Křivkový integrál funkce
|
|
- Markéta Říhová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd plikcí si všk vyžduje uvžovt obecnější přípd, ve kterém je intervl nhrzen křivkou. Tuto úlohu můžeme formulovt následovně. Je dán rovinná křivk nezáporná spojitá funkce f : R. Jk veliký je povrch plochy, jejíž spodní okrj je tvořen křivkou v souřdnicové rovině xy horní okrj grfem funkce f? (viz obr. 6..) z f y x Obr. 6.. Oznčme tuto hlednou hodnotu symbolem S(f, ). V prktické formulci problému je S(f, ) npříkld ploch plotu, jehož půdorys je tvořen křivkou který nemá všude stejnou výšku. (Výšk odpovídjící bodu (x, y) v půdorysu je f(x, y).) S podobnou otázkou jsme se setkli již v předchozích kpitolách při definici výpočtu objemu těles délky křivky. Opět si víme rdy v některých speciálních přípdech (npříkld povrch válce), postrádáme všk definici obshu pro obecnou křivku obecnou spojitou funkci f. Nštěstí nejen problémy, le metody jejich řešení jsou v mtemtice čsto nlogické. Inspirováni úspěšným použitím xiomtické metody při problému objemu těles délky křivky, pokusíme se upltnit stejný přístup i při stnovení obshu uvedené plochy. Formulujme si proto pokud možno co nejjednodušší poždvky, které musí hodnot S(f, ) splňovt. Především budeme místo křivky uvžovt pouze oblouk. Njdeme-li odpověď pro oblouk, pk ji budeme znát i pro křivku. 89
2 9 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Nechť, rozdělení oblouku. Pk celkový obsh plochy nd obloukem by měl být roven součtu obshů nd oblouky,, jk je znázorněno n obrázku obr. 6.. z f y x Vyjádřeno rovnicí: Obr. 6.. S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Tuto vlstnost nzveme ditivitou plochy. Vycházeje ze smozřejmé předstvy, že větší ploch má větší obsh, dospějeme k názoru, že hodnot S(f, ) bude nejvýše rovn obshu plochy se zákldnou konstntní výškou mx (f). Podobně, S(f, ) bude jistě nejméně rovno obshu plochy se zákldnou konstntní výškou min (f), viz. obr z x Obr f mx f min f y Je jsné, že povrch plochy s konstntní výškou v je roven součinu l() v, délky půdorysu l() výšky v. Tímto můžeme náš poždvek vyjádřit nerovností min(f) l() S(f, ) mx(f) l(). Ve schodě s terminologií předchozích kpitol nzveme tuto vlstnost monotonií obshu plochy. Náš seznm přirozených vlstností plochy bychom mohli dále rozšiřovt o dlší položky. Ukážeme si všk, že ditivit monotonie již tento pojem jednoznčně vymezují. ostáváme tk zákldní tvrzení této kpitoly. Vět 6.. Existuje pouze jediné zobrzení, které kždému oblouku spojité funkci f n přiřdí číslo S(f, ) tk, že jsou splněny následující xiomy:
3 . EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 9 (A) ditivit: S(f, ) + S(f, ) = S(f, ), kdykoliv je, rozdělení oblouku n dv n sebe nvzující oblouky. (M) monotonie: min(f) l() S(f, ) mx(f) l(). ůkz. Myšlenky tohoto důkzu jsou velice podobné důkzu Věty.9. Proto již budeme stručnější při komentování jednotlivých kroků. Nejdříve ukžme, že zobrzení S(f, ) (o kterém ztím ni nevíme, že existuje) je jednoznčně určeno. Pro dné dělení = {,,..., n } oblouku spojitou funkci f n křivce budeme definovt následující nlogie horních dolních integrálních součtů funkce jedné proměnné: S(f, ) = S(f, ) = n i= n i= mx i (f) l( i ) min i (f) l( i ). Monotonie ditivit zobrzení S(f, ) nyní implikuje (zcel stejně jko v Tvrzení.8), že (6.) S(f, ) S(f, ) S(f, ). Skutečně, S(f, ) = S(f, ) + S(f, ) + + S(f, n ) mx (f) l( ) + mx(f) l( ) + + mx(f) l( n ) = S(f, ). Obrácená nerovnost se ukáže nlogicky. Ze vzthu (6.) dále vyplývá, že (6.) sup S(f, ) S(f, ) inf S(f, ), kde infim suprem se v tomto přípdě uvžují vzhledem ke všem možným dělením oblouku. Čtenář znlý postupu z první kpitoly teď jistě tuší, že se pokusíme dokázt rovnost (6.3) sup S(f, ) = inf S(f, ). To by pk podle (6.) znmenlo jedinou možnost jk definovt S(f, ). ůkz rovnosti (6.3) je opět zložen n důležité vlstnosti spojitých funkcí n uzvřených intervlech, kterou je stejnoměrná spojitost. Je-li ϕ:, b prmetrizce oblouku, pk i složená funkce g = f ϕ:, b R n
