volitelný předmět Problémové úlohy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "volitelný předmět Problémové úlohy"

Transkript

1 Pro chytré hlavy volitelný předmět Problémové úlohy ZŠ Planá nad Lužnicí Pavla Capáková 1

2 Obsah Úvod 3 Druhy logických úloh 3 Příklady šifrování Jak zašifrovat slovo zelenina 4 Co budeme často potřebovat (Morseova abeceda, číselná hodnota písmen) První dvacítka úloh 7 8 Teorie šifrování 17 Druhá dvacítka úloh 19 Matematické 19 Slovní, textové 20 Optimizéry 23 Obrázkové 24 Sudoku a jeho varianty 25 2

3 ÚVOD Volitelný předmět Problémové úlohy je určen těm, kteří se nebojí namáhat mozkové závity a které baví přemýšlet. Během celého roku se seznámíte s různými druhy šifrování, hlavolamů, logických úloh, křížovek a her, u kterých si zdokonalíte své logické uvažování, ověříte svou trpělivost, naučíte se používat algoritmy, respektovat dané podmínky a hledat správné řešení. k vyřešení logické úlohy potřebujeme pouze rozumovou (logickou) úvahu a základní jazykové, matematické a vědomostní znalosti logikou rozumíme schopnost správně usuzovat, tedy vyvodit z daných poznatků a myšlenek správné závěry, případně schopnost najít z několika variant řešení to nejlepší správným závěrem je v případě našeho předmětu takové, které vyplývá ze zadání úlohy a respektuje všechny dané podmínky DRUHY LOGICKÝCH ÚLOH 1. Slovní (zebry, detektivky, křížovky, výplňky, dosazovačky, koníčkovky, královské procházky, úlohy o lhářích, ) 2. Číselné ( vývojové řady, substituční úlohy, domino, magické obrazce, číselná bludiště, číselné křížovky, sudoku, kakuro,..) 3. Obrázkové ( hrací kostky, hledání rozdílů, vývojové řady, skrývačky, substituční šifry, ) 4. Úlohy s vyhledáváním pozic (námořní bitvy, kódované obrázky, ) 5. Úlohy s hledáním klíče ( bludiště, hledání pokladu, spojování dvojic, ) 6. Algebraické ( číselné řady, doplňování znamének, slovní aritmetické úlohy, šifry, algebrogramy, ) 7. Geometrické ( dělení obrazců, prostorové úlohy, geometrické slovní úlohy, ) 8. Kombinované 9. Manipulační ( dvourozměrné hlavolamy, puzzle, tangramy, trojrozměrné hlavolamy, ) 10. Karetní, deskové a počítačové hry V tomto pracovním sešitě se úlohy jednotlivých uvedených typů střídají a není u nich uvedeno, do které kategorie patří. Není to ani podstatné, po čase zvládneš jejich zařazení sám. Vždy si pořádně ujasni zadání (co máš udělat, co má vyjít), a podmínky (pokud jsou dané). Věnuj se samostatnému hledání řešení, zkoušej, piš si. Nejlepší bude velký čtverečkovaný sešit, velmi často bude třeba něco zapisovat do tabulky, nebo naprosto přesně pod sebe,...pokud se ti nepodaří přijít ani na princip úlohy, využij nápovědy (většinou ústní). Na konci hodiny se vždy budeme věnovat správnému řešení a jeho zdůvodnění. V každém pololetí bude součástí výuky také šifrovací hra a vytvoření samostatné problémové úlohy pro spolužáky. 3

4 PŘÍKLADY ŠIFROVÁNÍ (písmenné, číselné a obrázkové šifry) JAK ZAŠIFROVAT SLOVO ZELENINA U každého příkladu se pokus určit jakým způsobem byla šifra vytvořena 1. ani nelez 2. zaenlien 3. zlenliejnsitnua /./.-.././-./../-./.-// 5. Jkrtxzkdlxepoutxljexeprdxnaukaxindlxnjakoxa 6. 26;5;12;5;14;9;14;1; 7. 5/5;1/5;3/2;1/5;3/4;2/4;3/4;1/1; klíč 2314 : lzeennia 10. co;bh;jk;bh;mo;ms;fv;bc 11. eizlnnea 12. afmfojob 4

5 Avovmrmz /-/-.--/-/.-/--/.-/-.// Nelez za mnou. Podívej se eště jednou! Ten kotel laskavě vydrhni. Takhle energicky ne! Si pako, ten nesmíš čistit benzínem. Já ti, i když jinak to nedělám, asi jednu fláknu. No teď abych dal ven nápis Nebezpečí výbuchu. Co děláš s těma sirkama auuu zahrada, modřina, vitamín, ovoce, Londýn

6 ( 13 x 2 )

7 Co budeme často potřebovat: Morseova abeceda a převádění písmen na čísla Písmeno Kód Pomocná slova Číselná hodnota A.- akát 1 B -... blýskavice 2 C -.-. cílovníci 3 D -.. dálava 4 E. erb 5 F..-. Filipíny 6 G --. Grónská zem 7 H... hrachovina 8 CH Chvátá k nám sám Pozor ve většině šifrovaných textů se používá anglická abeceda bez CH I.. ibis 9 J.--- Jasmín bílý 10 K -.- krákorá 11 L.-.. lupíneček 12 M -- mává 13 N -. národ 14 O --- Ó, náš pán 15 P.--. papírníci 16 Q.--. Kvílí orkán 17 R.--. rarášek 18 S... Sekera, sobota 19 T - Tón, trám 20 U..- učený 21 V...- vinobraní 22 W.-- Wagón klád 23 X -..- Xénokratés, Xénie má 24 Y -.-- Ýgor mává, ý se ztrácí 25 Z --.. Známá žena 26 7

8 První dvacítka úloh 1. Báseň na úvod : Zkus snadnou šifru vyřešit Slov začátek konec najdeš Chyba autora to není Vzácný je dar rozumu Písmenka asi máte hned Váš klub bystrých dětí Nepotřebuje encyklopedie Něco v každém řádku uvidí A šifru dnes snadno vyřeší Řešením je jednoslovný výraz. Transpoziční šifra. V první úloze si nejdřív všimneme formy básně, která má 9 veršů. Nápověda k řešení je přímo ve druhém a předposledním z nich. Hledat máme nápadné začátky a konce slov v každém řádku. 2. Dračí jednoduchá : Není všechno zlato, co se třpytí, někdy draci používají radši titan. Do skrýší si obvykle nosí uhlík přeměněný na drahokam. Aby se jim pořádně leskly šupiny, potřebují draslík. Naopak bez kyslíku se obejdou. Řešením je sedmipísmenné slovo. Substituční šifra. V souvislém textu se vyplatí hledat něco nápadného. Tady jsou to názvy chemických prvků. Protože potřebujeme sedm písmen, je řešení poměrně snad- 3. Pár drobností s čísly: 1. co patří místo otazníku: 96, 112, 129,?, 166, Když (1,2,3) = 0, (4,8, 6) = 6 a (7, 4, 9)= 2, kolik je (2, 5, 7)? 3. V té zemi stojí mrkev 15 penízků, grep 12 a ředkvička dokonce 27 penízků. Kolik stojí jablko? U číselných řad musíme najít vztah, který platí mezi dvěma (nejčastěji sousedními) čísly. Pokud je řada vzrůstající, půjde pravděpodobně o přičítání nebo násobení. Rozdíl prvních dvou čísel je 16, mezi druhým a třetím 17, mezi posledními 20. Chybí nám dvě místa mezi třetím až pátým číslem. Úkol zadaný formou podmínek (když). V každé závorce si musíme mezi číslice dosadit početní úkony tak, aby platil výsledek. Ve všech závorkách musí být tento vztah stejný. Co tedy udělat s čísly 1, 2 a 3, aby vyšla 0? Obsahově nesmyslné zadání nás navede na zkoumání čísel a názvů ovoce a zeleniny. Seřaďme si je od nejmenších a nejkratších: grep mrkev jablko ředkvička 12 15? 27 8

