VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ÚSTAV KONSTRUOVÁNÍ INSTITUTE OF MACHINE AND INDUSTRIAL DESIGN SIMULACE MAZÁNÍ BODOVÝCH KONTAKTŮ METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ SIMULATION OF POINT CONTACT LUBRICATION BY FINITE ELEMENT METHOD DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR Bc. Štěpán Hrdonka VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Ing. Petr Šperka, Ph.D. BRNO 2018

2 Zadání diplomové práce Ústav: Ústav konstruování Student: Bc. Štěpán Hrdonka Studijní program: Strojní inženýrství Studijní obor: Konstrukční inženýrství Vedoucí práce: Ing. Petr Šperka, Ph.D. Akademický rok: 2017/18 Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: Simulace mazání bodových kontaktů metodou konečných prvků Stručná charakteristika problematiky úkolu: Základním předpokladem pro úspěšný konstrukční návrh strojů je schopnost predikce funkčních parametrů jeho důležitých prvků. V případě valivých ložisek, ozubených kol a vaček to představuje numerickou simulaci elastohydrodynamického mazání. Tento režim lze matematicky popsat pomocí rovnice popisující elastickou deformaci, Reynoldsovy rovnice, rovnice tloušťky a energetické rovnice. V poslední době je často využíváno numerické řešení implementované v multifyzikálním softwaru založeném na metodě konečných prvků. Typ práce: výzkumná Projekt: GAČR Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / / Brno

3 Cíle diplomové práce: Cílem práce je sestavit výpočetní model mazaného bodového kontaktu řešený pomocí metody konečných prvků v softwaru COMSOL. Dílčí cíle diplomové práce: analýza současného stavu poznání, implementace numerického modelu do MKP software, validace numerického řešení, porovnání výsledků simulace s měřením na optickém tribometru. Požadované výstupy: publikace, průvodní zpráva. Rozsah práce: cca znaků (40 50 stran textu bez obrázků). Struktura práce a šablona průvodní zprávy jsou závazné: Seznam doporučené literatury: HABCHI, W. A full-system finite element approach to elastohydrodynamic lubrication problems: application to ultra-low-viscosity fluids. Francie, Dizertace. Institut National des Sciences Appliquées de Lyon. Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2017/18 V Brně, dne L. S. prof. Ing. Martin Hartl, Ph.D. ředitel ústavu doc. Ing. Jaroslav Katolický, Ph.D. děkan fakulty Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / / Brno

4 ABSTRAKT Tato diplomová práce se zabývá simulací elasto-hydrodynamického mazání bodových kontaktů pomocí metody konečných prvků. První část práce je věnována studiu daného problému, kde jsou postupně představeny rovnice potřebné pro tvorbu modelu a numerické metody, které je možné využít pro výpočet EHD. Z přehledu pak byl vybrán nejvhodnější postup pro řešení a to metodou Full system approach. Software, ve kterém se daná metoda aplikuje, byl zvolen COMSOL Multyphysics. Další část práce je věnována samotné tvorbě modelů, která je zde detailně popsána. Postupně jsou představeny modely pro výpočet liniového a bodového EHD mazání pro newtonovská maziva a v neposlední řadě model pro výpočet EHD mazání bodového kontaktu pro nenewtonovská maziva. Výsledková část této práce je věnována verifikaci všech modelů. Ta je provedena porovnáním vypočtených výsledků s výsledky z různých prací. V závěru je pak zkoumána shoda získaných výsledků s různými predikčními vztahy a také s experimenty. KLÍČOVÁ SLOVA elastohydrodynamické mazání, mazací vrstva, metoda konečných prvků, COMSOL ABSTRACT This diploma thesis is concerned with simulation of elastohydrodynamic lubrication of point contacts using the finite element method. The first part of the thesis focuses on the study of the issue and introduces equations for model creation and numerical methods which can be used for EHD calculation. The most suitable solution approach has been chosen from the overview, namely the Full system approach. The software we chose for applying the method was COMSOL Multyphysics. The following part of the thesis deals with model s creation and gives its elaborate description. We introduce models for calculation of line and point EHD lubrication for newtonian lubricants and, last but not least, we also present a model for calculation of point contact EHD lubrication for non-newtonian lubricants. The next part of the thesis then verifies all the models. That is achieved by comparing the calculated results to results from different papers. The conclusive part of the thesis then examines the matches of acquired results to different prediction relationships and experiments. KEYWORDS elastohydrodynamic lubrication, lubrication layer, finite element method, COMSOL

5

6 BIBLIOGRAFICKÁ CITACE HRDONKA, Š. Simulace mazání bodových kontaktů metodou konečných prvků. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí diplomové práce Ing. Petr Šperka, Ph.D.

7

8 PODĚKOVÁNÍ Tímto bych chtěl poděkovat vedoucímu své diplomové práce Ing. Petru Šperkovi, Ph.D. za cenné rady a připomínky, které pro mě byly velkým přínosem a velmi si jich vážím. Dále bych chtěl poděkovat své rodině a přítelkyni za jejich podporu během studia PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem diplomovou práci, na téma Simulace mazání bodových kontaktů metodou konečných prvků, vypracoval samostatně pod vedením Ing. Petra Šperky, Ph.D.. Dále prohlašuji, že všechny zdroje a informace, které byly použity, jsou řádně ocitovány a uvedeny v seznamu použitých zdrojů. V Brně dne.... Štěpán Hrdonka

9

10 Obsah OBSAH 1 Úvod 11 2 Přehled současného stavu poznání Rovnice popisující EHD kontakt Reynoldsova rovnice Rovnice elastických deformací Rovnice silové rovnováhy Rovnice změny hustoty maziva s tlakem Rovnice změny viskozity maziva s tlakem Přímé numerické metody Inverzní numerické metody Vícevrstvé numerické metody Numerické metody Fully coupled Full system approach COMSOL Multiphysics COMSOL Multiphysics a EHD 22 3 Analýza problému a cíl práce Cíl práce 27 4 Materiál a metody Bezrozměrný tvar rovnic Bezrozměrný tvar Reynoldsovy rovnice Bezrozměrný tvar rovnice elastických deformací Bezrozměrný tvar silově rovnovážné rovnice Bezrozměrný tvar rovnice změny viskozity maziva s tlakem Bezrozměrný tvar rovnice změny hustoty maziva s tlakem Kontaktní úloha Ekvivalentní model Porovnání výsledků Vliv velikosti elementu na elastickou deformaci Implementace modelu pro newtonovské chování maziva Solid mechanics PDE Global equation Počáteční odhad Materiálové vlastnosti Analýza parametru Cs Analýza parametru Pf Rozšíření modelu o nenewtonovské chování maziv Rovnice pro nenewtonovský model Implementace modelu pro nenewtonovské chování maziva Hlavní výpočtová část Řízení výpočtu Algoritmus výpočtu 45 5 Výsledky EHD mazání liniového kontaktu pro newtonovská maziva EHD mazání bodového kontaktu pro newtonovská maziva EHD mazání bodového kontaktu pro nenewtonovská maziva 50 9

11 Obsah 5.4 Porovnání výpočtu, experimentu a predikčních vztahů 52 6 Diskuze Verifikace modelů Stabilizace Experiment Vývoj modelů 62 7 Závěr 63 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ 64 SEZNAM SYMBOLŮ A ZKRATEK 68 SEZNAM OBRÁZKŮ 70 SEZNAM TABULEK 72 SEZNAM PŘÍLOH 73 10

12 Úvod 1 ÚVOD Správné mazání strojních součástí má významný vliv na funkčnost a životnost celého mechanického systému. Při nesprávném mazání dochází k nárůstu tření mezi kontakty, což má za následek opotřebení povrchů a zvýšení potřebné energie na pohyb prvků. Pochopení problematiky je nezbytné pro správné navrhování strojních součástí a její následná aplikace v praxi může ušetřit jak náklady materiálové, tak finanční. V teorii mazání rozlišujeme čtyři hlavní režimy. Mezné, smíšené, hydrodynamické a elastohydrodynamické (EHD). EHD mazání je typické pro nekonformní kontakt strojních elementů jako jsou např. valivá ložiska, vačky a mnohé další. V tomto režimu dochází k oddělení součástí tenkým mazacím filmem a ke vzniku tlaku ve filmu, který způsobuje elastické deformace povrchů [1]. Nedochází tak ke kontaktu mezi povrchy, což má pozitivní vliv na výsledný součinitel tření v kontaktu. Tloušťka mazací vrstvy tedy zásadně ovlivňuje vlastnosti daného kontaktu. Pro správné navrhování strojních součástí je nutné tento parametr umět správně predikovat. Významným milníkem pro studii hydrodynamického mazání bylo odvození Reynoldsovy rovnice v roce 1866, která popisuje tok tenké vrstvy maziva mezi dvěma povrchy [2]. V minulosti vzniklo mnoho studií, které řešily EHD pomocí Reynoldsovy rovnice a rovnic elastických deformací. Pro výpočet se používaly např. přímé či inverzní numerické metody. Ty však mají své limity, jako například pomalou konvergenci či tlaková omezení. S rozvojem výpočetní techniky a softwarů začaly vznikat řešiče, které se snaží eliminovat nedostatky předešlých metod (náročnost výpočtu, zrychlení, detailnost). Takovým příkladem jsou třeba vícevrtsvé metody, které pro výpočet využívají různé úrovně sítí s různou velikostí elementu, nebo výpočet pomocí CFD, který umožňuje sledovat pohyb částic napříč mazací vrstvou. Nejnovějším trendem ve výpočtu EHD je použití metody Full system approach (FSA), která je založena na Metodě konečných prvků. Metoda je řešena v režimu fully coupled. To znamená, že rovnice, které popisují mazání, jsou tak počítány simultánně. To má za následek snížení výpočetní náročnosti. Výpočetní modely jsou většinou programované a pracují ve vlastním softwaru. To však značně stěžuje uživateli, který se nevyzná v programovacím jazyce možnost model upravit či rozšířit. Tento nedostatek lze obejít použitím komerčně dostupného multifyzikálního softwaru založeném na MKP. Tyto softwary mají většinou velmi přívětivé uživatelské prostředí. Osoba, která výpočetní model využívá, se tak lehce zorientuje a je schopna sama udělat požadované úpravy. Dle provedené rešerše se pro danou problematiku jeví jako ideální software použít COMSOL Multyphysics. Jednak z důvodu možnosti kombinování různých výpočetních modulů, a jednak díky přítomnosti modulu PDE, který umožňuje zadávat libovolné parciální rovnice, jako např. Reynoldsovu. Tato práce se zabývá simulací mazání bodových a liniových kontaktů metodou konečných prvků pomocí metody FSA. Celý model je vytvořen v prostředí komerčního MKP softwaru COMSOL Multyphysics. Motivací této diplomové práce je získat další nástroj pro výpočet EHD mazání, který umožní základní pohled na problematiku a povede k pochopení podstaty fyzikálních jevů, ke kterým při mazání dochází. 1 11

13 Přehled současného stavu poznání 2 PŘEHLED SOUČASNÉHO STAVU POZNÁNÍ 2.1 Rovnice popisující EHD kontakt Elastohydrodynamický kontakt lze matematicky popsat pomocí Reynoldsovy rovnice, rovnic elastických deformací, silově rovnovážných a rovnic popisující závislost změny viskozity s tlakem Reynoldsova rovnice Reynoldsova rovnice popisuje proces vzniku hydrodynamického tlaku v klínové mezeře. V roce 1866 ji odvodil O. Reynolds [2]. Rovnice je pro newtonovské kapaliny odvozena z Navier-Strokesovy rovnice a z rovnice kontinuity za následujících zjednodušujících podmínek [3]: tíhové síly jsou zanedbatelné tlak napříč mazacím filmem je konstantní v blízkosti třecích povrchů nedochází k prokluzu mazivo je považováno za newtonské proudění maziva je laminární smykové napětí a rychlostní gradient jsou významné napříč mazací vrstvou setrvačné síly maziva jsou zanedbatelné v porovnání s viskózními silami viskozita maziva je napříč mazacím filmem konstantní Reynoldsova rovnice pro řešení EHD kontaktu má tvar p x (ρh3 12π x ) + p y (ρh3 12π y ) u m (ρh) x (ρh) t = 0 (1) První dva členy v rovnici (1.1) se nazývají Poisseuilleovy nebo také tlakové členy. Ty popisují viskózní tok v důsledku tlakového spádu. Třetí Couetteův člen popisuje tok v důsledku střední rychlosti kontaktních povrchů. Poslední člen je nestacionární, ten popisuje chování kapaliny při stlačení. Řešení Reynoldsovy rovnice je vypočítáno v oblasti ohraničené okrajovými podmínkami. Výsledkem je rozložení tlaku v mazací vrstvě. Rovnice však umožňuje dostat výsledek tlaku se záporným znaménkem, což je fyzikálně nemožné. Tento jev nazýváme kavitací. Je proto nutné zavést do vztahu kavitační podmínku, která určuje spodní nulovou hranici tlaku. p(x, y, t) 0 (x, y, t) Ω 2 (2) Reynoldsova rovnice je tak řešena v oblasti Ω1 a v oblasti Ω2 je omezena kavitační podmínkou. 12

