Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petr Otipka Vladislav Šmajstrla"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ /3..5./006 Studijí opory s přev ažujícími distačími prvky pro předm ěty teoretického základu studia. Teto projekt je spoluf iacov á Ev ropským sociálím f odem a státím rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŢITOSTI PRO VŠECHNY

2 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ /3..5./006 Studijí opory s přev ažujícími dist ačími prvky pro předměty teoretického základu studia. Teto projekt je spoluf iacov á Ev ropským sociálím f odem a státím rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŢITOSTI PRO VŠECHNY

3 ISBN

4 OBSAH OBSAH TITULNÍ PŘEDMLUVA. KOMBINATORIKA..... Variace k-té třídy z prvků..... Permutace prvků Kombiace k-té třídy z prvků Řešeé příklady... 9 Úlohy k samostatému řešeí... Výsledky úloh k samostatému řešeí PRAVDĚPODOBNOST JEVŮ Náhodý pokus, áhodý jev Aiomatické zavedeí pravděpodobosti Klasická defiice pravděpodobosti Geometrická pravděpodobost Statistická defiice pravděpodobosti Podmíěá pravděpodobost a ezávislé jevy Úplá pravděpodobost a Bayesova věta Opakovaé pokusy Řešeé úlohy Úlohy k samostatému řešeí... 5 Výsledky úloh k samostatému řešeí NÁHODNÁ VELIČINA Náhodá veličia Diskrétí áhodá veličia Spojitá áhodá veličia Číselé charakteristiky áhodé veličiy... 8 Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí

5 OBSAH 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Alterativí rozděleí Rovoměré rozděleí Biomické rozděleí Poissoovo rozděleí Hypergeometrické rozděleí Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Rovoměré rozděleí Epoeciálí rozděleí Normálí rozděleí Normovaé ormálí rozděleí Některá další rozděleí... 4 Úlohy k samostatému řešeí... 6 Výsledky úloh k samostatému řešeí NÁHODNÝ VEKTOR Náhodý vektor - popis Číselé charakteristiky áhodého vektoru Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Úvod do statistiky Statistický soubor s jedím argumetem základí pojmy Charakteristiky statistického souboru s jedím argumetem Zpracováí rozsáhlého statistického souboru Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí

6 OBSAH 8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY Statistický soubor se dvěma argumety Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí REGRESNÍ A KORELAČNÍ ANALÝZA Lieárí regrese Úlohy k samostatému řešeí Výsledky úloh k samostatému řešeí ČASOVÉ ŘADY Časové řady - základí pojmy Aalýza tredu a sezóí sloţky INDUKTIVNÍ STATISTIKA Základí pojmy Odhady parametrů základího souboru... 0 Úlohy k samostatému řešeí... Výsledky úloh k samostatému řešeí TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Statistické hypotézy - úvod Hypotézy o rozptylu Hypotézy o středí hodotě Testy dobré shody Testy etrémích hodot Testy o koeficietu korelace Úlohy k samostatému řešeí... 4 Výsledky úloh k samostatému řešeí SBÍRKA ÚLOH

7 STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŢUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA Úvod je ázev projektu, který uspěl v rámci prví výzvy Operačího programu Rozvoj lidských zdrojů. Projekt je spolufiacová státím rozpočtem ČR a Evropským sociálím fodem. Partery projektu jsou Regioálí středisko výchovy a vzděláváí, s.r.o. v Mostě, Uiverzita obray v Brě a Techická uiverzita v Liberci. Projekt byl zaháje a bude ukoče Cílem projektu je zpracováí studijích materiálů z matematiky, deskriptiví geometrie, fyziky a chemie tak, aby umoţily především samostaté studium a tím miimalizovaly počet kotaktích hodi s učitelem. Je zřejmé, ţe vytvořeé tety jsou určey studetům všech forem studia. Studeti kombiovaé a distačí formy studia je vyuţijí k samostudiu, studeti v prezečí formě si mohou doplit získaé vědomosti. Všem studetům tety pomohou při procvičeí a ověřeí získaých vědomostí. Nezaedbatelým cílem projektu je umoţit zvýšeí kvalifikace širokému spektru osob, které emohly ve studiu a vysoké škole z růzých důvodů (sociálích, rodiých, politických) pokračovat bezprostředě po maturitě. V rámci projektu jsou vytvořey jedak stadardí učebí tety v tištěé podobě, kocipovaé pro samostaté studium, jedak e-learigové studijí materiály, přístupé prostředictvím iteretu. Součástí výstupů je rověţ baka testových úloh pro jedotlivé předměty, a íţ si studeti ověří, do jaké míry zvládli prostudovaé učivo. Bliţší iformace o projektu můţete ajít a adrese Přejeme vám moho úspěchů při studiu a budeme mít radost, pokud vám předložeý tet pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože ikdo eí eomylý, mohou se i v tomto tetu objevit ejasosti a chyby. Předem se za ě omlouváme a budeme vám vděči, pokud ás a ě upozoríte. ESF ROVNÉ PŘÍLEŢITOSTI PRO VŠECHNY - 6 -

8 ÚVOD Úvod Teto distačí tet je urče studetům VŠB-TU Ostrava. Je čleě a dvě základí části. Prví z ich je věováa základům počtu pravděpodobosti, druhá úvodu do problematiky matematické statistiky. Autoři se zaměřili a srozumitelý výklad základích pojmů a a objasěí souvislostí mezi těmito pojmy. Důkazy vět omezili a důkazy základích vět a a takové, které ilustrují úvahy, vedoucí k těmto větám. Kaţdá kapitola obsahuje příklady s podrobým řešeím a v závěru sadu eřešeých úloh s výsledky. Kapitoly věovaé základům počtu pravděpodobosti jsou zaměřey a defiováí pravděpodobosti růzými způsoby, a popis áhodé veličiy a áhodého vektoru. Jsou uvedey důleţité typy rozděleí pravděpodobosti diskrétí i spojité áhodé veličiy. Část věovaá matematické statistice sezamuje s popisem statistických souborů, mometovými a kvatilovými charakteristikami, objasňuje pojmy lieárí a elieárí regrese. Závěrečé kapitoly jsou věováy statistické idukci získáváí odhadů parametrů základího souboru a testováí statistických hypotéz. Za ceé rady a připomíky k práci děkujeme Ivau Kolomazíkovi a také recezetům Jiřímu Vrbickému a Michalu Vavrošovi

9 POKYNY KE STUDIU Pokyy ke studiu V úvodu si vysvětlíme jedotou pevou strukturu kaţdé kapitoly tetu, která by vám měla pomoci k rychlejší orietaci při studiu. Pro zvýrazěí jedotlivých částí tetu jsou pouţíváy ikoy a barevé odlišeí, jejichţ výzam yí objasíme. Průvodce studiem vás stručě sezámí s obsahem daé kapitoly a s její motivací. Slouţí také k istrukci, jak pokračovat dál po vyřešeí kotrolích otázek ebo kotrolích tetů. Cíle vás sezámí s učivem, které v daé kapitole pozáte a které byste po jejím prostudováí měli umět. Předpokládaé zalosti shrují stručě učivo, které byste měli zát ještě dříve eţ kapitolu začete studovat. Jsou ezbytým předpokladem pro úspěšé zvládutí ásledující kapitoly. Výklad ozačuje samotý výklad učiva daé kapitoly, který je čleě způsobem obvyklým v matematice a defiice, věty, případě důkazy. Defiice... Zavádí základí pojmy v daé kapitole. Věta... Uvádí základí vlastosti pojmů zavedeých v daé kapitole. Důkaz: Vychází z předpokladů věty a dokazuje tvrzeí uvedeé ve větě

10 Pokyy ke studiu Pozámka eformálě kometuje vykládaou látku.. Řešeé úlohy ozačují vzorové příklady, které ilustrují probraé učivo. Příklad Uvádí zadáí příkladu. Řešeí: Uvádí podrobé řešeí zadaého příkladu. Úlohy k samostatému řešeí obsahují zadáí příkladů k procvičeí probraého učiva. Úlohy ozačeé patří k obtíţějším a jsou určey zájemcům o hlubší pochopeí tématu. Výsledky úloh k samostatému řešeí obsahují správé výsledky předchozích příkladů, slouţí ke kotrole správosti řešeí. Kotrolí otázky obsahují soubor otázek k probraému učivu včetě ěkolika odpovědí, z ichţ je vţdy alespoň jeda správá. Odpovědi a kotrolí otázky uvádějí správé odpovědi a kotrolí otázky. Kotrolí test obsahuje soubor příkladů k probraému učivu. Výsledky testu uvádějí správé odpovědi a příklady kotrolího testu

11 Pokyy ke studiu Shrutí lekce obsahuje stručý přehled učiva, které by měl studet po prostudováí příslušé kapitoly zvládout. Literatura obsahuje sezam kih, které byly pouţity při tvorbě příslušého tetu a a které byly případě uvedey odkazy k hlubšímu prostudováí tématu. Piktogram, který upozorňuje a důleţité vztahy ebo vlastosti, které je ezbyté si zapamatovat

12 Kombiatorika. KOMBINATORIKA Průvodce studiem Na středí škole se ěkteří z vás sezámili se základími pojmy z kombiatoriky. V této kapitole tyto pojmy zopakujeme a prohloubíme vaše zalosti. Předpokládaé zalosti Moţiy. Faktoriál. Cíle Cílem této kapitoly je objasit pojmy variace, permutace, kombiace. Výklad KOMBINATORIKA Zkoumá skupiy (podmoţiy) prvků vybraých z jisté základí moţiy. Podle toho, zda se prvky v jedotlivých skupiách mohou či emohou opakovat, rozdělujeme skupiy prvků a skupiy s opakováím a skupiy bez opakováí. Pozámka Skupiy, kde se prvky emohou opakovat si lze tedy představit tak, že prvky, které vybíráme ze základí skupiy do í evracíme zpět a emůžeme je tedy použít při dalším výběru. Naopak skupiy, kde se prvky mohou opakovat, vzikají tak, že vybraé prvky vracíme do základí skupiy a v dalším výběru je můžeme zovu použít. Rozlišujeme tři základí způsoby výběru:.. Variace k-té třídy z prvků - uspořádaé skupiy po k prvcích z daých prvků - -

13 Kombiatorika Řešeé úlohy Příklad... Je dáa moţia M = {,,3,4,5}. Z prvků této moţiy máme vytvářet dvojice, přičemţ záleţí a pořadí a prvky se emohou opakovat. Řešeí: Vytváříme tedy variace druhé třídy z pěti prvků. Všechy moţosti: V (5): (,) (,) (,3) (3,) (,4) (4,) (,5) (5,) (,3) (3,) (,4) (4,) (,5) (5,) (3,4) (4,3) (3,5) (5,3) (4,5) (5,4) Takţe počet všech moţostí je 0. Příklad... Na startu běţeckého závodu je 8 atletů. Kolika způsoby mohou být obsazey stupě vítězů? Řešeí: Jedoduchou úvahou dojdeme k tomu, ţe a prvím místě se můţe umístit kdokoliv z 8-mi startujících. Jestliţe ěkterý z atletů uţ doběhl prví, druhé místo obsadí ěkdo ze zbývajících 7-mi závodíků. Jsou-li obsazea prví dvě místa, je zřejmé, ţe pro třetí místo máme 6 moţostí. Celkem tedy: V 3 (8) = = 336 moţostí Obdobě můţeme postupovat při odvozeí obecého vzorce pro počet variací k-té třídy z prvků bez opakováí: Ptáme se: Z kolika prvků máme a výběr pro.čle k-tice?: Z kolika prvků máme a výběr pro.čle k-tice?: -... Z kolika prvků máme a výběr pro k-tý čle k-tice?: - k + Proto: V.... k k.... k. k. k... k. k...! k! Takţe: - -

14 Kombiatorika... Počet variací k-té třídy z prvků bez opakováí V k! k! Řešeé úlohy Příklad..3. Kolik eistuje trojciferých čísel, které lze zapsat uţitím cifer,, 3, 4, 5. Řešeí: Jedá se o příklad a variace s opakováím - záleţí a pořadí cifer a cifry se v čísle mohou opakovat: Na prví pozici v čísle se můţe vyskytovat libovolá cifra z daých pěti - tz. 5 moţostí. Vzhledem k tomu, ţe cifry se v čísle mohou opakovat, dostáváme stejý počet moţostí i a druhé a třetí pozici. Počet všech moţostí: V * 3 (5) = = 5 3 = 5 Pokud tuto úvahu opět zobecíme dostaeme vzorec pro:... Počet variací k-té třídy z prvků s opakováím V k * () = k Řešeé úlohy Příklad..4. Kolik růzých začek teoreticky eistuje v Morseově abecedě, sestavují-li se tečky a čárky do skupi po jedé aţ pěti? Řešeí: Máme k dispozici dva zaky: Z těchto zaků vytváříme postupě jede zak, dvojice, trojice, čtveřice a pětice. Záleţí a pořadí, zaky se samozřejmě mohou opakovat, jedá se tedy o variace s opakováím, přičemţ = a k =,, 3, 4, 5: z = V * () + V * () + V * 3 () + V * 4 () + V * 5 () = = = = 6-3 -

15 .. Permutace prvků - kaţdá uspořádaá -tice vybraá z prvků Kombiatorika Řešeé úlohy Příklad... Najděte všechy permutace bez opakováí z prvků moţiy M = {,7,9} Řešeí: Všechy permutace bez opakováí z těchto tří prvků P(3): (,7,9), (,9,7), (7,,9), (7,9,), (9,,7), (9,7,) Příklad... Vyuţijeme zadáí příkladu..., přičemţ ás bude zajímat, kolika způsoby budou obsazea všecha místa. Řešeí: Vytváříme tedy osmice vybraé z osmi prvků, coţ přesě odpovídá pojmu permutace. Úloha se dá vyřešit stejou úvahou, jako příklad... Na prvím místě máme 8 moţostí, a druhém 7 moţostí (prví místo je jiţ obsazeo), a třetím místě 6 moţostí,..., a osmém místě tedy zbývá pouze jediá moţost. Výsledek je tedy P(8) = = 8! = 4030 moţostí Takţe:... Počet permutací prvků bez opakováí P! Řešeé úlohy Příklad..3. Mějme růzých korálků, které budeme avlékat a iť. Její koce pak sváţeme, takţe vytvoříme kruh (áhrdelík). Kolika způsoby lze korálky do kruhu uspořádat? Tz. uspořádáí, které se liší pouze otočeím kruhu epovaţujeme za růzé. Řešeí: Pokud bychom koce iti esvázali, odpovídal by počet všech moţostí počtu permutací bez opakováí z prvků, těch je! Ovšem v kruhu by ěkterá z uspořádáí byla shodá. Proveďme tedy ásledující úvahu. Uvaţujme ějaké uspořádáí v kruhu a zvolme si libovolý korálek, o kterém prohlásíme, ţe je prví. Ostatí korálky očíslujeme apř. ve směru hodiových ručiček. Celé uspořádáí teď pootočíme ve směru hodiových ručiček o jede korálek (prví se dostae a místo - 4 -

16 Kombiatorika druhého, druhý a místo třetího,...), čímţ v rámci kruhu dostaeme shodé uspořádáí. Takto můţeme s korálky pootočit krát a vţdy dostaeme shodé uspořádáí. Všecha tato shodá uspořádáí jsou ale započítáa do počtu! (počet uspořádáí před svázáím koců iti). Výsledek je tedy:!.!! Příklad..4. Kolik růzých šesticiferých čísel lze vytvořit z číslic,,, 3, 3, 3? Řešeí: Mezi daými šesti číslicemi se ěkteré opakují. Pokud by se číslice eopakovaly, vytvořili bychom 6! čísel. V ašem případě se počet čísel zmeší: Z důvodu, ţe tam máme dvě dvojky se počet moţostí síţí dvakrát - jeda moţost amísto dvou moţostí X, X (permutace ze dvou prvků) v případě, ţe by číslice byly růzé. V důsledku tří trojek se počet čísel zmeší šestkrát - jeda moţost amísto permutace ze tří růzých číslic. Počet všech moţostí je tedy: * 6! P 6!.3! Při zobecěí aší úvahy je:... Počet permutací prvků s opakováím P *!!!...! k Jestliţe se mezi prvky vyskytuje: prví prvek krát druhý prvek krát k-tý prvek k krát k = Řešeé úlohy Příklad..5. Zjistěte, kolik růzých pěticiferých čísel lze vytvořit pouţitím cifer,, 3, 4, 5 (cifry se v čísle mohou opakovat)

17 Kombiatorika Řešeí: Při řešeí této úlohy se často můţeme setkat s ásledující chybou: řešitel si všime, ţe z pětiprvkové moţiy máme vytvářet pětice a automaticky se úlohu saţí řešit pomocí permutací. Zde ale dochází ke kolizi, eboť o permutace bez opakováí se jedat emůţe (cifry se v čísle mohou opakovat) a permutace s opakováím to být také emohou (eí určeo, kolikrát se který prvek má opakovat). Zadáí úlohy totiţ přesě korespoduje s pojmem variace s opakováím, kde k =, takţe počet všech moţostí je: V * 5 (5) = 5 5 = Kombiace k-té třídy z prvků - skupiy o k prvcích vybraých z prvků Pozámka Vybíráme bez zřetele a uspořádáí: tz., že v daých -ticích ezáleží a pořadí prvků! Řešeé úlohy Příklad.3.. Najděte všechy kombiace druhé třídy z moţiy M = {,,3,4,5} Řešeí: C (5): (,) (,3) (,4) (,5) (,3) (,4) (,5) (3,4) (3,5) (4,5) Počet všech moţostí je tedy 0. Příklad.3.. Odvoďte počet kombiací k-té třídy z prvků Řešeí: Umíme spočítat počet uspořádaých k-tic z prvků - pomocí variací. Některé z těchto k-tic se však liší pouze pořadím prvků. Kolik jich je? Vezmeme libovolou k- tici a vytvoříme všechy její obměy pouze s jejími prvky (tedy permutaci). Všechy k-tice, které jsme takto vytvořili, se budou lišit pouze pořadím prvků. Odtud je zřejmé, ţe počet kombiací k-té třídy z prvků je: C k () = V k ()/P(k): - 6 -

18 .3.. Počet kombiací k-té třídy z prvků bez opakováí C k! k!. k! k Kombiatorika Pozámka... kombiačí číslo, čteme ad k k Pro ručí výpočet kombiačích čísel je často vhodé použít ásledující odvozeí: k čleů!.... k. k!.... k k k! k! k! k! k! Takže apříklad: Počet kombiací k-té třídy z prvků s opakováím C * k k k Řešeé úlohy Příklad.3.3. Zjistěte, kolik eistuje růzých kvádrů, pro ěţ platí, ţe délka kaţdé jejich hray je přirozeé číslo z itervalu,5 Řešeí: Přirozeých čísel v tomto itervalu je 4. Kvádr je jedozačě urče třemi hodotami (délka, šířka, výška) u ichţ ezáleţí a pořadí (je jedo, jak je kvádr "atočeý"). Hodoty v trojici se mohou opakovat (i krychle je speciálí případ kvádru). Takţe se jedá o kombiace s opakováím, = 4, k = 3: C *

19 .3.3. Základí pravidla pro kombiačí čísla Symetrie k k Kombiatorika Okrajová vlastost 0 Sčítáí k k k Řešeé úlohy Příklad.3.4. Řešte rovici: 3 64 Řešeí: (koře = -0 elze pouţít, musí být přirozeé číslo) - 8 -

20 .4. Řešeé příklady, kombiatorika - souhrě Kombiatorika Příklad.4.. Jsou dáy cifry,, 3, 4, 5. Cifry elze opakovat. Kolik je moţo vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou: a) pětimístá, sudá b) pětimístá, kočící dvojčíslím c) pětimístá, meší eţ d) trojmístá lichá e) čtyřmístá, větší eţ 000 f) dvojmístá ebo trojmístá Řešeí: ad a) Sudá - to v tomto případě zameá, ţe kočí ciframi ebo 4 (XXXX, XXXX4) - tz. dvě moţosti. Na zbývajících čtyřech pozicích permutují zbývající čtyři cifry, takţe výsledek: a =.P(4) = 48 ad b) Máme číslo XXX. Tedy a třech pozicích permutují tři cifry: b = P(3) = 6 ad c) Meší eţ 30000, to jsou čísla začíající ciframi ebo, tedy dvě moţosti. Na zbývajících čtyřech pozicích permutují zbývající čtyři cifry: c =.P(4) = 48 ad d) Lichá, tedy kočí ciframi, 3, 5 - tři moţosti. Na zbývajících dvou pozicích se mohou vyskytovat ěkteré ze zbývajících čtyř cifer, přičemţ záleţí a pořadí - jedá se o variace druhé třídy ze čtyř prvků. d = 3.V (4) = 36 ad e) obdobě jako u předchozích: e = 4.V 3 (4) = 96 ad f) f = V (5) + V 3 (5) =

21 Kombiatorika Příklad.4.. Kolik růzých státích pozávacích začek OSB XX-XX eistuje s aspoň dvěmi trojkami? Řešeí: Aspoň dvě trojky, to jsou, 3 ebo 4 trojky. Začeme ejjedodušší moţostí: 4 trojky: Tz. jediá moţost OSB 33-33, takţe 4 = 3 trojky: Eistují 4 moţosti, jak seskládat tři trojky a čtyřech pozicích (333X, 33X3, 3X33, X333). Obecě to lze vyjádřit jako počet permutací 4 prvků s opakováím, přičemţ trojka se opakuje třikrát: * 4! P 4 4 3! Dále eistuje 9 moţostí (zbývajících devět cifer), které mohou být a čtvrté pozici. Obecě lze vyjádřit apř. jako počet variací prví třídy z devíti prvků: V (9) = 9 Takţe výsledý počet pro 3 trojky: 3 = P * (4).V (9) = 4.9 = 36 trojky: Eistuje opět P * (4) moţostí, jak seskládat dvě trojky a čtyři pozice, přičemţ tetokrát se trojka opakuje dvakrát a zbývající dvě pozice erozlišujeme mezi sebou, takţe se také dvakrát opakují (33XX, 3X3X, 3XX3, X33X, X3X3, XX33): * 4! P 4 6!.! Na zbývajících dvou pozicích se můţe střídat zbývajících devět cifer, přičemţ v daé dvojici záleţí a pořadí cifer a cifry se mohou i opakovat. To se dá vyjádřit jako počet variací druhé třídy z devíti prvků s opakováím: V * (9) = 9 = 8 Takţe výsledý počet pro trojky: = P * (4).V * (9) = 6.8 = 486 Tz., ţe počet státích pozávacích začek OSB XX-XX s aspoň dvěmi trojkami je: = = =

22 Kombiatorika Úlohy k samostatému řešeí.. Zjedodušte a vypočtěte: !! (! )! ( )!!! ( 3 ( )! )!! ( ( ( )! )! 3 4 )!! ( )! Kolik třítóových akordů je moţé zahrát z 8 tóů?.3. Kolik růzých optických sigálů je moţo dát vytahováím 5 růzých barevých vlajek, je-li vţdy všech pět vlajek ahoře?.4. Zjistěte, kolik eistuje růzých kvádrů, pro ěţ platí, ţe délka kaţdé jejich hray je přirozeé číslo z itervalu, V obchodě mají tři druhy bobóů v sáčcích po 00g. Kolika způsoby můţe zákazík koupit kg bobóů?.6. Kolik růzých státích pozávacích začek z jedé série eistuje s aspoň dvěma trojkami?.7. Ze 7 prvků bylo vytvořeo 40 variací s opakováím stejé třídy. Kolik prvků obsahuje jeda variace?.8. Jsou dáy cifry:,, 3, 4, 5. Cifry elze opakovat. Kolik je moţo vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou a) pětimístá, sudá b) pětimístá, kočící dvojčíslím - -

23 Kombiatorika c) pětimístá, meší eţ d) trojmístá, lichá e) čtyřmístá, větší eţ 000 f) čtyřmístá, začíající cifrou g) čtyřmístá, sudá ebo kočící cifrou 3 h) dvojmístá ebo trojmístá.9. Jsou dáy cifry: 0,,, 3, 4. Splňte úkoly miulé úlohy (.8.) tak, ţe cifry se esmí opakovat a číslo emůţe začíat ulou..0. Kolik prvků obsahuje moţia všech pěticiferých přirozeých čísel?.. Kolik růzých začek teoreticky eistuje v Morseově abecedě, sestavují-li se tečky a čárky do skupi po jedé aţ pěti?.. Kolik prvků dá 0 kombiací druhé třídy s opakováím?.3. Kolik je dáo prvků, jestliţe variací třetí třídy z ich utvořeých je pětkrát více eţ variací druhé třídy?.4. Z kolika prvků lze vytvořit 90 variací druhé třídy?.5. Z kolika prvků lze vytvořit 55 kombiací druhé třídy?.6. Zmeší-li se počet prvků o dva, zmeší se počet permutací čtyřicetdvakrát. Určete počet prvků..7. Z kolika prvků lze vytvořit padesátkrát více variací třetí třídy eţ variací druhé třídy?.8. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet kombiací druhé třídy o 7. Určete počet prvků..9. Zvětší-li se počet prvků o 8, zvětší se počet kombiací druhé třídy jedeáctkrát. Určete počet prvků..0. Zmeší-li se počet prvků o, zmeší se počet permutací z těchto prvků desetkrát. Určete počet prvků... Kolik permutací z prvků a, a,, a obsahuje prvek a a prvé pozici.?.. V prodejě si můţete vybrat ze sedmi druhů pohledic. Kolika způsoby lze koupit a) 0 pohledic, - -

24 Kombiatorika b) 5 pohledic, c) 5 růzých pohledic?.3. V kihkupectví prodávají 0 titulů kiţích oviek. Kolika způsoby lze koupit a) 4 kiţí oviky, b) 5 růzých kiţích oviek?.4. Na hokejovém turaji, kterého se účastí 8 druţstev, sehraje kaţdý tým s ostatími právě utkáí. Kolik zápasů bude celkem sehráo?.5. Z 5 bílých a 4 červeých kuliček tvoříme trojice tak, aby v kaţdé trojici byly vţdy bílé a červeá kulička.. Kolik trojic splňujících tuto podmíku lze vytvořit?.6. Hokejový tým odjel a OH s 3 hráči, a to s útočíky, 8 obráci a 3 brakáři. Kolik růzých sestav můţe treér teoreticky vytvořit?.7. Kolika přímkami lze spojit 7 bodů v roviě, jestliţe a) ţádé tři z ich eleţí v přímce, b) tři z ich leţí v jedé přímce?.8. Kolik kruţic je určeo 0 body v roviě, jestliţe ţádé tři z ich eleţí a přímce a ţádé čtyři z ich eleţí a kruţici?.9 Kolik růzých hodů můţeme provést a) dvěma, b) třemi růzobarevými kostkami?.30. V turistickém oddílu "Hbitý svišť" je 0 dívek a 8 chlapců. Určete, kolika způsoby mohou sestavit volejbalový tým (má šest čleů), ve kterém budou hrát a) právě dvě dívky. b) maimálě dva chlapci?.3. Kolik prvků obsahuje moţia všech pěticiferých přirozeých čísel?.3. Deset přátel si vzájemě poslalo pohledice z prázdi. Kolik pohledic celkem rozeslali?.33. Kolikrát více je variací k-té třídy z prvků eţ kombiací k-té třídy z těchto prvků?.34. V plě obsazeé lavici sedí 6 ţáků a, b, c, d, e, f. a) Kolika způsoby je lze přesadit? - 3 -

25 Kombiatorika b) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby ţáci a, b seděli vedle sebe? c) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby ţák c seděl a kraji? d) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby ţák c seděl a kraji a ţáci a, b seděli vedle sebe?.35. Studet má v kihově 4 růzé učebice pruţosti, 3 růzé učebice matematiky a růzé učebice agličtiy. Kolika způsoby je lze seřadit, mají-li zůstat učebice jedotlivých oborů vedle sebe?.36. Kolika způsoby lze rozdělit 8 účastíků fiále v běhu a 00 m do 8 drah?.37. Kolik růzých permutací lze vytvořit pouţitím všech písme slova a) statistika, b) matematika?.38. Kolik růzých sigálů je moţo vytvořit pouţitím pěti růzobarevých praporků, pouţijeme-li a) pouze 3 praporky, b) praporky?.39. Četa vojáků má vyslat a stráţ 4 muţe. Kolik muţů má četa, je-li moţo úkol split 0 způsoby?.40. Kolik úhlopříček má koveí -úhelík?.4. V zásobíku je 7 ostrých a 3 slepé áboje. Určete, kolika způsoby lze amátkou ze zásobíku vyjmout 5 ábojů, z ichţ alespoň 3 jsou ostré..4. Kolika způsoby je moţo a čtvercové šachovici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všecha tři pole eměla stejou barvu?.43. Kolika způsoby je moţo a šachovici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všecha eleţela v jedom sloupci?.44. V prostoru jsou dáy mimoběţky a, b. Na přímce a je dáo m růzých bodů A, A m, a přímce b růzých bodů B,, B. Určete počet všech čtyřstěů, jejichţ všechy vrcholy leţí a přímkách a, b, a to v bodech A i, B j

26 Výsledky úloh k samostatému řešeí Kombiatorika.. 0, 56,, 0,, 6, , 6, 48, 36, 96, 4, 7, , 4, 48, 8, 7, 4, 78, (-)! ; ; ; k! ; 40; 40; , ; /*(-3) C (m).c ().. C 0 (6); C 5 ();.3. C 4 (3); C 5 (0) - 5 -

27 . PRAVDĚPODOBNOST JEVŮ Náhodá veličia Průvodce studiem V prví kapitole jste se sezámili s kombiatorikou. Tyto zalosti pouţijeme v této kapitole, zavedeme pojem pravděpodobost jevů a ukáţeme základí metody výpočtu pravděpodobosti. Předpokládaé zalosti Moţiy, moţiové operace, pojmy z kombiatoriky. Cíle Cílem této kapitoly je objasit pojmy áhodý pokus, áhodý jev, zavést operace s jevy a zformulovat základí defiice pravděpodobosti. Výklad.. Náhodý pokus, áhodý jev Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus - je proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu eí předem zám (výsledek eí jedozačě urče jeho podmíkami), je to však právě jede z prvků zámé moţiy výsledků, kterou azýváme základí prostor Ω Prvky základího prostoru (tj. moţé výsledky áhodého pokusu) se azývají elemetárí áhodé jevy (E, E,..., E ) Tedy: kaţdá podmoţia základího prostoru Ω se azývá áhodý jev (začíme A, B,...), přičemţ prázdá podmoţia se azývá jev emožý, ozačujeme Ø a celý základí prostor jev jistý, ozačujeme I

28 Řešeé úlohy Náhodá veličia Příklad... Klasickým příkladem áhodého pokusu je hod hrací kostkou, tedy: Řešeí: Náhodý pokus... hod hrací kostkou Elemetárí jevy... "pade "... E "pade "... E... "pade 6"... E 6 Jevy E, E,..., E 6 vymezují základí prostor Ω. V tomto základím prostoru mohou být apříklad ásledující jevy: áhodý jev A... "pade liché číslo"... A = E + E 3 + E 5 áhodý jev B... "pade číslo 4"... A = E 4 + E 5 + E 6 jev emoţý....."pade číslo > 6" jev jistý "pade číslo < 7" eslučitelé jevy..."pade sudé číslo", "pade liché číslo"... Operace s jevy Součet jevů A, B jev, který astae právě tehdy, kdyţ astae alespoň jede z jevů A, B. Zavádíme ozačeí A+B ebo moţiově A B. Souči jevů A, B jev, který astae právě tehdy, kdyţ astaou oba jevy současě. Zavádíme ozačeí A.B ebo moţiově A B. Rozdíl jevů A, B jev, který astae právě tehdy, kdyţ astae jev A a eastae jev B. Zavádíme ozačeí A B. Jev A azýváme jevem opačým k jevu A, je-li A = Ω-A. Náhodé jevy se azývají eslučitelé (disjuktí), jestliţe platí A.B = Ø

29 Náhodá veličia Jevy A, A,..., A tvoří systém eslučitelých jevů, je-li A i. A j = 0 pro všecha i j. Teto systém se azývá úplý, je-li A + A A = I = Ω... Aiomatické zavedeí pravděpodobosti Aiomatická výstavba teorie pravděpodobosti, která pochází od výzamého ruského matematika A. N. Kolmogorova, vychází z toho, ţe pravděpodobost je objektiví vlastost áhodého jevu, která ezávisí a tom, zda ji umíme ebo eumíme měřit. Defiice... Jevové pole a je moţia všech růzých podmoţi základího prostoru Ω, která vyhovuje těmto podmíkám: - I leţí v a - Leţí-li jevy A, B v a, pak A+B, A.B i A, B leţí v a Pozámka Na jevové pole a se můžeme dívat jako a možiu jevů, ve které každý výsledek defiovaých operací áleží opět do této možiy. Defiice... Nechť a je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo P(A), pro ěţ platí:. P(A) 0... aiom ezáporosti. P(I) =... aiom jedotky 3. P(A + A A +...) = P(A ) + P(A ) +...P(A ) +..., přičemţ A, A,..., A,... a tvoří skupiu avzájem eslučitelých jevů... aiom aditivity - 8 -

30 Náhodá veličia Věta... o vlastostech pravděpodobosti. P(Ø) = 0. P( A ) = - P(A) 3. Jestliţe A B, pak: a) 0 P(A) P(B) b) P(B - A) = P(B) - P(A) 4. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A.B) Důkaz: ad. Jev emoţý Ø a jev jistý I jsou eslučitelé jevy. Platí: Ø + I = I a z aiomu aditivity plye, ţe P(I) = P(Ø + I) = P(Ø) + P(I) a odtud P(Ø) = P(I) P(I) = 0 ad. A, A jsou eslučitelé jevy. Zároveň platí A + A = I. Z aiomů jedotky a aditivity plye: P(I) = P(A + A ) =, takţe P( A ) = P(A) ad 3. Nechť A B. Jelikoţ A, A jsou eslučitelé jevy, jsou eslučitelé také jevy A.B, A.B, eboť platí (A.B).( A.B) = (B.A).( A.B) = B(A. A ).B = B. Ø.B = 0. Jev B můţeme zapsat ve tvaru B = I.B = (A + A ).B = A.B + A.B = A + A.B, eboť podle předpokladu A B. Tedy: P(B) = P(A + A.B) = P(A) + P( A.B) P(A) 0. Protoţe A.B = B - A, platí P(B - A) = P(B) - P(A). ad 4. Platí, ţe: A = A.I = A.(B+ B ) = A.B+A. B B = B.I = B.(A+ A ) = B.A+B. A, tudíţ A+B = A.B+A. B + A.B Jelikoţ jsou jevy A.B, A. B, A.B vzájemě eslučitelé, z aiomu aditivity vyplývá: P(A) = P(A.B+A. B ) = P(A.B) + P(A. B )

