Verze z 17. května 2018.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Verze z 17. května 2018."

Transkript

1 Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí prvděpodobostí lezete ějkou myšleku, která se dá přímo použít k řešeí zvoleého příkldu ze sbírek [], [3] [5], se kterým si evíte rdy. N cvičeích obsžeých v tomto tetu si potom můžete ověřit, že prezetové postupy dokážete použít. Tto sbírk epochybě obshuje chyby. Kždému, kdo mě ějkou chybu jko prví upozorí, rád přidělím ějké možství bodů podle typu chyby, zákldě kterých rozhoduji o uděleí zápočtu. Odřej Pártl

2 Obsh Uzvřeí zimího semestru 4. Věty o přírůstku fukce Stejoměrá spojitost L Hospitlovo prvidlo Techiky hledáí primitiví fukce 9. Úvodí iformce Úvodí příkldy postřeh Itegrce pomocí rozděleí defiičího oboru fukce části Úvodí příkldy substituci v eurčitém itegrálu Úvodí příkldy per prtes pro eurčitý itegrál Itegrce pomocí rozkldu prciálí zlomky Itegrály typu R + b + c, d Itegrály typu +b R c+d, d Itegrály typu p + b q r d Itegrály typu R si, cos d Itegrály typu R e, e,..., e d Itegrály typu Rl d Určitý Riemův itegrál 8 3. Úvodí iformce Výpočet určitého Riemov itegrálu Výpočet ity poslouposti převodem itegrál Derivce určitého itegrálu Věty o středí hodotě itegrálu Zobecěý Riemův itegrál Úvodí iformce

3 4. Výpočet zobecěého Riemov itegrálu Vyšetřováí kovergece zobecěého Riemov itegrálu Úvodí rozcvičk Vyšetřováí kovergece itegrálu ezáporé fukce Vyšetřováí kovergece itegrálu fukcí měících zméko Několik plikcí itegrálího počtu 5 5. Obsh rovié plochy Délk křivky Objem rotčího těles Povrch rotčího těles Výpočet souřdic těžiště úsečky homogeí plochy Číselé řdy Úvodí iformce Sčítáí řd Kovergece řd s kldými čley Itegrálí kritérium kovergece řdy Srovávcí kritérium kovergece řdy Odmociové podílové kritérium kovergece řdy Rbeovo Gussovo kritérium kovergece řdy Kovergece řd s obecými čley Leibizovo, Dirichletovo Abelovo kritérium kovergece řdy Modifikové Rbeovo Gussovo kritérium kovergece řdy Uzávorkováí řdy Součiová řd Výsledky cvičeí 7 3

4 Kpitol Uzvřeí zimího semestru. Věty o přírůstku fukce Vět... Rolleov vět Nechť reálá fukce reálé proměé f splňuje ásledující podmíky:. f je defiová spojitá itervlu, b ;. f má derivci v kždém bodě itervlu, b; 3. f = fb. Potom eistuje c, b tkové, že pltí f c =. Vět... Lgrgeov vět Nechť reálá fukce reálé proměé f splňuje ásledující podmíky:. f je defiová spojitá itervlu, b ;. f má derivci v kždém bodě itervlu, b. Potom eistuje c, b tkové, že pltí Vět..3. Cuchyov vět f c = fb f. b Nechť reálé fukce reálé proměé f g splňují ásledující podmíky:. f g jsou defiové spojité itervlu, b ;. f má derivci v kždém bodě itervlu, b; 3. g má v kždém bodě itervlu, b eulovou derivci; Potom eistuje c, b tkové, že pltí f c g c = fb f gb g. 4

5 Příkld..4. Dokžte, že všechy kořey derivce polyomu p = 3 4 jsou reálé lezěte vzájem disjuktí itervly tkové, že kždý z ich obshuje právě jede koře této derivce. Pokud zdou fukci p itervly,,,,, 3 3, 4 použijeme Rolleovu větu vět.., zjistíme, že kždý z itervlů,,,,, 3 3, 4 obshuje ějký koře polyomu p. Protože tyto itervly jsou čtyři polyom p má stupeň tké čtyři eboť p má stupeň pět, jsou všechy kořey polyomu p reálé,,,,, 3 3, 4 jsou hledými itervly. Příkld..5. Dokžte, že pokud fukce f je diferecovtelá, le eí omezeá omezeém itervlu, b, potom i její derivce f eí omezeá, b. Tvrzeí dokážeme v ásledující ekvivletí podobě: Pokud f eistuje v kždém bodě omezeého itervlu, b je tomto itervlu omezeá, potom i f je, b omezeá. Budeme tedy předpokládt, že eistuje kostt L R + tková, že pro všech, b pltí f L, lezeme kosttu K R + splňující pro všech, b vzth f K. Pro teto účel defiujme pomocou kosttu y = +b pro kždé, b růzé od y ásledujícím způsobem odhděme číslo f : vět.. f = f fy + fy f fy + fy = f c y + fy L b + fy, kde c, b. Protože předchozí soustv erovostí pltí pro < y i pro > y výsledá erovost f L b + fy pltí dokoce i pro = y, můžeme defiovt K := L b + fy. Příkld..6. Dokžte, že pro všech, b R pltí erovost si b si b. Vidíme, že pro = b zdá erovost pltí. Uvžujme proto přípd b předpokládejme, že pltí příkld < b. Z Cuchyovy věty vět..3 použité fukce f = si g = dosteme cos c = si b si b pro ějké c, b. Protože pltí cos c, plye z. si b si b, tedy si b si b.. Pro > b zdou erovost dokážeme logicky. Cvičeí Cvičeí..: Dokžte, že pro všech, b R + splňující erovost < b pltí b b < l b < b.. Stejoměrá spojitost Defiice... Nechť fukce f je defiová itervlu I. Říkáme, že f je I stejoměrě spojitá, když pltí ε R + δ R +, I < δ f f < ε. 5

6 Příkld... Dokžte, že fukce si je stejoměrě spojitá R. Podle defiice.. máme ověřit pltost ásledujícího výroku: ε R + δ R +, R < δ si si < ε. Protože podle příkldu..6 pro všech, R pltí si si, stčí pro libovolě zdé ε R + volit δ = ε. Příkld..3. Dokžte, že fukce f zdá předpisem f = eí stejoměrě spojitá,. Podle defiice.. máme ověřit pltost ásledujícího výroku: ε R + δ R +,, < δ ε.. Tipěme si příkld ε = hledejme zdá čísl, pouze mezi těmi, která splňují vzth =. Při těchto předpokldech se erovosti v posledí závorce výroku. zjedoduší < δ. Odtud vidíme, že pro libovolé δ R + můžeme volit příkld = mi { δ 3, 3}, kterému odpovídá = mi { δ 3, 3}. Tyto hodoty splňují i podmíku,, v předposledí závorce výroku.. Cvičeí Cvičeí..: Pomocí vět ze sekce. dokžte, že fukce f, která má itervlu, b omezeou derivci, je, b stejoměrě spojitá..3 L Hospitlovo prvidlo Vět.3.. L Hospitlovo prvidlo Nechť reálé fukce reálé proměé f g bod b R splňují. b f = b g = ebo b g = + ;. H b H b \ {b} D f/g D f /g ; 3. eistuje b f g. Potom eistuje b f g f je rov b g. Obdobé tvrzeí můžeme vyslovit i pro itu zprv zlev. Pozámk.3.. Při výpočtu it bývá výhodé před použitím L Hospitlov prvidl zdý výrz uprvit tk, by se jeho části sději derivovly. tg π Příkld.3.3. Vypočítejte l. tg π l L H = π cos π π = cos L H π = π π si π cos π =. 6

7 + e Příkld.3.4. Vypočítejte. + e e l+ e = = l + l + L H = = Celková it je tedy e. e l+ e l + e + = l +, + =. Příkld.3.5. Vypočítejte p + e = + e p p + e, p R+ důležitá referečí it. p = + e p p =, eboť + e p L H = + p e p =. l p Příkld.3.6. Vypočítejte +, p R+ důležitá referečí it. l p l p + = l = + + p p p l L H =, eboť = + p + Příkld.3.7. Vypočítejte + p l, p R + důležitá referečí it. l + p l = + Příkld.3.8. Vypočítejte l Celková it je tedy. l l L H = Příkld.3.9. Vypočítejte + rcsi tg.. p L H = + =. p p l = l = l = l =. rcsi tg = + etg l rcsi = e + tg l rcsi, přičemž + tg l rcsi = + + Celková it je tedy e =. = + si cos } {{ } rcsi l rcsi L H = + l rcsi = + =. L H = +, přičemž p p =. rcsi 7