14 Přehled současného stavu poznání Obr. 2-1 Znázornění výpočetní oblasti řešení Ω s vyznačením kruhové kontaktní oblasti a přibližné hranice typických podoblastí platnosti Reynoldsovy rovnice a kavitační podmínky. [4] Rovnice elastických deformací Jak již bylo zmíněno, charakteristickým znakem EHD mazání je vznik elastických deformací na povrchu těles. Ty zapříčiňují změnu klínové mezery, kde proudí mazivo. Dochází také k modifikaci tvaru a tloušťky mazací vrstvy mezi kontaktními tělesy. Tyto změny lze popsat rovnicí, která určuje tloušťku mazací vrstvy h(x, y, t) = h 0 + g(x, y, t) + d(x, y, t) + w(x, y, t) (3) h(x, y) = h 0 (t) + x2 2R x d(x, y, t) + y2 2R y (4) + 2 p(x, y )dx dy πe r (x x ) 2 + (y y ) 2 Ω Význam jednotlivých členů rovnice 1.3 [4]: h0 - přiblížení kontaktních povrchů, závislé na podmínce silové rovnováhy g(x,y,t) - formulace nedeformované kontaktní geometrie d(x,y,t) - popis geometrie povrchové nerovnosti w(x,y,t) - elastické deformace kontaktních těles od tlaku v mazací vrstvě 13

15 Přehled současného stavu poznání Obr. 2-2 Tvar kontaktních povrchů [50] Rovnice silové rovnováhy Rozložení tlaku v mazací vrstvě, získané z Reynoldsovy rovnice (1.1) musí být v rovnováze s vnějším zatížením w, které je přenášeno mazací vrstvou. Rovnováhu sil popisuje následující rovnice [3]: w = p(x, y, t) dxdy Ω (5) Rovnice změny hustoty maziva s tlakem Jelikož v EHD kontaktu vznikají vysoké tlaky, je nutné počítat i se změnou hustoty maziva s tlakem. Tuto závislost popsali Dowson a Higginson v jejich práci [5]. Vztah pro výpočet je následující ( p) ρ(p) = ρ , + p (6) kde ρ 0 je hustota maziva při atmosférickém tlaku. Tato rovnice však nemá žádný fyzikální podklad a její vyjádření je čistě empirické. Její výsledek nemusí být vždy přesný, ale díky její jednoduchosti je používána nejvíce. Rovnici lze považovat za přesnou pro tlaky přibližně do 0,5 GPa. Další možný způsob, jak popsat změnu hustoty maziva s tlakem je pomocí stavové rovnice dle Tait. Její formulaci můžeme nalézt v [6]. Její tvar je sice fyzikálně přesnější, ale proti vztahu dle Dowsona a Higginsona [5] je mnohem více složitější a závislý na mnoha vstupních parametrech, ale její použití je nutné pro maziva, kde ostatní rovnice selhávají. Odvození je tvořeno pomocí poměru objemu relativního a ambientního. Výhodou je také svázanost s rovnicí pro popis změny viskozity s tlakem. V = 1 1 V K ln [1 + p (1 + K 0 K 0 )] 0 (7) 14

16 Přehled současného stavu poznání K 0 = K 0R e β KT (8) K 0 = K 0R e β K T (9) Proměnné K0 a K 0 pak ve vzorcích znamenají počáteční objemový modul a tlakový spád změny objemového modulu. Dále se předpokládá, že poměr počátečního objemu vůči referenčnímu je závislý na teplotě dle následujícího vzorce. V 0 V R = 1 + a v (T T R ) (10) Vzorec pro výpočet závislosti hustoty na tlaku se pak získá inverzí poměru objemu referenčního vůči skutečnému objemu. Kombinací výše zmíněných vzorců se získá finální vztah. ρ(p, T) = ρ R ( V R V ) = ρ R ( V R V 0 V 0 V ) = ρ R ( 1 V 0 V R 1 V V 0 ) (11) Obr. 2-3 Relativní hustota v závislosti na tlaku [4] Rovnice změny viskozity maziva s tlakem Změnu viskozity s tlakem lze nejjednodušeji popsat pomocí Barusova vztahu [7]: η(p) = η 0 exp (α p), (12) kde η 0 je viskozita při atmosferickém tlaku a α je tlakově viskózní parametr daného maziva. Tento vztah však přesně aproximuje viskozitu maziva jen do tlaků přibližně 15

17 Přehled současného stavu poznání 0,1 GPA. Pro přesnější popis EHD mazání se tak používá složitější, zato fyzikálně přesnější Roelandův vztah [8]: η(p) = η 0 exp ((ln(η 0 ) ) ( 1 + (1 + p z ) )). p 0 (13) Na obr. 2-3 je znázorněna relativní viskozita v závislosti na tlaku. U závislosti dle Barrusova vztahu lze pozorovat, že od hodnot přibližně 0,1 GPa je hodnota viskozity maziva oproti závislosti dle Roelanda nadhodnocována. Při vyšších tlacích tak Barrusův vztah dává nereálně vysoké hodnoty viskozit. Obr. 2-4 Porovnání vztahů (1.6) a (1.7) [4] Pro popis změny viskozity maziva s tlakem existují minimálně další dva modely, které jsou přesnější než Roelandův vztah. Prvním z nich je modifikovaná verze rovnice WLF (William, Lander a Ferry), kterou upravili Yasutomi, Bair a Winer ve své práci [9]. Druhým je model Tait-Doolittle. Tyto dva modely jsou pro popis chování maziva více přesné než vztah podle Barruse a Roelanda, zvláště u hodnot viskozit za vysokých tlaků. Aby rovnice lépe popsali změnu viskozity s tlakem, jsou více parametrické. K získání parametrů je zapotřebí provést speciální měření ve vysokotlakém viskozimetru. Výhodou modelu dle Taita-Doolittlea je v tom, že je založena na principu volných objemů a vychází ze stavové rovnice dle Taita zmíněné v předešlé podkapitole. Rovnice popisující změnu hustoty a viskozity s tlakem jsou tak úzce spjaty. Formulace takové rovnice je následující. μ(p, T) = η 0 exp [BR 0 ( V V R V V R R 0 V V R V V R = 1 + ε c (T T R ) 1 1 R 0 )] (14) (15) 16

18 Přehled současného stavu poznání Proměnné B a R0 jsou konstanty, které charakterizují použité mazivo. Rovnice 14 a 11 jsou známé jako Taitův-Doolittleův model volných objemů pro zjištění změny viskozity a hustoty. 2.2 Přímé numerické metody Společným znakem pro všechny modely založené na přímé numerické metodě je řešení Reynoldsovy rovnice jako funkce tlaku za dané tloušťky mazací vrstvy. Problémem ve využití těchto metod je omezení výpočtu na tlaky menší než 1 GPa. Ve skutečnosti však tlak v EHD kontaktu dosahuje hodnot 2 až 3 GPa [6]. Jednou z přímých numerických metod je Gauss-Seidellova iterační metoda. Metodu ve své práci použili pro řešení bodového kontaktu Hamrock a Dowson [10], dále pak Chittenden a kol. [11]. Později byla využita pro řešení liniového kontaktu v práci Hamrock a Jacobson [12]. Nevýhodou této metody je pomalá konvergence a velká časová náročnost při výpočtu s jemnější sítí. Jestliže označíme počet bodů na mřížce n, tak počet operací O můžeme vyjádřit jako O(n 3 ). Další nevýhodou je také nestabilita iteračního procesu v případě vysokého zatížení kontaktu. Výhodou metody je nízká paměťová náročnost a přímočaré zadefinování kavitační podmínky [13]. V roce 1982 použil Okamura [14] k řešení EHD kontaktu Newton-Raphsonovu metodu. Princip metody spočívá v ukládání derivací jednotlivých rovnic do Jacobiho matice. Ta je následně invertována a použita k výpočtu další matice. Nespornou výhodou této metody je rychlá konvergence hodnot blízkých k řešení. Časová náročnost je stejná jako u předešlé metody. Metoda je však vhodná také jen pro nízké hodnoty zatížení, protože při velkém zatížení se Jacobiho matice stává singulární. Využití metody pro bodový kontakt je díky inverzi Jacobiho matice velmi časově náročné [13]. 2.3 Inverzní numerické metody V roce 1939 ji představil Ertel [15]. Později Dowson a Higginson [16] vyvinuli algoritmus pro numerické řešení EHD liniového kontaktu založený na inverzní metodě. Později Evans a Snidel [17] rozšířil metodu pro řešení bodového kontaktu. Název metody plyne z principu řešení Reynoldsovy rovnice, jejímž výsledkem je tloušťka mazacího filmu za daného tlaku. Výhodou metody je implementace kavitační podmínky, která je podobná jako u přímých metod. Časová náročnost, stejně jako u předchozích, je O(n 3 ) [13]. Metoda je robustní při výpočtech v kontaktní oblasti, kde se vyskytují velké tlaky, její stabilita však trpí ve vstupní a výstupní oblasti. Z těchto důvodů Kweh a kol. [18] použili metodu, která kombinuje kladné vlastnosti inverzní metody a metod přímých. Přímé numerické metody použili pro řešení vstupní a výstupní oblasti kontaktu, na centrální použili inverzní metodu. I přes toto rozšíření metoda trpí díky řešení Reynoldsovy rovnice jako kubické, čímž dostaneme tři různé výsledky, z nichž je správný pouze jeden [6] Vícevrstvé numerické metody Velkým krokem vpřed na poli řešení EHL kontaktu byla práce od Lubrechta [13], ve které představil vícevrstvou ( multigrid ) metodu založenou na Gauss-Seidelově iterační numerické metodě. Aplikováním multigrid techniky při řešení EHL kontaktu vede k výraznému zrychlení konvergence a ke zkrácení výpočetního času. Technika je

19 Přehled současného stavu poznání založena na porozumění konvergentního chování iterativního procesu Gauss- Seidelovy metody. Metoda spočívá v přecházení mezi různě hustými druhy sítí podle toho, jak je potřeba. K eliminaci chybných prvků dochází totiž jen tehdy, když je jejich vlnová délka stejná jako velikost prvků v síti. Pokud je mnohem větší, konvergence se rapidně zpomalí. Řešením je zvětšení prvků v síti. Po obdržení požadované aproximace je síť opět zjemněna. To má za následek urychlení konvergence. Časová náročnost je vyjádřena jako O(n 2 ). Později Brandt a Lubrecht [19] uvedli metodu tzv. Multi-Level Multi Integration (MLMI), která předchozí metodu ještě více urychluje. Práci dále rozšířil Venner [13] o řešení vysoce zatížených kontaktů a dále metodu ještě více urychlil, a to na O(n ln(n)). Metoda je tak využívána jako alternativa k Inverzní metodě. 2.5 Numerické metody Fully coupled V kapitolách jsou popsány metody, které řeší Reynoldsovu rovnici a rovnice elastických deformací odděleně. Díky tomu je zpomalena konvergence řešení. Tato kapitola je věnována numerickým přístupům řešení EHD, které řeší obě rovnice simultánně. Metody jsou označovány termínem fully-coupled. Algoritmy řešení EHD kontaktu přímou metodou a metodou založenou na přístupu fully coupled jsou znázorněny na následujících diagramech. Počáteční P, H, H 0 Vyřešení systému rovnic pro získání rozložení P a H Zpracování výsledků Obr. 2-5 Řešení problému metodou fully coupled [6] 18

