Příklad 1 Osově namáhaný prut průběhy veličin

Transkript

1 Příkld 1 Osově nmáhný prut průběhy veličin Zdání Oelový sloup složený ze dvou částí je neposuvně ukotven n obou koníh v tuhém rámu. Dolní část je vysoká, m je z průřezu 1 - HEB 16 (průřezová ploh A b = 5, m 2 ). Horní část je vysoká 2,8 m je z průřezu 2 - HEB 1 (průřezová ploh A b = 2, m 2 ). Mteriálem je Oel S 25 (modul pružnosti E = 21 GP; součinitel teplotní roztžnosti t = K -1 ). Obr.: Zdání - výpočtový model Spojité osové ztížení v dolní části (směrem dolů) je n b = 16,5 kn/m. Spojité osové ztížení v horní části (směrem dolů) je n b = 14,25 kn/m. Svislá síl n rozhrní průřezů (v bodě b - směrem dolů) je F = 165 kn. Sloup je zhřátý o 18 C oproti původnímu stvu při montáži. Určete průběh normálového npětí, normálové síly, poměrného přetvoření posunutí po déle prutu.

2 Řešení Výpočtový model konstruke je n obrázku. Vzhledem k neposuvnému uložení obou konů prutů vznikjí dvě reke v ose prutu. Jedná se tedy o sttiky neurčitou konstruki. Použije se silová metod řešení sttiky neurčitýh konstrukí. Odebere se vzbu proti svislému posunu v podpoře. Vzbu se nhrdí rekí R příslušnou deformční (nebo tky kinemtikou či geometrikou) podmínkou, kterou vzb zjišťovl. Obr.: výpočtový model Postup 1) Vytvoření zákldní sttiky určité soustvy 2) Posunutí zákldní sttiky určité soustvy 2) Průběh normálovýh sil od původního silového ztížení 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení 2) Určení posunutí bodu od teplotního ztížení 2d) Určení posunutí bodu od neznámé reke R ) Určení neznámé reke R z deformční podmínky 4) Určení normálovýh sil n prutu 5) Určení normálovýh npětí n prutu 6) Určení poměrnýh přetvoření 6) Poměrné přetvoření od obou silovýh ztížení 6b) Poměrné přetvoření od teplotního ztížení 6) Celkové poměrné přetvoření 7) Určení posunutí n prutu Obr.: Neznámé reke n prutu Nkreslete zákldní soustvu npište doplňkovou geometrikou podmínku.

3 1) Vytvoření zákldní sttiky určité soustvy Tkovýto výpočtový model spolu s podmínkou odpovídá původnímu. Přídvná deformční podmínk sloučí k určení neznámé reke R. Pro určení posunu u je vhodné využít prinip superpozie účinků rozdělit si ztížení prutu n několik ztěžovíh stvů. Jeden ztěžoví stv bude odpovídt silovému ztížení prutu (ztěžoví stv F), dlší teplotnímu ztížení (ztěžoví stv t) poslední neznámé reki R (ztěžoví stv R) u Nekreslete tyto tři ztěžoví stvy zákldní soustvy. Obr.: Zákldní sttiky určitá soustv

4 Obr.: Ztěžoví stvy zákldní sttiky určité soustvy silové ztížení, teplotní ztížení neznámá reke R 1) Vytvoření zákldní sttiky určité soustvy

5 2) Posunutí zákldní sttiky určité soustvy 2) Průběh normálovýh sil od původního silového ztížení Určete hodnoty normálovýh sil v důležitýh bodeh prutu. Obr.: Ztěžoví stv zákldní sttiky určité soustvy silové ztížení Normálová síl v bodě : N, (?) [kn] F Normálová síl v bodě b shor: N b, F (?)[kn] Normálová síl v bodě b zdol: N, (?) [kn] b F Normálová síl v bodě : N, (?)[kn] F Vykreslete průběh normálovýh sil.

6 2) Průběh normálovýh sil od původního silového ztížení Hodnoty normálovýh sil v důležitýh bodeh prutu: N, F N N N n L 14,25.1.2,8 9, b, F, F b b 9 N F 9, kn 24, b, F b, F 9 N, F Nb, F nblb 24,9.1 16,5.1., 259, 5kN kn Obr.: Ztěžoví stv zákldní sttiky určité soustvy silové ztížení Průběh normálovýh sil: Spojité osové ztížení prutu je v obou úseíh konstntní funke. Vzhledem k difereniální podmíne rovnováhy N n bude funke normálové síly o stupeň vyšší polynom tedy funke lineární. Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením

