Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku"

Transkript

1 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku RNDr. František Staněk, Ph.D, Ph.D., Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D., Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák., Mgr. Jana Trojková. VŠB-TU Ostrava, HGF-Institut fyziky 2012 Učební text byl sepsán za podpory projektu FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku. ISBN

2 Vstupní slovo Soubor příkladů v textu Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku je určen pro studenty prezenčního i kombinovaného studia na Fakultě hornicko-geologické a Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB-TU Ostrava. Sbírka je rozdělena do pěti kapitol. Úvodní část je věnována fyzikálním jednotkám a základům vektorového počtu, které jsou použity při řešení úloh v textu. Každá z následujících kapitol resp. podkapitol sestává ze tří částí. V první jsou uvedeny základní pojmy, zákony a principy potřebné pro řešení daných úloh. V druhé části jsou úlohy řešené a v třetí části zadané úlohy k řešení s hodnotami vypočtených výsledků. Řešení předložených úloh vyžaduje znalost středoškolské matematiky a fyziky, vektorové algebry a základů diferenciálního počtu na úrovni Bakalářské matematiky. Předkládaný učební text autorsky za redakce RNDr. Františka Staňka, Ph.D. autorsky zpracovali: Kapitola 1. - kolektiv všech autorů-po vzájemné konzultaci; kapitola 2. Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák a RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 3. Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D. a RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 4. RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 5. Mgr. Jana Trojková, Ph.D. U kapitoly 5 je patrný větší rozsah teoretických informací. Po vzájemné konzultaci s autorkou jsme z důvodů malého povědomí o světle, pojali v tomto duchu. Na formální úpravě textu a nakreslení obrázků se podíleli ing. Igor Hlubina a Bc. Radek Ješko. Ke konečné úpravě po přečtení a přepočítání příkladů svými náměty a postřehy přispěla Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D. Všem výše jmenovaným za spolupráci upřímně děkuji Fr. Staněk Učební text byl sepsán za podpory projektu FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku. 2

3 OBSAH STRANA 1. ÚVOD SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY, DIFERENCIÁLNÍ POČET 9 2. MECHANIKA KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE GRAVITAČNÍ POLE DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANICKÉ KMITÁNÍ MECHANICKÉ VLNĚNÍ TEKUTINY A TERMIKA TEKUTINY TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY TERMIKA KALORIMETRICKÁ ROVNICE, FÁZOVÉ PŘECHODY 126 3

4 3.4 STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU, JEDNODUCHÉ DĚJE TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON SDÍLENÍ TEPLA ELEKTROMAGNETICKÉ POLE ELEKTROSTATICKÉ POLE ELEKTRICKÝ PROUD MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI, MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU STŘÍDAVÉ PROUDY ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE, ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ GEOMETRICKÁ OPTIKA FOTOMETRIE VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA 238 LITERATURA 244 4

5 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve kterých se fyzikální objekty nacházejí parametry fyzikálních jevů (dějů a procesů), které je možno měřit Měřením fyzikální veličiny určujeme její hodnotu. Hodnotu (velikost) fyzikální veličiny určujeme kvantitativním porovnáváním s určitou, předem zvolenou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou volíme za jednotku. Hodnotu fyzikální veličiny X vyjadřujeme její číselnou hodnotou {X} a jednotkou fyzikální veličiny [X]. Hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota měřicí jednotka X = {X} [X] Jednotka fyzikální veličiny (měřicí jednotka)je dohodou stanovená hodnota fyzikální veličiny, která je základem pro měření fyzikálních veličin stejného druhu. ZÁKONNÉ JEDNOTKY Zákonné jednotky v ČR jsou: základní jednotky, jednotky doplňkové, odvozené, dekadické násobky a díly základních a odvozených jednotek a jednotky vedlejší. Základní jednotky SI Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí: Fyzikální veličina Značka veličiny Základní jednotka Značka jednotky délka l metr m hmotnost m kilogram kg čas t sekunda s elektrický proud I ampér A termodynamická teplota T kelvin K látkové množství n mol mol svítivost I kandela cd 5

6 Doplňkové jednotky. Generální konference pro váhy a míry o těchto jednotkách dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené. Fyzikální veličina Značka veličiny Základní jednotka Značka jednotky rovinný úhel např. radián rad prostorový úhel např. steradián sr radián-rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru steradián-prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy Odvozené jednotky SI. Tyto jednotky jsou odvozené ze základních jednotek na základě definičních vztahů, v nichž se vyskytuje násobení. Dělení je v zápise odvozené jednotky obvykle nahrazeno násobením se zápornou mocninou. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy, převážně podle jmen významných fyziků. Přehled některých jednotek používaných v mechanice je uveden v následující tabulce: Jednotka Značka jednotky Fyzikální veličina Fyzikální rozměr jednotky m 2 plošný obsah m 2 m 3 objem m 3 m -1 vlnočet m -1 hertz Hz frekvence s -1 m/s rychlost m s -1 rad/s úhlová rychlost rad s -1 m/s 2 zrychlení m s -2 rad/s 2 úhlové zrychlení rad s -2 newton N síla m kg s -2 joule J energie, práce, teplo m 2 kg s -2 watt W výkon m 2 kg s -3 N m moment síly m 2 kg s -2 kg m 2 moment setrvačnosti m 2 kg kg/m 3 hustota m -3 kg pascal Pa tlak, napětí m -1 kg s -2 6

7 Násobné a dílčí jednotky Násobné a dílčí jednotky jsou jednotky získané jako násobek nebo díl základní nebo odvozené jednotky. Jejich název je vytvořen přidáním předpony před základní nebo odvozenou jednotku, případně před její značku. Výjimkou je jednotka hmotnosti g (gram), která je dílem základní jednotky kg (kilogram) Přehled normalizovaných předpon Předpona Značka předpony Poměr k základní jednotce exa- E péta- P tera- T giga- G 10 9 mega- M 10 6 kilo- k 10 3 hekto- h 10 2 deka- da 10 deci- d 10-1 centi- c 10-2 mili- m 10-3 mikro- μ 10-6 nano- n 10-9 piko- p femto- f atto- a

8 Vedlejší jednotky Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Jejich užívání v běžném praktickém životě je tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro praxi vhodnější. K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky. Lze používat jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinovaných z vedlejších jednotek, např. km h -1 nebo l min -1 apod. Lze používat poměrových a logaritmických jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva). Některé vedlejší jednotky uvádí následující tabulka. Veličina Jednotka Značka jednotky Vztah k jednotkám SI délka astronomická jednotka parsek světelný rok UA pc ly 1 UA = 1, m 1 pc = 3, m 1 ly = 9, m hmotnost atomová hmotnostní jednotka tuna u t 1 u = 1, kg 1 t = 1000 kg čas hodina minuta den h min d 1 h = 3600 s 1 min = 60 s 1 d = s teplota Celsiův stupeň 0 C 1 0 C = K rovinný úhel úhlový stupeň úhlová minuta vteřina 0 ' " 1 0 = (π/180) rad 1 ' = (π/10800) rad 1 " = (π/648000) rad plošný obsah hektar ha 1 ha = 10 4 m 2 objem litr l 1 l = 10-3 m 3 energie elektronvolt ev 1 ev = 1, J tlak bar b 1 b = 10 5 Pa optická mohutnost dioptrie D 1 D = 1 m -1 zdánlivý výkon voltampér VA jalový výkon var var 8

9 1.2 MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY, DIFERENCIÁLNÍ POČET Skalární a vektorové fyzikální veličin Veličiny, se kterými se ve fyzice setkáme, dělíme na: skalární fyzikální veličiny (skaláry) - jsou zcela určeny jen číselnou hodnotou a měřící jednotkou (patří sem např. čas t, dráha s, energie E, moment setrvačnosti J apod.) - vektorové fyzikální veličiny (vektory) - jsou zcela určeny číselnou hodnotou, směrem, orientací a měřící jednotkou (patří sem např. síla F, rychlost v, moment síly M apod.) Graficky zobrazujeme vektorovou veličinu orientovanou úsečkou, jejíž délka znázorňuje velikost vektoru (značí se X ), její orientace směr vektoru. Počáteční bod vektoru určuje umístění vektoru. V textu jsou vektorové veličiny vyznačeny tučným písmem nebo šipkou nad veličinou. S vektory můžeme provádět některé početní operace: násobení a dělení vektoru skalárem sčítání a odčítání vektorů (stejného směru, různé orientace) rozkládání vektoru do dvou daných (různoběžných) směrů násobení vektorů (skalární a vektorové) Pravidla pro počítání s vektory: Definice: - Každou uspořádanou n tici čísel (a 1,a 2,..a n ) nazveme n rozměrným vektorem. Čísla a 1, a 2,. a n nazveme složky vektoru. Označení - Vektor nazýváme nulový vektor. Pro počítání s n - rozměrnými vektory platí tato pravidla: komutativní zákon asociativní zákon distributivní zákon 9

10 Definice: - Pro dva vektory, platí: pro mají vektory a stejnou orientaci (vektory souhlasně rovnoběžné ); pro mají vektory a opačné orientace (vektory nesouhlasně rovnoběžné ) Definice: - Jednotkový vektor - Skalárním součinem vektorů a nazýváme číslo: - Vektorový součinem vektorů (o třech složkách) a nazýváme číslo: ; - Velikost vektoru(o třech složkách) 10

11 2. MECHANIKA 2.1 KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Slouží k popisu pohybu hmotného bodu v definované soustavě souřadnic (vztažné soustavě). Používané pojmy, které je třeba znát Hmotný bod (HB); vztažné těleso; vztažná soustava; relativnost klidu a pohybu tělesa; kinematický popis pohybu HB; poloha HB; polohový vektor HB; trajektorie HB; dráha HB; klasifikace pohybů dle tvaru trajektorie (přímočaré a křivočaré); klasifikace pohybů dle velikosti rychlosti (rovnoměrné a nerovnoměrné). Rychlost hmotného bodu y r 1 r 0 r 2 x z a) průměrná rychlost: - velikost průměrné rychlosti: - průměrná rychlost je skalár b) okamžitá rychlost: c) velikost rychlosti: d) směr rychlosti: - vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic: ( ) Okamžitá rychlost je vektor, který má směr tečny k trajektorii v místě, v němž okamžitou rychlost určujeme, a je orientován ve směru pohybu. 11

12 e) jednotka: Zrychlení hmotného bodu v 1 v 2 v 1 v 1 2 v v 2 v a) průměrné zrychlení při pohybu přímočarém je skalární veličina: b) okamžité zrychlení: c) velikost zrychlení: d) směr vektoru zrychlení: - vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic: ( ) e) jednotka: f) přirozené složky zrychlení (tečné a normálové): - velikost tečného (tangenciálního) zrychlení: - udává změnu velikosti rychlosti - velikost normálového (dostředivého) zrychlení: - udává změnu směru rychlosti - celkové zrychlení: Grafické vyjádření je na následujícím obrázku a určení směru vektoru zrychlení vzhledem k rychlosti vyjadřuje úhel. 12

13 Přímočarý pohyb: Dělení: Rovnoměrný přímočarý:. Rovnoměrně zrychlený přímočarý: ;. Rovnoměrně zpomalený přímočarý:. Zastavení: Nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb:. Volný pád: rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v tíhovém poli Země =0 ;. Kruhový pohyb Trajektorie je kružnice a zavádějí se úhlové veličiny. a) Úhlová dráha:(úhel opsaný průvodičem): ; jednotka: rad 13

14 b) Úhlová rychlost: ; ; jednotka: - směr: leží v ose rotace - orientace: na tu stranu, ze které vidíme směr otáčení kladně rychlost nazýváme rychlostí obvodovou (postupnou) c) Úhlové zrychlení: ; jednotka: - směr: totožný se směrem úhlové rychlosti - tečné zrychlení: - normálové zrychlení: d) Perioda T: čas jednoho oběhu po kružnici ; jednotka: e) Frekvence f: počet oběhů za 1 s; ; jednotka: Dělení: Rovnoměrný pohyb po kružnici: Rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici: Nerovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici:. PŘÍKLADY: 14

15 Při silném kýchnutí zavře člověk oči na. Jakou dráhu urazí auto za tuto dobu jedoucí rychlostí, jakou auto pohotovostní záchranné služby jedoucí rychlostí a kolik metrů uletí stíhačka pohybující se rychlostí? Řešení: Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem je dán definicí rychlosti, odtud pro dráhu platí. Po dosazení číselných hodnot Automobil urazí dráhu, auto záchranné služby a stíhačka urazila dráhu Automobil projel první třetinu dráhy stálou rychlostí, další dvě třetiny stálou rychlostí. Jeho průměrná rychlost po projetí dráhy byla. Jaká byla rychlost, víte-li že rychlost v druhé části byla? Řešení:? První třetinu dráhy projel automobil za čas, druhou část za čas, celou dráhu projel za celkový čas. Čas ; čas ; čas a po úpravě 15

16 odtud pro : Po dosazení číselných hodnot Automobil projel první část dráhy rychlostí Stanovte, za jak dlouho a jakou rychlostí by dopadla těžní klec na dno jámy po přetržení lana ve výšce h nade dnem jámy v případě, že těžní klec Řešení: a) a) sjíždí konstantní rychlostí do jámy b) vyjíždí konstantní rychlostí z jámy b) Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru tak, že pro jeho dráhu v závislosti na čase platí. Určete absolutní hodnotu jeho zrychlení v čase. Řešení: ( ),, 16

17 Zrychlení hmotného bodu ve třetí sekundě je 200,09 m.s Otáčky setrvačníku klesly z 900 otáček za minutu na 800 otáček za minutu za dobu. Určete jeho úhlové zrychlení a počet otáček, které za tuto dobu vykonal. Kolik času uplyne, než se setrvačník zastaví? Řešení: ( ),,, Velikost úhlového zrychlení setrvačníku je 2,09 a za 45 s došlo k jeho úplnému zastavení., setrvačník vykonal 70,83 otáček Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor závisí na čase podle rovnice kde a) Určete vektor rychlosti. b) Určete velikost rychlosti. c) Určete směr vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru. d) Určete vektor zrychlení a jeho velikost. e) Určete přirozené složky zrychlení. f) Určete, o jaký pohyb se jedná. g) Určete poloměr křivosti R. ( ) ( ) [ ] 17

18 2.1-7 K tonoucímu v řece ve vzdálenosti vyráží plavec kolmo k břehu rychlostí. Rychlost proudu řeky je. Určete velikost a směr rychlosti plavce vzhledem k rychlosti vody. Jakou vzdálenost musí plavec uplavat, aby se dostal k tonoucímu? [ ] Účastník záchranářského cvičení tvrdil, že dopad kamene na dno propasti Macocha o hloubce slyšel za. Rychlost zvuku je. Měl pravdu? [ ] Motor vykonal po vypnutí během a zastavil se. Určete jeho zpomalení, předpokládáte-li, že bylo rovnoměrné. Stanovte frekvenci otáček v okamžiku vypnutí. [ ] Automobil hmotnosti jede po zledovatělé vozovce s kopce o klesání rychlostí. Ve vzdálenosti před automobilem vstoupí kolmo do vozovky chodec. Reakční doba řidiče je. Určete minimální rychlost automobilu v místě možného střetu, je-li maximální rovnoměrné zpomalení pohybu automobilu určeno třecí silou na styku pneumatiky s vozovkou; součinitel tření je. (Použijte hodnotu tíhového zrychlení a výslednou hodnotu uveďte v zaokrouhleně na jedno desetinné místo). [ ] 18

19 2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Studuje příčiny změn pohybového stavu HB, proč se jeho pohybový stav změnil a za jakých podmínek se tato změna uskutečnila. Používané pojmy, které je třeba znát: Síla: Vektorová veličina charakterizující vzájemné silové působení těles (resp. HB); je určena velikostí, směrem a působištěm; označuje se ; jednotkou je newton: Hybnost: vektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti HB; hybnosti, je hmotnost HB a je vektor okamžité rychlosti; jednotka: kde je vektor Skládání sil; Interakce (vzájemné silové působení); Účinky silového působení; Volné těleso; Inerciální vztažná soustava (IVS). 1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti) Každé těleso setrvává v relativním klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, dokud není přinuceno silovým působením jiných těles tento svůj pohybový stav změnit. Za podmínky, že na HB nepůsobí vnější síly, můžeme tedy tuto formulaci pomocí rovnic zapsat takto: ( ) Galileův princip relativity: Klid a pohyb rovnoměrný přímočarý jsou dva rovnocenné stavy, které lze rozlišit jen relativně (tj. ve vztahu k okolí). Všechny IVS jsou z mechanického hlediska ekvivalentní, žádným mechanickým pokusem provedeným uvnitř IVS nelze jednoznačně určit, zda a jakou rychlostí se soustava pohybuje vzhledem k jiné IVS. 2. Newtonův pohybový zákon (zákon síly) Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle. Pomocí rovnice zapíšeme jako:. V případě konstantní hmotnosti tělesa platí: 19

20 Mění-li se hmotnost tělesa, tak platí: Setrvačná hmotnost: Je hmotnost tělesa určená na základě zrychlení, které těleso získá po působení určité síly Impulz síly (charakterizuje časový účinek síly): Jednotkou je. V případě konstantní síly platí: (resp. ). a dle 2. NPZ platí: [ ] [ ] [ ] 3. Newtonův pohybový zákon (zákon akce a reakce) Síly vzájemného působení dvou těles jsou stejně velké, stejného směru, ale opačné orientace. Platí tedy: Pozn.: Síly působí na různá tělesa, proto se ve svém účinku neruší ( na první a atd.) na druhé těleso, Zákon zachování hybnosti Pro izolovanou soustavu obsahující n těles (resp. n HB), které na sebe vzájemně působí (sráží se, atd.), platí: 20

21 tedy: což je zákon zachování hybnosti v izolované soustavě hmotných bodů. Axiom o nezávislosti silového působení Zrychlení tělesa, na které působí současně několik sil, je rovno vektorovému součtu zrychlení, které tělesu udílejí jednotlivé síly Newtonova pohybová rovnice pro HB Dle 2. Newtonova pohybového zákona je: kde jsou jednotlivé síly působící na HB v dané vztažné soustavě. Tuto vektorovou rovnici lze nahradit soustavou tří nezávislých rovnic pro souřadnice, tedy: ve směru x: ve směru y: ve směru z: Pohybové rovnice pro jednotlivé typy pohybů Pro přímočarý pohyb: HB setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém HB se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem Pro křivočarý pohyb: Pro působící sílu použijeme rozklad na tečnou a normálovou sílu, které jsou na sebe vzájemné kolmé a zapíšeme je jako: tečná síla: 21

22 normálová síla: Normálová složka má směr do středu křivosti trajektorie a proto se také označuje jako dostředivá síla (síla nutící HB ke křivočarému pohybu); dle 3. NPZ existuje reakce na tuto sílu, tj. síla odstředivá. Tíha G a tíhová síla F G Inerciální vztažné soustavy (IVS) Soustavy, v nichž platí Newtonovy pohybové zákony; mechanický pohyb se z hlediska různých vztažných soustav jeví různě; inerciálních vztažných soustav je nekonečně mnoho; vzájemný mechanický pohyb inerciálních vztažných soustav má nulové zrychlení. Neinerciální vztažné soustavy (NIVS) Vztažné soustavy, které se vzhledem k libovolné IVS pohybují s nenulovým zrychlením; působí zde síly setrvačné nemající původ v reálných tělesech uvnitř NIVS (označujeme je jako síly zdánlivé, fiktivní); síly setrvačné mají směr proti zrychlení dané soustavy; výsledná síla působící na těleso je rovna vektorovému součtu sil skutečných a sil setrvačných ( ). v rotujících soustavách: PŘÍKLADY: Určete velikost a orientaci zrychlení tělesa o hmotnosti, které se pohybuje bez tření v horizontální rovině a na něž působí v této rovině síly síly a svírají v daném pořadí se silou úhly 90 a 180 (obr ) 22

23 Řešení: Obr Postupným skládáním sil dostáváme výslednici, pro určení její velikosti využijeme Pythagorovu větu (viz. obr ): Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení, odtud a po číselném dosazení Orientaci určíme z polohy vektorů síly (viz. obr ): po dopočítání: Těleso se pohybuje se zrychlením orientovaném ve směru svírajícím se silou úhel Pojízdná stříkačka o hmotnosti má být posunuta po vodorovné dráze, jeli tření tíhové síly. Jaké zrychlení stříkačky dosáhnou dva hasiči, působí-li každý silou? Řešení: 23

24 Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení kde Po číselném dosazení Stříkačka dosáhne zrychlení Kámen, který padá volným pádem kolem římsy nevyššího patra domu (bod A) rychlostí, na parapet okna (bod B) v přízemí dopadne rychlostí. Určete vzdálenost mezi sledovanými body a dobu, za kterou kámen tuto vzdálenost urazí (obr ). Řešení: Obr Vzdálenost, to je 24

25 Pro dráhu volného pádu platí vztah: Pro rychlost volného pádu platí vztah: odtud pro t:,, dosazením časů dostaneme: Doba pádu mezi body A-B.. Vzdálenost mezi sledovanými body je a doba pohybu mezi těmito body je S jakým stálým zrychlením se bude rozjíždět autobus o hmotnosti do svahu se a, jestliže se po vodorovné silnici stejnou tahovou silou rozjíždí se zrychlením (obr )? Řešení: Obr

26 pro úhel stoupání je dáno, odtud Tahová síla po vodorovné silnici: Proti pohybu při jízdě do svahu působí (obr ) síla a síla třecí dána vztahem: kde je tíha autobusu., Síla udělující zrychlení autobusu po úpravě: ( ), Po dosazení číselných hodnot. Autobus jede do svahu se stálým zrychlením ; Lyžař sjíždí po svahu s úhlem sklonu. Z místa, v němž byl lyžař původně v klidu, se rozjíždí se stálým zrychlením a ujede po svahu dráhu. Potom přejede na vodorovnou pláň, po které ujede až do zastavení opět dráhu l. Určete součinitel tření mezi lyžemi a sněhem, odpor vzduchu zanedbejte (obr ). Řešení: Obr

27 Výsledná síla působící na lyžaře při sjezdu je:, odtud:. Dráha zrychleného pohybu a rychlosti lyžaře na konci svahu je dána vztahy: po úpravě (vyloučení ) dostaneme: Pro zrychlení po pláni dostaneme: znaménko určuje směr zrychlení, odtud:, porovnáním rychlostí získáme:, upravíme, odtud: Po dosazení číselných hodnot Součinitel smykového tření mezi skluznicemi lyží a sněhem je 0, Míč o hmotnosti narazí na svislou stěnu rychlostí a odrazí se od ní rychlostí. Určete jeho hybnost před dopadem a po odrazu, průměrnou velikost síly, kterou míč působil na stěnu, víte-li, že doba trvání nárazu byla. Řešení: 27

28 Hybnost je dána vztahem: Hybnost míče při dopadu je:. po dosazení číselných hodnot: Hybnost míče po odrazu je: po dosazení číselných hodnot: Při určení průměrné síly použijeme vztahů pro impulz síly; důsledku 2. N.P.Z.pro tělesa s konstantní hmotností a zrychlení: dosazením a úpravou dostaneme: po dosazení číselných hodnot: Hybnost před dopadem je, hybnost po odrazu a průměrná síla je N (orientace síly je proti orientaci vektoru rychlosti ) Jak veliká síla působí na střelu o hmotnosti, která proletěla hlavní délky (pohyb uvažujeme rovnoměrně zrychlený) a dosáhla rychlosti? Jakou rychlost měla puška při zpětném rázu, váží-li puška? Řešení: 28

29 K řešení použijeme následující vztahy mezi veličinami: po úpravě a dosazení získáme vztah: po dosazení číselných hodnot: Zákon zachování hybnosti pro danou úlohu můžeme napsat ve tvaru:, po dosazení číselných hodnot:. ů š Konec provazu ležícího na desce je prostrčen otvorem v desce (obr ). Celková délka provazu je, jeho hmotnost je. V čase je délka provazu visícího dolů. Vyšetřete průběh pohybu provazu za předpokladu, že je zanedbáno tření. 29

30 Ř š : Hmotnost části provazu délky pod deskou je: Obr ( ) P Z Pohybová rovnice má tvar: po úpravě: je diferenciální homogenní rovnice, která má řešení ve tvaru: kde Konstanty určíme z počátečních podmínek: odtud plyne po dosazení počátečních podmínek: Dráha je dána vztahem: ( ) a pro rychlost pohybu provazu dostáváme: ( ). 30

31 D rovnice ( ). ( ); rychlost posuvu provazu Řidič automobilu o hmotnosti začne brzdit ve vzdálenosti od hranice křižovatky. Třecí síla při brzdění má velikosti. Určete mezní rychlost, při které může automobil ještě zastavit na hranici křižovatky. [ ] Bedna se pohybuje působením vlastní tíhy po nakloněné rovině o sklonu z bodu A do bodu B. Určete rychlost tělesa v bodě B, je-li vzdálenost bodů, součinitel smykového tření a rychlost tělesa v bodě A byla nulová. [ ] Auto o hmotnosti se pohybuje po klenutém mostě rychlostí. Poloměr křivosti mostu je Jakou silou auto zatěžuje most při průjezdu jeho vrcholem. [ ] Lano vydrží zatížení S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o hmotnost, aniž by se lano přetrhlo. [ ] Vlak o celkové hmotnosti stojí na trati. Určete sklon trati, kdy ještě nedojde k samovolnému rozjetí soupravy, víte-li, že jízdní odpor vlaku je na jednu tunu hmotnosti. [ š ] Nakreslete schematicky všechny síly, které působí na kabinu výtahu při rozjezdu výtahu a dojezdu výtahu jak směrem dolů, tak směrem nahoru. 31

32 2.3 MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE Mechanická práce Děj, který je spojen s přenosem a přeměnou energie je spojen s konáním práce. Mechanická práce je mírou změny energie. Těleso koná mechanickou práci, jestliže působí silou na jiné těleso, které se působením této síly přemisťuje po určité trajektorii. Mechanická práce charakterizuje dráhový účinek síly; elementární práce: celková práce: jednotkou je joule, tj.: Definice 1 J: Práce vykonaná tehdy, jestliže silou 1 N přemístíme těleso po dráze 1 m ve směru působící síly. Výkon Vyjadřuje jak rychle se koná práce ; Průměrný výkon kde W je celková práce síly v intervalu. Okamžitý výkon jednotkou je watt, tj.: 32

33 Účinnost Je podílem užitečné práce (skutečně vykonané) a práce, kterou by stroj měl vykonat na základě dodané energie. Je tedy podílem užitečného výkonu a dodaného výkonu (příkonu): Kinetická (pohybová) energie ( ) Je skalární veličina charakterizující pohybový stav HB či tělesa vzhledem ke zvolené IVS. Vyjadřuje schopnost tělesa konat práci, jestliže se nachází v určitém pohybovém stavu. Pro hmotný bod: za zjednodušených podmínek (konstantní síla působící na HB v klidu jej uvádí do pohybu rovnoměrně zrychleného přímočarého); Potenciální (polohová) energie Je polohovou energií tělesa (HB) v silovém poli jiného tělesa (HB). Předpokládáme, že v určité oblasti prostoru máme v každém bodě definovánu sílu, která působí na těleso v tomto bodě, tj. máme definováno silové pole. tíhová potenciální energie: Zákon zachování mechanické energie Popisuje, že součet kinetické energie tělesa a potenciální energie tělesa neboli jeho celkové energie, zůstává konstantní. Rovnicemi jej můžeme zapsat jako: ( ) ; ; 33

34 Tento zákon platí pro ryze mechanické děje, kdy se neobjevují jiné formy energie; ty však prakticky neexistují. Konzervativní síly: V konzervativním (potenciálovém) silovém poli se zachovává (konzervuje) mechanická energie. Disipativní síly (nekonzervativní): Práce vykonaná disipativními silami při pohybu HB je záporná; v poli disipativních sil nastává částečná přeměna mechanické energie v jiné druhy energie, například síla smykového tření ( ) působící po dráze se mění v teplo; síla valivého odporu ( ) působící po dráze se mění v teplo atd. Posuvný pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb v důsledku vlastní tíhy tělesa. Uvažujeme při něm působení třecí síly, která vzniká při vzájemném ohybu dvou těles, která jsou v neustálém styku. Smykové tření je dáno vztahem: kde je součinitel smykového tření závisející pouze na materiálu tělesa a podložky a na vyhlazení obou ploch, je součinitel klidového (statického) tření ( ) a je normálová síla. Dále: d d 34