8 si Příkld.3.. Vypočítejte + + si. Zde L Hospitlovo prvidlo použít emůžeme, protože výrz cos +cos, který by použitím L Hospitlov prvidl vzikl, emá itu pro +. Můžeme le použít ásledující postup: si + + si = si + si + si = + + si =. Příkld.3.. Vypočítejte + + l l = Celková it je tedy e =. l l. l l + el = e + l l l, přičemž l l l = + + l l l }{{ =. } př..3.6 Cvičeí Cvičeí.3.: Ověřte, že pltí důležité referečí ity. + p =, eq l p + q = p l q =, kde p, q > opět + 8

9 Kpitol Techiky hledáí primitiví fukce. Úvodí iformce Defiice... Nechť fukce f je defiová itervlu, b, kde, b R, echť fukce F pro všech, b splňuje F = f. Potom F zýváme primitiví fukcí k fukci f, b. Pozámk... Primitiví fukce je urče s přesostí kosttu. Defiice..3. Moži všech fukcí primitivích k fukci f itervlu, b se zývá eurčitým itegrálem fukce f zčí se f či f d. Pojem vypočítt f zmeá jít ějkou fukci F f. Místo F f se typicky píše f = F. Pozámk..4. Pokud v zdáí příkldů ebude uvedeo ěco jiého, budeme k zdé fukci f vždy hledt primitiví fukci všech otevřeých itervlech přirozeého defiičího oboru fukce f. Vět..5. Fukce f defiová spojitá itervlu, b má tomto itervlu primitiví fukci. Vět..6. Nechť F je primitiví fukce k fukci f, b, G je primitiví fukce k fukci g, b α je reálé číslo. Potom pltí αf + g = αf + G. Příkld..7. Dokžte, že primitiví fukce k fukci f, která je lichá itervlu,, R +, je sudá. Nechť F je fukce primitiví k f,. Potom pro fukci ϕ defiovou vzthem ϕ = F F pltí ϕ = f f = protože f = f. Eistuje proto kostt C tková, že pltí ϕ = C pro všech,. Doszeím = do fukce ϕ zjistíme, že pltí C =, tedy F = F. Cvičeí Cvičeí..: Nechť fukce f je sudá má primitiví fukci možiě M, kde pltí M =,, R +, či M = b,, b, kde, b R +, < b. Dokžte, že k f M eistuje primitiví fukce, která je lichá. 9

10 . Úvodí příkldy postřeh Příkld... Vypočítejte d d = d = Příkld... Vypočítejte = d. + + d = Příkld..3. Vypočítejte d. 4 d + d = rctg. 5 d + d = + d = [ + ] d = + d =. Příkld..4. Vypočítejte tg d. si tg d = cos d = Příkld..5. Vypočítejte si d. protože si má derivci cos. Pozámk..6. Pmtujte si, že pltí Příkld..7. Vypočítejte protože derivce rctg cos cos d = cos d = tg. cos si d = d = 4 si, si = cos + 3 d. + 3 d = + 3 d = + Příkld..8. Vypočítejte 3 3 je. + 3 si3 si5 d. cos = + cos. 3 d = 3 3 rctg, Použitím vzorce cosα cosβ = si α+β získáme si3 si5 d = cos8 cos d = 6 si8 + 4 si. si α β 4 d

11 .3 Itegrce pomocí rozděleí defiičího oboru fukce části Příkld.3.. Vypočítejte d. Pokud se při výpočtu itegrálu omezíme pouze R + ebo R, dosteme jedoduchý tbulkový itegrál. N R ± pltí d = ± d = ± + C ±, kde C + C jsou reálé kostty, které si můžeme libovolě zvolit. Itegrcí jsme tedy získli fukci { F = + C +, >, + C, <. Aby tto fukce byl primitiví fukcí k zdé fukci celém R, musí být defiová diferecovtelá tkže i spojitá i v bodě =. Pokud defiujeme C + =, C = F =, bude ově získá fukce defiová spojitá v ule. Podle Drbouovy věty bude v ule víc i diferecovtelá, tkže bude hledou primitiví fukcí. Příkld.3.. Vypočítejte m {, } d. Podobě jko v předchozím příkldě itegrál spočítáme ejdříve itervlech, kterých se zjedoduší tbulkový. Pltí m {, } C, >, d = + C,,, C 3, <, kde C i, i =,, 3, jsou reálé kostty, které si můžeme libovolě zvolit. Fukce F, kde C, >, F = + C,,, C 3, <, bude primitiví fukcí k fukci f celém R, pokud ji dodefiujeme v bodech = ± zvolíme C i, i =,, 3, tk, by výsledá fukce byl spojitá v = ±. Podle Drbouovy věty totiž bude v těchto bodech i diferecovtelá. Zvolme příkld C =. Potom pltí F = C C = 3 F =, dosteme F spojitou v bodě =. F =. Pokud tedy defiujeme Protože zároveň pltí F = 3 +C 3 F =, dosteme volbmi C 3 = 3 F = + fukci F spojitou i v bodě =. Cvičeí Cvičeí.3.: Nechť fukce f je spojitá zároveň sudá či lichá itervlu,, R + {+ }, echť fukce ϕ je spojitá itervlu, pro všech, pltí ϕ = f. Nlezěte fukci F, která je k f primitiví celém itervlu,. V přípdě f sudé lezěte lichou primitiví fukci F.

12 .4 Úvodí příkldy substituci v eurčitém itegrálu Vět.4.. Substituce v eurčitém itegrálu Nechť fukce f ϕ splňují ásledující podmíky:. f má itervlu, b primitiví fukci F ;. ϕ je diferecovtelá itervlu α, β; 3. ϕ α, β, b. Potom F ϕ je primitiví fukce k fukci f ϕ ϕ α, β. Pozámk.4.. Větu o substituci budeme používt ásledujícími dvěm způsoby:. Předpokládejme, že máme ějkou fukci g, jejíž itegrál můžeme pst jko f ϕ ϕ, kde f má primitiví fukci F. Potom pltí g d = fϕϕ d = ft dt = F t = F ϕ. ϕ=t ϕ d=dt Ukázk postupu kokrétím příkldě: l d = l d = l =t d=dt R + {} t R {} dt = l t = l l. t. Předpokládejme, že máme fukce g ϕ tkové, že eistuje ϕ že fukce g ϕ ϕ má primitiví fukci G. Potom pltí g d = g ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d = ϕ=t ϕ d=dt = g ϕ t ϕ t dt = Gt = Gϕ, kde souči ϕ ϕ ϕ je rove jedé z věty o derivci iverzí fukce. Provedeá substituce se čsto zpisuje jko = ϕ t. Ukázk postupu kokrétím příkldě: d = =si t d=cos t dt, t π, π Pozámk.4.3. Důležitý typ substituce cos t si t dt } {{ } si t = cos t = dt = t = rcsi. f f d = dt = l t = l f. t f=t f d=dt

13 Příkld.4.4. Vypočítejte d d = d }{{ } = + =t + d= dt R t,+ + t dt = + t = + +. Příkld.4.5. Vypočítejte d. d = Příkld.4.6. Vypočítejte d = =t d= dt > t R + tg d. + t dt = rctg t = rctg. S využitím pozámky.4.3 máme Příkld.4.7. Vypočítejte si tg d = cos d = l cos. cos = si d si + cos. d si + cos = cos d tg + tg =t cos d= dt π +kπ, π +kπ, k Z t R = + t dt = rctg t = tg rctg = F +C k, kde C k je itegrčí kostt, která přísluší itervlu π + kπ, π + kπ, k Z. Fukce, kterou jsme ozčili jko F, eí defiová v bodech π + kπ, k Z. Protože pltí π +kπ π +kπ + F = π, F = π, můžeme podobým způsobem jko v sekci.3 pomocí fukce F defiovt hledou primitiví fukci ozčme ji F vzthem Příkld.4.8. Vypočítejte F = { F + kπ, π + kπ, π + kπ, k Z, π + k, = π + kπ, k Z. si cos 3 + cos d. 3

