Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
|
|
- Vratislav Beneš
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 74
2 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým. Jednou z původních motivací pro její zavedení byla analýza růstu posloupnosti faktoriálů přirozených čísel. Zatímco pro součet prvních n přirozených čísel máme velice jednoduchou formuli n = n(n + ), 2 součin prvních n přirozených čísel takovéto přehledné vyjádření nemá. Například je jasné, že posloupnost faktoriálů není možno vyjádřit jako posloupnost hodnot jistého polynomu v přirozených číslech neboť faktoriály mají podstatně rychlejší růst než jakýkoliv polynom. Snaha nalézt holomorfní funkci (tj. polynom s nekonečným stupněm ), která by v přirozených číslech měla hodnotu rovnou jejich faktoriálům vedla ke studiu funkce Γ. Hlavní zakladatelem teorie této funkce byl Leonhard Euler (77 783), který v roce 729 dospěl k vyjádření funkce Γ(z) pomocí nekonečného součinu. Cílem tohoto dodatku bude definovat funkci Γ na maximální možné podmnožině komplexních čísel a odvodit její základní vlastnosti. Funkci Γ budeme definovat ve dvou krocích. Nejdříve ji vyjádříme pro z C s Re z > pomocí tradičního integrálního vzorce. Poté ji rozšíříme na celou komplexní rovinu vyjma množiny záporných celých čísel {n Z n }. 2 Funkce Γ(z) a její základní vlastnosti Definice A.. Funkce Γ(z) je komplexní funkce definovaná pro z splňující Re z > předpisem (A.) Γ(z) = e x x z dx. Poznámka A.. Funkce Γ(z) je dána jako nevlastní integrál z komplexní funkce reálné proměnné, který závisí na parametru z. Mocninu x z pro x > přitom definujeme jako hodnotu exponenciální funkce e (z ) ln x. Pokud je tedy z reálné je reálná i hodnota Γ(z). 75
3 76 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) U každého integrálu z neomezené funkce na neomezené množině se musíme přesvědčit o jeho existenci. U integrálu v (A.) je podstatné podívat se na chování integrované funkce v okolí nekonečna a okolí nuly. (Rozmyslete si, že například lim x + e x x z = pro z (, )!) Podívejme se nejdříve na existenci integrálu e x x z dx. Pro absolutní hodnotu integrované funkce platí: e x x z = e x e (z ) ln x = e x x Re z. Protože e x x Re z dx <, existuje i integrál e x x z dx, a to dokonce pro všechna z C. Zbývá ověřit existenci integrálu e x x z dx. Na intervalu (, ) jsou hodnoty exponenciální funkce e x mezi nulou a jedničkou. Pro x (, ) tedy můžeme psát což vede k nerovnosti e x x z dx e x x z x Re z, [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z < pro Re z >. Vidíme tedy, že integrál definující funkci Γ skutečně existuje pro všechna z s kladnou reálnou částí. Předpoklad Re z > je přitom podstatný. Podívejme se na případ z =. Pak e x x dx = e x x dx + e x Zatímco druhý sčítanec je konvergentní integrál, u prvního máme e x x dx e x dx. x dx = e [ln x] =. Jinými slovy e x x dx =. Příklad A.. Spočítáme hodnoty Γ() a Γ( 2 ). Podle (A.) je Γ Γ() = ( ) = 2 e x dx = [ e x] =. e x x 2 dx.
4 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 77 V posledním integrálu provedeme substituci x = t 2, čímž ho převedeme na integrál e x x dx = = 2 e t2 (t 2 ) 2 2t dt = e t2 dt = e t2 dt = π. Poslední integrál, který jsme dostali, je známý Laplaceův integrál, se kterým se čtenář již setkal v teorii funkcí více proměnných. Jedním z nejdůležitějších rysů funkce Γ je následující vlastnost, která je typická pro faktoriály přirozených čísel. Tvrzení A.. Pro všechna z C s kladnou reálnou částí platí (A.2) Γ(z + ) = zγ(z). Důkaz. Tvrzení je jednoduchým důsledkem metody integrace per partes (A.3) Γ(z + ) = Přitom e x x z dx = [ e x x z] lim x + x R Tím se (A.3) redukuje na vztah Γ(z + ) = lim x x R e x x z = lim e x x z =, x + x R + e x e z ln x =. ze x x z dx = zγ(z). ze x x z dx. Důsledek A.. Pro každé n N {} platí Γ(n + ) =. Důkaz. Postupným použitím identity (A.2) dostaneme Γ(n + ) = nγ(n) = n(n )Γ(n ) = = Γ() =.