35 PŘÍKLADY: Hřebík délky byl zatlučen do trámu pěti údery kladiva o hmotnosti. Kladivo mělo dopadovou rychlost. Jaká je třeba síla k vytažení hřebíku (tepelnou energii vzniklou třením zanedbáme)? Řešení: ů Předpokládáme, že třecí síla je přímo úměrná délce hřebíku. Při vytažení hřebíku byla vykonána práce proti odporové síle trámu: kde je maximální odporová síla. Vykonaná práce je rovna kinetické energii kladiva, tj.: odtud: Po dosazení číselných hodnot: K vytažení hřebíku je třeba síly Hydroelektrárna má výkon. Objemový průtok vody je, výška přepadu je. Určete účinnost turbogenerátoru. Řešení: 35

36 Objemový průtok je potenciální energie vody při přepadu Příkon vody Pro účinný výkon platí vztah odtud pro : Po dosazení číselných hodnot Účinnost turbogenerátorů je přibližně 89,5 % Řemenice motoru přenáší řemene tahovou sílu průměr řemenice je, přičemž motor má 1440 otáček za minutu. Vypočítejte výkon elektromotoru. Řešení: V případě, že síla a rychlost mají stejný směr, můžeme výkon vyjádřit vztahem: 36

37 po úpravě a dosazení můžeme psát Po dosazení číselných hodnot Výkon motoru je Jak veliký příkon musí mít motor hoblovky, je-li délka pracovního zdvihu, čas potřebný na jeden zdvih, řezná síla a účinnost? Řešení: Příkon odvodíme z definičního vztahu pro účinnost úpravou dostaneme kde je dáno vztahem odtud Po dosazení číselných hodnot. 37

38 Motor hoblovky musí mít příkon Zjistěte, jakou práci musí vykonat motor, aby součástka o hmotnosti ležící na posuvném pásu délky, zvýšila během pohybu svoji rychlost z na. Odporová síla působící při pohybu je. Řešení: Na těleso působí dvě síly, síla udělující tělesu zrychlení a síla třecí. Změna kinetické energie je rovna práci výsledné síly po dráze. Můžeme psát:. Síla působící po dráze je úměrná změně rychlosti na této dráze, pro rovnoměrné zrychlení tělesa můžeme psát po úpravě můžeme psát po dosazení a úpravě můžeme psát. Po dosazení číselných hodnot [ ].. Motor musí vykonat práci. 38

39 Lyžař po překonání výškového rozdílu na dlouhé sjezdové dráze dosáhl rychlosti. Jaká je hodnota součinitele smykového tření pro případ, kdy neuvažujeme odpor vzduchu? Řešení: Dle zákona zachování energie: Dle obr po dosazení,, po úpravě Po dosazení číselných hodnot Součinitel smykového tření je 0, Jakou maximální rychlostí může jet nákladní auto o celkové hmotnosti při stoupání, jestliže výkon motoru je? Součinitel smykového tření je a odpor prostředí zanedbáme. Řešení: 39

40 Rychlost vypočítáme dle vztahu odtud po úpravě Tažná síla musí překonat sílu pohybovou - a sílu třecí - ; viz obr Obr Výsledná síla dosadíme a dostáváme, Po dosazení číselných hodnot. Maximální rychlost auta nemůže být větší než. 40

41 Do jaké vzdálenosti by se odkutálelo kolo o hmotnosti a průměru, kdyby se uvolnilo z ložiska při rychlosti? Moment setrvačnosti kola je a třecí síla je. Řešení: Součet kinetických energií translační a rotační se musí rovnat energii, která je shodná s prací třecí síly po dosazení a úpravě Po dosazení číselných hodnot [ ]. Kolo by se odkutálelo do vzdálenosti Hmotnost vlaku je 80krát větší než hmotnost letadla. Rychlost letadla je 9krát větší než rychlost vlaku. Porovnejte navzájem jejich kinetické energie. [ ] Letadlo hmotnosti pohybující se konstantní rychlostí, vystoupalo za 4 minuty do výšky. Vypočítejte výkon motoru, jestliže letadlo potřebuje na výstup výkonu motoru. [ ] 41

42 Vozík rovnoměrně naložený sypkým materiálem 1,2 t pohybující se po kolejích má čtyři kola o průměru 40 cm. Zjistěte odporovou sílu jednoho kola a práci, kterou je třeba vykonat při odtlačení vozíku do vzdálenosti 50 m; rameno valivého odporu je 0,5 mm. [ ] 42

43 2.4 GRAVITAČNÍ POLE V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým působením na jiná hmotná tělesa; gravitační pole zprostředkovává silové působení těles, aniž přitom musí dojít k jejich bezprostřednímu styku; silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné (dle 3. Newtonova pohybového zákona) tzv. gravitační interakce; vzájemné přitažlivé síly, které jsou mírou gravitační interakce tzv. gravitační síly. Newtonův gravitační zákon Byl odvozen zobecněním výsledků J. Keplera o kinetice pohybu planet pro dva hmotné objekty. Každé dvě částice o hmotnostech a na sebe vzájemně působí gravitační silou, jejíž velikost je: kde je vzdálenost mezi částicemi a je gravitační konstanta, jejíž hodnota byla zjištěna experimentálně. Každé dva hmotné body se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. Síla leží na spojnici hmotných bodů (částic). Vektorové vyjádření Newtonova zákona Uvažujme hmotný bod o hmotnosti v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti kde Vektor gravitační síly má opačnou orientaci, než polohový vektor (přitažlivá síla). Intenzita gravitačního pole Intenzita je vektorová veličina určená podílem gravitační síly, která v daném místě působí na hmotný bod o hmotnosti a této hmotnosti: 43

44 Intenzita popisuje pole v každém bodě jednoznačně; závisí pouze na poloze uvažovaného bodu a na hmotnosti tělesa, které pole vytváří. Jednotka je Je-li pole vytvořeno HB nebo homogenní koulí o hmotnosti : Vektorové vyjádření: Směr vektoru intenzity : a) do daného hmotného bodu, který je zdrojem tohoto pole b) do středu stejnorodé koule, která je zdrojem gravitačního pole... radiální (centrální) gravitační pole. Gravitační zrychlení Dle 2. NPZ: gravitační síla při svém působení na tělesa udílí těmto tělesům zrychlení tzv. gravitační zrychlení Gravitační zrychlení v určitém bodě je rovné intenzitě gravitačního pole v témže bodě (co do velikosti, směru a orientace): Vektor intenzity gravitačního pole popisuje pole, gravitační zrychlení charakterizuje pohyb konkrétního tělesa, které se v daném místě pole nachází. Práce gravitační síly Hmotný bod o hmotnosti posuneme o element dráhy podél průvodiče. Práce gravitační síly je poté: 44

45 Celková práce při přemístění HB o hmotnosti ze vzdálenosti od HB o hmotnosti do vzdálenosti : [ ] ( ( )) Gravitační potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti hmotnosti : v gravitačním poli hmotného bodu o Práce gravitační síly: ( ) Gravitační potenciální energie Skalární veličina, která kvantitativně popisuje chování těles v gravitačním poli jiných těles. Práce gravitační síly a tedy gravitační potenciální energie: kde je integrační konstanta. Potenciální energie je určena prací, kterou vykoná gravitační síla při přenesení hmotného bodu z daného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení děje. A tedy: Potenciál gravitačního pole Potenciál je skalární veličina charakterizující gravitační pole v určitém bodě závisející pouze na vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v daném bodě umístěného). Potenciál gravitačního pole v daném bodě prostoru je podíl gravitační potenciální energie, kterou má v tomto bodě pomocné těleso (HB) o hmotnosti, a této hmotnosti: Jednotkou je Pro gravitační pole HB o hmotnosti a zvolíme-li vztažný bon v nekonečnu, platí: 45

46 Gravitační pole Země Ve vztahu k jiným vesmírným objektům (planety, družice). Zemi považujeme za homogenní kouli o poloměru a hmotnosti (model Země). Ve skutečnosti má země tvar blízký rotačnímu elipsoidu s hlavní poloosou (rovníkový poloměr) 6378 km a vedlejší poloosou (polární poloměr) 6357 km, není homogenní, její hustota roste směrem od středu, její hmotnost je a její střední hustota je Gravitační zrychlení země Gravitační zrychlení klesá s nadmořskou výškou (zvětšuje se vzdálenost od země). V nadmořské výšce je vzdálenost od středu Země Pokud je ( ) ( ) ( ) kde Pozn.: Ve výšce je gravitační zrychlení jen o 1 promile menší, než při hladině moře ( ). Potenciální energie těles v zemském gravitačním poli Mějme těleso o hmotnosti ve vzdálenosti od středu Země. Hmotnost Země označíme, poloměr, pak na povrchu země je a ve výšce nad povrchem Země: 46

47 Práce vnější síly potřebná k vyzvednutí tělesa z povrchu Země do výšky gravitační síle): (přemisťujeme proti ( ) Pro je práce: ( ) ( ) Použijeme-li vztah pak práce vnějších sil je dána jako: š Tíhové pole Země Ve vztahu k tělesům na povrchu resp. v blízkosti povrchu Země. Kromě gravitační síly působí na tělesa o hmotnosti m síla setrvačná Ta je dána vztahem: kde Tíhové pole Země je složené z gravitačního pole Země a pole setrvačných (odstředivých) sil. Výslednice sil působících na těleso na Zemi: kde je tíhová síla, kde je tíhové zrychlení. Směr tíhové síly definuje svislý směr. Tíhová síla klesá s nadmořskou výškou stejně jako tíhové zrychlení. Tíhové zrychlení závisí na 47

48 nadmořské výšce i zeměpisné šířce. Maximální je na zemských pólech a minimální je na rovníku. Tato závislost je dána nejen tvarem zemského elipsoidu, ale zejména rotací Země. Tíhové zrychlení je vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení setrvačného. Pohyby těles v homogenním tíhovém poli země Pokud jsou parametry trajektorie vrženého tělesa malé ve srovnání s rozměry Země, tíhové zrychlení je podél celé trajektorie tělesa konstantní. Pohybová rovnice volného HB: Vyjádřeno pomocí souřadnic: Pro soustavu souřadnic volíme počátek v poloze HB a vektor počáteční rychlosti leží v rovině XY. Úhel, který svírá vektor rychlosti s kladným směrem os X je tzv. elevační úhel (úhel vrhu). Y v 0 O X Souřadnice síly ve zvolené soustavě souřadnic: 48

49 Dosazením souřadnic síly do pohybových rovnic: První integrací těchto rovnic získáme souřadnice rychlosti: kde jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počátečních rychlostí: Druhou integrací pohybových rovnic získáme souřadnice polohy HB: kde resp. jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počáteční polohy HB pro vodorovný vrh. Dle počátečních podmínek dostáváme tyto případy: a) volný pád b) vrh svislý dolů c) vrh svislý vzhůru d) vrh vodorovný e) vrh šikmý vzhůru. PŘÍKLADY: Intenzita gravitačního pole na povrchu Země je cca. Určete velikost intenzity ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země od jejího povrchu. Řešení: Pro intenzitu gravitačního pole platí vztah 49

50 Ve výšce platí: Úpravou a dosazením dostáváme Po dosazení číselných hodnot dostaneme. Ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země je intenzita gravitačního pole Určete výšku nad povrchem Země, kde je gravitační síla, která působí na těleso, poloviční. Řešení: Gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem Dosadíme po úpravě dostaneme vztah Kvadratická rovnice má dva kořeny ( ) 50

51 z nichž vyhovuje ten, pro který vyjde kladné: ( ). Po dosazení číselných hodnot dostaneme ( ) Gravitační síla je poloviční ve výšce Doba oběhu první družice kolem Země na palubě s člověkem byla. Určete výšku družice nad povrchem Země za předpokladu, že trajektorií byla kružnice. Řešení Při oběhu kolem Země je dostředivá síla rovna odstředivé a dostředivá síla je síla gravitační po úpravě Pro rychlost družice platí: po dosazení do rovnice a úpravě dostáváme 51

52 ( ) Po dosazení číselných hodnot dostaneme ( ). m.. Výška družice nad povrchem Země byla km Vypočítejte práci, kterou musely vykonat raketové motory, při vynesení rakety o hmotnosti do výšky nad Zemský povrch. Předpokládejme pohyb rakety v homogenním gravitačním poli s intenzitou. Řešení: Práce raketových motorů je rovna gravitační potenciální energii rakety v nejvyšším bodě trajektorie. Po dosazení číselných hodnot dostaneme Motory vykonaly práci Jakou rychlostí vystupuje proud vody z požární hubice směrem svisle vzhůru, jestliže dosahuje výšky a za jak dlouho po výtoku dopadne na úroveň hubice? Řešení: 52

53 Rychlost v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem, kde je počáteční rychlost. V nejvyšším bodě (v bodě obratu) se voda zastaví, proto odtud vztah pro rychlost: Dráha (okamžitá výška) v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem po dosazení a úpravě dostaneme pro počáteční rychlost vztah:. Celková doba než voda dopadne se skládá ze dvou časů: čas pro let nahoru a čas, kdy voda padá, potom platí:. Čas určíme z dráhy, kterou voda vykoná při pádu z maximální výšky, to je z nejvyššího bodu po úpravě pro a současně po dosazení za je odtud Po dosazení číselných hodnot dostaneme: 53

54 ,.. Voda u hubice má rychlost a dopadne na úroveň hubice za Z vysouvacího požárního žebříku vysokého stříká hasič vodu vodorovným směrem, rychlost výtoku vody je. Za jakou dobu, jakou rychlostí, pod jakým úhlem s vodorovným směrem a v jaké vzdálenosti od paty kolmice spuštěné z žebře dopadne voda? Řešení: Obr ; Pro vodorovný vrh platí vztahy: a, kde je vzdálenost od paty kolmice (obr a), dopadne na zem (odpor prostředí zanedbáme). výška žebříku a je doba, za kterou voda Pro dobu dopadu t úpravou z výše uvedených vztahů dostaneme: 54

55 Po dosazení číselných hodnot dostaneme:. Rychlost dopadu je určena vektorovým součtem počáteční rychlosti a rychlosti dopadu při volném pádu (obr b). Dle Pythagorovy věty platí kde, je velikost rychlosti dopadu z výšky, tj.:, po dosazení dostáváme:. Po dosazení číselných hodnot dostaneme,. Úhel α, který svírá vektor rychlost s horizontálním směrem určíme dle obr b odtud Vzdálenost dopadu vody od paty kolmice je Po dosazení číselných hodnot dostaneme:. Voda dopadla za, rychlostí, pod úhlem a ve vzdálenosti. 55

56 Vodorovně vystřelený projektil letí počáteční rychlostí, o jakou délku poklesne projektil od vodorovného směru na vzdálenosti? Řešení: Pro vodorovný vrh platí vztahy:, kde je vzdálenost od místa výstřelu, (odpor prostředí zanedbáme). délka poklesu od vodorovného směru a je doba doletu Po úpravě první rovnice a dosazení do druhé rovnice dostaneme: Po dosazení číselných hodnot dostaneme:. Vystřelený projektil poklesne na vzdálenosti o od původního vodorovného směru Halleyova kometa, která se pohybuje po eliptické trajektorii, se dostává v periheliu do minimální vzdálenosti od Slunce. Perioda Halleyovy komety je roků. Určete, do jaké největší vzdálenosti od Slunce se dostane. 56

57 Obr Řešení: Halleyova kometa společně se Zemí obíhají kolem Slunce. Délku velké poloosy Halleyovy komety (obr ) vypočteme ze třetího Keplerova zákona eliptické dráhy odtud je astronomická jednotka, platí: Po dosazení číselných hodnot dostaneme: 57

58 . Hledaná maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce podle (obr ) platí: Maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce je km Pod jakým elevačním úhlem musíme vrhnout těleso šikmo vzhůru, aby se výška jeho výstupu rovnala délce doletu? [ ] Pohyb dělostřeleckého granátu je popsán rovnicemi;. Určete rovnici trajektorie, dobu letu a délku doletu. [ ] Volně padající těleso má v místě A rychlost ; v místě B má rychlost. Jaká je vzdálenost mezi body a jaký čas byl třeba k uražení této vzdálenosti? Řešte pomocí zákona zachování mechanické energie. [ ] Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo? [ ] Určete trajektorii materiálu, který opustí ve výšce dopravníkový pás vodorovně se pohybujícího rychlostí. [ ] 58

59 2.5 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Tuhé těleso je těleso, které nelze nahradit hmotným bodem, jeho rozměry a tvar podstatně ovlivňují pohybový stav tělesa a jeho tvar ani objem se působením vnějších sil nemění (nedeformovatelné). a) pohyb posuvný: všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou rychlost i zrychlení b) pohyb otáčivý kolem nehybné osy: všechny body tělesa se pohybují se stejnou úhlovou rychlostí a opisují soustředné kružnice, roviny kružnic jsou kolmé na osu otáčení c) pohyb složený: pohyb složený z translace v prostoru a současné rotace kolem osy otáčení Moment síly Moment síly charakterizuje pohybový účinek síly způsobující otáčivý pohyb tělesa. Závisí na velikosti síly, jejím směru a působišti. Moment síly je: kde r je rameno síly (nejkratší vzdálenost vektorové přímky od osy otáčení tělesa), Těžiště tuhého tělesa (působiště tíhové síly) pro homogenní těleso : 59

60 Má-li těleso střed symetrie, je také těžištěm, má-li osu, nebo rovinu symetrie, leží těžiště na tomto prvku symetrie. Posuvný pohyb tuhého tělesa Rozdělíme si těleso na elementy o hmotnosti. Hybnost každého elementu je: Kinetická energie každého elementu je: Celková hmotnost a hybnost tělesa: Celková kinetická energie pohybujícího se tělesa: Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy Elementární části tělesa se pohybují s různou obvodovou rychlostí, mají však stejnou rychlost úhlovou. Částice tvořící těleso mající vzdálenost od osy otáčení mají v daném okamžiku rychlost: Kinetická energie každého elementu je: Celková kinetická energie tuhého tělesa: kde je moment setrvačnosti. 60

61 Pohybová rovnice pro pohyb tělesa kolem pevné osy Dle 2. impulsové věty: neboť. Pro jednotlivé elementy tuhého tělesa: Pro celé tuhé těleso: Vektorově: A po dosazení do druhé impulsové věty: Složený pohyb tuhého tělesa Je složením pohybu translačního s pohybem rotačním. Kinetická energie: kde je moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm. Výpočet momentu setrvačnosti Pro hmotný bod: Pro soustavu hmotných bodů: 61

62 Pro tuhé těleso: Jednotkou momentu setrvačnosti je Pomocí poloměru setrvačnosti tělesa pro danou osu: kde je vzdálenost bodu, ve kterém by musela být soustředěna hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu setrvačnosti celého tělesa, tj.: Steinerova věta Pro stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy těžištěm, kde je její vzdálenost od rovnoběžné osy procházející těžištěm:, která neprochází 62

63 moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí bodem rovnoběžné s osou jdoucí těžištěm je (zvolíme-li počátek soustavy souřadnic v těžišti): Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose je roven momentu setrvačnosti hmotného bodu v těžišti, jehož hmotnost je rovna hmotnosti tělesa, vzhledem k této ose zvětšené o moment setrvačnosti tělesa vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm. Práce a výkon při rotačním pohybu tuhého tělesa Při pootočení tělesa o elementární úhel vykoná tangenciální složka síly práci: vektorově: Celková práce: Výkon: Fyzické kyvadlo: Každé těleso otáčivé kolem osy, která neprochází těžištěm a není svislá. Setrvačník: Těleso otáčivé kolem osy, vzhledem k níž má velký moment setrvačnosti. Osa roztočeného setrvačníku zachovává svůj směr (př. stálý sklon Země). Volná osa: Těleso rotující kolem ní ji nenamáhá žádnou silou ani momentem sil. 63

64 Analogie vztahů pro posuvný a otáčivý pohyb dráha: s rychlost: zrychlení: POHYB POSUVNÝ ds v dt 2 dv d s a 2 dt dt POHYB OTÁČIVÝ úhlová dráha: úhlová rychlost: úhlové zrychlení: d dt 2 d d dt dt hmotnost: m moment setrvačnosti: J síla: moment síly: M hybnost: moment hybnosti: impuls síly: práce: výkon: F I p mv F dt d W F d r dw P d t kinetická energie: pohybová rovnice: 1. impulsová věta: F v Ek 1 mv 2 2 dp F ma d t dp F d t zákon zachování hybnosti: p konst, pro 0 F impuls momentu síly: práce: výkon: dw M d dw P d t kinetická energie: pohybová rovnice: 2. impulsová věta: Ek 2 b J L M Mdt 1 J 2 2 db M J d t M db d t zákon zachování momentu hybnosti:, pro b konst 0 M PŘÍKLADY: Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu na jeřábu, je-li hmotnost kontejneru, délky lan po hák a maximální vzdálenost od konce nosného ramene jeřábu jsou patrny z obrázku (obr ). Hmotnosti lan jsou zanedbatelné. 64

65 Řešení: Obr Předpokládejme, že těleso je homogenní a těžiště je hmotným bodem. Použijeme rovnoběžníku pro rozklad sil a tíhovou sílu rozložíme do příslušných směrů. Z obr (délky lan musí být zadány v metrech),. Z rozkladu rovnoběžníku sil, 65

66 Lano délky je napínané silou a lano délky b silou Na homogenním trámu hustoty délky a průřezu se houpou dvě děti o hmotnosti. Ve kterém místě je třeba trám podepřít, aby houpačka byla v rovnováze? Řešení: Obr K řešení využijeme vztahy pro rovnovážný stav tuhého tělesa, musí platit současně a ; ; ;. Zvolíme osu otáčení, přirozený bod otáčení je místo podepření a k ose otáčení vztahujeme velikost ramene otáčení, u kterého bereme v potaz i orientaci momentu dané síly (obr ).. 66

67 ( ), odtud: Po dosazení číselných hodnot dostaneme:. Trám je třeba podepřít ve vzdálenosti od konce s dítětem o hmotnosti Kolem o poloměru a hmotnosti je třeba překonat překážku výšky, ale menší než poloměr obr Určete minimální sílu v ose kola a současně ve vodorovném směru, kterou je potřeba k překonání překážky. Úlohu řešte obecně a po té pro hodnoty. Řešení: Obr

68 Při překonávání překážky výšky se kolo otáčí kolem nehybné osy O (na překážce). Aby kolo překonalo překážku, musí být moment působící síly vzhledem k ose O větší než moment síly vzhledem k téže ose. Pro minimální sílu ve vodorovném směru platí:. Rameno síly můžeme vyjádřit dle obr Rameno síly můžeme vyjádřit dle obr použitím Pythagorovy věty odtud:. Po úpravě a dosazení dostáváme Po dosazení číselných hodnot dostaneme: K překonání překážky je třeba sílu větší než Jakou práci musíme vykonat, abychom překlopili přes hranu žulovou krychli, vímeli, že hrana je dlouhá, hustota žuly a. 68

69 Řešení: Obr Při překlopení tělesa z rovnovážné polohy do polohy vratké zvedneme těžiště tělesa a tím vykonáme práci rovnou změně potenciální energie, kterou získáme změnou polohy těžiště tělesa (obr ). odtud po úpravě a dosazení: ( ) ( ) Po dosazení číselných hodnot dostaneme: ( ). K překlopení žulové kostky o hraně je třeba energii. 69

70 Jakou rychlost získá kolo kutálející se z kopce vysokého. Moment setrvačnosti kola o hmotnosti a poloměru vzhledem k ose procházející středem kola, kolmé na rovinu kola je, tíhové zrychlení. Tření zanedbejte. Řešení: Podle zákona zachování mechanické energie se tíhová potenciální energie ve výšce, přemění na kinetickou energii rotační a translační, kterou má kolo ( ) kterou má kolo v dolní poloze. Platí tedy: ( ) odtud po dosazení Po dosazení číselných hodnot Kolo získá rychlost přibližně Určete moment setrvačnosti, víte-li, že otáčky setrvačníku klesly po vykonané práci z za minutu na otáček za minutu. Řešení: 70

71 protože úhlová frekvence je, bude platit: odtud Po dosazení číselných hodnot dostaneme: Moment setrvačnosti setrvačníku je Setrvačník pohonné jednotky byl roztočen motouzem délky, na který bylo působeno silou. Jakou frekvenci získal setrvačník agregátu s momentem setrvačnosti? Řešení: Práce, která se vykoná, je rovna kinetické energii otáčivého pohybu odtud úpravou dostaneme Po dosazení číselných hodnot dostaneme: Setrvačník získal frekvenci.. 71

72 Do jaké výšky svahu by vyjelo auto poháněné pouze setrvačníkem s momentem setrvačnosti? Setrvačník má frekvenci otáček za minutu. Hmotnost automobilu je. Tření a odpor vzduchu zanedbáme. Řešení:? Platí zákon zachování mechanické energie, který využijeme ve tvaru, dosadíme a upravíme, potom Po dosazení číselných hodnot Auto by vyjelo do výšky Dělník zvedá za jeden konec trám o délce a hmotnosti. Při určité poloze svírá osa trámu s vodorovným směrem úhel. Určete velikost síly, kterou působí dělník na trám v dané poloze. Síla je kolmá k ose trámu. [ ] Nosník hmotnosti, délky spočívá na dvou podpěrách a je zatížen břemenem o hmotnosti zavěšeným ve vzdálenosti od levého okraje. Určete síly, jimiž působí podpěry na nosník. [ ] Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu (dle obrázku ), je-li hmotnost závaží, hmotnosti lan jsou zanedbatelné. 72

73 2.5-5 Obr. [ ] Hnací hřídel automobilu se otáčí s frekvencí a přenáší výkon. Vypočítejte otáčivý moment, který vyvíjí motor. [ ] Rotor elektromotoru hmotnosti má moment setrvačnosti a koná otáček za minutu. Jak velikou má kinetickou energii? [ ] Vozík se pohybuje rychlostí po koleji s poloměrem zakřivení Vypočítejte funkční závislost pro vzdálenost ve směru vodorovném od přirozené osy otáčení při překlopení vozíku s materiálem v závislosti na výšce těžiště (těžiště vozíku s materiálem). [ ] 73

74 2.6 MECHANICKÉ KMITÁNÍ Je nestacionární děj (děj, jehož charakterizují časově proměnné veličiny). Dělení: Pohyb HB (soustavy HB nebo tělesa), při němž bod nepřekročí konečnou vzdálenost od tzv. rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze jsou všechny síly působící na HB navzájem ve statické rovnováze. Pokud se opakuje průběh kmitavého pohybu po stejném časovém intervalu (periodě) kmitavý periodický pohyb. Charakteristické veličiny lze vyjádřit ve tvaru: kde. Harmonické kmity: charakteristické veličiny: je frekvence (kmitočet) udává, kolikrát se kmit nebo jiný periodický děj opakuje za jednotku času. Jednotka: Kmitající objekty se nazývají oscilátory. Nejjednodušší jsou lineární oscilátory, při nichž se HB pohybuje po přímce (např. těleso na pružině). Volný netlumený harmonický oscilátor Zdrojem kmitání je harmonický oscilátor = jednoduchý translační elastický oscilátor. Charakteristiky oscilátoru jsou: hmotnost závaží, tuhost pružiny (předpokládáme, že pružina má zanedbatelnou hmotnost oproti závaží, které lze považovat za HB). 74

75 y l 0 l l 0 l F P F G y F P 0 rovnovážná poloha x a) dynamický popis kmitů pohybová rovnice: Dle 2. Newtonova pohybového zákona (pro m=konst.): pro -nové souřadnice veličin: F G vydělíme m a dostaneme: kde kde je vlastní úhlová frekvence oscilátoru: b) kinematický popis kmitů rovnice výchylky Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice: kde je okamžitá výchylka, je maximální možná výchylka, tj. amplituda výchylky, je počáteční výchylka, je počáteční fáze a je okamžitá fáze pohybu. Rychlost kmitů je: a je amplituda rychlosti. 75

76 Zrychlení kmitů je: a je amplituda zrychlení. c) fázový rozdíl Mezi různými veličinami popisujícími totéž kmitání, nebo mezi stejnými veličinami popisujícími dvě různá kmitání. Je-li Je-li stejná fáze (veličin resp. kmitání). opačná fáze (veličin resp. kmitání). d) grafické vyjádření Fázor a jeho vlastnosti: Je to rotující vektor v rovině mající počátek v počátku soustavy souřadnic. Délka fázoru odpovídá amplitudě veličiny, kterou představuje. Průmět fázoru do svislé osy je roven okamžité hodnotě dané veličiny. Úhel, který svírá fázor s vodorovnou osou je roven okamžité fázi této veličiny. e) energie kmitů U harmonických kmitů se periodicky mění kinetická energie v potenciální energii pružnosti a naopak. Potenciální energie pružnosti je číselně rovna práci, kterou vykonáme při vychýlení oscilátoru z rovnovážné polohy. 76

