Cvi ení 3. Cvi ení 3. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 28, 2017

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvi ení 3. Cvi ení 3. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 28, 2017"

Transkript

1 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 28, 2017

2 1 Jednoduché modely 2 Modelování diferenciálních rovnic 3 Model ovce a vlci

3 Jednoduché modely Jednoduchý p íklad Namodelujte výstup systému, popsaný rovnicí y(t) = 1 2 t sin(t).

4 Jednoduché modely Jednoduchý p íklad Namodelujte výstup systému, popsaný rovnicí y(t) = 1 2 t sin(t). sin Clock Trigonometric Function Product Scope sqrt Math Function

5 Jednoduché modely Jednoduchý p íklad Namodelujte výstup systému, popsaný rovnicí y(t) = 1 2 t sin(t). Alternativa Blok User-defined Functions Fcn Clock sqrt(u)*sin(u) Fcn Scope

6 Jednoduché modely Archimédova spirála Rovnice x = t sin t, y = t cos t. t < 0, >.

7 Jednoduché modely Archimédova spirála Rovnice x = t sin t, y = t cos t. t < 0, >. Nový blok Math Operations Product

8 Jednoduché modely Archimédova spirála Rovnice x = t sin t, y = t cos t. t < 0, >. Nový blok Math Operations Product sin Clock Trigonometric Function Product XY Graph cos Trigonometric Function1 Product1

9 Jednoduché modely Logaritmická spirála Rovnice x = e kt sin t, y = e kt cos t. t < 0, >, k > 0 const.

10 Jednoduché modely Logaritmická spirála Rovnice x = e kt sin t, y = e kt cos t. t < 0, >, k > 0 const. Blok Math Operations Math Function exp exponenciální funkce e u log p irozený logaritmus ln u reciprocal p evrácená hodnota 1/u pow obecná mocina u v...

11 Jednoduché modely Logaritmická spirála Rovnice x = e kt sin t, y = e kt cos t. t < 0, >, k > 0 const. Blok Math Operations Math Function exp exponenciální funkce e u log p irozený logaritmus ln u reciprocal p evrácená hodnota 1/u pow obecná mocina u v... Nastavení v Matlabu poloºíme k=0.05 kongurace simulace: pevný krok 0.01.

12 Jednoduché modely Asteroida Rovnice x = sin 3 t, y = cos 3 t. t < 0, 2π >.

13 Jednoduché modely Asteroida Rovnice x = sin 3 t, y = cos 3 t. t < 0, 2π >. Blok Math Operations Math Function pow obecná mocina u v

14 Jednoduché modely Asteroida Rovnice x = sin 3 t, y = cos 3 t. t < 0, 2π >. Blok Math Operations Math Function pow obecná mocina u v Blok Sources Constant nastavíme 3

15 Jednoduché modely Cykloida Rovnice x = at d sin t, y = a d cos t.

16 Jednoduché modely Cykloida Rovnice x = at d sin t, y = a d cos t. Nastavení v Matlabu poloºíme a=1 a d=1.2 kongurace simulace: pevný krok 0.1.

17 Modelování diferenciálních rovnic Blok Integrator Blok Continuous Integrator integruje vstup po áte ní podmínky v parametrech bloku

18 Modelování diferenciálních rovnic Blok Integrator Blok Continuous Integrator integruje vstup po áte ní podmínky v parametrech bloku Blok Sources Step = posunutý jednotkový skok implicitn sko í do jedné aº v t = 1, tj. modeluje 1(t 1) nulu nastavit v parametrech bloku

19 Modelování diferenciálních rovnic P íklad 1 Vytvo te simulinkový model diferenciální rovnice druhého ádu y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 1(t 2) s nulovými po áte ními podmínkami.

