Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je"

Transkript

1 74

2 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým. Jednou z původních motivací pro její zavedení byla analýza růstu posloupnosti faktoriálů přirozených čísel. Zatímco pro součet prvních n přirozených čísel máme velice jednoduchou formuli n = n(n + ), 2 součin prvních n přirozených čísel takovéto přehledné vyjádření nemá. Například je jasné, že posloupnost faktoriálů není možno vyjádřit jako posloupnost hodnot jistého polynomu v přirozených číslech neboť faktoriály mají podstatně rychlejší růst než jakýkoliv polynom. Snaha nalézt holomorfní funkci (tj. polynom s nekonečným stupněm ), která by v přirozených číslech měla hodnotu rovnou jejich faktoriálům vedla ke studiu funkce Γ. Hlavní zakladatelem teorie této funkce byl Leonhard Euler (77 783), který v roce 729 dospěl k vyjádření funkce Γ(z) pomocí nekonečného součinu. Cílem tohoto dodatku bude definovat funkci Γ na maximální možné podmnožině komplexních čísel a odvodit její základní vlastnosti. Funkci Γ budeme definovat ve dvou krocích. Nejdříve ji vyjádříme pro z C s Re z > pomocí tradičního integrálního vzorce. Poté ji rozšíříme na celou komplexní rovinu vyjma množiny záporných celých čísel {n Z n }. 2 Funkce Γ(z) a její základní vlastnosti Definice A.. Funkce Γ(z) je komplexní funkce definovaná pro z splňující Re z > předpisem (A.) Γ(z) = e x x z dx. Poznámka A.. Funkce Γ(z) je dána jako nevlastní integrál z komplexní funkce reálné proměnné, který závisí na parametru z. Mocninu x z pro x > přitom definujeme jako hodnotu exponenciální funkce e (z ) ln x. Pokud je tedy z reálné je reálná i hodnota Γ(z). 75

3 76 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) U každého integrálu z neomezené funkce na neomezené množině se musíme přesvědčit o jeho existenci. U integrálu v (A.) je podstatné podívat se na chování integrované funkce v okolí nekonečna a okolí nuly. (Rozmyslete si, že například lim x + e x x z = pro z (, )!) Podívejme se nejdříve na existenci integrálu e x x z dx. Pro absolutní hodnotu integrované funkce platí: e x x z = e x e (z ) ln x = e x x Re z. Protože e x x Re z dx <, existuje i integrál e x x z dx, a to dokonce pro všechna z C. Zbývá ověřit existenci integrálu e x x z dx. Na intervalu (, ) jsou hodnoty exponenciální funkce e x mezi nulou a jedničkou. Pro x (, ) tedy můžeme psát což vede k nerovnosti e x x z dx e x x z x Re z, [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z < pro Re z >. Vidíme tedy, že integrál definující funkci Γ skutečně existuje pro všechna z s kladnou reálnou částí. Předpoklad Re z > je přitom podstatný. Podívejme se na případ z =. Pak e x x dx = e x x dx + e x Zatímco druhý sčítanec je konvergentní integrál, u prvního máme e x x dx e x dx. x dx = e [ln x] =. Jinými slovy e x x dx =. Příklad A.. Spočítáme hodnoty Γ() a Γ( 2 ). Podle (A.) je Γ Γ() = ( ) = 2 e x dx = [ e x] =. e x x 2 dx.