31 Náhodá veličia Vyjádříme-li yí z předchozí rovice P(A. B ), obdrţíme: P(A. B ) = P(A)-P(A.B), obdobě: P(B) = P(A.B+ A.B) = P(A.B) + P( A.B), tedy P( A.B) = P(B)-P(A.B), tz. P(A+B) = P(A.B+A. B + A.B) = P(A.B) + P(A. B ) + P( A.B) = = P(A.B) + P(A) - P(A.B) + P(B) - P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A.B). Jsou-li jevy A, B eslučitelé, pak A.B = Ø a uvedeý vztah odpovídá aiomu aditivity..3. Klasická defiice pravděpodobosti Defiice.3.. Nechť je dáo elemetárích jevů E, E,..., E, které tvoří úplý systém eslučitelých jevů a jsou stejě možé. Rozkládá-li se jev A a m (m ) elemetárích jevů z tohoto systému, pak pravděpodobost jevu A je reálé číslo P A m Pozámka Klasická defiice pravděpodobosti se užívá, je-li: koečý počet elemetárích jevů stejá míra výskytu elemetárích jevů Všechy elemetárí jevy se obvykle ozačují jako všechy možé případy. Všechy elemetárí jevy, a které se rozkládá jev A, se azývají všechy přízivé případy. Pak daý vztah přejde a zámý tvar: P A počet všech přízivých případů počet všech možých případů Řešeé úlohy Příklad.3.. Rozhoděte, zda v ásledujících případech je stejá míra výskytu elemetárích jevů:

32 Náhodá veličia a) hod avrtaou kostkou b) hod micí c) výstřel do terče Řešeí: ad a) E - pade, E - pade,..., E 6 - pade 6, eí stejá míra výskytu ad b) E - pade rub, E - pade líc, je stejá míra výskytu ad c) E - zásah, E - mimo, u většiy střelců eí stejá míra výskytu Příklad.3.. Při hodu kostkou určete pravděpodobost jevů: a) jev A: "pade číslo 5" b) jev B: "pade číslo " Řešeí: ad a) P A 6 ad b) P B 6 3 Příklad.3.3. S jakou pravděpodobostí pade a dvou kostkách součet a) šest b) meší eţ 7 Řešeí: ad a) Šestka pade v ásledujících případech:. kostka kostka Tz. 5 moţostí, m = 5 Počet všech moţostí: P A m ,38 ad b) Z předchozího vyplývá, ţe je 5 moţostí pro součet šest. Ostatí moţosti: - 3 -

33 Náhodá veličia součet 5 součet 4 součet 3 součet. kostka 4 3. kostka 3. kostka. kostka. kostka 4 3. kostka 3. kostka. kostka Takţe m = = 5 m 5 P B 0,46 36 Příklad.3.4. V cele předběţého zadrţeí sedí vedle sebe 0 podezřelých, z toho 3 ţey. Jaká je pravděpodobost, ţe všechy tři ţey sedí vedle sebe? Řešeí: Počet moţostí, jak uspořádat 0 podezřelých, odpovídá počtu permutací z 0 prvků: = 0! m = 8.3!.7! - eistuje 8 způsobů umístěí daé trojice ţe (a pozicích 3, 34, 345,..., 890), 3! způsobů jak daou trojici uspořádat a 7! způsobů, jak uspořádat zbývající delikvety. 8.3!.7! P A 0,06 0! Příklad.3.5. Staovte pravděpodobost jevu, ţe z 0 áhodě vytaţeých bridţových karet budou alespoň 3 esa. (bridţové karty: 5 karet celkem, z toho 4 esa) Řešeí: Jev A - vybereme alespoň 3 esa, zameá, ţe vybereme 3 ebo 4 esa. To zameá, ţe jev A se rozkládá a součet dvou avzájem disjuktích jevů: A... vybereme 3 esa A... vybereme 4 esa P(A) = P(A + A ) = P(A ) + P(A ), kde: P A m C C C Hodotu (počet všech moţých případů) jsme vypočetli pomocí kombiací bez opakováí - z 5 karet vybíráme čtyři bez ohledu a pořadí, přičemţ karty evracíme zpět

34 Náhodá veličia Hodotu m (počet všech přízivých případů) jsme vypočetli podobou úvahou: ze čtyř es vybíráme tři bez ohledu a pořadí a ze zbývajících 48 karet vybíráme sedm, opět bez zřetele a uspořádáí. Zcela aalogicky vypočteme P A Takţe: m C C C P A m m ,09 Příklad.3.6. Při slosováí sportky je z osudí postupě vylosováo 6 čísel ze 49. Po vylosováí těchto čísel je ze zbývajících čtyřiceti tří čísel vylosováo dodatkové číslo. Při správém tipováí: a) šesti čísel, získává sázející výhru. pořadí, b) pěti čísel a dodatkového čísla (5 + ), získává sázející výhru. pořadí, c) pěti čísel, získává sázející výhru 3. pořadí, d) čtyř čísel, získává sázející výhru 4. pořadí, e) tří čísel, získává sázející výhru 5. pořadí. Vypočtěte pravděpodobost, se kterou při vsazeém jedom sloupci vyhrajete v.tahu výhry a - e. Řešeí: Řešit budeme obdobě, jako předchozí příklad.3.5. ad a) P A ,5.0 (řádově se jedá o stejou pravděpodobost, s jakou v ruletě pade pětkrát po sobě stejé číslo: (/37) 5 =, )

35 Náhodá veličia ad b) P A ,.0 7 ad c) P A , ad d) P A ad e) P A , , Geometrická pravděpodobost Geometrická pravděpodobost - pouţíváme ji v případech, které lze převést a toto schéma: V roviě (případě a přímce ebo v prostoru) je dáa určitá oblast Ω a v í další uzavřeá oblast A. Pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, ţe áhodě zvoleý bod v oblasti Ω leţí i v oblasti A je: A P A, kde A, Ω jsou míry oblastí A a Ω

36 Náhodá veličia Řešeé úlohy Příklad.4.. Jak je pravděpodobé, ţe meteorit pade a peviu, víme-li, ţe pevia má rozlohu 49 milioů km a moře 36 milioů km. Řešeí: P A ,9 Příklad.4.. Dva zámí se domluví, ţe se sejdou a určitém místě mezi 5. a 6. hodiou, přičemţ doba čekáí je 0 miut. Jaká je pravděpodobost, ţe se při této dohodě setkají? Řešeí: y doba po 5.hodiě v íţ přijde prví, 0,60 40 A y... doba po 5.hodiě v íţ přijde druhý, 0,60 0 jev A... oblast vymezeá čtvercem a erovicí - y Ω = = 3600 Kdyţ spojíme dva evyšrafovaé trojúhelíky, tak dostaeme čtverec o straě délky 40, tedy: A = = 000 Takţe: P A ,

37 Náhodá veličia Příklad.4.3. V roviě jsou arýsováy rovoběţky, jejichţ vzdáleost je d. Určete pravděpodobost toho, ţe áhodě vrţeá jehla délky l (l < d) prote libovolou přímku. Řešeí: Situace je vystiţea a obrázku: l S l l si y jehla jeda z rovoběţek S střed jehly Kaţdou polohu jehly můţeme tedy popsat dvěmi souřadicemi: vzdáleostí y jejího středu S od ejbliţší z přímek a úhlem d Platí: 0 y ; 0 Jehla prote ejblíţe poloţeou přímku, jestliţe: l.si y (vymezeí oblasti A) jehly s daým systémem přímek. Moţým souřadicím středu jehly odpovídá pravoúhelík 0, 0, d viz. obr. Z předchozího vyplývá, ţe: 0 d A l.si d l.cos l l l

38 Tedy: A l P A d Náhodá veličia Tz. jestliţe apř. d =, l =, pak P A 0,38.5. Statistická defiice pravděpodobosti Defiice.5.. Nechť A je hromadý jev. Nastae-li v pokusech jev A právě f krát, defiujeme: P A f lim f Číslo f se azývá absolutí četost jevu A, - relativí četost jevu A při pokusech Hromadý jev jev, který lze za daého systému podmíek libovolě krát opakovat ebo který lze pozorovat a hromadě se vyskytujících předmětech téhož druhu Řešeé úlohy Příklad.5.. Při házeí micí byly zjištěy tyto výsledky: Řešeí: počet hodů počet padutí líce f relativí četost f , , , ,

39 Z tabulky je zřejmé, ţe platí: f P A lim = 0,5 Náhodá veličia.6. Podmíěá pravděpodobost a ezávislé jevy Defiice.6.. Pravděpodobost uskutečěí jevu A za předpokladu, ţe astal jev B, se zapisuje P(A/B) a azývá se podmíěá pravděpodobost. Je rova: P A/ B P A. B P B Řešeé úlohy Příklad.6.. Házíme dvěma micemi. Jev A: pade líc a rub Jev B: a prví mici pade líc Určete pravděpodobost jevu A za předpokladu, ţe astal jev B. Řešeí: Moţosti, které mohou astat: RUB RUB RUB LÍC LÍC RUB LÍC LÍC a) pomocí klasické defiice: P(A / B) = 0,5 b) pomocí vzorce a podmíěou pravděpodobost: P A/ B P A. B P B 4 4 Příklad.6.. Máme krabici se třemi bílými a dvěma čerými koulemi. Vytáheme postupě dvě koule (prví evracíme zpět). Určete pravděpodobost toho, ţe v druhém tahu vytáheme bílou kouli za předpokladu, ţe v prvím tahu byla vytaţea čerá koule. Řešeí: jev A: ve druhém tahu vytaţea bílá

40 jev B: v prvím tahu vytaţea čerá Moţosti: Náhodá veličia. tah. tah celkem čerá čerá Z tabulky vidíme, ţe: P(A.B) = 6 0 počet možostí čerá bílá bílá 3 čerá 6 P(B) = 8 0 To zameá: P A/ B P A. B P B 0, bílá bílá 3 6 Věta.6.. Pro pravděpodobost součiu dvou jevů A, B platí: P(A.B) = P(A).P(B / A) = P(B).P(A / B) Důkaz: Tvrzeí plye přímo z defiice.6.. Defiice.6.. Dva jevy A, B azýváme ezávislé, jestliţe platí: P(A / B)=P(A) Pozámky: Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak P(A.B) = P(A).P(B). Pojem ezávislosti eí totožý s pojmem eslučitelosti. Jsou-li A, B eslučitelé jevy, pak P(A+B) = P(A)+P(B). U skupiy více ež dvou jevů rozlišujeme ezávislost podvojou a vzájemou

41 Náhodá veličia Jevy A,..., A jsou vzájemě ezávislé, jestliže pro každou jejich podmožiu platí, že pravděpodobost průiku jevů je rova součiu pravděpodobostí těchto jevů. Jsou-li jevy vzájemě ezávislé, jsou také po dvou ezávislé. Opačé tvrzeí eplatí! Řešeé úlohy Příklad.6.3. Studeti při zkoušeí mohou dostat tři otázky. Prví studet je připrave pouze a prví otázku, druhý umí pouze druhou otázku, třetí ovládá je třetí otázku a čtvrtý je připrave a všechy tři otázky. Uvaţujme yí tyto jevy: A... vyvolaý studet dokáţe zodpovědět prví otázku A... vyvolaý studet dokáţe zodpovědět druhou otázku A 3... vyvolaý studet dokáţe zodpovědět třetí otázku Ukaţte, ţe jevy A, A, A 3 jsou po dvou ezávislé, ale ejsou vzájemě ezávislé. Řešeí: Z klasické defiice pravděpodobosti plye, ţe: P(A ) = P(A ) = P(A 3 ) = /4 = 0,5. Uvaţujme yí jevy: A.A, A.A 3, A.A 3, A.A.A 3. Pro pravděpodobosti těchto jevů opět z klasické defiice pravděpodobosti vyplývá: P(A.A ) = P(A.A 3 ) = P(A.A 3 ) = P(A.A.A 3 ) = 0,5. Pro jedotlivé dvojice jevů tedy platí: P(A i.a j ) = P(A i ).P(A j ) = 0,5.0,5 = 0,5 (i j) Takţe jevy A, A, A 3 jsou po dvou ezávislé. Vzhledem k tomu, ţe P(A.A.A 3 ) P(A ).P(A ).P(A 3 ), eboť 0,5 0,5.0,5.0,5, ejsou tyto tři jevy vzájemě ezávislé..7. Úplá pravděpodobost a Bayesova věta Řešeé úlohy Příklad.7.. V obchodě jsou tři poklady a ichţ dojde k chybě v účtováí s pravděpodobostí: 0,; 0,05 a 0,, přičemţ z hlediska umístěí poklade v obchodě jsou pravděpodobosti odbaveí pokladami 0,3; 0,5 a 0,45. Jaká je pravděpodobost, ţe osoba opouštějící obchod má chybý účet?

42 Řešeí: jev A: došlo k chybě v účtováí jev H i : odbaveí i-tou pokladou jev A je moţo vyjádřit: Náhodá veličia A = A.H + A.H + A.H 3 (zákazík má chybý účet, přičemţ projde prví pokladou ebo má chybý účet po odbaveí druhou pokladou ebo má chybý účet a prošel třetí pokladou) Jevy A.H, A.H, A.H 3 jsou vzájemě eslučitelé, proto: P(A) = P(A.H + A.H + A.H 3 ) = P(A.H ) + P(A.H ) + P(A.H 3 ) = (z věty.6..) = P(H ).P(A/H ) + P(H ).P(A/H ) + P(H 3 ).P(A/H 3 ) = = 0,3.0, + 0,5.0,05 + 0,45.0, = 0,35 Zobecěím postupu z předchozí úlohy řešíme úlohy formulovaé a základě výchozí situace: Máme určit pravděpodobost jevu A, o kterém je zámo, ţe můţe astat pouze současě s ěkterým z jevů H, H,..., H, které tvoří úplý systém eslučitelých jevů: Věta.7.. (o úplé pravděpodobosti) Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H, H,..., H a libovolý jev A, který můţe astat pouze současě s ěkterým z jevů H i. Pro pravděpodobost jevu A platí: P(A) = P(H ).P(A/H )+P(H ).P(A/H )+...+P(H ).P(A/H ) = i P H. P A/ H i i Důkaz: Zjevý, zobecěím postupu v příkladu.7.. a jevů H, H,..., H Řešeé úlohy Příklad.7.. Zadáí je stejé jako v předchozím příkladě. Otázka: Jaká je pravděpodobost, ţe jsme byli u druhé poklady, máme-li chybý účet? Řešeí: Hledáme tedy, čemu je rovo P(H / A). Lehce odvodíme: P H P H. A P H. P A/ H 0,5.0,05 P A P A 0,35 / A 0,

43 Náhodá veličia Tato situace se dá opět shrout: Věta Bayesova věta Nechť je dá úplý systém vzájemě eslučitelých jevů H, H,..., H a libovolý jev A, který můţe astat je současě s ěkterým z jevů H i. Pak pravděpodobost, ţe astae jev H i, za předpokladu, ţe astal jev A je: P H / A i P H i. P A/ H P A i, kde P A P H. P A/ H k Důkaz: Opět zjevé, viz. předchozí příklad.7.. k k.8. Opakovaé pokusy Stává se, ţe áhodý pokus, jehoţ výsledkem je jev A, opakujeme -krát po sobě při zachováí stejého systému podmíek. Pokud pravděpodobost jevu A při kaţdém opakováí ezávisí a výsledcích předcházejících pokusů, hovoříme o Beroulliho poslouposti ezávislých pokusů (apř. hod kostkou). Závislými pak azveme takové opakovaé pokusy, při ichţ je pravděpodobost "astoupeí" jevu A v určitém pokusu závislá a výsledcích předchozích pokusů (apř. výběry z osudí bez vraceí)..8.. Nezávislé pokusy Řešeé úlohy Příklad.8.. Házíme šestkrát kostkou. Vypočtěte pravděpodobost, ţe z těchto šesti hodů pade šestka právě dvakrát. Řešeí: Jeda z moţostí, které mohou astat je, ţe šestka pade a prví a druhé kostce, přičemţ a zbývajících kostkách pade jakékoliv číslo vyjma šestky: 66XXXX. Pravděpodobost, ţe tato situace astae, se vypočte jakou souči pravděpodobostí, s jakou padou čísla a jedotlivých kostkách: - 4 -

44 Náhodá veličia Další moţosti, kdy padou dvě šestky jsou stejě pravděpodobé jako prví moţost. Jedá se o případy: 66XXXX 6X6XXX... XXX6X6 XXXX66... počet všech těchto moţostí lze vypočíst apř. pomocí permutací s opakováím: P * 6! 6! 6 6!.4!!. 6! Hledaá pravděpodobost je tedy dáa vztahem: P Pokud aše úvahy z předchozího příkladu shreme, obdrţíme: Věta.8.. Je-li pravděpodobost jevu A v kaţdém pokusu P(A) = p, pak pravděpodobost jevu A k, ţe se jev A v Beroulliho poslouposti ezávislých pokusů uskutečí právě k-krát, je určea vztahem: k P Ak. p. p k k Důkaz: Vyjdeme z řešeí příkladu.8... Výraz p k vyjadřuje pravděpodobost, ţe jev A astal právě v k pokusech. Výraz ( - p) - k vyjadřuje pravděpodobost, ţe jev A eastal právě v - k pokusech. V celé poslouposti pokusů můţe jev A astat celkem způsoby. Proto je hledaá pravděpodobost: k k P Ak. p. p k k Pozámka: Ve vzorci z předchozí věty bychom pro růzé hodoty parametru k dostávali růzé výsledky

45 Náhodá veličia Někdy je účelé ajít způsob, kterým zjistíme, které k má ejvětší pravděpodobost. K tomu užíváme vztahu: p.( + ) - k p.( + ) Řešeé úlohy Příklad.8.. Pravděpodobost, ţe áhodě vybraý studet bude zát učivo, je 0,005. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi dvaceti vybraými studety bude: a) právě 5 zalých studetů b) ejvýše zalí studeti c) alespoň jede zalý studet d) jaký je ejpravděpodobější počet zalých studetů ad a) P A 5 0.0,005.0, ad b) P P A P A P A ad c) , 005.0,995.0, 005.0,995.0, 005.0, P P A P A... P A0 P A 0.0,005.0,995 0 ad d) p. k p. 0, 005. k 0, ,895 k 0,05 Takţe ejpravděpodobější počet zalých studetů je k =

46 Náhodá veličia.8.. Závislé pokusy Řešeé úlohy Příklad.8.3. V osudí jsou bílé a 3 čeré koule. Vypočtěte pravděpodobost toho, ţe: a) vytáheme 3 koule a budou čeré a bílá b) vytáheme bez vraceí jako prví čerou kouli, pak bílou a akoec čerou. Řešeí: ad a) P ad b) ČBČ... P (další moţá pořadí: ČČB, BČČ - obě se stejou pravděpodobostí jako ČBČ, všechy dohromady tedy dávají případ ad a) Situaci z předchozího příkladu.8.3a. opět shreme ve větě: Věta.8.. Nechť je dá soubor N prvků, z ichţ M má určitou vlastost a (N - M) ikoliv. Vybereme postupě prvků, z ichţ žádý evracíme. Pravděpodobost, ţe mezi vybraými bude k takových, ţe mají sledovaou vlastost, vypočteme podle vzorce: P M N M. k k N Důkaz: Zřejmé - odvozeo z klasické defiice pravděpodobosti Řešeé úlohy Příklad.8.4. Mezi 5 výrobky je 5 zmetků. Vybereme 3 výrobky. Jaká je pravděpodobost, ţe jede z ich je vadý, jestliţe:

47 a) vybereme všechy 3 ajedou b) vybíráme po jedom bez vraceí Náhodá veličia Řešeí: ad a) 5 0. P = ad b) Moţosti: (V-vadý, D-dobrý) VDD... P DVD... P DDV... P To jsou všechy moţé způsoby výběru: P = P + P + P 3 = 45 9 Pozámka Nezáleží tedy a tom, vybereme-li výrobky ajedou ebo postupě bez vraceí..9. Řešeé úlohy - pravděpodobost (souhrě) Příklad.9.. Mějme pět vstupeek po 00 Kč, tři vstupeky po 300 Kč a dvě vstupeky po 500 Kč. Vyberme áhodě tři vstupeky. Určete pravděpodobost toho, ţe: a) alespoň dvě z těchto vstupeek mají stejou hodotu b) všechy tři vstupeky stojí dohromady 700 Kč Řešeí: ad a) Budeme řešit pomocí opačého jevu. Opačý jev k "alespoň dvě mají stejou hodotu" je "kaţdá má jiou hodotu":

48 Náhodá veličia P A , ad b) Dohromady za 700 Kč, tz. jeda za 00 Kč a dvě za 300 Kč ebo dvě za 00 Kč a jeda za 500 Kč: P B , 96 Příklad.9.. Z celkové produkce závodu jsou 4% zmetků a z dobrých je 75% stadardích. Určete pravděpodobost, ţe áhodě vybraý výrobek je stadardí. Řešeí: jev A...vybraý výrobek eí zmetek jev B...vybraý výrobek je stadardí Víme, ţe: P(A) = - 0,04 = 0,96; P(B/A) = 0,75 Hledaá pravděpodobost: P(A.B) = P(A).P(B/A) = 0,96.0,75 = 0,7 Příklad.9.3. Z výrobků určitého druhu dosahuje 95% předepsaou kvalitu. V určitém závodě, který vyrábí 80% celkové produkce, však předepsaou kvalitu má 98% výrobků. Mějme áhodě vybraý výrobek předepsaé kvality. Jaká je pravděpodobost, ţe byl vyrobe ve výše uvedeém závodě? Řešeí: jev A...výrobek je vyrobe ve zmiňovaém závodě jev B...výrobek je předepsaé kvality P A. B 0,8.0,98 P A/ B 0,85 P B 0,95 Příklad.9.4. Meza VŠB zakoupila chladiček z. závodu, 0 z. závodu a 8 z 3. závodu. Pravděpodobost, ţe chladička je výboré jakosti, pochází-li z.závodu je

49 Náhodá veličia 0,9, z.závodu 0,6 a z 3.závodu 0,9. Jaká je pravděpodobost, ţe áhodě vybraá chladička bude výboré jakosti? Řešeí: jev A...áhodě vybraá chladička bude výboré jakosti jev B i... áhodě vybraá chladička pochází z i-tého závodu Chladiček je dohromady 50. A A. B A. B A. B 3 P A P A. B P A. B P A. B 3 P(A) = P(B ).P(A/B ) + P(B ).P(A/B ) + P(B 3 ).P(A/B 3 ) P A Příklad ,9.0, 6.0,9 0, Ve společosti je 45% muţů a 55% ţe. Vysokých ad 90 cm je 5 % muţů a % ţe. Náhodě vybraá osoba je vyšší eţ 90 cm. Jaká je pravděpodobost, ţe je to ţea? Řešeí: jev A...vybraý člověk je vyšší eţ 90 cm jev B...vybraý člověk je muţ jev B...vybraý člověk je ţea P A P A. B P A. B 0, 45.0, 05 0,55.0, 0 0, 08 P B P A. B 0,55.0, 0 P A 0,08 / A 0,96 Příklad.9.6. Sada, kterou tvoří 00 součástek, je podrobea výběrové kotrole. Sada se epřijme, jestliţe mezi pěti kotrolovaými součástkami je alespoň jeda vadá. Jaká je pravděpodobost toho, ţe se sada epřijme, jestliţe obsahuje 5% vadých součástek? Řešeí: Budeme řešit pomocí opačého jevu. Te spočívá v tom, ţe sada bude přijata. Teto jev je průikem pěti jevů: A = A.A.A 3.A 4.A 5, kde A k zameá, ţe k-tá kotrolovaá součástka je kvalití. 95 Pravděpodobost jevu A : P A (00 součástek z ichţ je 95 kvalitích) 00 Kdyţ astae jev A, zůstae 99 součástek, mezi imiţ je 94 kvalitích, takţe:

50 P A Pravděpodobost zbývajících jevů odvodíme obdobým způsobem, tz. P A , P(A) = - P A = - 0,77 = 0,3 Náhodá veličia Příklad.9.7. Dva střelci vystřelí po jedé ráě. Pravděpodobosti zásahu cíle jsou po řadě 0,5 a 0,9. Určete pravděpodobost toho, ţe alespoň jede střelec zasáhe cíl. Řešeí: jev A: alespoň jede zasáhe cíl jev B: cíl zasáhe prví střelec jev C: cíl zasáhe druhý střelec P(A) = P(B.C + B.C + B.C) = P(B.C ) + P( B.C) + P(B.C) = = P(B).P(C ) + P( B ).P(C) + P(B).P(C) = 0,5.0, + 0,5.0,9 + 0,5.0,9 = 0,95 ebo: P(A) = - P( B. C ) = - P( B ).P(C ) = - 0,5.0, = 0,95 Příklad.9.8. Vypočtěte, co je pravděpodobější? Vyhrát v teise se stejě silým soupeřem 3 zápasy ze 4 ebo 6 zápasů z osmi? Řešeí: Teisové zápasy jsou vlastě opakovaé ezávislé pokusy. Hrajeme-li se stejě silým soupeřem je pravděpodobost výhry v kaţdém zápase p = 0,5, takţe: Pravděpodobost, ţe vyhrajeme 3 zápasy ze 4: P A 3 4.0,5 3.0,5 4.0,5 4 0,5 3 Pravděpodobost, ţe vyhrajeme 6 zápasů z 8: P A 6 8.0,5 6.0,5 8.0,5 8 0,09 6 Pravděpodobější je tedy zvítězit ve třech zápasech ze čtyř

51 Náhodá veličia Příklad.9.9. Narozeiový problém I. Spočítejte pravděpodobost, ţe ţádí dva lidé z patáctičleé skupiy emají arozeiy ve stejý de roku. Igorujte 9.úor. Řešeí: Ozačme P()...pravděpodobost, ţe dva lidé z -čleé skupiy emají arozeiy ve stejý de. = Prví člověk má arozeiy libovolý de v roce. Pravděpodobost, ţe druhý člověk emá arozeiy tetýţ de je: P = Naváţeme-li a předchozí úvahu, pak: P Obdobě tedy: 36 P 4 P P P P P ! 365! ! ! Takţe jsme odvodili obecý vzorec, yí pro = 5: 365! P 5 0, ! 365 Příklad.9.0. Narozeiový problém II. (Richard vo Mises, 939) Kolik lidí se musí acházet v místosti, aby, igorujíce 9.úor, dva z ich měli arozeiy ve stejý de roku s pravděpodobostí alespoň 50%. Řešeí: Ozačme P...pravděpodobost, ţe dva lidé z -čleé skupiy mají arozeiy ve stejý de. Vyuţijeme řešeí předchozího příkladu. Stačí si uvědomit, ţe: P = - P(), tedy:

52 365! P ! Náhodá veličia Lehce zjistíme, ţe P > 0,5 poprvé pro = 3 ( P 3 = 0,507) V místosti se tedy musí acházet alespoň 3 lidí

53 Úlohy k samostatému řešeí - tématicky tříděo Náhodá veličia Jevová algebra.. Zázorěím příslušých jevů ověřte platost ásledujících vztahů mezi jevy: a) idempotece A + A = A A.A = A b) komutace A + B = B + A A.B = B.A c) asociace A + (B + C) = (A + B) + C A.(B.C) = (A.B).C d) distribuce A.(B + C) = A. B + A.C e) absorbce A + A.B = A A.(A + B) =A f) A A I AA. A + I = I g) reflee A A A A A. A. I =A h) trazitivost A B, B C A C i) atisymetrie A B, B A A B j) A B, C D ja) A C B D jb) AC. B. D.. Dokaţte, ţe jevy A, A. B, A. B tvoří úplou skupiu disjuktích jevů..3. Dokaţte, ţe A. B A. B A. B A. B..4. Dokaţte, ţe A. B A B, C D C. D..5. Dokaţte ekvivaletost a pravdivost tvrzeí: A A, A A. k k k k k k k k.6. Zjedodušte A B C. B C. B C..7. Nechť A B. Zjedodušte výrazy: a) A.B, b) A + B, c) A.B.C.8. Dokaţte, ţe jev A B. A B. A B. A B eí moţý..9. A, B, C jsou áhodé jevy. Zjedodušte výrazy: - 5 -

54 Náhodá veličia a) A B. B C b) A B. A B..0. Kdy jsou moţé rovosti: a) A B A, b) A B A, c) A + B = A.B?.. Jsou jevy A, A B disjuktí?.. Dokaţte, ţe jevy A, B, A B tvoří úplou skupiu vzájemě eslučitelých jevů..3. Najděte jev X z rovice X A X A B..4. Terč je tvoře deseti kruhy ohraičeými soustředými kruţicemi o poloměrech r k, k =,...,, 0, přičemţ r < r <... < r 0. Určete, co začí jevy: a) 6 B A, b) k k 0 C A. k 5 k.5. Jev A začí, ţe alespoň jede ze tří výrobků, procházejících kotrolou, je vadý. Jev B začí, ţe všechy tři kotrolovaé výrobky jsou dobré. Co začí jevy A + B, A. B?.6. Mezi body M a N jsou zapojey prvky a, b, b, b 3 podle schématu. Jev A začí poruchu prvku a, jev B k poruchu prvku b k, k =,, 3. Vyjádřete jevy C a C pomocí A, B k, kdyţ C začí přerušeí spojeí mezi body M a N. b M a b N b 3.7. Přístroj se skládá ze dvou bloků. typu a tří bloků. typu. Jevy: A k, k =, -- fuguje k-tý blok. typu B j, j =,, 3 -- fuguje j-tý blok. typu. Přístroj je schope pracovat, kdyţ fuguje aspoň jede blok. typu a aspoň dva bloky. typu. Vyjádřete jev C začící, ţe přístroj je v pořádku..8. Při hodu hrací kostkou začí jev A "padutí sudého čísla", jev B "padutí čísla dělitelého 3". Určete, co zameá jev: A + B, A - B, A. B, A, B, B - A..9. Jev A zameá, ţe z 0-ti automobilů byly prodáy: a) alespoň 3 b) alespoň

55 Náhodá veličia c) ţádý d) právě 4 e) aspoň 6 a ejvýše 8 f) ţádý ebo alespoň 3 Kolik automobilů bylo prodáo, jestliţe astal jev A?.0. Ke zkoušce jde 0 studetů. Jev A k zameá: zkoušku udělalo alespoň k studetů. Jev B k zameá: zkoušku udělalo ejvýše k studetů. Jev C k zameá: zkoušku udělalo právě k studetů. Kolik studetů udělalo zkoušku, astaly-li jevy: A. A 3, A + A 3, C 3, C 6, B. B 4, B + B 4, A. B 3, A 8 + B... Zapište pomocí symboliky uvedeé v předchozím příkladě jevy: a) zkoušku udělali aţ 3 ebo 3 aţ 4 studeti b) zkoušku udělali ejvýše 4 ebo alespoň 7 studetů.. Studet udělá zkoušku (jev A), jestliţe apíše úspěšě písemku (jev B) a zodpoví při ústí zkoušce alespoň jedu ze tří otázek (jevy C, C, C 3 ). Vyjádřete jev A pomocí jevů B, C, C, C 3. Klasická defiice pravděpodobosti.3. Číslice,, 3, 4, 5 jsou apsáy a 5-ti lístcích. Náhodě vybereme 3 a utvoříme z ich trojciferé číslo, přičemţ cifry k sobě skládáme v pořadí v jakém jsme je vybrali. Vypočtěte pravděpodobost, ţe vziklé trojciferé číslo bude sudé..4. Kruhový terč má 3 pásma. Pravděpodobost zásahu. pásma je 0,, druhého 0,3 a třetího 0,5. Jaká je pravděpodobost miutí cíle?.5. S jakou pravděpodobostí pade a dvou kostkách součet a) šest b) meší eţ 7.6. Máme 30 výrobků, mezi imiţ je 0 ekvalitích. Vybereme 5 výrobků, přičemţ vybraé výrobky evracíme zpět. Jak je pravděpodobé, ţe mezi 5 vybraými bude 0 dobrých?