9 4. Rozcestník Poměrně složitá kombinovaná šifra. Co je nápadného? Na každé ceduli dvě slova, jedno číslo, různý směr šipek. To všechno je k řešení třeba. Nejdřív musíme najít takové slovo, které má nějakou logickou souvislost s oběma uvedenými. Tato souvislost nemusí být na první pohled jasná (nůžky-papír-kámen), je třeba ji opravdu hledat a vědět i fakta (z čeho se vyrábí líh?) Ideální je sepisovat si všechno, co se mi vybaví, když se řekne první slovo, totéž udělat se druhým a hledat, kde se myšlenky potkaly. Pak potřebujeme z nového slova jen jedno písmeno. Jeho pořadí nám určuje číslo na ceduli. Šipka pak určuje, jestli ho hledáme zepředu nebo od konce. Ze slova kámen tedy potřebujeme čtvrté písmeno odzadu, tedy Á. 5. U výslechu 1....? Tři oříšky pro Popelku. 2. Kolik je hodin? Pátek. 3. Co jsi měl k snídani? Tři čtvrtě na devět. Odpověď na otázku je vždy posunutá. K otázce 2. patří odpověď č. 3., k otázce 3. patří odpověď u 4. otázky a tak dále. 4. Jaká je tvoje oblíbená historická postava? Rohlík s máslem. 5. Jak se jmenuje tvůj otec? Alexandr Veliký 6. Zpíváš rád? Petr. 7. Čím bys chtěl být, až budeš velký? Ano. Jak zněla první otázka? 9

10 6. Zašifrované státy Slabiky i jednotlivá písmena potřebujeme všechny., jedná se o transpoziční šifru. Popíšeme, kde jsou umístěny, co vidíme, a do výsledného názvu použijeme i předložky místa, například : V I je E, T je nad(nebo na) M. 7. Trojrozměrné kostky Geometrická úloha na prostorovou představivost. Obrazec je zakreslen nereálně, takto by nikdy z jednoho úhlu pohledu nevypadal. To proto, abychom si mohli představit sami sebe ve všech třech potřebných pozicích. Kolik kostek uvidíš, podíváš-li se jako zepředu, z boku a shora? 10

11 8. Co vznikne? Kombinovaná obrázková a transpoziční šifra. Začneme shora, postupujeme podle šipek, dosazujeme za obrázky slova nebo písmena. 11

12 9. Kouzelný pásek Stačí vzít staré noviny a vystřihnout pásek cca 8 cm široký a 60 cm dlouhý. Jeho konce spojte tak, že je o 180 pootočíte. Vznikne Vám zakroucený pásek, který má jen jednu stranu. Nevěříte? Zkuste tedy jednu stranu obarvit na modro. No a tu druhou (pokud nějaká zbude) na červeno. Pokud je celý pásek jen modrý, je sestaven správně, pokud zbude nějaká neobarvena plocha, pásek jste složili nesprávně. Pokus 1 Pásek rozstřihněte v půlce. Co vám zbude? Kdo hádá dva pásky tak se plete. Budete mít jen jeden. Pokus 2 Co se stane, když pásek nerozstřihneme uprostřed, ale trochu u kraje (asi v jedné třetině šířky)? Tuto prostorovou hříčku nazýváme Möbiův pásek podle matematika A.F.Möbia, který jej objevil v roce Jedná se o plochu, která má jen jednu hranu a jednu stranu. Velmi názorně na něm můžeme vidět efekty, které způsobí prostorové deformace plochy. 10. Přečteš to? Jednoduchá transpozice. Tohle komentář nepotřebuje. Důkaz toho, že náš mozek možná funguje jinak, než si myslíme. 12

13 11. Pozvánka 1. Výsledkem má být číslo 2. Co je v textu nápadné? Příklad slovní substituční šifry (písmena nahrazujeme jinými znaky). Podle klíče má být řešením číslo (KOLIK vás tam bude?) V textu žádné není, je tedy nutné je někde objevit schované. Nápadné je psaní počátečními velkými písmeny. 12. Říkadla Lezuc ozebe btádo aba Jádzu tamyle zaspo níc Kujhá ádydy oztu ína Budvak dleba ameo tamd Co tam nepatří? První slabiky pomůžou. Text známých říkadel je nesmyslně zpřeházený a do každého verše jsou přidaná písmena navíc. Ta potřebujeme. Měkaí lvajab babřik kačoty Adkvě dějeno doušvek Dejako mijdab bablno kojied Bunně destejk memíta Substituční šifry využívají záměny písmen za písmena, písmen za čísla, nebo obrázky. I nejjednodušší posun písmen v abecedě je substitucí ( nahrazení). Transpoziční šifry pracují jen se zpřeházením znaků textu podle určitého pravidla. Může to být výměna sousedních písmen, zápis textu podle šifrovací (transpoziční) mřížky, do sloupců tabulky apod. 13

14 13. Divné součty KLJAKFSAUK = 103 MDEQMOAJDNA = 97 AKGSKACAWEAK = 94 IFSLKXKCFAU = 123 AKHMPLRQQA = 114 Grafická a substituční šifra. Jde o čísla, jimiž běžně kódujeme písmena (A=1, B=2 atd.). Toto nám napovídá součet za každým řádkem, který odpovídá součtu hodnot písmen (pouze kontrolní, aby bylo jasnější, že pracujeme s číselnými hodnotami písmen). Všimneme si, že číslic - pozor nikoliv čísel - je na každém řádku stejně). Vzniká pravidelná tabulka. Určitě se bude hodit strana 6. NUTNĚ POTŘEBUJETE TABULKU Řešením je jedno české slovo. 14. Dost morbidní báseň Chybějící výrazy Počet písmen Počet otazníků Řešením je pětipísmenné slovo Transpoziční šifra. Že místo otazníků patří chybějící slova, je jasné. Rýmová shoda na konci veršů nám pomůže. Nezapomeneme, že CH počítáme jako dvě písmena. Pak přijde na řadu zapsat tato slova do tabulky s otazníky. Ne v tom pořadí, v jakém jdou za sebou v básni! Recitační kroužek Dřevorubec v lese????, sekl se a vykrvácí. Marně svírá pěstičky, nemá krevní???????? Naše paní vedoucí spadla pod vlak???????. Pojďme děti pro líh, spálíme ji v?????? Dvě želízka v ohni. Dvě želízka v ohni. Běž a????? šlohni.???????????????????????? 15. Asociační?????? lama trouba sušenka Měsíc netopýr rozhlas harmonie surfování zemětřesení Asociace znamená řetězení myšlenek (co tě napadne, když se řekne ). V úlohách tohoto typu je řešením jedno slovo, které má nějakou věcnou souvislost se všemi uvedenými. 14