77 U netlumeného oscilátoru platí zákon zachování mechanické energie: [ ] Tlumený oscilátor Jeho amplituda kmitů s časem exponenciálně klesá, což odpovídá pohybu v odporujícím prostředí. Odporová síla prostředí je: a) dynamický popis kmitů pohybová rovnice: Dle 2. NPZ: pro -nové souřadnice veličin: vydělíme a dostaneme: tedy: kde je vlastní úhlová frekvence oscilátoru a je součinitel tlumení. b) kinematický popis kmitů rovnice výchylky Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice: kde amplituda výchylky je. Při řešení dostaneme úhlovou rychlost tlumeného kmitání: 77

78 Nadkritické tlumení (aperiodický děj): Kritické tlumení (nejrychlejší z aperiodických dějů): Podkritické tlumení (periodický děj): c) charakteristické veličiny tlumených kmitů Útlum (konstantní na čase nezávislá hodnota): Logaritmický dekrement útlumu: Relaxační doba amplitudy: Amplituda klesne na, tj.: d) perioda tlumených kmitů 78

79 Pro dostáváme netlumené kmity s periodou. Pokud doba kmitů se tlumením prodlužuje. Superpozice harmonických kmitů Tj. skládání kmitů. U oscilátorů s jedním stupněm volnosti lze realizovat jen skládání kmitů téhož směru. Řešení jsou analytická (početní), grafická či geometrická (pomocí časového, resp. fázorového diagramu), nebo experimentální. Izochronní kmity jsou kmity stejné frekvence a tedy i periody. Kyvadla a) fyzické kyvadlo Je každé zavěšené těleso o hmotnosti, které je otáčivé kolem vodorovné pevné osy a jeho těžiště je pod osou otáčení ve vzdálenosti. Moment setrvačnosti vzhledem k této ose je. Je to tzv. gravitační rotační mechanický oscilátor. V ideálním případě při malých úhlových výchylkách (do 4,5 ) produkuje volné netlumené rotační harmonické kmity. Dle pohybové rovnice dostáváme: kde zlomek na pravé straně rovnice je vlastní úhlová frekvence Pohybová rovnice fyzického kyvadla pro malé výchylky je: Vlastní doba kmitu: b) matematické kyvadlo 79

80 Je model fyzického kyvadla. Jedná se o hmotný bod hmotnosti délky. zavěšený na nehmotném vlákně Redukovaná délka fyzického kyvadla je taková délka matematického kyvadla, které má stejnou dobu kmitu jako dané fyzické kyvadlo. PŘÍKLADY: Jaká je doba kmitu harmonického oscilátoru, jestliže zavěšené těleso na pružině má hmotnost a síla působící při výchylce je? Ř š : Souvislost mezi dobou kmitu a úhlovou frekvencí je určena vztahem. Zároveň platí. Pak použitím obou vztahů je. Tuhost pružiny je nutno vyjádřit ze vztahu pro sílu pružnosti. Pak vztah dosadíme do jmenovatele předchozího zlomku a dostaneme: Po dosazení číselných hodnot. Harmonický oscilátor má dobu kmitu je s Těleso hmotnosti koná netlumený harmonický pohyb. Určete jeho dobu kmitu, víte-li, že při výchylce působí na těleso síla. Ř š : 80

81 Podobně jako u předchozího příkladu ( ) Po dosazení zadaných číselných hodnot je Doba kmitu je K protažení pružiny o, je třeba vykonat práci. Na pružinu je zavěšeno závaží o hmotnosti. Určete tuhost pružiny a frekvenci, s jakou bude kmitat závaží po vychýlení. Ř š : Pro práci platí vztah odtud kde je velikost výchylky ( ). Síla potřebná k protažení pružiny je dána vztahem Vztah mezi tuhostí pružiny a sílou ( ) ( ) kde je velikost výchylky, odtud 81

82 ( ) Frekvenci vypočítáme ze vztahu pro úhlovou frekvenci po dosazení a úpravě dostaneme ( ) ( ) Po dosazení číselných hodnot dostaneme: ( ) ( ) Tuhost pružiny je a frekvence Na nehmotné pružině visí závaží o hmotnosti. Závaží po vychýlení z rovnovážné polohy o koná harmonický pohyb s frekvencí. Určete tuhost pružiny, sílu, kterou bylo závaží vychylováno a hodnotu kinetické energie závaží. Ř š : ( ) g ( ) kg cm m Vyjdeme ze základního vztahu pro pohyb tělesa na pružině, jeho úhlovou frekvenci v tíhovém poli Po dosazení a úpravě dostaneme 82

83 Pro sílu platí vztah Po dosazení a úpravě dostaneme Pro Energie platí.,. Po dosazení a úpravě dostaneme Tuhost pružiny je, působící síla a maximální kinetická energie π Sestavte rovnici harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, víte-li, že maximální zrychlení je, perioda a vzdálenost kmitajícího bodu od rovnovážné polohy je pro čas rovna. Ř š : Rovnice harmonického kmitavého pohybu je úhlová frekvence je definována jako, K určení amplitudy pohybu využijeme vztahu pro maximální zrychlení 83

84 odtud Fázový posuv vypočítáme z počátečních podmínek, dosazením hodnot do rovnice pro harmonický pohyb Po dosazení a úpravě dostaneme:. odtud,, Po dosazení vypočtených hodnot do rovnice pro harmonický pohyb dostaneme ( ), což je hledaná rovnice Hmotný bod (HB) kmitá s amplitudou. V prvé půlperiodě od počátku v následném časovém rozmezí získá dvakrát za sebou hodnotu výchylky. S jakou frekvencí hmotný bod kmitá? Ř š : Obr

85 Vztah pro frekvenci odvodíme z definičního vztahu pro úhlovou frekvenci Okamžitá výchylka HB (obr ) je dána rovnicí Pro platí. pro, porovnáním rovnic, úpravou a dosazením dostaneme: odtud Pro čas platí, viz obr dostaneme ze vztahu odtud po dosazení do první rovnice, úpravě a dosazení dostáváme: Hmotný bod kmitá s frekvencí Jaký je logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla délky, klesneli jeho počáteční amplituda výchylky z za minut na? Ř š : 85

86 Doba kmitu matematického kyvadla je dána vztahem logaritmický dekrement vztahem kde je koeficient útlumu, je doba kmitu tlumeného pohybu: kde je počáteční úhlová frekvence a pro pokles amplitudy s časem je roven. Po dosazení číselných hodnot a úpravách dostaneme:.. ( ) ( ).,. Logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla je. 86

87 Mějme matematické kyvadlo o délce (obr ). Je-li hmotnému bodu udělena v nejnižší poloze rychlost, určete, jak daleko se kyvadlo vychýlí, než se zastaví. Odpor prostředí neuvažujte. Obr Ř š : Při řešení tohoto příkladu vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie, a to ze závěru, že maximální energie kinetická se změní v maximální energii potenciální odtud, Pro maximální výchylku kyvadla z Pythagorovy věty viz obr plyne: po úpravě a dosazení za dostáváme Kyvadlo se vychýlí o Určete frekvenci harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, jestliže se za dobu po průchodu rovnovážnou polohou jeho výchylka rovnala polovině amplitudy. Počáteční fáze je rovna nule. 87

88 [ ] Částice kmitá současně dvěma kolmými kmity Určete dráhu, směr pohybu, rychlost a zrychlení částice v čase [ ] Logaritmický dekrement útlumu kmitavého pohybu je a perioda pohybu je. Určete frekvenci pohybu, je-li odstraněno tlumení. [ ] Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, jestliže jeho délku zkrátíme na původní délky? [ ] 88

89 2.7 MECHANICKÉ VLNĚNÍ Je časově a prostorově proměnný děj v makroskopicky spojitém prostředí. HB se harmonicky nebo obecně vrací do rovnovážné polohy. Maximální hodnoty výchylek z rovnovážné polohy jsou konečné a kmitání se šíří v látkovém prostředí, tj. v prostředí obsahujícím částice, které jsou spojeny vazebnými silami (nelze ve vakuu). Vznik vlnění: rozkmitáme jednu částici, díky vazbě se kmitavý rozruch šíří postupně řadou částic. Vlnění dělíme na postupné a stojaté, dále na podélné a příčné. a) Postupné vlnění Kmitavá soustava je otevřená (teoreticky nekonečných rozměrů) a nedochází k odrazu vlnění. Kmitavý rozruch se šíří od zdroje (generátoru) postupně řadou HB. b) Stojaté vlnění Probíhá v uzavřených kmitavých soustavách. Je dáno superpozicí dvou postupných vln šířících se proti sobě. c) Příčné vlnění (transverzální) Body kmitají kolmo ke směru, kterým se vlnění šíří. Vzniká v tělesech pružných při změně tvaru a vyskytuje se tedy u pevných těles a povrchů kapalin. d) Podélné vlnění (longitudinální) Body kmitají ve směru šíření vlny a nastává zhušťování a zřeďování kmitajících bodů kolem míst, v nichž je okamžitá výchylka bodu nulová. Vzniká v prostředí pružném při změně objemu. Vyskytuje se u pevných látek, kapalin i plynů. Mechanické postupné vlny v neabsorbujícím prostředí Zdrojem je každá kmitající mechanická soustava elasticky spřažená s nosným prostředím. Kmitání každé částice je zpožděno oproti kmitání částice předchozí. 89

90 Fázová rychlost: Rychlost, kterou se šíří kmitavý rozruch (fáze vlnění) k následujícím bodům kmitavé soustavy. Značíme ji a jednotkou je. Vlnová délka: Vzdálenost, do které se dostane kmitavý rozruch za dobu jedné periody. Značíme ji jednotkou je. Je to také vzdálenost dvou nejbližších bodů řady, které kmitají se stejnou fází. a Platí vztah: A) Jednorozměrné příčné postupné vlnění Vlnění (příčné) je dostatečně určeno pomocí (příčné) výchylky v kterémkoliv okamžiku a v jakémkoliv místě o souřadnici : kde funkci nazýváme vlnová funkce. Odvození vlnové funkce: 90

91 Zdroj (generátor) vlnění kmitá v počátku zvolené souřadnicové soustavy a jeho rovnice výchylky je ve tvaru: Bod M kmitá se zpožděním: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kde což je fázový rozdíl kmitání bodu prostředí vůči kmitání zdroje vlnění. Fáze vlnění: ( ) ( ) ( ) Fázový rozdíl pro dva body prostředí ve vzájemné vzdálenosti x v daném čase t: 91

92 B) Jednorozměrné podélné postupné vlnění Vlnová funkce má stejný tvar jako pro příčné vlnění. Vlastnosti postupného vlnění: Body kmitají se stejnou frekvencí ale různou fází. V neabsorbujícím prostředí kmitají body se stejnou amplitudou. Dochází k přenosu energie kmitavého pohybu zdroje prostředím, ale nedochází k přenosu látky! C) Odraz vlnění K odrazu dochází na konci bodové řady a to buď na pevném konci (poslední bod nemůže kmitat a reakcí vznikne síla, která změní výchylku posledního bodu v opačnou), nebo na volném konci (poslední bod řady se vychýlí a kmitání postupuje zpět se stejnou fází). a) b) D) Interference vln v přímé řadě Je jev podmíněný skládáním vlnění. Nastává, jestliže se prostředím šíří vlnění ze dvou či více zdrojů, vlnění postupují prostředím nezávisle a v místech, kde se setkávají, dochází ke skládání jednotlivých vlnění. Kmitání bodu v daném místě je určeno superpozicí okamžitých výchylek jednotlivých vlnění a výsledné kmitání je dáno vektorovým součtem jednotlivých fázorů výchylek. Nejjednodušším případem je koherentní vlnění, tj. vlnění mající stejnou frekvenci a stálý fázový rozdíl. Výsledné vlnění můžeme určit: 92

93 a) graficky b) algebraicky V bodě M se skládají izochronní kmitání s různou fází. Jsou-li tato vlnění koherentní: a výsledné vlnění obecně charakterizuje funkce: kde Fázový rozdíl vlnění je: kde je dráhový rozdíl. a) je-li: 93

94 vlnění se skládá se stejnou fází, tj.: kde (dráhový rozdíl je roven celistvému násobku vln) b) je-li vlnění se skládá s opačnou fází, tj.: kde Stojaté vlnění Je vlnění vzniklé superpozicí dvou izochronních postupných vln (podélných nebo příčných) šířících se proti sobě. V ideálním případě mají vlny stejnou amplitudu A (úplně stojaté vlnění). Výsledná vlnová funkce je algebraickým součtem ( ) ( ) 94

95 Výsledné vlnění je harmonické, má stejnou frekvenci jako obě vlny a výsledná amplituda souřadnic). nezávisí na čase, pouze na souřadnici (tj. na poloze daného kmitajícího bodu od počátku Šíření vlnění v prostoru Huygensův Fresnelův princip: Dospěje-li vlnění do nějakého bodu prostoru, tento bod se stává zdrojem elementárního vlnění. Výsledná vlnoplocha je obalovou plochou elementárních vlnoploch ve směru šíření vlnění. Popis vlnění v prostoru: Uvažujme homogenní (stejnorodé) a izotropní (ve všech směrech stejné fyzikální vlastnosti) prostředí. Vlnění se šíří ve všech směrech stejnou fázovou rychlostí. Vlnoplocha: Je plocha tvořená body, do kterých vlnění dospělo za určitý časový interval, tj. množina bodů kmitajících se stejnou fází Kulová vlnoplocha: Vlnění pocházející z bodového zdroje a). Rovinná vlnoplocha: Máme-li rovinný zdroj vlnění, resp. studujeme-li vlnění ve velké vzdálenosti od bodového zdroje b). Paprsek: Kolmice k vlnoploše a charakterizuje směr šíření vlny. 95

96 Energie vlnění Je energií jednotlivých hmotných elementů prostředí, kdy každý element má energii kinetickou a energii pružnosti (elastickou). Tato energie se přenáší od zdroje postupně z jednoho elementu prostředí na druhý ve směru šíření vlny. Přenos energie vyjadřuje kvantitativně tok energie a intenzita vlnění. I. Tok energie: (výkon přenášený vlněním) libovolnou plochou velikosti za určitý časový interval: Je to energie, která projde zvolenou plochou za jednotku času a jednotkou je watt ( ). II. Intenzita vlnění: Je to energie, která prošla za jednotku času jednotkovou plochou postavenou kolmo ke směru šíření vlny a jednotkou je III. Stanovení intenzity vlnění pro postupnou harmonickou vlnu: Dle vztahu pro celkovou energii harmonického oscilátoru: kmitá-li s touto energií při šíření vlnění každý bod prostředí, potom energie objemové jednotky je: Uvedený vztah vyjadřuje hustotu energie vlnění. Intenzita vlnění souvisí s akustickým tlakem: Tlak vyvolaný vlněním šířícím se hmotným prostředím, platí: Absorpce postupného vlnění Šíří-li se postupná vlna v hmotném prostředí, pak úbytek její amplitudy velikosti: je přímo úměrný její 96

97 kde je součinitel absorpce vlnění v homogenním izotropním absorbujícím prostředí. Řešením této rovnice je: kde je amplituda pro. Protože tak: což je Lambertův zákon absorpce. Odraz a lom vlnění na rozhraní dvou prostředí Na rozhraní se část energie dopadajícího vlnění odrazí, část projde do druhého prostředí a část se absorbuje. I. Zákon odrazu II. Snellův zákon lomu 97

98 kde a jsou fázové rychlosti šíření vlnění v 1. a 2. prostředí. Při přechodu vlnění z prostředí o větší fázové rychlosti do prostředí s menší fázovou rychlostí se paprsek láme ke kolmici. Při přechodu vlnění do prostředí o větší fázové rychlosti se paprsek láme od kolmice. Rovina dopadu: Je určena paprsky dopadajícího vlnění a kolmicí k rozhraní v místě dopadu. Odražený a lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úplný odraz (totální reflexe): Dochází k němu při přechodu vlnění z prostředí s menší fázovou rychlostí do prostředí s větší fázovou rychlostí (při lomu od kolmice). Vlna se láme do rozhraní pod úhlem 90, tj.: Úhel dopadu, pro který platí: nazýváme mezním úhlem. 98

99 Akustické a zvukové vlny Zvuk: Je elastické mechanické postupné vlnění vnímatelné lidským sluchovým orgánem. Což odpovídá mechanickým vlnám s frekvencí 16 Hz 20 khz (přibližný rozsah vnímání lidského sluchového orgánu). Největší amplituda výchylek nuceného kmitání a největší citlivost má lidský sluchový orgán pro vlnění ve frekvenčním pásmu 500 Hz 5 khz. Dolní mez slyšení je dle uvedeného 16 Hz a horní mez slyšení 20 khz. Ucho: Přijímač zvuku reagující na změny akustického tlaku. Hlasivky: Mechanický zdroj zvuku. Dutina ústní, nosní, hrtanová a hrudní tvoří rezonanční prostor. Akustické vlny: Patří mezi ně infrazvuk, zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk. Dopplerův jev Christian Doppler (objev r. 1842) Objasňuje vliv pohybu zdroje a přijímače detektoru vlnění na pozorovanou frekvenci zdroje. Jestliže se oscilátor, který je zdrojem vlnění a pozorovatel pohybují, pak při vzájemném přibližování je frekvence přijímaného vlnění vyšší a při vzájemném vzdalování naopak nižší. I. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidnému pozorovateli v klidném prostředí: a) zdroj se přibližuje rychlostí k detektoru Detektor přijímá vlnění s frekvencí: 99

100 b) zdroj se vzdaluje rychlostí od detektoru Detektor přijímá vlnění s frekvencí: II. Detektor se pohybuje vzhledem ke klidnému zdroji v klidném prostředí: a) detektor se přibližuje rychlostí ke zdroji Detektor přijímá vlnění s frekvencí: b) detektor se vzdaluje rychlostí od zdroje Detektor přijímá vlnění s frekvencí: III. Detektor i zdroj vlnění se pohybují: Detektor přijímá vlnění s frekvencí: Poznámka: Všechny vzorce pro frekvenci přijímanou detektorem lze odvodit ze vztahu: Dopplerův jev platí pro všechna vlnění nejen akustická 100

101 Rezonance Při rezonanci dochází k největšímu přenosu mechanické energie na oscilátor. Proto lze při rezonanci vyvolat i poměrně malou vnější silou velké amplitudy např. malou silou rozhoupeme i velmi těžký zvon, budeme-li tahat za lano od zvonu v pravidelných časových intervalech, odpovídajících frekvenci jeho vlastního kmitání. Zvuky reprodukované hudby jsou výrazně zesilovány bednami, v nichž jsou zabudované reproduktorové soustavy. Mnohem větší praktický význam má rezonance elektrických kmitů, na níž je založena většina zařízení pro bezdrátovou komunikaci. Závažný dopad má rezonanční kmitání mostů a vysokých budov, které vzniká větry a zemětřeseními. Rezonanci velkých budov se věnuje velká pozornost od události zřícení mostu Tacoma Narrows Bridge 7. listopadu V roce 1850 způsobila rezonance dokonce zřícení celého mostu v jednom francouzském městě. Po mostě tehdy pochodovala vojenská jednotka a její pravidelný krok byl v rezonanci s vlastní frekvencí mostu. Vojáci svým krokem rozhoupali most natolik, že to jeho konstrukce nevydržela a praskla. Zahynulo přitom 219 lidí. V technické praxi se přihlíží k rezonanci např. při konstrukci továrních hal, strojů a jejich podstavců, trupů letadel, které by se mohly dostat do rezonance s kmitáním vyvolaným chodem motorů apod. PŘÍKLADY: Postupné vlnění je popsáno rovnicí Určete periodu pohybu libovolného bodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost. Řešení: Srovnáním se základní rovnicí postupné vlny ( ) ( ) určíme amplitudu, periodu a vlnovou délku, tj.: Výpočtem určíme frekvenci podle vztahu Fázovou rychlost stanovíme z rovnice Perioda pohybu libovolného bodu je ; frekvence ; vlnová délka a fázová rychlost. 101

102 Napište rovnici postupné vlny, jestliže vlnění má frekvenci, amplitudu výchylky a postupuje rychlostí. Dále určete okamžitou výchylku kmitajícího hmotného bodu ležícího ve vzdálenosti od zdroje vlnění v čase. Řešení: Hz m Rovnici postupné vlny určuje vztah Jestliže platí ( ) pak Po dosazení dostáváme rovnici ve tvaru ( ) Lidské ucho vnímá frekvence 16 Hz Hz při teplotě 30 C. V jakém intervalu leží příslušné vlnové délky? Řešení: Hz Hz C Pro rychlost šíření zvuku ve vzduchu platí vztah: Po dosazení číselných hodnot dostáváme:, 102

103 Pro vlnové délky zvuku při daných frekvencích platí: Příslušné vlnové délky leží intervalu až Zvuková vlna se vrací do místa rozruchu jakožto ozvěna od kolmé stěny za. Jaká je vzdálenost stěny od zdroje zvuku, je-li rychlost zvuku. Řešení: Zvuk se šíří v daném prostředí konstantní rychlostí. Pak Doba potřebná k uražení dráhy k překážce je Pak po dosazení úpravě a dosazení je Stěna je vzdálená Jaký bude největší úhel dopadu, víme-li, že relativní index lomu je? Řešení: Vyjdeme ze Snellova zákona: Největší úhel dopadu bude úhel mezný, kterému odpovídá úhel lomu, odtud 103

104 po výpočtu, Největší úhel dopadu, úhel mezný je Stojaté vlnění vzniklo odrazem postupné vlny s frekvencí 3 khz o amplitudě 2 mm. Napište jeho rovnici, víte-li, že vlna se šířila rychlostí 333 m.s -1 a určete jeho vlnovou délku. Řešení: Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou vlnění postupujících proti sobě, které mají stejné frekvence a amplitudy kde ( ) ( ) K úpravě součtu použijeme vztah pro součet sinu úhlů Po úpravě Po dosazení číselných hodnot dostáváme:. 104

105 Vlnovou délku určíme ze vztahu. Po dosazení číselných hodnot dostáváme: Rovnice stojatého vlnění je a vlnová délka je Vlnění o frekvenci se šíří v nekonečném prostředí. Fázový rozdíl výchylky dvou bodů nacházející se ve vzdálenosti jeden od druhého na přímce se zdrojem rozruch je. Určete rychlost vlnění. Řešení: Vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem je dán vztahem odtud, Pro rychlost platí Po dosazení číselných hodnot dostáváme: Rychlost vlnění je. 105

106 Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílená z na. Kolik decibelů představuje zesílení? Řešení: Hladiny intenzit zvuku jsou dány vztahy Pak je rozdíl hladin po úpravě: Zesílení představuje Vlny na hladině oceánu pohybují bójkou. Vzdálenost mezi vrcholy vln je, sousední vrcholy vln, jenž dorazí k bójce, jsou v časovém rozestupu. Bójka se klesá a stoupá, její vertikální poloha se mění v rozsahu. Určete amplitudu vlnění; frekvenci vlnění; vlnovou délku; rychlost šíření a počet vln, které dorazí k bójce za. [ ] Pod jakým úhlem musí dopadnout zvuková vlna na rozhraní vzduch-mosazná deska, aby se od desky úplně odrazila? Rychlost zvuku ve vzduch je a v mosazi. [ š ] Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou protisměrných vlnění s frekvencí. Vzdálenost sousedních uzlů je. Jaká je rychlost původního vlnění? [ ] O kolik procent se musí zvýšit intenzita zvuku, aby hladina intenzity stoupla o? [ ] 106

107 3. TEKUTINY A TERMIKA 3.1 TEKUTINY TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA Tekutiny: kapaliny a plyny Statika kapalin a plynů = Hydrostatika a Aerostatika Tlak v tekutině df Definice tlaku: p, kde F ds d je kolmá k plošce d S Jednotka: Pa = pascal, P P (milibar = hektopascal, torr = 1 mm Hg) = 133,322 Pa = 400/3 Pa Tlaková síla: proměnný: a) tlak vyvolaný vnější silou je-li působící tlak všude na ploše stejný:, je-li tlak Pascalův zákon Tlak v tekutině způsobený vnější silou je ve všech místech stejný (tlak se šíří v tekutině všemi směry, a to rovnoměrně) z důvodu nestlačitelnosti kapaliny: b) tlak vyvolaný vlastní tíhou tekutiny I. Kapaliny hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země): kde je vnější tlak působící na kapalinu a h je hloubka pod volnou hladinou 107

108 Pascalův hydrostatický paradox II. Plyny normální atmosférický tlak: (při 0 C, na hladině moře na 45 severní zeměpisné šířky) barometrická rovnice (závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce): je-li je tlak a hustota vzduchu při hladině moře, pak určování nadmořské výšky (např. letecké výškoměry) Archimédův zákon: Rovnováha:. PŘÍKLADY: Dvě otevřené nádoby tvaru komolého kužele (viz Obr A a B), o vnitřních průměrech jsou naplněny dostejné výšky rtutí o hustotě a následně vodou o hustotě. Určete pro obě kapaliny: a) hydrostatický tlak u dna nádoby A, b) hydrostatický tlak u dna nádoby B, c) sílu, kterou kapalina působí na dno nádoby A, d) sílu, kterou kapalina působí na dno nádoby B. 108

109 Řešení: Výpis veličin: Obr Hydrostatický tlak je dán vztahem, sílu působící na dno nádoby lze odvodit z definičního vztahu pro tlak; Po dosazení:,, kde je plocha dna ( resp. ). Rtuť a) P ; b) P ; c) ; d). Voda a) P ; b) P ; c) ; d) Čelní betonová stěna požární nádrže má tvar lichoběžníku o rozměrech a výšce. Jakou silou působí voda na stěnu, je-li nádrž naplněna do výše po horní okraj stěny? Předpokládejme, že jedna stěna nádrže je svislá. Řešení: Výpis veličin: Elementární síla df působící na elementární ploch ds v hloubce x pod hladinou je je hustota vody., je funkcí, (viz obrázek):. 109

110 Obr Konstanty k a q určíme z okrajových podmínek: Je-li => je-li =>. Odtud: Tedy ( ) a celková síla působící na betonovou stěnu je ( ) ( ). Po dosazení: F = 173,72 kn. Svislá stěna je namáhána silou F = 173,72 kn Těleso ve tvaru válce o průměru podstavy, výšce a hmotnosti plove v kapalině o hustotě. Zcela ponořené a udržované v klidu je těleso tím, že visí na závěsu v kapalině o hustotě. Určete: a) vztlakovou sílu, působící na plovoucí těleso, b) hustotu jestliže tah v závěsu je. 110

111 Řešení: Výpis veličin: d = 4 cm h = 5 cm m = 8, kg Obr a) Vztlakovou sílu,určíme z rovnováhy sil;síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny), Po dosazení: Vztlaková síla je. b) Hustotu určíme z rovnice pro rovnováhu sil; síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny) + tahová síla Po dosazení:, kde,, (objem kapaliny vytlačené tělesem=objem tělesa); ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Hustota kapaliny pro zadané podmínky je Cisterna s vodou jela rychlostí. Řidič začal rovnoměrně brzdit a zastavil po. Vypočtěte, jaký úhel s vodorovnou rovinou svírala během brzdění hladina vody v cisterně. [18º 46 ] 111

112 Vypočítejte účinnost pohotovostního zvedáku, u něhož při poměru zdvihů 160:1 působí na tlačném pístu síla a na pracovním síla. [0,876] Pohotovostní dřevěný vor hustoty ve tvaru desky o rozměrech a tloušťce plove po hladině nádrže. a) Jaká vztlaková síla působí na vor? b) Kolik lidí průměrné hmotnosti může na voru stát, aniž by si namočili chodidla? c) Zůstane-li na voru pouze 1 člověk, do jaké hloubky bude vor ponořen? [5,3 kn;5 lidí; 7,6cm] Stanovte a) jakou hmotnost má vzduch v místnosti, b) jakou tíhou působí vzduch na podlahu, c) jakou silou při daném tlaku působí vzduch na podlahu, víte-li, že hustota vzduchu při tlaku (tlak vzduchu v místnosti) je [42,7 kg; 419N; 1, N] Trajekt tvaru hranolu má délku, šířku a užitnou loubku ponoru, kde je ponor trajektu bez nákladu. Zjistěte: a) kolik vagonů o celkové nosnosti 50 t převeze při maximálním ponoru, b) jaký bude ponor trajektu s nákladem 120 cisteren jedna o hmotnosti 7 t. [960 vagonů; ] Pozn.: Do skript není zařazen příklad k řešení naložení a stability lodi na vodní hladině. Ten lze řešit pomoci popisu tělesa s proměnnou polohou těžiště. Tento fyzikální případ však přesahuje rozsah těchto skript. 112

