MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT
|
|
- Alexandra Konečná
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 8. licenční studium Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie MATEMATICKÉ PRINCIPY VÍCEROZMĚRNÉ ANALÝZY DAT Příklady: ) Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní vektory matice A 2) Vypočtěte výběrový průměr, Wishartovu matici W a výběrovou kovarianční matici S pro n=4. Kolik různých párových korelačních koeficientů obsahuje korelační matice R. Zpracoval: Ing. Roman Lisztwan V Třinci dne
2 Příklad č. Najděte vlastní (charakteristická) čísla a vlastní vektory matice A [řádek,sloupec]: A[,] =, A[2,] = -2, A[,2] = -2, A[2,2] =. Přesvědčte se, že jsou vlastní vektory dané matice ortogonální. Existuje matice A -. Je A regulární? Řešení: Cílem je zjistit, zda existují čísla λ a nenulové vektory v tak, aby vektor Av přiřazený k v danou transformací, byl roven λv (aby byl kolineární s původním vektorem v. Z charakteristické rovnice vypočteme vlastní čísla a vlastní vektory matice A. Daná matice má pro libovolné t (různé od nuly) právě dva různé lineárně nezávislé charakteristické vektory, což dokazuje nenulový determinant se souřadnic obou vektorů. Skalární součin vektorů v * v 2 je roven nule, a tudíž jsou vlastní vektory ortogonální. Řada maticových operací se neobejde bez inverzní matice. Nutnou a postačující podmínkou proto, aby existovala k dané čtvercové matici typu n matice inverzní je regulárnost dané matice. Je-li det A různý od 0 (tj. hodnost matice h = n, tzn., že hodnost matice A je číselně rovna maximálnímu možnému počtu lineárně nezávislých řádků matice A) pak matici A můžeme považovat za regulární. K této čtvercové regulární matici A existuje jediná inverzní matice A -, která je také regulární. K určení inverzní matice se využívá adjungované matice. Nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů matice A Av = λv (A- λe)v = 0 Rovnici det (λe a) = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí matice A. A = -2-2 det A = a. a 22 a 2. a 2 = -3 Výpočet vlastních čísel: A = -λ λ (-λ) 2 4 = 0 λ 2-2λ - 3 = 0 λ = 3 λ 2 = - Výpočet vlastních vektorů: pro λ = 3 pro λ 2 = - A = -2-2 * v = 0 A = 2-2 * v = v v v - 2 v 2 = 0 2 v - 2 v 2 = 0 - v - v 2 = 0 v - v 2 = 0 v = - v 2 v = v 2 v = t, -t v 2 = t, t
3 2 det V = t -t = 2t 2 0, pro t 0 t t pro t = v =, - v 2 =, Nalezení inverzní matice k matici A A - = /det A. adj A det A = a. a 22 - a 2. a 2 adj A = a 22 - a 2 A = a a 2 - a 2 a a 2 a 22 A - = /3 2 = -/3-2/3 2-2/3 -/3 Závěr: Vlastní vektory matice a jsou ortogonální. K matici A existuje matice inverzní. Matice A je regulární. 2
4 3 Příklad č.2 Je dán náhodný výběr o rozsahu n = 4. Vypočtěte výběrový průměr, Wishartovu matici W a výběrovou kovarianční matici S. Kolik různých párových korelačních koeficientů obsahuje korelační matice R. Data: V4 (p=2) = x i = x x 2 x 3 x 4 V4 (p=3) = x i = x x 2 x 3 x 4 x j = x 2 x 22 x 23 x 24 x j = x 2 x 22 x 23 x 24 x k = x 3 x 32 x 33 x 44 V4 (p=2) = x i = 0 2 V4 (p=3) = x i = 0 2 x j = x j = x k = Řešení: K výpočtu byly použity dva výběry o rozsahu n = 4 pro p = 2 a pro p = 3. U vícerozměrných náhodných veličin lze jednotlivé složky náhodného vektoru x charakterizovat pomocí momentů. K odvození kovariance vyjdeme z charakteristiky variability (disperze) a její vlastnosti. Pomocí Whishartovy matice dospějeme k výběrové kovarianční matici S a následně ke korelační matici R. Kovarianční matice má na diagonále rozptyly a charakterizuje míru intenzity vztahu mezi složkami náhodného vektoru x. Korelační matice má na diagonále jedničky a je zvláštním případem kovariance (normovaná verze kovarianční matice). Pokud je absolutní hodnota párového korelačního koeficientu ρ xi xj rovna pak existuje mezi x i a x j přesně lineární vztah, je-li roven 0 pak x i a x j jsou vzájemně nekorelované. Výpočet pro p = 2 Charakteristika polohy X-střední hodnota: EX Výpočet výběrového průměru x i = /n x i, x j = /n x j Charakteristika variability X-rozptyl: DX=E(X-EX) 2 Výpočet výběrového rozptylu s i 2 = /(n-) (x i - x i ) 2, s j 2 = /(n-) (x j - x j ) 2 Vlastnosti disperze pro p = 2 D(X+Y) = E[(X+Y) E(X+Y)] 2 = E[(X-EX) + (Y-EY)] 2 = E[(X-EX) 2 +2(X-EX)(Y-EY) + (Y-EY) 2 ] = DX + 2E(X-EX)(Y-EY) + DY Charakteristika vztahu mezi X, Y-kovariance: cov(x,y) = E(X-EX)(Y-EY) Výpočet výběrové kovariance s ij = /(n-) (x i - x i )(x j - x j ) Standardizace kovariance - párový korelační koeficient ρ XY = ρ(x,y) = cov(x,y) / σ X σ Y Whishartova matice -W= (x - x)(x - x) T Kovarianční matice - S = W/(n-) 3