15 16. a e i o u y Y h s b i p ď UAIOEEYAEIAEEUOA U n ů m u c ž O í ch ň ř é l I z t d e ú y E a j o ý š g A f r ě č k v Substituční šifra. UA IO... Šipky v zadání Z nápovědy vyplývají dva potřebné směry a rozdělení šifry na dvojice. Nabízí se zkombinovat sloupce a řádky. Dvojici UA můžeme použít několika způsoby: A) průsečík písmen a + u ve vnitřní tabulce = ý. Začínat takhle heslo je dost dobře nemožné. Navíc by další dvojice IO vyšla taky jako ý. B) řádka U + sloupec a = n C) Řádka A + sloupec u = k Podle šipek v zadání je jediná správná možnost B) 17. Dveře Představte si, že jste zavřeni na nádvoří obehnaném vysokou kamennou zdí, v níž vidíte troje dveře. Na svobodu vedou ale jen jedny. Za druhými se skrývá hladomorna a za třetími číhají ve svých gigantických sítích jedovatí pavouci. Vy ale víte, že výrok na dveřích vedoucích ven z nádvoří je pravdivý, nápis na dveřích vedoucích k pavoukům lže a nápis na vchodu do hladomorny může být pravdivý i nepravdivý. Které dveře otevřete, abyste se dostali na svobodu? A B C Dveře B vedou do hladomorny HLADOMORNA Pavouci jsou za dveřmi B Řešení úloh, které jsou založené na pravdivých a nepravdivých výrocích, vyžaduje postupné a pakované používání kdyby. Jednoduše řečeno si vezmeme jeden výrok a zkoumáme: Kdyby byl nápis na prvních dveřích pravdivý,.. Kdyby vedly tyto dveře ven,.. 15

16 MADA SETR 18. Přísloví 1. Odolnost rostliny opatřené žahavými chloupky vůči poklesu teploty pod 273,14 Kelvinů je dokonalá. 2. Občan poskytující záměrně klamné informace současně převádí do svého vlastnictví majetek spoluobčanů. 3. Při poklesu produktivity práce na nulu se projeví totální nedostatek kruhového pečiva. 4. Kdo odolává pokušení podlehnout touze nechat dřímat vlastní energii, bývá obklopen chlorofylem. 5. Akustický jev vycházející z množiny listnatých či jehličnatých jedinců je totožný s tím, který směřuje opačným směrem. 6. Více než jednou,ale méně než třikrát urči velikost fyzikální či chemické veličiny, a méně než dvakrát, ale více než nulakrát použij způsobu obrábění, při kterém se části materiálu od sebe oddělují. 7. Přenos informace od jedince s kalorickým nedostatkem k jedinci s tímto nedostatkem již odstraněným je blokován. 8. Vzdálenost od bodu A (což je místo, kde ukončí svou dráhu druh malvice) od bodu B (což je místo ležící svisle pod místem početí výše zmíněné dráhy) se blíží nule. 9. Kinetická energie eroticky motivovaného vztahu může být použita k transferu vysokých geologických útvarů. Text zašifrovaný pouze použitím synonymního vyjádření původních výrazů a přestylizováním vět do podoby vědeckých definic. V každém textu je třeba najít něco, co připomene nějaký výraz ze známého přísloví (klamné informace= lež,kruhové pečivo=koláč, množina listnatých jedinců= les), někde možná za pomoci odborných znalostí ( co znamená teplota 273,14 K, malvice, kalorický deficit?) 19. Škrtaná Pardubi- Semily Tábor Zlín Hlohovec Třeboň Znojmo Mladá Jičín Děčín Olomouc Mělník Na první pohled je tabulka nápadná rozdělením na horní část se jmény měst a spodní s různými dalšími výrazy. Jablonec Plzeň Xaverov Ostrava Sušice Kalovy Řešením je čtyřpísmenné slovo kapr loď boty zápalky auto kolo syrečky perník pivo korálky kuře okurky rybník kalich léky Rumcajs minerálka uhlí 20. Přesmyčky DIDAR LI NÁ BAGR HU Přesmyčky používají jeden z nejjednodušších způsobů šifrování pouhé přehození pořadí písmen ve slovech (transpozice). Tato úloha je trochu ztížena ve všech výrazech chybí jedno (stejné) písmeno. Řešením jsou názvy velkých světových měst. 16

17 Teorie šifrování Problematikou šifrování se zabývá věda zvaná kryptografie, v souvislosti s luštěním se můžeme setkat s pojmem steganografie. Historie Pravděpodobně nejstarší popis substituční šifry je znám z Indie ze 4.století, ovšem její autor čerpal z pramenů až o 800 let starších. Již v antickém Řecku se používaly k přenosu zpráv dřevěné destičky, do kterých se vyryl text a následně byly celé destičky zality voskem, takže vypadaly jako nepopsané. Jindy byla zpráva vytetovaná na oholenou hlavu otroka a následně se nechala zarůst vlasy. Přečíst ji bylo možné až po dalším oholení. Šifrování nebylo záležitostí zábavy. Využívalo se ho zejména ze zcela praktických důvodů ve válečných obdobích. Vojenští velitelé (například Caesar, Napoleon, ), vysoce postavení politici nebo špioni a tajní agenti si vypracovávali různé šifrovací systémy. Za ll. světové války se začala používat technika mikroteček. Šlo o miniaturní body na pásku filmu, které teprve při mikroskopickém zvětšení odhalily zapsaný text. Použití mechanických a elektronických strojů přineslo do šifrování zcela nové možnosti. Zejména proto, že stroje jsou schopné velkého množství úkonů v daném čase. Německo v době druhé světové války používalo k utajování zpráv mechanický stroj Enigma, který prováděl poměrně složité operace pomocí systému tří až čtyř samostatně otáčených válečků s písmeny. Ten, kdo znal klíč (původní nastavení všech kotoučů) mohl text dešifrovat snadno, bez klíče byly šifry poměrně bezpečné. Poláci ještě před vypuknutím války začali na zkoumání Enigmy pracovat a podařilo se jim ji prolomit. Současná počítačová technika umožňuje skutečně složité šifrování, kterého se využívá nejen ve vojenských tajných zprávách, ale i k zabezpečování přenosu digitálních souborů apod. Mluvíme například o kvantové kryptografii, moderních symetrických šifrách, nebo o kryptografii s veřejným klíčem (elektronický podpis). Způsoby šifrování Substituční šifry - spočívají v nahrazení každého znaku zprávy jiným znakem podle nějakého pravidla. A) Nejjednodušší možností je obyčejný posun celé abecedy. Z dnešního pohledu je tato šifra velmi snadno luštitelná, ve své době ale představovala nevídanou novinku a velmi dobře se osvědčila. Tzv. Caesarova šifra pracovala s posunem o tři písmena. Kdybychom dejme tomu chtěli zašifrovat slovo NAROZENINY, zapsali bychom si pod sebe dvě abecední řady, druhou ovšem posunutou o tři místa doprava (nebo doleva): Písmeno N bude tedy v zašifrovaném textu K, místo A bude X, celé slovo bude vypadat takto: KXOLWBKFKV A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A E I N O R Y Z X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W B) Daleko obtížnější je při šifrování i luštění použití substituční tabulky záměny. Opět nahrazujeme písmena jinými, ovšem tentokrát bez jakékoli viditelné souvislosti či pravidelnosti. Používáme předem dohodnutého slova, které funguje jako klíč. Bez něho je šifra těžko prolomitelná. Pokud si stanovíme jako heslo slovo VESLO, představíme si opět dvě abecední řady zapsané takto: do druhé řady zapíšeme nejprve klíčové slovo, pak abecedu bez již použitých písmen : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Slovo NAROZENINY by tedy vypadalo takto: JVPKZOJDJY A E I N O R Y Z V E S L O A B C D F G H I J K M N P Q R T U W X Y Z C) Substituci (nahrazování) používáme i u šifer číselných (algebrogramy, používání číselné hodnoty písmen), obrázkových (místo písmena máme zadané obrázky a pracujeme například s prvními písmeny jejich názvů), grafických (morseovka), různých tabulek (VIZ úkol č. 16, ) apod. 17