4 9 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE je opět spojitá funkce. Kždá funkce spojitá n uzvřeném omezeném intervlu je stejnoměrně spojitá. Pro předem zdné ε > tedy existuje δ > tk, že g(t ) g(t ) ε, jkmile t t < δ. Zvolme nyní dělení intervlu, b tk jemné, že jednotlivé dělící intervly I, I,..., I k mjí délku menší než δ. Pk obrzy těchto intervlů ϕ(i ), ϕ(i ),..., ϕ(i k ) jsou oblouky tvořící jisté dělení oblouku. Oznčme i = ϕ(i i ), i =,..., k. Pro jkkoliv zvolené body ϕ(t ), ϕ(t ) n jednom z oblouků i pk máme f(ϕ(t )) f(ϕ(t )) = g(t ) g(t ) ε. To utomticky znmená, že oscilce funkce f n jednotlivých obloucích je menší než ε, tj. mx(f) min(f) ε, i i pro všechny oblouky i, i =,..., k. ostáváme tedy následující odhdy S(f, ) S(f, ) = ε k i= (mx i (f) min(f))l( i ) i k l( i ) = ε l(). Protože ε můžeme volit libovolně, implikuje předchozí nerovnost, že Obrácená nerovnost pltí vždy, tudíž i= sup S(f, ) inf S(f, ). sup S(f, ) = inf S(f, ). Pro definování obshu S(f, ) tedy nemáme jinou volbu než hodnotu S(f, ) = sup S(f, ) = inf S(f, ). Zbývá tedy jen dokázt, že tto volb vyhovuje xiomům (A) (M). Nejdříve ověříme vlstnost monotonie. Zvolíme si dělení oblouku obshující pouze jediný prvek: = {}. Pk totiž (6.4) min(f) l() = S(f, {}) sup S(f, ) = = inf S(f, ) S(f, {}) = mx(f) l(), což je xiom (M). Podívejme se nyní n vlstnost ditivity. Nechť {, } je rozdělení oblouku. Zvolme dělení oblouku dělení oblouku. Pk = tvoří dělení oblouku. Pltí (6.5) S(f, ) = mx(f) l(k) = (f) l(k) + (f) l(k) K K mx K K mx K K = S(f, ) + S(f, ).
5 . EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 93 N druhé strně ze stejných důvodů (6.6) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Z rovnosti (6.5) plyne S(f, ) = inf S(f, ) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Přejdeme-li nyní n prvé strně k infimu přes všechn dělení oblouku všechn dělení oblouku dostneme (6.7) S(f, ) S(f, ) + S(f, ). Zcel stejně z nerovnosti (6.6) plyne S(f, ) = sup S(f, ) S(f, ) = S(f, ) + S(f, ). Přejdeme-li nyní n prvé strně k supremu přes všechn dělení částí máme (6.8) S(f, ) S(f, ) + S(f, ). Spojení nerovností (6.7) (6.8) okmžitě dává S(f, ) = S(f, ) + S(f, ), což je vlstnost ditivity kterou jsme chtěli dokázt. Tímto je důkz uzvřen. Přirozené geometrické poždvky nás přivedly k zobecnění určitého integrálu funkce jedné proměnné: efinice 6.. Nechť f je spojitá funkce definovná n oblouku. Číslo S(f, ), které získáme jko hodnotu zobrzení splňujícího xiomy (A) (M) Věty 6. se nzývá křivkový integrál funkce f podél oblouku. Pro jeho znčení budeme používt symbol f ds, nebo stručnější zápis f. Někdy se tento integrál nzývá křivkový integrál. druhu. Je-li f nezáporná funkce rovinný oblouk, f dává velikost obshu plochy M = {(x, y, z) (x, y), z f(x, y)}. Poznámk 6.3. efinice 6. zvádí křivkový integrál pro libovolnou spojitou funkci f oblouk v R n. Nše geometrická motivce se týkl přípdu, kdy byl rovinnou křivkou f nezápornou funkcí. Integrál přes prostorovou křivku již tento bezprostřední geometrický význm nemá. V prostoru R 3 nemáme dlší nezávislý směr nd křivkou. Ledže bychom opustily třírozměrné omezení chápli hodnoty f ds jko obsh plochy M = {(x, y, z, t) (x, y, z), t f(x, y, z)} ve čtyřrozměrném prostoru, tj. jko