7 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení Protože je funke normálové síly v jednotlivýh úseíh lineární, použije se integri po částeh pro výpočet posunutí bodu. Zčne se od neposuvného bodu. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Vyjádřete normálovou sílu v úseku -b jko funki x: N x (?) + (?) x [kn] ( ) ( ; b) Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením

8 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení Protože je funke normálové síly v jednotlivýh úseíh lineární, použije se integri po částeh pro výpočet posunutí bodu. Zčne se od neposuvného bodu. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením Normálová síl v úseku -b: N( x) ; b) 259,5 ( 16, 5 x Vyjádřete normálovou sílu v úseku -b jko funki x (viz obr.): N x (?) + (?) x [kn] ( ) ( b; ) kn

9 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení Protože je funke normálové síly v jednotlivýh úseíh lineární, použije se integre po částeh pro výpočet posunutí bodu. Zčne se od neposuvného bodu. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Normálová síl v úseku -b: N( x) ; b) 259,5 ( 16, 5 x kn Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením Normálová síl v úseku b-: N x) 9,9 14, 25x ( ( b; ) Určete posunutí bodu b: u, (?) [m] b F kn

10 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení Protože je funke normálové síly v jednotlivýh úseíh lineární, použije se integre po částeh pro výpočet posunutí bodu. Zčne se od neposuvného bodu. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Normálová síl v úseku -b: N( x) ; b) 259,5 ( 16, 5 x kn Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením Normálová síl v úseku b-: N x) 9,9 14, 25x ( ( b; ) Posunutí bodu b: u b, F b kn N( x) 1 dx 9 EA ,425.1 b 16, ,5x x 2,,, ,516,5x dx m Určete posunutí bodu : u, (?) [m] F

11 2b) Určení posunutí bodu od původního silového ztížení Protože je funke normálové síly v jednotlivýh úseíh lineární, použije se integri po částeh pro výpočet posunutí bodu. Zčne se od neposuvného bodu. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Vyjádřete normálovou sílu v úseku -b jko funki x: N( x) ; b) 259,5 ( 16, 5 x kn Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením Vyjádřete normálovou sílu v úseku -b jko funki x (viz obr.): N x) 9,9 14, 25x kn ( ( b; ) Posunutí bodu b: u b, F b N( x) 1 dx 9 EA ,425.1 b 16, ,5x x 2,,, ,516,5x dx m Posunutí bodu : u, F u b, F, b N( x) dx u EA b b, F , ,25 2 9,9x x 2 2,8 2,8, ,9 14,25x dx m

12 2) Určení posunutí bodu od teplotního ztížení Posunutí od teploty je závislé n veličináh, které jsou konstntní po elé déle nosníku. Součinitel teplotní roztžnosti je t = K -1. Určete hodnotu posunutí v bodě : u, (?) [m] t Obr.: Ztěžoví stvy zákldní sttiky určité soustvy teplotní ztížení

13 2) Určení posunutí bodu od teplotního ztížení Posunutí od teploty je závislé n veličináh, které jsou konstntní po elé déle nosníku. Součinitel teplotní roztžnosti je t = K -1. Posunutí v bodě : 6 u, L ,1 1, t t t m Obr.: Ztěžoví stvy zákldní sttiky určité soustvy teplotní ztížení

14 2d) Určení posunutí bodu od neznámé reke R Průběh normálové síly od reke je konstntní po elé déle. Vzhledem k tomu, že tuhost EA je po déle po částeh konstntní, je možné pro výpočet posunutí použít sumční vzth. Určete posun bodu způsobený neznámou rekí R : u, F (?) R Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený neznámou rekí R

15 2d) Určení posunutí bodu od neznámé reke R Průběh normálové síly od reke je konstntní po elé déle. Vzhledem k tomu, že tuhost EA je po déle po částeh konstntní, je možné pro výpočet posunutí použít sumční vzth. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 E = 21 GP Obr.: Průběh normálovýh sil n zákldní soustvě způsobený neznámou rekí R Posun bodu způsobený neznámou rekí R : u, F N i Li EA R i R L E A, 5,425.1 b b L A b b 2,8 2,64.1 8, R

16 ) Určení neznámé reke R z deformční podmínky Dosďte jednotlivá posunutí do deformční podmínky určete reki R. u R (?) [kn]

17 ) Určení neznámé reke R z deformční podmínky Podmínk nulového posunu bodu : u Celkový posun bodu je složen ze tří vlivů posunu od původního silového ztížení, posunu od neznámé reke posunu od teplotního ztížení. u u u, F, t, R, , ,, R Reke v bodě : R 67, , 77kN

18 4) Určení normálovýh sil n prutu Výsledný průběh normálovýh sil lze získt ze silového ztížení sttiky určité soustvy, tedy jko součet digrmů N F N R. Obr. Silové ztížení sttiky určité soustvy Určete normálovou sílu v bodě : N (?) [kn] Určete normálovou sílu v bodě b shor: N (?) [kn] b Určete normálovou sílu v bodě b zdol: N (?) [kn] b Určete normálovou sílu v bodě : N (?) [kn] Vykreslete průběh vnitřníh sil.