20 Přehled současného stavu poznání Počáteční podmínky Vyřešení Reynoldsovy r. pro získání rozložení tlaku Pro daný tlak vyřešit rovnici pro tloušťku maziva Aktualizace H 0 Ne Konvergence P a H Ne Ano Silová rovnováha Ano Obr. 2-6 Řešení problému přímou metodou [6] Zpracování výsledků Jednou z variant řešení problému je použití CFD modulu (Computational Fluid Dynamics), který slouží pro matematické modelování a numerické řešení úloh ohledně proudění kapalin. Tato metoda byla použita např. v práci Almquista [20]. Při výpočtu kontaktu nahradil Reynoldsovu rovnici rovnicemi Navier-Stokesovými (N-S rovnice). V práci [20] se tvrdí, že tento přístup vede k rozšíření modelování EHD kontaktu o následující možnosti: rozšíření výpočtové oblasti na vstupní a výstupní oblast simulace pohybu částic v ložisku simulace vlivu drsnosti na mazací film Pro výpočty liniového kontaktu dvou těles s hladkým povrchem byl použit komerční software CFX 4.3. V práci bylo zjištěno, že tato metoda se dá použít jen do tlaků o velikosti maximálně 0,7 GPa. Další nevýhodou je vysoká výpočtová náročnost. Přístup řešení EHD kontaktu založený na CFD použil také Hartinger [21]. Hartinger v práci porovnává své výsledky isotermálního a termálního EHD kontaktu s výpočty pomocí Reynoldsovy rovnice. Výsledky jsou ve většině případů shodné. Hlavní výhodou v řešení kontaktu pomocí CFD je dle Hartingera možnost vyřešit veškeré rychlostní, viskózní a tlakové gradienty napříč mazací vrstvou. Na rozdíl od řešení pomocí Reynoldsovy rovnice, kde tyto gradienty buď chybí, nebo jsou zjednodušeny. Stejně jako v předchozí práci, Hartinger narazil na nejvyšší možný tlak, při kterém je výpočet stabilní, 0,8 GPa při viskozitě maziva 0,01 Pa s a 1,5 GPa při 1 Pa s. Největší nevýhodou této metody je však velká výpočtová a časová náročnost. Další metodou, která řeší souběžně Reynoldsovu rovnici a rovnice elastických deformací je metoda Diferenciálně-deformační (DDM, differencial deflection method), kterou představil ve své práci Evans a Hughes [22]. Metoda je založena na eliminaci koeficientů v matici elastických deformací. I přes zjednodušení má systém 19

21 Přehled současného stavu poznání matic hodně koeficientů a pro vyřešení je potřeba použít iterační techniku pro jejich vyřešení. Tuto metodu pak skupina autorů aplikovala na liniový kontakt [23] a následně také na bodový [24, 25] Full system approach Nevýhodou předchozích řešení je velká výpočtová náročnost a absence řešení pro vysoce zatížené kontakty. Těmto nedostatkům se snaží ve své práci předejít Habchi. [26], kde představil novou metodu s názvem Full system approach. Jedná se o fully coupled metodu, která řeší isotermální EHD kontakt za pomocí diskretizace daných rovnic metodou konečných prvků (MKP). Nelineární soustava Reynoldsovy rovnice a rovnic elastických deformací je dále řešena Newton-Raphsonovou numerickou metodou. Z práce [26] vyplývá několik důležitých poznatků. Jednou z nich je nastavení konečno-prvkové sítě. Bylo zjištěno, že v oblasti dále od kontaktu lze z důvodu minimální odchylky hodnot elastických deformací použít hrubou síť, oproti jemnější síti zvláště v oblasti vstupu a výstupu maziva (viz obr. 2-7). Při použití hrubší sítě dosáhneme řidší Jacobiho matice, což vede k menší výpočtové náročnosti. Výsledná síť je zobrazena na obr V místě vstupu a výstupu je použita hrubší síť. Jemná síť je v kontaktní Hertzově oblasti z důvodu získání přesného tlakového gradientu. Ještě jemnější síť je použita na výstupu z kontaktní oblasti, kde se očekává tlaková špička a zúžení tloušťky mazací vrstvy. Obr. 2-7 Vliv velikosti elementů na elastické deformaci [26] 20

22 Přehled současného stavu poznání Obr. 2-8 Nastavení sítě [26] Důležitým přínosem práce [26] je srovnání metod ke stabilizaci Reynoldsovy rovnice, která se stává nestabilní při použití u vysoce zatížených kontaktů. Existují tři různé varianty, jak rovnici stabilizovat a získat řešení bez oscilací. Prvním z nich je Galerkinova formulace [27]. Ta správně funguje jen tehdy, pokud je difuzní člen Reynoldsovy rovnice dominantní. Nejčastěji se používá pro eliptický kontakt. U liniového kontaktu se Reynoldsova rovnice stává konvekčně dominantní. Galerkinova formulace zde selhává. Pro překonání tohoto problému Brooks a Hughes [27] vyvinuli novou metodu s názvem Streamline Upwind Petrov Galerkin method (SUPG). Alternativou k této metodě je Galerkin Least Squares method (GLS), která byla publikována v práci Hughese. [28]. Důležitou vlastností metod SUPG a GLS je ta, že nijak neovlivňují výsledek řešení [26]. U bodového kontaktu je k metodám přiložen ještě izotropní difuzní člen (ID), který způsobí vyhlazení zbylých oscilací, které metody GLS a SUPG nebyly schopny potlačit. Porovnání stabilizačních metod pro značně zatížený liniový kontakt je znázorněno na obr. 2-9, pro bodový pak na obr Ze zmíněných obrázků lze vidět, že pro liniový kontakt nezáleží, jestli použijeme SUPG nebo GLS, výsledek bude stejný. Pro bodový kontakt je nejvýhodnější použít metody SUPG+ID nebo GLS+ID, které nejvíce eliminují oscilace výsledných hodnot. Obr. 2-9 Porovnání stabilizačních metod pro značně zatížený liniový kontakt [6] 21

23 Přehled současného stavu poznání Obr Porovnání stabilizačních metod pro značně zatížený bodový kontakt [6] Hlavními výhodami metody Full system approach jsou krátké výpočetní časy a malá paměťová náročnost, díky řídké Jacobiho matici, a aplikace metody i pro hodně zatížené kontakty [26]. Výhodou je také možnost upravit velikost prvků konečnoprvkové sítě ve strategických místech důležitých pro výpočet. Dalším pozitivem je rychlá konvergence a nízký počet iterací při správném počátečním odhadu tloušťky filmu. 2.6 COMSOL Multiphysics Program COMSOL Multiphysics je inženýrský nástroj určený k modelování a simulaci fyzikálních dějů. Úlohy řeší pomocí MKP. Důležitou vlastností softwaru je možnost libovolně kombinovat různé fyzikální děje v daném výpočtovém modelu. Software také obsahuje modul PDE a ODE, který umožňuje uživateli definovat potřebné parciální diferenciální rovnice (PDE) nebo obyčejné diferenciální rovnice (ODE). Uživatel je tak schopný definovat do modelu např. Reynoldsovu rovnici či jiné potřebné. Schopnost softwaru vyřešit EHD kontakt byla ověřena již v několika pracích, např. v [29 33]. Srovnání různých softwarů pro řešení problémů v tribologii bylo provedeno v práci [34], kterou vytvořil Franek a kol. Z práce vyplývá, že pro řešení EHD kontaktu je nejvhodnější zvolit již zmíněný software COMSOL Multiphysics a EHD Práci, která popisuje řešení EHD kontaktu v programu COMSOL, publikoval v roce 2009 Fillot a kol. [30]. Zabývá se simulací bodového kontaktu koule a disku v režimu EHD. Problém se řeší metodou Full system approach popsanou v kap Výsledky práce, zejména výpočet tloušťky filmu, jsou srovnány s výsledky Hamrocka [35], ve které autor uvedl predikci tloušťky mazacího filmu. Výsledky se velmi blíží výsledkům z literatury [30]. V práci jsou také zveřejněny počáteční parametry, dle kterých by bylo možné odladit vlastní model. Přínosem práce jsou také důležité poznatky autora pro implementaci modelu do programu: k řešení elastických deformací je výhodné použít Structure mechanics box 22

24 Přehled současného stavu poznání jelikož Reynoldsova rovnice není zahrnuta v softwaru, musí být do programu definována pomocí PDE modulu pro řešení elastických deformací je dobré použít síť ze čtyřhranů, pro Reynoldsovu rovnici elementy typu quintic element konečnoprvkové sítě by neměl být menší než desetina poloměru Hertzova kontaktu při vysokých zatíženích je nutné používat stabilizace SUPG, GLS společně s ID (viz. kap ) je třeba zadefinovat kavitační podmínku rovnice silové rovnováhy lze jednoduše vyřešit pomocí Global Equation toolbox V práci [32] Tan a kol. porovnávají tři různé metody řešení EHD pomocí programu COMSOL. Víceúrovňová vícenásobná integrace (ID) (viz. kap. 2-4), Single Domain Full-System Approach (SD-FSA) a Double Domain Full-System Approach (DD- FSA). Typický přístup řešení pomocí ID je ukázán v pracích [5, 13]. SD-FSA je označení metody dle [32]. Prakticky se jedná o tu samou metodu, kterou představil Habchi [6], jen s jiným označením. Metoda DD-FSA je založena na metodě [6], s rozdílným použitím dvou oblastí řešení, jedna pro oblast maziva, další pro tuhá tělesa. Zmíněné metody byly aplikovány pro výpočet statického liniového a bodového kontaktu, dále pak pro přechodný liniový kontakt. Všechny tři modely se ve výsledcích velmi shodovaly [32]. Volba metod tak závisí především na preferencích a na výpočetní technice. V práci se autor zmiňuje o důležitosti počátečního odhadu parametrů, které značně ovlivňují konvergenci a výpočetní čas. Porovnání bezrozměrné tloušťky filmu a tlaku bodového kontaktu obdržených z výpočtu pomocí všech tří metod je znázorněno na obr Křivky N0 a N1 různé hustoty konečnoprvkové sítě. V práci jsou dále podrobně popsány okrajové podmínky a velikosti elementů sítě (obr. 2-11) Obr Použitá síť u metody SD-FSA v případě přechodného děje [32] 23

25 Přehled současného stavu poznání Obr Srovnání metod ID, SD-FSA a DD-FSA při výpočtu bodového kontaktu. Křivky N0 a N1 označují různou hustotu konečnoprvkové sítě [32] Další prací zabývající se stejnou problematikou je diplomová práce Brhlík [33]. Hlavním přínosem práce je popsání modulu Thin-Film Flow, který je v COMSOLu obsažen od verze 5.0. V modulu jsou implementovány rovnice elastických deformací a Reynoldsova rovnice. Dle popisu je modul určen k řešení EHD mazání a tlumení při uvažování tenkého mazacího filmu. Tato práce je první publikovanou prací, ve které je popsáno použití již zmíněného modulu. Výsledky simulace v práci [33] se podařilo získat se značnou oscilací zejména v oblasti výstupu maziva z kontaktu, kde se 24

26 Přehled současného stavu poznání hodnoty tloušťky mazací vrstvy dostávají do záporných hodnot. Dle autora je důvodem špatně definovaná kavitační podmínka. Problémem v modelu je také vztah závislosti hustoty maziva na tlaku, který se neshoduje s hodnotami dle Roelanda [8]. Modul také znemožňuje použití multigridního iterativního řešiče, což znemožňuje efektivní řešení 3D bodového kontaktu. Výpočetní model vytvořený v daném prostředí je citlivý na velikost počáteční aproximace, což je dle autora způsobeno nesprávnou definicí elastických deformací. Detailní popis implementace modelu řešení termálního elastohydrodynamického liniového kontaktu do programu COMSOL je popsán v práci Lohnera [31]. K řešení autor používá dva modely, jeden pro výpočet průběhu tlaku a tloušťky maziva (P, H), další pro výpočet průběhu teploty. Při výpočtech používá program Matlab, který slouží jako kontroler v jednotlivých sekvencích a ve kterém probíhají další pomocné výpočty. Program Matlab je do COMSOLu propojen pomocí modulu COMSOL s LiveLink for Matlab function. Výpočet EHD kontaktu je založen na přístupu Full system approach popsaném v kap V dané práci je detailní popis postupu a rovnic, které byly použity pro výpočet. V práci je také znázorněn strom modelu pro výpočet (obr. 2-13), který může být použit pro kontrolu vlastního řešení. Obr Strom modelu v programu COMSOL pro řešení tlaku a tloušťky (vlevo), dále pro výpočet teploty (vpravo) [31] 25

