5.1.7 Vzájemná poloha přímky a roviny

Transkript

1 5..7 Vzájemná oloha římky a roviny Předoklady: 506 Pedagogická oznámka: Tato a následující hodina je obtížně řiditelná. ni jedna z těchto hodin neobsahuje nic zásadního, v říadě časového skluzu je možné je nechat na samostudium. Př. : Zakresli do standardní krychle rovinu. Jakým jiným zůsobem můžeme tuto rovinu označovat? Rovinu můžeme označovat libovolnou kombinací tří ze čtyř vrcholů ležících v horní stěně:,,,. Pedagogická oznámka: Předchozí říklad kontroluje, zda žáci odstranili roblémy s kreslením nejjednodušších rovin (hodina 05005). Př. 2: Kolik solečných bodů může mít římka s rovinou? Jaká je v každém takovém říadě jejich vzájemná oloha? emonstruj ve standardní krychli na rovině a římkách určených jejími vrcholy. Mohou nastat tři možnosti Přímka nemá s rovinou žádný solečný bod. Přímka má s rovinou nekonečně mnoho solečných bodů.

2 Přímka je rovnoběžná s rovinou. Přímka má s rovinou rávě jeden solečný bod. Přímka je různoběžná s rovinou. Pedagogická oznámka: Slabší žáci často vnímají rovinu ohraničeně jako čtverec, roto ři solečné kontrole ředchozího říkladu modeluji tužkou i římky, které se rovinou rotínají mimo odstavu. Př. 3: Je dána standardní krychle. Urči všechny římky určené vrcholy krychle a rocházející bodem, které jsou: a) rovnoběžné s rovinou, b) různoběžné s rovinou. římky rovnoběžné s rovinou římky různoběžné s rovinou 2

3 římky,,, římky,, Př. 4: Je dána standardní krychle. Urči všechny roviny, které jsou určeny vrcholy krychle, rochází bodem a jsou: a) rovnoběžné s římkou, b) různoběžné s římkou. roviny rovnoběžné s římkou roviny různoběžné s římkou jediná rovina (může být určena i jinak) roviny bočních stěn, a roviny, Jak oznáme, že je římka rovnoběžná s rovinou? Máme římku rovnoběžnou s rovinou ρ. Sojíme římku s rovinou omocí další roviny σ, která je s ρ různoběžná vznikne růsečnice. Jaká je vzájemná oloha a? 3

4 musí být rovnoběžná s. Proč? Kdyby a nebyly rovnoběžné, existoval by jejich růsečík P ( i leží v rovině σ a nemohou tedy být mimoběžné) Průsečík a by ležel v rovině σ i v rovině ρ ( leží v obou rovinách) to nemůže nastat, rotože růsečík P by ležel také na římce, která je s ρ rovnoběžná a tedy s ní nemůže mít žádné solečné body. Pokud budeme měnit roviny σ i, vzniknou růsečnice i. Všechny římky i jsou navzájem rovnoběžné (tranzitivnost rovnoběžnosti). Kritérium rovnoběžnosti římky a roviny: Přímka je rovnoběžná s rovinou ρ, jestliže v rovině ρ leží alesoň jedna římka, která je s římkou rovnoběžná. Př. 5: olň věty: a) Je-li q a q ρ, ak b) Je-li q a ρ, ak c) Je-li q a q není rovnoběžná s ρ, ak a) Je-li q a q ρ, ak ρ. b) Je-li q a ρ, ak q ρ. c) Je-li q a q není rovnoběžná s ρ, ak není rovnoběžná s ρ. Př. 6: Je dána standardní krychle. Urči vzájemnou olohu: a) římky SS a roviny b) římky SS a roviny c) římky SS a roviny d) římky SS a roviny e) římky SS a roviny a) římka SS a rovina b) římky SS a roviny 4

5 S S S S římka SS je různoběžná s rovinou (rovina je vodorovná, římka SS ne) c) římka SS a rovina římka SS je rovnoběžná s římkou S S, která leží v rovině římka S S je rovnoběžná s rovinou d) římka SS a rovina S S S S římka SS je rovnoběžná s rovinou (leží v ní) e) římka SS a rovina římka SS je rovnoběžná s římkou S S, která je rovnoběžná s římkou ležící v rovině římka SS je rovnoběžná s rovinou 5

6 S S S S zdá se, že římka SS je s rovinou různoběžná, ale ve skutečnosti směřuje také šikmo dolů nakreslíme si situaci zleva římka SS je rovnoběžná s římkou S S, která leží v rovině římka S S je rovnoběžná s rovinou Pedagogická oznámka: Z hlediska budoucnosti je na říkladu nejdůležitější zůsob, jakým žáci kreslí roviny v bodech c) a d). Jestliže i v tomto říkladu zůstávají u trojúhelníků, signalizuje to zásadní roblémy v budoucnu, je nanejvýš vhodné situaci začít řešit. od e) je ro studenty oměrně obtížný. Mohou si situaci namodelovat omocí krychličky. Pokud se jim ho neodaří vyřešit, není na místě anikařit. Jak najít římku rovnoběžnou se dvěma různoběžnými rovinami? Pokud je římka rovnoběžná s rovinou, rovina obsahuje její směr (nekonečně mnoho římek, které v rovině leží a jsou s ní rovnoběžné) obě roviny musí obsahovat její směr tento směr je oběma rovinám solečný je to směr jejich solečné římky (růsečnice). Př. 7: Je dána standardní krychle. Veď bodem S římku rovnoběžnou s rovinami a. Použijeme ředchozí úvahu: najdeme růsečnici rovin a, v bodě S narýsujeme rovnoběžku s nalezenou římkou. 6

7 S Př. 8: Petáková: strana 90/cvičení 2 a) b) c) d) strana 90/cvičení 5 b) Shrnutí: Přímka je rovnoběžná s rovinou ρ, rávě když v rovině leží římka rovnoběžná s římkou. 7