STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3"

Transkript

1 STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3

2 Základní předměty vyučované na katedrě mechaniky a jejich vzájemná vazba SM1, SM2 - výpočet reakcí na staticky určitých konstrukcích, výpočet průběhů vnitřních sil na staticky určitých konstrukcích základní předpoklad - konstrukce nebo její část (části) se chová jako tuhý prvek (nedeformuje se) základní metody řešení - podmínky rovnováhy, podmínky ekvivalence. Připomeňme, že podmínky rovnováhy bylo možno odvodit užitím Principu virtuálních posunutí - obecný princip rovnováhy průřezové (A, I y, S y ) a materiálové (E, G, ν) charakteristiky se ve výpočtu neuplatnily PRPE - analýza napjatosti a přetvoření (Clebschova metoda) prutů základní předpoklad - znalost průběhů vnitřních sil a průřezových a materiálových charakteristik základní metody řešení - podmínky rovnováhy, energetické metody - Ritzova metoda SM3 - výpočet přetvoření a vnitřních sil na staticky neurčitých konstrukcích základní předpoklad - znalost průběhů vnitřních sil na staticky určitých konstrukcích a také průřezových a materiálových charakteristik základní metody řešení - podmínky rovnováhy, deformační podmínky (např. podmínky spojitosti), Princip virtuálních posunutí, Princip virtuálních sil

3 Náplň předmětu SM3 Přetvoření prutových konstrukcí - výpočet užitím principu virtuálních sil Analýza staticky neurčitých konstrukcí - výpočet reakcí, průběhů vnitřních sil a přetvoření Metody řešení Silová metoda - Princip virtuálních sil Deformační metoda - Princip virtuálních posunutí

4 TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] - TENSOR NAPĚTÍ Pokud je těleso namáho pouze povrchovým a objemovým silovým zatížením (momentové zatížení není uvažováno), pak z momentových podmnínek rovnováhy vyplývá, že tensor napětí je symetrický - věta o vzájemnosti smykových napětí [σ] = σ x τ xy τ xz τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z (1) (2)

5 Obecně 9 složek pole deformace lze uspořádat do matice [3x3] - TENSOR DEFORMACE ε x ε xy ε xz [ε] = ε xy ε y ε yz (3) ε xz ε yz ε z Pozn. Složky tensoru, podobně jako složky vektoru, závísí na volbě souřadnicového systému. Transformační vztah pro vektory Mějme dva souřadnicové systémy x, y, z a x, y, z a materiálový bod P o souřadnicích {x P } = {x P, y P, z P } T. Vyjádření bodu P v pootočených souřadnicích x, y, z obdržíme aplikací transformační matice [T] ve tvaru Obddobně transformujeme vektor (tensor 1. řádu) posunutí {x P } = [T] {x P } (4) {u} = [T] {u} (5) Transformační vztah pro tensory - připomeňme transformaci tensoru setrvačnosti Říkáme, že matice [A] typu [3x3] je tensor 2. řádu, pokud se její složky transformují podle následujícího transformačního vztahu [A] = [T] [A] [T] T (6) Pozn. - transformační matice [T] je matice ortogonální, neboť platí [T] 1 = [T] T.

6 Vektorová representace tensoru napětí a deformace Vzhledem k symetrii tensorů napětí a deformace lze tyto veličiny přepsat do vektoru ve tvaru {σ} = { σ xx σ yy σ zz τ yz τ zx τ xy } T (7) Pozn. - poznamenejme, že {ε} = { ε xx ε yy ε zz γ yz γ zx γ xy } T (8) γ xy = 2ε xy. Hustota potenciální energie deformace W (ε), respektive komplementární energie W (σ) W (ε) {σ} = {ε} {ε} = W (σ) {σ} W = 1 2 ({ε} {ε }) T [D] ({ε} {ε }) (9) W = 1 2 {σ}t [C] {σ} + {ε } T {σ} (1) kde matice [D] (obecně [6x6]) je materiálová matice tuhosti. Vzhledem ke vztahu (9) lze ukázat, že matice tuhosti [D] = [C] 1 je symetrická. Matici [C] nazýváme maticí poddajnosti.

7 Platí {σ} = [D] ({ε} {ε }) (11) {ε} = [C] {σ} + {ε } (12) {σ} T {ε} = W (ε) + W (σ) (13) REDUKCE DIMENZE Z POHLEDU NAPJATOSTI Dvourozměrný problém - 2D Problém rovinné napjatosti - stěny, desky Problém rovinné deformace - náspy, tunely, přehrady, stavební jámy Osově souměrný problém - kruhové základy nebo pilotové základy, chladicí věže Jednorozměrný problém - 1D - prutové konstrukce

8 PROBLÉM ROVINNÉ NAPJATOSTI Stěnový problém Základní předpoklad - a, b >> h σ z = τ xz = τ yz = Výsledný tensor napětí [σ] = σ x τ xy τ xy σ y (14)

9 Příklad přehrady, sypané hráze PROBLÉM ROVINNÉ DEFORMACE Základní předpoklad - a, h << b ε z = ε xz = ε yz = Výsledný tensor napětí [σ] = σ x τ xy τ xy σ y σ z (15) Poznámka - z Hookeova zákona plyne, že σ z = ν(σ x + σ y ) (16)

10 JEDNOROZMĚRNÝ PROBLÉM Nosník Základní předpoklad - b, h << L Výsledný tensor napětí [σ] = σ x τ xy τ xz τ xy τ xz (17)

11 ZÁKLADNÍ ROVNICE TEORIE PRUŽNOSTI Operátorová matice [ ] [ ] = Deformační varianta teorie pružnosti x z y y z x z y x (18) kde [D] je matice materiálové tuhosti, {X} je vektor objemových sil a {ε } je vektor počátečních deformací. Statické okrajové podmínky {p} = [n] {σ} (19) Matice složek jednotkové normály [n] n x n z n y [n] = n y n z n x (2) n z n y n x

12 PRICIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ Principy virtuálních prací 1. Princip virtuálních posunů 2. Princip virtuálních sil Okrajové podmínky kinematické okrajové podmínky předepsané na hranici Γ u : {u} {u} = {} statické okrajové podmínky předepsané na hranici Γ p : {p} [n] {σ} = {}

13 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH POSUNů - obecný princip rovnováhy Základní předpoklady: geometrické rovnice a kinematické okrajové podmínky jsou splněny přesně (v každém bodě tělesa), zatímco podmínky rovnováhy (Cauchyho rovnice uvnitř tělesa Ω a statické okrajové podmínky na Γ p jsou splněny v průměru s určitou vahou. Matematicky lze tento předpoklad vyjádřit ve tvaru: {δu} T ([ ] {σ} + {X}) dω + {δu} T ( [n] {σ} + {p}) dγ = (21) Γ p Ω kde virtuální posuny {δu} musí splňovat geometrické okrajové podmínky na Γ u a geometrické rovnice uvnitř tělesa Ω {δu} = {} na Γ u, {δε} = [ ] {δu} unvnitř Ω Greenův teorem - integrace per partes: 1. integrace v 1D: L u(x) v(x) dx = [uv] L L u(x)v(x) dx 2. integrace v 3D: Ω {u(x, y, z)}t [ ] }{{} {ε} T {σ(x, y, z)} dω = Princip virtuálních posunů Užitím Greenova teoremu lze rovnici (21) převést na tvar {δε} T {σ} dω = {δu} T {X} dω + {δu} T {p} dγ Ω Ω Γ }{{}}{{ p } virtualni prace vnitrnich sil virtualni prace vnejsich sil kde {p} = {p(x, y, z)} Γ {u}t [n] {σ} dγ Ω {u}t [ ] {σ} dω (22)

14 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - obecný princip spojitosti Základní předpoklady: podmínky rovnováhy (Cauchyho rovnice uvnitř tělesa) Ω a statcické okrajové podmínky na Γ p jsou splněny přesně (v každém bodě tělesa), zatímco geometrické rovnice a kinematické okrajové podmínky jsou splněny v průměru s určitou vahou. Matematicky lze tento předpoklad vyjádřit ve tvaru: {δσ} T ({ε} [ ] T {u}) dω + Ω {δp} T ({u} {u}) dγ = Γ u (23) kde virtuální stavy {δσ} a {δp} nesmí narušovat rovnováhu uvnitř tělesa Ω. Položíme-li {δx} = {} uvnitř Ω a {δp} = {} na Γ p, pak musí platit [n] {δσ} = {} na Γ p, [ ] {δσ} = {} unvnitř Ω Princip virtuálních sil Užitím Greenova teoremu lze rovnici (23) převést na tvar {δσ} T {ε} dω = {δp} T {u} dγ Ω Γ }{{} u }{{} [n]{σ} komplementarni virtualni prace vnitrnich sil }{{} komplementarni virtualni prace vnejsich sil (24)

15 PRICIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ - NOSNÍKOVÝ PRVEK Pracovní diagram - 1D Předpoklad: 1. Volíme hlavní centrální souřadnicovou soustavu s počátkem v těžišti průřezu 2. Rovina zatížení obsahuje rovinu xz ohyb v rovině xz nenulové vnitřní síly - N, M y, Q z 3. Osa y je osou symetrie τ xy =, nebo zanedbáme zkosení v rovině xy γ xy = τ xy = Gγ xy = Fyzikální rovnice σ = E(ε ε ) ε = σ E + ε (25) τ xz = Gγ xz (26)