4 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 77 V posledním integrálu provedeme substituci x = t 2, čímž ho převedeme na integrál e x x dx = = 2 e t2 (t 2 ) 2 2t dt = e t2 dt = e t2 dt = π. Poslední integrál, který jsme dostali, je známý Laplaceův integrál, se kterým se čtenář již setkal v teorii funkcí více proměnných. Jedním z nejdůležitějších rysů funkce Γ je následující vlastnost, která je typická pro faktoriály přirozených čísel. Tvrzení A.. Pro všechna z C s kladnou reálnou částí platí (A.2) Γ(z + ) = zγ(z). Důkaz. Tvrzení je jednoduchým důsledkem metody integrace per partes (A.3) Γ(z + ) = Přitom e x x z dx = [ e x x z] lim x + x R Tím se (A.3) redukuje na vztah Γ(z + ) = lim x x R e x x z = lim e x x z =, x + x R + e x e z ln x =. ze x x z dx = zγ(z). ze x x z dx. Důsledek A.. Pro každé n N {} platí Γ(n + ) =. Důkaz. Postupným použitím identity (A.2) dostaneme Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = = Γ() =.

5 78 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Funkce Γ tady má v přirozeném čísle n hodnotu (n )!. Například platí x e x dx = Γ() =! Kdo tento integrál takto rychle stanoví zná s největší pravděpodobností funkci Γ (anebo je geniální). Příklad A.2. Určeme Γ( 5 2 ). Podle rekurentního vztahu (A.2) je ( ) ( ) 5 3 Γ = Γ = 3 ( ) 3 2 Γ = ( ) 2 Γ = π = π. 2 4 Podobným způsobem jsme schopni stanovit hodnotu funkce Γ pro jakoukoliv polovinu přirozeného čísla. Mimo tyto body a přirozená čísla se hodnota funkce Γ počítá numericky. Hodnoty funkce Γ na kladné části reálné osy jsou vždy kladné neboť se jedná o integrály z kladných funkcí. Jak naznačuje obrázek A.. je lim x Γ(x) = = lim x + Γ(x). Tyto vlastnosti si zdůvodníme později. Minimum na kladné části reálné osy má funkce Γ přibližně v bodě, 46. Graf funkce Γ na reální ose také napovídá, že tato funkce má derivaci. Dokážeme si, že funkce Γ je diferencovatelná i v komplexním oboru, tj. že je holomorfní funkce. Věta A.. (i) Funkce f(z) = (ii) Funkce g(z) = e x x z dx je holomorfní v C. e x x z dx je holomorfní v polorovině {z C Re > }. (iii) Funkce Γ je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Důkaz. (i) Podle Poznámky A. víme, že funkce f(z) je korektně definována v C. Zvolme r > a definujme funkci f r (z) = r e x x z dx. Nejdříve ukážeme, že tato funkce je holomorfní v C. Funkci e x je možno rozvinout v mocninnou řadu e x ( ) n x n =, x R, n= která konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, tedy i na intervalu, r. Definujeme-li pro N N funkce r ( N ) ( ) n x n h N (z) = x z dx, z C, n=

6 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 79 pak platí (A.4) r ( ) N f r (z) h N (z) = e x ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n r max x,r e x x Re z dx. Zvolme nyní konstantu L > a polorovinu R L = {z C Re z < L}. Pro mocninu xre z kde x (, r) a z R L platí x Re z r L. Tedy pro z R L je Dle (A.4) je potom max f r (z) h N (z) max z R L r x,r n= x Re z dx r L (r ). e x N ( ) n x n rl (r ) pro N. n= Jinými slovy, posloupnost funkcí (h N (z)) N konverguje stejnoměrně k funkci f r (z) na R L. Každá z funkcí h N (z) je ovšem holomorfní v C neboť je lineární kombinací funkcí r { x z r z+ dz = z+ je-li z ln r je-li z =. Každá stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní funkce. Funkce f r (z) je tedy holomorfní v každé polorovině {z C Re z < L}, a tedy i v celé komplexní rovině. Nyní ukážeme, že funkce f r (z) konvergují pro r stejnoměrně na každé polorovině R L = {z C Re z < L}, kde L >, k funkci f(z). Z toho již plyne, že f(z) je holomorfní v celém C. Funkce e x 2 x z (jako funkce proměnné x) je omezená na (, ). Navíc pro L > můžeme nalézt konstantu K L tak, že e x 2 x z K L pro všechna x > a z s Re z < L. Pak f(z) f r (z) = = r r e x x z dx e x x z dx = e x x z dx r e x 2 e x 2 x z dx K L e x 2 dx = KL [ 2e x 2 = K L 2e r 2 pro r. r ] r