5 4 Whishartova matice -W Kovarianční matice - S Korelační matice - R W = w ii w ji S = s ii s ji R = r ii r ji w ij w jj s ij s jj r ij r jj w ii = (x i - x i ) 2 s ii = /(n-) (x i - x i ) 2 r ii = w jj = (x j - x j ) 2 s ij = /(n-) (x j - x j ) 2 r jj = w ij = w ji = (x i - x i )(x j - x j ) s jj = s ji = /(n-) (x i - x i )(x j - x j ) r ij = r ji = s jj /s ii s ij i,j x - x (x - x) (x - x) T (x - x) * (x - x) T x x - x i x - x i * x - x i ; x 2 - x j = (x - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) x 2 x 2 - x j x 2 - x j (x 2 - x j )* (x - x i ) (x 2 - x j ) 2 x 2 x 2 - x i x 2 - x i * x 2 - x i ; x 22 - x j = (x 2 - x i ) 2 (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) x 22 x 22 - x j x 22 - x j (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) (x 22 - x j ) 2 x 3 x 3 - x i x 3 - x i * x 3 - x i ; x 23 - x j = (x 3 - x i ) 2 (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) x 23 x 23 - x j x 23 - x j (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) (x 23 - x j ) 2 x 4 x 4 - x i x 4 - x i * x 4 - x i ; x 24 - x j = (x 4 - x i ) 2 (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) x 24 x 24 - x j x 24 - x j (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 24 - x j ) 2 Wishartova matice W W = (x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 Kovarianční matice S (x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + S = /(n-) (x2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 Korelační matice R R = [(x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i )]/ (n-)[(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 )/(n-)) -/2 * (((x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 ] [(x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )* (x 4 - x i )]/ (n-) [(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 )/(n-)) -/2 * ((x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 ] 4
6 5 i,j x - x (x - x) (x - x) T (x - x) * (x - x) T 0 0 * 0; 0,75 = 0 0 0,75 0,75 0 0, * -;,75 = -,75 2,75,75 -,75 3, * 0; -2,25 = 0-0, ,25-2,25 0 0,06 2 * ; -0,25 = -0,25 0-0,25-0,25-0,25 0,06 x = x i x j 0,25 Whishartova matice -W Kovarianční matice - S Korelační matice - R W = 2-2 S = 0,67-0,67 R = -0, ,75-0,67 2,92-0,478 5
7 6 Výpočet pro p = 3 V4 (p=3) = x i = x x 2 x 3 x 4 x j = x 2 x 22 x 23 x 24 x k = x 3 x 32 x 33 x 44 V4 (p=3) = x i = 0 2 x j = x k = Výpočet výběrového průměru x i = /n x i, x j = /n x j, x k = /n x k x i x = x j 0,25 x k 0,50 Vlastnosti disperze D(X+Y+Z) = E[(X+Y+Z) E(X+Y+Z)] 2 = E[(X-EX) + (Y-EY) + (Z-EZ)] 2 = E[(X-EX) 2 +2(X-EX)(Y-EY) + 2(X-EX)(Z-EZ) + (Y-EY) 2 + 2(Y-EY)(Z-EZ) + (Z-EZ) 2 ] = DX + 2E(X- EX)(Y-EY) + 2(X-EX)(Z-EZ) + 2(Y-EY)(Z-EZ) + DY + DZ Kovariance - cov(x,y) = E(X-EX)(Y-EY) - cov(x,z) = E(X-EX)(Z-EZ) - cov(y,z) = E(Y-EY)(Z-EZ) Korelace - ρ(x,y) = cov(x,y) / σ X σ Y - ρ(x,y) = cov(x,z) / σ X σ Z - ρ(x,y) = cov(y,z) / σ Y σ Z Whishartova matice -W Kovarianční matice - S Korelační matice - R w ii w ji w ki s ii s ji s ki r ii r ji r ki W = w ij w jj w kj S = s ij s jj s kj R = r ij r jj r kj w ik w jk w kk s ik s jk s kk r ik r jk r kk w ii = (x i - x i ) 2 s ii = /(n-) (x i - x i ) 2 r ii = w jj = (x j - x j ) 2 s ij = /(n-) (x j - x j ) 2 r jj = w kk = (x k - x k ) 2 s kk = /(n-) (x k - x k ) 2 r kk = w ij = w ji = (x i - x i )(x j - x j ) s ij = s ji = /(n-) (x i - x i )(x j - x j ) r ij = r ji = s ij /s ii s jj w ik = w ki = (x i - x i )(x k - x k ) s ik = s ki = /(n-) (x i - x i )(x k - x k ) r ik = r ki = s ik /s ii s kk w jk = w kj = (x j - x j )(x k - x k ) s jk = s kj = /(n-) (x j - x j )(x k - x k ) r jk = r kj = s jk /s jj s kk 6