27 Analýza problému a cíl práce 3 ANALÝZA PROBLÉMU A CÍL PRÁCE První část rešeršní studie (kap. 2.1) se zabývá definováním a popisem rovnic, které popisují elastohydrodynamický kontakt. Postupně je představena Reynoldsova rovnice, rovnice elastických deformací, silově rovnovážné rovnice, rovnice změny viskozity maziva s tlakem a rovnice změny hustoty maziva s tlakem. Při výpočtu EHD mazání je potřeba u Reynoldsovy rovnice definovat kavitační podmínku (1.2), která omezuje výsledky pouze na kladné hodnoty. Pro popis závislosti změny viskozity maziva s tlakem existuje několik variant. Nejjednodušší variantou je použití Barrusova vztahu. Ten je ale použitelný pro tlaky do 0,1 GPa. Vztah, který lépe popisuje danou závislost je Roelandův vztah, který je nejrozšířenější. V práci jsou zmíněny další dva modely, modifikovaná verze WLF a model dle Tait-Doolittlea, které jsou ještě přesnější. Pro jejich implementaci je nutné znát hodně parametrů maziva, které se získávají dodatečnými experimenty. Rovnice však poskytují přesnější hodnoty. Další část (kap ) je věnována numerickým metodám, které se využívají pro řešení EHD kontaktu. Jako první byly popsány přímé numerické metody, pro které je společným znakem řešení Reynoldsovy rovnice jako funkce tlaku za dané tloušťky mazací vrstvy. Metody se však vyznačují velkou časovou náročností. Největší nevýhodou je omezení na malé tlaky v kontaktu do 1 GPa. Ve skutečnosti však tlak v EHD kontaktu dosahuje hodnot 2 až 3 GPa. Jako další jsou popisovány inverzní numerické metody. Ty jsou založené na inverzním řešení Reynoldsovy rovnice. Výsledkem je tloušťka mazacího filmu při daném tlaku. Časová náročnost je stejná jako u přímých metod. Metoda je vhodná pro výpočty v kontaktní oblasti, kde se vyskytují velké tlaky, naopak ve vstupní a výstupní oblasti je nestabilní. Později se Kweh a kol. pokusili zkombinovat kladné vlastnosti inverzní a přímé metody. I přes toto rozšíření metoda trpí díky řešení Reynoldsovy rovnice jako kubické, čímž dostaneme tři různé výsledky, z nichž je správný pouze jeden. Do vícevrstvých numerických metod se řadí Vícevrstvá ( multigrid ) metoda založena na Gauss-Seidelově iterační numerické metodě a metoda MLMI. Tyto přístupy využívají k výpočtu více druhů konečno-prkvových sítí, díky kterým se urychluje konvergence. Metoda MLMI vícevrstvou metodu urychluje a je možno ji použít pro vysoce zatížené kontakty. Další metody jsou tzv. Fully coupled. Jejich výhodou je, že řeší Reynoldsovu rovnici a rovnice elastických deformací simultánně, což urychluje konvergenci a výpočet. Do této kategorie patří metody založené na modulu CFD, u kterých je Reynoldsova rovnice nahrazena rovnicemi Navier-Stokesovými. To přináší rozšířené možnosti řešení, jako např. simulace pohybu částic v ložisku, zkoumání vlivu drsnosti na mazací film a možnost vyřešit veškeré rychlostní, viskózní a tlakové gradienty napříč mazací vrstvou. Jejich nevýhodou je však použití jen malého zatížení kontaktu. Další Fully coupled metodou je metoda diferenciálně-deformační. Ta je založena na eliminaci koeficientů v matici elastických deformací. I přesto je však v matici hodně koeficientů a pro její vyřešení je nutné aplikovat iterační techniku. Poslední je metoda s názvem Full System Approach. Ta je založena na diskretizaci rovnic pomocí MKP. Výhodou proti ostatním je možnost použití metody i pro značně zatížené kontakty. Největšími výhodami je možnost nastavení konečno-prvkové sítě dle požadavků výpočtu, použití stabilizačních metod, které eliminují oscilace v řešení. Dále pak rychlá konvergence, nízká časová náročnost a nízký počet iterací při správném počátečním odhadu. 26

28 Analýza problému a cíl práce Poslední část (kap. 2.6) je věnována programu COMSOL Multiphysics a pracím, které byly v tomto programu řešeny. Program se jeví jako nejvhodnější k použití pro řešení této diplomové práce díky modulu PDE, který umožňuje definovat do výpočtového modelu vlastní parciální diferenciální rovnice. Schopnost softwaru řešit EHD mazání byla ověřena již v několika pracích. V podkapitole jsou dále zmíněny práce autorů, které řešily EHD mazání v daném programu převážně metodou Full System Approach. Největším přínosem prací jsou poznatky a tipy ohledně implementace modelu do programu. Obsahují také okrajové podmínky a výsledky, dle kterých bude možno odladit vlastní model. Důležitým poznatek z této kapitoly je popis problému s modulem Thin-Film Flow, který je určen pro řešení EHD. Výpočtu pomocí zmíněného modulu je třeba se vyhnout. Z vypracované rešerše vyplývá, že nejlepší k řešení problému je použít metodu Full System Approach, která, oproti jiným, umožňuje řešení i vysoce zatížených kontaktů. Její další pozitiva jsou popsána v kapitole Dalším důvodem volby této metody, je vznik několika prací, které ověřily možnost implementace metody do programu COMSOL Multyphysics pro výpočet EHD mazání. Stěžejní literaturou pro tvorbu této diplomové práce je článek Habchiho [26]. V této práci je prvně představena a podrobně popsána metoda Full System Approach. Dále jsou zde uvedeny rovnice v bezrozměrném tvaru, stabilizační metody GLS/SUPG a také převod Reynoldsovy rovnice do integrálního tvaru, který je potřeba pro implementaci do modulu PDE v programu COMSOL. V práci je také popsáno zjednodušení pomocí polovičního modelu, které zajistí zkrácení výpočetního času a možnost použít zatížení bezrozměrným Hertzovým tlakem. Celý výpočetní model bezrozměrný. Další důležitou prací je článek Fillota [30]. Tato práce prvně představila výpočet EHD bodového kontaktu v programu COMSOL. V práci jsou zmíněny okrajové podmínky a pár tipů pro implementaci do programu, jako např. velikost elementu konečnoprvkové sítě či použité moduly. Práce se dá použít také pro verifikaci vlastního modelu, avšak pouze graficky, nýbrž v práci výsledky nejsou vyčísleny. Rozsáhlejší prací je pak od Tana [32]. Zde se dají najít též okrajové podmínky a také výsledky, které zde jsou i vyčísleny. Práce se zabývá jak bodovým, tak liniovým kontaktem pro newtonovské i nenewtonovská maziva. Poslední stěžejní prací je práce Lohnera [31], který popisuje výpočet liniového kontaktu s termálními účinky. Pro verifikaci výsledků bude možno také použít práci Ficzi [36], která se zabývá EHD výpočtem pomocí MLMI, čímž dostaneme i srovnání dvou metod. 3.1 Cíl práce Hlavním cílem diplomové práce je sestavení výpočetního modelu mazaného bodového kontaktu pomocí metody konečných prvků v programu COMSOL. Výpočetní model umožní predikovat tloušťku mazací vrstvy a získat další parametry elastohydrodynamického mazání. Tribologická skupina tak získá další nástroj pro výpočet EHD mazání, který umožní základní pohled na problematiku a povede k pochopení podstaty fyzikálních jevů, ke kterým při mazání dochází. Další dílčí cíle práce jsou analýza současného stavu poznání, implementace numerického modelu do MKP softwaru, validace numerického řešení a porovnání výsledků simulace s měřením na optickém tribometru

29 Materiál a metody 4 MATERIÁL A METODY Z rešerše a přechozích kapitol vyplývá metoda a postup řešení daného problému. Jako numerická metoda pro řešení práce je zvolen postup fully coupled Full system approach. Model se bude realizovat v programu COMSOL Multyphysics, který se dle rešerše jeví jako nejvhodnější. Jelikož se celý problém bude řešit bezrozměrně, je nutné zprvu odvodit bezrozměrné tvary rovnic zmíněných v kap. 2. Tyto tvary je nutné znát pro pozdější implementaci do výpočtového modelu. Samotná tvorba výpočetního modelu je rozdělena do dílčích kroků. Každý krok je následně verifikován porovnáním s analytickým výpočtem, či srovnáním výsledků z dostupných zdrojů. Tím, že každý krok bude ověřen, se ve finálním modelu se značně zúží prostor, ve kterém se mohou vyskytnout chyby. V prvé řadě je vytvořen model pro výpočet Hertzovy kontaktní úlohy. Tento model je důležitý z hlediska ověření zjednodušení geometrie pomocí ekvivalentního polovičního modelu a také pro ověření správného výpočtu deformace těles, která poté vstupuje do rovnice pro výpočet tloušťky maziva. Výpočet deformace je srovnán s analytickým řešením a také s výpočtem pomocí modelu bez zmíněného zjednodušení. Po tomto ověření lze k modelu připojit modul PDE, který umožní definovat Reynoldsovu rovnici a dále implementovat rovnice nutné pro výpočet stacionárního liniového a bodového EHD kontaktu pro newtonovská maziva. Na těchto modelech se odladí parametry, které ovlivňují stabilitu a rychlost výpočtu (velikost elementů, stabilizační koeficienty, koeficient kavitační podmínky). Po odladění je provedena verifikace výsledků pomocí hodnot z prací, které se zabývají stejnou problematikou. Dalším krokem pak bude vytvořit výpočet pro nenewtonovská maziva, který se ověří podobně jako v předchozím případě. Po odladění modelů bude provedena série experimentů na optickém tribometru pro dané okrajové podmínky. Sledovat se bude zejména oblast minimální tloušťky mazací vrstvy pro skupinu newtonovských maziv s různými vlastnostmi. Získané hodnoty se poté porovnají s hodnotami vypočtenými. Obr. 4-1 Diagram postupu práce 28

30 Materiál a metody 4.1 Bezrozměrný tvar rovnic Jelikož je celý model počítán bezrozměrně, je nutné znát bezrozměrné tvary rovnic uvedených v kap. 2. Zbezrozměrnění se dosáhne substitucí následujících rovnic. 4.1 X = x/a Y = y/a P = p/p h H = h R x /a 2 η = η/η 0 ρ = ρ/ρ 0 (16) Proměnná a je poloměr kontaktu dvou těles a ph tlak dle Hertzovi kontaktní teorie. Rx značí redukovaný poloměr křivosti ve směru x Bezrozměrný tvar Reynoldsovy rovnice Bezrozměrný tvar Reynoldsovy rovnice použité v této práci pro tvorbu výpočtového modelu za použití newtonovských maziv je následující. (ε P) X (ρh) P f P = 0 (17) Parametr epsilon má tvar ε = ρ H3, kde λ = 6 η 0 u s R2 x η λ p H a3. Proměnná Pf je stabilizační H faktor a P = min (0, P) zastupuje kavitační podmínku, která omezuje tlaky pouze na kladné hodnoty. Čím je stabilizační faktor větší, tím menší bude výskyt záporného tlaku v oblasti. Jestliže však bude příliš velký, může způsobit nepodmíněnost celého výpočtu. Stabilizační faktor by měl být volen v rozmezí (10 5 ; 10 8 ) [32] Bezrozměrný tvar rovnice elastických deformací Jelikož pro tvorbu modelů se neuvažuje vliv povrchový nerovností, v následujících vzorcích je tato část vynechána. Liniový kontakt: H = H 0 + X2 2 D (18) Bodový kontakt: H = H 0 + X2 2 + Y2 2 D (19) Parametr D značí deformaci tělesa v daných osách. Pro liniový kontakt je to posuv ve směru osy X, pro bodový kontakt zase posuv v osách X a Y. Jelikož je COMSOL schopen vypočítat deformace pomocí modulu Solid Mechanics, není potřeba posuvy definovat další rovnicí, jako je tomu v rovnici (4). Parametr počátečního přiblížení H0 je vypočítán ze silové rovnováhy (rovnice 20 a 21), se kterou je explicitně spojen pomocí modulu obecné rovnice (Global equation). Použití tohoto modulu způsobí, že proměnná H0 je vedena jako neznámá spolu s výpočtem tlaku P a posuvu v. 29

31 Materiál a metody Bezrozměrný tvar silově rovnovážné rovnice Liniový kontakt: Bodový kontakt: PdΩ L = π 2 ΩL ΩL PdΩ L = 2 π 3 (20) (21) Je-li bodový kontakt počítán pomocí symetrie, pravá silově rovnovážné rovnice se musí vydělit ještě dvěma Bezrozměrný tvar rovnice změny viskozity maziva s tlakem Pro získání závislosti viskozity maziva na tlaku byl zvolen Roelandův vztah, který je v bezrozměrném tvaru následující. η = exp { αp 0 z [ 1 + (1 + P p H p 0 ) z ]} (22) Další použitý tvar v modelech je rovnice dle Tait-Doolittla. V V μ(p, T) = exp [BR 0 ( R 1 )] V V V R 1 R 0 0 R V R Bezrozměrný tvar rovnice změny hustoty maziva s tlakem Výpočet závislosti změny hustoty s tlakem je proveden pomocí vztahu dle Dowsona- Higginsona, nebo pomocí rovnice odvozené pomocí volných objemů. Další rovnice uvádí jejich bezrozměrné tvary: (23) ρ = 5.9e P p H P p H (24) ρ(p, T) = ( 1 V 0 V R 1 V V 0 ) 4.2 Kontaktní úloha Správný výpočet deformace povrchu má zásadní vliv na výsledné řešení celého EHD kontaktu. Deformace povrchu se objevuje ve vzorci pro výpočet tloušťky mazací vrstvy a spolu s výpočtem tlaku P a počátečního přiblížení H0 tvoří neznámé pro finální výpočet EHD mazání. Jistota správného výsledku deformace tak eliminuje možné problémy v pozdější simulaci kompletního modelu. Jako první je tedy nejdříve vytvořen model pro výpočet deformace v kontaktní Hertzově úloze. Jelikož při výpočtu se používá tzv. polovičního modelu, který je tvořen pouze ze základového tělesa. Valící element (kulička, válec) tak není vůbec modelován. Základovému tělesu (25) 30

