Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
|
|
- Hana Pavlíková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek není jednoznačně určen jeho podmínkami), je to však právě jeden z prvků známé množiny výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Náhodný jev Náhodným jevem (stručněji jevem) nazýváme skutečnost, která je výsledkem pokusu. Prvky základního prostoru (tj. možné výsledky náhodného pokusu) se nazývají elementární jevy ( E1, E2, E3,...). Tedy: každá podmnožina základního prostoru se nazývá náhodný jev (značíme,,...), přičemž prázdná podmnožina se nazývá jev nemožný, označujeme a celý základní prostor jev jistý, označujeme I (nebo ). Operace s jevy Podjev Jev je částí jevu, jestliže s každým nastoupením jevu nastane i jev. Zavádíme označení. jev padnutí lichého čísla jev padnutí čísla menšího než šest platí
2 Součet jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů,. Zavádíme označení C = +. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev + padnutí některého z čísel 1,2,3,4,6 Součin jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastanou oba jevy současně. Zavádíme označení C =.. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev padnutí některého z čísel 2,4
3 Rozdíl jevů, Jev, který nastane právě tehdy, když nastane jev a nenastane jev. Zavádíme označení C =. jev padnutí sudého čísla jev padnutí čísla menšího než pět jev padnutí čísla 6 Jev opačný Jevem opačným k jevu nazýváme jev =. jev padnutí sudého čísla jev padnutí lichého čísla Neslučitelné jevy Náhodné jevy se nazývají neslučitelné (disjunktní), jestliže platí =. Jevy 1, 2, 3,..., n tvoří systém neslučitelných jevů, je-li i j = pro všechna i j. Tento systém se nazývá úplný, je-li n = I =.
4 Jevové pole a je množina všech různých podmnožin základního prostoru těmto podmínkám: - I leží v a, - leží-li jev v a, pak rovněž leží v a, - leží-li jevy, v a, pak + a rovněž leží v a., která vyhovuje Pravděpodobnost Reálnou funkci P, která přiřazuje každému jevu z nazveme pravděpodobnost, platí-li (i) P ( ) 0 pro všechna a (ii) P ( ) = 1 P ( ) (iii) P ( ) = P ( ) + P ( ) + P ( ) +..., kde jevy,,,... jsou po dvou neslučitelné a přiřazuje reálné číslo P() Z předcházející definice se dají odvodit další vlastnosti pravděpodobnosti: (iv) PI ( ) = 1, P( ) = 0 (v) 0 P ( ) 1 (vi) P( ) P( ) (vii) P ( + ) = P ( ) + P ( ) P ( ) Klasická definice pravděpodobnosti Geometrická definice pravděpodobnosti Statistická definice pravděpodobnosti Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost uskutečnění jevu za předpokladu, že nastal jev, se zapisuje P ( / ) a nazývá se podmíněná pravděpodobnost. Je rovna: P ( ) (viii) P ( / ) = P ( ) Poznámka: Vzorec (vii) zapisujeme často ve tvaru P ( ) = P ( / P) ) (. S ohledem na komutativnost součinu jevů můžeme také psát P ( ) = P ( / P) ) (. : Dva dělníci vyrábějí stejný druh výrobků. První vyrábí 60 % a druhý 40 % denní produkce. Mezi výrobky prvního je 10 % zmetků a u druhého 5 % zmetků. Z produkce určitého dne vybereme náhodně jeden výrobek. Určete pravěpodbnost toho, že vybraný výrobek je a) zmetek vyrobený prvním dělníkem, b) zmetek vyrobený druhým dělníkem, c) zmetek.
5 Řešení: Označme jevy Podle podmínek zadání platí: ( ) 0,6 P=, byl vybrán výrobek prvního dělníka, byl vybrán výrobek druhého dělníka, byl vybrán zmetek. P= ( ) 0,4, P ( / = ) 0,1, P ( / = ) 0,05. ad a) P ( ) = P ( / P ) ( ) = 0,1.0,6= 0,06 ad b) P ( ) = P ( / P ) ( ) = 0,05.0,4 = 0,02 ad c) Platí = + (byl vybrán zmetek vyrobený prvním dělníkem nebo byl vybrán zmetek vyrobený druhým dělníkem) Jevy a jsou neslučitelné (disjunktní), tedy P ( ) = P ( + ) = P ( ) + P ( ) = 0,06 + 0,02 = 0,08 Nezávislé jevy Dva jevy, se nazývají nezávislé, jestliže p-st jednoho z nich nezávisí na tom, zda se druhý jev uskutečnil či neuskutečnil, tj. platí-li P ( / ) = P ( ) popř. P ( / ) = P ( ). Také jevy, z nichž jeden má p-st rovnu nule, se nazývají nezávislé. Věta: Dva jevy, jsou nezávislé právě tehdy, když P ( ) = PP) ( ) (. Nezávislé pokusy Často se stává, že náhodný pokus, jehož výsledkem je jev, opakujeme n krát po sobě, aniž při tom měníme systém podmínek. Dále předpokládejme, že pokusy jsou na sobě nezávislé, takže p-st výsledku každého z těchto pokusů nezávisí na tom, jaké výsledky nastaly (resp. nastanou) u ostatních pokusů. Taková série pokusů se obvykle nazývá ernoulliho posloupnost nezávislých pokusů. Věta: Má-li jev při každém pokusu stejnou p-st P ( ) = p, pak p-st Pk ( ), že se jev v ernoulliho posloupnosti n nezávislých pokusů uskuteční právě k krát, je dána vzorcem n k n k Pk ( ) = p (1 p). k
6 Závislé pokusy Mějme soubor N prvků, z nichž M má jistou vlastnost. Vybereme náhodně n prvků, přičemž vybrané prvky nevracíme. Jaká je p-st jevu, že mezi vybranými je právě k prvků takových, že mají sledovanou vlastnost. N.. počet všech prvků M. počet těch, které mají sledovanou vlastnost N M... počet těch, které nemají sledovanou vlastnost n počet vybraných k počet vybraných, které mají sledovanou vlastnost n k... počet vybraných, které nemají sledovanou vlastnost N... počet případů možných n M.. počet možností jak vybrat k prvků, které mají sledovanou vlastnost k N M počet možností jak vybrat n k prvků, které nemají sledovanou vlastnost n k M N M počet případů příznivých k n k M N M k n k hledaná p-st P ( ) = N n
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Více(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.
Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k
VíceTeorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePermutační grupy Cykly a transpozice Aplikace. Permutace. Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17
Permutace Rostislav Horčík: Y01DMA 11. května 2010: Permutace 1/17 Motivace Permutace jsou důležitou částí matematiky viz použití v pravděpodobnosti, algebře (např. determinanty) a mnoho dalších. Jsou
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více