18 Druhou možností jsou šifry transpoziční. Transpozice (přesmyčka) spočívá ve změně pořadí znaků podle určitého pravidla. Písmena textu tedy pouze zpřeházíme. A) Nejjednodušší transpozicí je přehození sousedních písmen ( ANOREZINYN) a zapsání textu pozpátku ( YNINEZORAN ) B) Jen o málo složitější je zapsání textu do sloupečků a následné čtení po řádcích, psaní cik cak, do spirály apod. Je dobře využitelné spíš u delších textů (například Těším se na oslavu narozenin.) t o s z e a n e s m t š m ě í ě a l o n o e z o í s n o e a š n a r i s n. r š s a u l v í e v a n l i n a ě n r z a o m s u n. a v u n t e i. n n C) Transpoziční mřížka je většinou čtvercová tabulka, v níž jsou některá políčka vystřižena a text se zapisuje nebo čte tak, že se tabulka postupně otáčí a ve vystřižených okénkách se objevují písmena. Protože počet odkrytých písmen musí být při každém otočení stejný, je třeba připravit text s počtem písmen dělitelným čtyřmi (4 otočení) a vystřihnout vždy jednu čtvrtinu políček. Předchozí text by se dal použít, pokud bychom vůbec neodkryly políčko s tečkou. z t o r ě t ě o l a š n e š l e í e i a n í a o s u m. m s v e n a n s n Zapsaný text mřížka toto vidíme při prvním přiložení otočíme o 90 Nevýhody jednotlivých šifer je možné alespoň částečně odstranit jejich kombinací. Je možné například zkombinovat substituční posun abecedy s šifrovací mřížkou, nebo jednoduché přesmyčky s další transpozicí počátečních písmen, použití dlouhého nesmyslného textu, ve kterém jsou potřebná písmena ukryta před nebo za často se opakujícími znaky Pfjhdbdxtmnfjgoxěfjedůvxšlksnfbxívsolvxmh\wnv xsadnvsxefvbfdnlxnknvdsnvxaoidnskxov\nsfcxsvbnsflvxl\sdvů\smxav ůsfdxvcmjvsjfxub\nhsdxnůvna mxajv dvůxrblnbnbxoxzxexnxixnajta 18

19 A) Matematické číselné a algebraické Druhá dvacítka úloh Je mi třikrát tolik, kolik bylo vám, když mně bylo tolik, jak jste nyní stár. Až vám bude tolik, kolik je dnes můj věk, budeme mít spolu sto dvacet šest let. Kolik je mně a kolik je vám? Pomoci rovnic se dá k výsledku dojít takto: Teď mi je X a tomu druhému Y. Z prvního odstavce víme, že mně bylo Y v době, kdy bylo druhému člověku X/3. Od té doby nějaký čas uplynul, ale musí platit: X - Y = Y - X/3 Takže: X + (X - Y) + Y + (X - Y) = Kolik mi je let? Mezi nejoblíbenější aritmetické číselné hlavolamy patří v poslední době SUDOKU. S některými jeho typy se seznámíme později. 2. Číselné řady A) ? B) ? C) ? D) í ? E) ? F) ? Algebrogram Místo písmen dosaď číslice, aby platily početní úkony: A B C - D E = C B H : + + B x C H = I C H H + C C C = C K K G) Úloha ze 16. století Adam Ries ( ) uvedl ve své knize Practica následující úlohu: ? A B C D E F Příchozí zdraví společnost: Bůh pozdrav vás třicet! Jeden z oslovených povídá: Kdyby nás bylo ještě jednou tolik a ještě polovina, pak teprve by nás bylo třicet. Kolik osob bylo přítomno? Hlavolam, který využívá hracích kamenů domina. Kameny jsou rozmístěny tak, že tvoří obdélník, ale 5. Homino hranice mezi nimi jsou smazány. Homino je vyřešeno v okamžiku, když mezi kameny opět označíme tyto hranice. Každý dominový kámen s vyskytuje pouze jednou , 11 02, 12, 22 03, 13, 23, 33 04, 14, 24, 34, , 11 02, 12, 22 03, 13, 23, 33 04, 14, 24, 34, 44 05, 15, 25, 35, 45, 55 19

20 B) Slovní, textové Úlohy tohoto typu patří k nejsložitějším slovním rébusům. Cílem je zjistit z různého množství daných informací 6. Zebry nějakou chybějící. V zadání většinou najdeme kladná i záporná tvrzení, což při větším množství zadaných údajů bývá občas příčinou neúspěchu. Při řešení se rozhodně neobejdeme bez papíru a trpělivosti. Je třeba vyzkoušet, který postup řešení ti bude nejlépe vyhovovat. Zde je ukázková velmi jednoduchá zebra: V našem domě jsou tři majitelé psů. Zjistěte, jak se jmenuje bernardýn a ve kterém patře bydlí Rex. A) Pan Adam bydlí v druhém patře a nechová jezevčíka V prvním patře žije pani Boháčová s Punťou Dalmatinka Sandy nemá za pána obyvatele ze třetího patra Paní Boháčová často potkává pana Čížka s Rexem Bernardýn nebydlí nejvýš A B Č A + x x x x + x x B x + x d j b R P S + x x x + x Č x x + x x x A) První možností je zapisování do dvojité tabulky všechny údaje i postupné vyřazování platných a neplatných informací je třeba provádět dvakrát, pro někoho může být nepřehledná a snadno se v ní ztratí B) B) Zápis všech údajů a jejich postupné vyškrtávání vyžaduje také zdlouhavou přípravu, hlavně u složitých zeber, ale je možno použít zkratky místo celých slov. Téměř vždy použitelná, přehledná (pokud si dáme s přípravou práci) a úspěšná C) C) Kreslení do čtverce (není podstatné, že se mluví o třech osobách, ale kolik druhů informací se o nich uvádí: příjmení, patro, jméno psa a jeho rasa tedy 4 ). Spojujeme čarami, co k sobě patří, jinými co ne, U složitějších úloh se nedá použít. Zkratkami si zapíšeme všechny uvedené osoby(a,b,č), číselné údaje, jména psů (R,P,S) i jejich rasy (d,j,b). Vše na svislé i vodorovné ose. Fakta, která platí, označíme například +, co nepatří k sobě například x. d + j x + b + 1 x + x x x + 3 x x + R x + P x + x + S x + Z první věty vyčteme, že Adam bydlí ve 2. patře. V řádku i sloupečku A značíme + 2 a logicky vyškrtneme (x) 1 a 3. Hned můžeme vyškrtnout 2 u Boháčové a Čížka. Dále víme, že nechová jezevčíka.proškrtneme j v řádku i sloupci A, ostatní políčka zatím nevíme. V tabulce vidíte situaci po zapsání druhé věty. (Už vidíme jediné volné políčko, které propojuje pana Čížka s číslem patra). Postupně doplníme zbývající fakta, nezapomeneme psát oběma směry, pokud i po poslední větě některé políčko není jasné, začneme znovu od začátku, případně řešíme co by se stalo, kdyby. B) A B C d j b R P S A B C d j b R P S A B C d j b R P S Opět použijeme zkratky, zapíšeme do malých samostatných tabulek nebo jednoduše do odstavečků. Máme 4 druhy informací u tří osob, proto vše třikrát. Opět začneme panem Adamem z první věty. Zvolíme si, že první odstavec bude vše, co se týká jeho. Označíme 2.patro a vyškrtneme jezevčíka. V sousedních sloupečcích vyškrtneme 2. Zapíšeme druhou větu vyškrtáme v sousedních odstavcích, co už paní Boháčová obsadila a vidíme zcela zřetelně, že na Čížka zbylo třetí patro. C) A Rex Punťa Sandy 1 Připravíme si tolik stran, kolik je druhů informací. Na každé straně vyznačíme všechny tři údaje. Pak spojujeme jedním druhem čáry, co k sobě patří, a druhým typem to, co ne. B Č 2 3 Na obrázku vidíte stejnou situaci jako u předchozích dvou bodů, tedy po zapsání druhé věty. Evidentně je tento způsob nejjednodušší, ale u složitých zeber se stává spleť čar dost nepřehlednou. jezevčík dalmatin bernardýn 20