16 Vztah mezi napětím a vnitřními silami σ = N A + M y I y z (27) τ xz = Q zs y (z) I y b(z) (28) Ohýbaný, tažený/tlačený prut bez vlivu smyku (Bernoulli-Navierova hypotéza) Bernoulli-Navierova hypotéza - průřez rovinný a kolmý na střednici prutu před deformací zůstává rovinný a kolmý na střednici prutu i po deformaci

17 Vztah mezi vnitřními silami a přetvořením N = EA du dx N M y = EI y d 2 w dx 2 M kde N, M představují vliv teploty Připomeňme důsledek Bernoulli-Navierovy hypotézy N = Eα T da (29) A M = Eα T z da (3) u(x, z) = u (x) dw(x) z w = w(x) (31) dx γ xz = u z + w x = dw dx + dw dx = (32) Hustoty energie a virtuální práce [J/m 3 ] Hustota potenciální energie deformace - W = 1 2 σ(ε ε ) = 1 2 E(ε ε ) 2 Hustota komplementární energie - W = 1 2 σε + σε = 1 σ 2 2 E + σε Hustota virtuální práce vnitřních sil - δw = W ε δε = E(ε ε )δε Hustota virtuální komplementární práce vnitřních sil - δw = W ( σ ) σ δσ = E + ε δσ A

18 Energie a virtuální práce [J] Virtuální práce vnitřních sil Energie vnitřních sil δe i = δe i = E i = E i = Ω Ω δw dω = E(ε ε )δε dω (33) Ω ( σ δw dω = ) E + ε δσ dω (34) W dω = 1 Ω 2 W dω = Počáteční deformace - vliv teploty: ε = αt Ω Ω Ω Ω E(ε ε ) 2 dω (35) ( ) 1 σ 2 2 E + σε dω (36) Nerovnoměrné ohřátí/ochlazení: T = T (z) T (z) = T + T z h

19 Ohýbaný, tažený/tlačený prut s vlivem smyku (Mindlinova hypotéza) Mindlinova hypotéza - průřez rovinný a kolmý na střednici prutu před deformací zůstává rovinný i po deformaci, ne však již kolmý na deformovanou střednici prutu Fyzikální rovnice pro smyk γ = ϕ y + dw (37) dx τ = κgγ (38)

20 kde součinitel κ plyne z rovnosti prací skutečných napětí a zprůměrovaných napětí. Připomeňme rovnice (26) a (28). Pak platí: A τ xz γ xz da = Q2 z A GI 2 y τγ da = τγa = Q2 z κga Poznamenejme, že v rovnivi (4) jsme uplatnili vztahy A S 2 y(z) da (39) b 2 (z) (4) τ = Q z A γ = τ κg = Q z κga (41) Porovnonáním výrazů (39) a (4) nakonec dostaneme κ = U obdélníkového průřezu je κ = 5/6 A A I 2 y S 2 y(z) b 2 (z) da (42)

21 Hustoty energie a měrné virtuální práce s vlivem smyku [J/m 3 ] Hustota práce vnitřních sil W = 1 2 E(ε ε ) κgγ2 (43) W = 1 σ 2 2 E + σε τ 2 κg (44) Hustota virtuální práce vnitřních sil δw = E(ε ε )δε + κgγδγ (45) ( σ δw = ) E + ε δσ + τ δτ (46) κg Energie a virtuální práce s vlivem smyku [J] Virtuální práce vnitřních sil Energie vnitřních sil δe i = δe i = E i = 1 2 Ei = Ω Ω [E(ε ε )δε + κgγδγ] dω (47) [( σ E + ε ) δσ + τ κg δτ ] dω (48) [ E(ε ε ) 2 + κgγ 2] dω (49) Ω [ ( 1 σ 2 2 E + τ ) ] 2 + σε dω (5) κg Ω

22 SOUHRN Prutový prvek Diferenciální podmínky rovnováhy na prutu m y = dn dx = f x (51) dq z dx = f z (52) dm y dx = Q z (53) d 2 M y dx 2 = f z (54)

23 SOUHRN - pokračování Napětí a deformace Virtuální napětí a deformace σ = N A + M y I y z (55) τ = Q z A (56) ɛ = du dx + dϕ y dx z = u + ϕ yz (57) γ = ϕ y + dw dx = ϕ y + w (58) ( ε = αt = α T + T z ) (59) h δσ = δn A + δm y I y z (6) δτ = δq z A (61) δɛ = δ du dx + δ dϕ y dx z = δu + δϕ yz (62) δγ = δϕ y + δ dw dx = δϕ y + δw (63) δε = (64)

24 SOUHRN - pokračování Vnitřní síly - výslednice napětí Vnitřní síly - fyzikální rovnice N = M y = Q z = A A A σ da (65) σz da (66) τ xz da (67) N = EA du dx N (68) M y = d 2 w EI y dx M 2 bez vlivu smyku (69) dϕ y M y = EI y dx M s vlivem smyku (7) ( Q z = κga ϕ y + dw ) s vlivem smyku (71) dx }{{} γ

25 SOUHRN - pokračování Přetvoření du dx Virtuální přetvoření = N + N EA ϕ y + dw dx = Q z κga d 2 w δ du dx = M y + M dx 2 EI y dϕ y dx bez vlivu smyku ϕ y = dw dx (72) (73) (74) = M y + M EI y s vlivem smyku (75) = δn EA δ(ϕ y + dw dx ) = δq z κga δ d2 w dx 2 = δm y EI y bez vlivu smyku δϕ y = δ dw dx (76) (77) (78) δ dϕ y = δm y s vlivem smyku (79) dx EI y δn = δm = virtualni hodnota predepsane veliciny = (8)

26 PRICIP VIRTUÁLNÍCH SIL tažený/tlačený a ohýbaný prut s vlivem smyku Připomeňme rovnici (24), která říká, že komplentární virtuální práce sil vnitřních je rovna komplementární virtuání práci sil vnějších, tj. δe i = δe e (81) Postupným dosazením z rovnic (55), (56), (6), (61) a (59) do rovnice (48) dostaneme L { {[ ( 1 N δei = A E A + M ) ( y z + α T + T z ) ] [ δn I y h A + δm ] y z + Q } z δq z I y κga A (82) Po roznásobení jednotlivých členů v rovnici (82) a integraci po průřezu obrdžíme δe i = L ( αt + N ) δn + EA }{{} du dx (72) ( My + α T ) δm y + EI y h }{{} dϕy dx (75) Q z δq z } κga {{} γ=ϕ y+ dw dx (73) dx (83) Poznamenejme, že obdobný výsledek bychom dostali variací komplementární energie vnitřních sil, rovnice (5). Pokud by byl průřez namáhán také krouticím momentem M x, bylo by nutné rozšířit rovnici (83) o člen M x GI k δm x kde I k je moment tuhosti ve volném kroucení } da dx

27 Předepsané posuny PRICIP VIRTUÁLNÍCH SIL - pokračování Komplementární virtuální práce vnějších sil: práce virtuálních sil (reakcí) na předepsaných posunech δee = δrww i i + δrϕϕ i i y (84) i i Poznámka: z rovnice (84) je zřejmé, že pokud jsou předepsané posuny rovny nule, tak komplementární virtuální práce vnějších sil je také rovna nule. Spojením rovnic (81), (83) a (84) na závěr dostaneme L = i {( αt + N ) ( My δn + + α T ) δm y + Q } z EA EI y h κga δq z dx δr i ww i + i δr i ϕϕ i y (85)

28 PRICIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ tažený/tlačený a ohýbaný prut s vlivem smyku Připomeňme rovnici (24), která říká, že virtuální práce sil vnitřních je rovna virtuání práci sil vnějších, tj. δe i = δe e (86) Postupným dosazením z rovnic (57), (58), (59), (57), (58) do rovnice (47) dostaneme δe i = [E(ε ε )δε + κgγδγ] dω = Ω { [ ( E(u + ϕ yz)(δu + δϕ yz) Eα T + T ) L A h z (δu + δϕ yz) ] } + κg(ϕ y + w )(δϕ y + δw ) da dx (87) Integrací rovnice (87) po průřezu a s uvážením, že statický moment k ose y, S y je nulový (těžišťová osa), dostaneme M N L {}} {{}}{ δe i = (EAu EAαT ) δu + (EI }{{} y ϕ y EI y α T h ) δϕ y }{{} N (68) M y (7) + κga(ϕ y + w )(δϕ }{{} y + δw ) dx (88) Q z (71)

29 PRICIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ - pokračování Poznamenejme, že obdobný výsledek bychom dostali variací energie vnitřních sil, rovnice (49). Pokud by byl průřez namáhán také kroutícím momentem M x, bylo by nutné rozšířit rovnici (88) o člen GI k θ δθ }{{} M x kde I k je moment tuhosti ve volném kroucení a θ je relativní úhel zkroucení. Prutový prvek Virtuální práce vnějších sil: práce předepsaného zatížení na virtuálních posunech ( δe e = f x δu + f z δw ) dx L + R N δu + R NL δu L + R Q δw + R QL δw L + R M δϕ y + R ML δϕ L y (89)