5 78 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Funkce Γ tady má v přirozeném čísle n hodnotu (n )!. Například platí x e x dx = Γ() =! Kdo tento integrál takto rychle stanoví zná s největší pravděpodobností funkci Γ (anebo je geniální). Příklad A.2. Určeme Γ( 5 2 ). Podle rekurentního vztahu (A.2) je ( ) ( ) 5 3 Γ = Γ = 3 ( ) 3 2 Γ = ( ) 2 Γ = π = π. 2 4 Podobným způsobem jsme schopni stanovit hodnotu funkce Γ pro jakoukoliv polovinu přirozeného čísla. Mimo tyto body a přirozená čísla se hodnota funkce Γ počítá numericky. Hodnoty funkce Γ na kladné části reálné osy jsou vždy kladné neboť se jedná o integrály z kladných funkcí. Jak naznačuje obrázek A.. je lim x Γ(x) = = lim x + Γ(x). Tyto vlastnosti si zdůvodníme později. Minimum na kladné části reálné osy má funkce Γ přibližně v bodě, 46. Graf funkce Γ na reální ose také napovídá, že tato funkce má derivaci. Dokážeme si, že funkce Γ je diferencovatelná i v komplexním oboru, tj. že je holomorfní funkce. Věta A.. (i) Funkce f(z) = (ii) Funkce g(z) = e x x z dx je holomorfní v C. e x x z dx je holomorfní v polorovině {z C Re > }. (iii) Funkce Γ je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Důkaz. (i) Podle Poznámky A. víme, že funkce f(z) je korektně definována v C. Zvolme r > a definujme funkci f r (z) = r e x x z dx. Nejdříve ukážeme, že tato funkce je holomorfní v C. Funkci e x je možno rozvinout v mocninnou řadu e x ( ) n x n =, x R, n= která konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, tedy i na intervalu, r. Definujeme-li pro N N funkce r ( N ) ( ) n x n h N (z) = x z dx, z C, n=
6 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 79 pak platí (A.4) r ( ) N f r (z) h N (z) = e x ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n r max x,r e x x Re z dx. Zvolme nyní konstantu L > a polorovinu R L = {z C Re z < L}. Pro mocninu xre z kde x (, r) a z R L platí x Re z r L. Tedy pro z R L je Dle (A.4) je potom max f r (z) h N (z) max z R L r x,r n= x Re z dx r L (r ). e x N ( ) n x n rl (r ) pro N. n= Jinými slovy, posloupnost funkcí (h N (z)) N konverguje stejnoměrně k funkci f r (z) na R L. Každá z funkcí h N (z) je ovšem holomorfní v C neboť je lineární kombinací funkcí r { x z r z+ dz = z+ je-li z ln r je-li z =. Každá stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní funkce. Funkce f r (z) je tedy holomorfní v každé polorovině {z C Re z < L}, a tedy i v celé komplexní rovině. Nyní ukážeme, že funkce f r (z) konvergují pro r stejnoměrně na každé polorovině R L = {z C Re z < L}, kde L >, k funkci f(z). Z toho již plyne, že f(z) je holomorfní v celém C. Funkce e x 2 x z (jako funkce proměnné x) je omezená na (, ). Navíc pro L > můžeme nalézt konstantu K L tak, že e x 2 x z K L pro všechna x > a z s Re z < L. Pak f(z) f r (z) = = r r e x x z dx e x x z dx = e x x z dx r e x 2 e x 2 x z dx K L e x 2 dx = KL [ 2e x 2 = K L 2e r 2 pro r. r ] r
7 8 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Platí tedy, že max f(z) f r (z) pro r. z R L (ii) Schéma důkazu je stejné jako v předchozí části. Pro < < definujme pomocnou funkci g (z) = e x x z dx Re z >. Nejdříve ukážeme, že g (z) je holomorfní v polorovině {z C Re z > }. Opět využijeme možnosti aproximovat funkci e x částečnými součty Taylorova rozvoje a budeme definovat funkce ( N ) ( ) n x n u N (z) = x z dx Re z >. Pak (A.5) g (z) u N (z) = n= ( max x, Poslední člen v tomto odhadu je roven e x e x ) N ( ) n x n x z dx n= N ( ) n x n n= [ x x Re z Re z dx = Re z ] = Re z. Re z Předpokládejme nyní, že Re z > ε >. Pak můžeme odhadnout Re z ε x Re z dx. a tedy Odtud podle (A.5) x Re z dx ε. ε max g (z) u N (z) max {z C Re z>ε} x, e x N ( ) n x n ε ε n= pro N. Všechny funkce u N jsou holomorfní z podobných důvodů jako v případě (i). Jelikož konvergují stejnoměrně pro N na polorovině {z C Re z > ε} k funkci g (z) pro každé ε >, je g (z) holomorfní v polorovině {z C Re z > }.