20 Modelování diferenciálních rovnic P íklad 1 Vytvo te simulinkový model diferenciální rovnice druhého ádu y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 1(t 2) s nulovými po áte ními podmínkami. e²ení Step Add 1 s Integrator 1 s Integrator1 2 Gain Scope Gain1 3

21 Modelování diferenciálních rovnic P íklad 2 Jakou rovnici modeluje následující simulinkové schéma? Sine Wave 0.1 1/s Integrator 1/s Integrator1 1/s Integrator2 Scope1 Gain 2 Gain1

22 Modelování diferenciálních rovnic P íklad 2 Jakou rovnici modeluje následující simulinkové schéma? Sine Wave 0.1 1/s Integrator 1/s Integrator1 1/s Integrator2 Scope1 Gain 2 Gain1 e²ení Diferenciální rovnici t etího ádu (nebo sin 2t, cos(t/3 + 1),... ) y (t) + 2y (t) + 0.1y(t) = sin(t)

23 Model ovce a vlci Lotka-Volterra predator-prey model Nelineární dynamický stavový model vlci a ovce Stavové prom nné x 1 (t) populace ovcí x 2 (t) populace vlk

24 Model ovce a vlci Lotka-Volterra predator-prey model Nelineární dynamický stavový model vlci a ovce Stavové prom nné x 1 (t) populace ovcí x 2 (t) populace vlk Stavové rovnice d dt x 1(t) = a x 1 (t) b x 1 (t)x 2 (t), d dt x 2(t) = c x 2 (t) + d x 1 (t)x 2 (t).

25 Model ovce a vlci Lotka-Volterra predator-prey model Nelineární dynamický stavový model vlci a ovce Stavové prom nné x 1 (t) populace ovcí x 2 (t) populace vlk Stavové rovnice d x dt 1(t) = a x 1 (t) b x 1 (t)x 2 (t), d x dt 2(t) = c x 2 (t) + d x 1 (t)x 2 (t). Parametry a = 0.2 b = c = 0.4 d = stop_time = 100 x 1 (0) = 80 x 2 (0) = 10

26 Model ovce a vlci Schéma modelu vlci - ovce Scope Add 1/s 0.4 Gain Integrator Gain Product Add1 1/s Integrator1 0.4 Gain1 Gain

27 Model ovce a vlci Vývoj populace ovce-vlci O V C E V L C I T [ D N Y ]

28 Model ovce a vlci Vývoj populace rys a zajíc v Kanad

Cvi ení 5 Simulink. Cvi ení 5 Simulink. Modelování systém a proces. Lucie Kárná. March 26, 2018

Cvi ení 5 Simulink. Cvi ení 5 Simulink. Modelování systém a proces. Lucie Kárná. March 26, 2018 Cvi ení 5 Simulink Modelování systém a proces Lucie Kárná karna@fd.cvut.cz March 26, 2018 1 Jednoduché modely Archimédova spirála Logaritmická spirála Asteroida Cykloida 2 Modelování diferenciálních rovnic

Více

Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce

Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní funkce 3 Princip práce v u Jednoduché modely v u Souhrn Organizace cvi ení webová

Více

Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018

Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018 Cvi ení 1 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní operace Základní funkce 3 Simulink Princip práce v Simulinku Jednoduché

Více

Modelov an ı syst em u a proces

Modelov an ı syst em u a proces Modelování systémů a procesů 13. března 2012 Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3 Příklady na stavový popis dynamických systémů Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3

Více

Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink

Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink Modelování polohových servomechanismů v prostředí Matlab / Simulink Lachman Martin, Mendřický Radomír Elektrické pohony a servomechanismy 27.11.2013 Struktura programu MATLAB-SIMULINK 27.11.2013 2 SIMULINK

Více

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Modelování systémů a procesů (11MSP) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 2. přednáška 11MAMY středa 23.

Více

Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10

Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10 Obsah Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10 KAPITOLA 1 Úvod 11 Dostupná rozšíření Matlabu 13 Alternativa zdarma GNU Octave 13 KAPITOLA 2 Popis prostředí

Více

Základy práce s programem Simulink. Michal Široký

Základy práce s programem Simulink. Michal Široký Základy práce s programem Simulink Michal Široký Michal Široký, 2007 Úvod Tato příručka je určena především studentům předmětů SIMUL, KY, TŘ a SM, vyučovaných Katedrou kybernetiky Fakulty aplikovaných

Více

Vozíky Graf Toku Výkonu

Vozíky Graf Toku Výkonu Graf Toku Výkonu Michal Menkina, Petr Školník TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ..07/2.2.00/07.0247, který

