ktrá vznikla na základě dlouholtých zkušností xprtů projktového řízní, ktří pracovali pro Avraham Y. Goldratt Institut (AGI), na rozdíl od CPM zohldňuj kromě závislostí mzi činnostmi také hldisko dostupnosti lidských zdrojů, tj. zohldňuj fakt, ž lidé musí také pracovat jště na jiné činnosti (běžná oprativa, nbo jiný projkt) a hlavně j v této mtodě jiným způsobm nakládáno s rzrvami v projktu. 25

26 V klasické mtodě kritické csty s délka trvání činnosti, ktrá j statistickou vličinou s bta rozdělním, stanovuj s 85-95% pravděpodobností splnění. To znamná, ž každá takto odhadovaná doba potřbná pro provdní činnosti v sobě obsahuj jistou skrytou rzrvu. Jlikož j provádění této činnosti na zodpovědnosti určného pracovníka nbo týmu, j tímto torticky v každé činnosti vytvořno prostřdí pro působní Parkinsonova projktového zákonu a pokud vyvstanou navíc nějaké přdm npřdvídané přkážky v plnění (Murphyho zákon), dochází tak k zpoždění, ktré pokud jd o činnost na kritické cstě, můž zapříčinit až ndodržní trmínu splnění clého projktu. Takto odhadovaná bzpčná délka doby splnění úkolu můž někdy obsahovat až dvakrát či třikrát dlší skrytou rzrvu nž j skutčná potřbná doba pro provdní činnosti [4]. Obr. Odhad délky doby trvání činností (Bta rozdělní); Zdroj [3] Mtoda kritického řtězu pracuj jn s tzv. njpravděpodobnější délkou trvání činnosti, tj. s 50% odhadm, kdy v polovině případů skončí činnost přd odhadnutým trmínm. Jak j al zřjmé, takto sstavný plán projktu má podstatně nižší šanci na včasné dokonční a proto j rozdíl mzi takto stanovnou dobou a odhadm doby trvání v mtodě CPM, tj. již zmiňovaní skrytá rzrva, akumulován za všchny činnosti a v podobě tzv. nárazníku (buffr) vložn na konc clého projktu. Při využití statistického pravidla ohldně odchylk Odchylka clku j podstatně mnší nž součt odchylk jho jdnotlivých částí [4] můž být takto vytvořný časový nárazník rzrv clého projktu zhruba v vlikosti poloviny součtu rzrv, ktré jsou běžně použity v mtodě kritické csty. Případná zpoždění 26

27 jdnotlivých činností (s ohldm na 50% odhady j zpoždění běžná situac) posouvají aktuální konc projktu v čas a dochází tak k průniku do nárazníku projktu. Stav poškozní nárazníku projktu j tak jdním z základních ukazatlů o stavu vývoj projktu, podl ktrého s řídí chování njn vdoucího projktu, al clého systému tuto mtodu řízní E. Goldratt označuj jako Buffr Managmnt. V praxi s již také prokázalo, ž pokud j délka činnosti takto stanovna, nní již taková možnost projvní s studntova syndromu, jlikož pracovníci vykonávající danou činnost jsou už od počátku pod dostatčným časovým prsm. J sic možnost črpat časovou rzrvu v nárazníku a to bz jakéhokoliv postihu (k tomu byl přci nárazník vytvořn), avšak zd j rzrva zcla v komptnci vdoucího projktu, ktrý můž určit maximální podíl, ktrý můž opožďující s činnost črpat. Projktový managr má tak v rukou silný nástroj pro fktivní řízní njistoty a rizika v projktu. Obr. 2 Tvorba nárazníku projktu; Zdroj [6] V projktu, ktrý j řízn formou Buffr Managmntu zavádí kritický řtěz vlic účinný a jdnoduchý nástroj pro urční stavu projktu. Postup projktu j určován na základě jdnoduché otázky - Kolik času j potřba k dokonční činnosti? - kladné na zdroj, ktré aktuálně v projktu pracují. Aktualizac průběhu projktu j založna na odpovědi zdroj, tj. odhadovaném zbytkovém času plnění ERD (Estimatd Rmaining Duration) [4]. Při řízní projktu s využívá principu štaftového běžc, kdy jdnotlivé zdroj jsou s určitým přdstihm informováni o blížícím s trmínu zahájní jjich činnosti. Aby s zajistila včasná aktivizac zdrojů na projkt, přidávají s do plánu projktu tzv. Nárazníky zdrojů, což jsou pouz časová znamní, jnž upozorňují na to, aby byl nový zdroj včas upozorněn. Po zahájní prác na projktové činnosti běží co njrychlji a jakmil činnost dokončí, přdají ji 27

28 okamžitě dál bz ohldu na trmín, ktrý odhadovali, ž bud pro splnění potřba - ERD. Tak s mtoda kritického řtězu můž naráz vyhnout jak Parkinsonovu zákonu (nboť zpracovatl činnosti j nustál dotazován, aby upravoval svůj minulý odhad délky trvání) a nní zd ani moc prostoru pro odkládání začátku zpracování úkolu (studntův syndrom). Obr. 3 Odhad zbytkového času (ERD); Zdroj [4] Tím s promítn skutčná dynamičnost v řízní clého projktu, protož pokud ERD umístím od dnška dál, tak další činnosti v řtězci budou posunuty na pozdější začátk, případně dřívější začátk a okamžitě j možno vidět zakousnutí projktu do buffru. Sldování stavu nárazníku projktu j potom zobrazno v Buffr Rportu, ktrý s dívá v projktu dopřdu s znalostí získanou dosavadním průběhm a umožňuj určit dopad dosavadního průběhu na projkt jako clk. Rport funguj také jako varování, co s stan pokud nchám projktu dosavadní průběh. Dál j možné Buffr Rport používat pro analýzy typu Co s stan, když a násldně pro hodnocní dopadu možných problémů nbo opatřní. Mtoda kritického řtězu doporučuj rakc s ohldm na stav črpání projktového nárazníku tak, ž pokud črpání zasahuj až do druhé třtiny, j nutné přmýšlt o případných krocích, ktré mohou násldovat pokud s situac nzlpší. Pokud z clého nárazníku zbývá už jn posldní třtina, j nutné aby vdoucí projktu začal jdnat a provdl hloubkovou analýzu toto črpání. Pokud j tnto průnik do rzrvy skokový, ozval s Murphyho projktový zákon a na něktré z probíhajících činnosti vznikla npřdvídaná událost zbržďující clý projkt. Při pravidlném sldování, například v týdnních intrvalch (zálží na povaz projktu a jho časové jdnotc), Buffr Rport však na tuto událost včas poukáž. Obr. 4 Buffr Rport črpání nárazníku projktu; Zdroj [3] 28