6 94 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE plochu hypotetického plotu, jehož zákldn je v třírozměrném prostoru má tvr křivky, přičemž výšku f(x, y, z) nnášíme do čtvrtého rozměru. I tkové plochy mjí svůj význm, npříkld v teorii reltivity. Křivkovému integrálu můžeme nicméně vždy přisoudit následující jsný fyzikální význm. Předstvme si, že oblouk je idelizcí fyzikálního těles, jehož dv rozměry jsou znedbtelné vůči třetímu (npř. tenký drát). Nechť funkce f popisuje hustotu rozložení hmoty n. Ptáme se, jká je celková hmotnost oblouku. Oznčme toto ztím neznámé nezáporné číslo symbolem m(f, ). Je zřejmé, že pro rozdělení, oblouku je celková hmotnost rovn součtu dílčích hmotností tj. m(f, ) = m(f, ) + m(f, ). Je-li homogenní hmotný oblouk, tj. je-li hustot f konstntní funkce, pk celková hmotnost je rovn součinu délky oblouku hustoty. Konečně, zcel přirozeně očekáváme, že zmenšením či zvětšením hustoty se stejným způsobem změní i hmotnost. Tedy číslo m(f, ) vždy respektuje nerovnost min(f) l() m(f, ) mx(f) l(). Jink řečeno, zobrzení přiřzující kždému oblouku hustotě f hmotnost m(f, ) splňuje xiomy (A) (M). Podle Věty 6. je tedy nutně m(f, ) = Křivkový integrál tedy můžeme tké chápt jko hmotnost křivky s dnou (obecně nikoliv konstntní) hustotou. f. Víme již, jk obsh plochy nd obloukem či hmotnost oblouku definovt zjímá nás přirozeně otázk, jkým způsobem je spočítt. Vět 6.4. Nechť f je spojitá funkce definovná n oblouku. Pro kždou prmetrizci ϕ:, b pltí b f ds = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Speciálně, hodnot integrálu vprvo nezávisí n prmetrizci. ůkz. Nechť je oblouk s prmetrizcí ϕ:, b nechť f je funkce spojitá n. Nejprve ukážeme, že integrál b f(ϕ) ϕ dt nezávisí n volbě prmetrizce. Zvolme si jinou prmetrizci ψ : c, d téhož oblouku. Podle Tvrzení 5.4 existuje spojitá trnsformce prmetru h:, b c, d,
7 . EFINIE A ZPŮSOB VÝPOČTU 95 že ϕ(t) = ψ(h(t)) h je spojitá nenulová n (, b) Tím můžeme psát b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = b f ( ψ(h(t)) ) ψ (h(t)) h (t) dt. Stejným rozborem přípdů h > h < jko v důkze Věty 5.7 dostneme, že substitucí s = h(t) máme b f ( ψ(h(t)) ) ψ (h(t)) h (t) dt = b f(ψ(s)) ψ (s) ds. Vidíme, že hodnot zkoumného integrálu nezávisí n prmetrizci. Teď ovšem má smysl definovt pomocné zobrzení S(f, ) = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, pro oblouk spojitou funkci f n. Zjistíme, jké vlstnosti má zobrzení S. íky ditivitě integrálu vůči integrčnímu oboru máme pro dělení = ϕ(, α ), = ϕ( α, b ) rovnost S(f, ) + S(f, ) = α b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt + α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = S(f, ). Zobrzení S vyhovuje xiomu ditivity pro křivkový integrál. ále monotonie jednorozměrného integrálu zručí, že S(f, ) = Zcel stejně pltí i S(f, ) = b b b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt mx (f) b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt min (f) ϕ (t) dt = mx(f) l(). ϕ (t) dt = min(f) l(). Tímto jsme odvodili, že zobrzení S(f, ) vyhovuje xiomům (A) (M) z Věty 6.. N zákldě jednoznčnosti uvedené ve Větě 6. musí pltit S(f, ) = S(f, ). Protože S(f, ) je jiné oznčení pro křivkový integrál (viz efinici 6.), je důkz hotov.