8 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 8 Zbývá ukázat, že funkce g (z) konvergují na každé polorovině {z C Re z > ε}, ε >, stejnoměrně k funkci g(z) pro +. Předpokládejme tedy, že Re z > ε >. Pak g(z) g (z) = e x x z dx e x x z dx e x x z dx x ε dx = ε ε pro +. Vidíme tedy, že max g(z) g (z) pro +. {z Re z>ε} Funkce g je proto holomorfní v každé polorovině {z C Re > ε} a tedy i v polorovině {z C Re z > }. (iii) Funkce Γ(z) je holomorfní v {z C Re z > } neboť Γ(z) = f(z) + g(z), kde f a g jsou funkce holomorfní v {z C Re z > } z bodů (i) a (ii). Nyní se budeme věnovat holomorfnímu rozšíření funkce Γ na větší množinu než je pravá polorovina. Z Poznámky A. vyplývá, že toto rozšíření nebude možno vyjádřit pomocí integrální formule (A.). Ukážeme však, že rozšíření je možno nalézt kombinací nekonečné řady a integrálního vzorce. Nejdříve si tímto způsobem vyjádříme funkci Γ na pravé polorovině. Věta A.2. pro všechna z s Re z >. Γ(z) = n= ( ) n (z + n) + Důkaz. Hlavní myšlenkou důkazu je vyjádřit integrál e x x z dx e x x z dx pomocí součtu nekonečné řady, který získáme z mocninného rozvoje exponenciální funkce. Jak již víme z předchozích důkazů e x x z = ( ) n x n+z, n=
9 82 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde řada vpravo konverguje (v proměnné x s pevně zvoleným parametrem z) stejnoměrně na intervalu,, kde > >. Řadu tak můžeme integrovat člen po členu a dostaneme (pro Re z > ) (A.6) (A.7) e x x z dx = n= = ( ) n n= n= x n+z dx = ( ) n n + z n= n= ( ) n n + z ( n+z ) = n= ( ) n n+z n + z. Pak pro z s Re z > ε > máme ( ) n n+z z + n n ε ε = ε ε e pro +. Tímto e x x z dx = lim e x x z dx = + ( ) n = (n + z). Věta je dokázána. n= ( ) n n= n + z lim + n= ( ) n n+z n + z = Věta A.2 umožní rozšířit funkci Γ na mnohem větší množinu než na jaké byla původně definována. Integrál e x x z dx existuje pro všechna z C a definuje funkci holomorfní v C. Následující tvrzení říká, že řada je konvergentní všude, kde jsou ( ) n (n + z) n= její členy definovány. Tvrzení A.2. Nechť ε >. Řada n= ( ) n (n + z) konverguje stejnoměrně pro každé ε > v množině K ε = {z C min n=,,... z + n ε}. Funkce ( ) n f(z) = (n + z) n= je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Důkaz. Množina K ε je komplexní rovina s vyříznutými kruhy o poloměru ε se středy v bodech,, 2,.... Pro z K ε je z + n ε pro všechna n =,,.... Můžeme tedy provést odhad ( ) n (n + z) ( ) n. ε