14 si cos 3 + cos d = t+ dt = dt + t + t cos =t si cos d= dt R t, = t + l + t = cos + l + cos..5 Úvodí příkldy per prtes pro eurčitý itegrál Vět.5.. Per prtes v eurčitém itegrálu Nechť fukce f g jsou diferecovtelé itervlu, b echť fukce fg má itervlu, b primitiví fukci H. Potom fukce fg H je primitiví fukce k fukci f g, b. Pozámk.5.. Podle předchozí věty pltí f g = fg fg. Pozámk.5.3. Per prtes typicky používáme tehdy, když itegrujeme souči dvou zcel růzorodých fukcí tkových, že jedé z ich se můžeme zbvit derivováím druhou umíme zitegrovt. Pozámk.5.4. Pokud Vás při pohledu zdý itegrál vůbec epdá, jkým způsobem by mohl jít spočítt, zkuste per prtes. Příkld.5.5. Vypočítejte l d. Příkld.5.6. Vypočítejte p.p. l d = l d = l f = f= g=l g = l + d. d = l. p.p. l + d = l + d = + l + f = f=+ g=l+ g = + Příkld.5.7. Vypočítejte e d. d = + l +. e p.p. d = e + f =e f= e g= g = Příkld.5.8. Vypočítejte si d. e d = e e. 4

15 si d f =si f= cos g= g = p.p. = cos + si Příkld.5.9. Vypočítejte + d p.p. = cos + + d. f = + f= + g= g = cos d f =cos f= si g= g = si d = cos + si + 4 cos. p.p. = + + přičemž jsme využili, že pltí + d = + =t d= dt R t,+ Příkld.5.. Vypočítejte 5 e 3 d. + d = rctg t dt = +. +, 5 e 3 d = te t p.p. dt = 3 3 tet 3 3 =t 3 d= dt f t=e t ft=e t R t R gt=t g t= Příkld.5.. Vypočítejte e α cosβ d, kde α, β. e t = 3 e3 3. e α cosβ d f =cosβ f= β siβ g=e α g =αe α p.p. = eα β siβ α β e α siβ d f =siβ f= β cosβ g=e α g =αe α p.p. = eα αeα siβ + β β cosβ α β e α cosβ d, kde posledí itegrál je stejý jko te, ze kterého jsme vyšli. Protože teto itegrál eistuje itegrd je fukce spojitá celém defiičím oboru, můžeme jej z předchozí rovice vyjádřit. Dosteme e α cosβ d = eα α β siβ + α cosβ. + β.6 Itegrce pomocí rozkldu prciálí zlomky Vět.6.. Nechť p q jsou eulové polyomy s reálými koeficiety tkové, že pltí st.p < st.q, echť pltí q = c α k α k α s ks + β + γ l + β + γ l + β r + γ r lr, 5

16 kde c je eulové reálé číslo, čísl α i, i =,..., s, jsou vzájem růzé reálé kořey polyomu q, dále β j γ j, j =,..., r, jsou reálá čísl tková, že výrzy + β j + γ j mjí záporý diskrimit, k i l j, i =,..., s j =,..., r, jsou přirozeá čísl. Potom eistují reálé kostty A ij, i =,..., s, j =,..., k i, B ij, C ij, i =,..., r, j =,..., l i, tkové, že pltí p q = A α + A α A k α k + A α + A α A k α k +... A sks + α s + B + C ks + β + γ + B + C + β + γ B l + C l + β + γ l + B + C + β + γ + B + C + β + γ B l + C l + β + γ l B rl r + C rlr + β r + γ r lr. Teto rozkld je ž pořdí jedotlivých čleů jedozčý. Důkz. Ukážeme pouze eisteci rozkldu, přičemž důkz povedeme idukcí podle stupě polyomu q. Pokud má q stupeň, musí mít polyom p stupeň, tkže podíl p q už je ve tvru.. Předpokládejme dále, že tvrzeí pltí pro všechy polyomy q stupě mimálě, hledejme rozkld pro polyom q stupě. Mohou stt ásledující dv přípdy:. Nechť q má reálý koře α s ásobostí k. Potom teto polyom můžeme pst ve tvru q = α k r, kde polyom r splňuje st. r = k < st. q rα. Polyom p Ar, kde A = pα rα, má potom koře α, tkže eistuje polyom p, pro který pltí p Ar = α p st. p < st. q. Pro podíl p q proto můžeme psát p q = p α k r = Ar α p α k + r α k r = A α k + p α k r, kde polyom ve jmeovteli posledího zlomku v předchozí rovosti má stupeň meší ež stupeň q zároveň větší ež stupeň p. Teto zlomek proto podle idukčího předpokldu umíme rozložit poždový tvr.. Nechť q emá reálý koře. Pokud pltí =, podíl p q už je ve tvru.. Uvžujme proto >. Předpokládejme, že polyom q má kompleí kořey λ λ s ásobostí l, kde λ λ = + β + γ, tkže jej můžeme pst ve tvru q = + β + γ l r, kde polyom r splňuje st. r = l rλ rλ. Potom můžeme jít reálé kostty B C tkové, že polyom p B + Cr má kořey λ λ cvičeí.6., díky čemuž pro ějký polyom p splňující st. p < st. q pltí p B + Cr = + β + γ p. Pro podíl p q proto můžeme psát p q = p B + Cr + β + γ l = r + β + γ l r + + β + γ p + β + γ l r B + C = + β + γ l + p + β + γ l r, kde polyom ve jmeovteli posledího zlomku v předchozí rovosti má stupeň meší ež stupeň q zároveň větší ež stupeň p. Teto zlomek proto podle idukčího předpokldu umíme rozložit poždový tvr. Pozámk.6.. Prciálí zlomky můžeme itegrovt ásledujícím způsobem: A d = A l α. α Pro j > je A α j d = A j α j. 6.

17 Pro j N pltí B + C + β + γ j d = B + β C + β + γ j d + B β + β + γ j d. Prví itegrál prvé strě můžeme spočítt pomocí substituce +β+γ = t. Co se týče druhého itegrálu, ejdříve jeho jmeovtel uprvíme + β + γ = + β + D 4 = D + β +, 4 D kde D = β 4γ je záporý diskrimit výrzu + β + γ. Dále použijeme substituci +β D = t, kterou teto itegrál převedeme ásobek itegrálu d, k N, který ozčíme jko I + k k. Pltí I k = + k d p.p. = f = f= g=+ k g = k+ k Získáváme tk rekuretí vzth Příkld.6.3. Vypočítejte + k + k + + k+ d = + k + ki k ki k+. I k+ = k + k + k k I k, kde I = rctg d. Protože polyom v čitteli itegrdu má ižší stupeň ež polyom ve jmeovteli, můžeme podle věty.6. hledt rozkld itegrdu ve tvru A + B + 5 A + 5A + B B =. + 5 Protože zlomek vprvo se musí rovt itegrdu pro všech R { 5, }, musí pro všech R pltit A B = Čísl A B proto můžeme získt porováím koeficietů u moci v rovici., tedy řešeím soustvy Z í získáváme A = B =. A + B =, 5A B = 3. Vhodou soustvu rovic pro koeficiety A B můžeme odvodit příkld tké tím, že z v rovosti. dosdíme ějká čísl tková, bychom získli co ejjedodušší soustvu rovic pro A B. Třeb čísl -5. Získáváme tedy Příkld.6.4. Vypočítejte d = + d = l d. 7

18 Protože polyom v čitteli itegrdu emá ižší stupeň ež polyom ve jmeovteli, emůžeme ihed použít větu.6.. Nejdříve proto sížíme stupeň polyomu v čitteli. Pltí = = Podle věty.6. yí můžeme rozkld lomeé fukce vprvo hledt ve tvru A + B 3 + Pro všech R proto musí pltit C A 3 + B + C 3 =. 3 A 3 + B + C 3 = Pokud do předchozí rovosti postupě dosdíme z čísl, 3, získáme A = 6, B = 8 3 C = 9. Celkový výsledek je tdy d = d = + 6 Příkld.6.5. Vypočítejte d. Protože pltí = l + 3 l 3 9 l. polyom v čitteli itegrdu má ižší stupeň ež polyom ve jmeovteli, můžeme podle věty.6. hledt rozkld itegrdu ve tvru A + + B + + C D + E. Pokud uvedeé zlomky převedeme společého jmeovtele čittel získého zlomku porováme s čittelem itegrdu, můžeme postupým doszeím čísel - z sdo spočítt, že pltí C = 4 E = 8. Hodotu koeficietu B můžeme získt třeb ásledujícím postupem: Nejdříve obě stry rovosti A + + B + + C D + vyásobíme polyomem + 3. Dosteme E = A + + B + + C + D E + 3 =..4 Pokud obě stry rovice.4 zderivujeme do rovosti derivcí z číslo dosdíme -, dosteme A + + B + = + C = = =A+ =B = D + 3 E = 3D+ D+ 3 čili B = 3 = 4. = + }{{ } = 3E+ E+ 3 4 = = }{{ } 3 =, Protože posledí dv čley levé strě rovosti.5 mjí v čitteli polyom, který má koře s ásobostí lespoň, budou i derivce těchto čleů mít koře. Pokud tedy vyčíslíme druhou derivci.5 8