113 3.1.2 PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY Dynamika kapalin a plynů =Hydrodynamika a Aerodynamika Ustálené proudění ideální kapaliny S v 2 S 1 + v Rovnice spojitosti toku (kontinuity) rovnice kontinuity Objemový tok: jednotka: Bernoulliova rovnice Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná. h 1 p 1 S 1 v 1 p 2 h 2 S 2 v 2 kde zleva jednotlivé členy levé strany rovnice vyjadřují hustotu tlakové potenciální energie proudící kapaliny, hustotu potenciální tíhové energie a hustotu kinetické energie proudící kapaliny. Z rovnice tedy vyplývá, že: to vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudící ideální kapaliny (součet všech mechanických energií obsažených v objemové jednotce kapaliny musí být stálý) Rovnice pro vodorovnou trubici: Pozn.: Jestliže při proudění tekutiny ve vodorovné proudové trubici vzrůstá rychlost částic tekutiny, pak klesá její tlak a obráceně. Výtok kapaliny otvorem v nádobě: výtoková rychlost kapaliny je dána Torricelliho vztahem 113

114 výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je stejná, jako kdyby kapalina padala volným pádem z výšky h Ustálené proudění skutečné kapaliny reálná kapalina není dokonale tekutá, projevuje se vnitřní tření (viskozita), část tlakové energie se mění postupně podél trubice ve vnitřní energii kapaliny W (zvýší se její teplota) Vnitřní tření síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny závisejí na druhu kapaliny kde je součinitel dynamické viskozity (je funkcí teploty) jednotka: P tečné napětí: [ ] kinematická viskozita: [ ] viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku Proudění laminární a turbulentní a) nevírové (potenciálové) proudění b) proudění skutečné kapaliny: proudění reálné kapaliny charakterizuje bezrozměrná veličina nazývaná Reynoldsovo číslo pro proudění kapaliny trubicí kruhového průřezu je: 114

115 kde je velikost střední rychlosti proudění, d je průměr trubice, je kinematická viskozita a) laminární proudění b) turbulentní proudění přechod od laminárního proudění k turbulentnímu je dán překročením kritického Reynoldsova čísla, z experimentů bylo stanoveno. v PŘÍKLADY: Vypočítejte, jakou rychlostí proudí voda v potrubí o průměru 20 cm, pro hmotnostní tok, víte-li že, hustota vody je. Řešení: Výpis veličin: Pro hmotnostní tok a objemový tok platí vztah Pro proudovou trubici platí rovnice kontinuity Po dosazení: Rychlost vody v potrubí je Trubicí o průměru 12 cm proudí voda rychlostí. Jakou rychlostí bude vytékat z trysky o průměru1 cm? Řešení: Výpis veličin: Z rovnice kontinuity plyne: ( ) 115

116 Po dosazení: Rychlost vody vytékající z trysky je Vodorovnou trubicí o průřezu proudí voda rychlostí. Tlak vody je P. Jakou rychlost a jaký tlak má voda v rozšířeném místě trubice, kde má trubice průřez. Hustota vody je. (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Řešení: Výpis veličin: P Z rovnice kontinuity plyne: Z Bernoulliho rovnice:. Získáme vztah [ ( ) ] Po dosazení: [ ( ) ] P V rozšířeném místě je rychlost a tlak P, rychlost se snížila a tlak zvýšil. 116

117 Nádoba válcového tvaru, jejíž plošný průřez je, je naplněn do výšky h vodou. Ve dně nádoby je otvor plošného průřezu. Určete čas, za který hladina vody klesne na. (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Řešení: Kapalina vytéká rychlostí, která je závislá na výšce její hladiny nad otvorem podle vztahu (Torricelliho vzorec) kde y je výška hladiny v nádobě, měřeno od výtokového otvoru. Za čas vyteče z nádoby otvorem objem (viz obr.) Obr Tento objem je roven úbytku kapaliny v nádobě Pak Čas, za který klesne hladina o získáme integrací v mezích. ( ) Jaký minimální výkon musí mít motor důlního čerpadla, které při průměru pístu a zdvihu má dodávat z hloubky objem za minutu? Měrná hmotnost znečištěné vody je a účinnost zařízení je. [ ] 117

118 Do uzavřené nádrže s otvorem ve dně je čerpadlem vháněna voda pod tlakem P. Jakou rychlostí musí vytékat voda otvorem ve dně, aby hladina zůstávala ve výšce nad dnem? [ ] V nádobě je voda s hladinou ve výšce. Jak vysoko nade dnem je třeba umístit ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které je nádoba umístěna? [ ] 118

119 3.2 TERMIKA TEPLOTA A TEPLO, ROZTAŽNOST LÁTEK Teplotní roztažnost látek a) délková roztažnost pevných látek: Přírůstek délky při zahřátí o, kde je součinitel teplotní délkové roztažnosti (je funkcí druhu látky, uspořádání částic a teploty). U homogenních a izotropních látek při malých teplotních rozdílech lze považovat součinitel konstantní délkový rozměr se mění lineárně: [ ] za b) objemová roztažnost pevných látek: Pro homogenní a izotropní tělesa je roztažnost ve všech směrech stejná, tj: kde Pozn.:Výrazná teplotní změna může způsobit vážné komplikace např. v dopravě při změně rozměrů ocelových kolejnic (viz př ), resp. při průhybu rozžhavených nosníků při požárech budov, což významně ovlivňuje zásah hasičů. Bylo experimentálně prokázáno, že průhyb nechráněných prolamovaných ocelových nosníků (na 8 m délky) je při teplotě 480 C při asi 135 mm, při teplotě 770 C je to již 378 mm. Průhyb nosníků s vlnitou stojinou potvrzují její větší odolnost: při teplotě 780 C průhyb činil 256 mm. [Zdroj: c) objemová roztažnost kapalin: Při malých teplotních rozdílech: kde je součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin. Pro větší teplotní rozdíly vyjadřujeme objem kvadratickou funkcí teploty, tj.: Pozn.:Anomálie vody Při zvyšování teploty vody od 0 C do 3,99 C se objem vody zmenšuje a její hustota se zvyšuje. Hustota vody je největší při teplotě 3,99 C. Při zvyšování teploty nad 3,99 C dochází ke zvětšování objemu vody (tj. snižování hustoty vody). d) objemová roztažnost plynů: Při malých teplotních rozdílech a konstantním tlaku: 119

120 e) závislost hustoty na teplotě u pevných látek: Předpokládejme lineární objemovou roztažnost Je-li součin malý vzhledem k jedné, lze zjednodušit na tvar: Příklady: Mějme hliníkové těleso, které má při teplotě tíhu. Jakou hmotnost má jiné těleso z hliníku stejného objemu při teplotě? Součinitel délkové roztažnosti hliníku je. Řešení: Výpis veličin: N C C K K kg Hmotnost teplejšího tělesa je dána Hmotnost chladnějšího tělesa je analogicky:, neboť objemy obou těles jsou shodné. Z těchto rovnic lze vyjádřit objem těles: Z pravé strany rovnice získáme hledanou hmotnost chladnějšího tělesa: Při změně teploty tělesa se mění hustota podle přibližného vztahu: 120

121 Pro zmíněná hliníková tělesa analogicky platí: Dosaďme vztahy pro závislost hustoty na teplotě do vztahu pro hmotnost : Po číselném dosazení je hmotnost chladnějšího tělesa Expanzní nádoba v topném okruhu slouží k vyrovnání změn objemu vody. V případě pokojové teploty koluje v okruhu vody. Jak se naplní vyrovnávací nádoba za provozu ústředního topení při teplotě? Roztažnost topného systému při zvýšení teploty zanedbejte. Součinitel objemové roztažnosti vody je. Řešení: Výpis veličin: kg C C K K K K Konečný objem vody v oběhovém systému po zahřátí na provozní teplotu je dán vztahem pro objemovou roztažnost kapalin: Změna objemu vody vzhledem k původnímu stavu je: Tento objem vody naplní vyrovnávací expanzní nádobu, po číselném dosazení: Ve zcela naplněné skleněné baňce s kapilárou je rtuť o objemu při teplotě. Po zahřátí skleněné nádoby i s obsahem na přeteče ven rtuti. Jaký je součinitel objemové roztažnosti rtuti, pokut uvážíme i roztažnost skleněné nádoby, který je označován jako zdánlivý součinitel roztažnosti rtuti. Součinitel objemové roztažnosti rtuti je, součinitel objemové teplotní roztažnosti skla je. 121

122 Řešení: výpis veličin: V 0 = 100 cm 3 = m 3... počáteční objem rtuti i skleněné nádoby byl totožný V = 1 cm 3 = m 3 t = 80 C T = 80 K r = K -1 s = K -1 Změna objemu rtuti je: Změna objemu skleněné nádoby: Tyto rovnice od sebe odečteme a dostaneme rovnici: Výraz na levé straně rovnice představuje objem rtuti, která z nádoby po zahřátí přeteče ven, výraz v závorce na pravé straně (rozdíl skutečných součinitelů obj. roztažnosti) odpovídá hledanému zdánlivému součiniteli objemové roztažnosti rtuti, tedy: Vyjádřeme neznámou veličinu: po číselném dosazení je = 1, K Tenká zinková obruč má při teplotě 0 C průměr 1,5 m. Jak se změní počet otáček, pokud tuto obruč kutálíme po vodorovné dráze v délce 200 m při teplotě 50 C a - 50 C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti zinku je K -1. Řešení: Výpis veličin: 122

123 Nejprve si vyjádříme počet otáček, které obruč vykoná při teplotě, což určíme z obvodu obruče: Na dráze délky tedy obruč vykoná otáček: Po číselném dosazení: otáček Pokud obruč zahřejeme na teplotu roztažnost:, změní se obvod obruče podle vztahu pro délkovou teplotní čímž se změní i počet otáček na stejné dráze délky : Po číselném dosazení: méně otáček. otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu přibližně o Analogicky stanovíme změnu obvodu a počtu otáček při teplotě : Po číselném dosazení: otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu o více otáček Homogenní ocelový válec má při pokojové teplotě průměr podstavy a výšku. Pokud těleso ponoříme do vodní lázně teploty, o kolik se po vyrovnání teplot změní obsah jeho podstavy, výška válce, celkový objem? Na jakou teplotu by bylo nutné zahřát těleso, aby se jeho objem zdvojnásobil? Je to reálné? Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli je. [ - je to nereálné, teplota je nad teplotou tání oceli] Základem bimetalového teploměru jsou dva tenké kovové proužky, které jsou pevně spojeny. Jedná se o proužek ocelový a zinkový, jejichž součinitele teplotní délkové roztažnosti jsou a. Při teplotě má ocelový pásek délku, zinkový a shodné příčné rozměry. Určete: A) při jaké teplotě mají stejnou délku, B) při jaké teplotě mají stejný objem? [ ] Skleněná nádoba naplněná až po okraj naftou při teplotě má celkovou hmotnost. Zahřejeme-li nádobu i s obsahem na teplotu, část obsahu 123

124 kanystru přeteče a výsledná hmotnost je. Určete součinitel objemové roztažnosti nafty: A) jestliže zanedbáme změnu rozměrů nádoby, B) uvažujeme-li teplotní součinitel délkové roztažnosti technického skla. [ ] Ocelová kolejnice má při teplotě délku. Jaké bude prodloužení kolejnice na trati délky, jestliže se kolejnice v letních měsících zahřeje až na, resp. jaké bude její zkrácení v zimě, je-li teplota -10 C. Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli. [prodloužení o, zkrácení o ] * Železné kyvadlo v hodinách kývá jako fyzické kyvadlo kolem vodorovné osy kolmé na tyč, procházející jedním koncem. Hodiny fungují správně při teplotě. Určete, při jaké teplotě dojde ke zpožďování hodin o za každých, je-li součinitel délkové roztažnosti železa? [ ] 124

125 3.3 KALORIMETRICKÁ ROVNICE, FÁZOVÉ PŘECHODY Tepelná kapacita. Měrné a molární teplo. Tepelná kapacita tělesa:, kde je měrná tepelná kapacita tělesa d d d d Celkové teplo, které látka o hmotnosti m přijme (za předpokladu z teploty na : ) ohřeje-li se d Molární tepelná kapacita: Kalorimetrická rovnice Pro dvě tělesa, která jsou izolována od okolí a chemicky na sebe nepůsobí (a při tepelné výměně nedochází ke změně skupenství): 1. těleso a 2. těleso, kde - teplo vydané teplejším tělesem je rovno teplu přijatému tělesem chladnějším - teplota obou těles se vyrovná Obecně pro větší počet těles: Fázové přechody (změny skupenství) - skupenské teplo tání/tuhnutí, sublimace/desublimace, vypařování/kondenzace: kde je měrné skupenské teplo daného procesu pro určitou část termodynamické soustavy(tds). Potom vždy platí: Příklady: 125

126 Na teploměru ve vzduchu je zobrazena teplota, po jeho ponoření do vody se teplota zvýší o. Určete tepelnou kapacitu teploměru, jestliže měření teploty vodní lázně probíhá ve vodě o hmotnosti, jejíž měrná tepelná kapacita je a teplota vody před měřením byla. Řešení: Výpis veličin: C K C C K konečná teplota g kg C K Mezi teploměrem a vodou došlo k tepelné výměně, jejíž energetickou bilanci vyjadřuje kalorimetrická rovnice rovnice rovnováhy mezi teplem přijatým teploměrem a teplem, které odevzdala vodní lázeň: Teplo odevzdané vodou: Teplo přijaté teploměrem: Dosazení do kalorimetrické rovnice: Vyjádření hledané tepelné kapacity teploměru: Po číselném dosazení. Tepelná kapacita uvedeného teploměru je Kolik tepla musíme dodat ledu teploty, abychom z něj získali právě vody, přičemž zbytek bude nadále ledem a soustava voda-led bude v tepelné rovnováze? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je 126

127 Řešení: Výpis veličin:., měrné skupenské teplo tání ledu je Ze zadání vyplývá, že výsledným stavem soustavy bude rovnováha vody a ledu, tedy kapaliny a pevné fáze, která za normálního tlaku odpovídá teplotě. Aby k tomu došlo, musí led projít dvěma procesy: - veškerý led se musí ohřát na teplotu, k čemuž potřebuje teplo: - část ledu musí při teplotě roztát ve vodu: Celkové teplo je tedy rovno dílčích tepel. Po číselném dosazení je teplo. Zadaná měrná tepelná kapacita vody je v tomto příkladu nadbytečná a při řešení příkladu není potřeba. Ledu je třeba dodat celkově tepla Do tepelně izolované nádobě bylo vloženo vody o teplotě a ledu teploty. Kolik syté páry teploty je třeba dodat, aby výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy byla? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je měrné skupenské teplo tání ledu je, měrné skupenské teplo varu vody je. Tepelnou kapacitu nádoby a výměnu tepla s okolím zanedbejte. Řešení: Výpis veličin: 127

128 Pro řešení použijeme kalorimetrickou rovnici, která vyjadřuje rovnováhu mezi přijatým a odevzdaným teplem v termodynamické soustavě. Teplo odevzdává voda a sytá pára při těchto procesech: - voda se ochlazuje na výslednou teplotu 12 C: - pára kondenzuje při teplotě 100 C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá kondenzací páry se ochlazuje na 12 C: Součet těchto tepel vyjadřuje celkové odevzdané teplo v systému. Teplo přijímá led při těchto procesech: - led se ohřívá na teplotu : - led taje při teplotě 0 C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá z ledu se ohřívá na teplotu : Sestavení kalorimetrické rovnice pro tento případ: Q 1 + Q 2 + Q 3 =Q 4 + Q 5 + Q 6 Po dosazení do kalorimetrické rovnice a vyjádření neznámé veličiny (hmotnost syté páry ) dostáváme rovnici: Po číselném dosazení. Aby byla výsledná teplota termodynamické soustavy, je třeba do systému dodat syté páry Do kalorimetru obsahujícího vody o teplotě, přidáme ledu o teplotě. A) Určete teplotu soustavy v kalorimetru po ustálení rovnováhy a množství ledu a 128

129 Řešení: vody, které budou v rovnováze. B) Jak se změní výsledná teplota a poměr fází v případě, že tepelné výměny se účastní i kalorimetr o tepelné kapacitě. Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je, měrné skupenské teplo tání ledu je. Výpis veličin: A) Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na :, po číselném dosazení vyjde Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t 0 = 0 C:, po číselném dosazení Rozdíl těchto tepel (odevzdané a přijaté ) určuje teplo využité na tání ledu: kde je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě. Po číselném dosazení. Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude systému bude a množství ledu bude., přičemž celkové množství vody v B) Bude-li se tepelné výměny účastnit i nádoba s vodou a ledem, předpokládejme, že její výchozí teplota bude shodná s teplotou vody v této nádobě, tj.. Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na : 129

130 , po číselném dosazení vyjde Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t 0 = 0 C:, po číselném dosazení Teplo, které kalorimetr odevzdá do soustavy při ochlazení na :, po dosazení vyjde. Teplo, které je využito na tání ledu: kde je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě. Po číselném dosazení. Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude i v případě účasti kalorimetru 0 C, přičemž celkové množství vody v systému bude 0, 326 kg a množství ledu bude 0,274 kg Do vody o objemu a teplotě vložíme dvě rozžhavená tělesa, ocelové a měděné, jejichž společná teplota je a celková hmotnost obou těles je. Jaká bude výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy, jestliže proces probíhá v uzavřené nádobě se zanedbatelnou tepelnou kapacitou. Pokud by bylo do vody vloženo pouze ocelové těleso, výsledná teplota soustavy by byla. Měrná tepelná kapacita vody je, oceli, mědi. [ ] V tepelně izolované nádobě jsou vody o teplotě. Kolik tepla musíme do soustavy dodat, aby voda začala vřít a během varu se odpařila třetina vody? Měrná tepelná kapacita vody je, měrné skupenské teplo varu vody je. Uvažujte, že se a) nádoba neúčastní procesu, b) tepelné výměně podléhá i kalorimetr o tepelné kapacitě. [ ] Do nádoby s vodou teploty vložíme ledu o teplotě. Po ustálení rovnováhy se teplota soustavy ustálí na. Určete, jaké množství vody bylo na počátku v nádobě. [ ] Sada ocelových plátů o celkové hmotnosti byla zahřáta na teplotu a následně ponořena do olejové kalicí lázně o teplotě. Hustota oleje je 130

131 , měrná tepelná kapacita oleje, měrná tepelná kapacita oceli.určete, jaký objem musí mít olejová lázeň, aby konečná teplota oleje byla. Uvažujte, že při procesu a) nedochází k tepelným ztrátám, b) dochází k tepelných ztrát zářením. [ ] Máte neomezené množství ledu o teplotě a syté vodní páry o teplotě. Kolik čeho potřebujete na přípravu vody o teplotě? Měrná tepelná kapacita vody je, měrná tepelná kapacita ledu je, měrné skupenské teplo varu vody je, měrné skupenské teplo tání ledu je. [ ] 131

132 3.4 STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU, JEDNODUCHÉ DĚJE Kinetická teorie plynů Střední kvadratická rychlost molekul plynu: kde je Boltzmannova konstanta. Střední energie molekuly jednoatomového plynu: Tlak ideálního plynu: Stavová rovnice ideálního plynu: kde je molární plynová konstanta, je Avogadrova konstanta: Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma stavy plynu v uzavřené nebo izolované soustavě: resp. Stavová rovnice reálného plynu: Van der Waalsova rovnice pro 1 mol plynu: ( ) 132

133 Van der Waalsova rovnice pro n molů plynu: ( ) Vratné děje v ideálním plynu: 1) izochorický děj: d Charlesův zákon 2) izotermický děj: d ů ů 3) izobarický děj: d ů 4) adiabatický děj: P ů. Příklady: V litrové nádobě je stlačený kyslík při teplotě a tlaku P. Při jaké teplotě dojde ke smrštění nádoby o 1/10 původního objemu a tím ke zvýšení tlaku plynu uvnitř o P? Jakou hustotu bude mít plyn ve výchozím a koncovém stavu, je-li jeho molární hmotnost? Řešení: Výpis veličin: 133

134 P P Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma rovnovážnými stavy uzavřené soustavy ideálního plynu je ve tvaru: Odsud vyjádříme konečnou teplotu Po číselném dosazení Stanovení hustoty kyslíku určíme ze stavové rovnice: Vyjádření hustoty ve výchozím stavu: analogicky pro konečný stav: Po číselném dosazení: V nádobě s vadným ventilem je stlačený vodík. Při teplotě je výchozí tlak vodíku P. Plyn je uzavřen v nádobě o objemu. Po určité době má plyn v nádobě teplotu při stejném tlaku. Jaké množství plynu muselo mezitím z nádoby uniknout? Řešení: Výpis veličin: P P - předpokládejme, že se objem nádoby nemění - protože se mění počet částic v termodynamické soustavě, nelze použít rovnici pro izochorický děj Pro každý stav (výchozí a koncový) platí stavová rovnice: 134

135 Tuto dvojici rovnic je třeba řešit jako soustavu, např. vydělením rovnic: Za neznámou koncovou hmotnost dosadíme ze stavové rovnice: Hledaná veličina je tedy dána: po číselném dosazení. Hmotnost kyslíku, která při ději unikla, je dána rozdílem hmotností plynu ve výchozím a konečném stavu, tedy, což je číselně Tlaková nádoba obsahuje oxidu uhličitého. Po spojení nádoby s evakuovanou baňkou dojde k poklesu tlaku na čtvrtinu původní hodnoty. Jaký objem musela mít připojená baňka? Předpokládejte, že při tomto procesu nedošlo k žádné teplotní změně. Řešení: výpis veličin: Po spojení obou nádob bude vnitřní objem Stavová rovnice pro izotermický děj je ve tvaru: Úprava rovnice a vyjádření hledané veličiny: 135

136 Po číselném dosazení: V nádobě smísíme vodíku a kyslíku při teplotě za tlaku P. Určete, jakou hustotu bude mít směs plynů v nádobě. Relativní atomová hmotnost vodíku je 1, u kyslíku je to 16. Řešení: Výpis veličin: P Stavová rovnice pro rovnovážný stav plynu je dána: resp.: Do rovnice dosaďme vztah vyjadřující souvislost mezi hmotností, objemem a hustotou soustavy:, kde je celková hmotnost a úhrnné látkové množství směsi plynů v nádobě, tedy, Dosazení do stavové rovnice: Vyjádření hledané veličiny: Po číselném dosazení je hustota směsi 0,235 kg.m Plyn uzavřený v nádobě s pružnými stěnami expandoval za konstantního tlaku o svého objemu, přičemž jeho teplota při expanzi dosáhla. Určete počáteční teplotu plynu. [ ] Na dně jezera je vzduchová bublina o poloměru a stoupá z hloubky k hladině. Jaký bude mít poloměr na hladině, jestliže teplota u dna je a na hladině. Vše se děje za normálního atmosférického tlaku. 136

137 [ ] V nádobě tvaru válce s pohyblivým pístem je uzavřen vodík za normálního tlaku. Výška nádoby je, při kompresi dojde k posunutí pístu o směrem do nádoby. Jaký bude výsledný tlak plynu, jestliže došlou současně k nárůstu teploty o? [ P ] vzduchu se při teplotě a tlaku P adiabaticky komprimuje na pětinu svého původního objemu. Určete výsledný tlak a teplotu. Poissonova konstanta pro vzduch je. [ P ] 137

138 3.5 TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON První termodynamický zákon: Dle zákona zachování energie: Matematicky lze první termodynamický zákon vyjádřit také ve formě: Pozn.: Do 1. termodynamického zákona dosazujeme za včetně znamének: práci koná termodynamická soustava práci termodynamická soustava spotřebovává (práci konají okolní tělesa) přírůstek vnitřní energie úbytek vnitřní energie teplo dodané soustavě teplo odevzdané soustavou okolí Práce plynu: Celková práce vykonaná při změně objemu z na : Vnitřní energie soustavy ideálního plynu o energií molekul ideálního plynu): molekulách (vnitřní energie je rovna součtu kinetických kde i = 3, 5, 6 pro 1 atomové, 2 atomové a 3 a více atomové molekuly. Molární tepelné kapacity ideálního plynu Mayerův vztah: 138

139 kde je molární tepelná kapacita při stálém objemu a je molární tepelná kapacita při stálém tlaku. Poissonova konstanta: Tepelné kapacity: plyny jednoatomové dvouatomové 3 a víceatomové c mv R m R m 3R m c mp R m R m 4R m Změna vnitřní energie: kde, resp. d d První termodynamický zákon: a) pro 1 mol plynu b) pro m kilogramů plynu Vratné děje v ideálním plynu: 1) izochorickýděj: 2) izotermický děj: 139

140 3) izobarický děj: Práce plynu: 4) adiabatický děj: d d d resp. Kruhové děje (cykly) Účinnost Carnotova kruhového děje: Hasicí přístroje (ČSN EN-3) : a) práškový: Nejuniverzálnější hasicí přístroj se používá v průmyslu, zemědělství, obchodu, v provozovnách služeb anebo v domácnostech, stejně tak v lékařských ordinacích a muzeích. Hasicí přístroj obsahuje hasicího prášku ABC. Používá se na čerpacích stanicích PHM a LPG, v letištních hangárech, rafineriích ropy, skladech ropných produktů, barev, ředidel apod. b) sněhový (CO 2 ): Hasicí přístroj obsahuje zkapalněný oxid uhličitý, který se po použití odpaří a nezanechá žádné zbytky hasicí látky, čímž nedojde k dalším škodám a zničení zařízení, které nebylo dosud poškozeno požárem (elektrorozvodny, trafostanice, strojovny výtahů, potravinářské provozy atd.). Za dodržení bezpečnostních podmínek lze použít i na elektrické zařízení pod napětím až do 110kV. Speciálním druhem je antimagnetický sněhový prostředek, který je určen k hašení požárů v prostorách s výskytem magnetického pole (např. magnetická rezonance MRI). Veškeré části zařízení jsou vyrobeny z nemagnetických materiálů. Hasicí médium je oxid uhličitý, který při použití nepoškozuje jemnou mechaniku a neznečišťuje okolí. c) vodní:hasí pevné organické látky, jako je dřevo, papír, seno, sláma, textil atd. Tento hasicí přístroj obsahuje potaš (mrazuvzdornou přísadu), díky níž je možné ho používat při okolní teplotě až do -20 C. Používá se v archívech, kůlnách, senících a všude jinde, kde hrozí nebezpečí požáru pevných látek apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. d) pěnový: Vhodný pro hašení požárů polárních i nepolárních hořlavých kapalin, jako např.: benzín, nafta, oleje, ředidla, nátěrové hmoty a líh, dále také na pevné organické látky, kde kromě ochlazovacího účinku vody, která tvoří více než 90% náplně, je významný i dusivý účinek vytvořením pěnového koberce. Používá se na hašení 140

141 požárů v drogeriích, lékárnách, příručních skladech hořlavých kapalin apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. Výhřevnost paliv: Výhřevnost je vlastnost paliva udávající, kolik tepelné energie se uvolní během spálení jedné jednotky, která je obvykle udávána v kilogramech. Záleží ale na mnoha jiných faktorech, které během uvolňování tepla působí na výhřevnost. Jde hlavně o vlhkost paliva, vzduchu, místo zdroje a čerpání paliva. Proti spalnému teplu není v hodnotě zahrnuto měrné skupenské teplo páry, obsažené ve spalinách. Předpokládá se, že její teplo je nevyužitelné a uniká v plynném stavu se spalinami. kde je uvolněné teplo při spalování a m je hmotnost paliva [ ] Příklady: Mějme dusík uzavřený v nádobě o objemu. Jak se změní vnitřní energie plynu a jakou práci plyn vykoná, jestliže za stálého tlaku P expanduje na objem. Řešení: Výpis veličin: P 1. termodynamický zákon je ve tvaru:, kde je dodané teplo do soustavy, změna vnitřní energie a je práce vykonaná plynem. Změna vnitřní energie je dána vztahem: Teploty nejsou dány, ale můžeme je vyjádřit ze stavových rovnic pro počáteční a koncový stav plynu: Při odečtení těchto rovnic získáme: Dosaďme do rovnice pro změnu vnitřní energie za výraz levou stranu získané rovnice, tedy: 141

142 Po číselném dosazení je změna vnitřní energie rovna. Vykonaná práce při izobarickém ději je dána rovnicí: Po číselném dosazení je vykonaná práce plynem rovna Při izotermickém ději za teploty dochází k expanzi dvou kilomolů ideálního plynu na třetinový tlak. Jakou práci plyn vykoná? Řešení: Výpis veličin: Elementární vykonaná práce při izotermickém ději je dána rovnicí: d d Celková vykonaná práce je tedy: d Za neznámý tlak dosadíme výraz ze stavové rovnice ideálního plynu: Vykonaná práce: d d d ln Poměr objemů výchozího a koncového stavu lze nahradit převráceným poměrem tlaků, což vyplývá ze stavové rovnice pro izotermický děj: Vykonaná práce: ln ln ln3 Po číselném dosazení je vykonaná práce rovna. 142