19 4) Určení normálovýh sil n prutu N R N 67, , 77kN, F Nb R Nb, F 67,77.1 9,9.1 17, 67kN N R N 67, , , b b, F 67 kn N R N, F 67, ,5.1 27, 12kN Obr.: Průběh normálovýh sil n sttiky neurčitě podepřeném prutu

20 5) Určení normálovýh npětí n prutu Průběh npětí lze získt z průběhu normálové síly. A 1 = 5, A 2 = 2, m 2 Obr.: Průběh normálovýh sil n sttiky neurčitě podepřeném prutu Určete normálové npětí v průřezu : (?) [MP] Určete normálové npětí v průřezu b shor: (?) [MP] b Určete normálové npětí v průřezu b zdol: (?) [MP] b Určete normálové npětí v průřezu : (?) [MP] Vykreslete průběh normálovýh npětí po déle prutu.

21 5) Určení normálovýh npětí n prutu Obr.: Průběh normálovýh npětí n sttiky neurčitě podepřeném prutu Normálové npětí v průřezu : N 67, , , MP A 2,64.1 b Normálové npětí v průřezu b shor: N A 17, b b 41,8.1 41, 8 b 2,64.1 Normálové npětí v průřezu b zdol: N A 272, b b 5,26.1 5, 26 b 5,425.1 Normálové npětí v průřezu : MP MP N 27, ,.1 6, MP A 5,425.1 b Průběh npětí v jednotlivýh úseíh je opět lineární, protože mezi normálovou silou npětím určuje pouze konstnt A.

22 6) Určení poměrnýh přetvoření 6) Poměrné přetvoření od obou silovýh ztížení Poměrné přetvoření způsobené silovým ztížením (ztížením F rekí R ) určíme z Hookov zákon. E = 21 GP Obr.: Průběh normálovýh npětí n sttiky neurčitě podepřeném prutu Určete poměrné přetvoření v bodě : (?) [-],F R Určete poměrné přetvoření v bodě b shor: (?) [-] b,f R Určete poměrné přetvoření v bodě b zdol: (?) [-] b,f R Určete poměrné přetvoření v bodě : (?) [-],F R Vykreslete průběhy poměrného přetvoření od silovýh ztížení po déle prutu.

23 6) Poměrné přetvoření od obou silovýh ztížení Poměrné přetvoření způsobené silovým ztížením (ztížením F rekí R ) určíme z Hookov zákon. E = 21 GP Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením rekí R Poměrné přetvoření v bodě :, F R 1 E 21.1 Poměrné přetvoření v bodě b shor: 6 26, ,95. 9 b b, F R 1 E 21.1 Poměrné přetvoření v bodě b zdol: 6 41, ,5. 9 b b, F R 1 E 21.1 Poměrné přetvoření v bodě : 6 5, ,. 9, F R 1 E , ,14. 9 Průběh poměrnýh přetvoření v jednotlivýh úseíh je opět lineární, protože mezi npětím poměrným přetvořením určuje pouze konstnt E.

24 6b) Poměrné přetvoření od teplotního ztížení Poměrné přetvoření od teploty je konstntní po déle prutu. Součinitel teplotní roztžnosti je t = K -1. Určete hodnotu poměrného přetvoření prutu vlivem teploty (?) [-] t Obr.: Teplotní ztížení zákldní sttiky určité soustvy.

25 6b) Poměrné přetvoření od teplotního ztížení Poměrné přetvoření od teploty je konstntní po déle prutu. t t t 6 Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n zákldní soustvě způsobený teplotním ztížením

26 6) Celkové poměrné přetvoření Celkové poměrné přetvoření je součtem poměrného přetvoření n zákldní sttiky určité soustvě způsobeného silovými teplotními účinky. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n zákldní soustvě způsobený silovým ztížením rekí R Určete poměrné přetvoření v bodě : (?) [-] Určete poměrné přetvoření v bodě b shor: (?) [-] b Určete poměrné přetvoření v bodě b zdol: (?) [-] b Určete poměrné přetvoření v bodě : (?) [-] Vykreslete výsledný průběh poměrnýh přetvoření prutu. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n zákldní soustvě způsobený teplotním ztížením