32 Materiál a metody jsou pak přiřazeny ekvivalentní vlastnosti zastupující vlastnosti plného modelu. Pro ověření správnosti zjednodušení je model porovnán s kontaktní úlohou plného modelu a analytickým výpočtem Ekvivalentní model Jak již bylo zmíněno dříve, ekvivalentní model je tvořen pouze základovým tělesem, rotující element se tedy nemodeluje. Tímto zjednodušením se dosáhne značné úspory výpočetního času a náročnosti. Jelikož zde chybí kontaktní těleso, které by při výpočtu způsobilo Hertzovo kontaktní rozložení tlaku, základové těleso je zatíženo Hertzovým bezrozměrným rozložením tlaku v kontaktní oblasti (rov. 26) P = if X d < 1, 1 X d, 0 ( dim dim d=1 d=1 ) (26) Protože se v modelu vyskytuje pouze jedno těleso, které lze deformovat, musí se tomuto tělesu přiřadit materiálové vlastnosti, které zastoupí deformaci základního a zatěžujícího tělesa (kuličky, válečku). Jedná se zejména o Ekvivalentní Youngův modul a Ekvivalentní Poissonovo číslo. Rovnice těchto parametrů jsou následující: E eq = E 2E 1 2 (1 + v 2 ) 2 + E 1 E 2 2 (1 + v 1 ) 2 (E 1 (1 + v 2 ) + E 2 (1 + v 1 ) ) 2 (27) υ eq = υ 2E 1 (1 + v 2 ) + υ 1 E 2 (1 + v 1 ) E 1 (1 + v 2 ) + E 2 (1 + v 1 ) (28) Aby bylo možné těleso zatížit bezrozměrným tlakem P, je nutno ekvivalentní Youngův a modul (28) vynásobit vztahem [6]. R x p h Obr. 4-2 Geometrie ekvivalentního modelu s využitím symetrie a plného modelu s využitím axisymetrie Porovnání výsledků Ověření správného výpočtu deformace ekvivalentního modelu je provedeno porovnáním výsledků z plného modelu a analytickým výpočtem. Výpočet byl

33 Materiál a metody proveden pro kontakt ocelové kuličky s poloměrem 5 mm na ocelovou desku pro různá zatížení. Výsledky jsou znázorněny v následující tabulce, kde je vidět, že ekvivalentní model se shoduje s výsledky analytického výpočtu [37] s chybou nepřesahující 1 %. Zjednodušení pomocí ekvivalentního polovičního modelu tak lze použít pro výpočet EHD mazání. W2 D max = ( E 2 ) r R r 1/3 (29) Tab. 4-1 Srovnání výsledků výpočtu deformace Maximální deformace [µm] Zatížení [N] Ekvivalentní model Plný model Analytický výpočet Obr. 4-3 Napětí von Mises, vlevo plný a vpravo ekvivalentní model Vliv velikosti elementu na elastickou deformaci Časovou náročnost výpočtu značně ovlivňuje jemnost konečno-prvkové sítě. Kritické místo výpočtu EHD mazání je v kontaktní oblasti. Zde musí být velikost elementu co nejmenší. Vně této oblasti velikost elementu již není tak důležitá. Jemnost sítě vně kontaktu ovlivňuje pouze výpočet elastické deformace. V následujících tabulkách je zobrazena maximální deformace tělesa v závislosti na počtu stupňů volnosti. Velikost Obr. 4-4 Extremly coarse a extra fine element 32

34 Materiál a metody elementu uvnitř kontaktu byla pro všechny případy stejná, a to 0,01 mm. Rozdíl v deformaci u liniového kontaktu při použití extrémně hrubé sítě, která má čtyřikrát menší počet stupňů volnosti oproti případu s extra jemnou sítí, je pouze 1,1 %, pro bodový 1,5 %. V tab. 4-2 je znázorněna také časová náročnost pro každé nastavení. Jelikož deformace je počítána znova při každé aktualizaci tlaku, čas by při použití extra jemné sítě enormně narostl. Při výpočtech tak lze použít extra hrubou síť, čímž se značně sníží náročnost výpočtu. Tato závislost se shoduje i s prací Habchi [26]. Tab. 4-2 Vliv počtu stupňů volnosti na výpočet deformace pro liniový kontakt Velikost elementu Stupně volnosti Deformace [-] Extremly coarse Extra coarse Corser Corse Normal Fine Extra fine Tab. 4-3 Vliv počtu stupňů volnosti na výpočet deformace pro bodový kontakt Velikost elementu Stupně volnosti Deformace [-] Čas [s] Extremely coarse Extra coarse Coarser Coarse Normal Fine Implementace modelu pro newtonovské chování maziva Jak již bylo řečeno, model je vytvořen pomocí programu COMSOL, konkrétně ve verzi COMSOL 4.2. Výpočet je proveden pomocí dvou modulů. Pro výpočet deformace pevného tělesa je použit modul Solid mechanics, který je určen pro výpočet běžných úloh v pružnosti a pevnosti. Pro popis toku maziva a vznik hydrodynamického tlaku je použit model PDE, který umožňuje zadávat libovolné diferenciální rovnice. Obě části jsou pak řešeny metodou fully coupled, pro zkrácení výpočetního času. Jelikož je celý problém řešen bezrozměrně, je dobré v programu vypnout podporu jednotek. Dále je do modelu potřeba zadat všechny parametry, proměnné a rovnice v bezrozměrném tvaru, které jsou potřebné pro výpočet. Použitá geometrie těles závisí na řešeném problému. Při výpočtu liniového kontaktu se pro zjednodušení používá 2D geometrie, pro bodový pak 3D geometrie. Další zkrácení náročnosti výpočtu u bodového kontaktu lze docílit při využití symetrie. Případ je tak řešen pouze na jedné polovině kontaktu

35 Materiál a metody Obr. 4-5 Geometrie a konečno prvková síť pro výpočet liniového a bodového kontaktu Solid mechanics Modul Solid mechanics slouží zejména pro výpočet deformační části problému. Hlavním výstupem jsou posuvy tělesa, které poté vstupují do rovnice elastických deformací. V této části se definuje vnější zatížení jako tlak vzniklý od působení maziva na povrch. Zatížení je aplikováno pouze na oblast, kde probíhá mazání. Dále je zde také definována pevná vazba na spodní straně geometrie, pro zamezení pohybu. Obr. 4-6 Strom modulu Solid mechanics PDE V modulu PDE je implementována Reynoldsova rovnice ve formě tzv. slabé formulace neboli weak form. Rovnice tak není řešena v diferenciálním tvaru, ale v integrálním. To má za důsledek snížení výpočetní náročnosti. Diferenciální rovnice se tak integruje přes dané meze. Interval, kde je výpočet proveden se však musí ještě zdiskretizovat. To je v COMSOLu zajištěno pomocí testovacích funkcí. Ty jsou definovány jako polynomy na každém elementu tak, že jsou nenulové na malé skupině prvků a nulové vně této skupiny. Nejběžnější takovou funkcí je Lagrangeova tvarová funkce. Syntaxe takové funkce je pak následují. [38] v = test(u) v = test(u) (30) Po těchto úpravách a následnou integrací po částech má Reynoldsova rovnice tvar: ε P P test dω L ΩL + (ρ H) P test X dω L P f P P test dω L = 0 ΩL ΩL (31) 34

36 Materiál a metody Obr. 4-7 Strom modulu PDE Dle Habchi [30] je dobré rozšířit Reynoldsovu rovnici o stabilizační termíny jako například SUPG, GLS či ID (viz. kap ). Při použití těchto stabilizací se v řešení eliminují oscilace. Rozšířením o izotropickou difuzi rovnice se rovnice změní na následující tvar: ε P P test dω L ΩL + (ρ H) P test X dω L C s h e η P P test dω L ΩL ΩL P f P P test dω L = 0, ΩL (32) kde he je velikost použitého elementu v bezrozměrném tvaru a Cs ladící parametr. Dle Tana [32] je dobré tento parametr volit v rozmezí od (10-5 ;10-7 ). V části PDE je dále nutné definovat okrajovou podmínku, která zaručuje nulový tlak na vstupu a výstupu z kontaktní oblasti. To je učiněno pomocí Dirichletovy okrajové podmínky Global equation Modul pro zadávání obecných rovnic zaručí, že daná rovnice je následně přidána do systému rovnic pro konečné řešení. Této vlastnosti je využito při zadávání rovnice silové rovnováhy, která je pak explicitně spojena s počátečním přiblížením H0. Tím vznikne systém rovnic o třech neznámých, tlaku P, posuvu v a konstanty počátečního přiblížení H Obr. 4-8 Implementace silové rovnováhy 35

37 Bezrozměrný tlak P Materiál a metody Počáteční odhad Pro zajištění rychlejší konvergence a stability výpočtu je nutné správně odhadnout počáteční rozložení tlaku a počáteční přiblížení těles. Počáteční rozložení tlaku je definováno jako Hertzovo rozložení. Jedna z možností odhadu uvádí následující vztah: 2 2 P = if X d < 1, 1 X d, 0 ( dim dim d=1 d=1 ) (33) Odhad tlaku lze vypočítat také z alternativního vztahu: dim 2 P = exp (1 X R X d d=1 ) (34) Symbol XR se obvykle volí jako vzdálenost pravé okrajové podmínky od centra kontaktu. V některých případech druhá rovnice odhadu poskytuje robustnější odhad. Počáteční přiblížení těles H0 lze zvolit z intervalu [ 0.5,0.5] [32]. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Alternativa Hertzovo rozložení ,2 Souřadnice X Obr. 4-9 Profil počátečního odhadu zatížení Materiálové vlastnosti V materiálových vlastnostech stačí definovat pouze hustotu, Poissonovo číslo a Youngův modul pružnosti. Tyto tři vlastnosti jsou aplikovány na celou výpočetní doménu. V modelu není třeba definovat viskozitu či hustotu maziva v materiálové části, neboť tyto vlastnosti jsou již obsaženy v použitých rovnicích. Jelikož je problém řešen bezrozměrně je potřeba použít ekvivalentní Youngův modul a ekvivalentní Poissonovo číslo. Tímto jsme schopni simulovat vlastnosti válečku, příp. kuličky, a základního materiálu. Výpočet tak lze provést pouze na jedné doméně. Nemusí se tak modelovat valící se člen. Rovnice jsou již popsány v kap

38 Materiál a metody 4.4 Analýza parametru Cs Model pro výpočet liniového a bodového EHD kontaktu využívá pro stabilizaci izotropickou difuzi (viz. rov. 22), která odstraňuje oscilace z výsledku. ID však není residuální technika, jako například SUPG či GLS, a tak může ovlivňovat výsledek. Řešení nejvíce ovlivňuje ladící parametr Cs, který je možno zvolit z intervalu (10-4,10-7 ) [32]. Analýza byla provedena pro liniový kontakt, z důvodu menší časové náročnosti výpočtu. Z následujících obrázků je zřejmé, že parametr neovlivňuje maximální tlak ani tloušťku mazací vrstvy. Ovlivňuje však tvar a velikost tlakové špičky. Při porovnání výsledků s prací Tana [32], se jako optimální hodnota jeví parametr Obr Analýza parametru Cs Obr Analýza parametru Cs detail 37

39 Materiál a metody 4.5 Analýza parametru Pf Při výpočtu EHD je nutné Reynoldsovu rovnici omezit pouze pro kladné tlaky tzv. kavitační podmínkou (viz. kap ). V modelu je podmínka implementována přímo do Reynoldsovy rovnice pomocí tvaru P f P. Proměnná Pf je stabilizační faktor a P = min (0, P) zastupuje kavitační podmínku, která omezuje tlaky pouze na kladné hodnoty. Čím je stabilizační faktor větší, tím menší bude výskyt záporného tlaku v oblasti. Jestliže však bude příliš velký, může způsobit nepodmíněnost celého výpočtu. Stabilizační faktor by měl být volen v rozmezí (10 5 ; 10 8 ) [32]. Analýza tohoto faktoru byla opět provedena na liniovém kontaktu. Dle výpočtů parametr nijak zvlášť neovlivňuje řešení. Malé rozdíly při výpočtech pro různé parametry z intervalu lze zaznamenat pouze na výstupní oblasti z kontaktu, kde nejhůře vyšel parametr Obr Analýza parametru Pf 4.6 Rozšíření modelu o nenewtonovské chování maziv Model, který je popsán v předchozích kapitolách předpokládá použití ideálního newtonovského maziva, které však ve skutečnosti neexistuje. Tento model lze tak použít pouze pro maziva, které mají za určitých podmínek, viskozitu zcela nezávislou na smykovém spádu či napětí. Jinak řečeno, závislost smykového napětí na posuvu vrstev maziva vůči sobě je lineární. Ve strojních součástech jako jsou např. kuličková ložiska či ozubené převody dochází za provozu k extrémním podmínkám. Dosahuje se zde vysokých kontaktních tlaků a velkých rychlostních gradientů. Většina maziv tak mají mnohem komplexnější odezvu než jakou popisuje newtonovský model. Použití newtonovského modelu pro návrh parametrů mazaného kontaktu, kde se očekává nenewtonovské chování tak 38