30 PRICIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ - pokračování Pro obecně třídimensionální těleso jsme si ukázali, že princip virtuálních posunutí (rovnice (22)) lze odvodit jako vážený průměr Cauchyho podmínek rovnováhy a statických okrajových podmínek předepsaných na části hranice Γ p (rovnice (21)). Princip virtuálních posunutí lze tedy nazývat obecným principem rovnováhy. Zde tento postup využijeme pro odvození principu virtuálních posunutí aplikovaného na prutový prvek. Pro případ prutového prvku využijeme rovnice (51)-(53) společně s rovnicemi (68)-(71) (poznamenejme, že spojitá zatížení f x, f z zde plní funkci objemových sil) a rovnici (21) přepíšeme do tvaru (vliv teplotních účinků pro jednoduchost neuvažujeme N = M = ) = L { (EAu + f x )δu + [κga(ϕ y + w ) + f z ]δw } + [EI y ϕ y κga(ϕ + w )]δϕ y dx (9) V dalším kroku budeme postupně jednotllivé členy v rovnici (9) integrovat per partes. Připomeňme L u(x) v(x) dx = [uv] L L u(x)v(x) dx

31 Prutový prvek PRICIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ - pokračování L L EAu δu dx = [EAu δu ] L L EAu δu dx (91) L κga(ϕ y + w )δw dx = [κga(ϕ y + w )δw] L L [EI y ϕ y κga(ϕ y + w )]δϕ y dx = [EI y ϕ yδϕ y ] L κga(ϕ y + w )δw dx (92) L [EI y ϕ yδϕ y + κga(ϕ + w )δϕ y ] dx (93) S ohledem na obrázek můžeme hraniční členy v rovnicích (91)- (93) vyjádřit ve tvaru [ ] L EAu δu = N δu + N L δu L = R N δu + R NL δu L (94) [ ] L κga(ϕ y + w )δw = Q δw + Q L δw L = R Q δw + R QL δw L (95) [ ] L EI y ϕ yδϕ y = M y δϕ y + M yl δϕ L y = R M δϕ y + R ML δϕ L y (96)

32 PRICIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ - pokračování Spojením rovnic (9)- (96) nakonec dostaneme = L { } EAu δu + EI y ϕ yδϕ y + κga(ϕ y + w )(δϕ y + δw ) dx } {{ } δe i virtualni prace vnitrnich sil ( f x δu + f z δw ) dx + L R N δu + R NL δu L + R Q δw + R QL δw L + R M δϕ y + R ML δϕ L y }{{} δe e virtualni prace vnejsich sil (97) Tím jsme ukázali, že princip virtuálních posunutí je skutečně obecným principem rovnováhy

33 KOMPLEMENTÁRNÍ VIRTUÁLNÍCH PRÁCE VNITŘNÍCH SIL veličina vystupující v principu virtuálních sil PVs SOUHRN Komplementární virtuální práce vnitřních sil vyjádřená ve složkách napětí [( σ δei = ) E + ε δσ + τ ] κg δτ dω (98) Ω Komplementární virtuální práce vnitřních sil vyjádřená ve složkách vnitřních sil L {( δei = αt + N ) ( My δn + + α T ) δm y + Q } z EA EI y h κga δq z dx (99)

34 VIRTUÁLNÍCH PRÁCE VNITŘNÍCH SIL veličina vystupující v principu virtuálních posunutí PVp SOUHRN Virtuální práce vnitřních sil vyjádřená ve složkách deformací vztažených k materiálovému bodu δe i = [E(ε ε )δε + κgγδγ] dω (1) Ω Virtuální práce vnitřních sil vyjádřená ve složkách deformací vztažených k průřezu prutu L { δe i = (EAu EAαT )δu + (EI y ϕ y EI y α T h )δϕ y } + κga(ϕ y + w )(δϕ y + δw ) dx (11)

35 PRICIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ - SUMMARY Na závěr porovnejme oba výrazy pro virtuální práci vnitřních sil (88) a komplementární virtuální práci vnitřních sil (83) Virtuální práce vnitřních sil: práce skutečných sil na virtuálních přetvořeních L δe i = (EAu EAαT ) δu + (EI }{{} y ϕ y EI y α T h ) δϕy }{{} N M y + κga(ϕ y + w )(δϕ }{{} y + δw ) Q z dx (12) Komplementární virtuální práce vnitřních sil: práce virtuálních sil na skutečných přetvořeních δe i = L ( αt + N ) δn + EA }{{} u ( My + α T ) δm y + EI y h }{{} ϕ y Q z κga }{{} ϕ y+w δq z dx(13)

36 Příklady staticky a kinematicky přípustných virtuálních stavů Příklady staticky přípustných silových virtuálních stavů Připomeňme, že staticky přípustné virtuální silové stavy jsou takové, které vyhovují podmínkám rovnováhy spojitý nosník - přiklad 2x staticky neurčité konstrukce Oba stavy jsou staticky přípustné, neboť příslušné vnitřní síly jsou v rovnováze s předepsaným silovým zatížením. Uvažované staticky přípustné silové stavy však nemají žádnou vazbu na skutečné přetvoření kontsrukce.

37 1x staticky neurčitý příhradový nosník Předpokládané rozložení vnitřních sil je opět v obou případech staticky přípustné, neboť vyhovuje podmínkám rovnováhy. Přetvoření vázaná na předpokládané silové stavy však nemusí odpovídat skutečnému přetvoření a může vyvolat nespojitosti konstrukce. Z těchto dvou příkladů je zřejmé, že v případě staticky neurčitých konstrukcí můžeme definovat nekonečně mnoho takovýchto silových stavů.

38 Příklady staticky a kinematicky přípustných virtuálních stavů - pokračování Příklady kinematicky přípustných virtuálních stavů přetvoření Připomeňme, že kinematicky přípustná virtuální přetvoření jsou taková, která nenarušují vnitřní vazby v tělese. Kinematicky přípustné pole posunutí vyhovuje geometrickým rovnicím. Prostý nosník

39 1x staticky neurčitý příhradový nosník Poznamenejme, že kinemacky přípustné pole posunutí (přetvoření) nemusí mít žádnou vazbu na skutečné rozložení vnitřních sil. Jinými slovy, silový stav odpovídající kinematicky přípustnému stavu přetvoření nemusí být v rovnováze s vnějším zatížením

40 Příklad užití principu virtuálních sil pro určení přetvoření staticky určité konstrukce Připomeňme, že princip virtuálních sil dává do rovnováhy práce virtuálních sil na skutečných přetvořeních. Pro určení geometrických vztahů je tedy nutno uvažovat skutečný stav přetvoření. Virtuální silový stav však může být zvolen celkem libovolně (musí být ovšem rovnovážný), tak aby nám co nejvíce vyhovoval. Př. 1 Uvažujte idealizovaný nosník. Určete pootočení v bodě B odpovídající posunu.

41 Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru δe i = δe e δm }{{} δp L 4 θ = δp θ = 4 L Př. 2 Uvažujte idealizovaný příhradový nosník. Určete vodorovnou a svislou složku posunutí bodu C v důsledku předepsaného protažení jednotlivých prutů. Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru δei = δee 1..73δP δP.2 = δp V V =.177 [in] 2..74δP.1.91δP.2 = δp H H =.18 [in]

42 Příklad užití principu virtuálních posunutí - formulace podmínek rovnováhy kinematická metoda Připomeňme, že princip virtuálních posunutí dává do rovnováhy práce skutečných sil na virtuálních přetvořeních. Pracujeme tedy se skutečnými silami. Virtuální stav však může být zvolen zcela libovolně (musí být kinematicky přípustný) tak, aby nám co nejvíce vyhovoval. Př. 3 Kinematickou metodou určete reakci v bodě B a hodnotu momentu v bodě C Virtuální stav budeme definovat tak, aby pouze hledaná veličina (reakce nebo moment) konala práci, čímž eliminujeme všechny ostatní neznámé. a) Určení reakce v bodě B Princip virtuálních posunutí zapíšeme ve tvaru δe i = δe e = P a L δ + R Bδ = }{{} δ libovolne kinematicky pripustne: ( P a L + R B) R B }{{} momentova podminka rovnovahy k bodu A := = a L P

43

44 b) Určení momentu v bodě C Princip virtuálních posunutí zapíšeme ve tvaru δe i = δe e L M C ab δ = P δ M C = P ab L Na závěr poznamenejme, že zvolená virtuální přetvoření nemají nic společného se skutečným přetvořením prutu. To lze určit například integrací ohybové čáry. Připomeňme, že jak virtuální síla (δp v příkladech 1 a 2), tak i virtuální posun (δ v příkladu 3) se vyskytovali u všech členů na obou stranách příslušných rovnic a bylo je možno tudíž vykrátit. Skutečné hodnoty virtuálních veličin nejsou tedy důležité a pro jednoduchost je můžeme volit rovny 1. Tím přecházíme k tzv. jednotkovým stavům.