19 levé prvé stry rovice.4 v bodě =, dosteme s využitím.5 vzth A =, = tedy A = 3 6. Nkoec vyásobeím rovosti.3 polyomem vyčísleím derivce levé prvé stry získé rovosti v bodě = můžeme spočítt, že pltí D = 3 6. Itegrcí prciálích zlomků získáme celkový výsledek d = 3 l Příkld.6.6. Vypočítejte 3 d. + Protože polyom v čitteli itegrdu emá ižší stupeň ež polyom ve jmeovteli, emůžeme ihed použít větu.6.. Nejdříve proto sížíme stupeň polyomu v čitteli. Pltí = = = , kde polyom + má záporý diskrimit. Rozkld posledího zlomku prciálí zlomky proto budeme podle věty.6. hledt ve tvru A + + B + C +. Koeficiety A, B C tudíž musí pro všech R splňovt rovost A + + B + + C + =. Doszeím = dosteme A = 3. Odtud porováím koeficietů u získáme B = 3 porováím koeficietů u zse C = 3. Itegrcí prvího prciálího zlomku dosteme A + d = 3 + d = l +. 3 Itegrcí druhého prciálího zlomku postupem v pozámce.6. dosteme B + C + d = d = d = 6 + d + kde + d = d = l + = 3 rctg t = 3 rctg d = d + 3 =t d= dt 3. 3 R t R = 3 + d, + t dt Celkový výsledek je tdy d = l + 6 l + + rctg

20 Příkld.6.7. Vypočítejte 4 + d. Protože polyom v čitteli itegrdu má ižší stupeň ež polyom ve jmeovteli, můžeme podle věty.6. hledt rozkld itegrdu ve tvru A + B + C 3 + D 4 + E + F +. Protože itegrd je sudá fukce, musí pro všech pltit zároveň A + B + C 3 + D 4 + E + F + = 4 + A + B C 3 + D 4 + E + F + = Sečteím těchto dvou rovic dosteme B + D 4 + F + = 4 +, 4 +. tkže pltí A = C = E = rozkld prciálí zlomky můžeme hledt z rovosti B + D 4 + F + = B + + D + + F = 4 +. Porováím koeficietů u jedotlivých moci v čittelích posledích dvou zlomků zjistíme, že pltí B =, D = F =. Výsledek je proto Příkld.6.8. Vypočítejte 4 + d = 3 + rctg d d = = d dt t + t 7 = t +t d = d d 7 =t 7 6 d= dt R {, } t R {, } + t dt = 7 l t 7 l + t = l 7 l + 7. Cvičeí Cvičeí.6.: Nlezěte kostty B C v důkzu věty Itegrály typu R + b + c, d Defiice.7.. Fukce R : R R se zývá rcioálí lomeá fukce dvou proměých, když pro všech y, z D R pltí k k i= j= Ry, z = ijy i z j k k i= j= b ijy i z,.6 j kde k N ij, b ij R pro i, j =,..., k.

21 Pozámk.7.. Itegrál R + b + c, d, kde R je rcioálí lomeá fukce dvou proměých defiice.7. kde pltí, b 4c, ásledujícími Eulerovými substitucemi převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce:. Pokud pltí >, zvedeme ovou proměou t vzthem + b + c = t ±.. Pokud pltí c >, zvedeme ovou proměou t vzthem + b + c = t ± c. 3. Pokud výrz + b + c má reálé kořey α β, zvedeme ovou proměou t vzthem + b + c = α β = t α. Zméko v prví ve druhé substituci volíme tk, jk se ám to zrov hodí. Příkld.7.3. Vypočítejte d. + d = + =sih t d=cosh t dt R t R Příkld.7.4. Vypočítejte cosh t + sih t dt = d. cosh t cosh t dt = dt = rgsih = l + +. Využijeme fkt, že itegrd je sudá fukce, primitiví fukci ejdříve jdeme pouze itervlu, +. Pro, potom primitiví fukci liše dodefiujeme podobě jko ve cvičeí.3.. Pro, + máme d = =cosh t d=sih t dt,+ t,+ sih t cosh t dt = sih t sih t dt = N itervlu, lichým dodefiováím dosteme d = rgcosh = l + = l = l +. dt = rgcosh = l Celkový výsledek je proto d = l +. Nyí stejý výsledek získáme ještě pomocí prví z Eulerových substitucí pozámk.7.. Pltí d = d = d = =t d= dt R, t,,+ = l t = l = l +. t dt Příkld.7.5. Vypočítejte d.

22 S využitím výsledku příkldu.7.4 můžeme psát d = d f = f= g= g = = d p.p. = + d d = d l +. Z předchozího řetězce rovostí vidíme, že pltí d = l +. Příkld.7.6. Vypočítejte d d = + + d = t t + dt } {{ } +=t d= dt = R t R t t t + dt + dt t +=s t dt= ds ze cvičeí.7. t R s,+ = s ds t t + + l t + t + = 3 t + 3 t t + + l t + t + = 3 Příkld.7.7. Vypočítejte + + d = + =t + d= dt = t R { } t R {} l + + d. dt = t t + sg s+ = s + ds = sg s+ z příkldu.7.3, přičemž s sg + = l sg t dt = sg t dt t + t t + t =s dt= ds t R {} s R { } + + l s + s + =... = l + +, + kde výrz zčátku posledího řádku jsme uprvili podobým způsobem jko výsledek pro itervl, v příkldě.7.4. Příkld.7.8. Vypočítejte + + d.

23 Zdý itegrál rozdělíme ásledující součet tří itegrálů: d = + + d + = + + d d d = d d d. =I =I =I 3 Pltí + I = + + d = ++=t +d= dt R t,+ t dt = t = + +, I = + + d = + + d } {{ } +=t d= dt R t R = = l , t + dt z příkldu.7.3 = l t + t + I 3 = + + d = =t d= dt R {} t R {} = sg s s + ds = sg s = sg jko v příkldě.7.7 l sg t dt = + t + t l s + s + sg t dt = + 4t + 4t = sg s sg t t + + dt } {{ } t+=s dt= ds t R {} s R {} l s + s + =... = + l , kde výrz zčátku posledího řádku jsme uprvili podobým způsobem jko výsledek pro itervl, v příkldě.7.4. Celkový výsledek je tedy I + I + I 3 = l l Příkld.7.9. Vypočítejte d. Itegrál spočítáme pomocí prví z Eulerových substitucí pozámk.7.. Pltí t d + t + = dt = jko v sekci = t + t t 3 + t 3 + t dt +++=t = t +t R { } t,,+ d= t +t+ +t dt = l t 3 l + t t, kde t =

24 Cvičeí Cvičeí.7.: V pozámce.7. byly vyjmeováy tři substituce spolu s podmíkmi, z kterých je můžeme použít. Může se stát, že jede itegrál budeme moci použít všechy tři substituce? Co když ebude splě i jed z uvedeých podmíek? Ukžte, že tyto substituce skutečě vedou itegrál rcioálí lomeé fukce. Cvičeí.7.: Techikou použitou v příkldě.7.5 vypočítejte d + d. Cvičeí.7.3: Ukžte, že itegrál +b+c d, b 4c, můžeme substitucí převést ásobek jedoho z itegrálů +t dt, t dt t dt. Cvičeí.7.4: Ukžte, že itegrál + b + c d, b 4c, můžeme substitucí převést ásobek jedoho z itegrálů + t dt, t dt t dt..8 Itegrály typu +b R c+d, d Pozámk.8.. Itegrál +b R c+d, d, kde R je rcioálí lomeá fukce dvou proměých defiice.7. pltí N d bc, substitucí +b c+d = t převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce. + 6 Příkld.8.. Vypočítejte d d = 3 Příkld.8.3. Vypočítejte + d = =t d= dt R + {} t R + {} t + t + + t + t t + t + t = dt = dt t t t t dt = t + + dt t = l t + t + 4 l t = l + 4 l. + d d = 4 d = =t = t3 + t 3 d= 6t t 3 dt R {,} t R {,} t dt = Cvičeí Cvičeí.8.: Dokžte tvrzeí v pozámce.8.. 4

