I. MECHANIKA 8. Pružnost

Transkript

1 . MECHANKA 8. Pružnost

2 Obsah Zobcněný Hookův zákon. ntrprtac invariantů. Rozklad tnzorů na izotropní část a dviátor. Křivka dformac. Základní úloha tori pružnosti. Elmntární Hookův zákon pro jdnoosý tah. Youngův modul pružnosti v tahu. Smyk. Modul pružnosti v smyku. Všstranný tlak. Objmová pružnost. orz. Průhyb trámku.

3 Základní pojmy nauky o pružnosti rologi stanovní souvislosti mzi napětím buzným v kontinuu vnějšími silami a dformacmi rsp. rychlostí dformac, ktré tato napětí vyvolají lastické látky (napětí ~ dformac) linární závislost Hookův (Hookův) zákon izotropní klasická tori pružnosti anizotropní nlinární závislost kapaliny (napětí ~ rychlost dformac) linární závislost Nwtonův viskózní zákon (nwtonovské kapaliny) nlinární nnwtonovské kapaliny viskolastické látky kombinac lastické látky a viskózní kapaliny klasická tori pružnosti linární vztahy mzi napětím a dformací izotropních lastických látk

4 Zobcněný Hookův zákon vztah mzi napětím a dformací lastické látky C... njobcnější tvar Hookova zákona kl kl C kl... lastické koficinty, v homognní látc všud stjné a kl... tnzory C kl... tnzor 4. řádu (8 složk) symtri: a kl... symtrické tnzory - jn 6 nzávislých složk 9x9 6x6 kontrakc indxů,,, 4, 5, 6 matic 6x6 a Cabb... nrgtické úvahy tnzor C ab symtrický Cab Cba složk v případě systému s njmnším možným počtm symtrií (trojklonná krystalografická soustava) další symtri snižují počt nzávislých koficintů jdnoklonná soustava koficintů kubická soustava koficinty izotropní látka lastické koficinty 4

5 Zob. Hookův zákon pro izotropní látku 5 a... Laméovy koficinty.... invariant tnzoru malých dformací při použití kontrahovaných indxů lz zapsat v maticovém tvaru:

6 Význam. invariantu tnzoru dformací l l vím, ž l l l ) a analogicky l l ) a l l ) ( ( ( l l l l l l V ( ( ( ) ) V ) l l l lll( V )( )( ) ( ) ( ) malé v ličiny v y ššíchřádů zandbám nboli V V V V takž V závěr:. invariant tnzoru malých dformací j rovn rlativní změně objmu nboli tzv. objmové dformaci 6

7 Jak funguj zobcněný Hookův zákon? rozklad tnzoru dformac izotropní část jn diagonální složky izotropní část ( ) ( d ) dv iátor konstantu volím /, aby platilo jdnak smykové úhly nulové v všch směrch stjná dformac (izotropní dformac) o rlativní prodloužní o o rlativní změna objmu o. invariant izotropní části rovn. invariantu tnzoru ( i ) popisuj objmovou změnu bz změny tvaru lmntu kontinua 7

8 Jak funguj zobcněný Hookův zákon? rozklad tnzoru dformac izotropní část ( ) ( d ) dv iátor konstantu volím /, aby zárovň platilo dviátor. invariant dviátoru rlativní objmová změna nulová úhly smyku obcně nnulové tvar lmntu s dformací mění popisuj tvarovou dformaci odpovídající tnzoru 8

9 Jak funguj zobcněný Hookův zákon? analogicky rozložím tnzor napětí izotropní část ( ) ( d ) dv iátor izotropní část na plošc s normálou i j vktor napětí i j j i vktor napětí má směr normály k plošc a vlikost napětí j čistý tlak p (pro ) nbo čistý izotropní tah p (pro má zobcněný tlak p zápornou hodnotu) dviátor ( d ) přdstavuj obcné smykové napětí nmusí jít o čisté smykové napětí, protož diagonální lmnty nutně nmusí být nulové, jn j nulový jjich součt 9

10 Co z přdchozího rozboru plyn? nabízí s přdstava, ž izotropní části tnzoru napětí a tnzoru dformac by měly být úměrné K o pak totiž pro všchny nnulové složky dostávám stjnou rovnici mzi prvními invarianty obou tnzorů K o to přdstavuj linární závislost rlativní změny objmu lmntu kontinua na čistém tlaku/izotropním tahu, ktrá j v souladu s pozorováním na řadě látk v případě dviátorů s jví také rozumným přdpokládat, ž mzi nimi platí úměrnost K ( d ) ( d ) o vím, ž pro čistou smykovou dformaci v rovině kolmé k třtí souřadnicové os s úhlm smyku má tnzor dformac nnulovou jn složku o pak ( d ) ( i) ( d ) K K K, což opět v souladu s řadou pozorování znamná, ž úhl smyku j úměrný smykovému napětí