45 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - VÝPOČET PŘETVOŘENÍ NA STATICKY URČITÝCH ROVINNÝCH KONSTRUKCÍCH Princip virtuálních sil - obecně δe i = δe e δe e = i δe i = L δfxu i i + δfzw i i + i δm i ϕ y (14) i i {( αt + N ) ( My δn + + α T ) δm y + Q z EA EI y h κga δq z + M } x δm x dx GI k (15) Princip virtuálních sil aplikovaný na konstrukce V této části se zaměříme na výpočet skutečného posunutí (potočení) daného průřezu konstrukce. Jak již bylo naznačeno v příkladu 2, bude vhodné volit virtuální jednotkovou sílu (moment) v bodě a ve směru uvažovaného posunutí (pootočení). Levá strana rovnice (14) pak nabude tvaru δe e = 1 kde představuje zobecněný posun (např. = u, uvažujeme-li posun ve směru osy x) Pozn. k následujícím obrázkům: - proměnná φ vyjadřuje křivost, neboli změnu natočení deformované normály vztaženou na jednotku délky φ = w - Bernoulli-Navierova hypotéza φ = ϕ y - Mindlinova hypotéza.

46 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - PŘÍKLADY Použití principu virtuálních sil si nyní ukážeme na několika příkladech Př. 4 Uvažujte prostě podepřený nosník zatížený parabolickým spojitým zatížením. Určete pootočení v bodě B a tvar ohybové čáry. Zanedbejte vliv smyku. Výpočet reakcí a momentu od skutečného zatížení Reakce - podmínky rovnováhy = A + B = A.L A = q L 12 B = 3 12 q L L L ( ) 2 ξ q dξ = A + B q L L 3 ) 2 (L ξ) dξ = A.L q L 2 q ( ξ L 12 Moment M y = q ξ L 12 ξ M y = q L 2 12 q ( s L) 2 (ξ s) ds } {{ } q 12L 2 ξ4 [ ( ξ ξ L L ) 4 ]

47

48 Příklad 4 - pokračování Průběh skutečné křivosti - φ = w = M y EI y [ φ = q ( ) ] L 2 4 ξ ξ 12EI y L L Výpočet pootočení Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru δe e = δe i 1 ϕ yb = L ϕ yb = 1 q L 4 72 EI y φδm y dx = L q L 2 12EI y [ ( ) ] 4 ξ ξ L ξ L L dξ Určení tvaru ohybové čáry Výpočet provedeme určením svislého průhybu v obecném bodě x. Vyjádření celkové komplementární práce vnitřních sil dostaneme integrací příslušných výrazů v rámci dvou nezávislých intervalů (ξ (, x) a ξ (x, L)) a jejich následným

49 součtem. Princip virtuálních prací pak nabude tvaru δe i = δe e 1 w = + x L x q L 2 12EI y q L 2 12EI y [ ( ) ] 4 ξ ξ [ L 1 x L L [ ( ξ ξ L L ] ξ dξ ) 4 ] [ x x L ξ ] dξ Provedením integrace pak dostaneme průhyb v libovolném bodě x w = q [ L 4 ( x ( x ) 3 ( ] x EI y L) L L) (16) Polohu maximálního průhybu určíme položením derivace (16) podle x rovnu nule L [ dw d ( q ) L 4 d ( x ( x ) = x 36EI L y d ( 3 ( ] x 6 ) 4 5 x + = L) L L) x L =.535 L w max =.387 q L 4 EI y

50 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - PŘÍKLADY Př. 5 Uvažujte jednoduchý prostě podepřený rám. Určete vodorovný posun v bodě C. Zanedbejte vliv smyku. Uvažujte a) Rovnoměrné spojité zatížením prvku BC. prvku BC. Tento prvek má výšku h a ko- b) Rovnoměrný teplotní gradient T h eficient teplotní roztažnosti α.

51 Příklad 5 - pokračování Řešení část (a) Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru δe e = δe i 1 u C = 2L φδm y = 2L [ q EI y (Lx x2 2 ) ] x dx = 2 ql4 3EI y část (b) S ohledem na rovnici (15) (φ = α T h ) zapíšeme princip virtuálních sil ve tvaru δe e = δe i 1 u C = 2L φδm y = 2L [ α T h ] x dx = 2 α T L2 h Poznamenejme, že tento posun nezávisí na tuhosti konstrukce, závisí pouze na přetvoření daném předepsanou křivostí. To však nebude platit u konstrukcí staticky neurčitých.

52 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - PŘÍKLADY Aplikace na příhradové konstrukce Připomeňme, že příhradové konstrukce předpokládají přenos zatížení do konstrukce pouze styčníkovými vazbami. Z povahy geometrie jednotlivých konstrukčních prvků (prutů) a styčníkových vazeb lze zanedbat ohybovou tuhost prutů a uvažovat pouze přenos osových (normálových) sil. Komplementární virtuální práce vnitřních sil se pak redukuje na tvar L ( δei = αt + N ) δn dx (17) EA }{{} ε =u Připomeňme, že T představuje konstantní změnu teploty po průřezu. Za předpokladu, že EA = konstanta, N = konstanta a δn = konstanta, lze integrací rovnice (17) přejít na tvar ε {}}{ δei = αt + N EA L δn = LδN (18) } {{ } L kde L = εl je skutečné protažení prutu. Rovnice (18) odpovídá komplementární virtuální práci pro jeden prvek (prut) příhradové konstrukce. Celkovou práci obržíme součtem přes všechny prvky, tedy δei = (α i T i + N i E i A i i ) L i δn i = i L i δn i (19)

53 PRINCIP VITUÁLNÍCH SIL - PŘÍKLADY Př. 6 Uvažujte jednoduchou staticky určitou příhradovou konstrukci. Určete svislý posun styčníku D v důsledku (tahovou tuhost EA uvažujeme konstantní) Vodorovné síly o velikosti 1N aplikované v bodě B Rovnoměrné změny teploty z 5 C do 2 C (T = 25 C) prutů AB a BC, α = 1 5 K 1

54 Výpočet je proveden v tabulce Příklad 6 - pokračování část (a) - silové zatížení prvek L [m] N [N] L EA [N m] δn [N] δei EA [N 2 m] AB BC AD DC BD SUMA 13.4 u a B = 13.4 EA [m] část (b) - teplotní zatížení prvek L [m] L = αt L [m] δn [N] δei [N m] AB BC AD DC BD SUMA -.14 u b B =.14 [m]

55 PRINCIP VIRTUÁLNÍCH SIL - PŘÍKLADY Vliv předepsaných posunutí - např., popuštění nebo natočení podpor Př. 7 Uvažujte Gerberův nosník zatížený poklesem jednotlivých podpor. Určete svislý posun bodu C. Poznamenejme, že v případě staticky určitých konstrukcí, pokud jsou předepsány pouze kinematické okrajové podmínky (poklesy nebo natočení podpor), se jednotlivé prvky konstrukce přemisťují jako tuhé části. Důsledkem jsou nulová přetvoření prutů (nulové vnitřní síly) a zároveň tedy nulová komplementární virtuální práce vnitřních sil δe i =. Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru δe e = i δr i i = 1 w C 4 1, , 25 = w C = 4, 25 [cm]

56 Vliv poklesu nebo natočení podpor - pokračování Př. 8 Uvažujte jednoduchý staticky určitý rám zatížený poklesem jednotlivých podpor. Určete (a) vzájemný vodorovný posun bodů AB (b) vzájemné natočení prutů v klobu C Jednotkové virtuální stavy jsou patrné z obrázku. Komplementární virtuální práce vnitřních sil je opět rovna nule δe i =.

57 Příklad 8 - pokračování Řešení část (a) δe e = i δr i i = 1 u AB +2,, , 3+5 4, 4 = u AB = 27, 5 [mm] část (b) δe e = i δr i i = 1 ϕ C + 1 2, 1 3 4, 3+1 4, 4 = ϕ C = 7, [rad]

58 Maticová forma výpočtu deformací - Matice poddajnosti prutu Přípomeňme některé vztahy z teorie pružnosti Materiálová matice poddajnosti - vyjádřena v materiálovém bodě 3D {ε} = [C M ]{σ} + {ε }{{} } (11) 6x6 1D ε = σ E + ε (111) γ = τ κg (112) Matice poddajnosti průřezu - vyjadřuje vztah mezi přetvořením prutu a vnitřními silami (stále předpokládejme soustavu souřadnic tvořenou hlavními centrálními osami setrvačnosti - těžišťóvé osy) s vlivem smyku u φ = ϕ y γ = ϕ y + w = 1 EA 1 EI y 1 κga N M y Q z (113)

59 bez vlivu smyku { u φ = w } = 1 EA 1 EI y { N M y } (114) Matice poddajnosti prutu - konstrukce Matice poddajnosti prostě podepřeného prutu Uvažujme prostě podepřený nosník zatížený rovnoměrným silovým zatížením a osamělým silovým a momentovým zatížením, jak je naznačeno na obrázku. Zaměříme se na odvození koncových přetvoření nosníku (tzv. ryzích deformací), které uspořádáme do vektoru ve tvaru { } = {, ϑ 1, ϑ 2 } T (115)

60 Matice poddajnosti prostě podepřeného prutu - pokračování Přestože bychom k odvození prvků vektoru { } mohli vyjít přímo z rovnic (72) a (74), využijeme Pricipu virtuálních posunutí, přičemž opět zanedbáme vliv posouvajících sil (výpočet bez vlivu smyku φ = w ) Deformace od koncových sil Výpočet posunu průřezu os síly R NL vzhledem k obrázku dostaneme (δp L = 1) 1 = L R NL EA (δn = 1) dx = R NLL EA (116) Výpočet natočení průřezů ϑ 1, ϑ 2 od momentu R M vzhledem k obrázku dostaneme (δm 1 = 1) ϑ 11 = (δm 2 L = 1) ϑ 21 = L L φ RM {}}{ δm δm 1 {}}{ ( 1) RM (1 x EI y L ) ( 1) (1 x L ) dx = R ML 3EI y ( 1) RM EI y (1 x L ) x L dx = R ML 6EI y (117)