40 Materiál a metody může být velmi nebezpečné, zejména díky nadhodnocené tloušťce mazací vrstvy a nerealistické predikci tření. Pro rozšíření stávajícího modelu je, krom rozdílných rovnic potřeba použít i jiného postupu výpočtu. Pro výpočet je nutné využít iterativní linearizace. Vývojový diagram je znázorněn na obr Řízení tohoto algoritmu však program COSMOL není schopný obstarat. Je tak nutné spolu s COMSOLEM použít také program Matlab, který slouží k řízení algoritmu a také k pomocným výpočtům. Obr Vývojový diagram Rovnice pro nenewtonovský model Oproti newtonovskému modelu se uvažuje změna viskozity pouze s tlakem, příp. s teplotou. Tyto změny popisují rovnice zmíněné v kapitole 2.1. Při výpočtu s nenewtonovskými mazivy je však nutno počítat také se změnou viskozity díky vlivu smykového napětí. Je proto zavést zobecněnou newtonovskou viskozitu, která je funkcí tlaku, teploty a smykového napětí, η = f(p, T, τ). Toto chování lze popsat např. modelem dle Carreu [39]. Model k definování využívá druhého newtonovy oblasti Obr Chování maziva v závislosti newtonovské viskozity na smykovém napětí 39

41 Materiál a metody Modifikované verze tohoto zákona, které jsou vhodné pro použití v řešičích pro EHL mazání, lze najít v práci Baira [40]. Pro potřebu této diplomové práce jsou vhodné vzorce, které jsou funkcí ekvivalentního smykového napětí τe (viz rov 35,36). Rovnice (36) představuje vztah dle Carreu-Yassuda a lze použít v případě kdy μ 2 = 0. η = μ 2 + μ 1 μ 2 [1 + ( τ e G c ) β c ] 1 n c 1 β c (35) 1 1 η = μ 1 [1 + ( τ n c β e c] β c (36) ) G c Ve zmíněných rovnicích Gc představuje kapalné kritické napětí, nc, a a βc jsou pak konstantní parametry pro dané mazivo. Při výpočtech EHL mazání se parametr nc pohybuje v rozmezí od 0,3 až do 0,8. βc lze pak v závislosti na předchozím parametru zapsat jako β c = exp (0,657 0,585 ln(n c )) [41]. newtonovské viskozity μ1 a μ2 se vypočítají jedním ze vztahů uvedených v kap Zbezrozměrnění rovnice 35 se pak provede dle vztahu 28. Ekvivalentně pak i pro rovnici 27. η = η = μ μ 2 + r μ 1 μ 2 1 n c 1 [1 + ( τ (37) e ) β c β c G ] c Pokud známe referenční hodnoty newtonovských viskozit μ1r a μ2r, je výhodné rovnice (35, 36) přepsat do následujícího tvaru. Rovnice pro výpočet zobecněné newtonovské viskozity v rozměrném a bezrozměrném tvaru jsou následující: η = μ 1 μ 2r μ 1r + μ 1 μ 1 μ 2r [1 + ( τ e G c ) β c ] μ 1r 1 1 n c β c (38) η = ( μ 1 μ 2r μ 1r + μ 1 μ 1 μ 2r [1 + ( τ e G c ) β c ] μ 1r 1 1 n c β c ) 1 μ 1r (39) Zmíněné rovnice mají výhodu v tom, že v modelu stačí definovat vztah pouze pro první newtonovskou viskozitu. Druhá je poté vynásobena jen poměrem referenčních hodnot. Jelikož jsou rovnice pro výpočet zobecněné newtonovské viskozity závislé na smykovém napětí τe, je nutné definovat také rovnice pro jeho výpočet. Vztahy jsou následující: 40

42 Materiál a metody τ e = ηγ e (40) τ e = τ zx 2 + τ zy 2 a γ e = γ zx 2 + γ zy 2 (41) γ zx = 1 p η x (z η e η ) + η e e η (u s u p ) γ zx = 1 p η y (z η (42) e η ) e Ve vzorci 31 proměnné us a up představují rychlost kuličky a desky, ηe pak ekvivalentní viskozitu, příp. další integrální tvary, které se vypočtou následujícím způsobem. Souřadnice z je pak místo v mazací vrstvě, kde se smykové napětí počítá. Volí se z intervalu (0,h), příp. (0,z/h) na bezrozměrné doméně. h 1 = dz η e η 0, h 1 η = z e η dz 0 (43) V dalším kroku je nutné definovat zobecněnou Reynoldsovu rovnici, která slouží pro výpočet tlaku v kontaktu, která respektuje nenewtonovské chování maziva. Výhodou této rovnice je skutečnost, že když se nahradí zobecněná newtonovská viskozita viskozitou newtonovskou, rovnice se stane klasickou Reynoldsovou rovnicí použitou pro výpočet v newtonovském modelu. Jedním výpočetním modelem tak můžeme postihnout oba případy, newtonovské i nenewtonovské chování. Její tvar v bezrozměrném tvaru je následující: [ρ H (u s η e (u η s u p ))] (ε P) e = 0 X ε = ρh3 λ ( 1 η η e e η 2 ) e λ = R2 1 μ r p h a 3, 1 η = dz e 0 η 1 1 = Z 1 1 dz, η = Z2 dz η η e 0 η e 0 (44) Pro použití Reynoldsovy rovnice v programu COMSOL je nutné vztah převést do integrálního tvaru a vynásobit testovací funkcí, která slouží k diskretizaci. Tento převod je popsán v následující podkapitole. Pro správný výpočet bylo dále nutno ověřit správnost výpočtu parciálních derivací ve vzorci pro výpočet smykových rychlostí γzx, případně γzy. Jelikož však 41

43 Materiál a metody proměnné extrahované z výpočetního modelu do Matlabu jsou ve formě strukturovaného pole, kde jedna část je tvořena vektorem, který nese hlavní hodnotu proměnné v daném nodu, a další tři části představují souřadnice pro daný bod, a jelikož data nejsou nijak seřazena, je velmi složité tyto derivace v programu Matlab vypočíst. Struktura takové proměnné je znázorněna na obr Tyto parciální derivace je tak nutné vypočíst v programu COMSOL. Obr Struktura extrahované proměnné Zde však nastává problém mezi rozměrnou a bezrozměrnou veličinou. Jelikož celý model je bezrozměrný, parciální derivace tlaku jsou tak počítány nad bezrozměrnou doménou, čímž získáme i bezrozměrný parciální derivace. Pro další výpočty tak bylo nutné ověřit správný převod mezi bezrozměrnou a rozměrnou parciální derivací. Pro ověření tohoto problému byly vytvořeny dva modely. Zbezrozměrnění je ekvivalentní jako u výpočetních modelů. To znamená použití ekvivalentního Youngova modelu a stejného principu zbezrozměrnění rovnic. Jako zatěžující člen byla zvolena rovnice, která představuje velmi podobné rozložení tlaku stejně jako v příp. EHD. Na obr jsou znázorněny zatěžující rovnice, rozložení tlaku a samotná parciální derivace. Porovnáním profilů obou tlaků lze ověřit, že zatěžujeme oba modely stejným rozložením tlaku při použití zbezrozměrnění Hertzovým tlakem. Srovnáním profilů parciálních derivací pak ukazuje, že pro převod bezrozměrné parciální derivace na rozměrnou stačí vztah vynásobit Hertzovým tlakem, který je vydělený poloměrem Hertzova kontaktu. Tímto vynásobením lze pak obdržet identické profily. 42

44 Materiál a metody Obr Ověření převodu parciálních derivací z bezrozměrné domény na rozměrnou 4.7 Implementace modelu pro nenewtonovské chování maziva Jak již bylo zmíněno, při výpočtu se využívá iterativní linearizace dle vývojového diagramu znázorněným na obr Z tohoto důvodu nelze pro výpočet použít pouze program COMSOL, jelikož neumožňuje řídit výpočet dle vlastního algoritmu. Pro řízení je tak nutné použít externí software. Jako nejideálnější se jeví použít Matlab, který dokáže pomocí virtuálního serveru vytvořeným modulem COMSOL LiveLink for Matlab komunikovat přes port s COMSOLEM. Modul je součástí balíku programů COMSOL Multphysics. Ten tak díky této utilitě dokáže otevírat, parametrizovat, řídit atd. výpočetní modely vytvořené v COMSOLU. Výpočet tak můžeme rozdělit na dvě části, hlavní výpočtovou a část řídící s dílčími výpočty Hlavní výpočtová část Hlavní výpočtová část je vytvořena v prostředí programu COMSOL. Tato pasáž slouží k výpočtu tlaku, tloušťky a deformace metodou fully coupled a její struktura je z větší části stejná, jako u výpočtového modelu pro newtonovská maziva. Hlavní rozdíl mezi modely tvoří jiné rovnice, definování počátečního řešení a také počet iterací potřebných k dokončení výpočtu. Model je krom těchto změn identický. Detailní tvorba modelu tak není v této kapitole zmíněna, protože tato část je již popsána v kapitole 4.3. Při tvorbě modelu tak lze postupovat tak, že se duplikuje model

45 Materiál a metody pro newtonovský EHD kontakt, ve kterém se pouze nahradí rovnice a změní se potřebné nastavení postupu výpočtu. Rovnice potřebné k výpočtu EHD kontaktu pro nenewtonovská maziva jsou pospány v kapitole Hlavní změnu tvoří rovnice pro výpočet viskozity a Reynoldsova rovnice. Do modelu je nutné přidat vzorec pro výpočet zobecněné newtonovské viskozity dle rov. 35 příp. 36. Tyto rovnice k výpočtu potřebují znát i klasickou newtonovskou viskozitu, tu lze získat pomocí jedné z rovnice v kap Rovnice však v této části nejsou fyzicky definovány. Výpočet bezrozměrných i rozměrných viskozit je proveden v části, která využívá Matlab. Do hlavní výpočtové části jsou pak hodnoty přeneseny pomocí interpolačních funkcí. Proměnné jsou tak nalinkovány na výsledky těchto funkcí. Další změnou je Reynoldsova rovnice (44). Tu je nutno ještě převést do integrálního tvaru, aby ji bylo možné implementovat pomocí modulu PDE. Po převodu je její tvar následující: ε P P test dω L ΩL + (ρ H (u s η e (u s u p ))) P test X dω L = 0 ΩL Stejně jako v přechozím případě, do rovnice je nutno přidat kavitační podmínku, která omezí řešení pouze na kladné tlaky a stabilizaci pomocí isotropické difuze. Finální tvar je pak: η e (45) ε P P test dω L ΩL + (ρ H (u s η e (u s u p ))) P test X ΩL η e dω L (46) C s h e η P P test dω L P f P P test dω L = 0 ΩL ΩL Výpočet se dále nastaví tak, aby se provedla pouze jedna iterace. Splnění podmínky konvergence pak hlídá část vytvořená v Matlabu. Pokud podmínka není splněna, výpočet jedné iterace v programu COMSOL je opakovaně spuštěn. V případě newtonovského modelu se jako počáteční podmínky volilo Hertzovo rozložení tlaku, nulové počáteční přiblížení H0 a nulová deformace. Pro počáteční podmínky této části jsou použity výsledky z newtonovského EHD mazání. Ty jsou zapsány v textových souborech a do modelu se přenáší pomocí interpolačních funkcí. V průběhu výpočtu jsou tyto soubory přepisovány výsledky z předchozí iterace Řízení výpočtu K řízení výpočtu slouží script napsaný v programu Matlab. Komunikace mezi oběma částmi je umožněna díky modulu COMSOL LiveLink for Matlab. Kód neslouží jen pro řízení, ale také se v něm provádí pomocné výpočty. Jedná se zejména o výpočet smykového napětí a aktualizace zobecněné viskozity s novým hodnotami proměnných. První část scriptu slouží k získání počátečního řešení pro první iteraci výpočtu v programu COSMOL. Extrahování dat z výpočetních modulů je provedena pomocí dvou příkazů mphevaluate a mpheval. Prvním příkazem se dají získat zejména okrajové podmínky, které jsou definovány v časti Parametry. Jedná se zejména např. o referenční viskozity, maximální Hertzův tlak, poloměr kontaktu, zatížení atd.. Druhý příkaz pak slouží k získání dat z proměnných definovaných na určité doméně (tlak, deformace, viskozita,). Po získání potřebných dat je z newtonovské viskozity 44