10 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 83 Tímto jsme nalezli konvergentní číselnou majorantu ( ) n = ε ε e n= a podle Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence je řada ( ) n (n + z) n= stejnoměrně konvergentní na K ε. Protože sčítance této řady jsou holomorfní funkce na K ε je f(z) holomorfní na každé množině K ε, ε >, a tedy i na množině C\{,, 2,...}. Předchozí výsledky umožní definici funkce Γ na množině C \ {,. 2,...}. Definice A.2. Funkce Γ(z) je funkce definovaná na množině C \ {,, 2,...} vztahem (A.8) Γ(z) = n= ( ) n (n + z) + e x x z dx. V následující větě si shrneme základní vlastnosti funkce Γ včetně klasifikace jejích singularit. Věta A.3. Funkce Γ(z) je holomorfní v množině C \ {,, 2,...}. Body,, 2,... jsou jednonásobné póly funkce Γ(z) přičemž pro všechna n =,, 2,.... res n Γ(z) = ( )n Důkaz. Označme f (z) = e x x z dx, f 2 (z) = e x x z dx. Podle Věty A. () je f (z) holomorfní v C a podle Tvrzení A.2 je f 2 (z) holomorfní v C \ {,, 2...}. Funkce Γ(z) = f (z) + f 2 (z) je tudíž holomorfní v C \ {,, 2...}. Pro pevně zvolené k N {} můžeme napsat (A.9) Γ(z) = ( )k k!(k + z) + n= n k Řada n= n k ( ) n (n + z) K ε = ( ) n (n + z) + konverguje stejnoměrně na každé množině e x x z dx. { } z C z + n ε pro všechna n (N {}) \ {k},
11 84 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) kde ε > (viz Tvrzení A.2). Její součet je tedy funkce holomorfní v C mimo nekladná celá čísla různá od k. Vztah (A.9) můžeme interpretovat jako identitu Γ(z) = ( )k k!(k + z) + w(z), kde w je funkce holomorfní v K. Funkci w(z) je možno v okolí bodu k rozvést v mocninnou řadu, která je regulární částí Laurentova rozvoje funkce Γ v k. Hlavní část má pouze jeden člen: ( ) k k!(k + z). Odtud okamžitě vidíme, že k je jednonásobný pól s reziduem res k Γ(z) = ( )k. k! Funkce Γ(z) má tedy v celých nekladných číslech limitu. Dominantní člen v Laurentově rozvoji v těchto singularitách je. Na obr. A. je znázorněn graf funkce ( ) n (n + z) Γ(z) pro reálné z. A.. Funkce Γ(x), x R. (Rozmyslete si, že pro reálná čísla je Γ(z) vždy reálné!). Podle Věty o jednoznačnosti pro holomorfní funkce (Důsledek 4.4) má funkce Γ původně definovaná pro Re z > jediné holomorfní rozšíření na oblast C \ {,, 2,...}, které je maximální možné. Ve Tvrzení A.2 jsme ukázali, že pro z s Re z > platí Γ(z + ) = zγ(z).
12 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 85 Vzhledem k tomu, že Γ(z) je funkce holomorfní v oblasti C \ {,, 2,...} je taková i funkce Γ(z + ) zγ(z). Tato funkce je však nulová na pravé polorovině a opět podle jednoznačnosti holomorfních funkcí musí být nulová i v celé oblasti C \ {,, 2,...}. Důležitá faktoriální vlastnost tedy platí i pro rozšíření funkce Γ. Následující věta je východiskem pro definování dalších speciálních funkcí jako jsou například funkce Besselovy. Věta A.4. Γ(z) pro všechna z C \ {,, 2,...}. Funkce { z =,, 2,... H(z) = Γ(z) z C \ {,, 2,...