11 Formulac Hookova zákona izotropní linárně lastická látka, ktrá oběma matriálovým úměrnostm vyhovuj, s nazývá hookovská látka nbo klasická lastická látka po dosazní do clkového tnzoru napětí dostanm zobcněný Hookův zákon pro izotropní látku charaktrizovaný dvěma konstantami ( d ) K K ( d ) K K ( ) ( K K K ) jdnoduchou substitucí dostanm známější tvar

12 Křivka dformac graf závislosti napětí na prodloužní stroj řídí dformaci a měří napětí A - mz úměrnosti potud platí Hookův zákon B - mz pružnosti odtud s látka vrátí do stavu přd dformací C přtržní vzorku oblast B-C zd matriál plasticky tč závislost njn na dformaci, al i na rychlosti dformac pokud mz úměrnosti tak nízká, ž nlz stanovit nlinární chování nhookovská látka

13 Základní úloha tori pružnosti najít napětí a dformaci v každém bodě tělsa, znám-li rozložní dformac nbo napětí na jho povrchu přdpokládám, ž izotropní hookovské tělso j v rovnováz objmové síly (vnější) pokládám za známé rovnic rovnováhy kontinua ji Gi x Hookův zákon, kd u u i j x j xi clkm 9 rovnic pro 9 nznámých funkcí u x ) a x ) j i ( l ( l pro jdnoznačné řšní nutno zadat okrajové podmínky, tj. hodnoty funkcí na okrajích tělsa (oblast řšní) základní úlohy jsou dána posunutí u x ) na povrchu tělsa i ( l j známo rozložní napětí i x ) ( l na povrchu tělsa při získávání xprimntálních dat j důlžitý Saint-Vnantův princip

14 Vzork namáhaný tahm zandbává s vlastní tíha vzorku - objmová síla nulová ji rovnic rovnováhy kontinua x ( konstantní v clém vzorku xl ) j normála na horní podstavě (,, ) napětí na horní podstavě ( F S,,) normála na dolní podstavě (,, ) napětí na dolní podstavě ( F S,,) okrajové podmínky i j 4

15 Vzork namáhaný tahm 5 pro horní podstavu platí S F pro dolní podstavu platí S F v obou případch tdy vychází S F

16 Vzork namáhaný tahm v libovolně vybraném bodě na válcové ploš má vktor normály nulovou první složku, druhé dvě musí splňovat vztah (aspoň jdna nnulová) napětí na povrchu pláště j nulové v každém bodě musí platit platí pro všchny body, pokud dosazní do Hookova zákona F S () () () (4) (5) (6) 6

17 Poissonův poměr F S dosazní do Hookova zákona řádky (4) až (6) odčtním () a () dosadit za. invariant do () ( ) vztah mzi, a ( ) záporná hodnota a znamná, ž v směrch kolmých k směru tahu dochází k rlativnímu zkrácní Poissonův poměr P ( ) () () () (4) (5) (6) 7

18 Elmntární Hookův zákon pro tah Poissonův poměr P ( ) pro nstlačitlný matriál pro stlačitlný matriál pro běžné matriály 4 P P P. invariant pak bud ( ) dosadit za. invariant do () F ( ) S připomňm l l l l l takž F S ( ) P l l 8

19 Elmntární Hookův zákon pro tah takž F S ( ) l l běžně s uvádí Hookův zákon v lmntárním tvaru pro jdnoosý tah kd E j Youngův modul pružnosti l l E F S porovnáním vyjádřní pomocí Laméových koficintů E ( ) 9

20 Smyk kvádr v smyku tčné napětí působí na lvou a pravou stěnu normálové vktory (,,) (,,) (,,) pro pravou stěnu S F pro lvou stěnu platí S F v obou případch tdy vychází S F

21 Smyk kvůli symtrii tnzoru napětí musí na obou podstavách také působit tčné napětí podl přdpisu F S na plochách rovnoběžných s nákrsnou musí být kvůli symtrii tčná napětí nulová a normálové s naplikuj dosazní do Hookova zákona F S () () () (4) (5) (6)

22 Elmntární Hookův zákon pro smyk dosazní do Hookova zákona F S (5) a (6) (), () a () pro úhl smyku platí F takž S běžně s uvádí Hookův zákon v lmntárním tvaru pro smyk v tvaru kd G j modul pružnosti v smyku (modul torz) porovnáním vyjádřní pomocí Laméových koficintů (pozor na záměnu s hustotou objmové síly G nbo jjími složkami G ) i G () () () (4) (5) (6) F G S

23 Všstranný tlak vzork pod všstranným tlakm p p p dosazní do Hookova zákona (4) až (6) pomocí (), () a () připomňm pak pro objmovou pružnost K platí porovnáním V V V V V V V V V p p K K () () () (4) (5) (6) p

24 orz tyč 4

25 Průhyb trámku nosník uložný na dvou oporách průhyb d působním síly F na nosník délky l, šíř a a výšky b F l d 4Eab 5