56 Náhodá veličia.7. V zástupu 7 lidí jsou 3 ţey. Jaká je pravděpodobost, ţe ţey stojí bezprostředě za sebou?.8. Do koloy bylo áhodě seřazeo 7 aut. Mercedesy, 3 Hody a Oply. Jaká je pravděpodobost, ţe a prvím a posledím místě bude Hoda?.9. V osudí jsou 4 čeré a 6 modrých koulí. Náhodě vybereme 4. Jaká je pravděpodobost, ţe a) 3 budou modré a jeda čerá? b) alespoň 3 vytaţeé koule budou modré? c) mezi vytaţeými koulemi je více čerých.30. V telefoím sezamu áhodě vybereme jedo šestimísté číslo (můţe začíat ulou) a předpokládáme, ţe v sezamu jsou pouţita všecha šestimístá čísla. Jaká je pravděpodobost, ţe číslo a) eobsahuje 0 b) obsahuje jedu 3.3. Házíme současě třemi hracími kostkami a sčítáme bodové hodoty. Který ze součtů ebo je pravděpodobější? Geometrická defiice pravděpodobosti.3. Hodiy, které ebyly ve staoveou dobu ataţey, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobost, ţe se velká ručička zastaví mezi 6 a 9?.33. Tyč délky 0m je áhodě rozlomea a části. Jaká je pravděpodobost, ţe meší část bude delší eţ 4m?.34. Z itervalu 0, byla áhodě vybráa čísla a y. Nechť jev A začí, ţe y a jev B, ţe 0,5. Určete pravděpodobost jevů: A, B, A.B, A + B..35. Na zastávku místí dopravy přijíţdí autobus kaţdých 7 miut a zdrţí se 0,5 miuty. Jaká je pravděpodobost, ţe přijdu a zastihu autobus a zastávce?.36. Z itervalu 0,8 áhodě vybereme čísla a y. Jaká je pravděpodobost, ţe 3 y?.37. Určete pravděpodobost toho, ţe součet áhodě zvoleých kladých pravých zlomků

57 Náhodá veličia eí větší eţ jeda a současě jejich souči eí větší eţ Autobus přijíţdí a zastávku kaţdé 4 miuty, tramvaj (má zastávku vedle) kaţdých 6 miut. Určete pravděpodobost, ţe se cestující dočká: a) autobusu před tramvají b) autobusu ebo tramvaje v průběhu miut.39. Paciet se léčí doma a od 7 do 0 hod. je moţé jej kotrolovat. Vycházky má od 3 do 5 hod. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi 7. a 0. hodiou bude doma k zastiţeí? Podmíěá pravděpodobost.40. Házíme dvěma kostkami. Vypočtěte, jaká je pravděpodobost toho, ţe: a) pade-li a.kostce dvojka, pade součet větší eţ 6. b) pade-li a. kostce sudé číslo, pade součet větší eţ Z celkové produkce závodu jsou 4 % zmetků a z dobrých je 75 % stadardích. Určete pravděpodobost, ţe áhodě vybraý výrobek je stadardí..4. Z výrobků určitého druhu dosahuje 95 % předepsaou kvalitu. V určitém závodě, který vyrábí 80 % celkové produkce však předepsaou kvalitu má 98 % výrobků. Mějme áhodě vybraý výrobek předepsaé kvality. Jaká je pravděpodobost, ţe byl vyrobe ve výše uvedeém závodě?.43. V zásilce je 90 % stadardích výrobků, mezi imiţ je 60 % výrobků mimořádé kvality. Vypočítejte jaká je pravděpodobost, ţe áhodě vybraý výrobek z celé zásilky je mimořádě kvalití..44. Tři závody vyrábí ţárovky. Prví 45 % celkové produkce, druhý 40 % a třetí 5 %. Z produkce prvího závodu je stadardích 70 %, druhého 80 % a třetího 8 %. Určete pravděpodobost, ţe si zákazík koupí stadardí ţárovku..45. Meza VŠB zakoupila chladiček z. závodu, 0 z. závodu a 8 z 3. závodu. Pravděpodobost, ţe chladička je výboré jakosti, pochází-li z. závodu je 0,9, z. závodu 0,6 a z 3. závodu 0,9. Jaká je pravděpodobost, ţe áhodě vybraá chladička bude výboré jakosti?.46. Součástky, ze kterých se motují stroje, dodávají tři závody. Je zámo, ţe prví má

58 Náhodá veličia 0,3 % zmetků, druhý 0, % zmetků a třetí 0,4 %. Přitom prví závod dodal 000, druhý 000 a třetí 500 součástek. Jaká je pravděpodobost, ţe áhodě vybraá součástka bude zmetek?.47. Máme 4 krabice. V prví jsou 3 bílé a čeré koule, ve druhé jsou bílé a čeré koule, ve třetí je bílá a 4 čeré koule, ve čtvrté 5 bílých a čerá koule. Náhodě vybereme jedu krabici a vytáheme kuličku. Jaká je pravděpodobost, ţe kulička je bílá?.48. Ve společosti je 45 % muţů a 55 % ţe. Vysokých ad 90 cm je 5 % muţů a % ţe. Náhodě vybraá osoba je vyšší eţ 90 cm. Jaká je pravděpodobost, ţe je to ţea?.49. V dílě pracuje 0 dělíků, kteří vyrobí za směu stejý počet výrobků. Pět z ich vyrobí 96 % stadardích, tři z ich 90 % stadardích a dva 85 % stadardích. Všechy výrobky jdou do skladu. Náhodě jsme vybrali jede výrobek a zjistili, ţe je stadardí. Jaká je pravděpodobost, ţe ho vyrobil ěkdo z prvích pěti dělíků? Opakovaé pokusy.50. V populaci se vyskytují 4 % homoseuálě zaměřeých jediců. Jaká je pravděpodobost, ţe ve 0-ti čleé studijí skupiě bude alespoň jede takto zaměřeý jediec?.5. Dva sportoví střelci ezávisle a sobě střílejí do jedoho terče. Kaţdý po jedom výstřelu. Pravděpodobost zásahu prvího střelce je 0,8, druhého 0,4. Při střelbě byl v terči jede zásah. Jaká je pravděpodobost, ţe terč zasáhl prví střelec?.5. Sportoví střelec zasáhe cíl při kaţdém výstřelu s pravděpodobostí p = 0,8. Vypočtěte pravděpodobost, ţe při 5 výstřelech budou v cíli a) právě zásahy, b) ejvýše jede zásah, c) alespoň zásahy..53. Určete pravděpodobost, ţe při pěti hodech kostkou pade: a) šestka právě dvakrát, b) šestka při druhém a čtvrtém hodu

59 Náhodá veličia.54. Písemá zkouška z matematiky obsahuje 5 příkladů. Pravděpodobost spočítáí jedoho příkladu je 0,8. Určete, jaká je pravděpodobost, ţe studet uspěje, stačí-li, aby spočítal aspoň 3 příklady..55. V rodiě je dětí. Pravděpodobost arozeí chlapce je 0,55. Určete počet dětí tak, aby mezi imi byl aspoň jede chlapec s pravděpodobostí alespoň 0, Pravděpodobost výhry hráče je 0,6. Určete, jaký je ejpravděpodobější počet výher hráče v deseti odehraých partiích..57. Sérii 00ks výrobků je třeba zkotrolovat áhodým výběrem. Celá je povaţováa za špatou, je-li aspoň jede z pěti vybraých výrobků vadý. Vypočtěte pravděpodobost, ţe série je špatá, víme-li, ţe obsahuje 5 % vadých výrobků. Úlohy k samostatému řešeí - etříděo.58. Máme dřevěou krychli, jejíţ stěy jsou červeě obarvey. Rozřeţme ji a 5 stejých krychliček, které vzájemě promícháme. Potom áhodě vybereme jedu krychličku. Jaká bude pravděpodobost, ţe vybraá krychlička bude mít dvě stěy červeě atřeé?.59. V jedé studijí skupiě prvého ročíku FAST v Brě je 4 posluchačů, z ichţ 5 má trvalé bydliště v Brě, 6 v Ostravě a zbývající jsou odjiud. Na výrobí prai do Ostravy bylo ze skupiy amátkou vybráo posluchačů. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi vybraými budou a) všichi posluchači z Ostravy, b) 3 posluchači z Ostravy, c) ţádý posluchač z Ostravy..60. Ke kotrole je připravea skupia 00 výrobků, z ichţ jsou 4 % vadých. Ostatí mají poţadovaou kvalitu. Namátkou z ich vybereme 0 kusů. Při kotrole zjišťujeme, ţe prvích 5 z 0 vybraých je kvalitích. Jaká je pravděpodobost, ţe šestý výrobek je téţ kvalití?.6. Máme karetí hru o 3 kartách. Vytáheme jedu kartu, vrátíme ji a karty promícháme. Potom zovu vytáheme jedu kartu. Určete pravděpodobost toho, ţe obě karty budou stejé barvy

60 Náhodá veličia.6. Na deseti stejých kartičkách jsou čísla od uly do devíti. Určete pravděpodobost toho, ţe dvojmísté číslo (můţe začíat ulou) áhodě vytvořeé z daých kartiček je dělitelé a) 6, b)..63. Karetí hru o 5 kartách dělíme libovolě a dvě stejé části. Jaká je pravděpodobost, ţe v kaţdé části budou dvě esa?.64. Z karetí hry o 3 kartách áhodě vybereme 3 karty. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi imi bude aspoň jede král?.65. V osudí je 5 koulí bílých a 5 čerých. Vybíráme bez vraceí 6 koulí. Jaká je pravděpodobost, ţe a) dvě koule z vybraých budou bílé, b) alespoň dvě koule z vybraých budou bílé?.66. V osudí je 8 koulí bílých a 6 červeých. Vybereme áhodě 4 koule. Jaká je pravděpodobost, ţe vybraé koule ejsou všechy stejé barvy..67. V laboratoři se má zjistit mez průtaţosti vzorku oceli. Pravděpodobost toho, ţe mez průtaţosti bude v rozmezí 7-9 kp/mm, je 0,4; pro rozmezí 9-3 kp/mm je pravděpodobost 0,; pro rozmezí 3-33 kp/mm je 0,6. Určete, jaká je pravděpodobost toho, ţe mez průtaţosti zkoumaého vzorku je v rozmezí 7-33 kp/mm..68. Výrobek prochází v průběhu zpracováí postupě čtyřmi operacemi. Pravděpodobost vyrobeí zmetku je u jedotlivých operací postupě rova 0,0; 0,03; 0,005; 0,05. Určete přibliţě pravděpodobost toho, ţe výsledkem výrobího procesu v daém případě bude zmetek..69. Vytočíme áhodě pěticiferé telefoí číslo. Jaká je pravděpodobost, ţe vytočíme buď číslo 3540 ebo číslo 743, víme-li, ţe telefoí číslo bude mít jako prvou číslici ěkterou z cifer 3, 5, 7, 9?.70. Pět ţárovek ze sta se amátkou kotroluje. Při výběru ţárovky evracíme. Vyskyte-li se mezi pěti kotrolovaými zmetek, je celá stovka vyřazea jako zmetkovitá. Jaká je pravděpodobost, ţe daých sto ţárovek bude vyřazeo, víme-li, ţe je mezi imi

61 Náhodá veličia zmetků?.7. Z výrobků, v ichţ je r zmetků, áhodě bereme bez vraceí r výrobků. Jaká je pravděpodobost toho, ţe vybereme všechy zmetky?.7. V osudí je lístků s čísly od do. Lístky vytahujeme po jedom bez vraceí. Jaká je pravděpodobost toho, ţe při prvých k tazích budou čísla a lístcích stejá jako počet provedeých tahů?.73. Házíme čtyřikrát hrací kostkou. Jaká bude pravděpodobost, ţe při kaţdém hodu dostaeme jiý počet oček?.74. Z osudí, v ěmţ je koulí, -krát vytáheme kouli a vţdy ji vrátíme zpět. Jaká je pravděpodobost, ţe postupě vyjmeme všechy koule?.75. Studijí skupia, v íţ je 6 studetek a 8 studetů, se pro laboratorí cvičeí áhodě rozděluje a 6 skupi po čtyřech. Jaká je pravděpodobost, ţe v kaţdé skupiě bude studetka?.76. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobost, ţe podruhé pade více oček eţ poprvé?.77. Dva závodíci zdolají určitou vzdáleost ve staoveém čase s pravděpodobostí 0,8 a 0,9. Určete pravděpodobost, ţe ve staoveém čase dosáhe cíle alespoň jede závodík..78. Z osudí, v ěmţ je 0 koulí bílých a červeé, táheme -krát po jedé kouli a po kaţdém tahu ji vrátíme zpět. Určete ejmeší hodotu tak, aby pravděpodobost jevu, ţe alespoň jedou vytáheme červeou kouli, byla větší eţ /..79. Z osudí, v ěmţ je koulí bílých a červeé, táheme m-krát bez vraceí. Určete ejmeší hodotu m tak, aby pravděpodobost jevu, ţe alespoň jedou vytáheme červeou kouli, byla větší eţ /..80. Kolikrát musíme hodit třemi kostkami, aby pravděpodobost jevu, ţe alespoň jedou pade 8 ok, byla větší eţ /?.8. Dva hráči házejí micí. Vyhrává te, komu dřív pade líc. Určete pravděpodobost výhry kaţdého hráče..8. Dva střelci postupě střílejí a cíl do prvého zásahu. Pravděpodobost zásahu pro

62 Náhodá veličia prvého střelce je 0,, pro druhého 0,3. Určete pravděpodobost toho, ţe prví střelec bude mít více výstřelů eţ druhý..83. Tři rovoceí hráči A,B,C hrají společeskou hru. Určete, zda je pravděpodobější, ţe hráč A vyhraje 3 ze 4 ebo 5 z 8 partií..84. V osudí je 0 koulí - 3 bílé a 7 čerých. Pětkrát táheme po jedé kouli, po kaţdém tahu ji vrátíme zpět. Určete pravděpodobost, ţe budou taţey buď všechy koule bílé, ebo všechy čeré..85. Pravděpodobost toho, ţe jev A astae při jedom pokusu, je p. Určete pravděpodobost astoupeí téhoţ jevu alespoň jedou při pěti pokusech..86. V osudí je 5 lístků s čísly od do 0. Provedeme a) 3 tahy, b) 5 tahů. Po kaţdém tahu lístek vrátíme zpět a lístky zovu zamícháme. Určete pravděpodobost toho, ţe v kaţdém z obou uvedeých případů alespoň -krát vytáheme lístek s číslem dělitelým čtyřmi..87. Házíme pětkrát hrací kostkou. Určete pravděpodobost toho, ţe alespoň ve dvou hodech, ale zároveň e víc jak čtyřikrát, pade počet ok dělitelý třemi..88. Z karetí hry o 3 kartách 0-krát táheme po jedé kartě, po kaţdém tahu kartu vrátíme zpět. Určete ejpravděpodobější počet tahů 0, v ichţ se ám podaří vytáhout eso, a pro vypočteé 0 určete příslušou pravděpodobost..89. Pravděpodobost toho, ţe moţství odebraého elektrického proudu v určitém závodě je ormálí (epřesáhe pláovaou spotřebu za 4 hod.), je rova 3/4. Staovte pravděpodobost, ţe v ejbliţších šesti dech bude alespoň po dobu tří dů odběr proudu ormálí..90. Pravděpodobost toho, ţe v ěkterém okamţiku během jedoho roku bude a určitou kostrukci působit současě maimálí zatíţeí pohyblivé a maimálí zatíţeí větrem, čií Tato pravděpodobost se během let eměí. Ţivotost kostrukce je 00 let. Jaká je pravděpodobost, ţe za dobu trváí kostrukce se obě zatíţeí ve svých maimálích hodotách střetou alespoň jedou?.9. Pravděpodobost toho, ţe muţstvo A vyhraje aspoň jedo ze čtyř utkáí, je rova 0,59. Určete pravděpodobost vítězství muţstva A v jedom utkáí, předpokládáme-li ţe všichi čtyři soupeři jmeovaého muţstva mají stejou úroveň

63 Náhodá veličia.9. Na dvojkolejím ţelezičím mostě se potkají v průběhu 4 hodi dva protijedoucí vlaky s pravděpodobostí 0,. Určete pravděpodobost toho, ţe v průběhu týde se dva vlaky a mostě potkají a) maimálě třikrát, b) ejméě třikrát, c) právě třikrát. d) Určete, kolikrát se vlaky potkají s ejvětší pravděpodobostí..93. Pravděpodobost toho, ţe televizí obrazovka vydrţí bez poruchy 3000 hodi provozu, je 0,4. a) Jaká je pravděpodobost toho, ţe alespoň jeda z pěti stejých obrazovek vydrţí bez poruchy 3000 hodi? b) Jaký ejpravděpodobější počet z pěti obrazovek vydrţí staoveý počet hodi bez poruchy?.94. Na osík délky L umístíme libovolě dvě břemea. S jakou pravděpodobostí je umístíme tak, ţe jejich vzdáleost a) ebude větší eţ L/4, b) ebude větší eţ L/?.95. Dva lidé se dohodli, ţe se setkají a staoveém místě mezi 8:00 h. a 8:45 h. Te, kdo přijde prví, počká a druhého 5 miut. Určete pravděpodobost toho, ţe se setkají, je-li příchod obou kdykoliv ve staoveém čase stejě moţý..96. Staovte pravděpodobost toho, ţe výraz z y y. je v libovolém bodě (, y) defiová, můţe-li a y abýt se stejou pravděpodobostí libovolé hodoty z oboru, y..97. Určete pravděpodobost, s jakou bude v libovolém bodě oblasti ; y defiováa fukce z l y..98. Určete pravděpodobost toho, ţe libovolě zvoleý bod uvitř krychle o hraě 0, jejíţ střed leţí v počátku a hray jsou rovoběţé s osami souřadými, je současě bodem defiičího oboru fukce - 6 -

64 Náhodá veličia u 9 y z y z Mějme terč tvořeý dvěma soustředými kruţicemi o poloměrech r a 3r. Předpokládáme stejou pravděpodobost zásahu do libovolého bodu terče. Určete pravděpodobost toho, ţe ze tří zásahů terče bude jede zásah do vitřího kruhu..00. Na úsečce délky L jsou áhodě zvoley dva body, čímţ je tato úsečka rozdělea a tří části. Určit pravděpodobost toho, ţe z těchto tří úseček je moţo sestrojit trojúhelík..0. Na kruţici o poloměru R jsou áhodě zvoley body A, B, C. Jaká je pravděpodobost, ţe trojúhelík ABC je ostroúhlý?.0. Na stavbu byly dovezey cihly ze tří cihele a sloţey a společé skládce. Jejich moţství jsou v poměru ::. Cihly vyrobeé jedotlivými cihelami vyhoví předepsaým ormám jakosti s pravděpodobostí rovou postupě 0,80, 0,65, 0,7. Ze skládky cihel áhodě vybereme jede kus, abychom laboratorě zjistili, zda splňuje předepsaé poţadavky. Jaká je pravděpodobost toho, ţe cihla bude mít předepsaou kvalitu?.03. V osudí je 4 koulí - 4 čeré, červeých a 8 bílých. Určete pravděpodobost, ţe v druhém tahu vytáheme bílou kouli, evíme-li, jakou kouli jsme vytáhli v. tahu. Koule do osudí evracíme..04. Máme u schráek, v ichţ je v kaţdé m bílých a šedých stejě velkých obálek. Z prvé schráky áhodě vybereme obálku a vloţíme ji do druhé. Z druhé opět vytáheme jedu obálku a vloţíme ji do třetí, atd. Určete pravděpodobost toho, ţe po takovém přemístěí vytáheme z posledí schráky bílou obálku..05. Do ury, v íţ je koulí, je vhozea bílá koule. S jakou pravděpodobostí je pak moţo z ury vytáhout bílou kouli, kdyţ všechy předpoklady o původím stavu v urě jsou stejě pravděpodobé?.06. Máme čtyři osudí. V prvém jsou 3 koule bílé a čeré, v druhém a třetím po bílých a 5 čerých, ve čtvrtém je bílá a 3 čeré koule. Můţeme předpokládat, ţe vytaţeí koule z libovolého osudí je stejě pravděpodobé. Určete pravděpodobost, ţe

65 Náhodá veličia a) vytaţeá bílá koule je z prvé ury, b) vytaţeá čerá koule je ze čtvrté ury..07. K síti je připojeo 4 ových a 6 starších počítačů. Pravděpodobost bezchybého provozu u ových počítačů je 0.9, u starších 0.8. Jaká je pravděpodobost, ţe a) studet bude pracovat bez poruchy b) teto studet pracuje u ového počítače?.08. Házíme třikrát hrací kostkou. Najděte pravděpodobost ásledujících jevů: A - a všech kostkách padou tři oka B - a všech kostkách pade týţ počet ok C - a kostkách padou růzé počty ok.09. Do výtahu v sedmipodlaţím domě astoupili v. podlaţí tři lidé. Kaţdý z ich se stejou pravděpodobostí můţe vystoupit v libovolém podlaţí počíaje druhým. Najděte pravděpodobost ásledujících jevů: A - všichi cestující vystoupí ve čtvrtém podlaţí B - všichi cestující vystoupí současě C - cestující vystoupí v růzých podlaţích Výsledky úloh k samostatému řešeí.6. A = B C.7. a) A b) B c) A C.9. a) B + A C b) A.0. a) A =, B = I b) A = I, B = c) A = B.. ao.3. X B.4. a) B = A

66 Náhodá veličia b) C = A 5.5. A + B = I, A.B =.6. C = A + B B B 3 C A. B B B 3.7. C = (A + A ) (B B + B B 3 + B B 3 ).8. A+B... pade ebo 3 ebo 4 ebo 6 A-B... pade ebo 4 A.B... pade 6 A... pade ebo 3 ebo 5 B... pade ebo ebo 4 ebo 5 B-A... pade 3.9. a) ejvýše b) ejvýše 4 c) aspoň d) ejvýše 3 ebo aspoň 5 e) ejvýše 5 ebo aspoň 9 f) jede ebo dva.0. A.A 3 = A 3 A +A 3 = A C 3 = B +A 4 (ejvýše ebo aspoň 4) C 6 = B 5 +A 7 (ejvýše 5 ebo aspoň 7) B.B 4 = B B +B 4 = B 4 A.B 3 = C +C 3 ( ebo 3) A 8 +B = C 0 +C +C +C 8 +C 9 +C 0 (ejvýše ebo alespoň 8).. a) A.B 3 +A 3.B 4 b) B 4 +A

67 Náhodá veličia.. A = B.(C +C +C 3 ).3. 0,4.4. 0,4.5. 0,388; 0, , ,4.8. 0,4.9. 0,38; 0,45; 0, ,53; 0, , ,.34. 0,5; 0,5; 0,5; 0, , , , ,66; 0, , ,33; 0, ,7.4. 0, , , ,

68 Náhodá veličia.46. 0, , , , , ,05; 0,0067; 0, ,6; 0, , , , a) C 6 (6)*C 6 (8) / C (4)= 0, b)c 3 (6)*C 9 (8) / C (4)= 0, c) C 0 (6)*C (8) / C (4) = 0, / 95 = 0, / 3 * 8 / 3 = 0,5.6. a) 5 / 90 b) 4 / C (4)*C 4 (48) / C 6 (5) = 0, C 3 (8) / C 3 (3) = 0, a) C (5) * C 4 (5) / C 6 (0) b) (C (5)*C 4 (5)+C 3 (5)*C 3 (5)+ +C 4 (5)*C +C 5 (5)*C 5 (5))/ C 6 (0) = = - C 5 ()*C 5 (5)/C 6 (0) = 0,

69 Náhodá veličia (C 4 (8) / C 4 (4) + C 4 (6) / C 4 (4)) = 0, , ,98 * 0,97 * 0,995 * 0,985 = 0, , /00 * 93/99 * 9/98 * 9/97 * 90/96 = = - C 5 (94) / C 5 (00) = 0, r/*(r-)/(-)*...*/(-(r-)) = / C r ().7. /*/(-)*...*/(-(r-) = /V k () = / (C k ()*k!).73. 6/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 = 5 / 8 = 0, / * (-)/ *...*/ =! /.75. C (6)C 3 (8)/C 4 (4)*C (5)*C 3 (5)/C 4 (0)*C (4)*C 3 ()/C 4 (6)* *C (3)*C 3 (9)/C 4 ()*C ()*C 3 (6)/C 4 (8)*C ()*C 3 (3)/C 4 (4) = 0, /6*5/6+/6*4/6+/6*3/6+/6*/6+/6*/6 = 0, (-0,8)*(-0,9) = 0, (5/6) >/ ; mi = C m () / C m (4) > /; m = (5 / 6) > / ; p(a)=/+/*/*/+...+/( (-) -)*) = /3 p(b)=/*/+/*/*/*/+...+/( * ) = /3.8. p +q *q *p +...+(q *q ) (-) *p =p (-q *q ) = 5/.83. p 3/4 =C 3 (4)*(/3)*(/3)=8/=0, p 5/8 =C 5 (8)*(/5) 5 *(/3) 3 = 448/658=0, C 5 (5)*(3/0) 5 *(7/0) 0 +C 5 (5)*(7/0) 5 *(3/0) 0 = 0, (-p) a) C (3)*(5/0) */5/0)+C 3 (3)*(/4) 3 *(5/0) 0 = 0,565 b) -C 0 (5)*(/4) 0 *(3/4)5-C (5)*(/4) *(3/4) 4 = 47/8 = 0,

70 Náhodá veličia.87. C (5)*(/6) *(4/6) 3 +C 3 (5)*(/6) 3 *(4/6) +C 4 (/6) 4 *(4/6) = 30/43 = 0, C - ()p - q -+ C ()p q - C + ()p + q -- 0 = ; P (0) = C (0)*(/8)*(7/8) 6 = 0, (C 0 (6)*(3/4) 0 *(/6) 6 + C (6)*(3/4) *(/4) 5 + C (6)*(3/4) *(/4) 4 ) = 0, p(a) = (-3*0-8 ) 00-3*0-8 *00 p(a) = - p(a) 3* ,59 = - ( - p) 4 p 0,.9. a) p( 3) = C i (7)*0, i *0,8 7-i, i = 0 3 b) p( 3) = - C i (7)*0, i *0,8 7-i, i = 0 c) p(=3) = C 3 (7)*0, 3 *0,8 4 0,469 d) (+)*p- (+)*p =.93. a) - C 0 (5)*( - 0,4) 5 0,94 b) =.94., y i <0, L > a) - y L/4 p = 7/6 b) - y L/ p = 3/4.95., y i <0, 45 > - y 5 p = 5/ y - > y > /, > 0 y < /, < 0 p = * it( - /,, 0, ) / π / , C (3) * 4/9 * (5/9) 0, /4.0. /4.0. 0,

71 Náhodá veličia.03. 8/4 * 7/3 + 6/4 * 8/3 = /3.04. m / (m + ).05. /(+) * (/(+) + /(+) + + (+)/(+)) = (+)/((+)).06. a) A... vytaţeí bílé p(a) = /4 * (3/5 + /7 + /7 + /4) = 99/560 p(u /A) = (/4*3/5)/(99/560) = 0,4 b) (/4*3/4)/(36/560) = 0, a) 0,870 b) 0, p(a) = /6 3 p(b) = 6 / 6 3 p(c) = C 3 (6) / viz výsledky příkladu

72 3. NÁHODNÁ VELIČINA Náhodá veličia Průvodce studiem V předchozích kapitolách jste se sezámili s kombiatorikou a pravděpodobostí jevů. Tyto zalosti pouţijeme v této kapitole, zavedeme pojem áhodá veličia, fukce, které áhodou veličiu popisují, a číselé charakteristiky áhodé veličiy. Předpokládaé zalosti Pojmy z pravděpodobosti, derivace, itegrál. Cíle Cílem této kapitoly je objasit pojmy áhodá veličia, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti, distribučí fukce, středí hodota, rozptyl, koeficiet šikmosti, koeficiet špičatosti, p-kvatil, mediá, modus. Výklad 3.. Náhodá veličia Výsledky ěkterých pokusů (elemetárí jevy) jsou přímo vyjádřey číselě (pade ), u jiých tomu tak eí (pade líc). Také u těchto pokusů je účelé přiřadit elemetárím jevům čísla. Čísla přiřazeá elemetárím jevům tvoří obor hodot M proměé, kterou azýváme áhodá veličia (ozačujeme X, Y, Z,...) Defiice 3... Náhodá veličia X je reálá fukce defiovaá a moţiě všech elemetárích jevů, která kaţdému jevu přiřadí reálé číslo

73 Např.: Hod Náhodá veličia micí Podle oboru hodot M rozdělujeme áhodé veličiy a: diskrétí... obor hodot M je koečá ebo ekoečá posloupost spojité... obor hodot M je otevřeý ebo uzavřeý iterval 3.. Diskrétí áhodá veličia 3... Pravděpodobostí fukce Nechť X je diskrétí áhodá veličia s oborem moţých hodot {,,..., e }, která tyto hodoty abývá s pravděpodobostí {p, p,..., p }. Údaje sestavíme do tabulky: i... p i p p... p Kaţdé hodotě i je přiřazea právě jeda hodota p i a pravděpodobostí tabulku lze tedy chápat jako tabulkové určeí fukce, kterou azýváme pravděpodobostí fukcí. Defiice 3... Pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X azýváme fukci p() = P(X = ) - 7 -

74 Náhodá veličia Pozámka Fukčí hodota v i představuje pravděpodobost, že áhodá veličia X abude hodotu i. Vlastosti pravděpodobostí fukce: a) p( i ) 0 b) i p = i Pozámka Prví vlastost plye přímo z defiice pravděpodobostí fukce. Druhé tvrzeí plye z toho, že áhodé veličiě X je přiřazeo číslo i právě tehdy, když astae jev s hodotou i (stručěji jev X i ). Přitom jevy X, X,..., X tvoří úplou skupiu vzájemě disjuktích jevů, protože v jedom pokusu abývá áhodá veličia X právě jedé hodoty z oboru M. Sečteme-li všechy možé výsledky pokusu, dostáváme jev jistý I s pravděpodobostí P(I) = Distribučí fukce diskrétí áhodé veličiy Často ás ezajímá je pravděpodobost toho, ţe X abude určitou hodotu i, ale potřebujeme určit pravděpodobost, se kterou X abude hodoty meší eţ jistá mez: Defiice 3... Reálá fukce, která přiřazuje kaţdé hodotě i áhodé veličiy X pravděpodobost, ţe X abude hodoty meší eţ toto i, se azývá distribučí fukce F(). Je defiováa vztahem: F() = P(X < ) = i P X i Pozámka Vlastosti distribučí fukce budou souhrě popsáy u spojité áhodé veličiy

75 Řešeé úlohy Náhodá veličia Příklad 3... Hod kostkou. Řešeí: Náhodá veličia X je defiováa a moţiě elemetárích jevů: pade, pade,..., pade 6. Obor hodot M jsou reálá čísla {,,...,6} přiřazeá elemetárím jevům E, E,..., E 6 s pravděpodobostí {p, p,..., p 6 }, kde p i = 6. Pravděpodobostí fukce p() = P(X = ) = 6 Příklad 3... V osudí je 5 bílých a 7 červeých míčků. Náhodá veličia X představuje počet bílých míčků mezi pěti vybraými. Vytvořte pravděpodobostí a distribučí fukci této áhodé veličiy. Řešeí: Náhodá veličia X abývá hodot {0,,,3,4,5}. Z teorie pravděpodobosti víme, ţe se jedá o opakovaé závislé pokusy. Můţeme tedy sestavit pravděpodobostí fukci: p i 5 7. i 5 i 5 Dosazeím do pravděpodobostí fukce vytvoříme pravděpodobostí tabulku: i p i Např. p p p

76 Moţosti grafického zázorěí: Bodový graf: Náhodá veličia Úsečkový diagram:

77 Histogram: Náhodá veličia Tabulka pro distribučí fukci: i p i F( i ) Graf:

78 Náhodá veličia 3.3. Spojitá áhodá veličia Také u spojité áhodé veličiy se uţívá k jejímu popisu distribučí fukce F(), která je defiovaá stejě jako u diskrétí áhodé veličiy vztahem: F( i ) = P(X < i ) Vlastosti F() (společé pro spojitou i diskrétí áhodou veličiu): 0 F() P( X < ) = F( ) - F( ) pro < F() je eklesající fukce F(- ) = 0, F( ) = F() je zleva spojitá v bodech = i, i =,,..., diskrétí áhodé veličiy a spojitá v ostatích bodech. Druhou vlastost je moţé zapsat také: P( X < + h) = F( + h) - F(). Pro h 0 levá straa P(X = ) a pravá 0 (tedy P(X = ) = 0). Proto emá smysl defiovat pro spojitou áhodou veličiu pravděpodobostí fukci p() = P(X = ). Zavádíme tedy jiou fukci, která se azývá hustota pravděpodobosti: Defiice Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X defiovaé a itervalu ab, je ezáporá, reálá fukce defiovaá vztahem: f P X h lim h 0 h, kde pro ab, je f() = 0;, +h ab,

79 Vlastosti f() a F() spojité áhodé veličiy pro R platí: f() 0 Náhodá veličia b a f d (obecě f d ); a, b jsou krají meze itervalu, ve kterém je f() růzá od uly) f() = F ' () (F() je primitiví fukcí f()) F() = P(X < ) = a f d resp. = f d P( X < ) = F( ) - F( ) = f d Řešeé úlohy Příklad Náhodá veličia X je dáa distribučí fukcí: F Určete f(), zázorěte graficky F(), f(), vypočtěte P(0,4 X <,6) Řešeí: Hustotu pravděpodobosti získáme zderivováím distribučí fukce: 0 0 f 0 0 Graf distribučí fukce:

80 Graf hustoty pravděpodobosti: Náhodá veličia P(0,4 X <,6) = F(,6) - F(0,4) = 0,64-0,04 = 0,6 Příklad Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X má tvar: 0 0 f a.si 0 0 Určete koeficiet a, distribučí fukci F() a P X. Řešeí: Nejdříve určíme koeficiet a: 0 a.si d a. cos 0 a. a F() je primitiví fukcí f(). Jestliţe itegrujeme f(), obdrţíme: C F cos C 0 C 3 0 Hodoty kostat C, C 3 zjistíme z okrajových podmíek distribučí fukce: F(- ) = 0, F( ) =. Takţe C = 0, C 3 =. Pro vypočteí kostaty C vyuţijeme spojitosti distribučí fukce. Víme, ţe: F 0 0 cos0 C 0 C

81 Distribučí fukce má tedy tvar: Náhodá veličia 0 0 F cos 0 Výpočet hledaé pravděpodobosti: P X F F cos Příklad Určete kostaty A, B tak, aby fukce F() = A + B.arcta, defiovaá pro všecha reálá čísla, byla distribučí fukcí rozloţeí áhodé veličiy. Řešeí: F F 0 A B.arcta 0 A B.arcta A B. 0 A B. A B Pozámka Rozděleí určeé distribučí fukcí z předchozího příkladu se azývá Cauchyho rozděleí áhodé veličiy. Pro získáí kompleějšího pohledu a problematiku áhodé veličiy, doporučujeme, přečíst si Úvod do teorie iformací. Zde se dozvíte více o pojmu eurčitosti

82 Náhodá veličia 3.4. Číselé charakteristiky áhodé veličiy Náhodá veličia X je jedozačě určea rozděleím pravděpodobosti pomocí pravděpodobostí fukce ebo distribučí fukce (popř. hustoty pravděpodobosti). Tyto fukce jsou však často poměrě sloţité a jejich určeí pracé. Proto je výhodé shrout iformace o áhodé veličiě do ěkolika čísel, které ji dostatečě charakterizují. Tato čísla azýváme číselé charakteristiky a dělíme je: a) podle způsobu kostrukce a charakteristiky: mometové kvatilové ostatí b) podle toho, které vlastosti rozděleí pravděpodobosti charakterizují a charakteristiky: polohy variability šikmosti špičatosti Mometové charakteristiky áhodé veličiy Jsou kostruováy a základě počátečího mometu μ k ebo cetrálího mometu ν k : Defiice Počátečí (obecý) momet k-tého stupě μ k áhodé veličiy X je středí hodota k-té mociy áhodé veličiy: i k. p pro diskrétí áhodou veličiu i i k k. f d pro spojitou áhodou veličiu - 8 -

83 Náhodá veličia Cetrálí momet k-tého stupě ν k áhodé veličiy X je: k i i k k. p pro diskrétí áhodou veličiu i. f d pro spojitou áhodou veličiu, kde μ = μ je počátečí momet. stupě áhodé veličiy X. Pozámka Praktický výzam mají čtyři mometové charakteristiky: μ, ν, ν 3, ν 4 Prví počátečí momet μ představuje středí hodotu áhodé veličiy X Bývá ozačová: μ = E(X) = μ tedy: E X i. p pro diskrétí áhodou veličiu i i. f d pro spojitou áhodou veličiu Pro středí hodotu platí:. E(c) = c, kde c je kostata. E(c.X) = c.e(x) 3. E(X Y) = E(X) E(Y) 4. E(X.Y) = E(X).E(Y), jsou-li X a Y ezávislé Druhý cetrálí momet ν představuje rozptyl (disperzi, variaci) Ozačujeme: ν = D(X) = σ D X i i. p pro diskrétí áhodou veličiu i. f d pro spojitou áhodou veličiu - 8 -

84 Pro rozptyl platí: Náhodá veličia. D(c) = 0, kde c je kostata. D(c.X) = c.d(x) 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), jsou-li X a Y ezávislé 4. D X... se azývá směrodatá odchylka Rozptyl a směrodatá odchylka charakterizují rozptýleost hodot áhodé veličiy X kolem středí hodoty μ. Další dvě číselé charakteristiky jsou vyjádřey pomocí ormovaých mometů. Normovaý momet r-tého stupě r áhodé veličiy X je urče vztahem r, r r v ěmţ r začí cetrálí momet r-tého stupě a r je r-tá mocia směrodaté odchylky áhodé veličiy X. Třetí cetrálí momet ν 3 slouţí k určeí koeficietu asymetrie, který ozačujeme 3 = A A 3 3 3, kde 3 i i 3 3. p pro diskrétí áhodou veličiu i. f d pro spojitou áhodou veličiu Vyjadřuje, do jaké míry a a kterou strau je rozloţeí zešikmeo, ebo jestli je symetrické: A =

85 zešikmeí vlevo: A < 0 Náhodá veličia zešikmeí vpravo: A > 0 Čtvrtý cetrálí momet ν 4 slouţí k výpočtu koeficietu špičatosti (ecesu), který začíme e. e , kde 4 i i 4 4. p pro diskrétí áhodou veličiu i. f d pro spojitou áhodou veličiu Iformuje o kocetrovaosti hodot daé veličiy kolem její středí hodoty

86 Náhodá veličia Výpočet cetrálích mometů lze provádět podle výše uvedeého a ebo s vyuţitím vztahů mezi μ k a ν k : ν = μ - μ 3 ν 3 = μ 3-3μ μ + μ ν 4 = μ 4-4μ 3 μ + 6μ μ 4-3μ k k k k 0 k k k k k k 0 k Řešeé úlohy Příklad Náhodá veličia X je dáa tabulkou. Určete její číselé charakteristiky i 3 4 p i 0,3 0, 0,4?