} je holomorfní v C. Nejpodstatnější část této věty je skutečnost, že funkce Γ nemá žádné kořeny. Pak je již zřejmé z předchozích výsledků, že převrácená hodnota této funkce bude mít odstranitelné singularity v nekladných celých číslech, které se po rozšíření na holomorfní funkci v C stanou jednonásobnými kořeny. Následují Stirlingův vzorec umožňuje odhadnout hodnoty funkce Γ pro kladná čísla. Věta A.5. Pro libovolné reálné číslo s > je kde číslo ω s leží v intervalu,. Γ(s + ) = ( ) π 2s s s e s ω s +, 2s Důkaz. Důkaz je založen na provedení substituce v integrálu definujícím funkci Γ, která převede tento integrál do tvaru, ze kterého je možno odvodit příslušný odhad. Vyšetřujme nejdříve funkci f(x) = x s e x, x >. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, s) a klesající v intervalu (s, ). Limita v nule i v nekonečnu je nulová. V čísle s nabývá f(x) svého maxima f(s) = s s e s. Dále budeme pracovat s funkcí g(t) = s s e s e t2, t R. Tato funkce je rostoucí v intervalu (, ) a klesající v intervalu (, ), přičemž g() = s s e s a limita funkce g v nekonečnech je nulová. Porovnáme-li funkce f a g vidíme, že pro libovolné t (, ) je g(t) (, s s e s ), a proto existuje jediné x (, s) tak, že f(x) = g(t). Podobně ke každému t (, ) existuje jediné x (s, ) tak, že f(x) = g(t). Odtud vyplývá, že rovnicí (A.) x s e x = s s e s e t2 je definována jediná funkce x = ϕ(t), že pro t (, ) je ϕ(t) (, s) a pro t (, ) je ϕ(t) (s, ). Do integrálu x s e x dx, kterým je definována hodnota Γ(s+), zavedeme substituci x = ϕ(t). K tomu potřebujeme derivaci této funkce. Podle věty o implicitních funkcí je možno ukázat, že ϕ(t) je diferencovatelná, přičemž dϕ(t) dt = 2tx x s.
13 86 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z) Derivaci ovšem nemůžeme spočítat neboť k tomu potřebujeme funkci ϕ. Postačí však odhad této derivace. Z (A.) máme ( x ) (A.) t 2 = x s s ln. s Odhadneme logaritmus vpravo. Pišme x = s + z. Podle Taylorovy věty, ve které napíšeme zbytek po druhém členu, je ( x ) ( ln = ln + z ) = z s s s ( z s )2 z 2( + θ, s s )2 kde < θ s <. Odtud a z (A.) ( ) t 2 z = z s s z 2 2s ( ) 2 z 2 = + θ s Odtud postupně dostaneme a Pak Γ(s + ) = = ϕ (t) = x s e x dx = s s z + θ s = s t 2 sz 2 2(s + θ s z) 2. 2tx ( s ) ( ) s x s = 2t z + = ( θ s)t. s x s e x dx + ( ) s s s e s e t ( θ s)t = 2s s e s s 2 e t2 s dt + 2s s e s x s e x dx = dt + ( ) s s s e s e t ( θ s)t e t2 ( θ s )t dt. První integrál umíme spočítat neboť e t2 dt = π. Druhý integrál odhadneme. Položme ω s = e t2 ( θ s )t dt. Protože < θ s < je dt ω s e t2 t dt + e t2 t dt = 2 e t2 t dt =. Odtud již okamžitě vyplývá Stirlingova formule. Při různých kombinatorických úlohách se počítají faktoriály přirozených čísel. Jejich hodnotu lze odhadnout pomocí Stirlingova vzorce následovně:
14 2. FUNKCE Γ(Z) A JEJÍ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 87 Důsledek A.2. Pro všechna n N platí kde ω n,. Odtud například plyne, že Někdy se také píše = ( ) π 2n n n e n ω n +, 2n lim n n n e n 2πn =. n n e n 2πn. Například pro n = nám Stirlingův vzorec řekne, že hodnota! je v intervalu s koncovým body 2 e π ± e.