143 Vzduch o hmotnosti a teplotě se adiabaticky komprimuje o původního objemu. Určete výslednou teplotu a dodanou práci. Řešení: Výpis veličin: Adiabatický děj popisuje Poissonova rovnice: Vzduch je považován za ideální dvou-atomový plyn, poissonova konstanta pro adiabatický děj je tedy: V Poissonově rovnice je nutno nahradit neznámé hodnoty tlaků výchozí a konečnou teplotou, které vyplývají ze stavových rovnic pro oba stavy: Po dosazení do Poissonovy rovnice : ( ) ( ) ( ) Po číselném dosazení je konečná teplota 373,4 K Práce, kterou je nutno dodat pro adiabatické stlačení plynu, je dána: 143

144 Dosaďme za výrazy v závorce pravé strany stavových rovnic pro výchozí a koncový stav: Po číselném dosazení je vykonaná práce při adiabatické kompresi rovna Tepelný stroj, který pracuje na základě ideálního Carnotova cyklu, přijímá během jednoho cyklu od ohřívací lázně o teplotě tepla. Jakou maximální práci může plyn vykonat, jestliže teplota chladicí lázně je? [ ] Kolik tepla je třeba dodat kyslíku o teplotě, aby za konstantního normálního tlaku vykonal práci? Jaký bude výsledný objem a teplota plynu? [ ] Kyslík o hmotnosti, teplotě a tlaku P podléhá adiabatickému stlačení na polovinu původního objemu a následné izotermické expanzi na původní objem. Určete konečný tlak, teplotu a objem plynu a práci, kterou plyn při izotermickém ději vykonal. [ P ] Dusík o hmotnosti izotermicky expanduje, přičemž vykonaná práce při teplotě činí. Jaký je poměr výchozího a koncového tlaku plynu? [ ] Při práci Dieselova spalovacího motoru přijímá pracovní látka od ohřívače teplo a chladiči odevzdá teplo. Teplota ohřívače je, teplota chladicí lázně. Určete skutečnou účinnost motoru a maximální možnou účinnost, jakou by motor mohl mít, kdyby pracoval na základě ideálního Carnotova cyklu. [ ] Jaké množství tuhých paliv je potřeba spálit, aby uvolněným teplem bylo možné ohřát vody z pokojové teploty k bodu varu a při této teplotě nechat polovinu vody odpařit, je-li výhřevnost paliva a účinnost kotle pro ohřev. Měrná tepelná kapacita vody je, měrné skupenské teplo varu vody je. [ ] 144

145 3.6 SDÍLENÍ TEPLA A) Vedení tepla: Tepelný tok je dán vztahem: d d Hustota tepelného toku je: d d d d d d d d Jednorozměrné stacionární vedení tepla homogenní rovinnou stěnou: B) Přestup tepla (přechod tepla z prostředí, ve kterém se šíří teplo prouděním, do prostředí, ve kterém se šíří teplo vedením (nebo obráceně): C)Prostup tepla (tepelná výměna mezi dvěma tekutinami oddělenými stěnou z pevné látky): D) Teplotní záření: Zářivý tok: Zářivost bodového zdroje: Intenzita vyzařování plošného zdroje: Záření absolutně černého tělesa: ů kde je Stefan - Boltzmannova konstanta. ienův posunovací zákon: 145

146 Příklady: Mějme dvě homogenní destičky, které jsou položeny těsně na sebe: hliníková destička tloušťky a železná tloušťky. Předpokládejme, že hustota tepelného toku touto dvojicí destiček je konstantní, tj. jedná se o stacionární vedení tepla. Tuto izolační dvojvrstvu je potřeba nahradit destičkou jedinou o celkové tloušťce. Jaký součinitel tepelné vodivosti by tato jednoduchá homogenní vrstva musela mít, aby vedla teplo stejně jako dvojice destiček? Součinitel tepelné vodivosti hliníku je, železa. Řešení: Výpis veličin: mm mm mm m m m konst. (předpokládáme stacionární vedení tepla, hustota tepelného toku je konstantní) Obr Hustota tepelného toku pro vedení tepla je dána vztahem: Je-li vedení tepla stacionární, platí pro hustotu tepelného toku první a druhou destičkou: resp.:, 146

147 kde je teplota hliníkové destičky z vnější strany, je teplota železné destičky z vnější strany a je teplota uvnitř, na rozhraní hliníkové a železné destičky. Teploty vnějších stran destiček jsou neznámé, vyjádří se z předchozích rovnic jako: a analogicky z druhé části rovnice Nahradíme-li soustavu jedinou destičkou, musí platit: Vyjádřené teploty dosadíme do rovnice pro hustotu tepelného toku jedinou destičkou a vyjádříme hledanou veličinu: Po číselném dosazení:. Jednoduchá homogenní vrstva nahrazující izolační dvojvrstvu musí mít součinitel tepelné vodivosti Cihlová zeď vnějšího pláště domu propustí každou hodinu určité množství tepla. Tloušťka zdi je a její plocha, přičemž vnitřní teplota vzduchu je, vnější teplota. Stanovte teplo, které stěnou uniká a určete teplotu vnitřního a vnějšího povrchu cihlové zdi. Součinitel tepelné vodivosti stěny je, součinitel přestupu tepla mezi stěnou a vzduchem uvnitř v místnosti a venku. Řešení: Výpis veličin: 147

148 Obr Hustota tepelného toku pro vedení tepla stěnou je dána vztahem: Hustota tepelného toku pro přestup tepla mezi tekutinou a stěnou je dána vztahem: Zapišme rovnice pro všechny tři procesy postupně: - přestup vzduch uvnitř/stěna: - vedení uvnitř stěny: - přestup vzduch vně/stěna: Z uvedené trojice rovnic vyjádřeme teplotní rozdíly: Sečteme tyto rovnice a získáme vztah: ( ) Odsud vyplývá vztah pro hustotu tepelného toku: 148

149 Celkové množství tepla, které prostoupí zdí je: Po číselném dosazení. Každou hodinu prostoupí přes cihlovou zeď tepla Určete intenzitu dopadajícího slunečního záření na Zemi, jestliže střední teplota povrchu Slunce je, poloměr Slunce a vzdálenost Země od Slunce je. [ ] Jaké množství energie vyzáří každou minutou povrchu černého tělesa o teplotě? [ ] Jakou teplotu má rozhraní mezi dvěma vrstvami, které přiléhají těsně na sebe, je-li jedna vrstva mosazná o tloušťce a měděná o tloušťce. Vnější strana mosazi je udržována na teplotě a vnější strana skleněné destičky má teplotu. Součinitel tepelné vodivosti mosazi je a mědi. [ ] V ledové kostce o teplotě je zapíchnuta hliníková tyč, jejíž druhý konec je udržován na teplotě. Jaké množství ledu roztaje za dobu? Tyč má délku, průřez, součinitel tepelné vodivosti hliníku je, měrné skupenské teplo tání ledu je. [ ] Na tenkou černou destičku umístěnou ve vakuu kolmo ke směru dopadajících slunečních paprsků dopadá zářivý tok o hustotě. Určete, jakou teplotu bude destička mít v ustáleném stavu. [ ] 149

150 4. ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 4.1 ELEKTROSTATICKÉ POLE Náboj Každý náboj je celistvým násobkem elementárního náboje: kde a je celé číslo. Coulombův zákon Mezi dvěma náboji působí elektrostatická síla dána vztahem: Zde je konstanta úměrnosti, kde je permitivita prostředí. Pro vakuum je tato konstanta: Pro dielektrikum zavádíme relativní permitivitu, Intenzita elektrostatického pole bodového náboje je dána vztahem: : Elektrická intenzita v poli bodového náboje je: Intenzita pole soustavy bodových nábojů: Gaussův zákon elektrostatiky Znění zákona: Tok vektoru intenzity E libovolnou uzavřenou plochou je úměrný náboji uzavřenému v této ploše. Jeho tvar je tedy: Důsledek: uvnitř nabité kulové plochy je elektrické pole : 150

151 Práce sil elektrostatického pole je obecně: kde je dráha pohybu náboje v poli. Elektrická potenciální energie bodového náboje je: kde je jednotkový testovací náboj. Změna elektrické potenciální energie je dána vztahem: ( ) Elektrický potenciál Je podíl elektrické potenciální energie a kladného bodového náboje, tedy: Potenciál soustavy bodových nábojů je Potenciál vně vodivé kulové plochy o poloměru se spojitě rozloženým nábojem: Elektrické napětí Je rovno rozdílu potenciálů mezi dvěma body jednotka napětí a elektrického potenciálu je V (volt): Elektrostatické pole v látkách a) látka obsahující volné elektrické náboje vodič Pro homogenní pole: 151

152 kde, je elektrická indukce b) látka bez volných elektrických nábojů nevodič (dielektrikum, izolant) Výsledné pole uvnitř dielektrika: míra zeslabení pole: relativní permitivita prostředí (jehož permitivita je ), Kapacita vodiče: bylo experimentálně prokázáno: kde konstanta úměrnosti senazývá kapacita vodiče.jednotkou kapacity je F (farad) a rozměr této jednotky je: Kapacita kondenzátoru: Kondenzátor tvoří soustava dvou vodičů, které jsou od sebe odděleny nevodivým prostředím (dielektrikem). Jeho kapacita je dána vztahem: deskový kondenzátor Pro deskový kondenzátor platí, že jeho kapacita je: kde je vzdálenost elektrod a jejich plocha. Kondenzátory spojené paralelně a sériově a) Sériové zapojení (za sebou) Obecně pro zapojených kondenzátorů: Pro napětí na kondenzátorech platí: 152

153 b) Paralelní zapojení (vedle sebe) Napětí na celé skupině kondenzátorů je stejné jako napětí na každém z nich Pro dvojici kondenzátorů platí: Obecně pro zapojených kondenzátorů: Energie elektrostatického pole, kde W-odevzdaná práce; -přijatá práce. Pro zvýšení potenciální energie platí: Energie elektrického pole kondenzátoru: V homogenním elektrostatickém poli platí: energie homogenního pole je: PŘÍKLADY: Dvě stejné kuličky, které jsou nabity stejným elektrickým nábojem, jsou zavěšeny na nitích stejné délky. Nitě spolu svírají úhel 2α (viz Obr ). Vypočítejte hustotu látky, která byla použita na výrobu kuliček, víte-li, že při ponoření kuliček do benzenu o hustotě a jeho relativní permitivitě se úhel nití nezměnil. Řešení: Výpis veličin: 153

154 Na každou kuličku ve vzduchu působí síly: Tíhová ; Elektrického odpuzování (Coulombův zákon). Obr Podmínka rovnováhy ve vzduchu (A) je: Pro ponoření do benzenu (B) přibude vztlaková síla => kde je hustota benzenu. Síla elektrického odpuzování v benzenu se zmenší krát, odtud Porovnáním obou tangent obdržíme vztah kde a je hustota materiálu kuličky. Dosazením získáme vztah Po číselném dosazení 154

155 . Hustota materiálu každé z kuliček je Ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o stranách velikosti jsoucího ve vakuu máme umístěny bodové náboje o velikosti. Jak veliký bodový náboj musíme umístit do středu tohoto trojúhelníka, aby náboje byly v rovnováze? (viz obr ). Řešení: Obr Vybereme si např. náboj v poloze 3, na který působí i náboje v polohách 1 a2 silami, přičemž. Podmínka rovnováhy:. je síla, kterou působí náboj umístěný v poloze 4 na náboj v místě 3. Náboj musí tedy mít opačné znaménko než náboj. Z Coulombova zákona a silových relací nábojů v trojúhelníku plyne. Po dosazení vztahů do podmínky rovnováhy velikost náboje : a porovnáním rovnicdostáváme hodnotu pro. Stejná úvaha platí pro náboje Q v polohách 1 a Ve vzdálenosti jsou umístěny náboje a Určete intenzitu a potenciál elektrického pole obecně (obr A), poté pro vzdálenosti od obou nábojů (obr B), (náboje jsou ve vakuu): a) mají-li oba náboje stejné velikosti i znaménka, b) mají-li oba náboje stejné velikosti, ale opačná znaménka. 155

156 Řešení: Obr Pro obecný výpočet položme počátek souřadné soustavy do středu vzdálenosti mezi náboje (obr A) a hledáme potenciál v bodě C: [ ( ) ( ) Intenzitu elektrostatického pole získáme ze vztahu ]. Intenzita je funkcí x a y a tedy: ( ) { [( ) ] ( ) [( ) ] } { [( ) ] [( ) ] }. V případě rovnostranného trojúhelníka (obr B) má bod C souřadnice: ; ; ;. 156

157 a) ; ; ;. Uvážíme-li, že ; kde je velikost intenzity v bodě pole buzeného nábojem. b) ;. Celková intenzita má v případě a) směr osy y v případě b) směr osy x Určete intenzitu a potenciál elektrostatického pole s konstantní plošnou hustotou σ v nekonečné rovině umístěné ve vakuu. Řešení: Obr Obr Použijeme Gaussovy věty. Uzavřenou plochu volíme ve tvaru válce se základnami S po obou stranách roviny, které jsou rovnoběžné s rovinou s nábojem (obr ). K celkovému toku intenzity přispívají jen obě základny. Plášť nepřispívá, neboť všude na něm platí:. Celkový tok můžeme psát 157

158 Intenzita a potenciál jsou:. ; Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru vytvořeného dvěma soustřednými vodivými kulovými plochami o poloměrech a mezi kulovými plochami je vakuum. Řešení: Napětí mezi kulovými plochami je. Kapacita kulového kondenzátoru potom bude Dvě stejně veliké kuličky nesou elektrické náboje a. Určete: a) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, je-li jejich vzdálenost 6 cm. b) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, když byly předtím uvedeny do vzájemného styku. a) [kuličky se přitahují silou ] b) [kuličky se odpuzují silou ] Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti působí na sebe ve vzduchu silou. V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o, aby se velikost síly nezměnila? [ ] Kde na spojnici nábojů a vzdálených je třeba umístit třetí náboj tak, aby na něj nepůsobila žádná síla? Ve kterém místě na spojnici daných nábojů bude intenzita pole nulová? [ ] Elektrické náboje a jsou umístěny viz. obr Stanovte: a) intenzitu elektrostatického pole v bodech A, B, C, b) potenciály v bodech A, B, C, 158

159 c) potenciální energii bodového náboje, je-li postupně umístěn v bodech. A, B, C a) [ ; ; ] b) [ ; ; ] c) [ ; ; ] Tři kondenzátory, z nichž jeden má kapacitu, dávají při paralelním zapojení kapacitu, při sériovém zapojení. Jakou kapacitu mají zbylé dva kondenzátory? [ ] Tři kondenzátory mají kapacitu, a. Při kterém spojení dávají a) maximální, b) minimální kapacitu? [paralelně ;sériově ] Napětí mezi bouřkovým mrakem a zemí dosáhlo v okamžiku vzniku blesku hodnoty. Bouřkový mrak měl náboj Jaká energie se uvolnila zábleskem při blesku? V jaké formy se při tom elektrická energie přeměnila? [ ; světelnou, zvukovou, chemickou, mechanickou, aj.] 159

160 4.2 ELEKTRICKÝ PROUD Elektrický proud Zde je náboj, který za dobu projde průřezem vodiče. Jednotkou elektrického proudu je ampér (A). Hustota proudu Proud (skalár) souvisí s vektorem hustoty proudu vztahem: kde je vektor kolmý k elementu plochy o obsahu a integruje se přes celý průřez vodiče. Orientace je stejná jako orientace intenzity elektrického pole, která vyvolává proud. Driftová rychlost Je-li ve vodiči elektrické pole o intenzitě, (kladné) nosiče náboje se pohybují driftovou rychlostí ve směru intenzity. Rychlost souvisí s hustotou proudu vztahem: kde je objemová hustota náboje. Odpor vodiče Odpor neboli rezistance vodiče (součástky) je definován vztahem: definice odporu kde je napětí přiložené na vodič a proud procházející vodičem. Jednotkou je ohm ( ): Rezistivita a konduktivita materiálu jsou definovány jako: definice kde je velikost intenzity elektrického pole. Jednotkou rezistivity je. Zobecněním předchozího vztahu je vektorová rovnice: Odpor vodiče o délce a průřezu určíme podle vztahu: 160

161 Změna rezistivity s teplotou Rezistivita většiny materiálů se mění s teplotou. Pro řadu materiálů, včetně kovů, lze závislost rezistivity na teplotě aproximovat lineárním vztahem: kde je rezistivita při teplotě, je referenční teplota a je teplotní součinitel rezistivity (v určitém teplotním intervalu). Závislost odporu kovu na teplotě Závislost odporu polovodiče na teplotě: Ohmův zákon Pro vodič (součástku) platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho odpor vodiče( nezávisí na přiloženém napětí. definovaný v rovnici pro odpor Pro materiál platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho rezistivita definovaná příslušnou rovnicí ( ) nezávisí na velikosti a směru elektrické intenzity. Ohmův zákon v diferenciálním tvaru Rezistivita kovů Za předpokladu volně se pohybujících vodivostních elektronů (jako molekuly v plynu) lze odvodit vztah pro rezistivitu kovu: Zde je objemová koncentrace elektronů a je střední doba mezi srážkami elektronu s atomy kovu. Protože je prakticky nezávislé na, platí pro kovy Ohmův zákon. Soustava rezistorů zapojených sériově kde jsou hodnoty jednotlivých odporů a je celkový odpor. Soustava rezistorů zapojených paralelně 161

162 kde jsou hodnoty jednotlivých odporů a je celkový odpor. Výkon elektrického proudu Výkon přenosu energie v součástce, na níž je napětí a kterou prochází proud, je roven: výkon el. proudu Disipace energie rezistorem Je-li součástkou rezistor, lze psát předešlou rovnici pro výkon ve tvaru: disipace energie rezistorem V rezistoru je elektrická potenciální energie disipována prostřednictvím srážek nosičů náboje s atomy. Elektromotorické napětí ( Je-li práce, kterou zdroj vykoná při průchodu kladného náboje vnitřkem zdroje od záporného pólu ke kladnému, je jeho elektromotorické napětí (nebo také, tj. práce vztažená na jednotkový náboj) rovno: definice EMN Jednotkou EMN je volt, tedy stejná jednotka jako napětí. Ideální zdroj EMN má nulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je stále rovno elektromotorickému napětí. Reálný zdroj EMN má nenulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je rovno elektromotorickému napětí pouze v případě, že zdrojem neprochází žádný proud. Spojování zdrojů elektromotorického napětí: Kirchhoffovy zákony 162

163 Uzlové pravidlo (ze zákona zachování elektrického náboje): Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. Smyčkové pravidlo (ze zákona zachování energie): Algebraický součet úbytků napětí při průchodu libovolnou uzavřenou smyčkou je nulový. Jednoduché obvody Proud v jednoduchém obvodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zapojen rezistor o odporu elektromotorického napětí s vnitřním odporem, je: a zdroj V případě ideálního zdroje EMN ( ) přecházi tento vztah do tvaru. Obvody stejnosměrného elektrického proudu Základní pojmy: - uzel: místo vodivého spojení, ve kterém se setkávají alespoň tři vodiče (proud se rozděluje do jednotlivých větví) - větev: část obvodu mezi dvěma uzly - jednoduchý elektrický obvod - síť (soustava jednoduchých elektrických obvodů) Zásady a postup výpočtů při řešení stejnosměrných elektrických sítí použitím 1. a 2. Kirchhoffova zákona: - počet rovnic pro řešení elektrické sítě je dán počtem větví - rovnice vybíráme tak, aby byly nezávislé - zvolit předpokládané směry proudů v jednotlivých větvích (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - zvolit směr postupu v jednotlivých vybraných smyčkách (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - vyznačíme směr od záporného ke kladnému pólu ve zdrojích napětí (tj. ve směru růstu potenciálu) EMN a úbytková napětí dosazujeme do rovnic včetně znamének: 163

164 R I R I 0 0 RI 0 RI 0 Výkon a elektromotorické napětí Jestliže reálnou baterií o elektromotorickém napětí s vnitřním odporem protéká proud, pak výkon, který dodává baterie prostřednictvím nosičů náboje do zbytku celého zapojení, je: kde je napětí na svorkách baterie. Ztrátový výkon (uvnitř baterie) je: Výkon zdroje EMN (tj. rychlost, s jakou ubývá chemická energie baterie) je roven:. Hmotnost látky vyloučené při elektrolýze kde m je hmotnost vyloučené látky, je hmotnost iontu vylučované látky, jeho náboj, je protékající proud a je čas. Pozn.: Krokové napětí je elektrické napětí, které vznikne mezi dvěma došlapy v poli s proměnným elektrickým potenciálem (spadlý drát vysokého napětí). Nebezpečí spočívá v tom, že elektrický potenciál se vyrovnává průchodem elektrického proudu přes tělo člověka, který krok učinil. Elektrický generátor (alternátor) přeměňuje kinetickou energii rotačního pohybu na energii elektrickou ve formě střídavého proudu. Elektrický motor je elektrický stroj, který slouží k přeměně elektrické energie na mechanickou práci. Běžné elektrické přístroje a zařízení: žárovka (15-100) W, napětí 230 V, výbojky, bílá elektronika - pračky, ledničky, žehličky, spotřební elektronika televize, audio, video, počítač, elektromotory Snaha o minimální spotřebu (Pozor na pohotovostní polohu!) a maximální užitečnost. 164

165 PŘÍKLADY: Vodičem protéká stálý proud. Jaký je celkový náboj částic a počet elementárních nábojů, které projdou průřezem vodiče za. Řešení: Výpis veličin: Elektrický proud je dán množstvím náboje, který projde vodičem za jednotku času: Celkový náboj : po dosazení: Počet elementárních nábojů kde je elementární náboj. Po dosazení. Vodičem projde celkový náboj elementárních nábojů Když byl spotřebič připojený na napětí, protékal jim proud. Při poruše elektrického vedení poklesl proud na. Jaké bylo napětí v síti při poruše? Řešení: Výpis veličin: Odpor spotřebiče je dán vztahem: ; => Po dosazení číselných hodnot. Při poruše bylo v síti napětí 121 V. 165

166 Jaké napětí je mezi dvěma body tlustého měděného drátu, které jsou od sebe vzdáleny, protéká-li drátem proud? Řešení: Výpis veličin: Odpor vodiče vypočítáme ze vztahu Po dosazení, kde. Napětí vypočítáme z Ohmova zákona Dosadíme číselné hodnoty: Napětí mezi body vodiče bylo Akumulátorová baterie má elektromotorické napětí. Zapnutím přístroje při odběru proudu pokleslo svorkové napětí na. Jakébude svorkové napětí při odběru proudu? Řešení: Výpis veličin:. 166

167 Po zapojení obvodu vznikne úbytek napětí vlivem změny vnitřního odporu akumulátorové baterie. Důsledkem změny odporu se zmenší svorkové napětí. Úbytek napětí na vnitřním odporu akumulátorové baterie lze vyjádři vztahem ;. Když obvodem poteče proud, svorkové napětí bude, potom svorkové napětí vypočítáme podle vztahu Po dosazení:. Při odběru proudu bude svorkové napětí Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu (Obr A; B; C), kde odpory jsou ; a a elektromotorická napětí zdrojů jsou. Vnitřní odpory zdrojů zanedbáme. Obr Řešení: Výpis veličin: 167

168 Pro zadané zapojení si můžeme schéma libovolně upravit; schéma zapojení na obr jsou rovnocenná pro požadovaný výpočet (zadané schéma si můžeme libovolně překreslovat při zachování zapojení). Zvolíme!: a) směr ve smyčkách I. a II.; b)pravděpodobný směr toku proudu ; c) uzly A a B. Vyznačíme směry elektromotorických napětí. Pro uzel A sestavíme rovnici dle 1. Kirchhoffova zákona:. (a) Pro smyčku I. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona:. (b) Pro smyčku II. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona:. (c) Poznámka: získali jsme 3 rovnice (a), (b)a (c) pro 3 neznámé. Znaménko mínus ( ) u neznámé udává, že orientace toku elektrického proudu je opačná, než jsme zvolili. Dosadíme numerické hodnoty:. (b). (c) Z rovnice (b) vyjádříme a z rovnice (c) vyjádříme : Dosadíme do rovnice (a) a vypočítáme.. směr. má opačný než námi zvolený Proudy vypočítáme z rovnic (b) a (c), do nichž dosadíme za proud :, (b). (c) Z čehož plyne:. Proudy v uzlu A mají tyto hodnoty: odpovídají původní volbě, proud má opačný směr., směry proudů 168

169 Vodičem o odporu prošel za minuty náboj. Kolik elektronů prošlo vodičem, jaké bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud procházel vodičem? [ ] Vodičem délky a průřezu prochází proud. Jak velký je měrný odpor vodiče, je-li napětí na jeho koncích? [ ] Stanovte vnitřní odpor galvanického článku s napětím naprázdno, má-li při zatížení odporem svorkové napětí. [ ] Žárovka pro napětí a proud se má připojit k baterii o napětí. Jaký odpor musíme přidat do obvodu, aby se žárovka nezničila? [ ] Dva rezistory mají při sériovém zapojení odpor a při paralelním odpor. Jaké odpory mají zapojené rezistory? [ ] Akumulátor s napětím dodává v automobilu proud stop světlům s odporem, houkačce s odporem a reflektoru s odporem. Jaký proud se bude celkově z akumulátoru odebírat, jsou-li uvedené spotřebiče zapojeny paralelně? [ ] Stanovte hodnotu odporu v zapojení podle obr tak, aby galvanometrem neprocházel proud. Hodnoty napětí a odporu jsou, a. Vnitřní odpory zdrojů můžeme zanedbat. [ ] Obr Vypočítejte: a) proud jdoucí odporem v síti podle obr , b)při obrácené polaritě napětí.je dáno. Vnitřní odpory zdrojů zanedbáváme. 169

170 [ ů ] Obr V obvodu podle obr jsou zapojeny dva články o elektromotorických napětích a vnitřních odporech a odpory Určete celkový proud, proudy ve větvích a svorková napětí jednotlivých článků a baterie. [ ] Obr Stanovte velikost a směr proudu procházejícího odporem v zapojení podle obr Hodnoty odporů jsou hodnoty elektromotorických napětí. Vnitřní odpory zdrojů zanedbejte. [ ] Obr Elektromotor byl zapojený, elektroměr ukázal spotřebu. Určete výkon daného elektromotoru při účinnosti. 170

171 [ ] Při odchodu z domu jste zapomněli vypnout žárovku. Zbytečně svítila. Určete hmotnost vody, která by se využitím této energie dala vyčerpat čerpadlem s účinností do výšky. [ ] Vlákno svítící žárovky o výkonu při napětí má teplotu. Stanovte teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při ) [ ] Kolik kilogramů mědi je zapotřebí k instalaci vedení tvořeného dvěma vodiči délky, je-li napětí zdroje, přenášený výkon a úbytek napětí na vedení nemá překročit, když víme, že měrný odpor mědi je a měrná hustota. [ ] 171

172 4.3 MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI, Magnetická indukce MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU Magnetická indukce je definovaná pomocí síly působící na zkušební částici s nábojem, která se pohybuje rychlostí v magnetickém poli: působící síla na částici ( ). Jednotkou indukce v soustavě jednotek SI je tesla (T): Magnetická intenzita a indukce v izotropním prostředí Vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou magnetického pole v izotropním prostředí je následující: Hallův jev Umístíme-li do magnetického pole vodič průřezu a šířky, kterým protéká elektrický proud, usadí se část nosičů náboje na bočních stranách vodiče a tím se vytvoří napětí. Polaritu určuje znaménko nosičů náboje. Počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče (koncentrace nosičů náboje) lze vypočítat ze vztahu: koncentrace nosičů náboje (síla dostředivá) Nabitá částice pohybující se v magnetickém poli Nabitá částice o hmotnosti s nábojem, která se pohybuje rychlostí kolmou na indukci homogenního magnetického pole, koná rovnoměrný pohyb po kružnici. Použijeme-li Newtonova zákona na případ rovnoměrného pohybu po kružnici, dostaneme: Odtud můžeme určit poloměr kružnice : Frekvence, úhlová frekvence a perioda pohybu jsou spojeny vztahy: 172