27 6) Celkové poměrné přetvoření Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu Poměrné přetvoření v bodě : 12, , , FR t 1 Poměrné přetvoření v bodě b shor: b 197, , b, F R t 1 Poměrné přetvoření v bodě b zdol: b 29, , b, F R t 1 Poměrné přetvoření v bodě : 287, , , F R t 1

28 7) Určení posunutí n prutu Posunutí se získá integrí funke poměrného přetvoření. K tomu je třeb vyjádřit poměrné přetvoření jko funki souřdnie x. Pro kždou část je možné použít jiný lokální souřdný systém, viz obrázek. Určete funki poměrného přetvoření v úseku -b: (x) (?) + (?). x [-] Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu

29 7) Určení posunutí n prutu Posunutí se získá integrí funke poměrného přetvoření. K tomu je třeb vyjádřit poměrné přetvoření jko funki souřdnie x. Pro kždou část je možné použít jiný lokální souřdný systém, viz obrázek. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu Funke poměrného přetvoření v úseku -b: b ( x) L b ( 71,14 14,49x).1 x 71, ,.1 Určete funki poměrného přetvoření v úseku -b: (x) (?) + (?). x [-] 6 ( 71,14.1, 6 ) x

30 7) Určení posunutí n prutu Posunutí získáme integrí funke poměrného přetvoření. K tomu je třeb vyjádřit poměrné přetvoření jko funki souřdnie x. Pro kždou část je možné použít jiný lokální souřdný systém, viz obrázek. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu Funke poměrného přetvoření v úseku -b: b ( x) L b ( 71,14 14,49x).1 x 71, Funke poměrného přetvoření v úseku -b: ( x) b L b b (18,95 26,12x).1 x 18, ,.1 92, ( 71,14.1, 18,95.1 2,8 6 6 x ) x Určete posunutí bodu b: u (?) [m] b

31 7) Určení posunutí n prutu Posunutí získáme integrí funke poměrného přetvoření. K tomu je třeb vyjádřit poměrné přetvoření jko funki souřdnie x. Pro kždou část je možné použít jiný lokální souřdný systém, viz obrázek. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu Funke poměrného přetvoření v úseku -b: b ( x) L b ( 71,14 14,49x).1 x 71, Funke poměrného přetvoření v úseku -b: ( x) b L b b (18,95 26,12x).1 x 18, ,.1 92, ( 71,14.1, 18,95.1 2,8 6 6 x ) x Posunutí bodu b: u b b ( x) dx, 14, ,14x x 2 ( 71,14 14,49x).1, 6 dx 155,864.1 Hodnot posunutí v bodě slouží pro kontrolu. Vyjděte z hodnoty posunu v bodě b Určete posunutí v bodě : u (?) [m] 6 m

32 7) Určení posunutí n prutu Posunutí získáme integrí funke poměrného přetvoření. K tomu je třeb vyjádřit poměrné přetvoření jko funki souřdnie x. Pro kždou část je možné použít jiný lokální souřdný systém, viz obrázek. Obr.: Průběh poměrnýh přetvoření n sttiky neurčitě podepřeném prutu Funke poměrného přetvoření v úseku -b: b ( x) L b ( 71,14 14,49x).1 x 71, Funke poměrného přetvoření v úseku -b: ( x) b L b b (18,95 26,12x).1 x 18, ,.1 92, ( 71,14.1, 18,95.1 2,8 6 6 x ) x Posunutí bodu b: u b b ( x) dx, 14, ,14x x 2 ( 71,14 14,49x).1, Hodnot posunutí v bodě : u u b b ( x) dx 2,8 155, , dx 155,864.1, (18,95 26,12x).1 6 Vykreslete průběh posunutí. 6 m 6 m dx 18,95x 26,12 2 x 2 2,8

33 7) Určení posunutí n prutu Funke poměrného přetvoření v úseku -b: b ( x) L b ( 71,14 14,49x).1 x 71, Funke poměrného přetvoření v úseku -b: ( x) b L b b (18,95 26,12x).1 x 18, ,.1 92, ( 71,14.1, 18,95.1 2,8 6 6 x ) x Obr.: Výsledný průběh posunutí u x n prutu Posunutí bodu b: u b b ( x) dx, 14, ,14x x 2 ( 71,14 14,49x).1, Hodnot posunutí v bodě : u u b b ( x) dx 2,8 155, , dx 155,864.1, (18,95 26,12x) m 6 m dx 18,95x 26,12 2 x 2 2,8 Deriví funke posunutí je po částeh lineární funke poměrného přetvoření. Funke posunutí bude proto funkí o stupeň vyššího polynomu, funkí kvdrtikou v jednotlivýh úseíh. N rozhrní úseků je různá derive shor zdol v průběhu posunutí to znmená zlom v digrmu.