7 8 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Platí tedy, že max f(z) f r (z) pro r. z R L (ii) Schéma důkazu je stejné jako v předchozí části. Pro < < definujme pomocnou funkci g (z) = e x x z dx Re z >. Nejdříve ukážeme, že g (z) je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Opět využijeme možnosti aproximovat funkci e x částečnými součty Taylorova rozvoje a budeme definovat funkce ( N ) ( ) n x n u N (z) = x z dx Re z >. Pak (A.5) g (z) u N (z) = n= ( max x, Poslední člen v tomto odhadu je roven e x e x ) N ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n n= [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z. Re z Předpokládejme nyní, že Re z > ε >. Pak můžeme odhadnout Re z ε x Re z dx. a tedy Odtud podle (A.5) x Re z dx ε. ε max g (z) u N (z) max {z C Re z>ε} x, e x N ( ) n x n ε ε n= pro N. Všechny funkce u N jsou holomorfní z podobných důvodů jako v případě (i). Jelikož konvergují stejnoměrně pro N na polorovině {z C Re z > ε} k funkci g (z) pro každé ε >, je g (z) holomorfní v polorovině {z C Re z > }.

8 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 8 Zbývá ukázat, že funkce g (z) konvergují na každé polorovině {z C Re z > ε}, ε >, stejnoměrně k funkci g(z) pro +. Předpokládejme tedy, že Re z > ε >. Pak g(z) g (z) = e x x z dx e x x z dx e x x z dx x ε dx = ε ε pro +. Vidíme tedy, že max g(z) g (z) pro +. {z Re z>ε} Funkce g je proto holomorfní v každé polorovině {z C Re > ε} a tedy i v polorovině {z C Re z > }. (iii) Funkce Γ(z) je holomorfní v {z C Re z > } neboť Γ(z) = f(z) + g(z), kde f a g jsou funkce holomorfní v {z C Re z > } z bodů (i) a (ii). Nyní se budeme věnovat holomorfnímu rozšíření funkce Γ na větší množinu než je pravá polorovina. Z Poznámky A. vyplývá, že toto rozšíření nebude možno vyjádřit pomocí integrální formule (A.). Ukážeme však, že rozšíření je možno nalézt kombinací nekonečné řady a integrálního vzorce. Nejdříve si tímto způsobem vyjádříme funkci Γ na pravé polorovině. Věta A.2. pro všechna z s Re z >. Γ(z) = n= ( ) n (z + n) + Důkaz. Hlavní myšlenkou důkazu je vyjádřit integrál e x x z dx e x x z dx pomocí součtu nekonečné řady, který získáme z mocninného rozvoje exponenciální funkce. Jak již víme z předchozích důkazů e x x z = ( ) n x n+z, n=

9 82 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde řada vpravo konverguje (v proměnné x s pevně zvoleným parametrem z) stejnoměrně na intervalu,, kde > >. Řadu tak můžeme integrovat člen po členu a dostaneme (pro Re z > ) (A.6) (A.7) e x x z dx = n= = ( ) n n= n= x n+z dx = ( ) n n + z n= n= ( ) n n + z ( n+z ) = n= ( ) n n+z n + z. Pak pro z s Re z > ε > máme ( ) n n+z z + n n ε ε = ε ε e pro +. Tímto e x x z dx = lim e x x z dx = + ( ) n = (n + z). Věta je dokázána. n= ( ) n n= n + z lim + n= ( ) n n+z n + z = Věta A.2 umožní rozšířit funkci Γ na mnohem větší množinu než na jaké byla původně definována. Integrál e x x z dx existuje pro všechna z C a definuje funkci holomorfní v C. Následující tvrzení říká, že řada je konvergentní všude, kde jsou ( ) n (n + z) n= její členy definovány. Tvrzení A.2. Nechť ε >. Řada n= ( ) n (n + z) konverguje stejnoměrně pro každé ε > v množině K ε = {z C min n=,,... z + n ε}. Funkce ( ) n f(z) = (n + z) n= je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Důkaz. Množina K ε je komplexní rovina s vyříznutými kruhy o poloměru ε se středy v bodech,, 2,.... Pro z K ε je z + n ε pro všechna n =,,.... Můžeme tedy provést odhad ( ) n (n + z) ( ) n. ε