61 Výpočet natočení průřezů ϑ 1, ϑ 2 od momentu R ML vzhledem k obrázku dostaneme (δm 1 = 1) ϑ 12 = (δm 2 L = 1) ϑ 22 = L L φ RML {}}{ R ML x EI y L R ML EI y δm δm1 {}}{ ( 1) (1 x L ) dx = R MLL 6EI y x x L L dx = R MLL (118) 3EI y

62 Deformace od spojitého zatížení Výpočet posunu průřezu od zatížení f x (δp L = 1) f = L (u = ) {}}{ f x L EA (1 x L )(δn = 1) dx = f xl 2 2EA (119) Výpočet natočení průřezů ϑ 1, ϑ 2 od zatížení f z

63 (δm 1 = 1) ϑ f1 = (δm 2 L = 1) ϑ f2 = L L φ fz {}}{ f z Lx (1 x 2EI y L ) δm δm1 {}}{ ( 1) (1 x L ) dx = f zl 3 24EI y f z Lx 2EI y (1 x L ) x L dx = f zl 3 24EI y (12) Deformace od teploty Výpočet posunu průřezu způsobené konstantní změnou teploty T (δp L = 1) T = L (u = ) {}}{ αt (δn = 1) dx = αlt (121) Výpočet natočení průřezů ϑ 1, ϑ 2 způsobené gradientem teploty T h (δm 1 = 1) ϑ T 1 = (δm 2 L = 1) ϑ T 2 = L L φ fz {}}{ α T h α T h δm δm1 {}}{ ( 1) (1 x L ) dx = α T L 2h x α T L dx = L 2h (122)

64 Vzhledem k tomu, že předpokládáme elastické chování nosníku, můžeme uplatnit princip superpozice a výsledná přetvoření vyjádřit jako součet od jednotlivých příčinků (zatěžovacích stavů). V takovém případě dostaneme (= u L ) = 1 + f + T (123) ϑ 1 (= ϕ y ) = ϑ 11 + ϑ 12 + ϑ f1 + ϑ T 1 (124) ϑ 2 (= ϕ yl ) = ϑ 21 + ϑ 22 + ϑ f2 + ϑ T 2 (125) Rovnice (123)- (125) lze zapsat v kompaktním tvaru následovně L f x L 2 EA ϑ 1 = L L R 2EA N + αlt 3EI y 6EI R M + f zl 3 α T y ϑ 2 L 24EI L R y h ML }{{} f 6EI y 3EI z L 3 + α T }{{ y {R} } 24EI y h }{{} [C K ] { f }+{ T } (126)

65 Matice poddajnosti prostě podepřeného prutu - pokračování Matici [C K ] nazveme maticí poddajnosti příslušnou prostě podepřenému přímému prutu. Poznamenejme, že jednotlivé prvky matice poddajnosti [C K ] vyjadřují přetvoření (posun, nebo pootočení) od příslušných jednotkových zatěžovacích stavů, rovnice (116)- (122). Např. prvek c 11 vyjadřuje posun v místě x = L od jednotkové síly aplikované v místě x = L ve směru osy x. Př. 9 - Užitím rovnice (126) určete maximální průhyb prostě podepřeného nosníku zatíženého rovnoměrným zatížením podle obr. Výsledek porovnejte s přístupem založeným na přímé integraci křivosti. Uvažujte Bernoulli-Navierovu hypotézu pro popis kinematiky přemístění průřezu. Řešení Připomeňme, že s přihlédnutím k Bernoulli-Navierově hypotéze platí φ = ϕ y = w = M y EI y (127) Aproximujme průběh pootočení průřezu ϕ y po délce nosníku lineární funkcí. To lze

66 vyjádřit vztahem ϕ y = N ϕ y (= f zl 3 24EI y ) + N L ϕ yl (= f zl 3 24EI y ) (128) kde N a N L jsou jednotkové bázové funkce znázorněné graficky na obrázku. Spojením rovnic (127) a (128) dostaneme w(x) = w max (x = L 2 ) = f zl 4 ϕ y dx + C(=, z podminky w() = ) = f zl 3 x (1 x ) 24EI y L 96EI y (129)

67 Příklad 9 - pokračování Výpočet nyní provedeme přímou integrací rovnice (127) w = f ) zl (x x2 2EI y L w = f ( ) zl x 2 2EI y 2 x3 + C 1 3L w = f ( ) zl x 3 2EI y 6 x4 + C 1 x + C 2 12L Integrační konstanty C 1 a C 2 určíme z podmínek w (L/2) = C 1 = f zl 24EI y w() = C 2 = Rovnice ohybové čáry tak zapíšeme ve tvaru w = f ( ) zl x 3 2EI y 6 x4 + f zlx 12L 24EI y w max (x = L 2 ) = 5 f z L 4 (13) 384 EI y

68 Příklad 9 - pokračování Stojí za povšimnutí, že (porovnejte s rovnicemi (12)) w () = ϕ y = ϑ f1 = f zl 3 24EI y w (L) = ϕ yl = ϑ f2 = f zl 3 24EI y Na závěr, porovnáním rovnic (128) a (129), dostaneme w ex max = 1, 25 w app max kde wmax ex odpovídá přesnému řešení (s přihlédnutím k předpokladu Bernoulli-Navierovy hypotézy, rovnice (129)), zatímco wmax app odpovídá řešení přibližnému (rovnice (128)). Poznámka: Přibližné řešení v případě přetvoření reprezentuje vždy tužší chování než řešení přesné. V našem případě je přesné řešení popsáno rovnicí čtvrtého řádu, zatímco přibližné řešení rovnicí druhého řádu, tj. menší počet stupňů volnosti).

69 BETTIHO VĚTA Jedním ze základních pricipů mechaniky je Bettiho věta: Práce určité soustavy sil na přetvořeních, která jsou příslušná jiné soustavě sil, je rovna práci druhé soustavy na přetvořeních odpovídajících první soustavě sil. Obě soustavy jsou aplikované na téže konstrukci. Grafické znázornění tohoto teorému je patrné z obrázku. Poznámka: Je zřejmé, že symetrie matice poddajnosti [C K ] (rovnice (126)) je důsledkem Bettiho věty. Tento teorém využijeme i při studiu konstrukcí staticky neurčitých.

70 KONSTRUKCE STATICKY NEURČITÉ - SILOVÁ METODA Př. 1 - Určete koncové síly (R NL, R M, R ML ) za předpokladu nulových přetvoření koncových průřezů { u } =. Řešení Uvažujme rovnici (126) zapsanou ve tvaru {} = [C K ] {R} + { f } + { T } (131) Řešením rovnice (131) obdržíme R 4 R {}}{ 3 R ( ) { ( }}{ f {R} = x L f 2 + EAαT, z L EI ) { 6 ( }}{ yα T f, z L 2 h 12 + EI ) yα T h (132) Tím jsme v podstatě určili reakce na oboustranně vetknutém nosníku znázorněném na obrázku. Zbylé reakce určíme z podmínek rovnováhy 1. R 1 + f x L + R 4 = R 1 = R 4 f x L (133) 2. R 2 + f z L + R 5 = R 5 = R 2 f z L (134) 3. R 3 + R 6 + f z L2 2 + R 2 = R 2 = R 3 + R 6 f L z L (135) 2 T

71 Poznamenejme, že při řešení staticky neurčitých konstrukcí máme k dispozici vždy 3 (2D), repsektive 6 (3D), podmínek rovnováhy. V případě n staticky neurčité konstrukce je nutno tyto podmínky doplnit o n 3, respektive n 6, podmínek deformačních (spojitosti, konzistence) typu (131). Pro zajímavost připomeňme řešení problému staticky neurčitého tlaku/tahu, se kterým jsme se seznámili v pružnosti. Uvažujme oboustranně vetknutý nosník zatížený rovnoměrným spojitým zatížením ve směru osy x, viz obrázek. Úkolem je určit reakce.