173 Ampérova síla Na přímý vodič délky s proudem, nacházející se v homogenním magnetickém poli, působí síla: ( ); Síla, kterou působí magnetické pole o indukci na element vodiče protékaného proudem, je: ( ) Směr vektoru, resp., je souhlasný se směrem proudu. Moment síly působící na cívku s proudem Na cívku protékanou proudem působí magnetické pole o indukci momentem síly : Zde je magnetický dipólový moment cívky. Jeho směr je dán pravidlem pravé ruky a velikost je, kde je počet závitů cívky a je obsah plochy jednoho závitu. Potenciální energie magnetického dipólu Magnetický dipól s momentem má v magnetickém poli potenciální energii, která závisí na orientaci vůči : kde je úhel sevřený vektory a. Hopkinsonův zákon: Magnetický odpor: Biotův-Savartův zákon Magnetické pole vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme určit dle Biotova-Savartova zákona. Podle něj je magnetická indukce vytvořená elementem ve vzdálenosti od tohoto elementu dána vztahem: Biotův-Savartův zákon ;. Zde je vektor, který směřuje od elementu Veličina do bodu, v němž určujeme magnetickou indukci. je permeabilita vakua. Vztah můžeme přepsat do tvaru pro magnetické pole: 173

174 ;, kde jejednotkový vektor ve směru polohového vektoru. Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Velikost magnetické indukce pole přímého dlouhého vodiče ve vzdálenosti od něj je: dlouhý přímý vodič Magnetické pole vodiče ve tvaru kruhového oblouku Velikost magnetické indukce ve středu kruhového oblouku vodiče se středovým úhlem poloměrem, kterým protéká elektrický proud je: a ve středu kruhového oblouku Síla působící mezi dvěma rovnoběžnými vodiči, kterými protéká proud Rovnoběžné vodiče ( a ), kterými protéká souhlasně orientovaný proud, se vzájemně přitahují. Mají-li proudy opačnou orientaci, vodiče se odpuzují. Velikost síly, která působí na jednotku délky každého z vodičů, je: kde je vzdálenost obou vodičů, jsou proudy tekoucí vodiči a. Ampérův zákon Vztah mezi elektrickým proudem a magnetickou indukcí vyjadřuje vedle Biotova-Savartova zákona také Ampérův zákon, který má tvar: Ampérův zákon ;. Křivkový integrál počítáme podél uzavřené orientované křivky, která se nazývá Ampérova křivka. Proud je celkový elektrický proud, obepnutý křivkou (to je celkový proud, který prochází libovolnou plochou mající za hranici tuto uzavřenou křivku). Magnetické pole solenoidu a toroidu Uvnitř solenoidu, kterým protéká elektrický proud I, je v bodech vzdálených od konce solenoidu velikost magnetické indukce: ideální solenoid (uvnitř) kde je počet závitů připadající na jednotku délky solenoidu. 174

175 Uvnitř toroidu s závity je velikost magnetické indukce: toroid kde je vzdálenost mezi středem toroidu a bodem, v němž indukci určujeme. Vně toroidu je magnetická indukce nulová. Pole magnetického dipólu Cívka, kterou protéká elektrický proud, tvoří magnetický dipól. V bodě magnetická indukce: ležícím na ose cívky je magnetický dipól kde je dipólový moment cívky a je souřadnice bodu na ose cívky (závitu). PŘÍKLADY: Volný elektron vletí do homogenního magnetického pole s indukcí rychlostí. Směr rychlosti je kolmý na směr indukčních čar. Určete poloměr kruhové dráhy elektronu, víte-li, že náboj elektronu je a hmotnost elektronu je. Řešení: Výpis veličin: Magnetické pole bude na elektron působit silou (Lorencovou), danou vztahem:. Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil magnetické a dostředivé, které působí na elektron, tj.: kde odtud. 175

176 Po dosazení číselných hodnot: Poloměr zakřivení dráhy volného elektronu v homogenním magnetickém poli je Nabitá částice se pohybuje rychlostí po kružnici o poloměru v rovině kolmé na směr indukčních čar magnetického pole o indukci. Pohybová energie částice je. Vypočítejte elektrický náboj částice a hmotnost částice. Řešení: Výpis veličin: Na pohybující se částici v magnetickém poli působí síla. Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil magnetické a dostředivé, které působí na elektron kde odtud Hmotnost částice vyjádříme pomocí kinetické energie:. Dosadíme číselné hodnoty: Po dosazení za do předešlé rovnice určíme náboj :, číselně. Elektrický náboj částice má hodnotu a hmotnost částice je. 176

177 Vypočítejte, jaký proud poteče vodičem délky, který je kolmý na indukční čáry magnetického pole s indukcí, přičemž magnetické pole působí na vodič s proudem silou. Řešení: Výpis veličin: Magnetické pole bude působit na vodič silou danou vztahem Úpravou pro tekoucí proud dostaneme. Po dosazení. Vodičem poteče proud 25 A Svislým vodičem dlouhým protéká proud. Vypočítejte sílu, jakou na vodič s proudem působí magnetické pole Země. (Horizontální složka magnetické indukce magnetického pole Země je ). Řešení: Výpis veličin: Síla, kterou magnetické pole působí na vodič je dána vztahem Po dosazení. 177

178 Magnetické pole Země působí na vodič silou Vypočítejte indukci a intenzitu magnetického pole v okolí dlouhého přímého vodiče s proudem v kolmé vzdálenosti. Řešení: Výpis veličin: Pro indukci magnetického pole v okolí magnetického pole ve vakuu platí vztah:.. Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole je následující:. Po dosazení:. Indukce sledovaného magnetického pole je. Jeho intenzita je Vypočítejte průměr závitu, kterým protéká proud, víte-li, že magnetická indukce v jeho středu je. Řešení: Výpis veličin: Magnetická indukce ve středu závitu je dána vztahem Po úpravě a dosazení. 178

179 . Průměr závitu bude Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem. Řešení: Výpis veličin:,,. Magnetická indukce je a intenzita magnetického pole je V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí v horizontálním směru je kolmo na indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič, jehož má tíhu a jímž prochází proud. Jakou hodnotu musí mít magnetická indukce, aby uvažovaný vodič nepadal, ale vznášel se? Řešení: Výpis veličin: I, Magnetická indukce musí mít velikost. 179

180 Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem. [ ] Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou od sebe vzdálené. Jedním prochází proud a druhým souhlasně orientovaný proud. Ve kterém místě na kolmé spojnici obou vodičů bude magnetická indukce výsledného magnetického pole nulová? [ ] Dvěma velmi dlouhými rovnoběžnými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vzduchu ve vzájemné vzdálenosti procházejí elektrické proudy se stejnými hodnotami. Vypočtěte velikost magnetické indukce v bodě, který leží uprostřed mezi vodiči, a) procházejí-li vodiči proudy stejným směrem, b) procházejí-li vodiči proudy navzájem opačnými směry. [ ] 180

181 4.4 STŘÍDAVÉ PROUDY Obvod s rezistorem Sériový obvod skládající se ze střídavého zdroje elektromotorického napětí(emn) a rezistoru. Dle 2. Kirchhoffova zákona je: Napětí na rezistoru se mění harmonicky dle vztahu: Fázový rozdíl pro zátěž skládající se pouze z odporu je. Z toho vyplývá, že proud a napětí jsou ve fázi, jejich maxima a minima nastávají ve stejných okamžicích, vztah mezi amplitudami je: a jsou netlumené. Obvod s rezistorem, fázorový a časový diagram: Odporovou zátěž nazýváme rezistance. Obvod s kapacitou (kondenzátorem) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a kondenzátoru o kapacitě. Napětí na kondenzátoru je: kde je amplituda napětí na kondenzátoru. Z definice kapacity: vyplývá, že: 181

182 Definujme nyní tzv. kapacitanci kondenzátoru: [ ] Nahradíme li funkci funkcí sinus: ( ) dostaneme: ( ) ( ) kde je amplituda proudu, je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Proud tedy předbíhá napětí o čtvrt periody. Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je: Obvod s kapacitou, fázorový a časový diagram: Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření elektrického pole kondenzátoru, v další čtvrt periodě elektrické pole mizí a energie se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální kapacita nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon proudu v obvodu v jedné periodě je roven nule. 182

183 Obvod s indukčností (cívkou) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a ideální cívky o indukčnosti L (odpor vinutí cívky ). Napětí na cívce je: kde je amplituda napětí na cívce. Okamžité napětí na cívce, ve které se mění proud s rychlostí je: a z toho vyplývá, že: Okamžitý proud je roven: Definujme nyní tzv. induktanci cívky: [ ] Nahradíme-li funkci funkcí sinus fázově posunutou, dostaneme: ( ) ( ) kde je amplituda proudu, je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Napětí tedy předbíhá proud o čtvrt periody. Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je: Obvod s indukčností, fázorový a časový diagram: 183

184 Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření magnetického pole cívky, v další čtvrt periodě se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální cívka nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon v obvodu v jedné periodě je roven nule (nedochází ke ztrátám energie). Přehled výsledků řešení jednoduchých obvodů střídavého proudu PRVEKOBVODU rezistor kondenzátor cívka SYMBOL R C L IMPEDANCE R FÁZE PROUDU ve fázi s předbíhá o 90 zpožděna za o 90 FÁZOVÝ ROZDÍL VZTAH MEZI AMPLITUDAMI Sériový obvod RC Náboj při nabíjení kondenzátoru: kde je ustálený náboj a je časová konstanta sériového RC obvodu. Proud při nabíjení kondenzátoru: Náboj při vybíjení kondenzátoru (přes rezistor): a proud při jeho vybíjení: ( ) 184

185 Sériový obvod RL Růst proudu při připojení EMN do obvodu: kde je ustálená hodnota proudu a je časová konstanta sériového RL obvodu. Pokles proudu při odpojení emn od cívky (díky odporu z ustálené hodnoty ): Sériový obvod RLC Obsahuje zdroj EMN prochází tentýž proud: a sériově zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky a okamžité napětí se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkové napětí v obvodu bylo: Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90 (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90 ) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90 (fázor napětí na cívce předbíhá o 90 před fázorem proudu). Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Dle Pythagorovy věty: kde výraz ve jmenovateli na pravé straně poslední rovnice je celkový odpor série RLC (impedance) a označujeme jej. Pro amplitudu proudu z předchozích vztahů platí: ( ) Pozn.: Veškeré vztahy odpovídají ustálenému harmonickému proudu. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je: 185

186 Je-li má obvod induktivní charakter, je-li má obvod kapacitní charakter a je-li obvod je v rezonanci (napěťová rezonance pro sériový RLC obvod). Sériový RLC obvod, fázorový diagram: Rezonance: Amplituda proudu v obvodu je maximální, jestliže: kde je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Impedance je rovna reaktanci ( ). Pozn.: Rezonanční frekvence odpovídá vlastní úhlové frekvenci (netlumených) kmitů v obvodu LC. Platí Thompsonův vztah: Paralelní obvod RLC Obsahuje zdroj EMN prochází totéž napětí: a paralelně zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky a okamžitý proud vstupující do obvodu se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkový proud v obvodu byl: 186

187 Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90 (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90 ) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90 (fázor napětí na cívce předbíhá o 90 před fázorem proudu). Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Výsledná okamžitá hodnota proudu v paralelním RLC obvodu je: Amplituda proudu je: ( ) kde výraz s odmocninou ( ) je tzv. admitance. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je: Rezonance: Admitance nabývá extrémních hodnot pro: ( ) kde je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Platí Thompsonův vztah pro rezonanci: Admitance je rovna vodivosti RLC obvodu, tj.: což je tzv. proudová rezonance. 187

188 Paralelní RLC obvod, fázorový diagram: Výkon v obvodech se střídavým proudem Okamžitý výkon je dán vztahem: z kterého po dosazení dostaneme vztah: a tedy výkon mění periodicky svoji velikost i znaménko. Pokud jsou proud a napětí téhož znaménka, výkon je kladný a do obvodu se přivádí proud, v opačném případě je to naopak. Efektivní hodnota proudu kde je amplituda proudu v obvodu. Efektivní hodnota napětí kde je amplituda napětí v obvodu. Efektivní hodnoty jak napětí, tak proudu nám umožňují vyjádřit střední hodnotu ztrát ve střídavém obvodu v ustáleném stavu a to ve stejném tvaru, jako pro stejnosměrné veličiny. Efektivní hodnota 188

189 střídavého proudu (napětí) v určitém časovém intervalu je definována jako velikost stálého stejnosměrného proudu, který vyvine v téže době stejné teplo. Úprava vztahů pro okamžitý výkon kde první člen na pravé straně je složka činná, wattová (nezávislá na čase) a druhý člen je pro složku jalovou, bezwattovou (závislou na čase). Vyjádříme-li předchozí vztah pomocí efektivních hodnot, nabývá tvaru: Průměrný (skutečný) výkon střídavého proudu Průměrný výkon střídavého proudu je roven součinu efektivních hodnot proudu a napětí a kosinu fázového posunu mezi proudem a napětím. Člen se nazývá účiník, součin je tzv. zdánlivý výkon. Pro střídavé RLC obvody energii dodává generátor střídavého napětí, kdy část energie je uložena v elektrickém poli kondenzátoru, část v magnetickém poli cívky a část spotřebovává rezistor. V ustáleném stavu je časová střední hodnota energie v jedné periodě v cívce a kondenzátoru konstantní. Elektromagnetická energie se přenáší jen od zdroje k rezistoru. Napětí na rezistoru Napětí na ideální cívce kde Napětí na ideálním kondenzátoru kde Ohmův zákon pro obvody střídavého proudu kde je tzv. impedance. 189

190 Soustava prvků zapojených sériově kde je impedance jednotlivých prvků. Soustava prvků zapojených paralelně kde je impedance jednotlivých prvků. PŘÍKLADY: Při otáčení závitu v homogenním magnetickém polije amplituda střídavého napětí a perioda. Určete hodnotu napětí v časech 0 ; ; ;. Řešení: Výpis veličin Okamžitá hodnota střídavého napětí v čase t je dána vztahem: kde. Po dosazení pro uvedené časy dostáváme: Okamžité hodnoty napětí jsou. 190

191 Ve spotřebitelské síti je efektivní napětí. Určete amplitudu střídavého napětí. Řešení: Výpis veličin: Mezi amplitudou napětí a jeho efektivní hodnotou platí vztah:. Úpravou a po dosazení dostáváme V V. Amplituda střídavého napětí v síti je 325 V Ampérmetr je zapojený v obvodu se střídavým proudem a ukazuje hodnotu. Jaká je hodnota střídavého proudu? Řešení: Výpis veličin: Mezi amplitudou napětí a jeho efektivní hodnotou platí vztah:. Úpravou a po dosazení dostáváme, Amplituda střídavého proudu je 28,3 A Induktance cívky v obvodě se střídavým proudem o frekvenci má hodnotu. Při jaké frekvenci bude její indukce? Řešení: Výpis veličin: 191

192 Indukčnost cívky určíme ze vztahu po induktanci. Jestliže indukčnost cívky se nemění, porovnáním dostáváme po úpravě. Po dosazení číselných hodnot Induktance cívky bude při frekvenci Vypočítejte kapacitu kondenzátoru, když víme, že v obvodu střídavého proudu o frekvenci byla jeho kapacitance stejně veliká jako induktance cívky s indukčností. Řešení: Výpis veličin: Pro kapacitanci a induktanci platí vztahy Porovnáním dostáváme a. a upravíme. Po dosazení číselných hodnot., Kapacita kondenzátoru je Žárovku se jmenovitými hodnotami napětí a proudu a chceme připojit ke zdroji střídavého napětí o frekvenci pomocí tlumivky (cívky) zapojené se žárovkou do série. Určete indukčnost tlumivky (odpor zanedbejte). Řešení: 192

193 Výpis veličin: Pro napětí v obvodu platí Induktance tlumivky ž kde je napětí na tlumivce. Odtud Po číselném dosazení, Indukčnost tlumivky je Elektrický motor při napětí a proudu odebral z elektrické sítě za dobu hodiny energii. Určete činný příkon ; účiník ; jalový výkon spotřebiče. [ ] Jaké musí být hodnoty elektrického odporu, kapacity a vlastní indukčnosti L v sériovém RLC obvodě, aby se obvod choval jako: a) elektrický odpor b) ideální kondenzátor o kapacitě c) bezodporová cívka s vlastní indukčností? [ ] 193

194 4.5 ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE, Magnetický indukční tok ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE Magnetický indukční tok plochou v magnetickém poli je definován vztahem: magnetický indukční tok v němž se integruje přes uvažovanou plochu. Jednotka magnetického indukčního toku v jednotkách SI je weber,. Je-li pole B kolmé k uvažované ploše a je-li homogenní, zjednoduší se předešlý vztah na tvar: je homogenní Faradayův zákon elektromagnetické indukce Mění-li se v čase magnetický indukční tok plochou ohraničenou uzavřenou vodivou smyčkou, vytvoří se ve smyčce elektromotorické napětí (EMN) a proud. Tento děj se nazývá elektromagnetická indukce. Indukované elektromotorické napětí má hodnotu: Faradayův indukční zákon Nahradíme-li smyčku hustě navinutou cívkou o závitech, pak indukované EMN je: indukované EMN v cívce Kvantitativní vyjádření Faradayova zákona Uvažujme dva rovnoběžné vodiče připojené k voltmetru v homogenním magnetickém poli kolmo k indukčním čarám, jejichž vzájemná vzdálenost je. Po těchto vodičích se příčně rychlostí pohybuje další vodič a na volné nosiče náboje ve vodiči působí magnetická síla, která způsobuje pohyb elektronů ve vodiči. Elektrony se ve vodiči tedy pohybují, jako kdyby byly v elektrickém poli o intenzitě Indukuje se tedy elektrické pole. Konfigurace popisovaného děje je na následujícím obrázku. Obr Konfigurace pro kvalitativní vyjádření Faradayova zákona. 194

195 Při pohybu vodiče působí na každý volný elektron ve vodiči síla: ( ) Toto silové působení je ekvivalentní působení elektrického pole o intenzitě: Intenzita tohoto indukovaného elektrického pole je rovna potenciálovému spádu: Z toho vyplývá, že: Následně mohou nastat dva obecné případy: a) Vodič se pohybuje stálou rychlostí: a indukované napětí je tedy: b) Vodič se pohybuje nerovnoměrnou rychlostí, tj.: a indukované napětí je tedy: Což je Faradayův zákon elektromagnetické indukce. Indukované elektromotorické napětí se tedy rovná (jak již bylo zmíněno výše) časové změně indukčního toku procházejícího plochou vymezenou obvodem. Indukovaný proud Uzavřeným vodičem, na kterém se indukovalo elektromotorické napětí, prochází indukovaný elektrický proud. Lenzův zákon (Lenzovo pravidlo) Indukovaný proud má takový směr, aby jeho magnetické pole brání změně magnetického pole, která tento proud vyvolává. Přímý vodič: Flemingovo pravidlo pravé ruky Položíme ruku nad vodič tak, aby indukční čáry vstupovaly do dlaně a odchýlený palec ukazoval směr pohybu vodiče, pak prsty ukazují směr indukovaného proudu. 195

196 Indukované elektrické pole Indukované EMN je vytvořeno v čase se měnícím magnetickým indukčním tokem, a to i když smyčka, uvnitř níž se tok mění, není skutečný vodič, ale jen myšlená uzavřená křivka. Měnící se indukční tok indukuje elektrické pole v každém bodě takové křivky, a to bez ohledu na to, zda se tento bod sám nachází v magnetickém poli či nikoli (podstatné je, že se mění tok magnetického pole plochou, na jejímž obvodu bod leží). Indukované EMN se váže k vztahem: ;, kde se integruje podél myšlené uzavřené křivky. S užitím této rovnice můžeme Faradayův zákon psát v nejobecnějším tvaru: Faradayův zákon Podstata tohoto zákona je, že měnícím se magnetickým indukčním tokem se indukuje elektrické pole. Smyčka v homogenním magnetickém poli Indukční tok, který prochází plochou smyčky je roven: kde je úhel mezi normálou k ploše smyčky a směrem vektoru magnetické indukce. Při otáčení smyčky se magnetický tok mění, a tedy dochází k indukci EMN dle rovnice: Pro konstantní platí: kde je maximální hodnota indukovaného elektromotorického napětí amplituda napětí a vztah můžeme psát ve tvaru: Cívka a indukčnost Cívka (induktor) je zařízení, kterým můžeme vytvořit magnetické pole v jisté oblasti. Teče-li elektrický proud každým z N závitů cívky, sčítá se jejich magnetický tok. Indukčnost cívky pak je: definice indukčnosti Jednotkou indukčnosti v jednotkách SI je henry (H): 196

197 Indukčnost připadající na jednotku délky dlouhého solenoidu, který má průřez a závitů na jednotku délky l (to je v oblasti, kde se neuplatní rozptyl na koncích), je: solenoid Vlastní indukce (samoindukce) Mění-li se proud v cívce s indukčností, indukuje se v ní EMN. Toto indukované EMN je: Směr najdeme pomocí Lenzova zákona: indukované elektromotorické napětí brání změně, která jej vyvolává. Sama velikost proudu nemá vliv na indukované EMN, závisí pouze na rychlosti změny proudu v cívce. Indukované EMN má opačnou polaritu vzhledem k EMN zdroje. Vlastní indukčnost jednotlivých cívek závisí na jejich tvaru, rozměrech a magnetických vlastnostech prostředí. Vlastní indukčnost solenoidu Solenoid délky o přůřezu mající závitů vytvoří při průchodu proudu vinutím indukční tok kde je počet závitů na jednotku délky solenoidu. Jelikož pro pole uvnitř solenoidu platí: je indukčnost rovna: Sériový obvod RL Připojíme-li zdroj konstantního EMN do obvodu s rezistorem o odporu a cívkou o indukčnosti, pak proud roste (exponenciálně se blíží) do ustálené (stacionární) hodnoty podle vztahu: růst proudu kde určuje rychlost růstu proudu a nazývá se časová konstanta -obvodu. Odpojíme-li zdroj konstantního EMN, klesá (exponenciálně) proud z hodnoty k nule podle vztahu: pokles proudu 197

198 Jevy vlastní indukce se projevují při zapnutí a vypnutí proudu (sepnutí a přerušení obvodu). Při sepnutí spínače se nejprve vytváří magnetické pole v okolí vodiče a proud tedy nenabývá okamžitě své maximální hodnoty. K indukci EMN dochází vlivem vlastní indukce a okamžitá hodnota elektromotorického napětí v obvodu je: Vzájemná indukčnost Jsou-li dvě cívky (označené 1 a 2) blízko sebe, pak proměnný proud v jedné z nich indukuje EMN ve druhé cívce. Tato vzájemná indukce je vyjádřena vztahy: kde (měřená v henry) je vzájemná indukčnost daného uspořádání cívek ( a proto tedy můžeme rovnice zapsat výše uvedeným způsobem). Energie magnetického pole Magnetická energie odpovídá práci nutné ke vzniku magnetického pole, která se při jeho zániku uvolní. Pokud uvažujeme jednoduchý obvod s cívkou o indukčnosti, tak v důsledku vlastní indukce se v obvodu indukuje EMN: Celkové EMN v obvodu tedy je: Práce elektrického proudu za čas : ( ) kde první výraz na pravé straně rovnice je energie dodaná zdrojem a druhý je energie spotřebovaná na vytvoření mag. pole. Teče-li cívkou o indukčnosti proud, má vzniklé magnetické pole celkovou energii: mag. energie cívky pro Vztah neplatí pro cívky s feromagnetickým jádrem, neboť zde je indukčnost funkcí protékaného proudu ( ). Je-li B velikost magnetické indukce v libovolném bodě, je hustota energie magnetického pole v tomto bodě rovna: 198

199 hustota energie mag. pole (vakuum) PŘÍKLADY: Magnetická indukce homogenního magnetického pole je. Vypočítejte magnetický indukční tok kruhovou plochou o poloměru pro případ, že svírá se směrem indukce úhel. Řešení: Výpis veličin: Magnetický indukční tok je dán vztahem, kde α je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce, proto Po úpravě. po dosazení číselných hodnot, Magnetický indukční tok danou plochou je V homogenním magnetickém poli s intenzitou se kolmo na indukční čáry pohybuje vodič délky rychlostí. Vypočítejte, jaké napětí se indukuje na vodiči, víte-li, že. Řešení: Výpis veličin: 199

200 Indukované napětí je dáno vztahem. Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole ve vakuu je Po úpravě a po číselném dosazení, Na vodiči se indukuje napětí Kolik závitů musíme navinout na papírový válec o průměru a délce, aby cívka měla indukčnost Řešení: Výpis veličin: Pro jeden závit platí vztah Pro N závitů je z toho. Do vztahu dosadíme:, potom,kde je plošný obsah průřezu cívky. Úpravou získáme 200

201 , Dosazením číselných hodnot získáme Musíme navinout 955 závitů Vypočítejte energii magnetického pole válcové cívky, jenž má 500 závitů, délku a poloměr. Cívkou protéká proud. Řešení: Energie magnetického pole je dána vztahem. Za dosadíme vztah a tím získáme výraz Dosazením číselných hodnot dostáváme. m m A J Energie magnetického pole cívky je Vypočítejte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti od velmi dlouhého vodiče, kterým protéká proud. 201

202 Řešení: Výpis veličin: Obr Vyjdeme z definice pro magnetickou indukci d Můžeme uvažovat nekonečně dlouhý vodič viz. obr V souladu s tímto obrázkem, můžeme psát d sin, odtud Potom hodnota magnetické indukce je Po dosazení číselných hodnot dostáváme Intenzita magnetického pole v místě A bude 202

203 Indukce je a intenzita magnetického pole je. Jsou kolmé na nákresnu v bodě A jejích orientace je ve směru za nákresnu Nejnápadněji se jevy vlastní indukce projevují při spojení spínače nebo přerušení proudu. Vyjádřete matematicky nárůst proudu při zapojení elektromotorického napětí do sériového obvodu s cívkou o indukčnosti a činném odporu. Řešení: Po zapojení do obvodu se v cívce vlivem vlastní indukce indukuje elektromotorické napětí d d, celkové elektromotorické napětí v obvodu bude Při odporu R prochází obvodem proud. Za předpokladu, že, můžeme diferenciál vyjádřit ve tvaru Proto můžeme psát. Po integraci dostáváme, kde je integrační konstanta. Její hodnotu určíme z počátečních podmínek pro je, tedy Platí tedy ln ln ln a odtud pro časový průběh proudu vyjádříme ( ). Po zapojení elektromotorického napětí do obvodu, má proud v obvodu časový průběh daný vztahem ( ). 203

204 Přímý vodič délky, kterým protéká proud je umístěn v magnetickém poli s indukcí, kolmo na její směr. Jaká síla působí na vodič? [ ] Vodič délky se pohybuje kolmo na směr homogenního magnetického pole s indukcí a kolmo na směr své délky rychlostí. Určete elektromotorické napětí, které se ve vodiči indukuje? [ ] Cívkou, která má 100 závitů s vlastní indukčností, protéká proud. Určete indukční tok procházející plochou jednoho závitu. [ ] Jak veliká je energie magnetického pole cívky o 2500 závitech s průměrem a délkou při průchodu proudu? [ ] 204

205 5. OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA 5.1. SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Světlo je elektromagnetické vlnění o vlnových délkách ve vakuu cca nm (viditelných lidským okem). Jak plyne z Maxwellových rovnic, je to vlnění příčné, v němž vektory a intenzity elektrického a magnetického pole jsou vždy kolmé na směr, kterým se vlnění šíří. Vakuem se světlo šíří konstantní rychlostí c = 2, m s -1. Rychlost světla ve vakuu je největší mezní rychlostí, kterou se mohou pohybovat hmotné objekty (velikost rychlosti světla ve vakuu nezávisí na žádné jiné fyzikální veličině, je to tzv. univerzální fyzikální konstanta). Platí obecný vztah pro souvislost mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny:. Různé frekvence světla vnímáme jako různé barvy, bílé světlo vzniká jejich složením. Frekvence světla je určena zdrojem světla a nezávisí na prostředí, kterým se světlo šíří. V látkovém optickém prostředí je fázová rychlost světla nižší než ve vakuu a závisí nejen na fyzikálních vlastnostech tohoto prostředí, ale i na frekvenci světla (disperze). Úměrně tomu se zkracuje i vlnová délka vlny. Index lomu n daného prostředí definujeme jako podíl fázové rychlosti monofrekvenční světelné vlny ve vakuu a fázové rychlosti světelné vlny téže frekvence v daném prostředí. Index lomu vzduchu je velmi blízký jedné. Vektory a jsou kolmé i na sebe navzájem a a tvoří pravotočivý systém. Protože i poměr velikostí vektorů elektrické a magnetické intenzity je v daném prostředí stálý, obvykle stačí vlnu reprezentovat jen jedním z těchto dvou vektorů, např. pomocí elektrické intenzity. Rovinnou vlnu postupující ve směru osy lze zapsat např. 0 sin 0 kde 0 je amplituda elektrické intenzity, 2 2 a 0 počáteční fáze. Obr Tato vlna je tzv. lineárně polarizovaná ve směru osy x, protože vektor elektrické intenzity kmitá stále v tomto směru (jako na obrázku 5.1-1). Koncový bod vektoru se při pohledu ke zdroji pohybuje po úsečce na ose x. Vlna lineárně polarizovaná ve směru osy y by byla např. 205

206 0 sin 0 Vlna s sebou nese energii, která se přenáší ve směru vektoru šíření, okamžitou hustotu toku energie vyjadřuje tzv. Poyntingův vektor. Např. pro rovinnou lineárně polarizovanou vlnu ve vakuu je jeho časová střední hodnota neboli intenzita světla To udává průměrný výkon přenesený jednotkovou plochou, jíž vlna prochází. Obecněji bývá světlo polarizované elipticky (viz obr ), koncový bod vektoru při pohledu ke zdroji opisuje elipsu. Obr Obr

207 Dalším speciálním případem je polarizace kruhová (obr ), kdy opisuje kružnici. Otáčí-li se vektor při pohledu do zdroje ve směru hodinových ručiček, hovoříme o pravotočivé polarizaci, otáčí-li se v opačném směru, jedná se o polarizaci levotočivou. Světlo může být také nepolarizované, pokud se směr kmitání náhodně mění. K částečné polarizaci dochází odrazem, přičemž úplně polarizováno je světlo, které dopadá na odraznou plochu pod Brewsterovým úhlem (vůči normále k rozhraní), pro nějž platí B Odražené světlo je polarizováno tak, že vektor kmitá kolmo k rovině dopadu. Při lomu světla nastává polarizace částečná. K polarizaci nebo stáčení polarizační roviny dochází i při průchodu některými optickými prostředími (nerosty, plasty pod mechanickým napětím, cukerný roztok apod.). K cílené polarizaci světla se používají polarizační filtry. Po průchodu ideálním lineárním polarizačním filtrem je světlo zcela lineárně polarizováno v daném směru, přičemž pokud na něj dopadá světlo lineárně polarizované v jiném směru, jeho amplituda a intenzita je dána Malusovým zákonem: neboli, kde je úhel mezi oběma polarizačními směry. PŘÍKLADY: Obr Jako viditelné spektrum se přibližně udává rozsah frekvencí THz. Jaké jsou odpovídající vlnové délky světla ve vakuu a ve skle o indexu lomu přibližně =1,5? Jakou rychlostí se světlo tímto sklem šíří? Řešení: Využijeme vztah mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny: vlnovou délku máme pro vakuum (a přibližně i vzduch) hodnotu. Odtud pro první a pro druhou 207

208 Viditelné světlo má ve vzduchu vlnové délky v rozmezí od 380 nm (fialová) do 750 nm (červená). Ve skle se sníží rychlost šíření světla v poměru a ve stejném poměru se zkrátí i vlnová délka (frekvence se nemění), Rychlost šíření světla sklem tedy bude a vlnové délky nm nm nm nm Poznámka: Ve skutečnosti se index lomu pro různé vlnové délky světla mírně liší, tomuto efektu se budeme věnovat v následující podkapitole Jaká je amplituda vektoru elektrické intenzity lineárně polarizovaného paprsku laserového zaměřovače ve vzduchu, je-li průměr svazku 2 mm a udávaný výkon 2,8 m? Pro jednoduchost předpokládejte rovnoměrné rozložení toku energie celým průřezem svazku. Řešení: Intenzitu vypočteme podle vztahu kde rychlost světla ve vzduchu je přibližně c = m s -1 a permitivita. Současně z definice, kde je výkon a je průřez svazku. Odtud a po dosazení V m V m 1 Amplituda vektoru elektrické intenzity ve svazku je přibližně Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln o stejné amplitudě 1 2, postupujících ve směru osy, kde ( ) Řešení: V každém bodě se intenzity obou vln sčítají V našem případě se jedná o skládání kolmých kmitů - ve směru osy a ve směru osy : 208 ( ) Vyloučením času, umocněním obou rovnic na druhou a jejich následným sečtením dostaneme v obou případech rovnici kružnice. Jedná se tedy o kruhově polarizovanou vlnu (pro kladné znaménko pravotočivou a pro záporné levotočivou).