Více

Jemný úvod do Matlabu a Simulinku

Jemný úvod do Matlabu a Simulinku Jemný úvod do Matlabu a Simulinku Částečně splněné požadavky na zápočet za 29932 sekund B B. Kovář, J. Přikryl, M. Pěnička, M. Vlček, L. Hodný c 1998 2007 Ústav aplikované matematiky FD ČVUT Obsah 1 Úvod

Více

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu

Vlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

11 Subsystém a maskovaný subsystém, uživatelské knihovny

11 Subsystém a maskovaný subsystém, uživatelské knihovny Subsystém a maskovaný subsystém, uživatelské knihovny Studijní cíl Jedenáctý blok je věnován jednak dalším možnostem SIMULINKu pro usnadnění tvorby složitějších modelů. V první části se ukážeme tvorbu

Více

GeoGebra známá i neznámá (pokročilí)

GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) MODAM 2017 Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D. MODAM 2017 GeoGebra známá i neznámá (pokročilí) Příklad 1: Cykloida Zadání: Kotálením kružnice vytvoříme cykloidu. 3. 2. 1.

Více

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů

Více

Á Á ň ň ť Í Ť ň Í ř ň ř ř ň Í Ť Ě ň Č Ť Á Í Á Ť Í Á Ď ř ř ň Í ť ť ň ň Ě Í ů Í Í ř Ě ř Ě Ť ň Ť Ý ň ň Ť ň ň ň ň Ě ť Í Á Ť Ť ň Ť ř ú ň Í Ť Í Ť ň Á ň Ž ď Ě ň Ě Í Ů ň Ť ň ň Í Ě Ť ň ř Í Ť Í ň ň Č Ť ť ň ň ř ň

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Opakování z předmětu TES

Opakování z předmětu TES Opakování z předmětu TES A3B35ARI 6..6 Vážení studenti, v následujících měsících budete každý týden z předmětu Automatické řízení dostávat domácí úkol z látky probrané v daném týdnu na přednáškách. Jsme

Více

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 2. přednáška 11MAMY středa 22.

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí: Projekt1. Buď T= π 2 { cos(3t), je-li t 0, ... Projekt3. Buď T=4abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí:

abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí: Projekt1. Buď T= π 2 { cos(3t), je-li t 0, ... Projekt3. Buď T=4abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí: Projekt1. Buď T= 2 abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí: { cos(3t je-li t 0, 6 2, je-li t 6, 2 ). Projekt2. Buď T=3abuď ftaková T periodickáfunkce,žeplatí: { 1+e t, je-li t 0,1 2, je-li t 1,3). Projekt3.

Více

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení

Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Řízení a optimalizace Stavové modely a model-prediktivní řízení Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 2. přednáška 11MAMY úterý 27.

Více

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4 Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P

Více

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení Sbíra úloh z matematia 11 Křivový integrál 11 KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 115 111 Křivový integrál I druhu 115 Úloh samostatnému řešení 115 11 Křivový integrál II druhu 116 Úloh samostatnému řešení 116 11 Greenova

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3

x 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3 I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :

Více

KMA/MM. Lotka-Volterra Model Predátor Kořist

KMA/MM. Lotka-Volterra Model Predátor Kořist KMA/MM Lotka-Volterra Model Predátor Kořist Kamila Matoušková V Plzni, 2009 1 Obsah 1 Lotka-Voltera model... 3 2 Vznik modelu... 3 3 Formulace modelu... 3 4 Koeficienty modelu... 4 4.1 Stanovení koeficientů...

Více

Semestrální práce z předmětu Teorie systémů

Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3.. Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému... 3. Přenosovou

Více

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Odpružená sedačka. Petr Školník, Michal Menkina. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Petr Školník, Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247, který je spolufinancován

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelné diferenciální rovnice Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici

Více

Rhinoceros a matematika_ Ω

Rhinoceros a matematika_ Ω 1 x sinx μ z ν α_matematika a Rhinoceros π Rhinoceros a matematika_ Ω cosx arcsinx 2 cotgx φ tgx 3 arctgx 5 y 4 6 arccosx 7 8 9 zpracoval David Seidler vedoucí práce RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Fakulta

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)

Více

Á Í Č Ě Č ň ť Š Č Ť ň ň ď Ť Ú ť Č ň ď ť Č Š Ž Ú Ť Ť Ť Ť ň Ť Ť ť Ť Ť Á Ť Ť Ť ď Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť ň ďť Ť Ť Ť Š Š Š ď ň Č Š ň Š ť Š ň Š Š Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ú Š ň ť ť Š ň Š Ž ť ť ť ň Š Č Š Š Í