8 96 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Příkld 6.5. Určete velikost S části pláště válce x + y =, z, omezené shor rovinou x + y + z = (znázorněte si dný útvr n obrázku). Jedná se o plochu, jejímž půdorysem je oblouk (jednotková kružnice v rovině xy se středem v počátku) která je shor omezená grfem funkce f(x, y) = x y. ostáváme tk, že hledný plášť má velikost S = ( x y) ds. Volbou prmetrizce ϕ(t) = (cos t, sin t), t, π máme S = π ( cos t sin t) dt = 4π. Ztím máme zveden křivkový integrál podél oblouků. Protože kždá křivk se skládá z konečně mnoh n sebe nvzujících oblouků,..., n, položíme (6.9) f ds = f ds + + f ds. Toto bude definovt křivkový integrál funkce f podél křivky. Ukázli jsme, že křivkový integrál reprezentuje hmotnost křivky se zdnou funkcí hustoty. Podobně je možno pomocí křivkového integrálu f ds stnovit celkové množství dné kvntity (náboje, tepl, pod.), známe-li funkci f popisující její koncentrci podél křivky. Z tohoto pohledu můžeme poměr celkového množství (tj. integrálu f ds) k délce křivky chápt jko střední hodnotu funkce f n dné křivce. Následující vět říká, že střední hodnot je vždy rovn hodnotě funkce f v nějkém bodě uvžovné křivky. Vět 6.6. Nechť f je spojitá funkce n křivce. Pk existuje bod (x, y, z) tk, že f ds = f(x, y, z) l(). ůkz. Nechť ϕ:, b je prmetrizce křivky. Funkce f ϕ:, b R je spojitá funkce, která tento intervl zobrzí n jistý intervl c, d, viz [], Kpitol 4. Tedy f() = c, d. N druhé strně monotonie křivkového integrálu říká, že c l() = min(f) l() f mx(f) l() = d l(). Tedy c l() n f d. Existuje proto lespoň jeden bod (x, y, z) tk, že l() f = f(x, y, z).
9 . VIČENÍ 97 vičení Úloh. Určete x + y ds, kde je kružnice v rovině se středem v bodě (/, ) s poloměrem /. Řešení. Volbou prmetrizce ( ϕ(t) = + cos t, ) sin t, t, π, máme ϕ (t) = / tedy x + y ds = π = 4 ( + ) ( ) cos t + sin t dt = 4 π 4 cos t π dt = cos u du =. π + cos t dt Úloh. Vypočtěte obsh plotu S, jehož půdorys tvoří elips x + y 5 =, víme-li, že výšk v bodě (x, y) je rovn (/4)x + 4y. Řešení. Hledný obsh S je dán křivkovým integrálem S = (/4)x + 4y ds. Volb prmetrizce ϕ(t) = ( cos t, 5 sin t), t, π, pk dá (/4)x + 4y ds = = = π π π 5 cos t + sin t 5 cos t + sin t dt 5 + cos t cos t + sin t + 5 cos t dt dt = 5π. Úloh. Určete hmotnost m drátu ve tvru oblouku cykloidy = {(r(t sin t), r( cos t) t, π }, je-li hustot rovn druhé mocnině vzdálenosti dného bodu od osy x.
10 98 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE Řešení. V tomto přípdě je hustot dán funkcí f(x, y) = y celková hmotnost m je dán integrálem f ds. Výpočtem pk dostáváme m = = 6r 3 y ds = π π Úloh. Vypočtěte r ( cos t) r cos t dt = r 3 sin 5 z dz = 56 5 r3. xy ds, kde = {(x, y, z) x + y + z =, x + y + z = }. π 4 ( sin 4 t ) t sin dt Řešení. Uvedená křivk je kružnicí se středem v počátku poloměrem, která leží v rovině x+y +z =. K její prmetrizci postčí znát vnitřní (ortogonální) souřdnice dné roviny. Tyto souřdnice jsou dány libovolnou dvojicí v, v nvzájem kolmých jednotkových vektorů, které leží v rovině x + y + z =. Npř. vektor (,, ) leží v dné rovině. Nlezneme nějký k němu kolmý, který rovněž leží v té smé rovině, npř. (,, ). Nyní je znormujeme, by měli velikost jedn. Tk 6 v = (,, ), v = (,, ). 6 Křivku pk můžeme prmetrizovt zobrzením ϕ(t) = (cos t) v + (sin t) v, Vzhledem k tomu, že ϕ (t) =, máme, xy ds = = π π = 3 π. ( cos t + ( cos t + ) 6 sin t t, π. ) ( ) sin t cos t + 6 sin t dt = π ( + cos t dt ) + 6 Úloh. Určete xyz ds, kde křivk je dán soustvou podmínek x + y + z = r, x + y = r, x, y, z, r >. 4 ( ) cos t Řešení. Křivk je částí průniku válce kulové plochy. Jedn z možných prmetrizcí je ( r ϕ(t) = cos t, r ) sin t, r r = r ( cos t, sin t, ) 3, t, π 4. dt