21 7. Turnaj zebra V předvečer Nového roku navštívili čtyři královi rytíři hrad Kamelot. Přijeli na nádherných koních ozdobených postroji v barvách rytířských korouhví. Těmito rytíři byli sir Pure, sir Good, sir Pious a sir Venerable. Král Artuš o jejich příjezdu dostal těchto pět informací : 1) čtyři rytíři, kteří přijeli, byli sir Pious, pak ten, kdo přijel druhý, dále rytíř, jehož kůň nesl bílý postroj a také sir Pure. 2) sir Pious nepřijel první a sir Venerable nebyl tím, kdo přijel těsně před ním 3) kůň sira Venerablea neměl bílý postroj 4) sir Good přijel těsně před rytířem, jehož kůň nesl modrý postroj a kterým nebyl sir Pious 5) kůň sira Purea nenesl purpurový postroj, jedna korouhev byla zlatá Z těchto výroků dokázal sestavit pořadí, v jakém všichni čtyři rytíři přijížděli, a také kterou barvu měly korouhve a postroje jejich koní. 8. Přesmyčky daříná nalkřieet ahojad stmniotresiv eeemdpii vodápěna šlinvd rníá názdynrpi třeskloulba tetla žnsooorec okmieonka úhlíkjorten soutbau nenelučics láričakkén dlouvamy dneul nekcypoldeei čárenak kočonenen ánír stěništave hlooba skroubeu 9. TTTTTTTTT 10. NeSmYsL LOD OBRI SHERY TY SOBE OBJEDTE CEZ UDUSI SRACE TAPE PEREMI LEST REKNE BERLE PLOUN PSO MOR SKONA uf Já Mám mísu ta KáVa V ní Se dá Odpředu, odzadu, ob jedno, posun abecedy nic nefunguje? Zkuste se zaměřit na název šifry. Několik písmen T, kolik přesně? To je důležité. Kombinovaná šifra řešením vyluštěného textu bude jednoslovné heslo. Na první pohled opět text nedávající smysl. Nápadné je nepravidelné použití velkých a malých písmen. Klasická substituční šifra. S přesmyčkami jsme se už potkali. Tato úloha je ale kombinovaná nestačí jen zvládnout transpoziční část úkolu (sestavit slova), ale dál s nimi pracovat. Napovíme, že poslední slovo je ubrousek. 21

22 11. Písňová údolí holubům rád ptáků ke házela zalétal mém krovům ke zvlášť dům ke ptáků holubům zalétal dům jim Kombinovaná šifra. Zpřeházená slova známé písně. K vyřešení ( tři slova, celkem 18 písmen ) potřebujeme znát originální text: 12. Domorodci Na jakémsi ostrově žily dva kmeny. Hodňáskové mluvili zásadně jen pravdu a Podvodníci na jakoukoli otázku odpovídali nepravdivě. Jednou se na ostrov dostal cestovatel a vydal se na průzkum. Došel ke křižovatce, u které odpočíval jeden z domorodců. Jakou jedinou otázku má cestovatel položit, aby zjistil, která ze čtyř cest vede do vesnice, když neví, ke kterému kmeni unavený muž patří? Úlohy o lhářích mohou být takto jednoduché jeden lže, druhý mluví pravdu. O něco obtížnější jsou ty, kde máme ještě třetí stranu ten, kdo někdy lže a někdy ne. Podobnou úlohu jste řešili v první dvacítce (nápisy na dveřích). Poněkud neobvyklá je následující: 13. Rozbitá socha Na náměstí někdo kamenem zničil vzácnou sochu. Policie předvolala k výslechu pět podezřelých, z nichž jeden byl pachatel. Každý z nich vyslovil pouze tři výroky dva pravdivé a jeden nepravdivý. Samuel řekl: Jsem nevinný. Nikdy jsem nic kamenem nezničil. Udělal to Jan.! Ctirad vypověděl: Neudělal jsem žádnou škodu. Socha je na náměstí. Osvald není můj přítel. Boris řekl: Jsem nevinný. Osvalda jsem nikdy před tím neviděl. Jan je vinen. Jan řekl: Nehodil jsem tím kamenem. Udělal to Osvald. Samuel nemluvil pravdu, když řekl, že jsem to udělal já. Osvald uvedl: Jsem nevinný. Tu sochu rozbil Ctirad. Boris a já jsme dobří přátelé. Kdo sochu rozbil? Úlohy o lhářích 14. Královská procházka Transpoziční úloha text zapsaný do tabulky, při sestavování postupujeme vždy na políčko sousedící stranou (ne rohem), na žádné pole není možné vstoupit opakovaně a všechna se musejí použít. b u u v ý b s d o n r o e i ř é č k n d e ř e y v e č í z a K t á l a s 15. Koníčkovka Vypadá podobně, ale směr sbírání písmen musí kopírovat pohyb šachové á á figury koně, například: ze středového e e pole můžeme pouze na pole ozna- čená písmeny. Kůň skáče 2 pole rovně J a 3 kolmo, nebo 3 pole rovně a 2 kolmo, e e jak je naznačeno. V ideální pozici á á ř. j e máme možnost jít na 8 polí. Pokud jsme blíže ke kraji i č í k šachovnice, počet možností se samozřejmě zmenší. z e v e Začátek K ř e koníčkovka 22

23 C) Optimizéry Jsou to úlohy s vyhledáváním ideální pozice, hledáním chybějícího prvku nebo vyřazováním přebytečného prvku z daného systému. K prvnímu typu patří například sudoku, lodě (námořní bitva), miny, stromy a stany, perly, Co sem nepatří? A} Kůň zebra osel lama slon B] Pěkný velmi dobře mladě stále Cílem je vybrat z nabízených možností tu, která co nejvíce odpovídá zadání. Někdy se jedná o vztahy logické, významové, jindy jazykové, matematické a podobně. C] Brako / Týšeschř / Danokana / Pýšels / Jemiz D) 897 / / 3 / 427 / 29 / 796 / Co sem patří? bhk sdl hd klm lsd ls vfk kvf?? = vf - fv - vkf - ff - hl - xx? = huba - huda - bahu - buha - uh - jokl lije elij jeli klon nklo onkl huba ahub? Stany Vaším úkolem je umístit do čtvercového kempu stany, a to podle těchto pravidel: Stanů je přesně tolik, jako stromů Ke každému stromu umístěte jeden stan vodorovně nebo svisle Dva stany se navzájem nesmějí dotýkat (stranami čtverců, ani rohy) Čísla po straně a nahoře určují, kolik má být stanů v příslušném řádku nebo sloupci Sudoku Původem japonská úloha, při které máte umístit do všech 81 políček číslice 1 9 tak, aby se v žádném řádku, sloupci ani čtverci 9x9 políček neopakovaly. Začneme hledat vhodné umístění v takovém řádku, sloupci, nebo čtverci, kde vidíme největší počet napovězených číslic. V prostředním čtverci chybí jen 5. Po jejím doplnění je jasné, že ve čtverci napravo může být 5 jen v levém dolním rohu. Zbydou tři volná pole. Jednička nemůže být nad 5 (už v tomto řádku je), ani v pravém horním rohu (je ve sloupci). Stále kontrolujeme složení číslic v řádcích, sloupcích a čtvercích. Pokud nám někde vychází několik variant, zapíšeme si je do rohu políčka