10 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 83 Tímto jsme nalezli konvergentní číselnou majorantu ( ) n = ε ε e n= a podle Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence je řada ( ) n (n + z) n= stejnoměrně konvergentní na K ε. Protože sčítance této řady jsou holomorfní funkce na K ε je f(z) holomorfní na každé množině K ε, ε >, a tedy i na množině C\{,, 2,...}. Předchozí výsledky umožní definici funkce Γ na množině C \ {,. 2,...}. Definice A.2. Funkce Γ(z) je funkce definovaná na množině C \ {,, 2,...} vztahem (A.8) Γ(z) = n= ( ) n (n + z) + e x x z dx. V následující větě si shrneme základní vlastnosti funkce Γ včetně klasifikace jejích singularit. Věta A.3. Funkce Γ(z) je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Body,, 2,... jsou jednonásobné póly funkce Γ(z) přičemž pro všechna n =,, 2,.... res n Γ(z) = ( )n Důkaz. Označme f (z) = e x x z dx, f 2 (z) = e x x z dx. Podle Věty A. () je f (z) holomorfní v C a podle Tvrzení A.2 je f 2 (z) holomorfní v C \ {,, 2...}. Funkce Γ(z) = f (z) + f 2 (z) je tudíž holomorfní v C \ {,, 2...}. Pro pevně zvolené k N {} můžeme napsat (A.9) Γ(z) = ( )k k!(k + z) + n= n k Řada n= n k ( ) n (n + z) K ε = ( ) n (n + z) + konverguje stejnoměrně na každé množině e x x z dx. { } z C z + n ε pro všechna n (N {}) \ {k},

11 84 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde ε > (viz Tvrzení A.2). Její součet je tedy funkce holomorfní v C mimo nekladná celá čísla různá od k. Vztah (A.9) můžeme interpretovat jako identitu Γ(z) = ( )k k!(k + z) + w(z), kde w je funkce holomorfní v K. Funkci w(z) je možno v okolí bodu k rozvést v mocninnou řadu, která je regulární částí Laurentova rozvoje funkce Γ v k. Hlavní část má pouze jeden člen: ( ) k k!(k + z). Odtud okamžitě vidíme, že k je jednonásobný pól s reziduem res k Γ(z) = ( )k. k! Funkce Γ(z) má tedy v celých nekladných číslech limitu. Dominantní člen v Laurentově rozvoji v těchto singularitách je. Na obr. A. je znázorněn graf funkce ( ) n (n + z) Γ(z) pro reálné z. A.. Funkce Γ(x), x R. (Rozmyslete si, že pro reálná čísla je Γ(z) vždy reálné!). Podle Věty o jednoznačnosti pro holomorfní funkce (Důsledek 4.4) má funkce Γ původně definovaná pro Re z > jediné holomorfní rozšíření na oblast C \ {,, 2,...}, které je maximální možné. Ve Tvrzení A.2 jsme ukázali, že pro z s Re z > platí Γ(z + ) = zγ(z).