46 Materiál a metody vypočítáno smykové napětí. To je nutné znát pro výpočet zobecněné newtonovské viskozity. Všechny potřebné údaje jsou pak zapsány do textových souborů, které jsou nalinkovány s výpočetní částí v COMSOLU. Z dat jsou pak pomocí interpolační funkce získány potřebné profily pro počáteční řešení. Jedná se hlavně o tlak, deformaci a smykové napětí. Počáteční přiblížení, je pak zapsáno do výpočetní části příkazem param.set. Druhá část kódu pak tvoří cyklus while. Cyklus má za úkol spouštět výpočet po každé provedené iteraci, aktualizovat hodnoty (viskozitu, smykové napětí) a kontrolovat konvergenci. Podmínka konvergence je splněna, když maximální rozdíl tlaku v jednotlivých nodech mezi dvěma po sobě jdoucími iteracemi je menší než Obr Kód pro uložení dat proměnné do textového souboru Algoritmus výpočtu Výpočet začíná získáním počátečních hodnot (rozložení tlaku, deformace, smykového napětí a počátečního přiblížení), z modelu pro newtonovské chování maziva za stejných okrajových podmínek, jako pro výpočet mazání bodového kontaktu při použití nenewtonovského maziva. Tyto počáteční hodnoty jsou v COMSOLU nastaveny jako počáteční řešení. Následuje provedení jedné iterace v programu COMSOL. Vypočtené hodnoty se poté nahrají do programu Matlab. Dále se provede výpočet nového smykového napětí a zaktualizuje se zobecněná newtonovská viskozita. Nově vypočtené hodnoty pak slouží jako počáteční řešení pro další iteraci. Po každé aktualizaci hodnot se zkontroluje konvergence. Pokud podmínka není splněna výpočet se opakuje. Celý algoritmus je znázorněn na obr

47 Výsledky 5 VÝSLEDKY V následující kapitole jsou popsány výsledky pro stacionární liniový a bodový kontakt při použití newtonovských a nenewtonovských maziv. Výsledky jsou dále srovnány s výsledky, které byly publikovány v článcích zabývajících se stejnou problematikou. Tímto porovnáním se ověří výpočetní model a může se tak přistoupit k porovnání výsledků s experimenty či dalšímu zkoumání. 5.1 EHD mazání liniového kontaktu pro newtonovská maziva Pro výpočet stacionárního EHD mazání liniového kontaktu byla použita práce Tan [32], ve které jsou popsány okrajové podmínky a vyčíslené výsledky výpočtů. Díky tomu lze model snadno verifikovat porovnáním dosažených výsledků v práci a výsledků vypočtených ve vlastním modelu. Tab. 5-1 Okrajové výsledky pro výpočet liniového kontaktu Youngův modul E 200 GPa Poissonovo číslo υ 0,285 - Poloměr kontaktu R x 0,001 m Zatížení w 50 N/mm Průměrná rychlost u e 0,2 m/s Referenční viskosita μ r 5722,6 mpa.s Referenční tlak p MPa -1 Tlakově viskéozní koeficient α 2,23e-8 Pa Hustota ρ 0 8,58e2 kg/m 3 Roelandův tlakový parametr z 0,619 - Tab. 5-2 Validace výsledků liniového kontaktu s prací Tana [32] Tan Vlastní Odchylka [%] Max. tlak Výška tlak špičky Min. tloušťka mazací vrstvy Centrální tloušťka mazací vrstvy

48 Výsledky Obr. 5-1 Výsledek pro okrajové podmínky z práce Tan [32], ph=0.36 GPa V tabulce 5-2 jsou znázorněny výsledky výpočtu pomocí současného modelu, které jsou následně porovnány s výsledky z práce Tana [32]. Výsledek maximálního bezrozměrného tlaku odpovídá hodnotě tlaku ze zmíněné práce. Výška tlakové špičky se liší o 2 %. Odchylky tloušťky mazací vrstvy nepřesahují 0,6 %. Rozdíl v hodnotách může být způsoben použitím jiné velikosti elementu nebo jinou hodnotou podmínky konvergence. Výpočet s tímto nastavením trval 89 s. Další verifikace byla proveden pomocí výsledků z práce Habchi [42]. Pro porovnání bylo provedeno několik výpočtů s různými M L parametry. Srovnávána je pak centrální a minimální tloušťka mazací vrstvy. Hodnoty dosahují dobré shody. Pro centrální tloušťku je odchylka zhruba do 1 %, pro minimální tloušťky maziva je rozdíl do 0,1 %. Tab. 5-3 Porovnání výsledků liniového kontaktu s Habchi [42] Ph [GPa] M L Hc Hmin Hc Habchi Hmin Habchi Rozdíl Hc [%] Rozdíl Hmin [%] 0, ,0251 0,0214 0,0252 0,0214 0,06 0,05 0, ,1809 0,1552 0,1805 0,1551 0,20 0,06 1, ,0145 0,0129 0,0144 0,0129 0,83 0,05 47

49 Výsledky 5.2 EHD mazání bodového kontaktu pro newtonovská maziva Upravením modelu pro liniový kontakt lze snadno vytvořit výpočetní model pro kontakt bodový. Změnit se musí použitá geometrie a dále se do rovnic, které obsahují souřadnice, přidá další rozměr, protože bodový kontakt se počítá na 2D doméně, kdežto liniový na 1D. Pro verifikaci modelu byly použity hodnoty ze dvou prací Fillota [30] a Ficzi [36]. V práci Fillota jsou však výsledky zobrazeny pouze graficky a nejsou vyčísleny. Ověření tak bylo provedeno pomocí druhé práce, která se zabývá tvorbou výpočetního modelu EHD mazání pomocí metody MLMI (kap. 2-4). Tab. 5-4 Okrajové podmínky pro výpočet dle Fillota Poloměr kuličky R m Rychlost kuličky UB 1 m/s Rychlost základny UD 1 m/s Zatížení 20 N Youngův modul E 210 GPa Poissonovo číslo υ 0.3 Počáteční viskozita η Pa.s Tlakově viskózní koeficient α 15 GPa -1 Tab. 5-5 Vlastní výsledky pro bodový kontakt Maximální tlak Min. tloušťka mazací vrstvy Centrální tloušťka mazací vrstvy Obr. 5-2 Výsledky bodového kontaktu Fillota [30] 48

50 Výsledky Obr. 5-3 Vlastní výsledek pro okrajové podmínky z práce Fillot V práci Ficzi [36] se uvažuje kontakt ocelové kuličky se skleněnou deskou. V následujících tabulkách jsou porovnány hodnoty centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy z vlastního modelu a z modelu vytvořeném pomocí MLMI. Výpočty byly provedeny pro dvě různá zatížení, a to 9 N a 27 N, s různými středními rychlostmi povrchů. Odchylka vypočtených výsledků od referenčních je pak vyjádřena v procentech. Porovnání hodnot pro obě varianty je znázorněno v tabulkách 5-5 a 5-6. Největší odchylky 11,7 % bylo dosaženo při zatížení 27 N a rychlosti 0,01 m/s. S rostoucí rychlostí však odchylky klesají. U první varianty, kde je zatížení menší, odchylky s jednou výjimkou nepřesahují 0,55 %. U druhé varianty jsou díky většímu zatížení odchylky větší, avšak u centrální tloušťky mazací vrstvy nepřesahují 4 %. Tab. 5-6 Porovnání hodnot bodového kontaktu s prací Ficza, L=9N Zatížení 9N Ficza Odchylka rychlost [m/s] hc [nm] hm [nm] hc [nm] hm [nm] hc [%] hm [%] 0,01 59,441 28,788 59,5 28,3 0,10 1,70 0,02 95,022 49,467 95,1 49,4 0,08 0,14 0,04 151,19 86, ,3 85,8 0,07 0,46 0,08 239,08 148,07 239,3 147,6 0,09 0,32 0, ,82 208, ,8 0,06 0,24 0,2 432,62 296,24 432,9 295,8 0,06 0,15 Tab. 5-7 Porovnání hodnot bodového kontaktu s prací Ficza, L=27N 49

51 Výsledky rychlost [m/s] Zatížení 27N Ficza Odchylka hc [nm] hm [nm] hc [nm] hm [nm] hc [%] hm [%] 0,01 49,019 21,535 50,7 19 3,43 11,77 0,02 82,028 39, ,2 2,40 10,36 0,04 134,91 68, ,2 64,2 1,70 6,14 0,08 219,24 118,34 221,8 114,5 1,17 3,24 0, ,13 170,32 300,9 165,4 0,93 2,89 0,2 410,35 247,64 413,4 242,4 0,74 2,12 0,3 538,66 340,28 541,8 334,6 0,58 1,67 0,4 651,99 425,26 655,3 419,4 0,51 1, EHD mazání bodového kontaktu pro nenewtonovská maziva Verifikace modelu pro výpočet EHD mazání bodového kontaktu s nenewtonovskými mazivy byla provedena srovnáním výsledků z práce Habchi [6]. Výpočty byly provedeny pro dvě maziva Squalene + PolyIsoPrene (SQL+PIP) a PolyAlphaOlefin (PAO 650). První mazivo zastupuje motorové oleje, druhé pak vysoce viskózní maziva. Při výpočtech byl uvažován kontakt mezi ocelovou kuličkou a skleněnou deskou. Pro každé mazivo se provedly výpočty s různými středními rychlostmi povrchů s měnícím se SRR. Tab. 5-8 Okrajové podmínky pro verifikaci nenewtonovského modelu SQL+PIP PAO 650 F [N] μ 1r [Pa.s] 0,0705 1,42 μ 2r [Pa.s] 0, G c [MPa] 0,01 0,031 n c 0,8 0,74 β c 2, B 4,2 4,422 R 0 0,658 0,6694 K 0' 11,29 12,82 K 0 [GPa] 1, ,4252 T=T r=t 0 [K] Ve zmíněné práci jsou výsledky prezentovány pouze pomocí grafů. Verifikace je tak proveden překrytím referenčního grafu s grafem vlastních výsledků. Vyčíslené hodnoty centrální a minimální tloušťky maziva jsou pak znázorněny v tab

52 Výsledky Tab. 5-9 Vyčíslené výsledky pro SQL+PIP 1,47 m/s 0,74 m/s SRR hc [nm] hm [nm] SRR hc [nm] hm [nm] 0 381,07 237, ,54 145,98 0,1 378,92 237,91 0,2 245,71 146,33 0,2 377,1 237,49 0,4 242,98 144,88 0,4 374,03 236,24 0,6 241,24 143,85 0,6 373,56 236,12 0,99 238,34 141,32 0,99 366,94 230,84 Obr. 5-4 Porovnání výsledků, černobíle značení jsou referenční výsledky, barevné pak výsledky vlastní, mazivo SQL+PIP Další výpočty byly provedeny pro materiál PAO650. Okrajové podmínky jsou znázorněny v tab Simulace byla provedena pro střední rychlost povrchů 0.13 m/s. Na rozdíl SQL+PIP má toto mazivo nulovou druhou newtonovskou viskozitu. Způsob porovnání výsledků je stejné jako v předchozím případě. Tab Vyčíslené výsledky pro PAO650 0,13 m/s SRR hc [nm] hm [nm] ,52 0,1 428,68 264,32 0,3 419,01 260,83 0,5 413,04 257,97 51

53 Výsledky Stejně jako u předchozího případu, sloučením výsledků vypočtených s referenčními, (obr. 5-6) lze porovnat hodnoty z obou modelů. Jelikož se výsledky pro obě maziva shodují s referenčními hodnotami, lze výpočetní model EHD mazání pro nenewtonovská maziva považovat za verifikovaný. Obr. 5-5 Porovnání výsledků, černobíle značení jsou referenční výsledky, barevné pak výsledky vlastní, mazivo PAO Porovnání výpočtu, experimentu a predikčních vztahů Po úspěšné verifikaci výpočtových modelů bylo dalším úkolem porovnat data z výpočtů s experimentálně naměřenými daty a s hodnotami tlouštěk mazací vrstvy odhadnutými pomocí predikčních vztahů. V zájmu sledování byla jednak odchylka hodnot, a dále také přímky závislosti tloušťky mazací vrstvy na střední rychlosti povrchů při nulovém skluzu SRR. Jelikož všechny rovnice byly vyjádřeny jako mocninné, porovnávala se zejména jejich konstanta a exponent. Pro tento experiment se použila dvě maziva, která mají newtonovské vlastnosti (na vtoku do kontaktu za podmínek rozhodujících pro formování filmu), Squalene (SQL) a tri(2- ethylhexyl)trimellitate (TOTM). Dalším důvodem volby těchto maziv byla skutečnost, že jejich reologické vlastnosti jsou velmi dobře popsány v článcích [44, 45]. Vlastnosti maziva v článcích jsou přesně popsány pomocí parametrů modelu volných objemů dle Tait-Doolittla (viz. kap. 2.1). Jelikož výpočet s tímto modelem nebyl verifikován, pro ověření správnosti, byly provedeny kontrolní výpočty, které se porovnaly s výsledky získaných z výpočetního modelu, který využívá rovnice změny viskozity a hustoty maziva s tlakem dle Dowson-Higginsona a Roelanda. Z obr. 5-7 je zřejmé, že z obou modelů byly dosaženy stejné výsledky. 52