87 Řešeí: p 4 = - (p + p + p 3 ) = 0, Náhodá veličia E X 4 i 4 D X i. p i i. p.0,3.0, 3.0, 4 4.0,,5 i i,5.0,3,5.0, 3,5.0, 4 4,5.0,, 5 Další charakteristiky vypočteme pomocí ásledující tabulky: i 3 4 Σ p i 0,3 0, 0,4 0, - i.p( i ) 0,3 0,, 0,8,5 i.p( i ) 0,3 0,4 3,6 3, 7,5 3 i.p( i ) 0,3 0,8 0,8,8 4,7 4 i.p( i ) 0,3,6 3,4 5, 85,5 Tedy: A 3 4, 7 3.,5.7,5., ,5 0, e , Příklad Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f pro 0, 0 pro ostatí Určete její číselé charakteristiky Řešeí: 3 E X.d 0, d 0,

88 Náhodá veličia d 0, d 0, D X A ,05 0,43 e , o o Kvatilové charakteristiky áhodé veličiy jsou obvykle odvozey pomocí distribučí fukce F() jsou určováy pro spojitou áhodou veličiu, pro diskrétí áhodou veličiu ebývá jejich určeí jedozačé Defiice Nechť F() je distribučí fukce spojité áhodé veličiy X. Pak hodota p, pro kterou platí F( p ) = p, kde p 0,, se azývá p-kvatil p-kvatil dělí plochu pod grafem hustoty pravděpodobosti v poměru p:(-p)

89 Nejužívaější kvatily: Náhodá veličia kvartily: 0,5, 0,50, 0,75 - rozdělí obor moţých hodot a čtyři části, v ichţ se áhodá veličia achází s pravděpodobostí 0,5 decily: 0,, 0,,..., 0,9 - rozdělí obor moţých hodot a deset částí se stejou pravděpodobostí výskytu percetily: 0,0, 0,0,..., 0,99 - rozdělí obor moţých hodot a sto částí se stejou pravděpodobostí výskytu 0,5 = Me... mediá: dělí plochu pod křivkou hustoty pravděpodobosti a dvě stejé části Řešeé úlohy Příklad Určete prví decil 0, a třetí kvartil 0,75 pro f pro 0, 0 pro ostatí Řešeí: F 0 pro,0 pro 0, pro, F 0, 0, 0, 0, 0, 0, F 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75,5 Modus: Mo - je hodota, v íţ abývá frekvečí fukce maima: u diskrétí áhodé veličiy je to hodota, v íţ pravděpodobostí fukce p( i ) dosahuje maima u spojité áhodé veličiy je to hodota, v íţ hustota pravděpodobosti f() abývá lokálího maima

90 Řešeé úlohy Náhodá veličia Příklad Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f e pro 0, 0 pro 0,. Určete modus. Řešeí: Modus je hodota, v íţ frekvečí fukce (v ašem případě hustota pravděpodobosti) abývá maima. Maimum fukce vypočteme pomocí prví derivace: f e e.. Prví derivace poloţíme rovu ule:. e 0 Tato rovice má dvě řešeí: = 0... toto řešeí eí přípusté, ula eleţí v defiičím oboru =... lehce ověříme, ţe se skutečě jedá o maimum Mo = Shrutí Charakteristiky polohy E(X), Me, Mo, kvatily. Určují jakýsi "střed", kolem ěhoţ kolísají hodoty áhodé veličiy X. Charakteristiky variability D(X), σ,.... Ukazují rozptýleost hodot áhodé veličiy kolem středí hodoty Charakteristiky šikmosti a špičatosti Charakterizují průběh rozděleí áhodé veličiy X

91 Úlohy k samostatému řešeí Náhodá veličia Náhodá veličia 3.. Třikrát vystřelíme a cíl. Pravděpodobost zásahu při kaţdém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobostí fukci počtu zásahů při třech ezávislých výsledcích, b) distribučí fukci a její graf. 3.. Háţeme třikrát kostkou. Nechť áhodá veličia X zameá počet padutí šestky. Určete: a) pravděpodobostí fukci a její graf, b) sestrojte graf distribučí fukce Náhodá veličia X je dáa distribučí fukcí: F ( ) 0 3 pro pro 3 pro 3 6 Určete f(), zázorěte graficky f(), F() a P(,5 X 4) Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X má tvar: 6 f ( ) 0 0 pro pro pro Určete distribučí fukci 3.5. Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy X má tvar: f ( ) 0 c( 0 ) pro pro 0 pro 0 Určete koeficiet c, distribučí fukci F() a P(X > 0,) Distribučí fukce áhodé veličiy X má tvar: F ( ) arctg pro. Určete pravděpodobost, ţe áhodá veličia X abývá hodot z itervalu (0,)

92 Náhodá veličia 3.7. Dva hráči hrají společeskou hru. Pravděpodobost výhry hráče A je /3, hráče B /3. Hráči opakují hru tolikrát, aţ vyhraje hráč A. Určete záko rozloţeí áhodé veličiy, která začí počet uskutečěých her Určete záko rozloţeí áhodé veličiy, která začí součet ok při hodu a) jedou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami Střelec střílí 0-krát a cíl. Za kaţdý zásah získává 3 body, ezasáhe-li, ztrácí bod. Pravděpodobost zásahu při jedom výstřelu daého střelce je /3. Určete záko rozloţeí počtu bodů, které střelec můţe získat Pokus spočívá ve třech ezávislých hodech micí. Pro áhodou veličiu začící počet padutí líců sestrojte fukci rozloţeí. 3.. Hrací kostkou házíme -krát. Najít fukce rozloţeí počtu paduvších šestek. 3.. Dokaţte, ţe pro =,, je výraz p zákoem rozloţeí diskrétí áhodé veličiy. Určete pravděpodobosti P(X < 3), P X Výsledkem určitého pokusu je celé kladé číslo s pravděpodobostí epřímo úměrou. Určete záko rozloţeí áhodé veličiy Je dáa fukce rozloţeí: 0 pro F( ) pro. pro Určete k této fukci a) hustotu rozloţeí f(), b) pravděpodobost 6 3 P X Určete, - 9 -

93 B a) pro jaká A, B bude F A 0,, Náhodá veličia fukcí rozloţeí áhodé proměé pro b) příslušou hustotu rozloţeí Určete, a) pro jaké C bude fukce F si C fukcí rozloţeí áhodé proměé pro 0,, b) příslušou hustotu rozloţeí, c) pravděpodobost 3.7. Určete 3 P X. a) kostaty A, B tak, aby fukce F A B. e byla fukcí rozloţeí áhodé veličiy pro 0,, b) pravděpodobost P X 4, c) hustotu rozloţeí f() Která z uvedeých fukcí je pravděpodobostí fukcí áhodé veličiy X, která abývá hodot 0,, 4, 6: a) b) f f c c) f Náhodá veličia X je určea tabulkou: X p 0,? 0, 0,3 0, Určete hodotu pravděpodobosti pro X = 0, distribučí fukci a pravděpodobost jevu, ţe áhodá veličia abude kladých hodot Cauchyho rozděleí áhodé veličiy X defiovaé pro všecha reálá čísla má - 9 -

94 Náhodá veličia distribučí fukci F a b.arcta. Určete kostaty a, b, hustotu pravděpodobosti a pravděpodobost, ţe X leţí v itervalu 3 ; Distribučí fukce Rayleighova rozděleí spojité áhodé veličiy má tvar: F C e, 0. Určete kostatu C a hustotu pravděpodobosti f(). 3.. Distribučí fukce arkussiového rozloţeí pravděpodobosti má tvar: 0 pro F( ) a b.arcsi pro -. Určete kostaty a, b a hustotu pravděpodobosti f(). pro 3.3. Je fukce F si a) 0,, distribučí fukcí áhodé veličiy X v itervalu b) 0,? 3.4. Náhodá veličia X je určea distribučí fukcí: 0 F ( ) 4 pro ;, 5. pro pro, 5 Vypočítejte hustotu pravděpodobosti áhodé veličiy X, pravděpodobost toho, ţe X je meší eţ 7 / 3 a akreslete grafy pravděpodobostí a distribučí fukce Hustota pravděpodobosti áhodé veličiy má tvar: f( ) 0 pro 0 C.. e pro 0 Určete kostatu C, P 0 X a distribučí fukci

95 Náhodá veličia Číselé charakteristiky áhodé veličiy 3.6. Náhodá veličia X je dáa tabulkou rozděleí pravděpodobosti: i 0 3 p i 0, 0, 0,3 0,4 Určete středí hodotu, rozptyl, koeficiet asymetrie a špičatosti Pravděpodobost zásahu cíle při kaţdém ze čtyř výstřelů je 0,8. Nechť áhodá veličia X představuje počet zásahů cíle. a) určete rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy b) vypočtěte její středí hodotu, disperzi a směrodatou odchylku 3.8. V městě byl po dobu 60 dů evidová počet dopravích ehod v průběhu kaţdého de a podle počtu ehod v jedom di vytvořea ásledující tabulka: počet ehod / de počet dů s uvedeým počtem ehod Pro počet ehod v jedom di jako áhodou proměou sestrojit záko rozloţeí, středí hodotu a disperzi. (řešeí v ecelu) 3.9. Výsledkem áhodého pokusu je áhodá veličia abývající hodot / ( je přirozeé číslo) s pravděpodobostmi epřímo úměrými 3. Určit středí hodotu této áhodé veličiy. (řešeí v ecelu) (jiá realizace řešeí v ecelu) Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f ( ) 3 pro 0, 0 pro 0, Určete E(), D() 3.3. Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f ( ) pro pro,, Určete F(), E(), D(), směrodatou odchylku

96 Náhodá veličia 3.3. Určete středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy X, jejíţ distribučí fukce má tvar: F ( ) 0 pro pro pro 0 0, Háţeme dvěma hracími kostkami. Určete rozděleí pravděpodobosti součtu hozeých bodů a modus Háţeme třikrát micí. Náhodá veličia X zameá hozeí líce. Určete rozděleí pravděpodobosti a modus Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f ( ) - e 0 pro pro 0, 0,. Určete modus Náhodá veličia X má hustotu pravděpodobosti: f ( ) 0 pro pro 0,. Určete kvartily. 0, Náhodá veličia X má distribučí fukci: 0 pro F ( ) 4 pro ;, 5. Určete prví tři decily. pro, Fukce f C má být hustotou rozloţeí pravděpodobosti pro 0,. Určete a) kostatu C, b) fukci rozloţeí F(), c) středí hodotu příslušé áhodé veličiy, d) disperzi a směrodatou odchylku, e) pravděpodobost P(X<) Fukce f Asi je fukcí hustoty rozloţeí pravděpodobosti pro 0,. Určete a) kostatu A

97 Náhodá veličia b) fukci F(), c) středí hodotu E(X) d) disperzi D(X) Fukce rozloţeí áhodé veličiy X má tvar 0 pro F( ) A B.arcsi pro -. Určete pro a) kostaty A, B b) hustotu rozloţeí f() c) středí hodotu E(X) d) disperzi D(X) 3.4. Určete středí hodotu a rozptyl áhodé veličiy, která má hustotu rozloţeí ve tvaru f. e (Laplaceovo rozloţeí) Trolejbusy městské dopravy odjíţdějí ze staice v pětimiutových itervalech. Cestující přišel ke staici v libovolý okamţik. Určete středí hodotu a disperzi doby jeho čekáí a odjezd ze staice Mějme áhodou veličiu X, jejíţ hustota rozloţeí je dáa fukcí f A.cos k,,, 0 k k k Určete kostatu A, středí hodotu a disperzi

98 Výsledky úloh k samostatému řešeí Náhodá veličia ,7.0,3 3 p p pro f( ) 0 jide P,5 X pro F( ) pro, pro 3.5. c = 6 0 pro 0 F 3 ( ) 3 pro 0, pro P(X > 0,) = 0, p k = / 3 k 3.8. a) 6.p k = (,,,,, ) b) 36.p k = (,, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3,, ) c) 6.p k = (,3,6,0,5,,5,7,7,5,,5,0,6,3,) 3.9. k p k p k = C k (3). / p k = / 6.C k ().5 -k, k = 0,..., 3.. P(X<3) = / 3 ; P(X<=0) = 0 /

99 Náhodá veličia 3.3. f pro a) f ( ) pro, 0 pro 3 b) A, B, f 3.6. a) C 4 0 pro 0 b ) f ( ) cos 4 4 pro 0, 0 pro c) 0, a) A, B b) P X 4 3 e e c) f e, 0, pouze b) pro c = 35 / P X 0 0,, P X 7 0, a, b, f., p 3.. C, f. e a, b, f ( ) 0 jide

100 Náhodá veličia 3.3. pouze b) 3.4. pro,5 f( ), 0 jide P X C e pro 0, P 0 X 3 e, F( ) 0 jide 3.6. ; ; -0,6; -0, a).0,8.0, 4 b) 3,; 0, ,75; 0, E() =,5; D() = 0, E() = π, D() = Mo() = ,5.0,5 3 p, 0,,,3; Mo, Mo() = ,5 = 0,5 0,5 0, , =,05; 0, =,; 0,3 =, C = 3 / 4, F() = 3 / 4 ( - 3 / 3), stř =, D(X) = / 5, σ = (/5) = 0,447, p = / A = /π, F() = /π(si()- cos()), E(X) = π - 4/π, D(X) = - 6/π A = /, B = /π, f() = / π ( - ), E(X) = 0, D(X) = /, M 3 = 0, M 4 = 3 /

101 Náhodá veličia 3.4. stř = 0, σ = 3.4. f() = / 5, i <0, 5>, stř = 5 / (mi) = 50(s), D = 5 / (mi ) A = k /, E(X) = 0, D(X) = (π - 8) / 4 k 0,467 / k

102 Diskrétí áhodá veličia 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se sezámíte se základími typy rozloţeí diskrétí áhodé veličiy. Vašim úkolem by eměla být pouze základí pasiví zalost a orietace v rozloţeích, ale měli byste se také aučit tato rozloţeí od sebe rozlišovat a bezpečě je rozpozávat. Předpokládaé zalosti Pojmy z kombiatoriky, pravděpodobosti. Cíle Cílem této kapitoly je sezámeí se základími typy rozloţeí diskrétí áhodé veličiy, odvozeí jejich základích číselých charakteristik. Výklad 4.. Alterativí rozděleí A(p) Některé áhodé pokusy mohou mít pouze dva růzé výsledky: - pokus je úspěšý - pokus je eúspěšý Příslušá áhodá veličia X se pak azývá alterativí (dvoubodová, ulajedičková). Tato áhodá veličia abývá tedy pouze dvou hodot: - v případě přízivého výsledku pokusu (jev A), 0 - v případě epřízivého výsledku pokusu (jev A ). Obor hodot tedy obsahuje dva prvky M = {0,}. Pouţíváme ozačeí: P(A) = P(X = ) = p P( A ) = P(X = 0) = - p Defiice 4... Náhodá veličia X s pravděpodobostí fukcí P(X = 0) = - p, P(X = ) = p (0 < p < ) má alterativí rozděleí pravděpodobosti A(p) s parametrem p

103 Diskrétí áhodá veličia Řešeé úlohy Příklad 4... Hod micí: = {líc,rub} Jedá se o alterativí rozděleí A. Tedy: M = {0,}; X = {0 v } p 0 p 4.. Rovoměré rozděleí R() Defiice 4... Náhodá veličia X má rovoměré rozděleí R() právě tehdy, kdyţ je pravděpodobostí fukce určea vztahem: p() =, kde je počet moţých výsledků. Řešeé úlohy Příklad 4... Hod kostkou: M = {,, 3, 4, 5, 6} - kaţdý výsledek je stejě pravděpodobý. Jedá se tedy o rovoměré rozděleí R(6), p Biomické rozděleí Bi(, p) - popisuje četost áhodého jevu v ezávislých pokusech, v ichţ má jev stále stejou pravděpodobost - 0 -

104 Diskrétí áhodá veličia Defiice Náhodá veličia X má biomické rozděleí Bi(, p) právě tehdy, kdyţ je pravděpodobostí fukce určea vztahem: p. p. p, kde = 0,,..., ; je počet pokusů a p je pravděpodobost úspěšosti v kaţdém pokusu. Biomické rozděleí je tedy příkladem diskrétího rozděleí pravděpodobosti áhodé proměé X, která můţe abývat pouze + hodot. Při matematickém sestrojeí biomického rozděleí vycházíme z Beroulliova pokusu, který spočívá v tom, ţe v daém áhodém pokusu mohou astat pouze dva stavy: A, A s pravděpodobostí p, - p. To lze modelovat tzv. biárí áhodou proměou Y, pro kterou platí: P(Y = ) = p a P(Y = 0) = - p. Platí: E(Y) =.p + 0.( - p) = p D(Y) = E(Y - p) = p.( - p) + ( - p).p = ( - p).p Náhodá proměá X vzike jako součet ezávislých biárích proměých Y i s hodotami 0 ebo, které mají všechy stejé rozděleí určeé parametrem p: X i Y i Z toho plye: Vlastosti biomického rozděleí: E(X) =.p D(X) =.p.( - p) Pozámka Alterativí rozděleí A(p) je vlastě speciálím případem biomického rozděleí pro = (A(p) ~ Bi(,p))

105 pravděpodobost Pravděpodobost a statistika Řešeé úlohy Diskrétí áhodá veličia Příklad Studet VŠB Pepe má potíţe s raím vstáváím. Proto ěkdy zaspí a estihe předášku, která začíá jiţ v 9 hodi. Pravděpodobost, ţe zaspí, je 0,3. V semestru je předášek - tz. ezávislých pokusů dorazit a předášku včas. Nalezěte pravděpodobost, ţe Pepe estihe předášku v důsledku zaspáí v poloviě ebo více případů. Řešeí: Hledaá pravděpodobost má hodotu: P X 6 P 6 P 7 P 8 P 9 P 0 P P k 6.0,3 k.0,7 k 0,8 Ručí výpočet by v tomto případě byl poměrě zdlouhavý. Máme-li ale k dispozici apř. tabulkový procesor Ecel, můţeme příklad sado vypočíst pomocí distribučí fukce biomického rozděleí - v Ecelu ji ajdeme pod ázvem BINOMDIST: P(X 6) = - P(X < 6) = - F(6) = - BINOMDIST(5;;0,3;) = 0,8 Rozděleí pravděpodobosti pro teto příklad je zázorěo graficky a ásledujícím obrázku: počet zaspáí

106 Diskrétí áhodá veličia 4.4. Poissoovo rozděleí Po( ) Toto rozděleí pravděpodobosti, pojmeovaé podle fracouzského matematika S. D. Poissoa, mají áhodé proměé, které popisují četosti jevů s těmito vlastostmi: - to, ţe jev v daém itervalu (časovém, prostorovém) astae (eastae), ezávisí a tom, co se stalo jidy ebo jide - pro kaţdý časový okamţik je pravděpodobost jevu v malém časovém itervalu stejá (totéţ platí v prostoru) - eeistuje případ, ţe by astaly dva jevy přesě v jedom časovém okamţiku ebo místě v prostoru Průměrý počet výskytů zkoumaého jevu v daém úseku jedotkové délky ozačujeme. Defiice Náhodá veličia X má Poissoovo rozděleí Po( ) právě tehdy, kdyţ má pravděpodobostí fukce tvar: p. e! v daém jedotkovém úseku, kde = 0,,,... ; > 0 je parametr. l Případě p. e! l v úseku délky l (v l-ásobku délky jedotkového úseku) Pro charakteristiky Poissoova rozděleí platí: E() = D() = A e Pozámka S rostoucí hodotou se toto rozděleí blíží k ormálímu rozděleí (viz. další kapitola). Jestliže áhodá veličia má biomické rozděleí, pak tvar jejího rozložeí se blíží k Poissoovu s parametrem =.p, jestliže je velké a p se blíží k ule. Aproimativě

107 pravděpodobost Pravděpodobost a statistika Diskrétí áhodá veličia můžeme tedy biomické rozděleí s velkým a malou hodotou p ahradit Poissoovým rozděleím. Součet ezávislých proměých s Poissoovým rozděleím je opět rozděle podle tohoto rozděleí. Jestliže máme pozorováí Poissoova rozděleí s parametrem, pak součet pozorováí je možé považovat za pozorováí s Poissoovým rozděleím a parametrem. Řešeé úlohy Příklad Předpokládejme, ţe realití makléř jedá v průměru s pěti zákazíky za de. Zjistěte jaká je pravděpodobost, ţe počet zákazíků za jede de bude větší eţ 4. Řešeí: Náhodá veličia X - počet zákazíků přesě splňuje kritéria pro Poissoovo rozděleí. Pravděpodobostí fukce počtu zákazíků má tedy tvar: 5 p. e! 5 Úlohu ejlépe vyřešíme pomocí opačého jevu: P X 4 P X 4 p 0 p p p 3 p 4 0, 44 0,56 V Ecelu bychom výše uvedeou pravděpodobost vypočetli pomocí fukce POISSON: P(X > 4) = - POISSON(4;5;) = 0,56 Poissoovo rozděleí pravděpodobosti počtu zákazíků: počet zákazíků

108 Diskrétí áhodá veličia 4.5. Hypergeometrické rozděleí H(N,M,) Předpokládejme, ţe áhodý pokus, jehoţ výsledkům je přiřazea alterativí áhodá veličia A(p), opakujeme -krát, přičemţ jedotlivé pokusy jsou vzájemě závislé (výsledek v libovolém pokusu závisí a předcházejících pokusech) - jedá se tedy o výběry bez vraceí (opakovaé pokusy závislé). Pro takto vziklou áhodou veličiu X platí: Defiice Náhodá veličia X má hypergeometrické rozděleí H(N, M, ) právě tehdy, kdyţ má pravděpodobostí fukce tvar: p M N M. N, kde N je počet prvků základího souboru; M je počet prvků v základím souboru, které mají poţadovaou vlastost; je počet pokusů a = 0,,,.., je počet vybraých výrobků, které mají zkoumaou vlastost. Pozámka Pravděpodobostí fukci hypergeometrického rozložeí pravděpodobosti lze sado odvodit z klasické defiice pravděpodobosti - viz. kapitola. Vlastosti: E() =. M N M M N D() =... N N N Řešeé úlohy Příklad Mezi stovkou výrobků je 0 zmetků. Vybereme deset výrobků a sledujeme počet zmetků mezi vybraými. Řešeí: V tomto případě má áhodá veličia X hypergeometrické rozděleí: X ~ H(00,0,0)

109 pravděpodobost Pravděpodobost a statistika Pravděpodobostí fukce má tvar: p Diskrétí áhodá veličia Takţe apříklad pravděpodobost, ţe mezi deseti vybraými budou 3 zmetky, se vypočte: p , Pravděpodobostí fukci zázoríme opět graficky: počet zmetků

110 Úlohy k samostatému řešeí Diskrétí áhodá veličia Diskrétí áhodá veličia 4.. V zásilce 00 výrobků je 80 výrobků. jakosti a 0 výrobků. jakosti. Vybíráme třikrát po jedom výrobku a výrobek vţdy vracíme zpět. Určete pravděpodobost, ţe všechy vybraé výrobky budou. jakosti. 4.. Dlouhodobým pozorováím stavu vody v řece byla určea pravděpodobost jarí povodě a 4. Určete E() a D() počtu povodí v ejbliţších 00 letech Při výstupí kotrole se z kaţdých 00ks výrobků vybírá 30. Určete středí hodotu a rozptyl počtu ekvalitích výrobků mezi těmito 30 kusy, je-li zmetkovitost výroby % Za jasých letích ocí můţeme v průměru kaţdých 0 miut vidět "padat hvězdu". Jaká je pravděpodobost, ţe během 5 miut uvidíme dvě "padající hvězdy"? 4.5. Trolejbusy odjíţdějí ze zastávky v 0 mi. itervalech. Cestující můţe přijít a zastávku v libovolém okamţiku. Určete E() a D() doby čekáí a odjezd trolejbusu Pekára dodává ráo čerstvé pečivo kdykoliv mezi 5. a 6. hodiou. Jaká je pravděpodobost, ţe pečivo bude dodáo mezi 5:30 a 5:45? 4.7. Ke 400 šroubům M0 bylo omylem přimícháo 00 šroubů M8. a) Jaké bude rozděleí pravděpodobosti, ţe při áhodém výběru 5 šroubů bude m =,,..., 5 šroubů správého rozměru? b) Pro motáţ přístroje potřebuje pracovík 4 šrouby rozměru M0. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi vybraými 5 šrouby budou alespoň 4 s poţadovaými vlastostmi? 4.8. V dodávce 80 polotovarů je 8 (tj. 0 %) vadých. Náhodě vybereme (ajedou, tj. "bez opakováí") 5 kusů polotovarů k další kompletaci. Jaká je pravděpodobost, ţe mezi vybraými prvky bude maimálě jede vadý? (řešeí v ecelu) 4.9. Ke kotrole v továrě je připraveo 00 výrobků. Z ich se áhodě vybírá 0 kusů. Určete středí hodotu a rozptyl počtu zmetků ve vybraých dvaceti výrobcích, vímeli, ţe zmetkovitost výroby je 3 % Při výrobě alumiiových odlitků byla zkoumáa bubliatost a vymezeé ploše odlitků. Zkoumáí bylo provedeo a souboru 50 odlitků, u ichţ bylo zjištěo

111 Diskrétí áhodá veličia celkem 340 bubli. Vyjádřete rozděleí pravděpodobosti počtu bubli a jedom odlitku. 4.. Televizor má za hodi chodu v průměru 0 poruch. Určete pravděpodobost poruchy za 00 hodi chodu. Ověřte, zda patřičé biomické rozděleí lze ahradit rozloţeím Poissoovým. 4.. Ve skladišti závodu je výrobků stejého typu. Pravděpodobost toho, ţe daý výrobek evydrţí kotrolí zapojeí, je 0, %. Najděte pravděpodobost, ţe z výrobků a skladě více eţ dva evydrţí kotrolí zapojeí Ve strojíreském závodě se vyrábějí určité součástky, jejichţ rozměry mají ahodilé odchylky řídící se ormálím zákoem rozloţeí se směrodatou odchylkou 4 mm. Výrobky s odchylkou meší eţ 5 mm se zařazují do vyšší jakostí třídy. Určete středí hodotu počtu výrobků zařazeých do vyšší jakostí třídy z daých 4 výrobků Průměrý počet poruch elektroické aparatury za hodi provozu je 0. Určete pravděpodobost poruchy aparatury za 00 hodi práce Aparatura obsahuje 000 stejě spolehlivých součástek, u ichţ je pravděpodobost poruchy p = 0,0005. Jaká je pravděpodobost poruchy aparatury, která přestae pracovat i při poruše jedié součástky? 4.6. Pravděpodobost toho, ţe výrobek evydrţí zátěţ, je 0,00. Najděte pravděpodobost toho, ţe z výrobků více eţ jede evydrţí zatíţeí. Srovejte výsledky získaé pomocí rozloţeí biomického a Poissoova Najděte pravděpodobost toho, ţe mezi 00 výrobky se vyskytou více eţ tři zmetky, kdyţ v průměru je zmetkovitost výroby těchto výrobků % Korektura 500 stráek obsahuje 500 alezeých tiskových chyb. Najděte pravděpodobost toho, ţe a stráce jsou ejméě tři chyby

112 Výsledky úloh k samostatému řešeí Diskrétí áhodá veličia 4.. 0, ,6; 9, ,6; 0, , ; 5/ , f() = C (5).0,8.0, ,9437, hypergeometrické rozloţeí 4.9. p() = C (3).C 0- (00-3), = 0, p = 0,03, =.p = 0,6, σ =.p.q.(n-)/(n-)=0, λ = 340/50 =,4, Poissoovo rozloţeí 4.. p = 0 / = 0-3, = 00, =.p = 0,.p.q =0.998, p( 0) = = = 5 = λ, p(>) = , e -0, = 0, e e 0,95957,.0, 00.0,999 0,959639! e 0,4876,.0, 0.0,99 0,4965! e 0, ! 0 - -

113 Spojitá áhodá veličia 5. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V teto kapitole se sezámíte se základími typy rozloţeí spojité áhodé veličiy. Vašim úkolem by eměla být pouze základí pasiví zalost a orietace v rozloţeích, ale měli byste se také aučit tato rozloţeí od sebe rozlišovat a bezpečě je rozpozávat. Předpokládaé zalosti Pojmy z kombiatoriky, z počtu pravděpodobosti, derivace, itegrál. Cíle Cílem této kapitoly je sezámeí se základími typy rozloţeí spojité áhodé veličiy, odvozeí jejich základích číselých charakteristik. Výklad 5.. Rovoměré rozděleí R(a, b) Toto rozděleí má spojitá áhodá veličia X, jejíţ realizace vyplňují iterval koečé délky a mají stejou moţost výskytu (apř. doba čekáí a autobus, a výrobek u automatické liky,...). Defiice 5... Náhodá veličia X má rovoměré rozděleí R(a,b) právě tehdy, kdyţ má hustota pravděpodobosti rovici: pro a, b f b a 0 pro a, b - -

114 Graf hustoty pravděpodobosti: Spojitá áhodá veličia Distribučí fukce je ve tvaru: 0 pro, a a F pro a, b b a pro b, Pozámka Vyjádřeí distribučí fukce lze sado odvodit ze základí vlastosti distribučí fukce a hustoty pravděpodobosti: F f t dt Tudíţ: F, a : 0dt 0 a, b : a F dt. t a b a b a b a a b, : b b a F dt 0dt b a b a a b - 3 -

115 Graf distribučí fukce: Spojitá áhodá veličia Vlastosti: E a b b a D Tyto vlastosti můţeme opět velmi jedoduše odvodit: b b b b a a b E. f d d b a b a. b a a a a b 3 b. b a 3 a a 3 3 b a a b b a D f d 3. b a Řešeé úlohy Příklad 5... Tramvajová lika číslo 8 odjíţdí v dopoledích hodiách ze zastávky kaţdých 0 miut. Vypočtěte pravděpodobost, ţe a i budete dopolede čekat déle eţ 7 miut. Řešeí: Doba čekáí je áhodá veličia X, která má rovoměré rozděleí pravděpodobosti - v ašem případě R(0,0). Distribučí fukce má tedy tvar: F 0 pro,0 0 pro 0,0 pro 0, - 4 -

116 Hledaá pravděpodobost: 7 3 P X 7 P 7 X F F Spojitá áhodá veličia 5.. Epoeciálí rozděleí E( ) Toto rozděleí má spojitá áhodá veličia X, která představuje dobu čekáí do astoupeí (poissoovského) áhodého jevu, ebo délku itervalu (časového ebo délkového) mezi takovými dvěma jevy (apř. doba čekáí a obsluhu, vzdáleost mezi dvěma poškozeými místy a silici). Závisí a parametru, coţ je převráceá hodota středí hodoty doby čekáí do astoupeí sledovaého jevu. Defiice 5... Náhodá veličia X má epoeciálí rozděleí E( ) právě tehdy, kdyţ je hustota pravděpodobosti dáa vztahem: 0 pro 0 f. e pro 0 Graf hustoty pravděpodobosti: Distribučí fukce: 0 pro 0 F e pro 0-5 -

117 Spojitá áhodá veličia Graf distribučí fukce: Vlastosti: E D Pozámka Tvar distribučí fukce, stejě jako vlastosti epoeciálího rozděleí, lze odvodit obdobě jedoduchým způsobem, jako u rovoměrého rozděleí. Řešeé úlohy Příklad 5... Doba čekáí hosta a pivo je v restauraci U Lva průměrě 5 miut. Určete: a) hustotu pravděpodobosti áhodé veličiy, která je dáa dobou čekáí a pivo b) pravděpodobost, ţe budeme čekat a pivo déle eţ miut c) dobu čekáí, během které bude zákazík obslouţe s pravděpodobostí 0,9 Řešeí: Jedá se tedy o epoeciálí rozloţeí pravděpodobosti: a) Hustota pravděpodobosti: f 0 pro e. pro 0 b) Distribučí fukce: F 0 pro 0 5 e pro 0-6 -

118 Hledaá pravděpodobost: P X P X F F Spojitá áhodá veličia. 5 5 e e 0, 0907 c) Hledaou dobu čekáí ozačíme t. Platí: P 0 X t 0,9 F t F 0 0,9. t 5 e 0 0,9 e. t 5 5 t t t t 0, l 0, 5.l 0,,5miut miut 30 sekud 5.3. Normálí rozděleí N( ) Ozačováo téţ obecé ormálí rozděleí či Gaussovo rozděleí (v aglicky psaé literatuře azývaé rozděleí zvoovitého tvaru - bell curve). Je velmi důleţité, eboť: ejčastěji se vyskytuje moho jiých rozděleí se mu blíţí řada jiých rozděleí se jím dá ahradit Defiice Náhodá veličia X má ormálí rozděleí N( pravděpodobosti tvar: ) právě tehdy, kdyţ má hustota f. e pro,