12 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 85 Vzhledem k tomu, že Γ(z) je funkce holomorfní v oblasti C \ {,, 2,...} je taková i funkce Γ(z + ) zγ(z). Tato funkce je však nulová na pravé polorovině a opět podle jednoznačnosti holomorfních funkcí musí být nulová i v celé oblasti C \ {,, 2,...}. Důležitá faktoriální vlastnost tedy platí i pro rozšíření funkce Γ. Následující věta je východiskem pro definování dalších speciálních funkcí jako jsou například funkce Besselovy. Věta A.4. Γ(z) pro všechna z C \ {,, 2,...}. Funkce { z =,, 2,... H(z) = Γ(z) z C \ {,, 2,...} je holomorfní v C. Nejpodstatnější část této věty je skutečnost, že funkce Γ nemá žádné kořeny. Pak je již zřejmé z předchozích výsledků, že převrácená hodnota této funkce bude mít odstranitelné singularity v nekladných celých číslech, které se po rozšíření na holomorfní funkci v C stanou jednonásobnými kořeny. Následují Stirlingův vzorec umožňuje odhadnout hodnoty funkce Γ pro kladná čísla. Věta A.5. Pro libovolné reálné číslo s > je kde číslo ω s leží v intervalu,. Γ(s + ) = ( ) π 2s s s e s ω s +, 2s Důkaz. Důkaz je založen na provedení substituce v integrálu definujícím funkci Γ, která převede tento integrál do tvaru, ze kterého je možno odvodit příslušný odhad. Vyšetřujme nejdříve funkci f(x) = x s e x, x >. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, s) a klesající v intervalu (s, ). Limita v nule i v nekonečnu je nulová. V čísle s nabývá f(x) svého maxima f(s) = s s e s. Dále budeme pracovat s funkcí g(t) = s s e s e t2, t R. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, ) a klesající v intervalu (, ), přičemž g() = s s e s a limita funkce g v nekonečnech je nulová. Porovnáme-li funkce f a g vidíme, že pro libovolné t (, ) je g(t) (, s s e s ), a proto existuje jediné x (, s) tak, že f(x) = g(t). Podobně ke každému t (, ) existuje jediné x (s, ) tak, že f(x) = g(t). Odtud vyplývá, že rovnicí (A.) x s e x = s s e s e t2 je definována jediná funkce x = ϕ(t), že pro t (, ) je ϕ(t) (, s) a pro t (, ) je ϕ(t) (s, ). Do integrálu x s e x dx, kterým je definována hodnota Γ(s+), zavedeme substituci x = ϕ(t). K tomu potřebujeme derivaci této funkce. Podle věty o implicitních funkcí je možno ukázat, že ϕ(t) je diferencovatelná, přičemž dϕ(t) dt = 2tx x s.

13 86 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Derivaci ovšem nemůžeme spočítat neboť k tomu potřebujeme funkci ϕ. Postačí však odhad této derivace. Z (A.) máme ( x ) (A.) t 2 = x s s ln. s Odhadneme logaritmus vpravo. Pišme x = s + z. Podle Taylorovy věty, ve které napíšeme zbytek po druhém členu, je ( x ) ( ln = ln + z ) = z s s s ( z s )2 z 2( + θ, s s )2 kde < θ s <. Odtud a z (A.) ( ) t 2 z = z s s z 2 2s ( ) 2 z 2 = + θ s Odtud postupně dostaneme a Pak Γ(s + ) = = ϕ (t) = x s e x dx = s s z + θ s = s t 2 sz 2 2(s + θ s z) 2. 2tx ( s ) ( ) s x s = 2t z + = ( θ s)t. s x s e x dx + ( ) s s s e s e t ( θ s)t = 2s s e s s 2 e t2 s dt + 2s s e s x s e x dx = dt + ( ) s s s e s e t ( θ s)t e t2 ( θ s )t dt. První integrál umíme spočítat neboť e t2 dt = π. Druhý integrál odhadneme. Položme ω s = e t2 ( θ s )t dt. Protože < θ s < je dt ω s e t2 t dt + e t2 t dt = 2 e t2 t dt =. Odtud již okamžitě vyplývá Stirlingova formule. Při různých kombinatorických úlohách se počítají faktoriály přirozených čísel. Jejich hodnotu lze odhadnout pomocí Stirlingova vzorce následovně:

14 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 87 Důsledek A.2. Pro všechna n N platí kde ω n,. Odtud například plyne, že Někdy se také píše = ( ) π 2n n n e n ω n +, 2n lim n n n e n 2πn =. n n e n 2πn. Například pro n = nám Stirlingův vzorec řekne, že hodnota! je v intervalu s koncovým body 2 e π ± e.