Více

Předmět A3B31TES Př. 2 B

Předmět A3B31TES Př. 2 B Předmět A3B31TES Př. 2 B PS,TB,OK 1 1 Katedra teorie obvodů Přednáška 2: Systémy PS,TB,OK Předmět A3B31TES Př. 2 B únor 2015 1 / 56 Obsah 1 Úvod 2 Typy systémů 3 Stabilita systémů 4 Příklady systémů 5

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ

KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ Radim Pišan, František Gazdoš Fakulta aplikované informatiky, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Nad stráněmi 45, 760 05 Zlín Abstrakt V článku je představena knihovna

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.

Více

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu

Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Základy algoritmizace a programování Přednáška 23. listopadu 2011 Co řešíme Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: separovatelné lineární exaktní druhého řádu,

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Frekvenční charakteristika soustavy tří nádrží

Frekvenční charakteristika soustavy tří nádrží Popis úlohy: Spojené nádrže tvoří dohromady regulovanou soustavu. Přívod vody do nádrží je zajišťován čerpady P1a, P1b a P3 ovládaných pomocí veličin u 1a, u 1b a u 3, snímání výšky hladiny je prováděno

Více

P íklady k druhému testu - Matlab

P íklady k druhému testu - Matlab P íklady k druhému testu - Matlab 1. dubna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e) Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte

Více

Objektov orientované programování. C++ Akademie SH. 7. Objektov orientované programování. Michal Kvasni ka. Za áte níci C++ 2.

Objektov orientované programování. C++ Akademie SH. 7. Objektov orientované programování. Michal Kvasni ka. Za áte níci C++ 2. C++ Akademie SH Za áte níci C++ 2. kv tna 2011 Obsah 1 Objektov orientované programování Obsah Objektov orientované programování 1 Objektov orientované programování P et ºování Jev, díky kterému m ºeme

Více

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici 7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud

Více

DFT 1D i 2D obrázkové připomenutí a trošku konvoluce 1

DFT 1D i 2D obrázkové připomenutí a trošku konvoluce 1 DFT D i 2D obrázkové připomenutí a trošku konvoluce Tomáš Svoboda Czech Technical University, Faculty of Electrical Engineering Center for Machine Perception, Prague, Czech Republic svoboda@cmp.felk.cvut.cz

Více

HIERARCHICKÝ OPTIMÁLNÍ REGULÁTOR Branislav Rehák ČVUT FEL, katedra řídicí techniky

HIERARCHICKÝ OPTIMÁLNÍ REGULÁTOR Branislav Rehák ČVUT FEL, katedra řídicí techniky HIERARCHICKÝ OPTIMÁLNÍ REGULÁTOR Branislav Rehák ČVUT FEL, katedra řídicí techniky Úvod Teorie dynamických optimalizačních úloh je již delší dobu dobře rozpracována. Přesto není v praxi příliš často využívána.

Více

MATLAB, v , Release 13

MATLAB, v , Release 13 MATLAB, v. 6.5.0180913, Release 13 1. Úvod Jedná se o programový systém, jehož název znamená MATRIX LABORATORY. Používá se od roku 1984 v mnoha oborech k simulacím, měření, grafice. Používá se celosvětově

Více

Amplitudová a frekvenční modulace

Amplitudová a frekvenční modulace Amplitudová a frekvenční modulace POZOR!!! Maximální vstupní napětí spektrálního analyzátoru je U pp = 4 V. Napěťové úrovně signálů, před připojením k analyzátoru, nejprve kontrolujte pomocí osciloskopu!!!