72 Řešení K dispozici máme jednu podmínku rovnováhy ve tvaru R 1 + R 4 + f x L = (136) Tuto rovnici doplníme o podmínku deformační. Připomeňme u = N EA = 1 EA ( R 1 f x x) (137) u = 1 EA ( R 1x f xx 2 ) + C(= zpodminky u() = ) (138) 2 u (L) = R 1 L f xl 2 = R 1 = f xl (139) 2 2 Dosazením z rovnice (139) do rovnice (136) dostaneme (srovnej s prvním prvkem vektoru {R} v rovnici (132)) R 4 = f xl 2 Tímto příkladem jsme položili základ tzv. silové metody

73 SILOVÁ METODA - pokračování Pro vysvětlení podstaty silové metody se vrátíme k Př. 1. Připomeňme, že řešením tohoto příkladu byly 3 reakce na dokonale vetknutém nosníku. Pří řešení jsme v podstatě postupovali takto: 1. Konstrukci staticky neurčitou (dokonale vetknutý nosník) jsme nejdříve převedli na konstrukci staticky určitou (nosník prostě podepřený) a účinek uvolněných vazeb jsme nahradili neznámými reakcemi (síla R 4, momenty R 3, R 6 ) 2. V druhém kroku jsme určili hotnoty přetvoření, odpovídající uvolněným vazbám od účinku veškerého zatížení, tedy i od zatím neznámých reakcí R 3, R 4, R 6, které zde ovšem vystupovaly jako předepsaná zatížení. 3. Následně jsme představili deformační podmínky konzistentní s původními podmínkami podepření. posun u L = reakce R 4 pootočení ϑ 1 = ϑ 2 = reakce R 3, R 6 4. Závěrem jsme určili zbylé reakce (R 1, R 2, R 5 ) užitím podmínek rovnováhy Výše popsaný postup shrnuje základní principy silové metody. Závěrem poznamenejme, že silová metoda je postavena na pricipu virtuálních sil (PVs), jehož důsledkem jsou v našem případě podmínky spojitosti a podmínky deformační vyjadřující konzistenci deformací s předepsaným podepřením konstrukce (PVs označujeme

74 jako obecný princip spojitosti). V literatuře se setkáme i s názvem metoda konzistentních deformací. SILOVÁ METODA - Základní sostava Konstrukci staticky určitou, která slouží k výpočtu reakcí příslušných odebraným vazbám, nazýváme ZÁKLADNÍ SOUSTAVOU. Příklady základních soustav dokonale vetknutého nosníku Př Uvažujte 2 staticky neurčitý spojitý nosník. Určete hodnotu průhybu v b. E.

75 Příklad část pokračování Řešení Výpočet provedeme ve dvou krocích. V prvním kroce vypočteme průběhy vnitřních sil užitím silové metody a ve druhém kroce pak požadovaný průhyb standardním způsobem užitím PVs. Výpočet vnitřních sil na 2 staticky neurčitém spojitém nosníku

76 Příklad část pokračování Poznámka Na předchozím obrázku i vyjadřuje průhyb od zatížení v místě podpory i, δ ij X j pak vyjadřuje průhyb od staticky neurčité reakce X j v místě i. Například δ 21 X 1 vyjadřuje průhyb v místě 2 od síly X 1. Přičemž veličiny δ ij odpovídají jednotkovým zatěžovacím stavům. Ve smyslu rovnice (126) se tedy jedná o poddajnosti. Připomeňme, že jednotlivé prvky matice poddajnosti v rovnici (126) byly také odvozeny od jednotkového zatížení. Jednotkové zatěžovací stavy

77 Příklad část pokračování Odpovídající poddajnosti δ ij určíme užitím PVs ze vztahu δ ij = L Prvky i určíme opět užitím PVs ze vztahu i = M j Xj =1 δm i dx (14) EI }{{ y } φ j L M P δm i dx (141) EI }{{ y } φ Deformační podmínky, konzistentní s podmínkami podepření, zapíšeme ve tvaru 2 δ ij X j + i = pro i = 1, 2 (142) j Těmto rovnicím se také někdy říká rovnice podmnínečné (vyjadřují deformační podmínku). V našem konkrétním případě lze rovnici (142) zapsat přehledně v maticovém tvaru [ ] { } { } { } δ 11 δ 12 X1 + 1 δ 21 = δ 12 δ 22 X 2 = (143) 2 }{{} [C K ] Matice poddajnosti [C K ] příslušná nyní konstrukci z př. 11 je opět symetrická důsledek Bettiho věty.

78 Příklad část pokračování Jak je patrné z obrázku jednotkových zatěžovacích stavů, vyžaduje výpočet mimodiagonálních členů matice [C K ] (prky δ 12 = δ 21 ) rozdělení integračního oboru x (, L) na několik intervalů, viz obr. Rozdělení integračního oboru na několik intervalů pro výpočet δ 12 = δ 21

79 Užitím rovnic (14) a (141) obdržíme 1 = 16.5 P L3 EI y δ 11 = δ 22 = 14.7 L3 EI y 1 = 15. P L3 EI y δ 12 = δ 21 = 12.3 L3 EI y Dosazením do rovnice (142) a řešením pro neznámé X i dostaneme X 1 =.895P X 2 =.273P Zbylé tři neznámé reakce určíme užitím podmínek rovnováhy. Výsledné průběhy vnitřních sil jsou patrné z obrázku.

80 Poznámka 1: V příkladu 13 si ukážeme, že podmínečné rovnice (142) lze odvodit přímo aplikací principu virtuálních sil ve tvaru konstrukce δei = δee (144) M δm ds = δr i i (145) EI y i Vzhledem k tomu, že podmínečné rovnice jsou v podstatě podmínkami spojitosti, jedná se o další důkaz tvrzení, že princip virtuálních sil není nic jiného než obecný princip spojitosti. Poznámka 2: Připomeňme, že virtuální práce vnějšich sil je v tomto případě (příklad 11) rovna nule. Virtuální reakce od virtuálních zatěžovacích stavů na ZS jsou sice nenulové, jim odpovídající vynucené posuny či natočení podpor však nulové jsou. Přpady nenulových virtuálních prací vnějších sil si ukážeme na příkladech 13 a 14.

81 Příklad část Výpočet průhybu v bodě E Pozn.: Připomeňme, že virtuální silový stav je libovolný silový stav vyhovující podmínkám rovnováhy, viz příklady staticky přípustných silových stavů na spojitém nosníku. Známe-li tedy průběh skutečných momentů (křivostí) na skutečné konstrukci, lze virtuální silový stav vnitřních sil odpovídající vnějšímu virtuálnímu zatížení určit na libovolné základní (staticky určité) soustavě. Tento předpoklad si nyní ověříme určením průhybu konstrukce z př. 11 v bodě E. Skutečný průběh momentů a zvolené základní soustavy jsou patrné z obrázku. Řešení: interval (a, b)... x (, d = 3L).t φ 1 (x) = 1 EI y M(x) = 1 EI y (, 18x)P δm 1 1 (x) =, 2x δp 1 (= 1) =, 2x δm 1 2 (x) =, 143x δp 2 (= 1) =, 143x δm 1 3 (x) =

82 interval x (b, c)... x (, d = 1L) φ 2 (x) = 1 EI y (.324L +.787x)P δm 2 1 (x) =, 6L +, 2x δm 2 2 (x) =, 429L, 143x δm 2 3 (x) = interval x (c, d)... x (, d = 3L) φ 3 (x) = 1 EI y (.463L.213x)P δm 3 1 (x) =, 8L +, 2x δm 3 2 (x) =, 571L, 134x δm 3 3 (x) = interval x (d, e)... x (, d = 1L) φ 4 (x) = 1 EI y (.176L +.587x)P δm 4 1 (x) = 1, 4L +, 2x δm 4 2 (x) = L + x δm 4 3 (x) =, 667x

83 interval x (e, f)... x (, d = 2L) φ 5 (x) = 1 EI y (.1173L +.587x)P δm 5 1 (x) = 1, 6L, 8x δm 5 2 (x) = δm 5 3 (x) =, 667L, 333x Výsledný průhyb určíme užitím principu virtuálních sil (opět zanedbáváme vliv smyku) ve tvaru i EδP (= 1) = 5 k= d k φ k (x)δm k i (x) dx E = 1 EI y (, 991)P L 3 Pozn.: V důsledku zaokrouhlovacích chyb lze očekávat drobné rozdíly ve výsledcích. Aplikovaný postup, kdy virtuální silový stav určujeme na základní soustavě, se nazývá REDUKČNÍ VĚTA

84

85 Výpočet přetvoření staticky neurčitých konstrukcí silovou metodou Redukční věta Podstata redukční věty je patrná z obrázku. Uvažujme 1 staticky neurčitou konstrukci. Předpokládejme, že průběh momentu na této konstrukci je znám. Cílem je určit průhyb v bodě B. Jak je patrné z obrázku, lze určit průběh jak skutečného momentu, tak i momentu od virtuálního zatížení na původní konstrukci součtem dvou zatěžovacích stavů aplikovaných na základní soustavu (v našem případě prostý nosník), tedy M(x) = M a M 1 (x) + M = M a (1 x L ) + M (146) δm(x) = δm a M 1 (x) + δm = δm a (1 x ) + δm (147) L

86 Redukční věta - pokračování Pro výpočet přetvoření použijeme opět princip virtuálních sil ve tvaru M M δp (= 1) B = δm dx = (δm a M 1 (x) + δm) dx L EI y L EI y M M = δm dx + δm a M 1 dx L EI y L EI }{{ y } L M EI y M 1 dx = L M + M a M 1 EI y } {{ } φ (148) M 1 dx = 1 + M a δ 11 = (149) Připomeňme, že (149) je podmínečná rovnice vyjadřující podmínku nulového pootočení v bodě A. V případě n staticky neurčité konstrukce bychom obdrželi n takovýchto identit. V našem případě je patrné z rovnice (148), že B = L M EI y δm dx (15) kde M je moment na skutečné (staticky neurčité) konstrukci a δm je moment od jednotkového virtuálního zatěžovacího stavu na základní soustavě. Tento závěr je platný pro obecnou konstrukci s libovolným stupněm statické neurčitosti.

87 Příklad 12 - Řešení staticky neurčitých příhradových konstrukcí Př Určete vnitřní síly 2 staticky neurčité příhradové konstrukce. Uvažujte tuhost EA = konst shodnou pro všechny pruty. Poznamenejme, že konstrukce je 1 externě a 1 interně staticky neurčitá. Přípustná ZS je patrná z obrázku.