119 Spojitá áhodá veličia Grafem hustoty pravděpodobosti je tzv. Gaussova (Gaussova-Laplaceova) křivka: Z obrázku je patré, ţe parametr (středí hodota) určuje, kde má křivka maimum. Parametr (směrodatá odchylka) aproti tomu určuje, jak jsou po obou straách od hodoty vzdáley ifleí body, tedy jak je křivka roztaţea do šířky. Distribučí fukce: t F. e dt pro,. Graf distribučí fukce: Pozámka Pomocí křivky ormálího rozděleí popsal v roce 773 matematik Abraham de Moivre limití chováí biomického rozděleí, když se sažil aproimovat výpočty jedotlivých pravděpodobostí biomického rozděleí pro velká. Rozděleí, které Moivre pro teto účel avrhl, se akoec ukázalo být důležitější ež výchozí biomické rozděleí. V roce 8 odvodil ezávisle a Moivreovi ormálí rozděleí fracouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezetovali toto rozděleí jako záko chyb a - 8 -

120 Spojitá áhodá veličia používali ho pro iterpretaci astroomických a geodetických měřeí, výsledků hazardích her a přesosti dělostřelecké střelby. Řešeé úlohy Příklad Jaká je pravděpodobost, ţe áhodá veličia X, která má rozděleí N(0, 9), abude hodoty a) meší eţ 6, b) větší eţ 0, c) v mezích od 7 do? Řešeí: a) P X 6 P X 6 F 6 F F 6 Zjistit, čemu je rova distribučí fukce pro hodotu 6 můţeme ěkolika způsoby. V příští kapitole si ukáţeme, ţe áhodou veličiu můţeme převést a ormovaé ormálí rozděleí N(0, ), jehoţ hodoty jsou v tabulkách. Máme-li ale k dispozici apř. program Ecel, můţeme hodotu vypočíst pomocí předdefiovaé fukce NORMDIST: P(X < 6) = F{6) = NORMDIST(6;0;3;) = 0,9775 Prví parametr v závorce je hodota, jejíţ distribučí fukci počítáme, druhý je středí hodota daého ormálího rozděleí, třetí parametr je směrodatá odchylka daého rozděleí a posledí parametr je pravdivostí hodota, kterou zadáme vţdy, kdyţ chceme vypočítat hodotu distribučí fukce. b) P(X > 0) = P(0 < X < ) = - F(0) = - NORMDIST(0;0;3;) = 0,5 c) P(7 < X < ) = NORMDIST(;0;3;) - NORMDIST(7;0;3;) = 0, Normovaé ormálí rozděleí N(0, ) Jedá se o speciálí případ obecého ormálího rozloţeí, kdy. V tomto případě ozačujeme hustotu pravděpodobosti:. pro, e - 9 -

121 Distribučí fukci u tohoto rozděleí ozačujeme: Spojitá áhodá veličia t e dt pro, Graf hustoty pravděpodobosti: Graf distribučí fukce: Uţitečost ormovaého ormálího rozděleí spočívá v tom, ţe vybraé hodoty distribučí fukce tohoto rozděleí ajdeme v tabulkách, které bývají součástí kaţdé učebice statistiky. Vztah mezi ormovaým ormálím rozděleím N(0,) a obecým ormálím rozděleím N( ) vyjadřuje ásledující věta: - 0 -

122 Věta Má-li spojitá áhodá veličia X obecé ormálí rozděleí N( Spojitá áhodá veličia ) s hustotou pravděpodobosti: f. e pro,,. pak áhodá veličia T X má ormovaé ormálí rozděleí N(0,) s hustotou pravděpodobosti: t. pro, t e t Důkaz: Zavedeme-li do vztahu: 0 P X 0. e d substituci:. X d T, dt, dostáváme: t0 t P T t0. 0 e dt, kde t 0. Pozámka V tabulkách alezeme pouze hodoty distribučí fukce pro ezáporé t. Chceme-li určit distribučí fukci pro t < 0, využijeme vlastostí distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí a můžeme lehce odvodit, že (-t) = - (t) Řešeé úlohy Příklad Pouţijeme zadáí příkladu 5.3.., přičemţ teto příklad vyřešíme převedeím daého ormálího rozděleí N(0, 9) a ormovaé ormálí rozděleí N(0, ) substitucí z předchozí věty

123 Řešeí: a) P X 6 P X 6 F 6 F F , Spojitá áhodá veličia b) P(X > 0) = P(0 < X < ) = - F(0) = - (0) = 0,5 c) P(7 < X < ) = (4) - (-) = = (4) - + () = 0,843 Všechy hodoty jsou dosazeé z tabulky distribučí fukce ormálího rozděleí. Příklad Určete pravděpodobost, ţe áhodá veličia X s ormálím rozděleím N( ) abude hodot z itervalu a) ( ) b) ( ) c) ( ) Řešeí: a) P X F F. 0, 683 Grafické zázorěí: b) P X F F. 0,

124 c) P 3 X 3 F 3 F ,997 Spojitá áhodá veličia Pozámka Výsledek příkladu 5.4.c. je zám pod ázvem pravidlo 3. Vyjadřuje skutečost, že áhodá veličia s obecým ormálím rozděleím N( ) abude hodot z itervalu ( ) s pravděpodobostí 97,7 % Aproimace biomického rozděleí U biomického rozděleí můţe být pro velká obtíţý výpočet kombiačích čísel. Jak uţ bylo řečeo, biomické rozděleí lze aproimovat Poissoovým a to v případě, ţe p < 0,3 ebo p > 0,7: Bi(, p) Po( ), kde =.p Jestliţe p 0,3;0, 7 : Bi(, p) N( ), kde =.p, =.p( - p) Řešeé úlohy Příklad Házíme 00 krát micí. Jaká je pravděpodobost, ţe lev pade aspoň 50 krát? Řešeí: X...počet padutí lva Náhodá veličia X má biomické rozděleí, eboť házeí micí jsou opakovaé pokusy - ezávislé. Problém při řešeí tohoto příkladu můţe astat ve chvíli, kdy emáme k dispozici ţádý software, který by dokázal počítat hodoty biomického rozděleí - museli bychom tedy ručě sčítat 5 hodot pravděpodobostí fukce biomického rozděleí mezi 50 a 00. Máme-li k dispozici alespoň statistické tabulky, můţeme řešit pomocí ormálího rozděleí: N( ), kde: =.p =

125 Spojitá áhodá veličia =.p.( - p) = 5 Takţe: P(X = 50 v 5 v 5 v... v00) = - P(X < 50) = - F(50) = - (0) = 0, Některá další rozděleí Weibullovo rozděleí W(, c) Toto rozděleí má spojitá áhodá veličia, která představuje dobu ţivota (bezporuchovosti) techických zařízeí, kterým evyhovuje epoeciálí. To jest tam, kde se projevuje mechaické opotřebeí ebo úava materiálu. Parametr závisí a materiálu, amáháí a podmíkách uţíváí ( > 0); c > 0. Fukce hustoty pravděpodobosti: 0 pro 0 f c. c - c c (pro c = dostaeme epoeciálí rozděleí E( )). e pro 0 Grafické zázorěí hustoty pravděpodobosti pro = a růzé hodoty c: Distribučí fukce: F 0 pro 0 - c e pro 0-4 -

126 Spojitá áhodá veličia Grafické zázorěí distribučí fukce pro = a růzé hodoty c: Pearsoovo rozděleí... čteme chí kvadrát s stupi volosti Uţití: Jestliţe ezávislých veliči X,...,X má rozděleí N(0, ), pak veličia X=X +X +...+X má Pearsoovo rozděleí. Hustota pravděpodobosti: f.. e pro 0 0 pro 0 ()...gama fukce defiovaá pro > vztahem: t e. t dt Studetovo rozděleí t Uţití: Jsou-li X,X dvě ezávislé áhodé proměé, kde X se řídí rozloţeím N(0, ) a X rozloţeím, pak áhodá veličia T volosti.. má Studetovo rozloţeí s stupi f

127 Úlohy k samostatému řešeí Spojitá áhodá veličia Spojitá áhodá veličia 5.. Náhodá veličia má hustotu pravděpodobosti: f 0, 0,. e pro 0. 0 pro 0 Určete její středí hodotu a rozptyl. 5.. Náhodá veličia X má rozděleí N(0, ). Určete: a) P(X <,3) b) P(X < -,) c) P(-0,4 < X <,9) 5.3. Náhodá veličia X má rozděleí N(, 9). Určete: a) P(X < 5) b) P(X < -) c) P(0 < X <,33) 5.4. Náhodá veličia má rozděleí pravděpodobosti: a) N(0, ) b) N(0,4) c) N(,4) Určete v případě a) P( X < 0,7); b), c) P(X < -0,5). Sestrojte graf f(), F() a vypočteé pravděpodobosti zázorěte Jaká je pravděpodobost, ţe áhodá veličia X, která má rozděleí N(0; 9), abude hodoty a) meší eţ 6, b) větší eţ 0, c) v mezích od 7 do? 5.6. Jaká je pravděpodobost, ţe při 00 hodech micí pade lev aspoň čtyřicetkrát a maimálě padesátkrát? 5.7. Jaká je pravděpodobost, ţe při 60 hodech kostkou epade 6 ai jedou? 5.8. Basketbalista dá koš s pravděpodobostí 0,6. Jaká je pravděpodobost, ţe při 60 hodech bude úspěšý aspoň třicetkrát a ejvýše čtyřicetkrát? - 6 -

128 Spojitá áhodá veličia 5.9. Měřeí je zatíţeo chybou -0,3 cm. Náhodé chyby měřeí mají ormálí rozděleí pravděpodobosti se směrodatou odchylkou = 0,5 cm. Jaká je pravděpodobost, ţe chyba měřeí epřekročí v absolutí hodotě trojásobek směrodaté odchylky? 5.0. Váha v uhelých skladech váţí s chybou 30 kg, přičemţ siţuje váhu. Náhodé chyby mají ormálí rozděleí pravděpodobosti se = 00 kg. Jaká je pravděpodobost, ţe chyba zjištěé váhy epřekročí v absolutí hodotě 90 kg? 5.. Kolik procet hodot áhodé veličiy X s rozděleím N(0, ) leţí mimo iterval (-, )? 5.. Jakou je uto staovit toleraci, aby pravděpodobost, ţe průměr pískového zra překročí toleračí hraici, byla maimálě 0,4536, jestliţe odchylky od středu tolerace (v 0 - mm) mají ormálí rozděleí N(0, 44)

129 Výsledky úloh k samostatému řešeí Spojitá áhodá veličia 5.. 0; ,98956; 0,3567; 0, ,8434; 0,5866; 0, ,5608; 0,409; 0, a) 0,9775, b) 0,5, c) 0, , , pomocí biomického rozděleí; 4, pomocí Poissoova rozděleí , , , , ,

130 6. NÁHODNÝ VEKTOR Náhodý vektor Průvodce studiem V počtu pravděpodobosti i v matematické statistice se setkáváme eje s áhodými veličiami, jejichţ hodotami jsou reálá čísla, ale i s takovými, jejichţ hodotami jsou uspořádaé -tice reálých čísel - apř. měříme-li u výrobků ěkolik kvatitativích charakteristik. V těchto případech musíme zavést pojem áhodého vektoru. Předpokládaé zalosti Pojmy z kombiatoriky, pravděpodobosti, zalosti z kapitoly áhodá veličia, zalost parciálích derivací, dvojého itegrálu. Cíle Cílem této kapitoly je objasit pojmy áhodý vektor, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti, distribučí fukce, margiálí fukce áhodého vektoru, charakteristiky áhodého vektoru - kovariace, koeficiet korelace. Výklad 6.. Náhodý vektor - popis Defiice 6... Uspořádaá -tice áhodých veliči X,X,...,X se azývá -rozměrý áhodý vektor (rozměrá áhodá veličia) a začí se: X = (X,X,...,X ). X,X,...,X - sloţky áhodého vektoru Pozámky Pro zjedodušeí budeme hovořit o dvourozměrém áhodém vektoru X=(X, X ) ebo (X, Y)

131 Náhodý vektor Budeme se zabývat pouze áhodými vektory, jejichž všechy složky jsou buď diskrétí áhodé veličiy ebo spojité áhodé veličiy. Rozděleí pravděpodobosti áhodého vektoru popisujeme stejě jako u áhodé veličiy pomocí frekvečí fukce (u diskrétí áhodé veličiy - pravděpodobostí fukce, u spojité áhodé veličiy - hustota pravděpodobosti) ebo distribučí fukce: 6... Distribučí fukce áhodého vektoru (X, Y) Defiice 6... Sdruţeá (simultáí) distribučí fukce áhodého vektoru (X, Y) je reálá fukce F(, y) defiovaá vztahem: F(, y) = P(X <,Y < y) Vlastosti distribučí fukce:. 0 F(,y). F(-,y) = F(,- ) = F(-,- ) = 0; F(, ) = 3. F(,y) je eklesající fukce 4. F(,y) je fukce spojitá zleva 5. P(a X < b;c Y < d) = F(b,d) - F(a,d) - F(b,c) + F(a,c) Grafické vyjádřeí:

132 Náhodý vektor 6... Frekvečí fukce áhodého vektoru (X, Y) Diskrétí áhodý vektor Defiice Sdruţeá (simultáí) pravděpodobostí fukce áhodého vektoru (X, Y) je fukce dáa vztahem: p(, y) = P(X =, Y = y) Vlastosti pravděpodobostí fukce:. 0 p( i, y j ). m i j p, y i j 3. F, y p, y i y j y i j Pozámka Všechy tři vlastosti jsou obdobé vlastostem pravděpodobostí fukce jedorozměré áhodé veličiy. Užití: obecě tabulka X\Y y y y 3 P(X= i ) p(,y ) p(,y ) p(,y 3 ) P(X= ) = p(,y) p(,y ) p(,y ) p(,y 3 ) P(X= ) = p(,y) P(Y=y i ) P(Y=y ) = p(,y ) P(Y=y ) = p(,y ) P(Y=y 3 ) = p(,y 3 ) - 3 -

133 Náhodý vektor kokrétí příklad tabulky X\Y 0 P(X= i ) 0 0,4 0, 0,06 0,6 0,8 0,08 0,04 0,4 P(Y=y i ) 0,7 0, 0, Spojitý áhodý vektor Defiice Sdruţeá (simultáí) hustota pravděpodobosti áhodého vektoru (X, Y) je fukce daá vztahem: f, y F, y y Vlastosti hustoty pravděpodobosti: y. F, y f, y ddy bd. P a X b, c Y d f, y ddy 3. f, y 0 a c 4. f, y ddy Řešeé úlohy Příklad 6... Najděte kostatu c tak, aby fukce: c pro 3, 0 y f, y y 0 jide byla hustotou pravděpodobosti ějakého áhodého vektoru (X,Y) - 3 -

134 Řešeí: Náhodý vektor c y arctg 0 3. d 3 c. d dy y 4 ddy c d y c 3 c c c 9 Kromě rozděleí vektoru (X, Y) ás budou i adále zajímat rozděleí jedotlivých áhodých veliči X a Y, kterým budeme říkat margiálí rozděleí, a rozděleí těchto veliči za jistých podmíek - podmíěá rozděleí: Margiálí rozděleí pravděpodobosti Defiice Margiálí (okrajové) pravděpodobostí fukce áhodé veličiy X ebo Y jsou dáy vztahy: p () = P(X = ) = p, y p (y) = P(Y = y) = p, y y Margiálí (okrajové) hustoty pravděpodobosti áhodé veličiy X ebo Y jsou dáy vztahy: f f, y dy f y f, y d

135 Náhodý vektor Margiálí (okrajové) distribučí fukce áhodé veličiy X ebo Y jsou dáy vztahy: F () = P(X < ) = F(, ) F (y) = P(Y < y) = F(, y) Podmíěé rozděleí pravděpodobosti Defiice Podmíěá pravděpodobostí fukce p(/y) áhodé veličiy X za podmíky, ţe áhodá veličia Y abyla hodoty y, je: p, y p / y ; p y 0 p y Podmíěá hustota pravděpodobosti: f, y f / y ; f y 0 f y Podmíěá distribučí fukce: F y i / p, y p i y... pro diskrétí áhodý vektor p y 0 F / y f t, y dt p y... pro spojitý áhodý vektor p y 0 Řešeé úlohy Příklad 6... Studeti z jedé studijí skupiy byli a zkoušce z matematiky a fyziky s těmito výsledky (prví hodota v uspořádaé dvojici ozačuje výsledek studeta z matematiky, druhá z fyziky): (,), (,), (,3), (,), (,3), (,3), (3,), (3,), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,3), (3,4), (3,4), (4,3), (4,3), (4,4), (4,4), (4,4)

136 Náhodý vektor. Vytvořte pravděpodobostí tabulku áhodého vektoru, jehoţ sloţka X bude zameat výsledky u zkoušky z matematiky a sloţka Y bude zameat výsledky u zkoušky z fyziky. Určete jeho margiálí pravděpodobostí fukce p (), p (y) 3. Určete jeho distribučí fukci F(,y) 4. Zjistěte jeho podmíěé pravděpodobosti p(/y) Řešeí: ad. X\Y 3 4 0,05 0,05 0, ,05 0, , 0,5 0, , 0,5 ad. Hodoty v prvím řádku a prvím sloupci jsou hodoty, kterých mohou abývat áhodé veličiy X, Y. Ostatí čísla v tabulce zameají pravděpodobosti všech moţých dvojic, apř. p, 0,05 (hodota v druhém řádku a druhém sloupci 0 tabulky) vzikla jako jediá moţost (, ) ze všech dvaceti moţostí. X\Y 3 4 p ( i ) 0,05 0,05 0,05 0 0,5 0 0,05 0, 0 0, , 0,5 0, 0, , 0,5 0,5 p (y j ) 0,05 0, 0,5 0,5 Hodoty margiálí pravděpodobostí fukce p ( i ) jsou vţdy součty všech pravděpodobostí v daém řádku, apř.: p (3) = 0 + 0, + 0,5 + 0, = 0,45. Obdobě alezeme ve sloupcích hodoty p (y j )

137 Náhodý vektor Zvýrazěé číslo musí být vţdy rovo jedé, je to součet všech hodot p ( i ) ebo p (y j ), tedy vlastě součet všech pravděpodobostí áhodého vektoru. ad 3. F(,y) X\Y ,05 0, 0,5 0, ,05 0,5 0,3 0, ,05 0,5 0,65 0, ,05 0,5 0,75 postup při výpočtu, apř.: F(3,3) = P(X<3,Y<3) = p(,) + p(,) + p(,) + p(,) = 0,5 Všiměte si, ţe hodoty v posledím sloupci odpovídají hodotám margiálí distribučí fukce F () a hodoty v posledím řádku hodotám F (y) ad 4. p(/y) X\Y 3 4 0,5 0, 0 0 0,5 0, ,5 0,5 0, , 0,6 Např.: p p 3,3 0, 5 3/ 3 0,5 p 3 0,5-36 -

138 6..5. Nezávislost složek áhodého vektoru (X, Y) Náhodý vektor Defiice Náhodá veličia X ezávisí a Y právě tehdy, kdyţ jsou podmíěá rozděleí veličiy X stejá jako margiálí, pro : p(/y=y 0 ) = p () f(/y=y 0 ) = f () F(/Y=y 0 ) = F () Pozámka Je-li áhodá veličia X ezávislá a áhodé veličiě Y, pak složka Y je ezávislá a složce X a říkáme, že složky X a Y jsou ezávislé. Věta 6... Je dá áhodý vektor (X,Y). Náhodé veličiy X, Y jsou ezávislé právě tehdy, kdyţ platí: F(,y) = F ().F (y) p(,y) = p ().p (y)...pro diskrétí áhodý vektor f(,y) = f ().f (y)...pro spojitý áhodý vektor

139 Náhodý vektor 6.. Číselé charakteristiky áhodého vektoru Charakteristiky áhodého vektoru (X,Y) slouţí k popisu zákoa rozděleí pravděpodobosti áhodého vektoru. Jsou opět kostruováy a základě počátečího mometu kl ebo cetrálího mometu kl. Defiice 6... počátečího mometu kl Počátečí momety (k+l)-tého řádu áhodého vektoru (X,Y) jsou středí hodoty součiu k- tých moci sloţky X a l-tých moci sloţky Y: kl k E X. Y l y k l. y. p, y pro diskrétí áhodou veličiu k l. y. f, y ddy pro spojitou áhodou veličiu Defiice 6... cetrálího mometu kl Cetrálí momety (k+l)-tého řádu áhodého vektoru (X,Y) jsou středí hodoty součiu k- tých moci odchylek sloţky X od a l-tých moci odchylek sloţky Y od y: kl y k l. y. p, y pro diskrétí áhodou veličiu k y l. y. f, y ddy pro spojitou áhodou veličiu y

140 Náhodý vektor 6... Margiálí charakteristiky Tyto charakteristiky popisují vlastosti margiálích rozděleí jedotlivých sloţek áhodého vektoru. Popisují tedy odděleě jedotlivé sloţky áhodého vektoru. Podobě jako u áhodé veličiy popisují polohu, variabilitu, šikmost a špičatost rozděleí. Nejčastěji uţívaé jsou středí hodoty a disperze sloţek: Středí hodoty áhodých veliči X a Y středí hodota áhodé veličiy X: 0 E X. Y 0 E X i. p pro diskrétí áhodou veličiu i i. f d pro spojitou áhodou veličiu středí hodota áhodé veličiy Y: 0 E X. Y 0 E Y y j y. p y pro diskrétí áhodou veličiu j j. f y dy pro spojitou áhodou veličiu Disperze (rozptyl) áhodých veliči X a Y disperze áhodé veličiy X: 0 D X i E X. p pro diskrétí áhodou veličiu i i E X. f d pro spojitou áhodou veličiu disperze áhodé veličiy Y: 0 DY y j y E Y. p y pro diskrétí áhodou veličiu j j y E Y. f y dy pro spojitou áhodou veličiu

141 6... Podmíěé charakteristiky Náhodý vektor Podmíěé charakteristiky popisují vlastosti podmíěých rozděleí, tz., ţe jde o charakteristiky proměé X za podmíky, ţe proměá Y abyla určité hodoty (ebo aopak). Podmíěá středí hodota E(X/y): E X / y E X / Y y i. p / y pro diskrétí rozděleí i i. f / y d pro spojité rozděleí Protoţe podmíěá středí hodota proměé X závisí a hodotě veličiy Y, a je tedy její fukcí, azývá se regresí fukce veličiy X vzhledem k Y. Podmíěá disperze D(X/y) D X / y E X / Y y i E X / y. p / y pro diskrétí rozděleí i i E X / y. f / y d pro spojité rozděleí Podmíěá disperze je rověţ závislá a veličiě Y. Nazývá se skedastická fukce a popisuje, jak se měí rozptyl veličiy X v závislosti a hodotách proměé Y. Rozděleí, u kterých je tato fukce kostatí, se azývají homoskedastická. Pozámka Vzorce pro E(Y/), D(Y/) obdržíme samozřejmě záměou proměých X, Y a jejich hodot, y

142 Náhodý vektor Charakteristiky popisující vztah mezi proměými X, Y Kovariace cov(x, Y) Kovariace je středí hodota součiu odchylek veliči X a Y od jejich středích hodot cov X, Y E X. Y E X. Y E X. E Y y i j. y. p, y E X. E Y pro diskrétí áhodý vektor i j i j. y. f, y ddy E X. E Y pro spojitý áhodý vektor Platí: o cov(x, X) = D(X) o cov(y, Y) = D(Y) o cov(x, Y) = cov(y, X) o cov(x, Y) = 0 jsou-li X a Y ezávislé Koeficiet korelace (X,Y) Koeficiet korelace určuje míru lieárí závislosti áhodých veliči X a Y cov XY, XY, D X. D Y Vlastosti: o XY, o Jestliţe (X, Y) =, pak mezi veličiami X a Y eistuje fukčí lieárí závislost, tz.: Y = ax + b (a, b jsou kostaty) o Jestliţe (X, Y) = 0, pak veličiy X a Y jsou ekorelovaé (emusí být ezávislé) o Jestliţe (X, Y) > 0, pak hovoříme o kladé (přímé) korelaci (obě veličiy současě rostou)

143 Náhodý vektor Jestliţe (X, Y) < 0, pak hovoříme o záporé (epřímé) korelaci (jeda veličia roste a druhá současě klesá) o Hodoty (X, Y) blízké + ebo - zameají silou lieárí závislost mezi veličiami X a Y Hodoty (X, Y) blízké 0 zameají velmi slabou lieárí závislost mezi veličiami X a Y. Řešeé úlohy Příklad 6... tabulkou: Určete číselé charakteristiky áhodého vektoru (X, Y), který je zadá Y\X 3 6 0,5 0,0 0,0 3 0,0 0,05 0,30 Řešeí: K řešeí příkladu můţeme pouţít apř. Ecel a vypočítat charakteristiky přesě podle vzorců - viz. tabulka: Z tabulky vidíme, ţe: E X p 3,85 i i i E Y y p y, y j j j - 4 -

144 Náhodý vektor i i i D X p 3,75 y j y j j D Y y p y 0,99 cov X, Y y p, y E X. E Y 8,55-3,85., = 0,465 i j i j i j XY, cov XY, D X. D Y = 0,465 = 0,6... jedá se tedy o slabou lieárí 3,75. 0,99 závislost Lze postupovat i jiým způsobem: Stačí si uvědomit, ţe pravděpodobosti v tabulce přesě odpovídají souboru, ve kterém je dvacet uspořádaých dvojic, přičemţ apř. dvojice (, ) se vyskytuje třikrát ( 3 0 0,5), dvojice (, 3) se vyskytuje čtyřikrát ( 4 0 0, ).... Pak stačí přepsat tyto dvojice opět apř. do Ecelu a vyuţít předdefiovaých fukcí PRŮMĚR, VAR, COVAR, CORREL: Tuto úlohu si můţete také otevřít vyřešeou v Ecelu

145 Náhodý vektor Příklad 6... Vypočtěte středí hodotu áhodé veličiy X áhodého vektoru, který je urče hustotou pravděpodobosti: f, y 0,5.si y pro 0, 0 y 0 jide Řešeí: E X. f d, kde f f, y dy E X d.si y dy d.cos y cos cos d per partes 0 / u v cos cos / u v si si. si si si si d 0 0 cos cos Podobým způsobem by se daly vypočítat i zbylé číselé charakteristiky: disperze, kovariace a koeficiet korelace

146 Úlohy k samostatému řešeí Náhodý vektor 6.. Náhodý vektor (X,Y) má pravděpodobostí fukci zadaou tabulkou: X\Y 3-0,5 0,05 0,0 0 0,0 0,0 0,5 0,05 0,0 0,0 Určete: a) P(X = 0,Y = 3) b) P(X < 0,5,Y <,5) c) P(X > 0,Y >,5) d) margiálí rozděleí e) distribučí fukci 6.. Náhodý vektor je dá pravděpodobostí fukcí: X\Y 0 0,5 0, 0,3 3 0,05 0,? Doplňte chybějící hodotu a určete margiálí pravděpodobostí fukci a sdruţeou distribučí fukci V sérii výrobků měříme jejich délku s přesostí 0,5 mm a šířku s přesostí 0, mm. Ozačme jako áhodou veličiu X chybu, které se dopustíme při měřeí délky a Y při měřeí šířky. Za předpokladu rovoměrého rozděleí určete pravděpodobost, ţe délka bude měřea s ma. chybou 0, mm a současě šířka s ma. chybou 0, mm Určete středí hodoty, disperze, kovariaci a koeficiet korelace áhodého vektoru, který je popsá pravděpodobostí fukcí:

147 Náhodý vektor a) X\Y ,008 0,036 0,054 0,07 0,060 0,80 0,35 0 0,50 0, , b} X\Y ,0 0,0 0,03 0,5 5 0,04 0,6 0,8 0,05 7 0, 0,07 0,06 0,0 c) X\Y - 6 0, , , 6.5. Pro áhodý vektor daý ásledující tabulkou vypočtěte koeficiet korelace X\Y 0 0,005 0,0 0 0,0 0,

148 Náhodý vektor Výsledky úloh k samostatému řešeí 6.. a) 0,5 b) 0,4 c) 0, 6..? = 0, , 6.4. a),5; 0,9; 0,75; 0,63; -0,45; -0,654 b) 4,9;,7;,7;,66; -,048; -0,64539 c) 3,; 0,4;,56; 0,4; 5,; ,

149 Statistický soubor s jedím argumetem 7. STATISTICKÝ SOUBOR S JEDNÍM ARGUMENTEM Průvodce studiem Předchozí kapitoly byly věováy pravděpodobosti a tomu, co s tímto pojmem souvisí. Nyí zalosti z počtu pravděpodobosti aplikujeme ve statistice. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly je zavést a objasit pojem statistika, sezámit se základí statistickou termiologií a defiovat charakteristiky statistického souboru s jedím argumetem. Výklad 7.. Úvod do statistiky Několik citátů a úvod: Nevěřím jié statistice, eţ té, kterou jsem osobě zfalšoval. Wisto Churchill Statistika je obzvláště rafiovaá forma lţi.??? S pomocí statistiky je jedoduché lhát. Bez í je ale těţké říci pravdu. Adrejs Dukels Uţ z těchto vět je patré, ţe statistika měla a má poěkud pošramoceou pověst vědy, která má často vytvářet pouze jakousi iluzi pravdy a jejíţ přímým úkolem je ěkdy skutečost úmyslě mást (a obrau statistiky i W. Churchilla uto pozameat, ţe v případě prvího citátu se pravděpodobě jedá o podvrh, fámu o tomto údajém Churchillově výroku rozšířil ěmecký miistr propagady Joseph Goebbels)

150 Statistický soubor s jedím argumetem Jak jedoduché je ze správých statistických údajů vyvodit esmyslé závěry, můţeme dokumetovat a ásledujícím příkladě: Je statisticky dokázáo, ţe kaţdé čtvrté dítě, které se arodí, je Číňa. Zameá to však ěco při pláováí počtu dětí pro průměrou českou rodiu? Většia čteářů asi tuší, ţe ikoliv. Jsme však schopi takový rozpor vţdy odhalit? Abychom se tedy vyvarovali esprávých úsudků vyplývajících z ezalosti, je vhodé se sezámit se základy matematické statistiky a s jejími moţostmi. Nejčastější aplikace počtu pravděpodobosti směřují do oblasti statistiky. Její ejrozšířeější část, tzv. matematická statistika, se zabývá metodami získáváí, zpracováí a vyhodocováí hromadých dat (tz. údajů o vlastostech velkého počtu jediců - osob, věcí či jevů). Podle pouţitých metod práce dělíme matematickou statistiku a deskriptiví, popisou statistiku - zabývá se efektivím získáváím ukazatelů, které poskytují obraz zkoumaého jevu; statistickou idukci (matematickou statistiku v uţším smyslu) - řeší problémy zobecňováí výsledků získaých popisem statistického souboru. 7.. Statistický soubor s jedím argumetem - základí pojmy Moţiu všech předmětů pozorováí ( osob, věcí, jevů apod.) shromáţděých a základě toho, ţe mají společé vlastosti, azýváme statistickým souborem. Jedotlivé prvky této moţiy se azývají prvky (elemety) statistického souboru ebo téţ statistické jedotky. Počet všech prvků statistického souboru se azývá rozsah souboru N. Soubor, který je předmětem zkoumáí, se azývá základí soubor. Často elze ebo eí účelé provést zkoumáí všech statistických jedotek tohoto základího souboru. Základí soubor pak zkoumáme pomocí statistických jedotek, které z ěj byly určitým způsobem vybráy a které tvoří takzvaý výběrový soubor

151 Statistický soubor s jedím argumetem Pozámka Například: Při zjišťováí výšky studetů ve studijí skupiě je statistickým souborem možia studetů daé skupiy. Jejich společou vlastostí je, že jsou studety apříklad studijí skupiy JB007 Vysoké školy báňské, a že budeme zkoumat jejich výšku. Statistickou jedotkou je studet daé skupiy. Rozsahem souboru je počet studetů daé skupiy, apříklad. Statistickým souborem může být také možia všech studetů této školy. Vlastosti statistických souborů, které jsou předmětem statistického zkoumáí, sleduje statistika prostředictvím vlastostí statistických jedotek daého souboru, které postihuje statistickými zaky. Statistický zak je vyjádřeím určité vlastosti statistických jedotek (prvků moţi) sledovaého statistického souboru; slouţí k charakterizováí sledovaého hromadého jevu-vlastosti daého statistického souboru. Zak (argumet) souboru se zpravidla začí. Jedotlivé údaje zaku se azývají hodoty zaku, začí se,, N, kde N je rozsah souboru. Pozámka Například: Například při určováí výšky studetů daé studijí skupiy je statistickým zakem výška studetů, hodotou zaku je číselě vyjádřeá příslušá výška studeta, apř.8 cm. Hodoty zaku mohou být vyjádřey buď čísly ebo jiým způsobem (zpravidla slovím popisem). V prvím případě mluvíme o zacích kvatitativích, apř. tělesá výška, tělesá hmotost, počet obyvatel měst, atp.. V druhém případě mluvíme o zacích kvalitativích, které se mohou vyskytovat ve dvou druzích (zaky alterativí, apř. muţ-ţea, voják-evoják, prospěl-eprospěl) ebo ve více druzích (apř. povoláí, árodost, áboţeství, atp.). Další pojmy Kdyţ mi a ma, pak iterval, je variačí obor argumetu X. m i i M i i Hodota R = M - m je variačí rozpětí argumetu X. Jestliţe se hodota i vyskyte v souboru f i -krát, je f i absolutí četost hodoty i. Hodoty i seřazeé podle velikosti a jejich absolutí četosti f i tvoří variačí řadu (statistickou řadu). Hodota i f i N (N je rozsah souboru) je relativí četost hodoty i m M

152 Statistický soubor s jedím argumetem Hodota Hodota i i F f je kumulativí četost do i. i k F k i N je relativí kumulativí četost do i. Řešeé úlohy Příklad 7... Určete relativí, kumulativí a relativí kumulativí četosti variačí řady i f i Řešeí: 5 N f i i 49 Všechy četosti vypočteme z výše uvedeých vzorců: i f i i 0,047 0,95 0,376 0,0 0,08 F i i 0,047 0,34 0,78 0, Charakteristiky statistického souboru s jedím argumetem Charakteristiky statistických souborů se defiují aalogicky jako charakteristiky áhodé proměé X, jíţ u statistických souborů je uvaţovaý argumet. Úlohu pravděpodobosti hrají zde relativí četosti (ve shodě se statistickou defiicí pravděpodobosti) a fukce φ() a Φ() lze povaţovat za empirické pravděpodobostí fukce variačí řady s aalogickými vlastostmi, jaké mají fukce rozloţeí pravděpodobosti áhodé veličiy. Mezi ejdůleţitější charakteristiky patří charakteristiky polohy, středí hodota, modus, mediá a kvatily