25 .9 Itegrály typu p + b q r d Pozámk.9.. Itegrál p + b q r d, kde pltí p, q, r Q, b R, ásledujícími substitucemi převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce:. Pokud pltí r Z, použijeme substituci = t, kde je společý jmeovtel čísel p, q.. Pokud pltí p+ q Z, použijeme substituci + b q = t, kde je jmeovtel čísl r. 3. Pokud pltí p+ q + r Z, použijeme substituci q + b = t, kde je jmeovtel čísl r. Příkld.9.. Vypočítejte 4 d. + 4 Využijeme fkt, že itegrd je sudá fukce, primitiví fukci ejdříve lezeme pouze R + spojitě ji dodefiujeme v ule. Pomocí tkto vziklé fukce potom stejým způsobem jko ve cvičeí.3. defiujeme ovou fukci, která bude primitiví fukcí celém R. Pro R + použitím třetí ze substitucí v pozámce.9. dosteme 4 d t = + 4 t 4 dt = jko. v.. sekci....6 = t 4 = 4 + =t 4 4 d= t 3 t 4 54 dt R + t,+ kde pltí t = Fukci ϕ, kde ϕ = ψ = rctg t + 4 l t + t, =ψt, spojitě dodefiujeme v ule, tedy ϕ = + ϕ = π 4. t t 4 dt t + Pomocí této fukce ϕ už stejým způsobem jko pomocí ϕ ve cvičeí.3. defiujeme hledou primitiví fukci celém R. Protože ϕ je R {} lichá eboť ψ je,, + lichá, výsledá primitiví fukce ozčme ji F bude mít předpis { ϕ + π F = 4 sg,,, =. Cvičeí Cvičeí.9.: Dokžte tvrzeí v pozámce.9... Itegrály typu R si, cos d Pozámk... Itegrál R si, cos d, kde R je rcioálí lomeá fukce dvou proměých defiice.7., ásledujícími substitucemi převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce: 5

26 . Pokud je R lichá v proměé si, použijeme substituci cos = t. Pltí cos = t, si = t, si d = dt.. Pokud je R lichá v proměé cos, použijeme substituci si = t. Pltí si = t, cos = t, cos d = dt. 3. Pokud pltí R si, cos = Rsi, cos, použijeme substituci tg = t. Pltí tg = t, si = 4. Vždy fuguje substituce tg = t. Pltí tg = t, si = t t, cos =, d = dt, kde π +t +t +t + kπ, π + kπ, k Z. +t, cos = t +t, d = +t dt, kde π + kπ, π + kπ, k Z. Čtvrtou z uvedeých substitucí sice můžeme použít vždy, le získá rcioálí lomeá fukce bude obshovt vyšší mociy t ež fukce získé osttími substitucemi. Příkld... Vypočítejte si 3 d. si 3 d = si cos d cos =t si d= dt R t, = t dt = 3 t3 t = 3 cos3 cos. Příkld..3. Vypočítejte cos3 si 5 d. cos3 4 si cos si 5 d = si 5 Příkld..4. Vypočítejte d = } {{ } si = t cos d= dt R k Z {kπ} t,, + tg si d. t 5 4t 3 dt = 4t 4 + t = 4 si 4 + si. + tg si d = = Příkld..5. Vypočítejte cos + si cos si cos d = tg cos d + tg = t cos d= dt R k Z{k π } t R {} t dt + tg = l tg + tg. d, kde, b >, > b. + b cos cos d + b cos d = tg t = t cos = +t d= +t dt k Z π+kπ,π+kπ t R = b + b t + t dt = +t + s ds = b rctg s + C k = + b + t b dt = + b b b rctg dt b t +b + t b +b = s b +b t R s R + b tg } {{ } =ϕ +C k, dt= ds 6

27 kde C k, k Z, je kostt příslušející itervlu π + kπ, π + kπ. Hodoty všech těchto C k si můžeme libovolě zvolit. Pokud pomocí získé fukce ϕ kostt C k chceme defiovt hledou primitiví fukci, musíme ϕ dodefiovt ve všech bodech = kπ, k Z, kostty C k zvolit tk, by výsledá fukce byl spojitá celém R. Protože pltí π± = π ϕ má tedy ve všech bodech = kπ, k Z, skok b o velikosti π b F =, můžeme hledou primitiví fukci ozčme ji F defiovt příkld tkto: { ϕ + kπ, π + kπ, π + kπ, k Z, b k+π, = π + kπ, k Z. b Příkld..6. Odvoďte rekuretí vzorec pro výpočet itegrálu I = si d, N. Pro = = pltí I = d = I = si d = cos. Pro můžeme použít ásledující postup: I = si p.p. d = si cos + cos }{{ } si d = si f =si f= cos g=si g = cos si = si cos + I I. Z předchozí rovosti můžeme vyjádřit I v závislosti I. Dosteme I = si cos + I,. Cvičeí Cvičeí..: Odvoďte substitučí vzorce v pozámce.... Itegrály typu R e, e,..., e d Pozámk... Itegrál R e, e,..., e d, kde R je rcioálí lomeá fukce proměých pltí i Q, i =,...,, substitucí e p = t, kde p je společý jmeovtel čísel,...,, převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce. Cvičeí Cvičeí..: Dokžte tvrzeí v pozámce.... Itegrály typu Rl d Pozámk... Itegrál Rl d, kde R je rcioálí lomeá fukce, substitucí l = t převedeme itegrál rcioálí lomeé fukce. Cvičeí Cvičeí..: Vymyslete si vlstí substituci, která ějký etriviálí typ itegrálu převede itegrál rcioálí lomeé fukce. Tuto substituci po sobě pojmeujte. 7

28 Kpitol 3 Určitý Riemův itegrál 3. Úvodí iformce Defiice 3... Uvžujme itervl, b. Možiu bodů σ = {,,..., }, N, tkovou, že pltí = < <... < = b, zýváme rozděleím itervlu, b. Ozčme k = k k, k =,,...,. Číslo νσ = m {,..., } zýváme ormou rozděleí σ. Pro fukci f defiovou, b zýváme výrz If, σ = k= f c k k, kde čísl c k pro všech k =,..., splňují c k k, k, itegrálím součtem fukce f při rozděleí σ. Defiice 3... Nechť fukce f je defiová itervlu, b. Říkáme, že f je itegrovtelá itervlu, b, pokud eistuje číslo I R tkové, že pro libovolé ε R + eistuje δ R + tkové, že pro všech rozděleí σ itervlu, b, která splňují νσ < δ, je If, σ I < ε. Výše zmíěé číslo I R se zývá určitým Riemovým itegrálem fukce f od do b. Zčíme I = b f. Pozámk Nerovost If, σ I < ε v defiici 3.. musí být splě ezávisle kokrétí volbě čísel c k ve výrzu If, σ viz defiici 3... Defiice Pro fukci f itegrovtelou, b defiujeme b f = b f. Pro fukci f defiovou v bodě defiujeme f =. Vět Fukce mootóí fukce spojité itervlu, b mjí tomto itervlu určitý Riemův itegrál. Vět Nechť fukce f g jsou itegrovtelé itervlu, b α je reálé číslo. Potom fukce αf + g je tké itegrovtelá, b pltí b αf + g = α b f + b g. Vět Nechť fukce f je itegrovtelá itervlu, b echť pltí c, d, b. Potom f je itegrovtelá i c, d. Vět Nechť fukce f je itegrovtelá itervlech, c c, b. Potom f je itegrovtelá i, b pltí b f = c f + b c f. Vět Nechť fukce f g jsou itegrovtelé itervlu, b. Potom pltí:. Pokud pro všech, b pltí f g, potom je b f b g.. Pokud pro všech, b pltí f > g, potom je b f > b g. Vět 3... Nechť fukce f je itegrovtelá itervlu, b. Potom fukce f je tké itegrovtelá itervlu, b pltí b f b f. 8