209 Poznámka: Kruhové polarizace využívají mimo jiné některá 3D kina a 3D televizory. Promítají zdvojený obraz, odlišující se polarizací. Bez brýlí vnímáme oba obrazy současně a místo prostorového vnímání máme spíše dojem rozmazaného snímku. Polarizační brýle pro tento typ projekce však propouštějí ke každému oku buď pouze levotočivě, nebo pouze pravotočivě polarizované světlo, každé oko tak vidí jen obraz, který je mu určen, a vzniká tak prostorový vjem * Některá kina či TV technologie pracují s lineárně polarizovaným světlem ve dvou na sebe kolmých směrech, jiná se světlem kruhově polarizovaným. Ukažte, že při použití lineárních polarizačních brýlí u 3D televizoru založeného na kruhové polarizaci nedosáhnete žádného žádoucího efektu. Řešení: Pro jednoznačnost předpokládejme šíření ve směru osy. V předchozí úloze jsme viděli, že kruhově polarizované světlo lze vyjádřit jako součet dvou kolmo na sebe lineárně polarizovaných vln o stejné amplitudě, fázově posunutých o. Vzhledem k symetrii lze tyto dva kolmé směry zvolit v rovině kolmé na směr šíření libovolně. Pro určení intenzity po průchodu polarizátorem zvolíme osu (směr do směru jednoho polarizátoru, třeba toho pro levé oko, a osu (směr do směru druhého, pro pravé oko. Pro pravotočivou vlnu dostaneme: ( ) podle Malusova zákona projde levým polarizátorem pouze vlna popsaná první částí výrazu, protože úhel mezi rovinou kmitu a směrem polarizátoru je pro ni nulový, prošlá vlna bude popsána rovnicí Pro druhou část je, takže vůbec neprojde. Pravým polarizátorem projde naopak pouze druhá část, tj. ( ) Pro levotočivou vlnu analogicky dostaneme: ( ) Levým polarizátorem v ose projde pravým polarizátorem v ose projde ( ) Pro obě kruhové polarizace budou lineárně polarizované brýle propouštět k oběma očím stejně, uvidíme zdvojený obraz stejně jako bez brýlí, pouze temnější Jaká je frekvence světla červeného laserového ukazovátka o vlnové délce 633 nm a zeleného o vlnové délce 532 nm? [474 THz, 564 THz] Zvýšení kapacity záznamových médií je podmíněno použitím dostatečně krátké vlnové délky světla pro jejich čtení. Jaké jsou vlnové délky záření používaného přehrávači CD, DVD a Bluray disků, víte-li, že jejich frekvence jsou 385 THz, 462 THz a 741THz? [780 nm, 650 nm, 405 nm] Jakou rychlostí se šíří světlo sodíkové výbojky s vlnovou délkou 589,3 nm destilovanou vodou o indexu lomu a 30% cukerným roztokem o indexu lomu 1,381? Jaká je vlnová délka tohoto světla, prochází-li jeho paprsek destilovanou vodou a roztokem? Poznámka: Rozdílného indexu lomu cukerného roztoku v závislosti na jeho koncentraci využívají mimo jiné i potravinářské refraktometry. 209

210 Obr [ m s m s nm nm] Některé laserové měřiče vzdálenosti pracují na principu měření zpoždění paprsku odraženého o zaměřovaný předmět. Jaké časové zpoždění bude mít puls červeného světla o vlnové délce 660 nm, odrazí-li se o 6 m vzdálený objekt zpět do přístroje? Kolikanásobek své vlnové délky urazí? [, 1, ] Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy, kde [Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 45 vůči kladné poloose i ] Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy, kde [Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 90 vůči předchozímu řešení] Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel 2? [Obě budou nulové] Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel 4? [ a ] * Co pozorujeme, pokud při 3D projekci založené na lineárně polarizovaném světle nakloníme hlavu s polarizačními brýlemi na stranu o 45? [Podobně jako u příkladu * zdvojený obraz, s intenzitou poloviční než bez brýlí] Pod jakým úhlem musí dopadat sluneční paprsky na kaluž na vodorovné silnici, aby odražené světlo bylo lineárně polarizované v horizontálním směru (tento směr blokují nasazené polarizační sluneční brýle, viz obrázek 5.1-4)? Index lomu vody je =1,332. [ 53 6 ] 210

211 5.2. GEOMETRICKÁ OPTIKA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V geometrické optice nezohledňujeme vlnové vlastnosti světla, v homogenním prostředí předpokládáme jeho přímočaré šíření reprezentované paprskem. Úhel dopadu paprsku na rozhraní dvou prostředí měříme vždy mezi dopadajícím paprskem a normálou k rozhraní. Tyto dva směry určují rovinu dopadu. Dopadající paprsek se částečně odráží a částečně láme do nového prostředí, přičemž odražený i lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úhel odrazu a úhel lomu vztahujeme k téže normále k rozhraní. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu Úhel lomu je dán Snellovým zákonem kde 1 a 2 jsou indexy lomu prvního a druhého prostředí. Je-li 1< 2, tj. první prostředí je tzv. opticky řidší než druhé, jedná se o lom ke kolmici, Je-li 1> 2, tj. první prostředí je tzv. opticky hustší než druhé, jedná se o lom od kolmice,, viz obrázek V tom případě může pro úhly, pro něž 1 nastat tzv. totální odraz (dopadající paprsek se vůbec nedostává do druhého prostředí a celý se odráží). Úhel m, pro nějž platí m 1, se nazývá mezním úhlem. Obr Rozklad světla (disperze) index lomu světla je mírně závislý také na jeho vlnové délce. Tento jev se nazývá disperze, protože za určitých podmínek může vést k rozkladu světla na jeho jednotlivé barevné složky. 211

212 Při tzv. normální disperzi je index lomu světla o nižší frekvenci nižší než světla vyšší frekvence, např. paprsek červené barvy se takovým prostředím šíří rychleji než paprsek barvy fialové. Při šikmém dopadu paprsku bílého světla na rozhraní dvou prostředí se nejméně odchyluje červená barva, následně pak žlutá, zelená, modrá, indigo a nejvíce barva fialová (viz obrázek 5.2-2). Typickým příkladem tohoto jevu je duha. Optické prvky Obr Odrazu a lomu paprsků využívají různé optické prvky. Nejjednodušším je rovinné zrcadlo, pro které platí jednoduchý zákon odrazu. Totéž platí u kulových zrcadel dutých (konkávních), kde odraznou plochu tvoří vnitřní část povrchu, a vypuklých (konvexních), kde odraznou plochu tvoří vnější povrch koule. Jak u zrcadel, tak u čoček budeme uvažovat pouze zobrazení paprsky jdoucími blízko optické osy (v tzv. paraxiálním prostoru). U čoček budeme dále předpokládat zjednodušený model tzv. tenké čočky. Základní pojmy u zrcadel: střed křivosti optické plochy, její poloměr křivosti značíme r; optická osa osa procházející středem křivosti, protíná zrcadlo v tzv. vrcholu zrcadla. Ohnisko předmětové splývá s obrazovým a leží na optické ose v polovině mezi středem a vrcholem zrcadla, jeho vzdálenost od vrcholu nazýváme ohnisková vzdálenost,. Vzdálenost předmětu od vrcholu zrcadla nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme, vzdálenost obrazu od vrcholu zrcadla nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme. Velikost předmětu značíme, velikost obrazu. Zvětšení. Obraz určitého bodu předmětu hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr ): 1. paprsek jdoucí středem křivosti se odráží zpět do středu křivosti, 2. paprsek jdoucí ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, 3. paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska. Obr

213 Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká skutečný (reálný) obraz (lze zachytit na stínítko). Pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v jejich průsečíku pak vzniká zdánlivý (virtuální) obraz (nelze zachytit na stínítko, ale může sloužit jako předmět pro další optické zobrazení). Pro výpočty používáme následující znaménkovou konvenci: 1. ohnisková vzdálenost u dutého zrcadla je, u vypuklého 2. předmětová a obrazová vzdálenost jsou kladné, jsou-li před zrcadlem, záporné za zrcadlem, 3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence platí Gaussova zobrazovací rovnice Čočky jsou průhledná, stejnorodá tělesa ohraničená dvěma opticky hladkými plochami, na nichž dochází k lomu světla. Rozlišujeme spojky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem čočkou mění na sbíhavý) a rozptylky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem rozptylkou mění na rozbíhavý). Základní pojmy u tenkých čoček: Průsečík hlavní roviny s optickou osou, předmětové ohnisko a obrazové ohnisko leží ve stejné ohniskové vzdálenosti od hlavní roviny čočky, tato vzdálenost je dána tvarem čočky a indexem lomu čočky a okolí. Vzdálenost předmětu od hlavní roviny čočky nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme, vzdálenost obrazu od hlavní roviny čočky nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme. Velikost předmětu značíme, velikost obrazu. Zvětšení. Obraz určitého bodu předmětu opět hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr pro příklad spojné čočky, pro rozptylku by byla poloha ohnisek opačná): 1. paprsek jdoucí průsečíkem hlavní roviny a optické osy prochází přímo, 2. paprsek jdoucí předmětovým ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, 3. paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do obrazového ohniska. Obr Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká reálný obraz; pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v průsečíku jejich prodloužení pak vzniká zdánlivý obraz. Pro výpočty opět používáme následující znaménkovou konvenci: 213

214 1. ohnisková vzdálenost u spojné čočky je, u rozptylky 2. předmětová vzdálenost jekladná před čočkou (v předmětovém prostoru), záporná za čočkou, obrazová je kladná za čočkou (v obrazovém prostoru), záporná před čočkou. 3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence opět platí Gaussova zobrazovací rovnice. Optická mohutnost čočky (včetně znaménka, používá se např. v oční optice). Optické soustavy Optické soustavy jsou tvořeny několika optickými prvky. Nejběžněji používanými jsou oko a lupa, případně čočky brýlí, objektiv fotoaparátu či kamery, mikroskop, dalekohled. Oko má čočku proměnné optické mohutnosti (pro zdravé oko od cca 60 dioptrií pro volné po cca 70 dioptrií pro maximálně akomodované oko). Při určování zvětšení přístrojů se porovnávají zorné úhly nezvětšeného objektu a jeho obrazu po zobrazení danou soustavou. U blízkých předmětů se předpokládá jejich poloha pro porovnání v tzv. zrakové konvenční vzdálenosti od oka. Úhlové zvětšení lupy, dalekohledu či mikroskopu γ definujeme pomocí zvětšení zorného úhlu α na úhel α, tj. Při pozorování lupou je předmět mezi ohniskem a hlavní rovinou spojné čočky, nebo přímo v Obr ohnisku, vzniká tak zdánlivý zvětšený a přímý obraz (jako na obrázku 5.2-5), který následně oko promítá na sítnici. 214

215 Obr Za všechny typy dalekohledů uveďme alespoň typ Keplerův, který byl základní součástí prvních teodolitů a v upravené formě se zde používá dodnes. Sestává ze dvou spojných čoček, přičemž obrazové ohnisko první čočky splývá s předmětovým ohniskem druhé čočky (Keplerův dalekohled při zobrazení velmi vzdáleného předmětu, např. hvězd, je na obrázku 5.2-6). Obraz je při pozorování Keplerovým dalekohledem převrácený. Mikroskop sestává také ze dvou spojných čoček, přičemž obraz předmětu za objektivem vzniká v ohnisku okuláru (případně mezi okulárem a jeho předmětovým ohniskem, ovšem velmi blízko k ohnisku). Okulárem jej pak pozorujeme jako lupou. Optický interval je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru (viz obrázek 5.2-7). PŘÍKLADY: Obr Jaký úhel spolu budou svírat fialový a červený paprsek z okrajů viditelného spektra po průchodu prvkem tvaru poloviny válce (jako na obrázku 5.2-2), dopadá-li na něj svazek ze vzduchu pod úhlem a materiál je tvořen vysoce disperzním sklem SF5, případně nízko disperzním fluoridem kalcia? Pro SF5 je index lomu při 380 nm: a pro 215

216 780 nm: Pro CaF 2 je index lomu při 380 nm: a pro 780 nm: Řešení: Index lomu vzduchu je přibližně roven jedné, index lomu optického prvku označme zákona lomu bude úhel lomu Podle Snellova arcsin ( ) Po dosazení pro SF5 dostaneme: ( ) ( ) takže rozdíl mezi nimi je ( ) ( ) neboli 57,9, obdobně pro CaF 2 dostaneme ( ) ( ) ( ) ( ) takže rozdíl mezi nimi je neboli 16, Jak velký obraz vznikne a kde při zobrazení předmětu spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti, je-li předmět umístěn ve vzdálenosti 16 cm před čočkou a měří 0,5 cm? Řešte početně i graficky. Řešení: Obr Podle zadání je,. Můžeme ponechat tyto jednotky. Grafické řešení je na obrázku Obraz jsme sestrojili pomocí význačných paprsků. Podle Gaussovy zobrazovací rovnice Po dosazení (v cm) Zvětšení 216

217 Vzniká reálný, převrácený a zvětšený obraz Určete zvětšení při zobrazení lupou, je-li její optická mohutnost D předmět je umístěn 4 cm před lupou a oko je těsně za lupou. Kde vznikne zdánlivý obraz? Jaké by bylo zvětšení, pokud by předmět byl umístěn přímo v ohnisku? Řešení: Ohnisková vzdálenost lupy je. Předmětová vzdálenost Jedná se tedy o podobné uspořádání jako na obrázku 5.2-5, kdy předmět leží mezi spojnou čočkou a jejím ohniskem. Ze zobrazovací rovnice vyjádříme opět a velikost obrazu Tento obraz je pozorován ve vzdálenosti takže úhlové zvětšení ve srovnání s pozorováním nezvětšeného předmětu ve zrakové konvenční vzdálenosti bude Při umístění předmětu přímo do ohniska bude (obraz vznikne v nekonečnu) a zvětšení Určete zvětšení jednoduchého Keplerova dalekohledu při pozorování velmi vzdáleného předmětu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru. Jaká je jeho minimální celková délka? Řešení: Z obrázku je zřejmé, že zvětšení Keplerova dalekohledu je za těchto podmínek Po dosazení (protože se jedná o poměr stejných jednotek, lze ponechat cm): Celková délka aktivní části dalekohledu bude (opět podle obrázku 5.2-6) 217

218 Poznámka: Toto zvětšení je obvyklé i u teodolitů, které však bývají doplněny ještě dalšími prvky (např. hranolem), aby při pozorování byl obraz přirozeně vzpřímený. Také mají možnost zaostřování, takže jimi lze pozorovat i objekty vzdálené už od jednotek metrů, nikoli pouze v nekonečnu Určete zvětšení mikroskopu, jehož optický interval je, ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru. Jak daleko před objektivem musí být umístěn pozorovaný předmět, aby se zobrazil do předmětového ohniska okuláru (zdánlivý obraz po zobrazení okulárem pak vzniká v nekonečnu)? Řešení: Má-li se obraz po průchodu objektivem vytvořit v ohnisku okuláru, musí podle obrázku platit:. Z Gaussovy zobrazovací rovnice Po dosazení Předmět musí být umístěn 1,06 cm před objektivem. Úhlové zvětšení mikroskopu vyjádříme podobně jako u lupy (příklad 5.2-3) kde jsme za dosadili výsledek z předchozí části. Po dosazení numerických hodnot ( 25 cm Mikroskop zvětší obraz 100 a bude převrácený Blízký bod oka je nejmenší vzdálenost, na jakou ještě oko dokáže zaostřit obraz na sítnici. U zdravého oka v mládí je cca 10 cm, s věkem se od oka vzdaluje. Pokud se zvětší nad zrakovou konvenční vzdálenost, pořizují si lidé brýle na čtení. Jaké brýle (kolik dioptrií) je třeba předepsat dalekozrakému člověku, jehož blízký bod je ve vzdálenosti od oka, aby mohl zaostřit text ve zrakové konvenční vzdálenosti? Jaké brýle je třeba předepsat krátkozrakému člověku, který není schopen volným okem zaostřit na nekonečno (normální tzv. vzdálený bod), ale pouze na vzdálenost 2,5 m? Řešení: Dalekozraký člověk potřebuje spojku, která vytvoří k předmětu vzdálenému před okem zdánlivý (vzpřímený) obraz ve vzdálenosti před okem (předpokládáme brýle v zanedbatelné vzdálenosti od oka). Z Gaussovy zobrazovací rovnice dostaneme Bude tedy potřebovat spojky s optickou mohutností 2 dioptrie. D 218

219 Krátkozraký člověk potřebuje brýle, které promítnou obraz z nekonečna do vzdálenosti, na kterou je schopen zaostřit (musí být opět vzpřímený a tedy zdánlivý), tj.,. Bude potřebovat rozptylky s optickou mohutností -4 dioptrie *. Je možno zobrazením samotnou rozptylkou získat reálný obraz předmětu? Je možno získat reálný obraz soustavou rozptylky a spojky, umístěné těsně za ní? Za jakých podmínek? Řešení: Označme předmětovou a obrazovou vzdálenost pro rozptylku, její ohniskovou vzdálenost předmětovou a obrazovou vzdálenost pro případnou spojku, její ohniskovou vzdálenost Jak již jsme si z Gaussovy rovnice D odvodili, platí pro obrazovou a předmětovou vzdálenost vztah kde, protože předmět předpokládáme v předmětovém prostoru a ohnisková vzdálenost rozptylky je záporná. Je-li je obraz zdánlivý. To ale bude vždy, protože čitatel zlomku je vždy záporný a jmenovatel kladný. Obraz získaný samotnou rozptylkou je tedy vždy zdánlivý (nelze zachytit na stínítku). Tento zdánlivý obraz ale může sloužit jako předmět zobrazovaný spojkou (tou může být i čočka našeho oka). Bude-li spojka těsně za rozptylkou, bude. Pro spojku vzniká reálný obraz, je-li, přičemž Dosazením a využitím první rovnice dostaneme postupně dostáváme tedy zobrazovací rovnici pro soustavu rozptylky a spojky, kde platí, že tj. jejich optické mohutnosti se sčítají. Reálný obraz předmětu lze získat, chová-li se soustava jako spojka, tj. neboli. Předmět navíc musí být umístěn ve vzdálenosti před soustavou, neboť pak je výraz kladný. Poznámka: Podobný výsledek bychom dostali i pro dvojici spojek či složitější systém. Uvažujeme-li tenké čočky velmi blízko za sebou (vzhledem k jejich ohniskovým vzdálenostem), jejich optické mohutnosti se sčítají. Např. okuláry moderních mikroskopů jsou obvykle tvořeny více než jednou čočkou Jaká je hloubka rybníka, jeví-li se svislá tyč zapíchnutá do jeho dna a sahající až k jeho hladině při pozorování pod úhlem 45 dlouhá 1,4 metru (viz obrázek 5.2-9)? Index lomu vody je 219

220 [ ] Obr Obr Jaká plocha je průhledná pro potápěče, který se dívá nad sebe z hloubky skrz zcela klidnou hladinu jezera (viz obrázek )? Index lomu vody je [ (ale vidí celý poloprostor nad hladinou)] Mimořádný lesk diamantu je způsoben jednak vhodným tvarem výbrusu (viz obrázek ), ale také jeho vysokým indexem lomu, díky němuž dochází na spodní straně vybroušeného diamantu k totálnímu odrazu pro mnohem širší interval úhlů dopadajícího světla než u stejně řezaného obyčejného skla. Ukažte, že pro paprsek dopadající kolmo na tabuli diamantu nastává při vrcholovém úhlu pavilionu (tzv. ideální výbrus) k totálnímu odrazu na obou spodních ploškách jak pro diamant, tak pro křemenné sklo. Index lomu křemenného skla je. Porovnejte rozsah úhlů dopadu na rovinné rozhraní sklo vzduch a diamant vzduch, pro něž nastává na tomto rozhraní totální odraz. [ 57 45, mezní úhel MD MS ] 220

221 Obr Obr Totální odraz se využívá také v optických vláknech. Pod jakým úhlem může vstoupit paprsek do vícevidového optického vlákna, tvořeného jádrem o indexu lomu a pláštěm o indexu lomu, aby se uvnitř odrážel totálním odrazem (viz obrázek )? [ ] Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo, aby se v něm člověk výšky 190 cm mohl vidět najednou celý? [95 cm] Jaké je zvětšení obličeje ve vydutém kosmetickém zrcadle při pozorování ze vzdálenosti 15 cm, mění-li se ve vzdálenosti 0,5 m pozorovaný obraz z přímého na převrácený? [ ] Na silnicích se v nepřehledných zatáčkách používají vypuklá zrcadla (nyní již obvykle spíše parabolická). Jak se zobrazí kulovým zrcadlem automobil ve vzdálenosti 30 m před zrcadlem, je-li poloměr křivosti plochy zrcadla 2 metry? [vznikne zdánlivý, vzpřímený, cca 31 zmenšený obraz 0,96 m za zrcadlem] 221

222 Jaká musí být optická mohutnost oka, má-li obraz vzniknout na sítnici 1,8 cm za čočkou a pozorovaný předmět je před okem ve vzdálenosti a) 20 cm, b) 2 m, c) 20 m? Jaký obraz vzniká? [ D D D reálný, převrácený] Jaká čočka zobrazí předmět ze vzdálenosti do vzdálenosti.? [spojka, ] Jaký okulár musíme použít u mikroskopu, jehož optický interval je a ohnisková vzdálenost objektivu, abychom pozorovali předmět převrácený a 50 zvětšený? [spojku, ] Jaké je zvětšení Keplerova dalekohledu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru? [ ] 222

223 5.3. FOTOMETRIE Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V této podkapitole se budeme zabývat pouze energií přenášenou viditelnou částí elektromagnetického záření světelnou energií, nikoli celkovou zářivou energií. Seznámíte se zde s pojmy, s jakými se setkáváte např. na obalech různých světelných zdrojů (svítivost, světelný tok, účinnost), případně v normách pro vybavení různých pracovních ploch (intenzita osvětlení). Budete tak schopni porovnat efektivnost různých světelných zdrojů, navrhnout osvětlení pracoviště nebo třeba i domácí kuchyňské linky. Světelný tok a času : je výkon světelného záření přenášený danou plochou (podíl přenesené světelné energie (jednotkou je lumen; lm, zohledňuje i různou citlivost oka na různé barvy). Svítivost zdroje I je definována jako podíl světelného toku vyzařovaného bodovým zdrojem do určitého prostorového úhlu a tohoto úhlu (jednotkou je kandela; cd, základní jednotka SI). Prostorový úhel je část prostoru vymezená oblastí směrů z pevného výchozího bodu, numericky je roven ploše, jakou tyto směry vytínají na povrchu koule o poloměru, pro jiný poloměr jej lze vypočítat jako (jednotkou je steradián; sr). Účinnost světelného zdroje vyzářeného světelného toku a příkonu zdroje P je definována jako podíl celkového (jednotkou je lm -1 ; protože, může být ). Plošné zdroje světla charakterizujeme veličinou nazvanou jas (jednotkou je nit; nt neboli cd m -2 ). Vyjadřuje podíl svítivosti v daném směru a plošky, která se jeví jako její zdroj (skutečná vyzařující plocha je, její normála svírá úhel s daným směrem, viz obrázek 5.3-1). Běžné povrchy obvykle vyzařují jako kosinové zářiče: 0 (Lambertův zákon). Pak se jejich jas nemění v závislosti na úhlu. 223

224 5.3-1 Osvětlení (intenzita osvětlení) je podíl světelného toku a plochy, na kterou tento tok dopadá (jednotkou je lux; lx). PŘÍKLADY: Bodové LED stropní svítidlo o příkonu vyzařuje tak, že z výšky osvětluje prakticky rovnoměrně pouze kužel o poloměru základny Intenzita osvětlení změřená uprostřed podstavy kužele je Jaká je svítivost a světelná účinnost tohoto zdroje? Řešení: Předpokládáme-li světelný tok rovnoměrně rozložený do kužele vymezeného prostorovým úhlem, bude pro něj platit kde je plocha vrchlíku koule o poloměru vymezená daným prostorovým úhlem. Svítivost zdroje uvnitř kužele pak je Vně kužele dle zadání je svítivost nulová. Pro vyjádření světelné účinnosti zdroje potřebujeme znát jeho celkový světelný tok vyjádříme prostorový úhel, do kterého svítidlo vyzařuje. Pro úhel platí. Nejprve Kužel odpovídá prostorovému úhlu, který lze ve sférických souřadnicích vypočítat prostřednictvím integrálu (viz obrázek 5.3-2) 224