153 Statistický soubor s jedím argumetem Defiice Empirická středí hodota je fii N i. Modus statistického souboru Mo() je ta hodota argumetu X, která má ejvětší absolutí četost. Mediá statistického souboru Me() je ta hodota argumetu X, která rozděluje soubor uspořádaý a dvě části o stejém počtu prvků. Má-li soubor sudý počet prvků, povaţuje se za mediá průměrá hodota prostředích dvou. Empirický p-kvatil je taková hodota p, pro kterou platí, ţe 00p procet prvků souboru je aejvýš rových p. Nejčastěji pouţívaými kvatily jsou kvartily, decily a percetily. Defiujte je. A co je z hlediska kvatilů vlastě mediá? Druhou skupiu charakteristik jsou charakteristiky variability, empirický rozptyl (disperze), směrodatá (stadardí) odchylka, průměrá odchylka a variačí koeficiet. Většia z ich je přímou aalogií příslušých teoretických ukazatelů. Defiice Empirický rozptyl (empirická disperze) je dá vztahem s D f i i N i Empirická směrodatá (stadardí) odchylka je s D Průměrá odchylka je určea vztahem d fi. i N i - 5 -

154 Statistický soubor s jedím argumetem Variačí koeficiet je dá vztahem v s (často se udává v procetech). Pozámky Základí vlastosti směrodaté odchylky: - směrodatá odchylka měří rozptýleost kolem průměru s = 0 pouze v případech, kdy se všecha data rovají stejé hodotě, jiak s > 0 - stejě jako průměr je i směrodatá odchylka silě ovlivěa etrémími hodotami, i jeda ebo dvě odlehlé hodoty ji silě zvětšují - je-li rozděleí dat silě zešikmeé (zjistíme pomocí koeficietu šikmosti), směrodatá odchylka eposkytuje dobrou iformaci o rozptýleosti dat - v těchto případech používáme kvatilové charakteristiky - viz. dále Variačí koeficiet používáme, jestliže chceme posoudit relativí velikost rozptýleosti dat vzhledem k průměru. Počítáme ho, když chceme porovat rozptýleost dat skupi měřeí stejé proměé s růzým průměrem, ebo v případech, kdy se měí velikost směrodaté odchylky tak, že je přímo závislá a úrovi měřeé proměé. Důleţitou roli opět i ve statistice hrají mometové charakteristiky. Uveďme je jejich defiice začeé latiskými ekvivalety řeckých ozačeí z počtu pravděpodobosti. Defiice Počátečí empirický momet k-tého řádu m k k fii N i Cetrálí empirický momet k-tého řádu k k i i N i f Normovaý empirický momet k-tého řádu

155 Statistický soubor s jedím argumetem k s k k Samozřejmě platí aalogické vztahy pro výpočty mometů cetrálích z počátečích: = m - m 3 3 = m 3-3m m + m 4 = m 4-4m 3 m + 6m m 4-3m Normovaé momety pouţijeme i tady jako ukazatele šikmosti a špičatosti: Defiice Empirický koeficiet šikmosti A s Empirický eces e 3 3 s Řešeé úlohy Příklad Vypočtěte empirické charakteristiky, modus a kvartily variačí řady: i f i Řešeí: Ukáţeme tři způsoby výpočtu v Ecelu: Nejdříve charakteristiky vypočteme přesě podle vzorců, které jsme uvedli: Z tabulka sado dopočteme číselé charakteristiky: Středí hodota:

156 Statistický soubor s jedím argumetem 5 m. fi. i, 97 N Rozptyl: i 5 s. fi. i,04 N i Směrodatá odchylka: s,04,00 Koeficiet šikmosti: A s 5 3. fi. i 3 N i 0,67 0, s,0 Eces: e s, ,554, Modus: ejvětší absolutí četost má hodota, takţe: Mo() = Při výpočtu kvartilů určíme ejprve jejich pořadí podle vzorce: z p = N.p + 0,5, tedy: z 0,5 = 44.0,5 + 0,5 = 36,5 z 0,5 = 44.0,5 + 0,5 = 7,5 z 0,75 = 44.0,75 + 0,5 = 08,5 Z výpočtu pořadí vidíme, ţe.kvartil se vypočte jako aritmetický průměr hodot 36 a 37 prvku - z tabulky je zřejmé, ţe obě jsou rovy, tz. 0,5 =, obdobě 0,5 = (mediá) 0,75 = 3 Druhá moţost je pouţití předdefiovaých fukcí v Ecelu:

157 Statistický soubor s jedím argumetem Pro pokročilé uţivatele Ecelu bude moţá ejvhodější třetí moţost, jak vyřešit tuto úlohu. Pouţijeme doplňkový ástroj Ecelu, který se azývá Aalýza dat. Pokud v meu Ecelu v abídce Nástroje eajdete teto ástroj, je uté ho doistalovat. Teto úko je velmi jedoduchý. V abídce Nástroje klepěte a příkaz Doplňky. V sezamu Doplňky k dispozici zaškrtěte políčko u poloţky Aalytické ástroje a klepěte a tlačítko OK. Po istalaci by mělo být moţé doplěk spustit z abídky Nástroje. Chceme-li vypočítat příslušé charakteristiky, data umístíme do jedoho sloupce (řádku) a v dialogovém okě Aalýza dat klepeme a aalytický ástroj Popisá statistika a astavíme poţadovaé moţosti aalýzy. Výstup pak v ašem příkladě vypadá takto:

158 Statistický soubor s jedím argumetem Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu Zpracováí rozsáhlého statistického souboru Obsahuje-li statistický soubor velký počet růzých hodot argumetu X, sdruţujeme hodoty argumetu do itervalů zvaých třídy. Obvykle volíme kostatí šířku třídy. Hraice tříd je uto volit tak, aby kaţdý prvek statistického souboru bylo moţé zařadit právě do jedé třídy. Počet tříd volíme podle účelu zkoumáí, obvykle 5-0 tříd. Přesé pravidlo pro výpočet počtu tříd eeistuje. Uvedeme alespoň ěkteré doporučovaé moţosti: pro šířku třídy h by mělo přibliţě platit h 0,08, ma mi počet tříd by měl být 3,3 log N ebo 5 log N ebo N, pro 30 N 00 volíme 7-0 tříd, pro 00 N 500 volíme ejvýše 5 tříd, pro N 500volíme ejvýše 0 tříd

159 Statistický soubor s jedím argumetem Při zpracováí statistického souboru ahradíme všechy hodoty v daé třídě jediou hodotou, tzv. třídím zakem, kterým je aritmetický průměr obou mezí třídy. Třídí zak zastupuje všechy hodoty, které do této třídy patří. Počet hodot ve třídě je třídí četost. Po rozděleí souboru do tříd uţ epočítáme s jedotlivými hodotami, ale s třídami, třídími zaky a třídími četostmi. Rozděleím variačího oboru a třídy a shrutím všech hodot argumetu v kaţdé třídě do třídího zaku se dopouštíme při výpočtu cetrálích mometů systematických chyb. Aglický statistik W. F. Shepard odvodil v r. 897 korekce, jimiţ lze tyto chyby korigovat. Začí-li h šířku tříd, jsou opraveé momety dáy vzorci: Shepardovy korekce, 3 3 (liché momety se eopravují) h, h h 40 Modus se u rozsáhlého statistického souboru, který je rozděle do tříd, vypočte iterpolací: Mo j h fj fj. f f f j j j 4 j... střed j-té třídy s ejvětší absolutí četostí f j h... šířka třídy Kvatily se v tomto případě určí opět iterpolací: h h p j N. p Fj. f j j... pořadí třídy, do íţ je zařaze (N.p)-tý prvek uspořádaého souboru j... střed j-té třídy F j -... kumulativí absolutí četost (j - )-vé třídy f j... absolutí četost j-té třídy Řešeé úlohy Příklad Na jedom ejmeovaém pracovišti byly při zjišťováí IQ aměřey ásledující hodoty: 68, 7, 7, 78, 8, 8, 87, 9, 9, 9, 95, 97, 0, 0, 0, 03, 05, 05, 09, 0,,,,,, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9,,,, 4, 6, 3, 33, 37. Rozdělte tyto hodoty do osmi tříd a určete empirické charakteristiky, modus a kvartily

160 Řešeí: ma - mi = = 69 Vypočteme šířku třídy: Statistický soubor s jedím argumetem h 69 8, Kdyţ ale yí vyásobím 9.8 = 7, to je o tři více eţ původě vypočteé variačí rozpětí. Dolí hraici.třídy proto zvolím o,5 meší, eţ je mi, tedy 66,5. K výpočtu empirických charakteristik je vhodé pouţít apř. Ecel - viz. tabulka: Z hodot v tabulce pak sado vypočteme hledaé charakteristiky: Empirická středí hodota: 8. i. i 05, 65 N i m f Empirická disperze: h 8 8 s. fi. i N i 305,9775 5,33 300, 64 Empirická směrodatá odchylka: s 300, 64 7,34 Empirický koeficiet šikmosti: A s 8 3. fi. i 3 N i 038,83 0, s 7,

161 Empirický eces: Statistický soubor s jedím argumetem e h h s s ,4 305, , ,34 Modus: Mo j h f f f f f j j. 6. 3,3 j j j K výpočtu kvartilů budeme potřebovat ještě tabulku kumulativích třídích četostí F i :.kvartil: N.p = 40.0,5 = 0 0-tý prvek leţí ve třetí třídě, tudíţ j = 3 h h 9 9 0,5 3 N. p F ,5 f 4.kvartil (mediá): N.p = 40.0,5 = 0 0-tý prvek leţí v páté třídě, tudíţ j = h h 9 9 0,5 5 N. p F ,5 f

162 Statistický soubor s jedím argumetem 3.kvartil: N.p = 40.0,75 = tý prvek leţí v šesté třídě, tudíţ j = 6 h h 9 9 0,75 6 N. p F ,5 f 9 6 Pro srováí ještě uvedeme hodoty charakteristik, vypočteé (opět v Ecelu) bez rozděleí do tříd: Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Pozámka Způsob zpracováí statistických dat závisí a tom, jak jsou vstupí data zadáa (etříděý soubor idividuálích hodot, tříděý soubor - četostí tabulka), jak velký je rozsah souboru, zda je ke zpracováí možo použít výpočetí techiky. Tvar výpočetích tabulek, - 6 -

163 Statistický soubor s jedím argumetem které je třeba při výpočtech vytvořit, je dost idividuálí. I při "ručím" zpracováí dat je však možo doporučit metody práce, jaké jsou běžé v tabulkových kalkulátorech, apř. v ecelu. Pro práci se statickými soubory si zopakujte základí výpočetí postupy v ecelu. Vyhledejte v abídce vestavěých fukcí, které z ich odpovídají fukcím, které jsme uváděli jako charakteristiky statistického souboru (kategorie statistických fukcí, ale k ěkterým triviálím výpočtům použijeme i ěkteré fukce matematické). Ještě jede citát a závěr: Statistik je te, kdo s hlavou v rozpáleé troubě a s ohama v ádobě s ledem a dotaz, jak se cítí, odpoví: "V průměru se cítím dobře." aoym - 6 -

164 Úlohy k samostatému řešeí Statistický soubor s jedím argumetem 7.. Při zjišťováí IQ a jedom ejmeovaém pracovišti byly aměřey tyto hodoty: 68, 7, 7, 78, 8, 8, 87, 9, 9, 9, 95, 97, 0, 0, 0, 03, 05, 05, 09, 0,,,,,, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 9,,,, 4, 6, 3, 33, 37. Rozdělte hodoty do 8 tříd a určete empirické charakteristiky, modus a kvartily. 7.. Určete mediá a středí hodotu měsíčí spotřeby elektrické eergie (kwh) v bytech z ásledujících údajů: 69, 08, 6, 43, 4, 68, 35, 83, 03, 66, 74, 05, 6, 30, 85, 487, 0, 48, 9, 8, 58, 96, 95, 4, Studet se připravuje a zkoušku. Zjistil, ţe musí astudovat průměrě 0 stra deě. Prví poloviu kihy studoval s rychlostí 0 stra deě. Stihe studium celé látky v určeém termíu, bude-li druhou poloviu studovat rychlostí 30 stra deě? Určete průměrý počet stra, které deě astudoval Zkoušky ţivotosti ţárovek daly ásledující výsledky (v hodiách): 606, 49, 67, 44, 50, 340, 09, 957, 463, 80, 08, 69, 33, 734, 458, 80, 03, 736, 97, 459. Určete středí dobu ţivotosti ţárovek a jejich disperzi Sledovaý statistický zak abyl těchto hodot: 60, 80, 80, 00, 00, 00, 00, 0, 0, 50, 50, 60, 80, 00, 00, 00, 00, 00, 0, 50, 50, 50, 80, 300, 300, 300, 300, 350, 350, 360, 380, 400, 400, 400, 400, 40, 450, 500, 500, 550 Určete středí hodotu a disperzi tohoto souboru. Určete tyto charakteristiky také pro teto soubor roztříděý do tříd: a) 0-99, 00-99,... b) 55-55, 55-55,... a porovejte výsledky obou tříděí Určete mometové charakteristiky, modus a kvartily ásledujícího, do tříd rozděleého, souboru. Pouţijte Sheppardových korekcí

165 Statistický soubor s jedím argumetem i fi Výsledky úloh k samostatému řešeí 7.. 0,5 = 03kWh, = 30,5kWh 7.3. e, = 8,85; s = = 60,5; s = 734; = 8,5; s = 994; = 57,5; s = = 457,4; s = 459,9; s = 38,; A = 0,536; e = 0,575; 0,5 = 43,4; 0,5 = 457,3; 0,75 = 477,6; Mo() = 463,

166 8. STATISTICKÝ SOUBOR SE DVĚMA ARGUMENTY Statistický soubor se dvěma argumety Průvodce studiem Vyuţijeme zalostí z předchozí kapitoly, která pojedávala o statistickém souboru s jedím argumetem a rozšíříme je. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly je sezámit se statistickým souborem se dvěma argumety a jeho charakteristikami. Výklad 8.. Statistický soubor se dvěma argumety Vezměme v úvahu statistický soubor rozsahu N. U kaţdého prvku sledujme hodoty dvou statistických zaků, dvou argumetů X, Y. Tak vzike statistický soubor se dvěma argumety.statistické zaky sledovaé současě a kaţdém statistickém prvku (ositeli) mohou být diskrétí ebo spojité. Budou ás pochopitelě zajímat hodoty kaţdého zaku samostatě, ale i jak jsou rozloţey růzé kombiace obou zaků. Tak apř. u souboru lidí ás mohou zajímat dva atropologické zaky, tělesá výška a tělesá váha. Výrobce oděvů ezajímá je rozloţeí výšek, ale simultáě i vah, eboť rozměry oblečeí musí být úměrě vyráběy i pro všechy moţé eistující kombiace hodot těchto zaků. Zadáí dvojrozměré diskrétí áhodé veličiy je moţo provést v podstatě dvojím způsobem, a to buď pomocí tzv. četostí plošé tabulky se dvěma vstupy i a y j ebo lieárí tabulkou dvojic ( i, y i ), kde a y jsou jedotlivé realizace áhodých veliči X a Y. Počet výskytů kokrétí dvojice ( i, y j ) se azývá četost (absolutí) f i,j

167 Statistický soubor se dvěma argumety Podíl f i, j N i, j je pak četost relativí. Druhý zápis vyjadřuje fukčí hodotu empirické fukce rozloţeí pravděpodobosti dvojrozměré áhodé veličiy, jejíţ realizaci statistický soubor představuje. Zadáí plošou tabulkou je běţější pro rozsáhlejší soubory dat, u ichţ opakováí výskytu jedotlivých dvojic je častější. Takto apř. vypadá zadáí v ecelu: Zaveďme ásledující ozačeí: X \ Y y y y k y f f f k f M i f i f i f ik f i M i Pro okrajové sumy platí: m f m f m f mk f m M m N N N k N N i M f, k ik k m N f... margiálí četosti hodot i a y j i ik a celkem je: m m f N M N ik k i i k k i

168 Statistický soubor se dvěma argumety Pro posouzeí vlastostí áhodé dvojrozměré veličiy se pouţívají opět mometové charakteristiky aalogické veličiám s jedím argumetem. Tak počátečí momet (r + s)-tého stupě je defiová jako číslo r s r s r, s i j i, j i j i, j N i j i j m y f y, kdyţ sčítáí proběhe přes všechy hodoty i a j jako ve výše uvedeé četostí tabulce. Pro meší soubory, které emají moho stejých dvojic, je vhodější zadáí lieárí tabulkou: y y N y N (příklad souboru, který je zadá lieárí tabulkou)

169 Momety pak vypočteme jedodušeji: Statistický soubor se dvěma argumety m r s r, s i yi N i Cetrálí momet (r + s)-tého stupě je defiová vztahem r s r s r, s i,0 j 0, i, j i,0 j 0, i, j N i j i j m y m f m y m Ze všech moţých mometů se v podstatě pouţívají je prvé a druhé. Jejich výzam uţ vlastě většiou záme: m,0 m0, je středí hodota veličiy bez ohledu a chováí veličiy y y je středí hodota veličiy y bez ohledu a chováí veličiy,0 0, y s je rozptyl (variace) veličiy bez ohledu a rozptýleost veličiy y s aalogicky Rozptýleost obou veliči ve všech jejich vzájemých kombiacích postihuje smíšeý momet druhého stupě, cov y. fij i y j y. fiji y j. y... tzv. kovariace, jejíţ N N ormovaá bezrozměrá forma, cov y s. s y i j i j r je koeficiet (lieárí) korelace. Jeho výzam a iterpretaci pozáme v kapitole 9. Přímý výpočet mometů lze pohodlě provést u mometů počátečích, takţe je, obzvláště u ručího počítáí, výhodé si odvodit vztahy: m m,0,0,0 m m 0, 0, 0, m m m,,,0 0, aalogicky jako u mometů jedorozměré áhodé veličiy. Je-li soubor zadá lieárí tabulkou pomocí dvojic ( i, y i ), lze apř. koeficiet korelace vypočíst podle vzorce upraveého do tvaru:

170 Statistický soubor se dvěma argumety r N y y i j i j i i. j j N N y y. Vícerozměrý statistický soubor velmi často charakterizujeme tzv. kovariačí maticí s cov y cov y s y, resp. její ormovaou formou, korelačí maticí r r. Jejich důleţitost však se projevuje hlavě v případě moharozměrých áhodých veliči. Pozámka Uvedeé vzorce lze samozřejmě přímo použít k výpočtu defiovaých veliči, ale je zřejmé, že programové vybaveí současých počítačů skýtá daleko pohodlější cestu, jak výsledky získat. Ideálí je v tomto případě použití libovolého tabulkového kalkulátoru. Prostudujte si ásledující řešeé příklady. Sledujte, jak se dá využít klasické tabelačí čiosti ecelu i pokročilejších techik při práci s tzv. maticovými operacemi. Řešeí příkladů, jejichţ zadáí jsme sledovali v tetu: Řešeé úlohy Příklad 8... v Ecelu: Vypočtěte charakteristiky statistického souboru se dvěma argumety. Zadáí

171 Řešeí: V ecelu jsme vypočetli potřebé součty: Statistický soubor se dvěma argumety Středí hodoty: m,0. ini , N 540 i y m0,. y jm j ,80 N 540 Rozptyly: j m m. N m,0,0,0 i i,0 N i , , 5 s m m. y M m y 0, 0, 0, j j 0, N j. 40,8 68, Směrodaté odchylky: s s y 7587, 65 3, 6 68,8,99 Kovariace: cov y,. fiji y j. y N i j ,.40,8 534, 49 Koeficiet korelace: r cov y 534, 49 ss 3, 6.,99 y 0,

172 Statistický soubor se dvěma argumety Předchozí úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Příklad 8... Vypočtěte číselé charakteristiky statistického souboru se dvěma argumety, který je zadá lieárí tabulkou: y Řešeí: Vše potřebé opět vypočteme apř. v Ecelu: Středí hodoty: N m,0 i ,56 N 5 i N y m0, yi ,9 N 5 i - 7 -

173 Rozptyly: Statistický soubor se dvěma argumety s m m. m,0,0,0 i,0 N i , , s m m. y m y 0, 0, 0, i 0, N i ,9 75,67 5 Směrodaté odchylky: s s y 3745,37 80,96 75, 67 6, 60 Kovariace: cov y,. iy j. y (v tomto případě) N i j. 39,56.4,9 54, iyi y N Koeficiet korelace: r i cov y 54, 48 ss 80,96.6, 60 y 0,085 Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Pozámka Při řešeí předchozího příkladu jsme mohli použít i předdefiovaých fukcí v Ecelu, jak bylo ukázáo v 6. kapitole, příkladu 6... ebo doplňkového ástroje Aalýza dat obdobým způsobem, jak bylo popsáo v 7. kapitole, příkladu Pozámka I když jsme se dosud věovali zpracováí statistického souboru, který jakoby byl realizací dvojrozměré diskrétí áhodé veličiy, je zřejmé, že práce se spojitou veličiou se utě musí a teto případ převést. Realizace spojité veličiy se projeví vzikem číselé hodoty zadaé s určitou přesostí ebo ějakým způsobem zaokrouhleé. Z praktických důvodů je také ěkdy vhodé hodoty jedotlivých argumetů určitým způsobem setřídit, roztřídit do - 7 -

174 Statistický soubor se dvěma argumety tříd a umožit tak vlastě přechod k diskrétím veličiám reprezetovaým středy použitých tříd. A pak předešlé postupy jsou dokoale použitelé. Problém velikosti chyby, které se takovým zaokrouhleím dopouštíme, je ovšem uto zohledit. U jedorozměrého souboru jsou zámé korekce, které s ohledem a šířku třídy umoží opravit vypočteé charakteristiky (Shepardovy korekce). U vícerozměrých šetřeí se takové korekce eprovádějí. Pozameejme ještě, že v deší době, kdy zpracováí statistických souborů stejě svěřujeme počítačům, eí problém předběžé úpravy dat (apř. tříděím a tedy zaokrouhlováím) tak podstatý, eboť počítačové postupy ejsou a možství ebo umerické "evhodosti" dat tak závislé a je možé pracovat přímo s prvotími daty

175 Úlohy k samostatému řešeí Statistický soubor se dvěma argumety 8.. U studetů.ročíku byly zazameáy výsledky zkoušek z matematiky, fyziky a programováí. Jsou uvedey ve formě trojic číslic, z ichţ prví je zámka z matematiky, druhá z fyziky a třetí z programováí: a) Vytvořte statistický soubor s dvěma argumety, z ichţ X bude zameat výsledek zkoušky z matematiky a Y výsledek zkoušky z fyziky a určete jeho charakteristiky. b) Vytvořte statistický soubor s dvěma argumety, z ichţ X bude zameat výsledek zkoušky z matematiky a Y výsledek zkoušky z programováí a určete jeho charakteristiky. 8.. U 30 zákrsků bylo zjištěo stáří stromu v letech (argumet X) a sklizeň v jistém roce v kg (argumet Y). Podle údajů v tabulce určete charakteristiky tohoto souboru. X\Y

176 Výsledky úloh k samostatému řešeí Statistický soubor se dvěma argumety Výsledky: 8.. a),64; y,69; s 0,75; s 0,8; k 0,354; r 0, 45; y regresí přímky: y 0,47,445; 0,43y, 48; 4 30 ; s 0,663; s y 0,883; p y 0,479; p y y 0,47 b),637; y,607; s 0,75; s 0,787; k 0,95; r 0, 384; regresí přímky: y 0,393,57; 0,374y, 66; s 0,3; s y 0,; p y y 0,39; p y 0, ,53; y 8,5; s 3,; s 3,59; k,; r 0, 34; regresí přímky: y 0,37 5,74; 0,3y 4, 0; s 0,75; s y 3,4; p y y 0,95; p y y 0,5 y y y y 53 ; 48 ;

177 9. REGRESNÍ A KORELAČNÍ ANALÝZA Regrese a korelace Průvodce studiem V předchozí kapitole jsme uvedli způsob, jak popsat lieárí závislost mezi dvěma argumety a její míru. Uţitím korelačích poměrů je moţé zjistit, zda má smysl hledat jiý typ závislosti mezi proměými eţ lieárí. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly je vysvětlit pojmy regrese, korelace, regresí fukce, metoda ejmeších čtverců odchylek, ide korelace. Výklad 9.. Lieárí regrese Grafické zobrazeí dvojrozměré áhodé veličiy, statistický soubor s dvěma statistickými zaky ( i,y i ); i =,,..., (korelačí pole): Hledejme vyjádřeí této "statistické" závislosti "ejlepším" fukčím předpisem. A pro začátek předpokládejme teto předpis lieárí:

178 Y a b Regrese a korelace Jako kritérium pro "ejlepší" fukčí předpis vezměme z určitých důvodů (zámých uţ apř. Gaussovi v počtu pravděpodobosti i apř. proto, ţe se takový přístup úspěšě uplatňuje i v jiých situacích viz. ukázka pouze a webu) miimalizaci sumy kvadrátů odchylek empirických hodot y od teoretických hodot získaých pomocí předpisu y t : S a, b Y y a b y mi i i i i i i Hodota veličiy S závisí a volitelých hodotách a a b a je to tedy fukce dvou proměých. Její etrém se ajde ulováím parciálích derivací podle těchto proměých. S a S b. a b y. 0 i. a b y. 0 i i i i i i Po úpravě dojdeme k soustavě lieárích rovic pro určeí a a b. (V dalším tetu budeme ěkdy zjedodušovat zápis sumačí symboliky.). a b. y a. b. y i i i i i i i i i i i

179 Regrese a korelace Tuto soustavu můţeme vyřešit moha způsoby. Například pomocí determiatu matice soustavy, který lze upravit a vyjádřeí pomocí rozptylu: i i i D.. s, i takţe koeficiety rovice přímky akoec jsou: a y y i i i i i i i i s b. y. y i i i i i i i. s Po poěkud pracějších úpravách (s vyuţitím vyjádřeí cetrálích mometů pomocí mometů počátečích): Y y y. y y. i i i i i i i i i i i i i i i i. s. s y y y y Y s i i i i i i i i i i i i i i i i Y i i i i yi i yi i i i i i.. y. y..... s y y y Y y s y i i.. i.. s i yi. i Y y. y. s dostáváme jiou podobu rovice regresí přímky, z íţ vyplývá, ţe tato přímka prochází

180 Regrese a korelace tzv. cetrálím bodem y, (, y jsou středí hodoty proměých, y) a ţe směrici přímky, tzv. koeficiet regrese, ovlivňuje jak kovariace, tak rozptyl té proměé, která byla prohlášea za ezávislou: cov y y y. s Tuto volbu můţeme pochopitelě změit a tak se dojde aalogickou cestou k jié regresí přímce: cov y. y y s y Vykreslíme-li obě takto získaé přímky do jedé souřadicové soustavy, dostaeme tzv. regresí ůţky:. cov y Směrice obou regresích přímek by s b cov y a y sy azýváme regresí koeficiety při závislosti y a, resp. a y a mají velmi důleţitou praktickou iterpretaci: udávají přírůstek závisle proměé při jedotkové změě ezávisle proměé. (Dokaţte!) Zároveň umoţňují vypočíst koeficiet lieárí korelace, který jsme výše defiovali jako ormovaý smíšeý momet druhého stupě, vypočíst jiým způsobem:

181 Regrese a korelace cov y by. by r s. s y Zaméko přidělíme podle zaméka kteréhokoliv regresího koeficietu, apř.: r sig by. by. b y Dá se dokázat, ţe teto koeficiet abývá hodoty z itervalu, a měří vhodost lieárí fukce vyjádřit statistickou závislost mezi veličiami a y. Čím je hodota koeficietu blíţe krajím hodotám, tím je áhrada těsější. V případě, ţe teto koeficiet abývá hodoty ebo -, leţí všechy body a regresí přímce a závislost veliči a y je přesě lieárí. Staovit stupici oceňující závislost (závislost "slabá", "středí", "silá") eí úkol pro matematika, ale pro profesího odboríka. Podobé stupice bývají součástí oborových orem. Lieárí průběh emusí vţdy vystihovat vzájemé chováí obou sloţek dvojrozměré áhodé veličiy. Nic ale estojí v cestě přirozeému zobecěí předešlých úvah a postupů. Uvaţujme jako výše korelačí pole ( i,y i ); i =,,..., a fukci (kterou volíme pouze jejím charakterem, ale ikoliv jejími parametry, které určují detailě průběh fukce) Y f, a0, a,, a k, která by měla vyjádřit vztah mezi sloţkami a y. A hledejme moţiu koeficietů a i tak, aby byl splě poţadavek MNČ (metody ejmeších čtverců):

182 Regrese a korelace S, a, a,, a f, a, a,, a y mi 0 k 0 k i i Řešeím soustavy rovic: S, a, a,, a 0 a j k 0; j 0,..., k, vziklé ulováím parciálích derivací fukce S podle jedotlivých hledaých koeficietů, dostaeme hledaou regresí fukci. Mohou však astat problémy algebraického charakteru. Vziklá soustava rovic můţe být velmi esado řešitelá (zvlášť bez pouţití výpočetí techiky). Proto se zpravidla hledají vhodé regresí fukce pouze mezi tzv. adičími fukcemi: f, a, a,, a a a. f a. f 0 k 0 k k Ty totiţ vedou k řešeí soustavy lieárích rovic, jak lze sado ukázat. Na případy adičích fukcí se často převádějí i fukce multiplikativí, jako je apř. fukce mociá či epoeciálí. Liearizace logaritmováím fukčího předpisu však obecě dává pouze suboptimálí řešeí z hlediska MNČ. Postup ukáţeme a regresí fukci Y = a.e b Tuto fukci pouţijeme za předpokladu, ţe rychlost růstu závisle proměé je přímo úměrá její velikosti. Při určováí kostat a, b zlogaritmujeme fukci: ly = la + b Jestliţe yí poloţíme Z = ly, a = la, je fukce Z = a + b lieárí v parametrech a můţeme pouţít jiţ zámého postupu. Hledáme tedy miimum fukce i a b z. i i - 8 -

183 Regrese a korelace Po sestaveí soustavy rovic se můţeme vrátit k původím proměým. Soustava bude mít tedy tvar: N l a b l y i l a b l y i i i i i i i i i i Y Podobě postupujeme apř. pro fukci Y = a. b (kde b eí přirozeé číslo) ebo a b (v tomto případě lze pouţít trasformace Z ). Y Pozámka Hledisko umerické áročosti regresí aalýzy se stává v současé době druhořadé, eboť stadardí počítačové programy abízejí automatizovaé řešeí této úlohy. Podstatější problém astává při měřeí vhodosti regresí fukce. Koeficiet lieárí korelace tu ztrácí svůj výzam a je třeba ajít jiou míru těsosti uvaţovaého vztahu a daého korelačího pole. Zaveďme tato ozačeí pro speciálím způsobem defiovaé rozptyly: sy. yi y i sy. Yi y i s y Y y. i i i, kdyţ Y i je fukčí hodota regresí fukce příslušá i-té -ové sloţce. Všiměme si, jaký mezi imi eistuje vztah: - 8 -

184 Regrese a korelace y. i. i i i s y y y Y Y y. i i i. i i. i y Y Y y y Y Y y sy. sy. yi Yi. Yi y Dá se dokázat (ukázka pouze a webu), ţe posledí výraz a pravé straě je rove ule. Pak sy sy sy a podíl s 0; Y y y sy s s bývá pouţívá jako míra těsosti, vhodosti regresí fukce (koeficiet determiace). Udává vlastě, jaká část disperze zaku y je způsobea závislostí a. Doplěk koeficietu determiace do jedé zameá podíl áhodé sloţky a disperzi. Odmocia I y s s Y y s y y s (ide korelace) má aalogickou iterpretaci jako koeficiet korelace (pro lieárí regresí vztah jde o zcela totoţý výsledek). Pozámka K posouzeí míry vhodosti regresí fukce může sloužit také pouze hodota s y Y y. i i i - reziduálí (zbytkový) součet čtverců (rozptyl). Nejvhodější regresí fukcí je pak samozřejmě ta fukce, která má reziduálí součet čtverců ejižší. Řešeé úlohy Příklad 9... Vyrovejte data v tabulce regresí přímkou y 3,5 5, 5,5 6, 5,9 6,4 7,8 Řešeí: Ukáţeme, jak by se tato úloha řešila v Ecelu: Nejdříve ozačíme data a klikeme a Vložit Graf..., přičemţ vybereme typ grafu

185 XY bodový: Regrese a korelace Máme-li aktiví oko grafu, v abídce Ecelu přibude poloţka Graf, vybereme moţost Přidat spojici tredu...:

186 Chceme-li daty proloţit přímku, vybereme Typ tredu - lieárí: Regrese a korelace Pro zobrazeí rovice regrese a hodoty spolehlivosti R (druhá mocia ideu korelace) klikeme a kartu Možosti a zaškrteme příslušé poloţky: Koečá podoba řešeí:

187 Regrese a korelace Z grafu vidíme, ţe rovice regrese je: y = 0, ,8089, ide korelace: I y 0,8635 0,99 V tomto případě eistuje i další moţost, jak vypočíst koeficiety a, b v rovici regrese a ide korelace. Rovici regrese vypočteme pomocí v Ecelu předdefiovaé fukce LINREGRESE, kterou ajdeme v kategorii statistické. Nuto mít a paměti, ţe výsledkem budou dvě hodoty, proto před vyvoláím této fukce ozačíme dvě buňky vedle sebe a při pouţití stiskeme současě klávesy CTRL+SHIFT+ENTER (matice a výstupu). V ašem příkladě by se tato fukce zadávala takto: LINREGRESE(C3:C9;B3:B9;). Ide korelace je v tomto případě shodý s koeficietem korelace (viz. kapitola 8), tudíţ pouţijeme předdefiovaou fukci: CORREL(B3:B9;C3:C9) Předchozí úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu

188 Regrese a korelace Pozámka Na druhém listě řešeí předchozího příkladu v Ecelu je provedea regresí aalýzu pomocí doplňkového ástroje Aalýza dat (použití popsáo v 7. kapitole, příkladu 7.3..), aalytický ástroj Regrese. Pozámka Jak je patré z třetího obrázku v řešeí předchozího příkladu, obdobě bychom postupovali v případě, že bychom potřebovali daty proložit apř. logaritmickou, epoeciálí, mociou fukci, případě polyom.-6. stupě. Řešeé úlohy Příklad 9... Charakterizujte závislost proměé y a regresí fukcí ve tvaru hyperboly y a b y 3 3,6 4,,8,4 3,8,4 3,8,4,8,4 3 Řešeí: Úlohu vyřešíme opět v Ecelu, pouţijeme obdobě jako v předchozím příkladě předdefiovaou fukci LINREGRESE, která počítá koeficiety v lieárí regresí fukci y = a. + b. Pouze místo proměé do této rovice dosadíme proměou : Tato fukce je v tomto příkladě kokrétě zadáa LINREGRESE(C3:P3;C4:P4;) Řešeím je tedy regresí křivka ve tvaru hyperboly: y 0,44 55,