ŠIFRY. 1) Morseova abeceda

ŠIFRY. 1) Morseova abeceda ŠIFRY V následujícím textu je shrnuto několik základních typů šifer, které by měla vlčata znát před tím, než se stanou skauty. U skautů se pak naučí mnohým dalším šifrám. 1) Morseova abeceda Nejdůležitější

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012

Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012 Logika je logika Úlohy na dvoudenní turnaj v Brně 2012 MOSTY Spojte všechny ostrovy (tj. kroužky s čísly) pomocí mostů tak, aby bylo možno dojít z každého ostrova na kterýkoliv jiný. Mosty je přitom dovoleno

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

Polodokreslovka křížovka (časový limit 15 minut)

Polodokreslovka křížovka (časový limit 15 minut) Polodokreslovka křížovka (časový limit 15 minut) V obrazci nejsou vyznačené dělící linky mezi slovy. Je třeba je doplnit, přičemž rozmístění těchto linek v obrazci je symetrické. A B C D E F G H I 1 2

Více

Vánoční turnaj GP Praha 2012

Vánoční turnaj GP Praha 2012 Vánoční turnaj GP Praha 0 konaný péčí HALAS o.s. dne. prosince 0 Jméno hráče: Pravidla obecná: Do každého políčka vepište jednu číslici -N podle velikosti tabulky není-li v zadání jinak zmíněno. Zadání

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrovství České republiky v logických úlohách Blok 1 - Logický mixer 10:00-11:40 Řešitel 1 Praha 013 Mrakodrapy 3 Heywake 4 Rybáři 5 Dvojblok Pentomina 7 Nádraží 8 Slalom 9 Plot 10 Kriskros 11 Cesta

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Milí rodiče a prarodiče,

Milí rodiče a prarodiče, Milí rodiče a prarodiče, chcete pomoci svým dětem, aby se jim dobře počítalo se zlomky? Procvičujte s nimi. Tento text je pokračováním publikace Mami, tati, já těm zlomkům nerozumím. stupeň ZŠ, ve které

Více

Celostátní kolo soutěže Baltík 2008, kategorie C

Celostátní kolo soutěže Baltík 2008, kategorie C Pokyny: 1. Pracujte pouze v ikonkových reţimech! 2. Řešení úloh ukládejte do sloţky, která se nachází na pracovní ploše počítače. Její název je stejný, jako je kód, který dostal váš tým přidělený (např.

Více

1.1.24 Skaláry a vektory

1.1.24 Skaláry a vektory 1.1.4 Skaláry a vektory Předpoklady: 113 Př. 1: Vyřeš následující příklady: a) Na stole je položeno závaží o hmotnosti kg. Na závaží působí gravitační síla Země o velikosti 0 N a tlaková síla od stolu

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

1.5.2 Číselné soustavy II

1.5.2 Číselné soustavy II .. Číselné soustavy II Předpoklady: Př. : Převeď do desítkové soustavy čísla. a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) 6 = + + + = 7 + 9 + = a) = 4 + 4 + 4 = 6 + 4 + = 9 b) 4 = 6 + 6 + 6 = 6 + 6 + = 6 + + = 69. c) 6 Pedagogická

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

Zadání soutěžních úloh

Zadání soutěžních úloh Zadání soutěžních úloh Kategorie žáci Soutěž v programování 24. ročník Krajské kolo 2009/2010 15. až 17. dubna 2010 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za každou

Více

12. ročník Řešení: 3. a 4. sada

12. ročník Řešení: 3. a 4. sada 12. ročník Řešení: 3. a 4. sada 301. Padesáté zvíře V každém sloupci má 6 zvířat jednu společnou vlastnost, ale jedno zvíře ji nemá: 1. sloupec zvířata ze zvěrokruhu + krysa 2. sloupec jednoslabičná zvířata

Více

1.5.1 Číselné soustavy

1.5.1 Číselné soustavy .. Číselné soustavy Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti určitě setkávají

Více

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) 13. Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) Řešení společně připravili lektoři Aleph.cz a Kurzy-Fido.cz Úlohy z varianty

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Monika Cihelková, Jolana Nováková, učitelství pro 1. stupeň ZŠ, 4. ročník

Monika Cihelková, Jolana Nováková, učitelství pro 1. stupeň ZŠ, 4. ročník Hodina matematiky 21. 12. 2011 Monika Cihelková, Jolana Nováková, učitelství pro 1. stupeň ZŠ, 4. ročník 1. Úvod uvítání, představení vyučujících studentek (1min.) 2. Rozcvička (3min) 3. Hra Riskuj (15min)

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Copyright 2013 Martin Kaňka; Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Hlavním cílem aplikace Cubix je výpočet a procvičení výpočtu objemu a povrchu těles složených z kostek. Existují tři obtížnosti úkolů

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol. Zašifrované verše

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol. Zašifrované verše Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze do škol ZŠ Litoměřice, Ladova Ladova 5 412 01 Litoměřice www.zsladovaltm.cz vedeni@zsladovaltm.cz Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.0948

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1 1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Úloha 1 prokletá pyramida

Úloha 1 prokletá pyramida Úloha 1 prokletá pyramida a) V celé dolní řadě Baltíkovy plochy vyčarujte pouštní písek (z předmětu 148). Baltík si stoupne na povrch této pouště (tj. na políčkovou pozici X=0, Y=8), dojde až ke středu

Více

Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/

Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/ Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 Teorie grafů Sbírka cvičení Domečkologie Zkuste nakreslit domečky na obrázku. Které

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

10. ročník. Řešení 1. a 2. sada

10. ročník. Řešení 1. a 2. sada 101. Vaši organizátoři 10. ročník Řešení 1. a 2. sada Název šifry a umístění úlohy jako 1. úloha jubilejního 10. ročníku navádí k tomu, že šifra je o organizátorech Sendviče. Pokud náhodou neumíte odříkat

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Název školy: Střední zdravotnická škola a Obchodní akademie, Rumburk, příspěvková organizace Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0649

Více

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10 .. Číselné soustavy I Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato a následující hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

Didaktický seminář Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta

Didaktický seminář Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta Didaktický seminář Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta Aktivity k rozvoji kombinačního myšlení žáků primární školy Jana Příhonská, KMD TU v Liberci Cílem současného vyučování matematiky

Více

Test studijních předpokladů 1 V každém úkolu je správná pouze jedna odpověď zakroužkujte ji nebo doplňte požadovaný údaj.