15 88 PŘÍLOHA A. FUNKCE Γ(Z)
16 Literatura [] J. Hamhalter, J. Tišer Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 999 [2] J. Hamhalter, J. Tišer Integrální počet funkcí více proměnných, skripta FEL ČVUT, 2 89
17 Rejstřík absolutní hodnota, 9 absolutní konvergence, 69 argument,, 8 bodová konvergence, 67 Cauchyův integrální vzorec, 55 částečný součet, 67 číslo komplexně sdružené, 9 komplexní, 8 exponenciální tvar, 33 goniometrický tvar, imaginární část, 9 kartézský tvar, 8 reálná část, 9 derivace, 27 funkce exponenciální, 33 goniometrická, 34 harmonická, 32 komplexní, 25 logaritmická, 35 spojitá, 26 Gaussova rovina, 9 hlavní hodnota logaritmu, 35 hlavní větev logaritmu, 35 hranice, 2 hraniční bod, 2 imaginární jednotka, 8 index bodu, 52 izolovaný singulární bod, 23 jednoznačnost holomorfní funkce, 87 konvergence absolutní, 69 bodová, 67 kruh, 72 poloměr, 72 stejnoměrná, 68 kořen násobnost, 26 kruh konvergence, 72 křivka, 45 jednoduchá, 45 orientovaná, 46 uzavřená, 45 křivkový integrál, 46 Laplaceova rovnice, 32 Laurentova řada střed v, 8 limes superior, 7 limita funkce, 26 posloupnosti, 5 množina konvexní, 23 otevřená, 2 souvislá, 3 uzavřená, 2 mocninná řada, 67, modul, 9 oblast, 3 hvězdicovitá, 2 jednoduše souvislá, 7 oblouk, 45 okolí bodu, 2 prstencové, 2 9
18 REJSTŘÍK 9 nekonečna, 5 parametrizace křivky, 45 poloměr konvergence podílový tvar, 76 odmocninový tvar, 72 reziduum, 32 Riemannova sféra, 4 řada částečný součet, 67 Laurentova, funkce, 7 hlavní část, regulární část, mocninná, 67 singularita odstranitelná, 23 pól, 23 stejnoměrná konvergence, 49, 68 stereografická projekce, 5 struktura metrická, topologická, stuktura algebraická, totální diferenciál, 28 věta Liouvilleova, 57 vlastnost průměru, 96 vnějšek křivky, 46 vnitřek křivky, 46 vzorec Stirlingův, 86 Weierstrassovo kritérium, 7 zobecněný Cauchyův integrální vzorec, 86
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% POJMY, JEJICHŽ ZNALOST SE OČEKÁVÁ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% množina komplexních čísel algebraický zápis komplexního
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceKomplexní analýza. Reziduová věta a její aplikace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Reziduová věta a její aplikace / Motivace Mějme
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
Více15. Nulové body a póly. Věta. Je-li funkce f : G holomorfní v oblasti G a f(z 0 ) 0 pro z 0 G, pak
5. Nulové body a póly Věta. Je-li funkce f holomorfní v oblasti G C, a f(z 0 ) 0 pro bod z 0 G, pak existuje okolí U(z 0 ) bodu z 0 takové, že f(z) 0 pro z U(z 0 ). Definice: Je-li funkce f holomorfní
VíceKapitola 9. Rezidua. Matematická analýza 4. KMA/MA o12. Definice 9.1. ( izolovaná singularita )
Kapitola 9. Rezidua Definice 9.. ( izolovaná singularita ) Bod z 0 2 C nazveme izolovanou singularitou (izolovaný singulární bod) funkce f, jestliže i) f není holomorfní v bodě z 0, ii) existuje prstencové
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Více13. přednáška 13. ledna k B(z k) = lim. A(z) = M(z) m 1. z m.
13. přednáška 13. ledna 2010 Důkaz. M = n=0 a nz n a N = n=0 b nz n tedy buďte dvě mocninné řady, které se jako funkce shodují svými hodnotami na nějaké prosté posloupnosti bodů z k C konvergující k nule.
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceSINGULARITY A REZIDUA IZOLOVANÉ SINGULARITY
SINGULARITY A REZIDUA Zatím to vypadalo, že jsme si definovali šílený komplexní integrál a nakonec jsme se jej naučili počítat. Ukážeme, že pomocí křivkového integrálu velmi elegantně spočítáme některé
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceZ transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI
ŘADY KOMPLEXNÍH FUNKÍ V kapitole si ukážeme, že holomorfní funkce a mocninné řady skoro jedno jsou. Někomu... OBENÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných
VíceKomplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceM4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU
M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceDERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceKonvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceHomogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde
Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceNekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VícePřednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceDEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib
INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student
VíceRiemannova hypotéza Martin Havlík 2. A
Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Motivace: Motivace mého projektu je jednoduchá, pochopit matematiky označovaný nejtěžší a nejdůležitější problém současné matematiky. Cíle: Dokázání téhle hypotézy
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceMATEMATIKA A Metodický list č. 1
Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Více1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x)
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
Více