29 Vět 3... Nechť fukce f je itegrovtelá itervlu, b fukce g vzike změou defiice fukce f v koečě moh bodech itervlu, b. Potom g je tké itegrovtelá, b pltí b f = b g. Cvičeí Cvičeí 3..: Nechť C, b je vektorový prostor všech reálých fukcí reálé proměé, které jsou defiové spojité itervlu, b, kde pro f, g C, b α R pltí f + g = f + g αf = αf. Dokžte, že předpisem f, g = b fg, kde f, g C, b, je prostoru C, b defiová sklárí souči. Cvičeí 3..: Nechť fukce f je defiová spojitá, b echť pro všechy fukce g defiové spojité, b, které splňují g = gb =, pltí b fg =. Dokžte, že f je celém, b rov ule. 3. Výpočet určitého Riemov itegrálu Vět 3... Newtoov formule pro určitý Riemův itegrál Nechť eistuje b f, kde, b R, < b, fukce F je spojitá, b diferecovtelá, b pro všech, b je F = f. Potom pltí b Vět 3... Per prtes pro určitý Riemův itegrál f = F b F zčíme = [F ] b. Nechť fukce f, g jsou spojité, b diferecovtelé, b echť eistují itegrály b f g b fg. Potom pltí b b f g = [fg] b fg. Vět Substituce v určitém Riemově itegrálu Nechť fukce ϕ je spojitá α, β diferecovtelá α, β echť fukce f je spojitá ϕ α, β. Potom pltí pokud itegrál vlevo eistuje. β α f ϕt ϕ t dt = ϕβ ϕα f d, Pozámk Při výpočtu hodoty určitého Riemov itegrálu b f pomocí substituce máme dvě možosti. Prví možostí je ejdříve jít fukci F, která je primitiví k f itervlu, b stejým způsobem jko v kpitole spojitá, b, potom dosdit do Newtoovy formule. Druhou možostí je používt větu 3..3 při kždé substituci přepočítt meze itegrálu. Příkld Vypočítejte l e d. l e d e =t =lt + d= t +t dt = t=, =l t= = t t + dt = t + t + dt = [t] [rctg t] = π. 9

30 Příkld Vypočítejte d. d } {{ } =si t d=cos t dt = t=, = t= π 6 Příkld Vypočítejte π = π 6 si cos d. π cos t cos t cos t dt = 6 cos t dt = [tg t] π 6 =. 3 Příkld Vypočítejte π π si cos d = si =t cos d= dt = t=, =π t= d + cos. t dt =. Itegrál spočítáme pomocí substituce tg = t. Nejdříve všk zdůrzěme, že epltí π d + cos d tg =t d= +t dt = t=, =π t= = ějká fukce dt = itegrál má stejé meze, protože uvžovou substituci emůžeme použít pro = π. Budeme proto postupovt tk, že zdý itegrál ejdříve pomocí věty 3..8 rozdělíme itegrál od do π od π do π. N kždém z itervlů, π π, π potom k zdému itegrdu lezeme primitiví fukci, kterou ásledě spojitě dodefiujeme v bodě π. Výsledé fukce dosdíme do Newtoovy formule. N, π π, π pltí d + cos d tg =t d= = +t dt, π π,π t,+, Protože je dt + t + = +t dt + t = ϕ = π π ±, defiujeme hledé primitiví fukce předpisy F = F = { ϕ,, π, π, = π, { ϕ, π, π, π, = π. Podle věty 3..8 potom s použitím Newtoovy formule dosteme π π d vět cos = d π + cos + π dt = tg rctg. + t =ϕ d π π + cos = F F + F π F = π + π = π. 3

31 Příkld Vypočítejte e e l d. N zdý itegrál emůžeme přímo použít itegrci per prtes, protože fukce v itegrdu emá derivci v bodě =. Můžeme le s použitím věty 3..8 postupovt tkto: e e l d Příkld 3... Vypočítejte vět 3..8 = e l d + e příkld.5.5 = [ l ] + [] e e + l d = e l d + e + [ l ] e []e = e l d. l [] d, kde [] zčí dolí celou část čísl pltí N. Protože itegrujeme fukci, která je kosttí itervlech k, k +, k N, rozdělíme pomocí věty 3..8 obor itegrce itervly k, k +, k N. N kždém z těchto itervlů potom použijeme větu 3... Dosteme + l [] d vět 3..8 = k= Příkld 3... Vypočítejte k+ k 3 l [] d vět 3.. = k= k+ k l k d = l k k= k+ k d = [ sg ] d, kde [] zčí dolí celou část čísl. l k = l!. Předpis itegrové fukce můžeme částech itervlu, 3 ásledujícím způsobem zjedodušit:,,,,,, [ sg ] =, =, 3,, 3. S využitím vět proto dosteme 3 [ sg ] d vět 3..8 = vět 3.. = [ sg ] d + d + d + 3 [ sg ] d d = [kost.] + [ Příkld 3... Dokžte, že pro kždou fukci f, která je spojitá,, pltí f d = ] k= [ sg ] d [ 3 + ] 3 = 6. f d. 3. Protože grfy fukcí ϕ ψ, kde ϕ = ψ =, jsou itervlu, osově souměré podle přímky =, jsou, podle stejé osy souměré i grfy itegrdů ve vzthu 3.. Obsh plochy mezi grfem itegrdu pro, osou je proto pro ob itegrdy stejý. Podle věty 5.. tudíž rovost 3. pltí. Zdou rovost ještě dokážeme jiým způsobem, to tk, že pomocí substituce itegrál levé strě převedeme itegrál prvé strě. Pltí f d = = t d= dt = t=, = t= f t dt = f t dt = t=s dt= ds t= s=, t= s= 3 f s ds.

32 3.3 Výpočet ity poslouposti převodem itegrál Vět Zákldí vět itegrálího počtu Nechť fukce f je defiová itervlu, b. Potom b f eistuje právě tehdy, když pro kždou po- rozděleí itervlu, b tkovou, že pltí ν σ =, je posloupost If, σ + + = sloupost σ + = kovergetí viz defiici 3... V přípdě eistece b f má kždá výše zmíěá posloupost If, σ + = itu b f. Příkld Vypočítejte Zdou itu spočítáme pomocí věty Pltí = k= k. Pokud podle defiice 3.. ozčíme =, b =, k = k, k =, f = c k = k, dosteme podle věty 3.3. Příkld Vypočítejte = si π + + si π + k= k = si π [ d = Zdou itu spočítáme pomocí věty Pltí si π π si = si π π si + si π = π. ] =. kπ π si. Pokud podle defiice 3.. ozčíme =, b = π, k = kπ, k = π, f = si c k = k, dosteme podle věty 3.3. si π π kπ π si = si + + π = π si d = π π [ cos ]π = π. Příkld Vypočítejte π si + k= Zdou itu spočítáme pomocí věty Pltí π si + k= k= + cos. kπ + cos = kπ + si π π k= k= + cos π kπ. 3. Pokud podle defiice 3.. ozčíme =, b = π, k = kπ, k = π, f = +cos c k = k, dosteme z rovosti 3. věty 3.3. π si + + cos = kπ k= + k= + cos kπ π π = příkld..5 d = + cos π 3. Cvičeí Cvičeí 3.3.: Nechť fukce f je itegrovtelá itervlu β, β + α, α R +, β R. Pomocí věty 3.3. ukžte, že pltí αk + β f α β+α α + = f d = fβ + d. k= β 3

33 3.4 Derivce určitého itegrálu Vět Nechť fukce f je itegrovtelá itervlu, b. Potom fukce F = f je spojitá, b v bodech, b spojitosti fukce f eistuje F pltí F = f. Pozámk Ze vzorce pro derivci složeé fukce plye ásledující vzorec pro derivci itegrálu: d d Příkld Vypočítejte d d b b ft dt = b fb f. rctg t dt, Podle pozámky 3.4. či věty 3.4. pltí d d d db d d b b b Příkld Vypočítejte d d Podle pozámky 3.4. pltí d d d db b rctg t dt, d d b rctg t dt. rctg t dt = meze itegrálu eobshují, rctg t dt = rctg b v horí mezi itegrálu je b, rctg t dt = d d l l Příkld Vypočítejte d d + t dt, d d b d d l e 3 e t rctg t dt = rctg. e 3 e t dt, d d l t + t dt = + l, d dt = 3e3 e =, d e3 e t cos s ds dt = l sil cos s ds =. cost dt. cos s ds dt. K výpočtu derivce emůžeme ihed použít větu 3.4. či pozámku 3.4., protože itegrd obshuje. Nejdříve proto z itegrdu odstríme. Pltí d d Příkld Vypočítejte cost dt t=s dt= ds t= s=, t= s= l t + dt L H si = si t dt = d d l t + dt si si t dt. cos s ds pozámk 3.4. = cos. l 4 + cos si si = l si si si 4 si =. Cvičeí Cvičeí 3.4.: Vypočítejte e s ds dt. Nejdříve z itegrdu vějšího itegrálu substitucí odstrňte. l+ t 33