225 [ ] Obr Obr Předpokládáme-li světelný tok rovnoměrně rozložený do celého kužele, bude platit ( ) po dosazení ( ) Světelná účinnost zdroje pak je lm Významnou roli z hlediska světelného komfortu místnosti hraje i odrazivost povrchů (poměr intenzity odraženého světla k dopadajícímu), zejména stropu a stěn. Pokud do čtverce o ploše 2 m 2 na bílou stěnu s odrazivostí 0,7 dopadá světelný tok 400 lm, jaké je osvětlení a jas stěny za předpokladu, že stěna odráží světlo jako kosinový zářič? Řešení: Za předpokladu rovnoměrného rozložení světelného toku plochu je její osvětlení : dopadajícího na uvedenou 225

226 Při odrazivosti 0,7 bude celkový odražený světelný tok. Za předpokladu platnosti Lambertova zákona se směrově rozloží do celého poloprostoru tak, že bude platit: 0 Odražený světelný tok tedy bude [ ] Svítivost stěny v kolmém směru pak Jas stěny při pohledu pod úhlem bude (odrážející plocha je totožná s osvětlenou, ) Jaká je svítivost 60 žárovky, je-li její světelný tok vyslaný do celého prostoru 720 lm? Jaká je její světelná účinnost? Jakou kompaktní zářivkou ji můžeme nahradit, předpokládáme-li přibližně stejné směrové charakteristiky a světelná účinnost udávaná výrobcem těchto zdrojů je 60 lm -1? [ lm 1 12 ] Obr Při pouličním osvětlení se často používají sodíkové výbojky (mají typické nažloutlé světlo), jejichž světelná účinnost dosahuje vysokých hodnot cca 180 lm -1 a vyzařují do širokého prostorového úhlu. V současnosti jsou někde nahrazovány LED svítidly, která mají nižší světelnou účinnost kolem cca 80 lm -1, ale svítí bíle a jen do mnohem menšího prostorového úhlu. Svítí-li LED svítidlo pouze do kužele o vrcholovém úhlu 1 60 a sodíková výbojka má (obrázek 5.3-3), porovnejte jejich svítivost v ose kužele při stejném příkonu. Nápověda: pro určení prostorového úhlu můžete použít postup jako v příkladu [ LED Na 6 5 ] 226

227 Jaký je poměr osvětlení zemského povrchu v Ostravě za jasného dne v hvězdném poledni v den zimního a letního slunovratu, je-li Slunce v nejvyšším bodě v létě nad obzorem a v zimě nad obzorem (viz obrázek 5.3-4)? Mírně větší vzdálenost Země od Slunce v létě a vliv atmosféry zanedbejte. [ z L 0 32 ] Do jaké výšky nad stolem je třeba pověsit žárovku o svítivosti 60 cd, aby byl střed stejně osvětlen jako od žárovky se svítivostí 120 cd, visící ve výšce nad stolem? [ ] Obr Jakou minimální svítivost musí mít bodový zdroj, aby jej lidské oko ještě bylo schopno detekovat za tmavé noci na vzdálenost 10 km? Lidské oko registruje nejmenší osvětlení [ ] Svítivost majáku v určitém směru je Jak by jím byla osvětlena loď, stojící kolmo ve směrudopadajících paprsků ve vzdálenosti 2 km? Jaký by byl jas lodi, pokud by difuzně odrážela polovinu dopadajícího světla (jako kosinový zářič, viz příklad 5.3-2)? [ ] 227

228 5.4. VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Optická dráha je vzdálenost, kterou by světlo urazilo ve vakuu za stejnou dobu, jako urazilo svou dráhu v daném optickém prostředí; jestliže v prostředí o indexu lomu n světlo urazí skutečnou dráhu s, je jeho optická dráha. Interference (skládání) světelného vlnění vzniká za předpokladu jeho časové i prostorové koherence (fázový rozdíl skládaných vln je v uvažovaném bodě prostoru v čase konstantní). To se realizuje rozdělením a následným spojením paprsku z jednoho zdroje. Při interferenci se elektrické a magnetické intenzity skládaných vln sčítají. 1. Je-li rozdíl optických drah, kde je vlnová délka světla a celé číslo, tedy celistvému násobku vlnové délky, sejdou se oba paprsky ve fázi a nastává interferenční maximum (konstruktivní interference, světlý proužek na stínítku). 2. Je-li rozdíl optických drah tj. lichému násobku půlvln, sejdou se oba paprsky v protifázi a nastává interferenční minimum (destruktivní interference, tmavý proužek na stínítku). V ostatních případech se vlny částečně zeslabují nebo zesilují. Pozor: Při odrazu paprsku na rozhraní s opticky hustším prostředím se jeho fáze mění na opačnou (jako by se optická dráha změnila o )! Možností realizace uspořádání pro interferenci světla je mnoho, zde se seznámíme pouze s interferencí na tenké planparalelní a klínové vrstvě, dvojštěrbině a mřížce (zde dochází současně k ohybu světla (difrakci) mimo oblast přístupnou podle geometrické optiky) a jednoduchým interferometrem. PŘÍKLADY: Na klínovou vrstvu tvořenou sklem o indexu lomu umístěným ve vzduchu dopadá kolmo k povrchu svazek rovnoběžných paprsků o vlnové délce. Jaký úhel svírají stěny klínu, je-li vzdálenost mezi dvěma sousedními světlými (červenými) proužky? Řešení: Obr Nápověda: Protože hledaný úhel bude velmi malý, lze zanedbat lom paprsků na rozhraních. Interferovat budou paprsek odražený hned na prvním rozhraní s paprskem odraženým až na druhém rozhraní (paprsky vícenásobně odražené mají mnohem menší intenzitu). 228

229 První paprsek se odráží o prostředí s větším indexem lomu, převrací se tedy fáze, což odpovídá posunu o Dráha druhého paprsku je delší o dvojnásobnou tloušťku klínu v daném místě (prochází tam a zpět), jeho optická dráha zohledňující index lomu skla je delší o. Odráží se o opticky řidší prostředí, jeho fáze se tedy odrazem nemění. Celkově pro rozdíl optických drah v oblasti n-tého světlého proužku musí platit Pro 1 proužek bude Odečtením obou rovnic dostaneme ( ) Z obrázku současně plyne, že, takže ( ) Odtud vrcholový úhel klínu arctan ( ) arctan (Při výpočtu můžeme využít i toho, že pro velmi malé úhly vyjádřeno v radiánech.) Jaká je vlnová délka monochromatického světla použitého u Youngova pokusu (obrázek 5.4-2), když na stínítku vzdáleném od štěrbin jsou sousední interferenční maxima od sebe vzdálena o? Štěrbiny jsou od sebe vzdáleny o a vycházejí z nich koherentní paprsky. Předpokládáme interferenci světla prošlého první a druhou štěrbinou. Rozdíl optických drah je ( ) ( ) Lze jej vyjádřit jako ( ) ( ) kde je vzdálenost středu dvojštěrbiny od daného bodu na stínítku a úhel, pod nímž je tento bod vidět při pohledu od dvojštěrbiny. Využili jsme toho, že. 229

230 Obr Podmínka pro interferenční maximum tedy bude stínítku ve vzdálenosti takže n-té maximum vznikne na a vzdálenost sousedních maxim bude Odtud Bylo použito světlo o vlnové délce 600 nm Na vrstvu oleje o tloušťce, která je na vodě, dopadá kolmo bílé světlo. Která barva vyhasne a která bude nejsilnějiodražena, je-li rychlost světla v oleji a ve vodě je větší? [ ] 230

231 Na mřížku se 100 vrypy na 1 mm dopadá kolmo rovnoběžný svazek koherentního červeného světla o vlnové délce λ = 700 nm. V jaké vzdálenosti od sebe budou první a třetí světlý proužek na stínítku postaveném ve vzdálenosti od mřížky? Nápověda: interferenční maxima vznikají pod stejnými úhly jako u dvojštěrbiny se stejnou vzdáleností štěrbin, jako je vzdálenost sousedních vrypů mřížky. [ ] Mřížky s vysokou hustotou vrypů se používají k rozkladu světla ve spektrometrech. Pod jakými úhly vzniknou první maxima pro jednotlivé čáry rtuťové výbojky o vlnových délkách 436nm (modrá), 546 nm (zelená) a 578nm (žlutý dublet), má-li mřížka 600 vrypů na mm? [ ] Interferometry jsou velmi citlivá měřicí zařízení. Mohou sloužit mimo jiné k měření indexu lomu vzduchu, který se jen velmi málo liší od indexu lomu vakua (1). Předpokládejme, že interferometr na obrázku je seřízen tak, že obě ramena jsou stejně dlouhá a je-li v obou celách stejné prostředí, po průchodu interferometrem tedy interferují první a druhý paprsek konstruktivně (v praxi se někdy spíše sledují interferenční proužky na malé plošce za interferometrem). Nyní z první cely vyčerpáme vzduch, takže v ní bude vakuum. Pak pomalu vpouštíme vzduch zpět, až se tlak vyrovná s okolím. Na výstupu z interferometru se střídají maxima a minima. Jaký je index lomu vzduchu, jestliže cela je dlouhá a při pozorování ve světle He-Ne laseru o vlnové délce napočítáme při přechodu z vakua k normálnímu tlaku postupně celkem 44 maxim? Nápověda: rozdíl optických drah v trubici s vakuem a vzduchem musí odpovídat uvedenému násobku vlnových délek použitého světla. [ ] Obr

232 Obr

233 5.5. KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Planckova kvantová hypotéza byla vyslovena při snaze vysvětlit vlastnosti tepelného záření těles a zní: energie elektromagnetického záření je kvantována, nejmenší kvantum energie, kde J s je Planckova konstanta a je frekvence. Tato kvanta nazýváme fotony. V kvantové fyzice se energie se často udává v jednotkách elektronvolt (je rovna kinetické energii, jakou získá elektron urychlený napětím jednoho voltu): Uveďme alespoň dva jevy, kde se kvantování světla projevuje. 1. Záření zahřátých těles pro absolutně černé těleso (těleso, které všechno záření na ně dopadající pohltí a vyzařuje v závislosti pouze na své teplotě jako ideální zářič). Planckova hypotéza vede na Planckův vyzařovací zákon pro spektrální hustotu vyzařování (vztah nemusíte znát zpaměti), viz obrázek 5.5-1: Zde je Boltzmannova konstanta, je rychlost světla ve vakuu a je termodynamická teplota tělesa (v kelvinech). Má dva důležité důsledky: a) Wienův posunovací zákon popisující, jak se posouvá vlnová délka, na níž je vyzařováno maximum energie, s teplotou. Vysvětluje mimo jiné to, proč se barva vysoce zahřátých těles se změnou teploty mění. Toho využívají např. barvové pyrometry pro měření vysokých teplot. b) Stefanův-Boltzmannův zákon pro celkový výkon (i mimo viditelnou oblast) vyzařovaný jednotkovou plochou povrchu tělesa (na obrázku odpovídá ploše pod křivkou) je Stefanova Boltzmannova konstanta. Umožňuje například vypočítat teplotu Slunce nebo měřit teplotu těles infračerveným teploměrem či jasovým pyrometrem. Reálná tělesa nejsou absolutně černá podle výše uvedené definice, část dopadajícího záření odrážejí, a to spektrálně selektivně, to vnímáme jako jejich různé barvy při běžných teplotách. Jsou-li zahřáta, vyzařují zase méně energie, než by odpovídalo Planckovu vyzařovacímu zákonu,, kde spektrální emisivita Je-li spektrální emisivita stejná pro všechny frekvence, mluvíme prostě o emisivitě a těleso označujeme za šedé (většinou lze tuto aproximaci přijmout pouze v určité oblasti). 2. Fotoelektrický jev dopadá-li světlo (resp. obecněji elektromagnetické záření) na kovový nebo polovodičový vzorek, může být pohlceno elektrony. Při vnitřním fotoelektrickém jevu elektrony uvnitř polovodiče přecházejí z valenčního do vodivostního pásu, čímž vzroste vodivost materiálu - tento princip využívají fotodiody a solární články; pro jeho detailnější pochopení je však třeba určitý základ z oblasti pevných látek, který přesahuje rámec tohoto učebního textu. Další možností je vnější fotoelektrický jev, pozorovaný zejména u kovů, záření zde uvolňuje elektrony ze vzorku do okolí. Elektrony pro opuštění kovu potřebují překonat určitou potenciálovou bariéru, potřebnou energii označujeme jako výstupní práci. Pro každý kov existuje mezní frekvence záření (pro každý kov), při níž ještě dochází k uvolňování elektronů 233

234 (pro nižší frekvence jev nenastává). Hustota fotoelektrického proudu je pak úměrná osvětlení a kinetická energie uvolněných elektronů (fotoelektronů) roste lineárně s frekvencí světla. Jev lze vysvětlit jako interakci elektronu s jediným fotonem (a je proto potvrzením Planckovy kvantové hypotézy), zákon zachování energie při fotoefektu popisuje tzv. Einsteinův vztah: Obr PŘÍKLADY: Platnosti Planckova vyzařovacího zákona využívají i v současnosti čím dál oblíbenější bezdotykové infračervené teploměry. Ty nejběžnější snímají celkovou intenzitu vyzařování v infračervené oblasti v rozpětí typicky cca Nalezněte hodnoty maxima vyzařování černého tělesa pro obvykle měřené teploty cca od -50 C do +250 C. Dále ukažte, že při je pro všechny vlnové délky spektrální hustota vyzařování 1 2, tj. křivky na obrázku se mimo hodnot 0 a neprotínají a uvedený princip měření je tedy skutečně možný. Řešení: Vyjdeme z ienova posunovacího zákona, kde jen pro lepší názornost převedeme jednotky: po dosazení Pro obě hodnoty leží maximum vyzařování buď přímo ve snímaném intervalu, nebo blízko něj, pro vyšší teplotu by byl vhodnější interval kratších vlnových délek. Pro odpověď na druhou otázku použijeme přímo Planckův vyzařovací zákon a vyjádříme podmínku pro případný průsečík křivek 1 2 Dostaneme exp exp

235 odkud je okamžitě zřejmé, že rovnost pro různé teploty nastat nemůže (mimo 0 a vždy 1 2. a skutečně bude Na 1 m 2 zemského povrchu dopadá 1360 J tepelné energie za 1 s. Jakou povrchovou teplotu má Slunce, pokud pohltivost zemské atmosféry zanedbáme? Poloměr Slunce je, vzdálenost Země od Slunce Obr Řešení: Slunce vyzařuje do celého prostoru podle Stefanova-Boltzmannova zákona výkon 2 4 Země leží na myšlené kulové ploše se středem ve Slunci a poloměrem, na níž je tento výkon rovnoměrně rozložen. Povrch této koule je 2 Na 1 m 2 zemského povrchu tedy dopadá za 1 s energie a povrchová teplota Slunce tedy bude K 5780 K 2 Teplota povrchu Slunce je nejméně 5780 K (vzhledem k tomu, že část záření se rozptýlí v atmosféře) Výstupní práci elektronů z kovu a Planckovu konstantu lze měřit tak, že fotonku zapojíme sériově s citlivým ampérmetrem a zdrojem brzdného napětí, působícího proti vylétajícím fotoelektronům. Teče-li při nulovém brzdném napětí obvodem po osvětlení katody fotonky proud, postupným zvyšováním brzdného napětí proud klesá, až zcela ustane. Fotonkou s cesiovou katodou jsme osvětlili téměř monochromatickým zářením o vlnových délkách a (modré a zelené laserové ukazovátko) a zjistili, že proud fotonkou ustane v prvním případě při brzdném napětí, ve druhém pro. Na základě těchto výsledků vypočtěte Planckovu konstantu a vyjádřete výstupní práci pro cesium v elektronvoltech. Řešení: Pro oba světelné zdroje musí platit Einsteinova rovnice fotoefektu, kde navíc uvážíme, že proud ustane pro brzdné napětí, pro něž už fotoelektrony nejsou schopny překonat brzdný potenciál, tj. kde 235

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)

Více

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 24. 7. 212 Název zpracovaného celku: KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Fyzikální veličiny popisují vlastnosti, stavy a změny hmotných

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr

Úvod. rovinný úhel např. ϕ radián rad prostorový úhel např. Ω steradián sr Úvod Fyzikální veličina je jakákoliv objektivní vlastnost hmoty, jejíž hodnotu lze změřit nebo spočítat. Fyzikálním veličinám přiřazujeme určitou hodnotu (velikost). Hodnota dané veličiny je udávána prostřednictvím

Více

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1 DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-07 Téma: Mechanika a kinematika Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TESTY Testy Část 1 1. Čím se zabývá kinematika? 2. Které těleso

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY -

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - IUVENTAS - SOUKROMÉ GYMNÁZIUM A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA 1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - STUDIJNÍ TEXTY Frolíková Martina Augustynek Martin Adamec Ondřej OSTRAVA 2006 Budeme rádi, když nám jakékoliv případné

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYIKA I Gravitační pole Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Mechanika 1. ročník, kvinta 2 hodiny Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Úvod Žák vyjmenuje základní veličiny

Více

Dynamika. Síla a její účinky na těleso Newtonovy pohybové zákony Tíhová síla, tíha tělesa a síly brzdící pohyb Dostředivá a odstředivá síla

Dynamika. Síla a její účinky na těleso Newtonovy pohybové zákony Tíhová síla, tíha tělesa a síly brzdící pohyb Dostředivá a odstředivá síla Dynamika Síla a její účinky na těleso Newtonovy pohybové zákony Tíhová síla, tíha tělesa a síly brzdící pohyb Dostředivá a odstředivá síla Dynamika studuje příčiny pohybu těles (proč a za jakých podmínek

Více

n je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně

n je algebraický součet všech složek vnějších sil působící ve směru dráhy včetně Konzultace č. 9 dynamika dostředivá a odstředivá síla Dynamika zkoumá zákonitosti pohybu těles se zřetelem na příčiny (síly, silové účinky), které pohyb vyvolaly. Znalosti dynamiky umožňují řešit kinematické

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Dynamika Obor mechaniky, který se zabývá příčinami změn pohybového stavu těles, případně jejich deformací dynamis = síla

Více

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce a energie Mechanická práce Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce Mechanickou práci koná každé těleso,

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 11. listopadu 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální

Více

Práce, výkon, energie

Práce, výkon, energie Práce, výkon, energie (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Mechanická práce Výkon, příkon, účinnost Mechanická energie Kinetická energie Potenciální energie

Více

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2

Příklad 5.3. v 1. u 1 u 2. v 2 Příklad 5.3 Zadání: Elektron o kinetické energii E se srazí s valenčním elektronem argonu a ionizuje jej. Při ionizaci se část energie nalétávajícího elektronu spotřebuje na uvolnění valenčního elektronu

Více

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N?

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? MECHANICKÁ PRÁCE 1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? l = s = 6 cm = 6 10 2 m F = 120 N W =? (J) W = F. s W = 6 10 2 120 = 7,2 W = 7,2 J

Více

264/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. července 2000,

264/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 14. července 2000, Vyhl. č. 264/2000 Sb., stránka 1 z 7 264/2000 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 14. července 2000, o základních měřicích jednotkách a ostatních jednotkách a o jejich označování Ministerstvo

Více

2. Dynamika hmotného bodu

2. Dynamika hmotného bodu . Dynamika hmotného bodu Syllabus:. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy

Více

5. Mechanika tuhého tělesa

5. Mechanika tuhého tělesa 5. Mechanika tuhého tělesa Rozměry a tvar tělesa jsou často při řešení mechanických problémů rozhodující a podstatně ovlivňují pohybové účinky sil, které na ně působí. Taková tělesa samozřejmě nelze nahradit

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy - při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu)

Více

Počty testových úloh

Počty testových úloh Počty testových úloh Tematický celek rok 2009 rok 2011 CELKEM Skalární a vektorové veličiny 4 lehké 4 těžké (celkem 8) 4 lehké 2 těžké (celkem 6) 8 lehkých 6 těžkých (celkem 14) Kinematika částice 6 lehkých

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

ÚVOD. Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů

ÚVOD. Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů ÚVOD Obsah, metody a význam fyziky Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů Název - odvozen z řeckého slova fysis = příroda Původně - nauka

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ..07/.5.00/4.080 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

Přípravný kurz z fyziky na DFJP UPa

Přípravný kurz z fyziky na DFJP UPa Přípravný kurz z fyziky na DFJP UPa 26. 28.8.2015 RNDr. Jan Zajíc, CSc. ÚAFM FChT UPa Pohyby rovnoměrné 1. Člun pluje v řece po proudu z bodu A do bodu B rychlostí 30 km.h 1. Při zpáteční cestě z bodu

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Mechanika - kinematika

Mechanika - kinematika Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

11. Dynamika Úvod do dynamiky

11. Dynamika Úvod do dynamiky 11. Dynamika 1 11.1 Úvod do dynamiky Dynamika je částí mechaniky, která se zabývá studiem pohybu hmotných bodů a těles při působení sil. V dynamice se řeší takové případy, kdy síly působící na dokonale

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu KINEMATIKA Obsah Kinematika hmotného bodu... 3 Mechanický pohyb... 3 Poloha hmotného bodu... 4 Trajektorie a dráha polohového vektoru... 5 Rychlost hmotného bodu... 6 Okamžitá rychlost... 7 Průměrná rychlost...

Více

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru

Prototyp kilogramu. Průřez prototypu metru Prototyp kilogramu Průřez prototypu metru 1.Fyzikální veličiny a jednotky 2.Mezinárodní soustava jednotek 3.Vektorové a skalární veličiny 4.Skládání vektorů 1. Fyzikální veličiny a jednotky Fyzikální veličiny

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

BIOMECHANIKA. 6, Dynamika pohybu I. (Definice, Newtonovy zákony, síla, silové pole, silové působení, hybnost, zákon zachování hybnosti)

BIOMECHANIKA. 6, Dynamika pohybu I. (Definice, Newtonovy zákony, síla, silové pole, silové působení, hybnost, zákon zachování hybnosti) BIOMECHANIKA 6, Dynamika pohybu I. (Definice, Newtonovy zákony, síla, silové pole, silové působení, hybnost, zákon zachování hybnosti) Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

4. V jednom krychlovém metru (1 m 3 ) plynu je 2, molekul. Ve dvou krychlových milimetrech (2 mm 3 ) plynu je molekul

4. V jednom krychlovém metru (1 m 3 ) plynu je 2, molekul. Ve dvou krychlových milimetrech (2 mm 3 ) plynu je molekul Fyzika 20 Otázky za 2 body. Celsiova teplota t a termodynamická teplota T spolu souvisejí známým vztahem. Vyberte dvojici, která tento vztah vyjadřuje (zaokrouhleno na celá čísla) a) T = 253 K ; t = 20

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu Mechanika - síla Zápisy do sešitu Síla a její znázornění 1/3 Síla popisuje vzájemné působení těles (i prostřednictvím silových polí). Účinky síly: 1.Mění rychlost a směr pohybu 2.Deformační účinky Síla

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda Vzájemné působení těles Silové působení je vždy vzájemné! 1.Působení při dotyku 2.Působení na dálku prostřednictvím polí gravitační pole

Více

Tabulka 1. SI - základní jednotky

Tabulka 1. SI - základní jednotky 1 Veličina Jednotka Značka Rozměr délka metr m L hmotnost kilogram kg M čas sekunda s T elektrický proud ampér A I termodynamická teplota kelvin K Θ látkové množství mol mol N svítivost kandela cd J Tabulka

Více

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny

soustava jednotek SI, základní, odvozené, vedlejší a doplňkové jednotky, násobky a díly jednotek, skalární a vektorové veličiny Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D01_Z_OPAK_M_Uvodni_pojmy_T Člověk a příroda Fyzika Úvodní pojmy, fyzikální veličiny

Více

Obsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou.

Obsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou. Obsah Obsah 1 Newtonův gravitační zákon 1 2 Gravitační pole 3 2.1 Tíhové pole............................ 5 2.2 Radiální gravitační pole..................... 8 2.3..................... 11 3 Doplňky 16

Více

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. BIOMECHANIKA 4, Kinematika pohybu I. (zákl. pojmy - rovnoměrný přímočarý pohyb, okamžitá a průměrná rychlost, úlohy na pohyb těles, rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb, volný pád) Studijní program,

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

BIOMECHANIKA. 1, Základy biomechaniky (historie a definice oboru)

BIOMECHANIKA. 1, Základy biomechaniky (historie a definice oboru) BIOMECHANIKA 1, Základy biomechaniky (historie a definice oboru) Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. ZÁPOČTOVÉ POŽADAVKY Systém výuky přednáška (nepovinná)

Více

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep (1) 1. Zaveďte slovy fyzikální veličinu účinnost 2. Vyjádřete 1 Joule v základních jednotkách SI. 3. Těleso přemístíme do vzdálenosti 8,1 m, přičemž na ně působíme silou o velikosti 158 N. Jakou práci

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

17. Střela hmotnosti 20 g zasáhne rychlostí 400 ms -1 strom. Do jaké hloubky pronikne, je-li průměrný odpor dřeva R = 10 4 N?

17. Střela hmotnosti 20 g zasáhne rychlostí 400 ms -1 strom. Do jaké hloubky pronikne, je-li průměrný odpor dřeva R = 10 4 N? 1. Za jaký čas a jakou konečnou rychlostí (v km/hod.) dorazí automobil na dolní konec svahu dlouhého 25 m a skloněného o 7 0 proti vodorovné rovině, jestliže na horním okraji začal brzdit na hranici možností

Více

FYZIKA I cvičení, FMT 2. POHYB LÁTKY

FYZIKA I cvičení, FMT 2. POHYB LÁTKY FYZIKA I cvičení, FMT 2.1 Kinematika hmotných částic 2. POHYB LÁTKY 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 Těleso při volném pádu urazí v poslední sekundě dvě třetiny své dráhy. Určete celkovou dráhu volného

Více

III. Dynamika hmotného bodu

III. Dynamika hmotného bodu III. Dynamika hmotného bodu Příklad 1. Vlak o hmotnosti 800 t se na dráze 500 m rozjel z nulové rychlosti na rychlost 20 m. s 1. Lokomotiva působila silou 350 kn. Určete součinitel smykového tření. [0,004]

Více

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL:

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: Obsah 11_Síla... 2 12_Znázornění síly... 5 13_Gravitační síla... 5 14_Gravitační síla - příklady... 6 15_Skládání sil... 7 16_PL: SKLÁDÁNÍ SIL... 8 17_Skládání různoběžných sil působících v jednom bodě...

Více

FYZIKA. Kapitola 3.: Kinematika. Mgr. Lenka Hejduková Ph.D.

FYZIKA. Kapitola 3.: Kinematika. Mgr. Lenka Hejduková Ph.D. 1. KŠPA Kladno, s. r. o., Holandská 2531, 272 01 Kladno, www.1kspa.cz FYZIKA Kapitola 3.: Kinematika Mgr. Lenka Hejduková Ph.D. Kinematika obor, který zkoumá pohyb bez ohledu na jeho příčiny klid nebo

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení:

13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení: 13 otázek za 1 bod = 13 bodů Jméno a příjmení: 4 otázky za 2 body = 8 bodů Datum: 1 příklad za 3 body = 3 body Body: 1 příklad za 6 bodů = 6 bodů Celkem: 30 bodů příklady: 1) Sportovní vůz je schopný zrychlit

Více

BIOMECHANIKA. 9, Energetický aspekt pohybu člověka. (Práce, energie pohybu člověka, práce pohybu člověka, zákon zachování mechanické energie, výkon)

BIOMECHANIKA. 9, Energetický aspekt pohybu člověka. (Práce, energie pohybu člověka, práce pohybu člověka, zákon zachování mechanické energie, výkon) BIOMECHANIKA 9, Energetický aspekt pohybu člověka. (Práce, energie pohybu člověka, práce pohybu člověka, zákon zachování mechanické energie, výkon) Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující:

Více

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.

Více

Dynamika hmotného bodu

Dynamika hmotného bodu Dynamika hmotného bodu (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 23. října 2009 Obsah Newtonovy zákony První Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon Třetí Newtonův zákon Zákon zachování

Více

Mezinárodní soustava SI:

Mezinárodní soustava SI: Fyzikální veličina je jakákoliv objektivní vlastnost hmoty, jejíž hodnotu lze změřit nebo spočítat. Fyzikálním veličinám přiřazujeme určitou hodnotu (velikost). Hodnota dané veličiny je udávána prostřednictvím

Více

6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 6.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI A POJMY Tuhé těleso: Tuhé těleso je fyzikální model tělesa u kterého uvažujeme s jeho.. a. Zanedbáváme.. Pohyb tuhého tělesa: 1). Při posuvném pohybu

Více

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: SKLÁDÁNÍ SIL -

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: SKLÁDÁNÍ SIL - Obsah 11_Síla... 2 12_Znázornění síly... 5 13_Gravitační síla... 5 14_Gravitační síla - příklady... 6 15_Skládání sil... 7 16_PL: SKLÁDÁNÍ SIL - řešení... 8 17_Skládání různoběžných sil působících v jednom

Více