11 . VIČENÍ 99 Tedy ϕ (t) = r xyz ds = r π r 4 cos t sin t 3 r3 3 r dt = 6 π cos t sin t dt = r Úloh. Určete střední hodnotu H funkce f(x, y) = x n části prboly y = x, x,. Tto střední hodnot je vlstně rovn x-ové souřdnici těžiště uvedené křivky. Řešení. Spočítejme nejdříve délku křivky. Volb prmetrizce ϕ(t) = (t, t ), kde t, dá l() = ále máme + 4t dt = [ t + 4t + 4 ln(t + + 4t )] = ln( + 5). x ds = Užitím substituce u = + 4t dostneme Proto x ds = 8 H = 5 t + 4t dt. [ ] 5 u 3/ u du = = 8 3/ ( 5 ). ( 5 ) ln( + 5) = ln( + 5). Vypočtěte následující křivkové integrály. x y ds, kde je úsečk s krjními body A = (, ), B = (4, ).. xy ds, kde = {(x, y) x + y b =, x, y > }, b. 3. y ds, kde je část Bernoulliho lemniskáty (x + y ) = x y, x, y >. 4. (x4/3 + y 4/3 ) ds, kde je steroid o rovnici x /3 + y /3 = /3. 5. y ds, kde je část cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t, π. 6. (z x + y ) ds, kde je závit kuželové šroubovice {(t sin t, t cos t, t) t, π }.
12 KAPITOLA 6. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL FUNKE 7. x ds, kde je dán rovnicemi x + y + z =, >, x + y + z =. 8. z x +y ds, kde je oblouk šroubovice {( cos t, sin t, t) t, π }. 9. z ds, kde je oblouk dný soustvou rovnic x + y = z, x x + y =, který má počáteční bod (,, ) koncový (,, ).. Zákldn plotu je křivk y = x, kde 3 x 3; výšk plotu nd bodem (x, y) je. Určete plochu plotu. +x. Vypočtěte obsh pláště zobecněného válce V = {(x, y, z) x +y = r, z xy r }.. Njděte plochu části pláště válce x + y = rx, která se nchází uvnitř koule se středem v počátku poloměrem r. 3. Určete hmotnost prboly o rovnici y = px, x p, p >, s hustotou ρ(x, y) = y. 4. Určete hmotnost oblouku drátu ve tvru křivky x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, kde t, t, z předpokldu, že hustot je nepřímo úměrná vzdálenosti od počátku souřdnic v bodě (,, ) je rovn jedné. 5. Nlezněte těžiště oblouku cykloidy {((t sin t), ( cos t) t, π }. Hustot je konstntní funkce. 6. Nlezněte těžiště homogenního obvodu sférického trojúhelníku T = {(x, y, z) x + y + z =, x, y, z }. 7. Určete momenty setrvčnosti závitu šroubovice {( cos t, sin t, h π t) t, π } vzhledem k souřdnicovým osám. 8. Nlezněte moment setrvčnosti homogenní kružnice o poloměru vzhledem k přímce procházející jejím středem ) kolmé n rovinu kružnice b) ležící v rovině kružnice c) svírjící s rovinou kružnice úhel α. Výsledky.. 5 ln ;. b(b3 3 ) 3(b ) ; 3. /; /3 ; 5. 4π 3/ ; 6. 3 [( + π ) 3/ ]; 7. π3 3 ; 8π ; 9. ( + ln( + ) ) ;. ln( + r 3);. ;. 4r ; 3. 3 p [( + /p) 3/ ]; 4. t 3; 5. (π, 4 3 ); π (,, ); 7. I x = I y = ( + h 3 ) 4π + h, I z = 4π + h ; 8. ) π 3 b) π 3 c) π 3 ( + sin α).
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceKřivka a její délka. Kapitola 5. 1 Motivace a základní pojmy
Kpitol 5 Křivk její délk 1 Motivce zákldní pojmy Křivk je pojem, který je v mtemtice zkoumán již od ntického strověku. Intuitivně vždy vyjdřovl objekt, který vznikne spojitou deformcí intervlu n reálné
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Více8 Mongeovo promítání
8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
Více9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie
9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VícePlošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceKapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku
x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
VícePříklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem
Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Na vyřešení tohoto úkolu zavedeme tzv. křivkové integrály. Mám rád hezké křivky...
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceM A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)
5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete
VíceNeřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Vícemnožina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,
Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VíceOhýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Více( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:
4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové
Více2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909
.9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
Více3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
Více1. Pokyny pro vypracování
1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších
Více