189 Regrese a korelace Podobým způsobem vypočteme ide korelace: CORREL(C3:P3;C4:P4). Ide korelace je tedy rove: I y = 0,608. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Pozámka Podobě bychom mohli samozřejmě hledat koeficiety v dalších regresích fukcích ve tvaru ve tvaru y = a.f() + b (apř. y = a. 3 + b). V rámci cvičeí se věujte ásledujícím úlohám: alezeí regresí přímky při stadardím zadáí souboru bodů ( i, y i ) (postup při řešeí v Ecelu) alezeí regresí přímky při zadáí dvojrozměrého souboru četostí tabulkou (dokočete řešeí příkladu z miulé kapitoly) alezeí elieárí regresí fukce podle abídky kalkulátoru Ecel alezeí elieárí regresí fukce podle MNČ bez předešlé liearizace (uţitím umerického řešeí, které abízí řešitel Ecelu (epoeciála, mociá fukce) hledáí zadáí úloh z odboré profese čteáře, které by vedly a regresí aalýzu

190 Úlohy k samostatému řešeí Regrese a korelace 9.. Charakterizujte závislost proměé y a regresí fukcí ve tvaru Y a b y 3,5 5, 5,5 6, 5,9 6,4 7,8 9.. Charakterizujte závislost proměé y a regresí fukcí ve tvaru: b a) Y a b) Y a b c Určete idey korelace y Při seskoku parašutisty byla měřea závislost mezi rychlostí v [m/s] a tlakem p [0,mPa] a povrchu padáku. Výsledky vyrovejte parabolou p a bv. Vypočtěte ide korelace. v,4 3,5 5 6,89 0 p 0,04 0,08 0,056 0,5 0, Charakterizujte těsost zvoleé závislosti ve tvaru Y a b. log mezi proměými a y. Vypočtěte ide korelace y Při zjišťováí závislosti veliči a y byly aměřey hodoty uvedeé v tabulce. Určete vhodou regresí fukci y 3 3,6 4,,8,4 3,8,4 3,8,4,8, Zjišťovalo se, zda u souboru chlapců je závislost v počtu provedeých shybů a kliků. Výsledky jsou zazameáy v tabulce: chlapec počet shybů počet kliků a) Určete, zda je mezi počtem shybů a počtem kliků silá lieárí závislost, určete její míru. b) Najděte ejvhodější regresí fukci závislosti mezi počtem shybů a kliků

191 Výsledky úloh k samostatému řešeí Regrese a korelace 9.. y 0, 056 3, 809 5, a) Y 6, 06 ; I 0, 985 ; b) Y 5,, 94 0, 93 ; I 0, p 0, , 00506v ; I 0, Y 88, 3 954,. log ; I 0, Y 0, 44 55, Lieárí fukce: y = 6,6939 +,6463; I y = 0,97577 Kvadratická fukce: y = 0,43 + 4, ,7354; I y = 0,

192 0. ČASOVÉ ŘADY Časové řady Průvodce studiem Vyuţijeme zalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojedávala o regresí aalýze, a rozšíříme je. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly je sezámit s typy časových řad, jejich sloţkami a moţostmi aalýzy časových řad. Výklad 0.. Časové řady - základí pojmy Důleţitými statistickými daty, pomocí ichţ můţeme zkoumat dyamiku jevů v čase, jsou tzv. časové řady. Mají základí výzam pro aalýzu příči, které a tyto jevy působily a ovlivňovaly jejich chováí v miulosti, tak pro předvídáí jejich budoucího vývoje. Defiice 0... Časová řada (dyamická řada, vývojová řada) je posloupost pozorováí kvatitativí charakteristiky uspořádaá v čase od miulosti do přítomosti. Podle Segera (viz sezam literatury) lze uvaţovat o třech typech řad. časová řada itervalových ukazatelů. časová řada okamţikových ukazatelů 3. časová řada odvozeých charakteristik - 9 -

193 Časové řady Pro ukazatele. typu platí, ţe jejich velikost přímo úměrě závisí a zvoleé délce itervalu. (Uveďte příklady.) V těchto případech se často musí data převést a srovatelé hodoty (apř. přepočet a stejě dlouhé úseky (čtvtletí emají stejý počet dí apod.)). U řad. typu se ukazatel vztahuje k přesě defiovaému okamţiku. Hodota ukazatele tedy ezávisí a délce itervalu, za který je sledová. Práce s těmito řadami je sloţitější. Na rozdíl od předešlého typu emá reálý smysl apř sumace hodot řady, přistupuje se tedy k růzým druhům průměrováí. Často je pouţívá tzv. chroologický průměr: Tímto jediým číslem pak charakterizujeme úroveň ukazatele za celé období. Je ale zřejmé, ţe tím dochází ke začému zjedodušováí reality. Oblíbeější jsou proto růzé druhy klouzavých ukazatelů, které jsou schopy čásečě elimiovat vliv áhodých vlivů a sledovaý ukazatel a tím časovou řadu "vyhladit". Pouţívají se jak klouzavé mediáy, tak klouzavé průměry. Vţdy se postupuje tak, ţe udaj časové řady ahradíme zvoleým ukazatelem z okolích časově předcházejících a ásledujících údajů. Pozámka Zpracováí časových řad užitím MS Ecelu je zcela triviálí. Způsob tvorby klouzavých ukazatelů je filozofii tabelárích výpočtů zcela přizpůsobe. A pokud jde o klouzavé průměry, dispouje ecel přímo vestavěou možostí tyto ukazatele získat (aalogický postup jako u regresí aalýzy - viz ukázka pouze a webu). Řady 3. typu jsou odvozováy a základě absolutích údajů okamţikových ebo itervalových. Příkladem mohou být časové řady součtové ebo časové řady poměrých čísel Při klasické aalýze časových řad se vychází z předpokladu, ţe kaţdá časová řada můţe obsahovat čtyři sloţky: tred, sezóí sloţku, cyklickou cloţku, áhodou sloţku

194 Časové řady Defiice 0... Tred je obecá tedece vývoje zkoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a stálých procesů. Tred můţe být rostoucí, klesající ebo můţe eistovat řada bez tredu. Sezóí složka je pravidelě se opakující odchylka od tredové sloţky. Perioda této sloţky je meší eţ celková velikost sledovaého období. Cyklická složka udává kolísáí okolo tredu v důsledku dlouhodobého cyklického vývoje (poţíváo spíše v makroekoomických úvahách). Náhodá (stochastická) složka se edá popsat ţádou fukcí času. "Zbývá" po vyloučeí tredu, sezóí a cyklické sloţky. Neţ přejdeme k aalýze tredu a sezóosti (dlouhodobou cykličost poecháme straou ašich úvah), uveďme ěkolik jedoduchých ukazatelů, které se pouţívají jako míry dyamiky: absolutí přírůstek y,,3,, t yt yt t průměrý absolutí přírůstek y y y y y y y y y relativí přírůstek t 3 t y y y y y y y t t t t t t t průměrý koeficiet růstu k k k k y y y y y 3 4 y y3 y3 y y

195 Řešeé úlohy Časové řady Příklad 0... Určete elemetárí charakteristiky růstu časové řady sledující výrobu plyu v letech rok výroba (m 3 ) Řešeí: rok výroba (m 3 ) y t absolutí přírůstky koeficiety růstu , , , , ,05 průměrý absolutí přírůstek: y y y y y y y y y t 3 průměrý koeficiet růstu: = 64,8 k k k k y y y y y 3 4 y y3 y3 y y =,046 Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. 0.. Aalýza tredu a sezóí sloţky Nejčastěji se při aalýze časové řady předpokládá aditiví model popisu chováí řady. Předpokládá se, ţe jedotlivé sloţky vývoje se sčítají, takţe platí: y y = T t + S t + C t + ε t,

196 Časové řady kde a pravé straě po řadě vystupují sloţky tredová, sezóí, cyklická a áhodá. Růzé modifikace modelů vzikou, kdyţ ěkterou sloţku z úvah vypustíme. My tak učiíme pro sloţku cyklickou a o áhodé sloţce řekěme je tolik, ţe o í lze zpravidla předpokládat, ţe jejich středí hodoty jsou ulové a ţe jsou korelačě ezávislé (áhodá porucha, jak se také dá áhodá sloţka iterpretovat, ezávisí a poruše v miulém okamţiku ai eovlivňuje vzik a velikost poruchy v okamţiku ásledujícím). Aalýza sloţky kterékhokoliv typu se provádí v podstatě klasickou regresí aalýzou. Podstatý rozdíl je je v tom, ţe ezávisle proměá, je v tomto případě proměá časová a můţeme ji vcelku libovolě vyjádřit v jakýchkoliv časových jedotkách s libovolým počátkem. Aalýza tredové složky je zřejmě ejdůleţitější částí aalýzy časových řad. V průběhu let se potvrdilo, ţe při výběru tredových fukcí většiou vystačíme s úzkou abídkou fukcí. Nejčastěji pouţívaé jsou lieárí tred yt a0 at Parametr a představuje přírůstek hodoty y připadající a jedotkovou změu časové proměé. polyomický tred y a a t a t a t t 0 k k Umoţňuje ajít tredovou fukcí, která má etrém. Parametr a představuje průměrý přírůstek epoeciálí tred yt a a t 0 hodot y t. (Ty se chovají jako čley geometrické poslouposti. Doloţte vzpomíkami a tuto kapitolu středoškolské matematiky.) modifikovaý epoeciálí tred y k a a t t 0 Fukce má vodorovou asymptotu a dá se pomocí í sáze modelovat vývoj jevů, které vycházejí z omezeých zdrojů růstu a u kterých eistuje určitá mez asyceí, daá apř. zájmem ebo potřebou určitého výrobku. (Předveďte si průběh fuckí tohoto typu pro růzé hodoty parametrů pouţitím vhodého matematického programu pro vykresleí grafů fukcí.)

197 Časové řady logistický tred, logistika Gompertzova křivka k a a, ebo y t t 0 k a t 0a yt y ka t t a 0 Křivka má tři úseky, prví je charakterizová pozvolým vzestupem, druhá v okolí ifleího bodu prudkým růstem a třetí určitou vrcholovou stagací (asyceím). Uvedeý tvar je jede z moha růzých fukčích předpisů popisujících křivku s charakteristickým průběhem ve tvaru písmea S. Křivka s podobým esovitým průběhem jako logistika, ale a rozdíl od í je asymetrická. Těţiště hodot je aţ za ifleím bodem. Prví tři jmeovaé jsou v regresí aalýze běţě uţívaé, přičemţ u epoeciály se stadardě přistupuje k liearizaci logaritmováím fukčího předpisu, coţ získaou epoeciálu poěkud degraduje. Numerickými metodami, apř. uţitím řešitele v ecelu se ale dá pricipu metody ejmeších čtverců vyhovět přímo, jak jsme viděli v příkladě, a který jsme se uţ odvolávali v 9. kapitole. V ostatích případech uţ liearizace eí moţá. K odhadu koeficietů tredových fukcí se pouţívá růzých chytrých algoritmů, které většiou byly vymyšley v předpočítačové éře, kdy představovaly jediou šaci aspoň ějakého odhadu dosáhout. Des se dají tyto metody vyuţít pro určeí kvalifikovaých výchozích hodot pro ejrůzější umerické metody. (Blíţe viz Seget.) (ukázka odhadu parametrů modifikovaé epoeciály a logistické křivky) Aalýza sezóí složky se často provádí aţ po očištěí dat od tredové sloţky. V podstatě při í jde o určeí časového úseku, po jehoţ uplyutí mají data zase stejou hodotu, příp. ovlivěou tredovou a áhodou sloţkou. Pro studium sezóí sloţky se pouţívá ěkolika typů modelů (viz Seget). V ekoomických modelech bývá zpravidla zřejmá velikost periody (čtvtletí, měsíc), v jiých případech je uto i tuto délku odhadovat (v hydrogeologii apř. u výšky hladiy spodích vod). Pouţívá se tu i harmoické aalýzy, která modeluje průběh dat pomocí ěkolika čleů Fourierovy řady. Parametry se určují pouţitím umerických metod

198 Časové řady Výsledků aalýzy časových řad a obecě i regresí aalýzy vůbec se vyuţívá k alezeí údajů, pro které eí k dispozici výsledek měřeí ebo pozorováí. Pokud jde o chybějící údaj závislé veličiy y pro ěkterou hodotu uvitř itervalu zámých hodot, jde o iterpolaci. Ta zpravidla vede k dobrým výsledkům a epřiáší velká rizika chyb odhadovaé veličiy y. Pokud však je uto odhadout výsledek y pro údaj vě itervalu eperimetálě udaých hodot, jde o etrapolaci. V tomto případě je uto být opatrý, eboť matematické prostředky pouţité pro určeí charakteru regresí závislosti emohou zpravidla zodpovědě odhadout budoucí ebo miulý vývoj. Uvědomte si apř., ţe třeba rostoucí oblouk křivky třetího stupě můţe velmi dobře popisovat ějakou závislost, za uvaţovaým itervalem hodot však můţe dojít k eţádoucímu propadu této kubické křivky do lokálího miima

199 . INDUKTIVNÍ STATISTIKA Iduktiví statistika Průvodce studiem Naváţeme a kapitolu 7 a ukáţeme, jak pracovat se soubory, jejichţ všechy prvky ejsou zámy. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol, především pak ze 7. kapitoly. Cíle Cílem této kapitoly je vysvětlit základí pojmy statistické idukce, způsoby výběru ze základího souboru a moţosti odhadováí parametrů základího souboru. Výklad.. Základí pojmy matematické statistiky a statistické idukce Pokud jsme dosud hovořili o statistických souborech, měli jsme v souladu s defiicí v 7. kapitole a mysli soubory koečého počtu prvků, u ichţ jsme zali hodotu (hodoty) statistického zaku. Pro ě jsme pak vytvořili soustavu charakteristik, které soubor popsaly. To bylo obsahem deskriptiví statistiky. Hlaví síla statistiky se však projeví aţ při práci se soubory, jejichţ všechy prvky ejsou zámy. Buď je jich tolik, ţe je prakticky emoţé (a eefektiví, fiačě áročé atd.) všechy údaje o prvcích si obstarat, ebo by to třeba šlo, ale statistický soubor by tím byl ziče (apř. při destrukčích zkouškách výrobků). Zavádíme tu pojem základí soubor. Defiice... Základí soubor, populace (ZS) je koečý ebo ekoečý soubor všech moţých (teoreticky dosaţitelých) hodot áhodé veličiy. Hodoty v diskrétím případě a itervaly hodot ve spojitém případě se vyskytují ve shodě s určitým rozděleím pravděpodobosti áhodé veličiy

200 Iduktiví statistika Je zřejmé, ţe o základím souboru v tomto smyslu emáme úplou iformaci, ať uţ jde o soubory reálé (prvky souboru eistují a teoreticky by se daly zkoumat) ebo hypotetické (prvky by vzikly opakováím pokusu). Ale právě o iformaci o ZS stojíme, eboť jde apř. o iformaci o kvalitě výroby, která daým techologickým procesem vziká apod. Tuto iformaci získáváme provedeím výběru ze základího souboru. Nejvhodější by byl samozřejmě výběr, který by co ejlépe charakterizoval ZS, tj. reprezetativí výběr. To bychom ale museli zát vlastosti ZS, coţ ebývá často. Proto vytváříme áhodý výběr.... Prostý áhodý výběr jedá se o pravděpodobostí výběr, kdy kaţdý prvek ZS (populace) má stejou pravděpodobost, ţe se do výběru dostae. Prostý áhodý výběr lze také defiovat jako výběr o rozsahu, kdy kaţdá moţia prvků má stejou pravděpodobost, ţe bude vybráa. K realizaci takového výběru musíme mít k dispozici očíslovaý sezam všech prvků základího souboru - tzv. oporu výběru, a dále geerátor áhodých čísel, pomocí ěhoţ vybereme očíslovaý prvek z opory výběru. Předpokládejme, ţe ZS má N prvků a výběr bude mít prvků. Procedura výběru sestává z ásledujících kroků:. sestavíme oporu výběru a kaţdému prvku přiřadíme celé číslo od do N. rozhodeme, jak velký bude rozsah výběru 3. vygeerujeme áhodých celých čísel mezi a N 4. získáme data od prvků idetifikovaých v opoře výběru těmito áhodými čísly Poměr mezi rozsahem výběru a velikostí ZS (populace) N azýváme výběrový poměr: výběrový poměr rozsah výběru velikost populace N Teto poměr vyjadřuje pravděpodobost, ţe prvek ZS je zařaze do výběru. Výběr můţeme provádět s vraceím ebo bez vraceí. Vrátíme-li prvek do základího souboru, má eulovou pravděpodobost, ţe bude do výběru vybrá vícekrát. Výhodější pro statistické

201 Iduktiví statistika odvozováí růzých formulí je výběr s vraceím. V takovém případě je však vhodé, aby výběrový poměr byl malý (<5%). Někdy se stává, ţe prostý áhodý výběr je eproveditelý ebo ákladý, hlavě v případech, kdy je ZS začě rozsáhlý. Uvádíme ěkteré přijatelé áhradí metody výběru, jeţ ve výběru pouţívají áhodý mechaismus: stratifikovaý áhodý výběr - je-li moţé ZS rozdělit do dílčích oblastí, můţeme provést áhodý výběr pro kaţdou oblast. Tyto oblasti se pak azývají strata ebo vrstvy. Tato techika je vhodá apříklad, kdyţ v populaci lze stratifikovat podle pohlaví, věku,... a výzkumík chce zajistit reprezetaci kaţdé podskupiy; systematický výběr - ze seřazeého ZS vybereme z prvích k prvků áhodě jede prvek a od ěho počítajíc vybereme k-tý, k-tý,... prvek (viz. příklad...); vícestupňový shlukový výběr - často se pouţívá pro získáváí iformací o veřejém míěí. Chceme apříklad zjistit ázory lidí z paelových sídlišť měst určité velikosti. Postup bude takový:.áhodě vybereme vzorek okresů;.z kaţdého vybraého okresu se áhodě vybere určitý počet měst poţadovaé velikosti; 3.pro tato města se áhodě vybere vzorek jejich sídlišť; 4.z vybraých sídlišť se áhodě vyberou domácosti, ve kterých se provede dotazováí. Tato vícestupňová procedura vypadá komplikovaě, ale ve skutečosti je velmi efektiví a méě ákladá eţ prostý áhodý výběr domácostí ze sídlišť. Řešeé úlohy Příklad... Vedeí vysoké školy chce provést výběr o rozsahu 50 z 000 studetů.ročíku jedé z fakult, aby zjistilo spokojeost studetů s výukou matematiky. Řešeí: Můţe zvolit apř. tuto strategii: Jedotlivé studety v sezamu ozačí čísly od do 0 tak, ţe je v sezamu postupě očíslují touto sérií číslic jejím opakovaým pouţitím. Náhodě se vybere celé číslo z itervalu aţ 0. Pak se dotáţe všech studetů s tímto ozačeím. Jedá se tedy o systematický výběr, který je zaloţe a pravděpodobosti, ale prostředictvím jiého mechaismu, eţ je tomu u prostého áhodého výběru

202 .. Odhady parametrů základího souboru Iduktiví statistika Citujme yí podroběji ČSN 0 050, z íţ jsme jiţ převzali předešlou defiici...: Statistický soubor Základí soubor Náhodý výběr Vymezeí Koečý soubor áhodé veličiy, bez vztahu k jejímu rozděleí pravděpodobosti Koečý ebo ekoečý soubor všech moţých (teoreticky dosaţitelých) hodot áhodé veličiy. Hodoty v diskrétím případě a itervaly hodot ve spojitém případě se vyskytují ve shodě s určitým rozděleím pravděpodobosti áhodé veličiy. Koečý soubor hodot áhodé veličiy reprezetující základí soubor. Hodoty jsou vybráy ezávisle a sobě a hodoty prakticky dosaţitelé mají všechy stejou moţost dostat se do výběru. Ukazatelé statistického souboru Parametry základího souboru charakterizují přesě a charakterizují přesě a úplě Charakterizující úplě vlastosti vlastosti základího souboru. údaje statistického souboru. V prai jsou je zřídka přesě Lze je zjistit vţdy ze zámy, je uto je odhadovat zalosti hodot pomocí výběrových charakteristik. souboru. Charakteristiky áhodého výběru charakterizují přibliţě parametry základího souboru. Údaje o poloze Průměr statistického souboru (aritmetický průměr) X. i i Středí hodota základího souboru E P i b E. f d a i i Výběrový průměr. i Formálě platí X i Údaje o rozptýleí Rozptyl statistického souboru S i X i Rozptyl základího souboru D E P i (diskrétí áhodá veličia), b i D E. f d a (spojitá áhodá veličia). i Výběrový rozptyl s i Formálě platí. s i S (Poz.: Ozačeí veliči jsme přizpůsobili ozačeí zavedeému výše.) - 0 -

203 Iduktiví statistika V dalším tetu budeme charakteristiky základího souboru (teoretické charakteristiky) začit malými písmey, apříklad,.... Charakteristiky empirického výběru (empirické charakteristiky), tj. charakteristiky kokrétího áhodého výběru, budeme začit malými latiskými písmey, apříklad m, s, r,.... Výběrové charakteristiky, tj. charakteristiky obecého áhodého výběru, budeme začit velkými latiskými písmey, apříklad M, S, R,.... Je zřejmé, ţe parametry základího souboru jsou kostaty, eáhodé veličiy (které třeba ai ezáme, eboť základí soubor je moţá edostupý statistickému zpracováí, popř. vůbec eeistuje), ale veličiy v posledím sloupci áhodé veličiy jsou. Měí se výběr od výběru, měí se změou rozsahu výběru, jsou to tzv. statistiky. V tomto případě jsou to bodové odhady dvou základích parametrů základího souboru. Defiice... Bodový odhad (estimátor) parametru β je statistika B, která aproimuje parametr β s předepsaou přesostí. Oba vzorce pro bodové odhady středí hodoty a rozptylu (viz. v tabulce výše):. i i, s i evychýleé odhady příslušých parametrů: i se dají odvodit z poţadavku, aby udávaly Defiice... Nevychýleý odhad parametru β je taková statistika β, jejíţ očekávaá hodota E(β ) = β, čili je to kaţdá statistika, která statisticky (stochasticky) koverguje k parametru β V opačém případě se veličia β azývá odhadem vychýleým, a to vpravo ebo vlevo, podle toho, zda E(β ) - β > 0, resp. E(β ) - β < 0 V obou případech bodových odhadů středí hodoty a rozptylu je také splě poţadavek kozistetosti (esporosti) odhadu: - 0 -

204 Iduktiví statistika Defiice..3. Kozistetí (esporý) odhad parametru β je taková statistika β, ţe pro dosti velká je P( β - β ε) > - η, kde ε > 0, η > 0 jsou jakákoliv (libovolě malá) předem zvoleá čísla. K získáváí bodových odhadů se pouţívají dvě metody: a) metoda mometů je zaloţea a porováí mometů základího souboru a výběru. Počet prorvávaých mometů je dá počtem parametrů rozděleí. Závisí-li rozděleí a S parametrech, řešíme soustavu S rovic o S ezámých: m m i teoretické momety, m i empirické momety; i =,,,S S m S Řešeé úlohy Příklad... Metodou mometů určete ezámý parametr Poissoova rozděleí. Řešeí: Poissoovo rozděleí má pravděpodobostí fukci: p,! e Vybereme prvků,, m m Tedy: i i i i

205 Řešeé úlohy Iduktiví statistika Příklad... Metodou mometů určete ezámý parametr epoeciálího rozděleí. Řešeí: f Epoeciálí rozděleí má hustotu pravděpodobosti: 0 0 e 0 Vybereme prvků,, m i i f d e d e d 0 0 u v e u v e e e d lim 0 e 0 0 e 0 Porováme-li tedy opět prví počátečí momety: m i i i i 0 b) metoda maimálí věrohodosti Má-li základí soubor frekvečí fukci p,, kde,,..., jsou parametry rozděleí základího souboru, pak pravděpodobost, ţe výběr,,..., bude mít realizaci,,..., je vyjádřea vztahem: P,,..., p,. p,... p, p, i i L,,...,, Fukci L azýváme fukcí maimálí věrohodosti. Za ejpravděpodobější povaţujeme takovou hodotu maimálí hodotu. při íţ má fukce L

206 Řešeé úlohy Iduktiví statistika Příklad..3. Metodou maimálí věrohodosti odhaděte ezámý parametr Poissoova rozděleí. Řešeí: Poissoovo rozděleí má pravděpodobostí fukci: p,! e L,,..., e l! Položíme-li derivaci rovu 0: i i i i l L l l! i l L l l! i dl L i d i i 0 i i i i i i i i Kritické hodoty rozděleí Defiice..4. Kritické hodoty rozděleí a hladiě výzamosti p jsou kvatily, kde ide p vyjadřuje pravděpodobost, ţe áhodá veličia (u symetrických rozděleí její absolutí hodota), překročí tuto hodotu. Uţívaá ozačeí: u p kritická hodota ormálího rozděleí a hladiě výzamosti p. P( X > u p ) = p, X má ormovaé ormálí rozděleí N(0,)

207 Iduktiví statistika u u p p u u p p p p u u p p p p, kde u p p -kvatil ormálího rozděleí N(0,) Odsud se určí apř. u 0,05 =,96. kritická hodota rozděleí s -stupi volosti a hladiě výzamosti p. p P(X > ) = p, p X má rozděleí s -stupi volosti t p() kritická hodota Studetova rozděleí s -stupi volosti a hladiě výzamosti p. P( X > t p() ) = p, X má Studetovo rozděleí s -stupi volosti F p(m,) kritická hodota Fischerova rozděleí s m,-stupi volosti a hladiě výzamosti p. P(X > F p(m,) ) = p, X má Fischerovo rozděleí s m,-stupi volosti Itervalové odhady parametrů: Defiice..4. Itervalový odhad parametru β základího souboru je iterval < B ; B >, v ěmţ leţí skutečá hodota parametru s pravděpodobostí - p, tz. P( B β B ) = - p. Iterval < B ; B > se azývá iterval spolehlivosti (kofidečí iterval) pro parametr β a hladiě výzamosti p (ebo se stupěm spolehlivosti - p)

208 Hodoty B, B jsou kritické hodoty pro parametr β. Itervaly ( - ; B ) a ( B ; + ) se azývají kritické itervaly. Iduktiví statistika Hladia výzamosti p je pravděpodobost toho, ţe skutečá hodota odhadovaého parametru eleží uvitř itervalu spolehlivosti. Bývá zvykem volit hodotu p = 0, ebo p = 0,05 ebo p = 0,0. Stupeň spolehlivosti vyjadřuje pravděpodobost toho, ţe skutečá hodota parametru leží v itervalu spolehlivosti. Iterval spolehlivosti lze určit ekoečě moha způsoby. Nejčastěji se pouţívá symetrický oboustraý iterval spolehlivosti, tz. ţe parametr β se vyskytuje v jedom z kritických itervalů s pravděpodobostí p. P( β < B ) = P( β > B ) = p. Věujme se yí itervalovému odhadu ejdůleţitějších statistických veliči, středí hodoty a rozptylu. Ukazuje se, ţe te se dá odvodit jako důsledek tzv. cetrálí limití věty. Uveďme ji v jedom z ěkolika uţívaých tvarů bez důkazu: Věta... Nechť X = X + X + + X je áhodá veličia, která vzikla součtem ezávislých áhodých veliči s koečou středí hodotou μ a koečým rozptylem σ. Pak áhodá proměá Y X X X má pro ormálí rozloţeí N(0,). Všiměme si hlavě toho, ţe o výchozím (základím) souboru eí předpokládáo s výjimkou koečosti jeho základích charakteristik vůbec ic. Hlavě se ic epředpokládá o jeho rozloţeí. Přesto je tedy dokazatelé, ţe výběrové průměry ormálí rozloţeí mají. A jejich středí hodota je rova středí hodotě základího souboru (vzpomeňme a bodový odhad středí hodoty) a rozptyl těchto

209 průměrů je -tiou rozptylu základího souboru. Iduktiví statistika Zde si můţete otevřít ilustračí úlohu vyřešeou v Ecelu (pouze a webu).... Itervalový odhad středí hodoty Jsou-li tedy u, u dva libovolé kvatily ormovaého ormálího rozloţeí, platí u X P u u e du u u Protoţe však ejčastěji volíme kofidečí iterval, do ěhoţ má s předem daou pravděpodobostí padout středí hodota základího souboru, souměrý kolem bodového odhadu, upravujeme vzorec pro itervalový odhad středí hodoty do tvaru: u p., čili P u. ;. p u p p. Přitom jsme písmeem p ozačili hladiu výzamosti, u p příslušý kvatil ormovaého ormálího rozložeí. Hodota - p je pak hladia spolehlivosti (apř. pro p = 0,05 je u 0,05 =,96). Výrazem jsme ozačili bodový odhad středí hodoty, jak je běţě zvykem. Pokud eí záma hodota rozptylu základího souboru σ (tak je tomu většiou), ahradíme ji bodovým odhadem. Podmíce asymptotičosti ovšem uto vyhovět a uţívat vzorec pouze pro > 30. Pro meší vzorky platí aalogický vztah, ale ormálí ormovaé rozloţeí je ahrazeo rozložeím Studetovým s - stupi volosti. Kvatil u p pak ahrazujeme kvatilem t p (-) Studetova t-rozloţeí. (Počet stupňů volosti, který teď bude u ěkterých speciálích rozloţeí pravděpodobosti vystupovat, bude vţdy ozačovat počet ezávislých pozorováí, která jsou v daé situaci

210 Iduktiví statistika volitelá. Tak v případě odhadu středí hodoty je moţo u vzorku o rozsahu zvolit - hodot libovolě, -tý prvek je z daé středí hodoty dopočitatelý. Odečetl se tedy jede stupeň volosti, eboť eistovala jeda vazba mezi uvaţovaými veličiami. Aalogický postup se pro výpočet stupňů volosti uţívá obecě.) Výraz up. up. s, resp. tp. tp. s je vlastě požadovaá přesost pro hledaý parametr (běţý je zápis ), která platí pro zvoleou hladiu výzamosti p. Ze vztahu pro výpočet Δ však můţeme aopak určit, které určí potřebý rozsah výběru, jehoţ charakteristika má poţadovaou spolehlivost: u p., resp. st. p Bez problémů je tato iverzí úloha pro případ, ţe pouţíváme předpoklad o ormalitě. Při aplikaci Studetova t-rozloţeí se vyskytuje hledaé a obou straách rovice v implicití podobě. Řešeé úlohy Příklad... Měřili jsme průměr vačkového hřídele a 50 součástkách. Předpokládáme ormálí rozděleí souboru. Z výsledků měřeí jsme určili výběrový průměr a výběrovou disperzi p = 995,6, s = 34,7. Určete iterval spolehlivosti pro středí hodotu základého souboru při hladiě výzamosti 5 %. Řešeí: Úlohu vyřešíme v Ecelu - z důvodu jedoduchého výpočtu kritické hodoty ormálího rozděleí pomocí předdefiovaé fukce NORMSINV - v souladu s předchozí teorií: s 34,7. up. NORMSINV 0,975, Itervalový odhad středí hodoty je tedy: ; 994,584;997,046 p p Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu

211 Iduktiví statistika Příklad... Při měřeí kapacity sady kodezátorů bylo provedeo 0 měřeí s výsledky v tabulce. Odhaděte iterval spolehlivosti pro kapacitu těchto kodezátorů se spolehlivostí 90 %, resp. 95 % Řešeí: Úlohu vyřešíme obdobě jako předchozí příklad...: Výběrový průměr p a výběrovou směrodatou odchylku s vypočteme v Ecelu pomocí předdefiovaých fukcí PRŮMĚR a SMODCH. Výsledky: p = 50,3; s = 4,9 0,90 0,95 s 4,9. tp. TINV 0,;9 9 3, 0065 s 4,9. tp. TINV 0,05;9 9 3, 70 Iterval spolehlivosti a hladiě výzamosti 90%: ; 47, 9;53,3 p p Iterval spolehlivosti a hladiě výzamosti 95%: ; 46,59;54, 0 p p Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu.... Itervalový odhad rozptylu Přistupme yí k odvozeí itervalového odhadu disperze. V 5. kapitole o rozloţeích pravděpodobosti spojité áhodé veličiy bylo kostatováo, ţe áhodá veličia, která vzike součtem ormovaých veliči s ormálím rozloţeím, má Pearsoovo rozloţeí. Stejě tak často tuto součtovou veličiu i ozačujeme, tedy i i má rozloţeí s stupi volosti

212 Iduktiví statistika Nezáme-li středí hodotu (a to zpravidla platí), pak áhodá veličia má Pearsoovo rozloţeí pro ( - ) stupňů volosti. i i Dvoustraý itervalový odhad áhodé veličiy můţeme zapsat pravděpodobostí rovicí: P p čili p p S. P p. p p Kritické hodoty jsou tabelováy. Po úpravě získáme pravděpodobostí rovici pro itervalový odhad rozptylu základího souboru v praktičtějším tvaru: P. S. S p p p Řešeé úlohy Příklad..3. Určete oboustraý kofidečí iterval rozptylu ormálě rozloţeého základího souboru pro hladiy spolehlivosti 0,90, 0,95 a 0,99, kdyţ u výběru s rozsahem = byl zjiště rozptyl 0,64. Posuďte získaé výsledky. Řešeí: Kritické hodoty Pearsoova rozděleí v ecelu vypočteme pomocí předdefiovaé fukce CHIINV. Řešeí pro spolehlivost 0,90:. s. s p p.0, 64.0, 64 CHIINV 0,05; CHIINV 0,95; 0,358,539 Zbývající dva případy vyřešíme zcela aalogicky. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. - -

213 Úlohy k samostatému řešeí Iduktiví statistika.. Měřil se průměr hřídele a 50 součástkách. Předpokládáme ormálí rozděleí souboru. Z výsledků se určil výběrový průměr a výběrová disperze: = 995,6; s = 34,7. Určete iterval spolehlivosti pro středí hodotu a hladiě výzamosti 5%... Byla měřea délka trváí určitého procesu. Z měřeí byla zjištěa středí doba trváí procesu 44 s a směrodatá odchylka 4 s. Sestrojte 90 % a 95 % iterval spolehlivosti pro očekávaou délku procesu za předpokladu ormálího rozděleí..3. Při měřeí kapacity sady kodezátorů bylo provedeo 0 měřeí s výsledky: 5, 56, 48, 53, 50, 56, 40, 55, 45, 48. Odhaděte iterval spolehlivosti pro kapacitu těchto kodezátorů se spolehlivostí a) 90%, b) 95%..4. Bylo zkoušeo 30 áhodě vybraých ocelových tyčí k určeí meze kluzu určitého druhu oceli. Po zpracováí výsledků byla určea její empirická středí hodota 86,4 Mpa a rozptyl [Mpa ]. Určete itervalový odhad parametrů základího souboru s 95% spolehlivostí. Kolik vzorků by bylo třeba volit, aby chyba určeé středí hodoty epřesáhla Mpa?.5. Určete itervalový odhad s 90% spolehlivostí středí hodoty a směrodaté odchylky pro ásledující hodoty: 606, 49, 67, 44, 50, 340, 09, 957, 463, 80, 086, 69, 33, 734, 458, 80, 03, 736, 97,