15 88 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z)

16 Literatura [] J. Hamhalter, J. Tišer Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 999 [2] J. Hamhalter, J. Tišer Integrální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 2 89

17 Rejstřík absolutní hodnota, 9 absolutní konvergence, 69 argument,, 8 bodová konvergence, 67 Cauchyův integrální vzorec, 55 částečný součet, 67 číslo komplexně sdružené, 9 komplexní, 8 exponenciální tvar, 33 goniometrický tvar, imaginární část, 9 kartézský tvar, 8 reálná část, 9 derivace, 27 funkce exponenciální, 33 goniometrická, 34 harmonická, 32 komplexní, 25 logaritmická, 35 spojitá, 26 Gaussova rovina, 9 hlavní hodnota logaritmu, 35 hlavní větev logaritmu, 35 hranice, 2 hraniční bod, 2 imaginární jednotka, 8 index bodu, 52 izolovaný singulární bod, 23 jednoznačnost holomorfní funkce, 87 konvergence absolutní, 69 bodová, 67 kruh, 72 poloměr, 72 stejnoměrná, 68 kořen násobnost, 26 kruh konvergence, 72 křivka, 45 jednoduchá, 45 orientovaná, 46 uzavřená, 45 křivkový integrál, 46 Laplaceova rovnice, 32 Laurentova řada střed v, 8 limes superior, 7 limita funkce, 26 posloupnosti, 5 množina konvexní, 23 otevřená, 2 souvislá, 3 uzavřená, 2 mocninná řada, 67, modul, 9 oblast, 3 hvězdicovitá, 2 jednoduše souvislá, 7 oblouk, 45 okolí bodu, 2 prstencové, 2 9

18 REJSTŘÍK 9 nekonečna, 5 parametrizace křivky, 45 poloměr konvergence podílový tvar, 76 odmocninový tvar, 72 reziduum, 32 Riemannova sféra, 4 řada částečný součet, 67 Laurentova, funkce, 7 hlavní část, regulární část, mocninná, 67 singularita odstranitelná, 23 pól, 23 stejnoměrná konvergence, 49, 68 stereografická projekce, 5 struktura metrická, topologická, stuktura algebraická, totální diferenciál, 28 věta Liouvilleova, 57 vlastnost průměru, 96 vnějšek křivky, 46 vnitřek křivky, 46 vzorec Stirlingův, 86 Weierstrassovo kritérium, 7 zobecněný Cauchyův integrální vzorec, 86

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak

15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak 5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní

Více

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita )

Kapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita ) Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní

Více

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce

Více

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.

13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m. 13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

SINGULARITY A REZIDUA IZOLOVANÉ SINGULARITY

SINGULARITY A REZIDUA IZOLOVANÉ SINGULARITY SINGULARITY A REZIDUA Zatím to vypadalo, že jsme si definovali šílený komplexní integrál a nakonec jsme se jej naučili počítat. Ukážeme, že pomocí křivkového integrálu velmi elegantně spočítáme některé

Více

3. přednáška 15. října 2007

3. přednáška 15. října 2007 3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje

Více

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1) Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných

Více

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx. Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Konvergence kuncova/

Konvergence  kuncova/ Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A

Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Motivace: Motivace mého projektu je jednoduchá, pochopit matematiky označovaný nejtěžší a nejdůležitější problém současné matematiky. Cíle: Dokázání téhle hypotézy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x)

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Funkcionální řady. January 13, 2016

Funkcionální řady. January 13, 2016 Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy 1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

6. přednáška 5. listopadu 2007

6. přednáška 5. listopadu 2007 6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f

Více