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

1.1 Struktura programu v Pascalu Vstup a výstup Operátory a některé matematické funkce 5

1.1 Struktura programu v Pascalu Vstup a výstup Operátory a některé matematické funkce 5 Obsah Obsah 1 Programovací jazyk Pascal 1 1.1 Struktura programu v Pascalu.................... 1 2 Proměnné 2 2.1 Vstup a výstup............................ 3 3 Operátory a některé matematické funkce 5

Více

I. Kalkulátor Rebell SC2040 manuál s příklady Tlačítko: MODE CLR

I. Kalkulátor Rebell SC2040 manuál s příklady Tlačítko: MODE CLR I. Kalkulátor Rebell SC2040 manuál s příklady Tlačítko: MODE CLR Toto tlačítko je velmi důležité pro volbu pracovního režimu. 1 stisknutí: 1 (COMP) - běžné výpočty SD, REG statistické výpočty 2 stisknutí

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Identifikace a řízení nelineárního systému pomocí Hammersteinova modelu

Identifikace a řízení nelineárního systému pomocí Hammersteinova modelu 1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Identifikace a řízení nelineárního systému pomocí Hammersteinova modelu Brázdil Michal Elektrotechnika 25.04.2011 V praxi se často setkáváme s procesy,

Více

Záludnosti velkých dimenzí

Záludnosti velkých dimenzí Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel

Více

Cvi ení 2. Cvi ení 2. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 5, 2018

Cvi ení 2. Cvi ení 2. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 5, 2018 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 5, 2018 1 Gracké moºnosti Matlabu 2 Zobrazení signálu 3 4 Analýza signálu Gracké moºnosti Matlabu Základní gracké p íkazy I Graf

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

6.3 Simulink a diferenciální hra

6.3 Simulink a diferenciální hra Funkce pro interaktivní definování vstupů a pozorovatelných výstupů pro možnost ohodnocení chování modelu, Plný přístup do MATLABu s možností analýzy a vizualizace dat, vývoj grafického uživatelského rozhraní

Více

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting

Více

Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007 Rychlotest-řešení Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Příklad 1 Mějme funkci y = sin x rozhodněte zda směrnice tečny k dané křivce

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Diferenciáln. lní geometrie ploch Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní

Více

Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu

Osnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita

Více

MODELOVÁNÍ A ŘÍZENÍ INVERZNÍHO KYVADLA Michalík Michal Katedra elektromechaniky a výkonové elektroniky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Tento příspěvek se zabývá rovinnou úlohou simultánního balancování

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Rychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Rychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007 Rychlotest-internet Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Na vyřešení testu by Vám mělo stačit 25 minut. K jeho řešení nebudete potřebovat

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Návrh a simulace zkušební stolice olejového čerpadla. Martin Krajíček

Návrh a simulace zkušební stolice olejového čerpadla. Martin Krajíček Návrh a simulace zkušební stolice olejového čerpadla Autor: Vedoucí diplomové práce: Martin Krajíček Prof. Michael Valášek 1 Cíle práce 1. Vytvoření specifikace zařízení 2. Návrh zařízení včetně hydraulického

Více

43A111 Návrh řízení podvozku vozidla pomocí lineárního elektrického pohonu.

43A111 Návrh řízení podvozku vozidla pomocí lineárního elektrického pohonu. 43A111 Návrh řízení podvozku vozidla pomocí lineárního elektrického pohonu. Popis aktivity Návrh a realizace řídicích algoritmů pro lineární elektrický motor použitý jako poloaktivní aktuátor tlumení pérování

Více

Úvod do programu MAXIMA

Úvod do programu MAXIMA Jedná se o rozpracovaný návod k programu wxmaxima pro naprosté začátečníky. Návod lze libovolně kopírovat a používat ke komerčním i osobním účelům. Momentálně chybí mnoho důležitých kapitol které budou

Více

Modelování v elektrotechnice

Modelování v elektrotechnice Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek

Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek Simulační schemaa, savový popis Per Hušek Simulační schemaa, savový popis Per Hušek husek@fel.cvu.cz kaedra řídicí echniky Fakula elekroechnická ČVUT v Praze MAS 007/08 ČVUT v Praze 6,7 - Simulační schemaa,

Více

Daniel Honc, František Dušek Katedra řízení procesů a výpočetní techniky, FCHT, Univerzita Pardubice

Daniel Honc, František Dušek Katedra řízení procesů a výpočetní techniky, FCHT, Univerzita Pardubice MTIOVÉ OPERE V SIMULINKU VERZE 4 Daniel Honc, František Dušek Katedra říení procesů a výpočetní techniky, FHT, Univerita Pardubice bstrakt Vere 4 SIMULINKu přinesla principiální měnu možnost pracovat se

Více

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce

Post ehy a materiály k výuce celku Funkce Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více