Test studijních předpokladů 1 V každém úkolu je správná pouze jedna odpověď zakroužkujte ji nebo doplňte požadovaný údaj. Test studijních předpokladů 1 ev. číslo: V každém úkolu je správná pouze jedna odpověď zakroužkujte ji nebo doplňte požadovaný údaj. 1. Které slovo o šesti písmenech znamená totéž, co znamenají slova vně

Více

POVLTAVSKÉ SETKÁNÍ BALTÍKŮ - 9.ročník - 17.10. a 18.10. 2014

POVLTAVSKÉ SETKÁNÍ BALTÍKŮ - 9.ročník - 17.10. a 18.10. 2014 POVLTAVSKÉ SETKÁNÍ BALTÍKŮ - 9.ročník - 17.10. a 18.10. 2014 1. Úloha výcvik samuraje (24 bodů) a. Každý samuraj se musí učit. V této úlozu probíhá jeho výcvik. Na ploše se najednou objeví nápis stejný

Více

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3

Matematická olympiáda ročník ( ) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Z5 II 2 Z5 II 3 1 of 6 20. 1. 2014 12:14 Matematická olympiáda - 49. ročník (1999-2000) Komentáře k úlohám 2. kola pro kategorie Z5 až Z9. kategorie Z5 Z5 II 1 Jirka půjčil Mirkovi předevčírem přibližně 230 Kč, tj. 225

Více

Nepřímá úměrnost I

Nepřímá úměrnost I .. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud

Více

Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1

Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1 Test studijních předpokladů Varianta A2 FEM UO, Brno 2013. 1 Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): V týmu není Pavel nebo není Václav. A:

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A

MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A MATEMATIKA V ÚPRAVĚ PRO NESLYŠÍCÍ DIDAKTICKÝ TEST 12 SP-3-T SP-3-T-A Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho uži, jakož i uži jakékoli jeho čás pro komerční účely či pro jejich

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2014, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a,

Více

Milí rodiče a prarodiče,

Milí rodiče a prarodiče, Milí rodiče a prarodiče, chcete pomoci svým dětem, aby se jim dobře počítalo se zlomky? Procvičujte s nimi. Tento text je pokračováním publikace Mami, tati, já těm zlomkům nerozumím. stupeň ZŠ, ve které

Více

1. sada. 9. ročník. 101. Šifrovací tutoriál

1. sada. 9. ročník. 101. Šifrovací tutoriál 9. ročník 1. sada 101. Šifrovací tutoriál Protože se luštitelské zkušenosti týmů velmi liší, rozhodli jsme se na začátek letošního ročníku zařadit úlohu, při které si všichni zopakují základní šifrovací

Více

Základní škola, Příbram II, Jiráskovy sady Příbram II

Základní škola, Příbram II, Jiráskovy sady Příbram II Výběr tematicky zaměřených matematických úloh pro posouzení dovedností žáků 5. ročníku při jejich zařazování do tříd se skupinami s rozšířenou výukou matematiky a informatiky 1) Pokračuj v řadách čísel:

Více

1.4.6 Negace složených výroků I

1.4.6 Negace složených výroků I 1.4.6 Negace složených výroků I Předpoklady: 010405 Pedagogická poznámka: Dlouho jsem se v počátcích své praxe snažil probrat negace za jednu hodinu. Tvorba negací je skvělým procvičováním schopnosti dodržovat

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC

Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ ŘÍJEN LISTOPAD PROSINEC Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod

Magické čtverce. Tomáš Roskovec. Úvod Magické čtverce Tomáš Roskovec Úvod Magické čtverce patří k dávným matematickým hrátkám, které i přes dvoutisíciletou historii dodnes nejsou zcela prozkoumány. Během přednášky se budeme zabývat nejprve

Více

Magtematika mini. prostorové vnímání a logika pro nejmenší. kreativní magnetická stavebnice pro radost i vzdělávání

Magtematika mini. prostorové vnímání a logika pro nejmenší. kreativní magnetická stavebnice pro radost i vzdělávání Magtematika mini prostorové vnímání a logika pro nejmenší kreativní magnetická stavebnice pro radost i vzdělávání kreativní magnetická stavebnice pro radost i vzdělávání magtematika mini prostorové vnímání

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení šablony/označení sady VY_32_INOVACE_04_M3 M 3

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení šablony/označení sady VY_32_INOVACE_04_M3 M 3 Záznamový arch Název školy: Základní škola a Mateřská škola Brno, Bosonožské nám. 44, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2499 Číslo a název šablony klíčové aktivity: III/2 Inovace

Více

Pythagorova věta

Pythagorova věta .8.19 Pythagorova věta Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu rýsuje každý žák pouze jeden bod podle toho, v jakém sedí oddělení. Př. 1: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník: a) ABC:

Více

Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Jsem-li nemocen, léčím se.

Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Jsem-li nemocen, léčím se. Příklad 1. Z uvedených možností vyberte tu, která odpovídá dané větě (je s danou větou ekvivalentní): Jsem-li nemocen, léčím se. A: Jsem nemocen nebo se léčím. B: Neléčím se nebo jsem nemocen. C: Jsem

Více

Usekne-li Honza 1 hlavu, narostou dva ocasy. Tento tah můžeme zakreslit následujícím způsobem: Usekne-li 2 hlavy, nic nenaroste.

Usekne-li Honza 1 hlavu, narostou dva ocasy. Tento tah můžeme zakreslit následujícím způsobem: Usekne-li 2 hlavy, nic nenaroste. Řešení 2. série Řešení J-I-2-1 1. krok: Číslici 2 ve třetím řádku můžeme dostat jedině násobením 5 4 = 20, 5 5 = 25. Tedy na posledním místě v prvním řádku může být číslice 4 nebo 5. Odtud máme i dvě možnosti

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

INDIÁNI NEJPRVE SI VEZMĚTE PRACOVNÍ SEŠIT K ŽIVÉ ABECEDĚ. NA INDIÁNSKÉ STRÁNCE 13 VYPRACUJTE KAŽDÝ SÁM CVIČENÍ 4.

INDIÁNI NEJPRVE SI VEZMĚTE PRACOVNÍ SEŠIT K ŽIVÉ ABECEDĚ. NA INDIÁNSKÉ STRÁNCE 13 VYPRACUJTE KAŽDÝ SÁM CVIČENÍ 4. CENTRUM ČTENÍ, TI SE MAJÍ, CELÝ DEN SI JENOM HRAJÍ. POJĎME SI HRÁT NEJEN S PÍSMENKEM I NEJPRVE SI VEZMĚTE PRACOVNÍ SEŠIT K ŽIVÉ ABECEDĚ. NA INDIÁNSKÉ STRÁNCE 13 VYPRACUJTE KAŽDÝ SÁM CVIČENÍ 4. UDĚLEJTE

Více

Cíl hry: Cílem hry je získat počet bodů, který si hráči stanoví na začátku. Body lze získat za slova složená z písmen na vylosovaných kostkách.

Cíl hry: Cílem hry je získat počet bodů, který si hráči stanoví na začátku. Body lze získat za slova složená z písmen na vylosovaných kostkách. Návod PÍSMENKOBRANÍ naučná hra ve 2 variantách - doporučený věk od 7 let - počet hráčů: 2-3 Obsah balení: 1) kostky s písmeny 25 ks 2) sáček 1 ks 3) provázky 3 ks 4) kostka s čísly 1 ks 5) poznámkový blok

Více

Výroková logika se zabývá výroky.

Výroková logika se zabývá výroky. ARIP 2 Cv. 2 Výroková logika se zabývá výroky. Výroková logika je vyjadřovací prostředek matematiky Výrok je každá dobře srozumitelná oznamovací věta, u které má smysl ptát se, zda je pravdivá nebo nepravdivá.