88 Příklad pokračování Řešení Připomeňme, že koeficienty matice poddajnosti konstrukce δ ij v příkladu 11 jsme určili jako průhyby v místě i od jednotkové síly aplikované v místě j. Průhyb odpovídající staticky neurčité reakci X j působící v místě j pak měl hodnotu δ ij X j. Položení výsledného průhybu (získaného superpozicí jednotlivých zatěžovacích stavů) v místech odebraných podpor nule (deformační podmínka konzistentní s podepřením konstrukce) pak vedlo na soustavu tzv. podmínečných rovnic pro neznámé reakce X j. Stejný postup lze aplikovat i na konstrukce příhradové. Jako příklad uvažujme výpočet koeficientů matice poddajnosti δ ij a hodnoty posunů i, připomeňme rovnice (14) a (19)

89 δ 11 = δ 12 = δ 21 = δ 22 = 6 i=1 6 i=1 6 i=1 6 i=1 1 = δ 1p F = 2 = δ 2p F = L i EA N i X1 =1δN i δp1 =1 = 3.82 L EA L i EA N i X2 =1δN i δp1 =1 = 2.71 L EA L i EA N i X1 =1δN i δp2 =1 = 2.71 L EA L i EA N i X2 =1δN i δp2 =1 = 4.82 L EA 6 i=1 6 i=1 L i EA N i F =1 δn i δp1 =1 F = 1, F L EA L i EA N i F =1 δn i δp2 =1 F =, 71 F L EA (151) (152) (153) (154) (155) (156) kde výraz Li vyjadřuje poddajnost i-tého prutu. Podmínečné rovnice pak zapíšeme ve EA tvaru [ ] { } { } { } 3, 82 2, 71 X1 1, F + = (157) 2, 71 4, 82 X 2, 71 F }{{} [C K ]

90 Rozšíříme-li matici [X] o vektor {F}, můžeme společně s neznámými veličinami X 1, X 2 určit svislý posun styčníku w a v místě působení síly F. V takovém případě dostaneme 3, 82 2, 71 1, 2, 71 4, ,, 71 1, X 1 X 2 F = w a EA L (158) Řešením rovnice (158) dostaneme X 1 X 2 w a =, 262 F, 738 F L EA (159) Procvičení Ukažte, že stejného průhybu bychom dosáhli i postupem shodným s příkladem 11 (výpočet vnitřních sil od skutečného zatížení na staticky neurčité konstrukci N i a od virtuálního zatížení na ZS δn i ) w a = 6 i=1 L i EA N i F δn i δpa =1 (16)

91 Příklad 13 - Analýza rámové konstrukce s účinkem poklesu a natočení podpor Př Určete reakce na dané konstrukci. Tuhost EI y = konst uvažujte shodnou pro celou konstrukci. Řešení Vyjdeme z pricipu virtuálních sil, který zapíšeme ve tvaru N i=1 Li M i EI y δm i dx = δr w w + δr ϕ ϕ (161) kde N je počet intervalů, M vyjadřuje moment na ZS a δm, δr w, δr ϕ vyjadřují odpovídající veličiny příslušné virtuálním zatěžovacím stavům aplikovaným na ZS. K výpočtu těchto veličin využijeme základní soustavu patrnou z následujícího obrázku.

92 Příklad 13 - pokračování

93 Příklad 13 - pokračování Připomeňme, že momenty M i, δm i patrné z obrázku odpovídají jednotkovým zatěžovacím stavům. Superpozicí jednotlivých účinků dostaneme M = M + M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 δm = δm 1 δx 1 + δm 2 δx 2 + δm 3 δx 3 δr w = δx 1 1 d δx 2 1 d δx 3 δr ϕ = δx 1 + δx δx 3 Dosazením těchto rovnic do rovnice (161) dostaneme 1 EI y N i=1 L i (M + M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 ) i (δm 1 δx 1 + δm 2 δx 2 + δm 3 δx 3 ) i dx = 1 d (δx 2 + δx 3 )w + 1 δx 3 ϕ (162)

94 Roznásobením a následným sloučením členů příslušným jednotlivým virtuálním zatěžovacím stavům δx i dostaneme 1 EI y 1 EI y 1 EI y N (M M 1 + M 1 M 1 X 1 + M 1 M 2 X 2 + M 1 M 3 X 3 ) i dx δx 1 + i=1 L i N (M M 2 + M 2 M 1 X 1 + M 2 M 2 X 2 + M 2 M 3 X 3 ) i dx δx 2 + i=1 L i N (M M 3 + M 3 M 1 X 1 + M 3 M 2 X 2 + M 3 M 3 X 3 ) i dx δx 3 = i=1 L i δx 1 + ( 1d ) w δx 2 + ( 1d ) w + ϕ δx 3 (163) Porovnáním výrazů příslušným jednotlivým virtuálním zatěžovacím stavům δx i dostaneme soustavu podmínečných rovnic ve tvaru 1 N M EI M i 1 i dx y i=1 L δ 11 δ 12 δ 13 X 1 i δ 21 δ 22 δ 23 X N 1 M δ 31 δ 32 δ 33 X EI M i 2 i dx + d w = y 3 i=1 L i 1 }{{} 1 N [C K ] M i EI M3 i d w ϕ dx y i=1 L i (164)

95 Řešením sosutavy rovnic (164) obdržíme hodnoty pro neznámé reakce X i. Zbývající reakce plynou z podmínek rovnováhy. Připomeňme, že poddajnosti δ ij jsou dány vztahem δ ij = 1 EI y N i=1 L i M j M i dx (165)

96 SILOVÁ METODA - Poznámka k volbvě základní soustavy Obecně bychom se měli držet zásady, že nižší vazbu nebudeme nahrazovat vazbou vyšší. Jak je patrné z obrázku, ZS 3 se této zásadě vymyká. V následujícím příkladu si ukážeme, jak v takovém případě postupovat.

97 Příklad 14 - vliv volby ZS Př Určete reakce na dané konstrukci. Uvažujte zadanou ZS, EI y = konst. Jak je patrné z obrázku, je konstrukce 2 staticky neurčitá. S uvažovanou ZS však zavádíme 3 neznámé reakce X 1, X 2, X 3. Ty jsou ovšem svázány podmínkou rovnováhy - nulový moment v bodě B f zl X 1 + d X 2 1 X 3 = (166) Doplňující deformační podmínky (podmínečné rovnice) opět určíme aplikací principu virtuálních sil. Je třeba si uvědomit, že virtuální reakce δr ϕb koná práci na neznámém nenulovém pootočení ϕ b. Budeme-li formálně považovat toto pootočení za předepsané, bude další postup výpočtu shodný s postupem z příkladu 13.

98 Příklad 14 - pokračování Průběhy momentů příslušné jednotlivým zatěžovacím stavům jsou patrné z obrázku. Značení je shodné se značením použitým v příkladu 13.

99 Příklad 14 - pokračování V souladu se zvolenou ZS povede výpočet na tři podmínečné rovnice pro čtyři neznámé X 1, X 2, X 3, ϕ b. Čtvrtou rovnicí pak bude podmínka rovnováhy (166). Princip virtuálních sil 1 EI y N i=1 δe i = δe e (167) L i M i δm i dx = ϕ b δr ϕb (168) Princip superpozice M = M + M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 (169) δm = δm 1 δx 1 + δm 2 δx 2 + δm 3 δx 3 (17) δr ϕb = δx 1 + d δx δx 3 (171) Dosazením těchto rovnic do rovnice (168) dostaneme 1 EI y N i=1 L i (M + M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 ) i (δm 1 δx 1 + δm 2 δx 2 + δm 3 δx 3 ) i dx = ϕ b ( δx 1 + d δx δx 3 ) (172)

100 Postup shodný s postupem z příkladu 13 vede na soustavu podmínečných rovnic. Společně s podmínkou rovnováhy (166) dostaneme δ 11 δ 12 δ 13 X 1 δ 21 δ 22 δ 23 1 X 2 δ 31 δ 32 δ 33 + d ϕ b 2 X ϕ b = (173) 3 d 1 f zl 2 2 Řešením sosutavy rovnic (173) obdržíme hodnoty pro neznámé reakce X i a neznámou hodnotu pootočení ϕ b. Zbývající reakce plynou z podmínek rovnováhy. Připomeňme, že poddajnosti δ ij a deformace i jsou dány vztahy δ ij = 1 EI y i = 1 EI y N M j M i dx L i N M M i dx L i i=1 i=1

101 SILOVÁ METODA - VLIV SYMETRIE

102 SILOVÁ METODA - VLIV SYMETRIE

103 Princip virtuálních posuntí - DEFORMAČNÍ METODA výpočtu staticky neurčitých konstrukcí Pro lepší pochopení přechodu od silové metody k metodě derformační připomeňme rovnice (13) a (12). Silová metoda Vychází z principu virtuálních sil. Základním předpokladem metody je splnění podmínek rovnováhy. Skutečná přetvoření vyjadřujeme v závislosti na hodnotách vnitřních sil, které jsou v rovnováze s vnějším zatížením (staticky přípustné). Užití silové metody pak vede na soustavu algebraických lineárních rovnic (deformačních podmínek konzistentních s podmínkami podepření skutečné konstrukce) pro neznámé staticky neurčité reakce definované na tzv. základní soustavě. V silové metodě (aplikované na prutové konstrukce) tyto reakce vystupují jako primární neznámé. Počet neznámých tedy určuje stupeň statické neurčitosti (počet rovnic, které je nutno vyřešit). Deformační metoda Vychází z principu virtuálních posunutí. Základním předpokladem této metody je splnění deformačních podmínek. Skutečné hodnoty vnitřních sil vyjadřujeme pomocí neznámých uzlových (styčníkových) deformací, posunů a pootočení styčníků. Tyto deformace vystupují v deformační metodě jako primární meznámé. Počet neznýmých tak určuje stupeň tzv. kinematické neurčitosti (počet rovnic, které je nutno vyřešit). Lze tedy očekávat, že užití deformační metody povede na soustavu algebraických lineárních rovnic pro neznámé uzlové deformace. Poznámka Výpočetní náročnost jednotlivých metod pro danou úlohu lze tedy posoudit z pohledu

104 statické, respektive kinematické neurčitosti.