54 Tloušťka mazací vrstvy (nm) Výsledky Střední rychlost povrchů (m/s) hc Free volume hm Free volume hc Roeland+D&H hm Roeland+D&H Obr. 5-6 Srovnání výpočtů s různými modely pro změnu viskozity a hustoty s tlakem Tab Parametry maziv SQL, TOTM SQL TOTM K 0' [Pa] 10,85 10,158 K 00 [Pa] 8,82E+09 7,30E+09 β k [1/K] 0, ,00494 B 4,256 3,4439 R 0 0,6683 0,7146 ε c [10-4] ,56 a v [1/ C] 0, , Obě varianty experimentu platí pro palcovou ocelovou kuličku, která je v kontaktu se skleněnou deskou. Okrajové podmínky jsou znázorněny v tab Pro lepší orientaci v textu jsou ve zmíněné tabulce experimenty očíslovány. Výsledky páté varianty jsou pouze ze simulací, pro tyto okrajové podmínky měření nebylo provedenp. Tab Okrajové podmínky experimentu Č. exp mazivo SQL SQL TOTM TOTM TOTM Ep [Gpa] 81 Es [Gpa] 206 np 0,206 ns 0,3 T [ C] L [N] ph [GPa] 0,5 0,8 0,5 0,8 0,2 u [m/s] 0,4-3,95 0,05-1,4 0,05-0,15 SRR 0 53

55 Výsledky Okrajové podmínky byly voleny tak, aby M L parametry, které charakterizují daný případ, měly co největší rozptyl a byla tak popsána velká oblast, na které jsou definovány predikční vztahy pro odhad centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy. Některé vztahy popisují pouze úzkou oblast, některé naopak velkou. Touto variabilitou se tak dosáhne rozmanitých výsledků, které pak mohou být konfrontovány s daným vztahem z hlediska odchylky dané predikce. Zakreslení M L parametrů z experimentů do mapy, která popisuje použitelnost predikčních vztahů pro určitou oblast, jenž byl publikován v práci Wheelera [46] je znázorněno na obr Obr. 5-7 Oblast použitelnosti predikčních vztahů proložená M L parametry z experimentů 54

56 Výsledky Exp.1, SQL 26 N Exp.2, SQL 112 N Exp.3, TOTM 26 N Exp.4, TOTM 112 N Obr. 5-8 Porovnání hodnot centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy simulace s experimentem, grafy v pořadí dle čísla experimentu Na výše uvedených grafech (obr. 5-9) jsou porovnány hodnoty centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy simulace s experimentem. Pro vyjádření míry shody, byly data proloženy přímkou ve formátu f(x) = ax b. K posouzení shody 55

57 Výsledky hodnot jsou pak porovnávány proměnné a a b. Exponent b je však z experimentálních dat velmi těžké definovat, hlavně z důvodu mírné sinusoidní oscilaci ve výsledcích. Z tohoto důvodu je lepší exponent převzít z výsledků simulace, kde je považován, oproti experimentu, za přesněji určený. Porovnání směrnice přímky a se stejnými exponenty b je znázorněno v následující tabulce. Tab Porovnání koeficientů regresní přímky simulace experiment odchylka [%] č. exp. a b a b* a hc 1,7926 0,677 1,702 0,677 5,32 hm 0,4262 0,7932 0,3771 0, ,02 hc 1,8898 0,6707 1,751 0,6707 7,93 hm 0,4004 0,8006 0,3609 0, ,94 hc 6,7804 0,6718 6,762 0,6718 0,27 hm 1,3786 0,8387 1,365 0,8387 1,00 hc 5,172 0,699 4,938 0,699 4,74 4 hm 0,9693 0,8525 0,8594 0, ,79 * Hodnoty převzaty ze simulace Hodnoty získané ze simulace a experimentu vykazují poměrně dobrou shodu. Obecně platí, že menší odchylky jsou u centrální tloušťky mazací vrstvy, větší pak u minimální. Určení minimální tloušťky je složitější hlavně z hlediska toho, že se jedná o singulární bod. Hodnota pak může být ovlivněna nerovností povrchu. Dalším krokem experimentu bylo porovnání vypočtených hodnot s predikčními vztahy. Pro odhadnutí centrální a minimální tloušťky existuje mnoho vztahů. Pro účely zmíněného experimentu byly vybrány vztahy Hamrock & Dowson [35], Nijenbanning [47], Evans & Snidle [48], Chittenden [11] a Masjedi & Khonsari [49]. Rovnice Evans & Snidle slouží k odhadu tloušťky maziva bodového kontaktu, ostatní pak mohou být použity pro bodový i eliptický. Vztahy pro tyto rovnice jsou uvedeny v příloze 3. Pro vyjádření míry shody byly vytvořeny grafy, kde se procentuálně porovnává odchylka centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy od referenčních hodnot simulace. Z těchto grafů pak lze vyčíst v jaké oblasti predikční vztah vykazuje největší odchylky, nebo naopak nejmenší. Dalším kritériem je pak porovnání odchylky směrnic a exponentů regresní přímky opět vůči simulaci. Tyto data jsou pro lepší přehlednost textu uvedeny v příloze 2. Aby se dala posoudit míra přesnosti predikčního vztahu v obecném měřítku, pro všechny hodnoty byl vytvořen graf (obr. 5-10), který pro každý experiment znázorňuje průměr kvadratický odchylek jednotlivých vztahů vůči hodnotám simulace. V tab jsou pak znázorněny procentuální odchylky kvadratických průměrů koeficientů regresní přímek. 56

58 Výsledky Obr. 5-9 Znázornění kvadratických průměrů odchylek centrální a minimální tloušťky mazací vrstvy pro každý predikční vztah Tab Odchylka kvadratických průměrů koeficientů regresní přímky Odchylky [%] hc hm a b a b Hamrock & Dowson 15,1 2,6 183,8 16,0 Evans & Snidle 51,4 8,2 95,2 12,2 Chittenden 12,0 2,9 179,2 16,0 Masjedi & Khonsari 19,2 2,9 119,3 12,4 Nijenbanning 21,7 4,6 36,6 6,8 57

59 Diskuze 6 DISKUZE 6.1 Verifikace modelů V této diplomové práci vznikly celkem tři výpočetní modely pro řešení EHD mazání, liniový a bodový pro řešení EHD mazání za použití newtonovských maziv, dále pak bodový pro nenewtonovká maziva. Aby bylo možné modely používat pro další výzkum, bylo nutné je verifikovat. Ověření modelů proběhlo ve všech případech pomocí výsledků obdržených z publikovaných prací, které se zabývají stejnou tématikou. První srovnání výsledků modelu liniového kontaktu, bylo provedeno pomocí práce Tana [32]. Srovnávány byly především hodnoty minimální a centrální tloušťky mazací vrstvy, ale také např. výška tlakové špičky či maximální tlak. Maximální odchylka vykazovala přibližně 2% chyby, a to u výšky tlakové špičky. Rozdíl hodnot tloušťky maziva byl menší jak 1 %. Další srovnání bylo provedeno dle práce Habchiho [42]. Zde odchylky pro centrální tloušťku nepřesáhly 1 %, pro minimální tloušťky maziva byl rozdíl menší jak 0.1 %. S rostoucím zatížením, díky zvětšující se náročnosti výpočtu, odchylky ve výsledcích mírně narůstají. Pro liniový kontakt se podařilo úspěšně dokončit výpočet až do tlaku 1,69 GPa. Při vyšších tlacích se v řešení již začaly projevovat velké oscilace a výpočet začal být nestabilní. To je způsobeno selháním stabilizace pomocí ID. Vyřešení problému je nastíněno v kap Ověření modelu pro bodový EHD kontakt proběhlo dle práce Fillota [30]. Zde však mohlo být ověření pouze grafické. Číselné výsledky tak byly porovnány s prací Ficza [36]. Výpočet byl proveden pro dvě zatížení. Pro každý případ se pak ještě měnily střední rychlosti povrchů. Pro centrální tloušťku mazací vrstvy bylo dosaženo maximální odchylky 3,5 %, pro minimální pak 11,7%. Těchto maximálních odchylek bylo dosaženo střední rychlost 0,01 m/s a zatížení 27 N. S rostoucí rychlostí povrchů se odchylky snižují. Odchylky ve výsledcích mohou být způsobeny např. již zmíněnou stabilizací pomocí ID či jinou hodnotou konvergenčního kritéria. Určitý vliv pak mohou mít rozdílné metody pro výpočet. Autorka zmíněné práce pro tvorbu modelu používá metodu MLMI, kdežto v této práci je využita metoda Full system approach. Zmíněné metody používají rozdílný druh sítě. Metoda MLMI používá regulérní síť, kdežte vytvořený model používá síť z trojúhelníků a tetraedrů. Verifikace pro nenewtonovský model byla provedena pomocí výsledků z práce Habchiho [6]. Srovnávaly se výpočty pro dvě různá maziva, SQL+PIP a PAO650, s různými středními rychlostmi a různým SRR. Jelikož výsledky v práci nejsou vyčísleny, pro ověření správnosti byly překryty grafy výsledků referenčních a vypočtených. Vypočtené výsledky kopírují referenční profily v grafu. Vypočtené hodnoty se tak dají považovat za ověřené a správné. Z výsledků lze vysledovat klesající hodnoty tlouštěk maziv s rostoucím SRR. Tento jev, typický pro nenewtonovská maziva, je způsoben nárůstem smykového napětí v mazivu díky nárůstu SRR. Porovnají-li se výsledky z nenewtonovského a newtonovského modelu pro stejné okrajové podmínky, je zjevné, že výsledky z newtonovského modelu, kde se neuvažuje vliv smykového řídnutí na tloušťku maziva, jsou značně nadhodnoceny. V praxi je tak lépe pro maziva, u kterých se mění viskozita v závislosti na smykovém napětí, použít model pro nenewtonovská maziva, který tuto vlastnost zohledňuje. Dle výše uvedených výsledků se modely dají považovat za ověřené, avšak během výpočtů se ukázalo, že stabilizace ID selhává a částečně ovlivňuje řešení při 58

60 Diskuze výpočtech. Při nastavení výpočtu je tak nutné brát zřetel na to, jak velký ladicí parametr Cs pro daný výpočet zvolit. 6.2 Stabilizace Ve všech modelech se pro odstranění oscilací ve výsledku používá stabilizace pomocí ID. Jak se však ukázalo, ID při nesprávném nastavení ladicího parametru Cs buď selhává a výpočet se stává nestabilní, nebo významně ovlivňuje řešení. Toto chování se však projevuje až při výpočtech, kde Hertzův tlak dosahuje 1,6 GPa pro liniový a přibližně 0,8 GPa pro bodový. Při výpočtech za těchto tlacích je dobré nejdříve provést analýzu toho, jak velký parametr pro dané nastavení zvolit. Dle rešerše je možné parametr volit v rozmezí (10-4,10-7 ). Na obr. 6.1 je vyobrazeno, jak parametr ovlivňuje oscilace, průběh tlaku a tloušťku mazací vrstvy. Jedná se o výpočet pro maziva TOTM při Hertzově tlaku 0,8 GPa a střední rychlosti 1 m/s. Pokud je parametr příliš velký (10-4 ), z řešení kompletně zmizí oscilace. Jenomže parametr je natolik dominantní, že úplně potlačuje jakýkoliv vznik tlakové špičky. Průběh tlaku dále přestává být symetrický kolem střední osy v maximálních hodnotách, čímž je ovlivněn výpočet tloušťky mazací vrstvy. Na druhou stranu, pokud je příliš malý (10-8 ), v řešení se začínají objevovat oscilace. Při výpočtech je tak nutné volit takovou velikost ladicího parametru Cs, která neovlivňuje řešení a zároveň dostatečně potlačuje oscilace. Výše zmíněné chování je způsobeno hlavně tím, že ID není residuální technika. Tím pádem může ovlivňovat řešení. Habchi [6] ve své práci uvádí další dvě metody, které je možné použít pro stabilizaci Streamline Upwind Petrov Galerkin method (SUPG) a Galerkin Least Squares method (GLS). Tyto metody mají residuální charakter a neovlivňují tak řešení. Při pokusu o jejich implementaci se však nepovedlo dosáhnout odpovídajících výsledků. Aplikováním těchto metod, může být otázkou dalšího vývoje. Bylo by tak možné rozšířit rozsah provozních podmínek, které lze simulovat. 6.2 Cs=1e-4 Cs=1e-5 Cs=1e-6 Cs=1e-8 Obr. 6-1 Vliv parametru Cs na výsledek při tlaku 0,8 GPa 59