34 3.5 Věty o středí hodotě itegrálu Vět vět o středí hodotě Nechť fukce f g jsou defiové itervlu, b, f je itegrovtelá ezáporá itervlu, b fg je itegrovtelá, b. Potom eistuje číslo µ if,b g, sup,b g tkové, že pltí b fg = µ b f. Pokud je fukce g víc spojitá, b, potom eistuje c, b tkové, že pltí b fg = gc b f. Vět vět o středí hodotě Nechť fukce f, g jsou defiové itegrovtelé, b echť g je mootóí, b. Potom eistuje číslo ξ, b tkové, že pltí b ξ b fg = g f + gb f. ξ Pozámk Vhodou změou defiice fukce g v ěkterém z bodů b můžeme ve větě 3.5. dostt jedodušší vzth pro b fg viz větu 3... ε e Příkld Vypočítejte ε + ε si d. K výpočtu použijeme. větu o středí hodotě, ve které zvolíme f = e g = si. Fukce f je ezáporá fukce g je pro libovolé ε R + spojitá itervlu ε, ε. Pro kždé pevě zvoleé ε R + proto podle věty 3.5. eistuje číslo c = cε ε, ε tím zdůrzňujeme, že c závisí ε tkové, že pltí ε ε e vět 3.5. si d = si cε cε ε ε e d = si cε cε [e ] ε ε si cε = e ε e ε ε +. cε V závěrečém výpočtu ity jsme využili fkt, že číslo c splňuje erovosti ε cε ε, tkže pltí ε + cε =. Nyí zdou itu spočítáme ještě pomocí. věty o středí hodotě. Zvolme f = g = e si. Protože fukce g je pro dosttečě mlá ε R + součiem dvou fukcí, které jsou ostře rostoucí ezáporé itervlu ε, ε, můžeme fukci g ve větě 3.5. pro kždé pevě zvoleé ε defiovt předpisem {, = ε, g = g, ε, ε. Podle vět proto pro kždé pevě zvoleé ε eistuje číslo ξ = ξε ε, ε tkové, že pltí ε e ε ξε vět 3.. vět 3.5. ε si d = fg d = ε ε ε d + eε siε ξε d ε = e ε ε + siε l. ξε N předchozím řádku jsme využili to, že máme ε ξε,. +p si Příkld Vypočítejte d, p N. + Nejdříve itu spočítáme pomocí. věty o středí hodotě. Zvolme f = g = si. Pro kždou pevě zvoleou dvojici čísel p podle věty 3.5. eistuje číslo c = c, p, + p tkové, že pltí +p si +p vět p + d = sic, p d = sic, p l. 34

35 Nyí zdou itu spočítáme ještě pomocí. věty o středí hodotě. Zvolme f = si g =. Protože fukce g je ostře klesjící ezáporá R +, můžeme fukci g ve větě 3.5. pro kždou pevě zvoleou dvojici čísel p defiovt předpisem { g,, + p, g =, = + p. Podle vět pro kždou pevě zvoleou dvojici čísel p eistuje číslo ξ = ξ, p, + p tkové, že pltí +p si +p vět 3.. vět 3.5. ξ,p +p d = fg d = si d + si d ξ,p = cosξ, p + cos +. Cvičeí Cvičeí 3.5.: Vypočítejte l+ t e s ds dt pomocí věty 3.5. i pomocí věty Cvičeí 3.5.: Vypočítejte ε ε 3 d, to pomocí věty 3.5., b pomocí věty 3.5., c pomocí + věty 3.4., d pouze pomocí věty o itě sevřeé fukce. 35

36 Kpitol 4 Zobecěý Riemův itegrál 4. Úvodí iformce Defiice 4... Nechť R b R, < b, echť pro kždé, b eistuje určitý Riemův itegrál f. Pokud eistuje koečá it b itegrálem fukce f od do b. Používáme zčeí b Pokud eeistuje koečá it b eeistuje či diverguje. f, zýváme tuto itu zobecěým Riemovým f = b f říkáme, že b f eistuje či koverguje. f, říkáme, že zobecěý Riemův itegrál fukce f od do b Pokud pro všech, b eistuje určitý Riemův itegrál f, le b f jko určitý Riemův itegrál eeistuje, zýváme bod b kritickým bodem. Podobě zobecěý Riemův itegrál defiujeme v přípdě, že pltí R b R, < b, určitý Riemův itegrál b f eistuje pro všech, b. Pozámk 4... Defiice 4.. rozšiřuje defiici itegrálu přípdy, kdy f itervlu od do b eí omezeá ebo itervl od do b eí omezeý. Při rozšiřováí určitého Riemov itegrálu f,, b, itegrál b f mohou stt ásledující situce:. b. b 3. b f eeistuje. Npříkld + cos t dt = f eistuje, le eí reálá. Npříkld + f eistuje je reálá. Npříkld [si + t] = si. + dt = + [t] = = +. + [ ] 3 3 dt = t t 3 = 3 3 = 3. Ve třetím z předchozích přípdů říkáme, že b f eistuje. V osttích říkáme, že b f eeistuje. 36

37 Defiice Nechť, b R, < b. Pokud eistují čísl,,..., R, N, tková, že pltí = < <... < = b pro všech k =,..., eistuje zobecěý Riemův itegrál k k f ve smyslu defiice 4.., říkáme, že zobecěý Riemův itegrál b f koverguje či eistuje, defiujeme b f = k= k k f. V opčém přípdě říkáme, že zobecěý Riemův itegrál b f diverguje či eeistuje. Vět Nechť eistují zobecěé Riemovy itegrály b f b g. Potom pltí:. Pro kždé α R eistuje itegrál b αf + g pltí b αf + g = α b f + b g.. Pro kždé c, b eistují itegrály c f b c f pltí b f = c f + b c f. 3. Pokud pro všech, b pltí f g, potom je b f b g. 4. Výpočet zobecěého Riemov itegrálu Vět 4... Newtoov formule pro zobecěý Riemův itegrál Nechť R b R, < b, echť pro kždé, b eistuje určitý Riemův itegrál f. Nechť dále F je primitiví fukce k f itervlu, b eistuje koečá it F. Potom pltí + b f = F F ozčeí = [F ] b b, + pokud lespoň jed z it b F b f viz defiici 4.. eistuje. Vět 4... Per prtes pro zobecěý Riemův itegrál Nechť R b R, < b, echť pro kždé, b eistují určité Riemovy itegrály f g fg echť dále eistuje koečá it b fg. Potom pltí b b f g = [fg] b fg, pokud lespoň jed z it b f g b fg viz defiici 4.. eistuje. Vět Substituce v zobecěém Riemově itegrálu Nechť α R β R, α < β, echť fukce ϕ je ostře mootóí má spojitou derivci α, β echť f je spojitá ϕ α, β. Potom pltí β α f ϕ ϕ = β ϕ pokud lespoň jed z it β α f ϕ ϕ β ϕ f viz defiici 4.. eistuje. ϕα Pozámk Vidíme, že věty 4.., můžeme použít i tehdy, když ěkterý z objektů b f, b f g, b fg, β α f ϕ ϕ β ϕ ϕα f je rove + či tedy eí zobecěým Riemovým itegrálem. Příkld Vypočítejte + ϕα d ukázk výzmu defiic f, 37

38 Nejdříve zdůrzěme, že epltí + d = t d = t + t t + [ ] t t = t + =. Zobecěý Riemův itegrál je defiová jiým způsobem viz defiice Vidíme, že zdý itegrál eeistuje jko určitý Riemův kvůli tomu, že v obou jeho mezích je ekoečo. Podle defiice 4..3 itegrál + d koverguje, pokud eistuje číslo R tkové, že itegrály d + d eistují ve smyslu defiice 4... Itegrál + d smozřejmě můžeme rozdělit více itegrálů ež dv, le vždy pouze dv z ich budou mít ějký kritický bod viz defiici 4.. osttí budou eistovt jko určité Riemovy. Rozděleí větší počet itegrálů je proto v tomto přípdě zbytečé. Vzhledem k úvze v předchozím odstvci říkáme, že itegrál + d má dv kritické body, sice +. Podle defiice 4.. pro libovolé R pltí + d = t t + d = t + [ ] t t = t + = +, tkže itegrál + d ezávisle zvoleém R eeistuje. Podle defiice 4..3 proto zdý itegrál diverguje. Příkld Vypočítejte + d ukázk výzmu defiic Při výpočtu budeme postupovt stejým způsobem jko v předchozím příkldě Podle defiice 4..3 itegrál + d koverguje, pokud eistuje číslo R tkové, že itegrály + d + + eistují ve smyslu defiice 4... Podle defiice 4.. pro libovolé R pltí + d = + t + d = + t Ob dv itegrály proto eistuje pltí + Příkld Vypočítejte t t d + + d = π. + d = + [rctg t + ]t = d = + [rctg t ] t = l d. rctg t rctg = π rctg, t + rctg rctg t = rctg + π t. + d + d tedy eistují pro libovolě zvoleé R. Zdý itegrál Zdý itegrál má jede kritický bod ulu, který je zároveň krjím bodem itegrčího oboru. Itegrál proto emusíme dělit ve smyslu defiice Výpočtem pomocí věty 4.. dosteme Příkld Vypočítejte p.p. l d = [ l ] d = l l [] =. + f = f= = g=l g = + d, R {}. e + 38