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

www.sifrovacikrouzek.cz (c) 2015 Pro potřeby žáků ZŠ Čerčany ŠIFROVACÍ KROUŢEK - 1. hodina

www.sifrovacikrouzek.cz (c) 2015 Pro potřeby žáků ZŠ Čerčany ŠIFROVACÍ KROUŢEK - 1. hodina ŠIFROVACÍ KROUŢEK - 1. hodina Pokud Vás zajímá I.Quest šifrovací soutěž, kterou pořádáme, více informací i šifry najdete zde. Odkazy: www.i-quest.cz Na konci roku si uděláme malou jednoduchou šifrovací

Více

Rozvoj prostorové představivosti

Rozvoj prostorové představivosti Rozvoj prostorové představivosti Rozvoj prostorové představivosti začínáme již v 1. ročníku základní školy, rozvojem vnějšní a vnitřní orientace ve čtvercové síti. Vnější orientace ve čtvercové síti je

Více

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku .7. Zápisy pomocí výrazů I Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje poměrně málo příkladů, protože se snažím, aby z ní všichni spočítali opravdové maximum. Postupujeme tedy pomalu a kontrolujeme

Více

TEST LOGIKY. Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích

TEST LOGIKY. Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích TEST LOGIKY Využitelný pro měření kompetence: řešení problémů, orientace v informacích Forma: papír - tužka Čas na administraci: max. 25 min. Časový limit: ano Vyhodnocení: ručně cca 10 minut jeden testovaný

Více

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia

MATE MATIKA. učebnice pro 2. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia MATE MATIKA učebnice pro. stupeň ZŠ a víceletá gymnázia OBSAH Zlomky 5 Rovnice Množiny 7 Jazyk písmen II 7 Rodina Mnohoúhelníky 50 Trojúhelník I Prvočísla I 5 Záporná čísla 7 Mocniny 55 Dělitelnost 0

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Kombinované úlohy - cvičení

Kombinované úlohy - cvičení DUM Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Algoritmy DUM III/2-T1-1-16 PRG-01A-var1 Téma: Kombinované úlohy cvičení Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval:

Více

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48

Matematický KLOKAN 2007 kategorie Junior (A) 8 (B) 9 (C) 11 (D) 13 (E) 15 AEF? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 48 Matematický KLOKAN 007 kategorie Junior Úlohy za 3 body 1. Lucka, Radek a David mají dohromady 30 míčů. Jestliže Radek dá 5 míčů Davidovi, David dá 4 míče Lucce a Lucka dá míče Radkovi, budou mít oba chlapci

Více

1.1.8 Sčítání přirozených čísel

1.1.8 Sčítání přirozených čísel .. Sčítání přirozených čísel Předpoklady: 000 Pedagogická poznámka: Pokud při formulaci pravidel necháváte žáky zapisovat samostatně, nedostanete se dále než k příkladu. Což využívám schválně, další hodinu

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Habermaaß-hra 4280. Nešikovná čarodějnice

Habermaaß-hra 4280. Nešikovná čarodějnice CZ Habermaaß-hra 4280 Nešikovná čarodějnice Nešikovná čarodějnice Okouzlující sledovací hra podporující rychlé rozhodování, pro 2 až 4 hráče ve věku od 5 do 99 let. Hra má FEX efekt pro zvýšení stupně

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

( ) ( ) Rozklad mnohočlenů na součin I (vytýkání) Předpoklady:

( ) ( ) Rozklad mnohočlenů na součin I (vytýkání) Předpoklady: 1.8.6 Rozklad mnohočlenů na součin I (vytýkání) Předpoklady: 010805 Pedagogická poznámka: Na začátku každé rozkládací hodiny jsou přidány příklady na opakování úprav mnohočlenů. Důvod je jediný, čtyři

Více

Zadání soutěžních úloh

Zadání soutěžních úloh Zadání soutěžních úloh Kategorie mládež Soutěž v programování 25. ročník Krajské kolo 2010/2011 15. až 16. dubna 2011 Úlohy můžete řešit v libovolném pořadí a samozřejmě je nemusíte vyřešit všechny. Za

Více

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice 7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Matematika - 1. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 1. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 1. ročník Časový Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Přípravná část Poznávání vlastností předmětů, třídění podle vlastnosti Poznávání barev, třídění podle

Více

Přehled učiva. M Matematika. Čj Český jazyk. Prv Prvouka. 1. ročník. Anglický jazyk. l číselná řada 1-5, opakování tvarů v řadě Velká Dobrá

Přehled učiva. M Matematika. Čj Český jazyk. Prv Prvouka. 1. ročník. Anglický jazyk. l číselná řada 1-5, opakování tvarů v řadě Velká Dobrá Přehled učiva 1. ročník l číselná řada 1-5, opakování tvarů v řadě Velká Dobrá l číselná řada 1-10, sčítání do 10, geometrické tvary Doksy l číselná řada 1-10, sčítání do 20 bez přechodu 10, slovní úloha

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

GP PROSTĚJOV 2012 LOGICKÉ ÚLOHY

GP PROSTĚJOV 2012 LOGICKÉ ÚLOHY GP PROSTĚJOV 01 LOGICKÉ ÚLOHY Řešitel: Body: 1. ČOKOLÁD ORION 8 bodů. SKLÁDÁNÍ PENTOMIN 8 bodů. NTIMGICKÝ ČTVEREC bodů. NŠE HORY 18 bodů 5. DĚLENÍ 8 bodů. SOUČTY ČÍSLIC 15 bodů 7. RODIN 0 bodů 8. ČESKÉ

Více

Šifrová ochrana informací historie KS4

Šifrová ochrana informací historie KS4 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací historie KS4 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova

Více

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC aneb matematikem bez nesnází Jednoduché matematické, fyzikální či chemické vzorce a rovnice můžeme zapsat poměrně snadno za pomoci znaků na klávesnici a použitím horního nebo dolního

Více

Slovníček k učebnici Tamburin 1 - pokyny v pracovním sešitě

Slovníček k učebnici Tamburin 1 - pokyny v pracovním sešitě Slovníček k učebnici Tamburin 1 - pokyny v pracovním sešitě 1. lekce Ich und du Já a ty 1. Hry Udělej šipky. 2. Hrajeme si A) Přečti a namaluj obrázek. B) vystřihni a nalep (str.65) C) vystřihni a nalep

Více

Gabriela Janská. Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz

Gabriela Janská. Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz PŘÍRUČKA KE KURZU: ZÁKLADY PRÁCE NA PC MS WORD 2003 Gabriela Janská Středočeský vzdělávací institut akademie J. A. Komenského www.sviajak.cz Obsah: 1. Písmo, velikost písma, tučně, kurzíva, podtrhnout

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

2.3 Prezentace statistických dat (statistické vyjadřovací prostředky)

2.3 Prezentace statistických dat (statistické vyjadřovací prostředky) 2.3 Prezentace statistických dat (statistické vyjadřovací prostředky) Statistika musí výsledky své práce převážně číselná data prezentovat (publikovat, zveřejňovat) jednoduše, srozumitelně a přitom výstižně.

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy 1.4.6 tavba matematiky, důkazy Předpoklady: 1401, 1404 Pedagogická poznámka: Tato hodina se velmi liší od většiny ostatních neboť jde v podstatě o přednášku. Také ji neprobíráme v prvním ročníku, ale přednáším

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast (předmět) Autor ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ CZ.1.07/1.5.00/34.0705 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT ROVNICE A NEROVNICE

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie. Najděte nejmenší možnou hodnotu výrazu x xy + y, ve kterém x a y jsou libovolná celá nezáporná čísla.. Určete, kolika způsoby lze všechny

Více

Habermaaß-hra 4973. Zvířecí pyramida: A jsme zpět!

Habermaaß-hra 4973. Zvířecí pyramida: A jsme zpět! CZ Habermaaß-hra 4973 Zvířecí pyramida: A jsme zpět! Zvířecí pyramida: A jsme zpět! Rozviklaná rotující stavěcí hra pro 2 až 4 hráče ve věku 5 99 let. Autoři: Klaus Miltenberger, Kristin Múckel Ilustrace:

Více