8 7 i,j,k x - x (x - x) (x - x) T x x - x i x - x i * x - x i ; x 2 - x j ; x 3 - x k x 2 x 2 - x j x 2 - x j x 3 x 3 - x k x 3 - x k x 2 x 2 - x i x 2 - x i * x 2 - x i ; x 22 - x j ; x 32 - x k x 22 x 22 - x j x 22 - x j x 32 x 32 - x k x 32 - x k x 3 x 3 - x i x 3 - x i * x 3 - x i ; x 23 - x j ; x 33 - x k x 23 x 23 - x j x 23 - x j x 33 x 33 - x k x 33 - x k x 4 x 4 - x i x 4 - x i * x 4 - x i ; x 24 - x j ; x 34 - x k x 24 x 24 - x j x 24 - x j x 34 x 34 - x k x 34 - x k (x - x) * (x - x) T (x - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) (x 3 - x k )* (x - x i ) (x 2 - x j )* (x - x i ) (x 2 - x j ) 2 (x 2 - x j )* (x 3 - x k ) (x 3 - x k )* (x - x i ) (x 2 - x j )* (x 3 - x k ) (x 3 - x k ) 2 (x 2 - x i ) 2 (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) (x 32 - x k )* (x 2 - x i ) (x 22 - x j )* (x 2 - x i ) (x 22 - x j ) 2 (x 22 - x j )* (x 32 - x k ) (x 32 - x k )* (x 2 - x i ) (x 22 - x j )* (x 32 - x k ) (x 32 - x k ) 2 (x 3 - x i ) 2 (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) (x 33 - x k )* (x 3 - x i ) (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) (x 23 - x j ) 2 (x 23 - x j )* (x 33 - x k ) (x 33 - x k )* (x 3 - x i ) (x 23 - x j )* (x 33 - x k ) (x 33 - x k ) 2 (x 4 - x i ) 2 (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 34 - x k )* (x 4 - x i ) (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 24 - x j ) 2 (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) (x 34 - x k )* (x 4 - x i ) (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) (x 34 - x k ) 2 7
9 8 Wishartova matice (x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i )+(x 23 - x j )* (x 3 - x i )+ (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 3 - x k )* (x - x i )+ (x 32 - x k )* (x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k )* (x 4 - x i ) W = (x 2 - x j )*(x - x i ) + (x 22 - x j )*(x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )*(x 4 - x i ) (x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 (x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) Kovarianční matice S (x 3 - x k )*(x - x i )+ (x 32 - x k )*(x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k ) (x 4 - x i ) (x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) (x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 (x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 + (x 3 - x i ) 2 + (x 4 - x i ) 2 (x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i )+(x 23 - x j )* (x 3 - x i )+ (x 24 - x j )* (x 4 - x i ) (x 3 - x k )* (x - x i )+ (x 32 - x k )* (x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k )* (x 4 - x i ) S = /(n-) (x 2 - x j )*(x - x i ) + (x 22 - x j )*(x 2 - x i ) + (x 23 - x j )* (x 3 - x i ) + (x 24 - x j )*(x 4 - x i ) (x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 (x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) Korelační matice R (x 3 - x k )*(x - x i )+ (x 32 - x k )*(x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k )*(x 4 - x i ) (x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k ) [(x 2 - x j )* (x - x i ) + (x 22 - x j )* (x 2 - x i )+(x 23 - x j )* (x 3 - x i )+ (x 24 - x j )* (x 4 - x i )]/(n-)[(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 +(x 3 - x i ) 2 +(x 4 - x i ) 2 )/(n-)) -/2 *(((x 2 - x j ) 2 +(x 22 - x j ) 2 +(x 23 - x j ) 2 +(x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 ] (x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 [(x 3 - x k )* (x - x i )+ (x 32 - x k )* (x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k )* (x 4 - x i )]/(n-)[(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 +(x 3 - x i ) 2 +(x 4 - x i ) 2 )/(n- )) -/2 * (((x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 )/(n-)) -/2 ] R = [(x 2 - x j )*(x - x i )+ (x 22 - x j )*(x 2 - x i )+ (x 23 - x j )* (x 3 - x i )+(x 24 - x j )*(x 4 - x i )]/(n- )[(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 +(x 3 - x i ) 2 +(x 4 - x i ) 2 )/(n-)) -/2 *(((x 2 - x j ) 2 +(x 22 - x j ) 2 +(x 23 - x j ) 2 +(x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 ] [(x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k )]/(n-)[(((x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 * (((x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 )/(n- )) -/2 ] [(x 3 - x k )*(x - x i )+ (x 32 - x k )*(x 2 - x i )+ (x 33 - x k )* (x 3 - x i )+ (x 34 - x k )*(x 4 - x i )]/(n- )[(((x - x i ) 2 + (x 2 - x i ) 2 +(x 3 - x i ) 2 +(x 4 - x i ) 2 )/(n-)) -/2 * (((x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 )/(n-)) -/2 ] [(x 2 - x j )* (x 3 - x k )+ (x 22 - x j )* (x 32 - x k )+ (x 23 - x j )* (x 33 - x k )+ (x 24 - x j )* (x 34 - x k )]/(n-)[(((x 2 - x j ) 2 + (x 22 - x j ) 2 + (x 23 - x j ) 2 + (x 24 - x j ) 2 )/(n-)) -/2 * (((x 3 - x k ) 2 + (x 32 - x k ) 2 + (x 33 - x k ) 2 + (x 44 - x k ) 2 )/(n-)) -/2 ] 8
10 9 i,j,k x - x (x - x) (x - x) T (x - x) (x - x) T 0 0 * 0; 0,75;,5 = ,75 0,75 0 0,563,25 2,5,5 0,25 2, * -;,75; 0,5 = -,75-0,5 2,75,75 -,75 3,06 0,875 0,5 0,5-0,5 0,875 0, * 0; -2,25; -0,5 = ,25-2,25 0 5,063,25 0-0,5-0,5 0,25 0,25 2 * ; -0,25; -,5 = -0,25 -,5 0-0,25-0,25-0,25 0,063 0, ,5 -,5 -,50 0,375 2,25 Whishartova matice -W Kovarianční matice - S Korelační matice - R ,67-0,67-0,67-0,48-0,63 W = -2 8,75 3,5 S = -0,67 2,92,7 R = -0,48 0,53-2 3,5 5-0,67,7,67-0,63 0,53 Závěr: Korelační matice pro p = 2 má dva různé korelační koeficienty a pro p = 3 má 4. 9
AVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze
AVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování vlastní čísla a vlastní vektory A je čtvercová matice řádu n. Pak
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceNáhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
VícePříklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost
Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Více4 STATISTICKÁ ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DAT
4 SAISICKÁ ANALÝZA VÍCEROZMĚRNÝCH DA V technické biologické ale také lékařské praxi se často vedle informací obsažených v náhodném skaláru ξ vyskytují i informace obsažené v náhodném vektoru ξ s m složkami
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceStatistická analýza jednorozměrných dat
Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceAnalýza hlavních komponent
Analýza hlavních komponent Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz J. Neubauer, J. Michálek (Katedra ekonometrie UO) Analýza
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Víceodpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných
8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceUniverzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie
Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Víceekologie Pavel Fibich Vektor a Matice Operace s maticemi Vlastnosti matic Pavel Fibich Shrnutí Literatura
emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012 Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6 emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDeterminanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
VíceMatematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Lineární a nelineární regrese Přednášky ZS 2016-2017 Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016 Povinná látka. Bude v písemkách a bude
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceUniverzita Pardubice. Fakulta chemicko-technologická. Katedra analytické chemie. Semestrální práce. Licenční studium
Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie Semestrální práce Licenční studium Statistické zpracování dat při kontrole a řízení jakosti předmět 3.1. Matematické principy
VíceKIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY
KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Více