105 Statická vs. kinematická neurčitost DEFORMAČNÍ METODA - pokračování (a) (b) (a) 1 staticky 2 kinematicky (b) 2 staticky 1 kinematicky

106 DEFORMAČNÍ METODA - pokračování Přechod od silové k deformační metodě ukážeme na příkladu oboustranně vetknutého prutu. Př Určete reakce oboustranně vetknutého nosníku zatíženého podle obrázku. Užijte pricip vistuálních sil. Základní soustavu uvažujte podle obrázku. Vliv smyku zanedbejte. Řešení: Princip virtuálních sil zapíšeme ve tvaru ( M δm + N ) EI y EA δn dx = δr NL + δr M ϑ 1 + δr ML ϑ 2 (174) L

107 Příklad 14 - pokračování Splnění rovnice (174) vede na rovnici (126). Pro názornost připomeňme její tvar L f x L 2 EA L ϑ 1 = L R 2EA N + αlt 3EI y 6EI R M + f zl 3 α T y ϑ 2 }{{} L 24EI L R y h ML }{{} f { u} 6EI y 3EI z L 3 + α T }{{ y {ˆR} } 24EI y h }{{} [C K ] { f }+{ T } (175) Přípomeňme, že rovnice (175) představuje soustavu tří podmínečných rovnic pro vektor reakcí {ˆR}. Řešením této sosutavy dostaneme [ˆK] {ˆR} = { u } {ˆR p } (176) kde matici [ˆK] nazýváme (zúženou) maticí tuhosti prutu a vektor {ˆR p } nazýváme (zúženým) vektorem zobecnělého zatížení. Zúžený vektor zobecnělého zatížení {ˆR p } = {ˆR} { u}={} (rovnice (132)) {ˆR p } = [ˆK] ( f + T ) (177)

STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3

STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3 STAVEBNÍ MECHANIKA 3 - SM 3 Základní předměty vyučované na katedrě stavení mechaniky a jejich vzájemná vazba SM1, SM2 - výpočet reakcí na staticky určitých konstrukcích, výpočet průběhů vnitřních sil na

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) SMA2 Přednáška 05 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tah/tlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) 2012 Vít Šmilauer Czech Technical

Více

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017 Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 03 Diferenciální rovnice ohybu prutu Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy)

Princip virtuálních posunutí (obecný princip rovnováhy) SMA Přednáška 5 Princip virtuálních posunutí Deformační metoda Matice tuhosti prutu pro tahtlak Matice tuhosti prutu pro ohyb Program EduBeam Příklady Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 0 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Diferenciální rovnice ohybu prutu Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Vliv teploty na průhyb a křivost prutu Příklady

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016 Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Téma 12, modely podloží

Téma 12, modely podloží Téma 1, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Úvod Winklerův model podloží Pasternakův model podloží Pružný poloprostor Nosník na pružném Winklerově podloží, řešení

Více

Zjednodušená deformační metoda (2):

Zjednodušená deformační metoda (2): Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem

Více

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky. POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Základní informace o výuce předmětu SSK II Metody řešení staticky neurčitých konstrukcí

Více

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím

Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Osnova přednášky

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak. 00001 Definujte mechanické napětí a uved te jednotky. 00002 Definujte normálové napětí a uved te jednotky. 00003 Definujte tečné (tangenciální, smykové) napětí a uved te jednotky. 00004 Definujte absolutní

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův ákon Příklad emní tlak v klidu Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Cech Technical University in

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením

Více

Stavební mechanika přednáška, 10. dubna 2017

Stavební mechanika přednáška, 10. dubna 2017 Stavební mechanika 3 7. přednáška, 10. dubna 2017 Stavební mechanika 3 7. přednáška, 10. dubna 2017 Obecná deformační metoda 8) poznámky k využití symetrie 9) využití výpočetních programů 10) kontrola

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou

Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Petr Frantík Obsah 1 Vytvoření modelu 2 2 Styčníkové vektory modelu

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením. Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu

Více

3.2.2 Navierova-Bernoulliho hypotéza

3.2.2 Navierova-Bernoulliho hypotéza 3.. JEDNODUCHÝ OHYB 57 3.. Navierova-Bernoulliho hypotéza V předchozím článku jsme vyslovili hypotézu o zachování rovinnosti průřezu, která umožnila pracovat s představou pootočení průřezu a definovat

Více

Analýza stavebních konstrukcí

Analýza stavebních konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 009 prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková, Ph.D.

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Analýza stavebních konstrukcí

Analýza stavebních konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 2009 prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková Ing.

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I

STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Ivan Kološ, Martin Krejsa, Stanislav Pospíšil, Oldřich Sucharda STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I Vzdělávací pomůcka

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

Přednáška 10. Kroucení prutů

Přednáška 10. Kroucení prutů Přednáška 10 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem 2) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným, střed smyku c) Tenkostěnným uzavřeným 3) Ohybové (vázané) kroucení

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více

6. Statika rovnováha vázaného tělesa

6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6.1 Rovnováha vázaného tělesa Těleso je vystaveno působení vnějších sil akčních, kterými mohou být osamělé síly, spojité zatížení a momenty silových dvojic. Akční síly

Více

trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem.

trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem. Namáhání krutem Uvažujme přímý prut neměnného kruhového průřezu (Obr.2), popřípadě trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek : Prut namáhaný kroutícím momentem.

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

Přednáška 10. Kroucení prutů

Přednáška 10. Kroucení prutů Přednáška 1 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem ) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným c) Tenkostěnným uzavřeným ) Ohybové (vázané) kroucení Příklady Copyright

Více

Princip virtuálních prací (PVP)

Princip virtuálních prací (PVP) Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu

Více

Analýza stavebních konstrukcí

Analýza stavebních konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Analýza stavebních konstrukcí Příklady Petr Konvalinka prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. a kolektiv 009 prof. Ing. Petr Konvalinka, CSc. Ing. Dagmar Jandeková Ing. Radoslav

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5.

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5. Kapitola 5 Vnitřní síly přímého šikmého nosníku Pojem šikmý nosník je používán dle publikace [1] pro nosník ležící v souřadnicové rovině xz, který je vůči vodorovné ose x pootočen o úhel α. Pro šikmou

Více

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Vícerozměrné úlohy pružnosti Přednáška 07 Rovinná napjatost nosné stěny Rovinná deformace Hlavní napětí Mohrova kružnice Metoda konečných prvků pro rovinnou napjatost Laméovy rovnice Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical

Více

Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak

Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak SMA Přednáška Doplňková virtuální práce momentů Metody integrace dvou spojitých funkcí Doplňková virtuální práce posouvajících sil Vliv rovnoměrné a nerovnoměrné teploty Formulace principu virtuálních

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy)

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy) SMA Přednáška Informace o předmětu Energie vnějších a vnitřních sil Virtuální energie vnějších a vnitřních sil Princip virtuálních prací a sil Příklady Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University

Více

13. Prostý ohyb Definice

13. Prostý ohyb Definice p13 1 13. Prostý ohyb 13.1. Definice Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v

Více

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1

Statika. fn,n+1 F = N n,n+1 Statika Zkoumá síly a momenty působící na robota v klidu. Uvažuje tíhu jednotlivých ramen a břemene. Uvažuje sílu a moment, kterou působí robot na okolí. Uvažuje konečné tuhosti ramen a kloubů. V našem

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

Kritéria porušení laminy

Kritéria porušení laminy Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém

Více

Geometricky válcová momentová skořepina

Geometricky válcová momentová skořepina Geometricky válcová momentová skořepina Dalším typem tenkostěnnéo rotačně souměrnéo tělesa je geometricky válcová momentová skořepina. Typický souřadnicový systém je opět systém s osami z, r, a t. Geometricky

Více

Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášky. Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků.

Stavební mechanika 3 132SM3 Přednášky. Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků. Stavební mechanika 12SM Přednášky Deformační metoda: ZDM pro rámy s posuvnými styčníky, využití symetrie, výpočetní programy a kontrola výsledků. Porovnání ODM a ZDM Příklad 1: (viz předchozí přednáška)

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy)

Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy) SMA Přednáška Informace o předmětu Energie vnějších a vnitřních sil Virtuální energie vnějších a vnitřních sil Princip virtuálních prací a sil Příklady Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University

Více