39 Zdý itegrál má jede kritický bod, to +. Můžeme tedy pomocí věty 4..3 rovou počítt + + e + d + = + t dt = + t dt = [ t l t + t + e + =t e =t d= t t dt = l + l =... = + + l + +. ] + + Příkld Vypočítejte d, α R důležitý referečí itegrál. α Pro α = má zdý itegrál jede kritický bod, to ulu. Pltí d = [l ] t t + = l t + l t = +. Pro α má zdý itegrál ejvýše jede kritický bod ulu pro α < eistuje jko určitý Riemův. Pltí [ ] { d = α t + α α = t α α t α +, α >, = t + α, α <. Vidíme tedy, že pro α < pltí Příkld 4... Vypočítejte + d = α α Zdý itegrál má jede kritický bod, to +. Pro α = pltí + pro α zdý itegrál eeistuje. d, α R důležitý referečí itegrál. α d = [l t + ]t = l t l = +. t + Pro α pltí + [ ] t { α d = t + α α = α t + t α α = α, α >, +, α <. Vidíme tedy, že pro α > pltí + d = α α = α pro α zdý itegrál eeistuje. 4.3 Vyšetřováí kovergece zobecěého Riemov itegrálu Tto sekce ukzuje použití ěkterých techik, pomocí kterých můžeme rozhodout, jestli zdý itegrál b f koverguje, iž bychom se jej museli pokoušet počítt. Doporučuji Vám, byste si při čteí této sekce ejdříve zkusili úvodí rozcvičku Úvodí rozcvičk Při vyšetřováí kovergece itegrálu se čsto používá techik, při které k zdé fukci f bodu f hledáme fukci g, která má co ejjedodušší předpis pro kterou je ějké vhodé číslo. Stejá g techik se používá i při vyšetřováí kovergece řd viz kpitolu 6. Nejdříve si proto zmíěé hledáí fukce g ěkolik příkldech vyzkoušíme. 39

40 Příkld Pro zdou fukci f, bod směr přibližováí s {+, } k bodu lezěte co ejjedodušší fukci g ve tvru g = αβ γ δ f, kde α, β, γ, δ R, pro kterou pltí s g =.. f = si, =, s = +. si Pokud zvolíme g =, máme + =. l. f = si + tg, =, s = +. Protože pltí l si + tg si l + tg = + + l + tg můžeme fukci g zvolit jko g =. 3. f =, =, s = +. l + tg tg Protože pltí + = = = můžeme fukci g zvolit jko g =. Fukci g můžeme hledt příkld tké ásledujícím způsobem: αβ γ δ + } {{ } pro β=γ, δ> můžeme použít větu.3. L H při β=γ, δ> = + + tg = +, = + αβ δ δ δ = αβ δ δ pro δ= + δ = +, αβ. Limitu tedy dosteme příkld tehdy, když zvolíme α = Dostáváme tk stejou fukci g jko výše. β = z čehož plye γ =. 4. f = si, =, s = +. Protože počítáme itu v ule, hledá fukce g bude mít tvr g = α δ, α. Pltí + si α δ = α + si δ+ si = α + L H pro δ = α cos + δ + δ+ si δ+ si L H pro δ = α + = α + si δ+ si δ=, α= 6 δ + δ + δ =. Protože pro α = 6 δ = předchozí soustv rovostí pltí, můžeme fukci g zvolit jko g = f = , = +, s = Protože pltí = můžeme fukci g zvolit jko g = = +,

41 6. f = rccotg p, p R, = +, s =. Protože pltí + rccotg p = + p rccotg p můžeme fukci g pro libovolé p zvolit jko g = p. p p } {{ } p = + p, Cvičeí V ásledujících cvičeích pro zdou fukci f, bod směr přibližováí s {+, } k bodu lezěte co ejjedodušší fukci g ve tvru g = αβ γ δ, kde α, β, γ, δ R, pro kterou pltí s f g =. Cvičeí 4.3..: f =, =, s = Cvičeí 4.3..: f = lcos, =, s = +. Cvičeí : f = rctg, = +, s =. Cvičeí : f = rctg π, = +, s =. Cvičeí : f = sih cos, = π, s =. Cvičeí : f = tg l +, =, s = Cvičeí : f = 4, =, s = p + Cvičeí : f = l, p R, = +, s =. + Cvičeí : f = 6 p, p N, = +, s =. ++3 Cvičeí 4.3..: f = cos p, p R, = π 4, s = +. Cvičeí 4.3..: f = rccos Cvičeí 4.3..: f = si si + Cvičeí : f =, =, s =. e t dt, =, s = +., = +, s = Vyšetřováí kovergece itegrálu ezáporé fukce Vět Srovávcí kritérium Nechť R b R, < b, echť fukce f g pro všech, b splňují f g echť pro kždé, b eistují určité Riemovy itegrály f, g. Potom pltí:. Když b g koverguje, potom b f koverguje.. Když b f diverguje, potom b g diverguje. Vět Srovávcí kritérium ití verze Nechť R b R, < b, echť fukce f je ezáporá fukce g kldá, b. Nechť pro kždé, b eistují určité Riemovy itegrály f, f g eistuje it = L. Potom pltí: b g 4

42 . Když je L < + zároveň b g koverguje, potom b f koverguje.. Když je L > zároveň b g diverguje, potom b f diverguje. 3. Když je L, +, potom b g koverguje právě tehdy, když koverguje b f. Pozámk O používáí itího tvru srovávcího kritéri Předpokládejme, že chceme rozhodout o kovergeci itegrálu b f, kde pltí, b R, < b b f = +. Zároveň víme, že pro libovolé, b eistuje f jko určitý Riemův itegrál. Itegrál b f budeme při používáí kritéri většiou srovávt s itegrálem b d, 4. b α který pro α < koverguje, jik diverguje což můžeme ověřit přímým výpočtem ebo tím, že ho substitucí b = t přičteím kostty převedeme itegrál v příkldu Všiměte si, že itegrd itegrálu 4. je speciálím přípdem fukce g v sekci Pokud tedy v kritériu zvolíme jko fukci g itegrd itegrálu 4., budeme počítt itu ozčme ji L fb α = L. 4. b Nyí zvážíme, jestli můžeme hodotu prmetru α zvolit tk, by pltilo L, +. V tkovém přípdě můžeme usuzovt kovergeci i divergeci itegrálu b f podle toho, jestli koverguje, ebo diverguje b g. To se hodí v přípdech, kdy fukce f závisí ějkém prmetru. Pokud tkové α volit elze, můžeme se ho pokusit tipout tk, by pltilo L < + zároveň itegrál 4. kovergovl. V tkovém přípdě můžeme usuzovt pouze kovergeci b f. Pokud prmetr α elze volit předchozími dvěm způsoby, můžeme jeho hodotu zkusit tipout tk, by pltilo L > zároveň itegrál 4. divergovl. V tkovém přípdě můžeme usuzovt pouze divergeci itegrálu b f. V průběhu výpočtu ity 4. je velmi vhodé celý souči postupě zjedodušovt použitím věty o ritmetice it podobě jko v sekci Obdobě budeme postupovt i v přípdech, kdy itegrál b f bude vypdt jik ež v předchozích odstvcích. Pokud příkld bude pltit b = +, budeme srovávt s itegrálem + α d, který pro α > koverguje, jik diverguje viz příkld 4... Pokud kritickým bodem itegrálu b f ebude b, le R, budeme srovávt s itegrálem b Příkld Vyšetřete kovergeci itegrálu α d. d. Zdý itegrál má jediý kritický bod, sice jedičku. Postupujme přesě podle pozámky Protože pltí =, b =, budeme srovávt s itegrálem 4. ve tvru d. Limit 4. potom bude α α α = + = + α = α = L. 4

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.

Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie 7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS , Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

8.3.1 Pojem limita posloupnosti

8.3.1 Pojem limita posloupnosti .3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY MOCNINNÉ ŘADY - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Kteři Bábíčková Přírodovědá studi, Mtemtická studi Vedoucí

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e

M a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana

Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více