214 Výsledky úloh k samostatému řešeí Iduktiví statistika.. <994,6;997,04>.. p = 0,: <4,83;46,7> p = 0,05: <4,35;46,65>.3. a) <47,9;53,3> b) <46,59;54,0>.4. <8,;90,58> <79,39;6,> = 0.5. <544,4;0,55> <57,;987,73> - 3 -

215 . TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Testováí hypotéz Průvodce studiem Naváţeme a předchozí kapitolu a vysvětlíme ěkteré statistické testy. Předpokládaé zalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly je vysvětlit postup při testováí statistických hypotéz a sezámit s ěkterými kokrétími statistickými testy. Výklad.. Statistické hypotézy - úvod Od statistického šetřeí eočekáváme pouze elemetárí iformaci o velikosti ěkterých statistických ukazatelů. Pouţíváme je i k ověřováí ašich očekáváí o výsledcích ějakého procesu, k posuzováí výzamosti změ, které byly způsobey změou techologie, apod. Ukáţeme, ţe ač formulace úloh toho typu se liší od formulace úlohy o odhadech parametrů, jde zpravidla vţdy o řešeí iverzí úlohy o itervalovém odhadu. Zaveďme si však apřed příslušou termiologii. Defiice... Statistická hypotéza je tvrzeí, které se týká ezámé vlastosti rozděleí pravděpodobosti áhodé proměé (i vícerozměré) ebo jejích parametrů. Hypotéza, jejíţ platost ověřujeme, se azývá ulová hypotéza H 0. Proti ulové hypotéze stavíme alterativí hypotézu H. Ta můţe být buď oboustraá ebo jedostraá. Pak i testy jsou buď oboustraé ebo jedostraé. Hypotézy se mohu týkat pouze ezámých číselých parametrů rozloţeí áhodé veličiy, - 4 -

216 pak jde o testy parametrické. Ostatí typy jsou testy eparametrické. Testováí hypotéz Statistické testy jsou postupy, jimiţ prověřujeme platost ulové hypotézy. Na základě ich pak hypotézu buď přijmeme ebo odmíteme. Testovací kritérium je áhodá veličia závislá a áhodém výběru (téţ azývaá statistika) mající vztah k ulové hypotéze. Jedostraé a oboustraé testy se od sebe rozlišují z hlediska alterativí hypotézy, kterou stavíme proti prověřovaé ulové hypotéze a která můţe být dvojího druhu, jak plye z tohoto příkladu: Nechť ulová hypotéza předpokládá, ţe A = B. V případě, ţe tuto hypotézu zamíteme, je buď A B, ebo A > B (resp. A < B). a) V prvém případě (A B) ebereme zřetel a zaméko rozdílu A - B, takţe můţe být buďa - B < 0 ebo A - B > 0. V těchto případech pouţíváme oboustraý test. b) V druhém případě, kdy proti hypotéze A = B klademe moţost A > B (resp. A < B), pouţíváme jedostraých testů. Pro kritické hodoty testovacího kritéria a p, b p platí:. Tyto hodoty oddělují iterval prakticky možých hodot (iterval spolehlivosti, kofidečí iterval) <a p, b p > od kritických itervalů, v ichţ se hodoty veličiy X vyskytují s pravděpodobostí p, které říkáme hladia výzamosti. Nejčastěji volíme p = 0,0 ebo p = 0,05. Pro oboustraé odhady volíme: p P X ap P X b p, pro jedostraé buď P X a 0, P X b p ebo p P X a p, P X b 0. p p p - 5 -

217 Testováí hypotéz Porováí hodoty testovacího kritéria s jeho kritickými hodotami slouţí k rozhodutí o výsledku testu. Musíme si uvědomit, ţe emůţeme mluvit o dokazováí správosti či esprávosti zvoleé hypotézy - to eí v moţostech statistické idukce. Závěr testu pouze rozhode mezi dvěmi moţostmi: hypotézu přijímáme (zamítáme alterativí hypotézu), leţí-li pozorovaá hodota testovacího kritéria v itervalu prakticky moţých hodot. Zameá to, ţe rozdíl mezi pozorovaou a teoretickou hodotou testovacího kritéria je vysvětlitelý a daé hladiě výzamosti p áhodostí výběru. hypotézu zamítáme (přijímáme alterativí hypotézu), leţí-li pozorovaá hodota testovacího kritéria v kritickém oboru. Rozdíly povaţujeme za statisticky výzamé a zvoleé hladiě výzamosti p, tz., ţe se edají vysvětlit pouze áhodostí výběru. Příklady otázek, a které se dá odpovídat pomocí výsledků příslušých statistických testů: Má základí soubor (ZS) předpokládaou středí hodotu? Mají dva soubory stejou disperzi? Můţeme předpokládat, ţe dva výběry pocházejí z téhoţ ZS? Má ZS předpokládaé rozděleí? atd. Těmito slovy jistě ebudou techici formulovat své otázky v kokrétím průmyslovém podiku. Bude je ale apř. zajímat, zda bylo dodáo uhlí deklarovaé kvality dva měřící přístroje pracují stejě přesě se ezměily provozí podmíky ovlivňující výrobu (apř. seřízeí obráběcích strojů) produkce zmetků v jedotlivých hodiách je rovoměrá (Pokuste se popsat kokrétí provozí realizace výše uvedeých situací.) Ve shodě s běţými zvyklostmi defiujme: - 6 -

218 Testováí hypotéz Defiice... Nechť b je pozorovaá, kdeţto β teoretická hodota statistiky B a echť <a p, b p > je iterval prakticky moţých hodot veličiy B a 00p% hladiě výzamosti. Pak říkáme, ţe rozdíl b - β je. áhodě vysvětlitelý, kdyţ b a0,05; b0,05 J 0,05 ;. statisticky výzamý, kdyţ b a0,0; b0,0 J 0,0; 3. slabě statisticky výzamý, kdyţ b J 0,05, ale b J 0,0.... Kroky při testováí hypotézy Formulace výzkumé otázky ve formě ulové a alterativí statistické hypotézy Zvoleí přijatelé úrově chyby rozhodováí (volba hladiy výzamosti p) Volba testovacího kritéria Výpočet hodoty testovacího kritéria Určeí kritických hodot testovacího kritéria Doporučeí (přijmutí ebo zamítutí ulové hypotézy H 0 ) Pozámky Hladia výzamosti je pravděpodobost, že se zamíte ulová hypotéza, ačkoliv oa platí. Pochopitelě se tato hodota volí velmi malá, jak již bylo řečeo, ejčastěji 0,05 ebo 0,0. Jestliže test eidikuje zamítutí ulové hypotézy H 0, je esprávé přijmout ulovou hypotézu jako defiitivě pravdivou. Správě můžeme pouze prohlásit, že eí dostatek dokladů pro zamítutí ulové hypotézy. Netvrďme, že data ukazují, že teorie platí/eplatí. Správější je říct, že data podporují ebo epodporují rozhodutí o zamítutí platosti ulové hypotézy

219 ... Test jako rozhodováí Testováí hypotéz Při testováí hypotéz mohou astat čtyři moţosti, které popisuje ásledující tabulka: Závěr testu H 0 platí H 0 eplatí Skutečost H 0 platí správý chyba I.druhu H 0 eplatí chyba II.druhu správý Eistují tedy dvě moţosti chyby: chyba I. druhu - ulová hypotéza platí, ale zamíte se; chyba II. druhu - ulová hypotéza eplatí, ale přijme se. Přirováme-li tuto situaci k medicískému testováí, pak chyba I. druhu zameá falešě pozitiví výsledek (paciet je zdráv, ale testováí ukazuje a emoc), chyba II. druhu odpovídá falešě egativímu výsledku (paciet je emocý, ale test to eodhalí). Pravděpodobost chyby I. druhu je podmíěá pravděpodobost, ţe zamíteme ulovou hypotézu za předpokladu, ţe platí - ozačujeme p - viz. výše. Pravděpodobost chyby II. druhu je podmíěá pravděpodobost, ţe ezamíteme ulovou hypotézu za předpokladu, ţe eplatí, ozačujeme p 0 : P(chyba I. druhu H 0 platí) = p P(chyba II. druhu H eplatí) = p 0 Kovečí hodoty pro p 0 jsou 0, ebo 0,. Někdy můţeme také mluvit o opačých jevech k chybě I. a II. druhu, tz. o podmíěé pravděpodobosti, ţe euděláme chybu I.druhu (spolehlivost testu) ebo ţe euděláme chybu II. druhu. Síla testu odpovídá hodotě ( - p 0 ). Jedá se tedy o podmíěou pravděpodobost, ţe správě odhalíme testem eplatost ulové hypotézy: P(euděláme chybu I. druhu H 0 platí) = - p = spolehlivost P(euděláme chybu II. druhu H eplatí) = - p 0 = síla testu Cílem při testováí ulové hypotézy je omezit úrově pravděpodobosti chyb I. a II. druhu. Jiými slovy - usilujeme o maimalizaci spolehlivosti a síly testu

220 Řešeé úlohy Testováí hypotéz Příklad... Testováí přiblíţíme pomocí aalogie se soudím procesem. Má padout rozhodutí, zda obţalovaý spáchal či espáchal zloči. Řešeí: Soudí systém se řídí zásadou, ţe obţalovaý je evie, dokud se epodaří prokázat opak. Formulace hypotéz má tedy tuto podobu: H 0 : Obţalovaý je evie. H : Obţalovaý je vie. Růzé moţosti vztahu mezi pravdou a rozhodutím soudu vidíme v tabulce: Závěr soudu Obžalovaý je Obžalovaý je evie vie Skutečost Obţalovaý je evie správý chyba I. druhu Obţalovaý je vie chyba II. druhu správý Uvědomme si, ţe chyba I. druhu má pro jedice fatálí ásledky. Proto její moţost elimiujeme a ejmeší moţou míru. Soud musí jasě prokázat viu obţalovaého. Jeho rozhodutí také podléhají přezkoumáí vyšších istací. Odpovídá to volbě velmi malé hladiy výzamosti. V moha jiých případech však evíme zcela přesě, která chyba je pro ás důleţitější. V další části uvedeme ěkteré důleţité statistické testy:.. Hypotézy o rozptylu... Test výzamosti rozdílu dvou rozptylů (F-test) Předpoklady: Jsou dáy dva výběry o rozsazích, s rozptyly S, S, vybraé ze dvou základích - 9 -

221 souborů s rozděleími N( ; ) a N( ; ). Nulová hypotéza: H 0 : = Alterativí hypotéza: H : Testovací kritérium: Testováí hypotéz F. S. S má Fisherovo-Sedecorovo rozděleí F( -, - ). Závěr: Jestliţe F Fp,, zamítáme hypotézu H 0 (přijímáme H ). Idey, volíme tak, aby testovací kritérium F >. Pozámka V případě, že bychom chtěli prokázat hypotézu H 0 proti hypotéze H : bychom kritickou hodotu F p ( -, - ) >, použili Řešeé úlohy Příklad... Byly sledováy výsledky běhu a 50 m (v sekudách) u skupiy desetiletých chlapců a dívek. Posuďte získaé výsledky z hlediska vyrovaosti výkoů v jedotlivých skupiách. Chlapci: ,80 9,30 9,40 9,90 0,0 9,30 9,40 8,90 8,90 9,60 9,70 0,60 9,40 9,50 9,60 0,00 9, ,40 8,40 9,80 8,80 9,0 9,50 9,80 9,00 0,50 9,40 9,30 9,90 9,0 9,60 8,70 8,0-0 -

222 Dívky: Testováí hypotéz ,70 0,80 0,00 0,60 9,0 0,0 9,90 0,00 9,30 0,0 9,80 0,00 0,00, ,00 0,00 0,00,0 9,40 0,70 9,30 0,0 9,0 0,0 9,30 0,00 9,40 0,90 Řešeí: Hladiu výzamosti zvolíme p = 0,05. Určíme potřebé charakteristiky u obou skupi (prohodili jsme pořadí tak, aby vyšlo F > ): Dívky: = 8 s = 0,45 Chlapci: = 33 s = 0,330 Určíme hodotu testovacího kritéria: F s s , , 330,377 Kritická hodota (vypočteá apř. v Ecelu pomocí předdefiovaé fukce FINV): F 0,05 (7,3) = FINV(0,05;7;3) =,0689 Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu, tudíţ přijmeme H 0. Mezi rozptyly eí statisticky výzamý rozdíl. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu..3. Hypotézy o středí hodotě.3.. Test výzamosti rozdílu M - 0 Předpoklady: Je dá výběr ze základího souboru s rozděleím N( ; a disperzí S. Nulová hypotéza: ) o rozsahu se středí hodotou M H 0 : = 0 - -

223 Alterativí hypotéza: Testováí hypotéz H : 0 Testovací kritérium: M T 0. S má Studetovo rozděleí t( - ). Závěr: Jestliţe T > t p ( - ), zamítáme hypotézu H 0 (přijímáme H ). Pozámka Volíme-li alterativí hypotézu H : s kritickou hodotou t p ( - ). > 0, pak hodotu testovacího kritéria srováváme Řešeé úlohy Příklad.3.. V pivovaru došlo k opravě plící liky. Na hladiě výzamosti p = 0,05 ověřte, zda se oprava zdařila, tj., zda lika plí do láhví pivo o objemu 500ml. Výsledky u vybraých vzorků (v mililitrech): 495, 496,8 50, 498, ,7 50,5 50,8 499, 500,9 50, 50,7 500,4 500, 50, 499,9 500, 50, 500,8 499,3 Řešeí: 0 = 500, tudíţ: H 0 : = 500 H : 500 Výpočet základích charakteristik: = M = 500,357 S =,77806 Testovací kritérium: M 0 500, T.. 0 0,898 S, Kritická hodota (vypočteme apř. v Ecelu pomocí předdefiovaé fukce TINV): t 0,05 (0) = TINV(0,05;0) =,

224 Testováí hypotéz Závěr: Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu, tudíţ přijmeme H 0. Oprava se zdařila, lika plí lahve správě. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu..3.. Test výzamosti rozdílu dvou výběrových průměrů (t-test) Předpoklady: Jsou dáy dva výběry o rozsazích, se středími hodotami M, M a disperzemi S, S, které pocházejí ze dvou základích souborů s rozděleími N( ; ) a N( ; ). Nulová hypotéza: H 0 : = Alterativí hypotéza: H : a) jestliţe můţeme předpokládat = (prověříme F-testem), volíme testovací kritérium: T M M. S. S..., které má Studetovo rozděleí t( + - ). Závěr: Jestliţe T > t p, zamíteme H 0. b) jestliţe předpokládáme (prověříme F-testem), volíme testovací kritérium: M M T. S. S.. které má rozděleí, sloţeé ze dvou Studetových rozděleí. Kritické hodoty určíme podle vzorce: t p. S. t. S. t p p. S. S Závěr: Jestliţe T > t p ( + - ), zamíteme H 0., - 3 -

225 Pozámka t-test používáme apř. k ověřováí ásledujících hypotéz: Testováí hypotéz Pocházejí dva vzorky z téhož základího souboru? Nedopustili jsme se při dvou měřeích, jejichž výsledkem bylo určeí dvou středích hodot m, m, systematických chyb? Má určitý faktor vliv a zkoumaý argumet? Zde zkoumáme dva vzorky - jede při působeí daého faktoru, druhý bez jeho působeí. Řešeé úlohy Příklad.3.. Odběratel dostává zářivky od dvou dodavatelů. Při hodoceí kvality zářivek se sleduje také počet zapojeí, který sesou zářivky bez poškozeí. Zkoušky výrobků vedly k těmto výsledkům: dodavatel A: dodavatel B: Ověřte hypotézu, ţe kvalita obou dodávek je stejá. Hladiu výzamosti volte p = 0,05. Řešeí: V Ecelu vypočteme charakteristiky obou souborů: = 5 M = 998,8 S = 5444,69 = 9 M = 946,4 S = 3554,5 Nejdříve provedeme F-test: Testovací kritérium: F S S ,69, ,5 Kritická hodota: F 0,05 (4,8) = FINV(0,05;4;8) = 4,97 Přijmeme tedy hypotézu o shodě rozptylů =. Dále tedy postupujeme jako v případě a): - 4 -

226 Testovací kritérium: Testováí hypotéz T M M. S. S ,8 946, , , , Kritická hodota: t 0,05 () = TINV(0,05;) =,074 Závěr: Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu, přijmeme H 0 : =. Kvalita obou dodávek je stejá. Tato úloha se dá v Ecelu řešit i jedodušším způsobem, máme-li aistalová doplňkový ástroj Ecelu Aalýza dat (istalace je podroběji popsáo v 7.kapitole, příkladu 7.3..). Teto doplěk by mělo být moţé spustit z abídky Nástroje. V dialogovém okě Aalýza dat klepeme a aalytický ástroj Dvouvýběrový t-test s rovostí rozptylů. Objeví se ám oko, do kterého zadáme vstupy, tj.. soubor hodoty od dodavatele A,. soubor hodoty od dodavatele B. Výstupem pak bude ásledující (ebo velmi podobá) tabulka: V této tabulce máme všechy potřebé údaje. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Příklad.3.3. Při atropologických měřeích obyvatelstva Egypta byla mimo jié sledováa šířka osu (cm) u skupiy muţů -50 letých a severí části země a u skupiy stejě starých muţů z jiţí části. Naměřeé výsledky viz v tabulce. Posuďte výzamost rozdílu ve výsledcích. Hladiu výzamosti volte p = 0,

227 Testováí hypotéz sever 3,6 4, 3,3 3,4 3,7 3, 4,0 4,0 3,6 3,0 3,3 3,7 4,3 3,3 3,4 3,4 3,3 3,6 4,0 3,4 3,7 jih 4,3 3,9 4,3 3,8 4, 4, 3,8 3,9 3,8 3,8 4,0 3,7 3,9 4,4 3,7 3,8 3,9 3,9 4,0 4, 3,8 4,0 4,3 Řešeí: V Ecelu vypočteme charakteristiky obou souborů: = M = 3,58095 S = 0,97 = 3 M = 3,97393 S = 0,04949 Nejdříve provedeme F-test: Po dosazeí do testovacího kritéria vyšla hodota: F =, Kritická hodota: F 0,05 (0,) = FINV(0,05;0;) =,38898 Tudíţ emůţeme přijmout hypotézu o shodě rozptylů:. Dále tedy postupujeme jako v případě b): Testovací kritérium: M M T. S. S.. 3, , ,97.0, ,53304 Kritická hodota, po dosazeí: t p. S. t. S. t p p. S. S,083 Závěr: Testovací kritérium v absolutí hodotě překročilo kritickou hodotu, emůţeme přijmout H 0. Šířky osu a severu se liší od těch a jihu. Stejě jako u předchozí úlohy můţeme vyřešit v Ecelu i pomocí doplňkového ástroje Aalýza dat. V dialogovém okě Aalýza dat klepeme a aalytický ástroj Dvouvýběrový t-test s erovostí rozptylů. Objeví se ám oko, do kterého zadáme vstupy, tj.. soubor hodoty ze severí části země,. soubor hodoty z jihu

228 Výstupem bude opět ásledující (ebo velmi podobá) tabulka: Testováí hypotéz V této tabulce opět ajdeme všechy potřebé údaje. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu Studetův test pro párovaé hodoty Předpoklady: Ze dvou ormálě rozloţeých základích souborů s parametry μ, σ a μ, σ byly vybráy dva výběry se stejými rozsahy. Přitom kaţdému prvku prvého výběru i odpovídá právě jede prvek druhého výběru i. Vzikly tedy páry ( i ; i ), i =,.... Nulová hypotéza: H 0 : μ = μ, coţ lze jiak zapsat: d = 0, kdyţ d je středí hodota rozdílů d i = i - i, tedy: i i i d 0 Alterativí hypotéza: H : μ μ ebo tedy: d 0 Testovací kritérium: t d. s d. (s d je směrodatá odchylka hodot d i ) Veličia t má Studetovo rozloţeí s - stupi volosti t( - ). Závěr: Jestliţe t > t p ( - ), zamíteme hypotézu H

229 Testováí hypotéz Řešeé úlohy Příklad.3.4. Staoveí thiocyaového iotu (SCN-) bylo paralelě provedeo dvěma metodami (Aldridge a Barker) a vzorcích. Srovejte obě metodiky otestováím výsledků. Hladia výzamosti p = 0, Aldridge 0,38 0,56 0,45 0,49 0,38 0,4 0,6 0,36 0,6 0,4 0,43 0,4 Barker 0,39 0,58 0,44 0,5 0,4 0,45 0,59 0,37 0,8 0,4 0,4 0,38 Řešeí: Nejprve vytvoříme veličiu d: Aldridge 0,38 0,56 0,45 0,49 0,38 0,4 0,6 0,36 0,6 0,4 0,43 0,4 Barker 0,39 0,58 0,44 0,5 0,4 0,45 0,59 0,37 0,8 0,4 0,4 0,38 d i -0,0-0,0 0,0-0,03-0,03-0,04 0,0-0,0-0,0-0,0 0,0 0,0 Z tabulky jedoduše vypočteme potřebé charakteristiky: d i d i 0, 0,0 (ebo v Ecelu pomocí fukce PRŮMĚR) Obdobě směrodatou odchylku: s d = 0,0857 Testovací kritérium: t d. 0,0. s 0,0857 d,866 Kritická hodota: t 0,05 ( - ) = TINV(0,05;) =,0 Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu, přijmeme H 0. Obě metodiky dávají stejé výsledky. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu

230 Testováí hypotéz Přejděme yí k ukázkám testů eparametrických, u ichţ se ezaměřujeme a hodoty ěkterých parametrů základího souboru, ale studujeme shodu rozloţeí áhodé veličiy. Ověřujeme tedy apř., zda určitý teoretický základí soubor můţe být modelem pro studovaý výběr, zda rozloţeí těchto souborů je moţo povaţovat za totoţá. Předveďme ěkteré testy dobré shody..4. Testy dobré shody (testy přiléhavosti).4.. Pearsoův test dobré shody - χ test pro jede výběr Předpoklady: Nechť výsledky pozorováí jsou roztříděy do k skupi a v kaţdé skupiě je zjištěa skupiová četost ej (četosti eperimetálí). Uvaţujme určité rozděleí, které budeme povaţovat za model pro áš výběr. Pro kaţdou třídu určíme teoretické, modelové, očekávaé četosti oj (j =,...,k). Nulová hypotéza: H 0 : Základí soubor má očekávaé rozloţeí, tz. ţe četosti ej a oj (j =,...,k) se liší pouze áhodě. Testovací kritérium: k j ej oj oj Tato veličia má Pearsoovo rozloţeí χ s ν = k - s - stupi volosti. Veličia s začí počet parametrů očekávaého rozloţeí odhadutých a základě výběru. Závěr: Jestliţe χ > χ p (k - s - ), zamíteme hypotézu H 0. Pozámky Při použití tohoto testu se vyžaduje splěí těchto podmíek: - všechy očekávaé třídí četosti mají být větší ež, - ejvýš 0 % očekávaých třídích může být meších ež 5, - edoporučuje se volit počet tříd větší ež

231 Testováí hypotéz Nejsou-li splěy, lze přikročit k sloučeí sousedích tříd v ezbytém rozsahu. Poz. ke stupňům volosti: Ověřujeme-li apř. ormalitu základího souboru, je s rovo, protože teoretické ormálí rozložeí se staovuje a základě odhadu středí hodoty a disperze výběru, tedy a základě dvou charakteristik. Řešeé úlohy Příklad.4.. Je dá statistický soubor. Na hladiě výzamosti 5 % otestujte hypotézu, ţe soubor má ormálí rozděleí. i obsah Al O ei Řešeí: Nejdříve vypočteme příslušé charakteristiky, tj. parametry ormálího rozděleí - středí hodotu a rozptyl. Výpočet provedeme způsobem, který byl popsá v 7. kapitole, příkladu 7.4..: Středí hodota: M 447,5 i fi N 33 i 4,

232 Rozptyl: h S i M fi N i 050,4 3, Směrodatá odchylka: h Testováí hypotéz S 3, 704,80887 Pomocí parametrů ormálího rozděleí můţeme vypočítat očekávaé četosti oi : Uvedeme apř. výpočet o : o = N.P(8 X 9) = 33.(F(9) - F(8)) = (v Ecelu) = = 33*(NORMDIST(9;4,34;,80887;) - - NORMDIST(8;4,34;,80887;)) = = 0,6096 Zbylé očekávaé četosti vypočteme aalogicky, viz. tabulka: Z tabulky je patré, ţe ejsou splěy všechy podmíky z předchozí pozámky, proto sloučíme třídy, a třídy,: - 3 -

233 Testováí hypotéz Po sloučeí tříd jsou všechy podmíky splěy, v posledím sloupci je vypočtea hodota testovacího kritéria: i ei oi oi Kritická hodota: 3, 877 0,05 0 0,05 7 CHIINV(0,05;7) 4, 067 Závěr: Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu. Daý soubor má ormálí rozděleí. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu..4.. Kolmogorovův-Smirovův test dobré shody pro jede výběr Předpoklady: Nechť výsledky pozorováí jsou roztříděy do k skupi a v kaţdé skupiě je zjištěa skupiová četost ej (četosti eperimetálí). Uvaţujme určité rozděleí, které budeme povaţovat za model pro áš výběr. Pro kaţdou třídu určíme teoretické, modelové, očekávaé četosti oj (j =,...,k). Pro empirické i teoretické očekávaé rozděleí staovíme kumulativí četosti N ej a N oj, j =,...,k. Nulová hypotéza: H 0 : Základí soubor má očekávaé rozloţeí, tz. ţe četosti N ej a N oj (j =,...,k) se liší pouze - 3 -

234 áhodě. Testovací kritérium: Testováí hypotéz D.ma Nej Noj, j,, k Tato veličia má speciálí rozloţeí, jehoţ kritické hodoty jsou tabelováy pro < 40 (viz tabulky). Pro 40 se počítají podle přibliţých vzorců. Pro hladiu výzamosti p = 0,05 je D ;0,05,36, pro hladiu výzamosti p = 0,0 je D ;0,0,63. Závěr: Jestliţe D D ;p, zamíteme hypotézu H 0. Řešeé úlohy Příklad.4.. Vyuţijeme zadáí příkladu.4.. a úlohu vyřešíme pomocí Kolmogorovova - Smirovova testu pro jede výběr: Řešeí: Parametry ormálího rozděleí a očekávaé četosti jsme uţ vypočetli v příkladě.4.., stačí dopočítat kumulativí četosti a testovací kritérium:

235 Testovací kritérium: D.ma Nei N Kritická hodota: oi 8, ,36 D ;0, , , Testováí hypotéz Testovací kritérium epřekročilo kritickou hodotu. Daý soubor má ormálí rozděleí. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Předchozí dva testy ověřovaly, zda rozloţeí výběru eodporuje předpokladu o určitém rozloţeí základího souboru. Následující test bude ověřovat, shodu rozloţeí dvou výběrů Kolmogorovův-Smirovův test dobré shody pro dva výběry Předpoklady: U dvou výběrových souborů s rozsahy a bylo provedeo roztříděí do k skupi a zjištěy kumulativí třídí četosti pro kaţdou třídu: N,j a N,j. F,j a F,j jsou pak příslušé třídí relativí kumulativí četosti. Nulová hypotéza: Oba výběrové soubory mají totéţ rozloţeí (pocházejí tedy z téhoţ základího souboru). Testovací kritérium: a) = 40 D ma N N, j,, k j j j má speciálí rozloţeí, jeho kritické hodoty se vyčtou z příslušých tabulek (viz tabulky), b) > 40 a >40 (i růzě velké): D ma F F, j,, k. j j j Kritické hodoty se počítají podle vzorců: pro p = 0,05 je D ;0,05,36. a

236 pro p = 0,0 je Testováí hypotéz D ;0,0,63... Závěr: Jestliţe D D :p (, ), zamíteme ulovou hypotézu H 0. Řešeé úlohy Příklad.4.3. Ve dvaceti vybraých závodech byly zkoušey dva typy filtrů odpadích vod. Bylo zjišťováo, jaké proceto ečistot filtr zadrţí, a to tak, ţe ejprve byly istalováy filtry. typu a po určité době filtry. typu. Výsledky jsou v tabulce. Zjistěte, jestli se porovávaé filtry kvalitativě liší. moţství zadrţeých ečistot (v %) ,j ,j Řešeí: H 0 : Dva základí soubory mají totéţ rozděleí (porovávaé filtry se kvalitativě eliší). Volíme hladiu výzamosti p = 0,05 moţství zadrţeých ečistot (v %),j,j N,j N,j N,j - N,j

237 Testováí hypotéz Z tabulky vidíme, ţe = < 40, tudíţ testovací kritérium: D ma N N 9, j, j j Kritická hodota: D ;0,05 (0) = 9 (viz tabulky) Závěr: D = D ;0,05 (0) = 9, zamíteme H 0. Filtry se kvalitativě liší. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Eistují i eparametrické testy, které eověřují rozloţeí výběrového souboru. Uveďme test, který se saţí zjistit, zda výběrový soubor eobsahuje údaj zatíţeý hrubou chybou měřeí, popř. chybou v zápise. Jde o jede z testů etrémích odchylek..5. Testy etrémích hodot.5.. Dioův test etrémích odchylek Předpoklady: Ve výběrovém souboru o rozsahu je = mi( i ), resp. = ma( i ) (apř. hodoty jsou seřazey podle velikosti od do ). Nulová hypotéza: H 0 : Hodota (ejmeší hodota), resp. (ejvětší hodota) se eliší výzamě od ostatích hodot souboru

238 Testováí hypotéz Testovací kritérium:, Q, ebo Q podle toho, testujeme-li miimálí ebo maimálí hodotu ve výběru. Kritické hodoty Q ;p, resp. Q ;p se vyčtou z příslušých tabulek (viz tabulky). Závěr: Jestliţe Q > Q ;p, resp. Q > Q ;p, zamíteme ulovou hypotézu H 0. Test etrémích odchylek je moţo ovšem také provést uţitím parametrického testu:.5.. Grubbsův test etrémích odchylek Předpoklady: Ve výběrovém souboru o rozsahu je = mi( i ), resp. = ma( i ) (apř. hodoty jsou seřazey podle velikosti od do ). je středí hodota výběru, S je výběrová směrodatá odchylka. Nulová hypotéza: H 0 : Hodota, resp. se eliší výzamě od ostatích hodot souboru. Testovací kritérium: T, resp. T, S S podle toho, testujeme-li miimálí ebo maimálí hodotu ve výběru. Kritické hodoty T ;p, resp. T ;p se vyčtou z příslušých tabulek (viz tabulky), Závěr: Jestliţe T > T ;p, resp. T > T ;p, zamíteme ulovou hypotézu H 0. Pozámka Vede-li test k závěru, že etrémí hodotu je třeba ze souboru vyloučit, je třeba sestrojit zovu všechy výběrové charakteristiky (ze souboru bez etrémí hodoty) pro případé další výpočty

239 Řešeé úlohy Testováí hypotéz Příklad.5.. Při kalibraci titračí metody k staoveí krevího cukru bylo provedeo paralelích aalýz z jedoho vzorku s výsledky v tabulce. Otestujte, zda hodota 98 eí chybá Dioovým testem: = 78 (ejmeší hodota) - = 88 (druhá ejvětší hodota) Testovací kritérium: Q , Kritická hodota: Q ;0,05 = 0,376; Q ;0,0 = 0,48 (viz tabulky). Závěr: Testovací kritérium překročilo kritickou hodotu (pro obě zkoumaé hladiy výzamosti). Zamítáme ulovou hypotézu H 0. Hodota 98 se výzamě liší od ostatích hodot. Grubbsovým testem: Nejdříve vypočteme potřebé charakteristiky: = 84,6667 S = 4,89644 Testovací kritérium: T S 98 84,6667 4,89644 Kritická hodota: Q ;0,05 =,387; Q ;0,0 =,663 (viz tabulky).,

240 Testováí hypotéz Závěr: Testovací kritérium překročilo kritickou hodotu (pro obě zkoumaé hladiy výzamosti). Zamítáme ulovou hypotézu H 0. Hodota 98 se výzamě liší od ostatích hodot. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. Uveďme ještě test, který se týká koeficietu korelace u dvojrozměré áhodé veličiy..6. Testy o koeficietu korelace.6.. Test lieárí ezávislosti v základím souboru Předpoklady: Dvojrozměrý základí soubor má ormálí rozloţeí a korelačí koeficiet ρ. Náhodý výběr z tohoto souboru má rozsah a koeficiet korelace R. Nulová hypotéza: ρ = 0 Testovací kritérium: t R. R Tato veličia má Studetovo rozloţeí s - stupi volosti t( - ). Závěr: Jestliţe t t p, zamíteme H 0. Pozámka Odmítutí ulové hypotézy zameá připuštěí alterativí hypotézy, že mezi složkami áhodé veličiy je korelace, ejsou lieárě ezávislé

241 Řešeé úlohy Testováí hypotéz Příklad.6.. Otestujte a hladiě výzamosti p = 0,05, zda u dvojrozměré veličiy daé v tabulce, můţe jít o lieárí závislost. 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 y 0,0,7 3, 3,8 3,9 3,8 3,0 Řešeí: Pouţijeme předchozí test lieárí ezávislosti v základím souboru. Nejdříve (apř. v Ecelu vypočteme výběrový koeficiet korelace: R = 0, Tuto hodotu dosadíme do testovacího kritéria: R 0, t.. 7, R 0, Kritická hodota: t 0,05 (7-) = TINV(0,05;D) =, Závěr: Hodota testovacího kritéria epřekročila kritickou hodotu. Neí uto zamítout hypotézu o lieárí ezávislosti a y. Tuto úlohu si můţete otevřít vyřešeou v Ecelu. K procvičeí předchozích pozatků si otevřete sbírku úloh, ve které ajdete moho řešeých i eřešeých příkladů z matematické statistiky

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika 1. KOMBINATORIKA Průvodce studiem Na střední škole se někteří z vás seznámili se základními pojmy z kombinatoriky. V této kapitole tyto pojmy zopakujeme a prohloubíme vaše znalosti. Předpokládané znalosti

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

2. PRAVDĚPODOBNOST JEVŮ

2. PRAVDĚPODOBNOST JEVŮ 2. PRAVDĚPODOBNOST JEVŮ Průvodce studiem V první kapitole jste se seznámili s kombinatorikou. Tyto znalosti použijeme v této kapitole, zavedeme pojem pravděpodobnost jevů a ukážeme základní metody výpočtu

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST 1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý

Více