Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Transkript

1 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny A prázdná množina množina A obsahuje prvky a 0,.., a n (neuspořádaná) dvojice prvků a, b množina A = množině B množina A je různá od množiny B (množina A obsahuje alespoň 1 prvek který není v B, nebo naopak B obsahuje alespoň jeden prvek, který není v A) { a, b = { c, d (( a = c) ( b = d )) (( a = d ) ( b = c)) množiny (dvojice) se rovnají, rovnají-li se jejich prvky 1.2 atematická logika Výrok je tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho pravdivosti. Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li o formuli pravdivou. Logické operace a logické spojky: logická zapisuje čteme česky operace me negace α non α není pravda, že α α není pravdivé α neplatí disjunkce α β α vel β α nebo β konjunkce α β α et β α a β α a současně β implikace α β α implikuje β jestliže α, potom β α je postačující podmínka pro β β je nutná podmínka pro α ekvivalence α β α je ekvivalentní β α právě tehdy, jestliže β α tehdy a jen tehdy, jestliže β α je nutná a postačující podmínka pro β

2 Význam logických spojek: α α α β α β α β α β α β Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu: (i) Každý výrok je formule výrokového počtu. (ii) Jsou-li α a β formule výrokového počtu, potom α, α β, α β, α β a α β jsou rovněž formule výrokového počtu. (iii) Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i) a (ii). ZNAČENÍ. Formulace výrokového počtu budeme značit malými písmeny malé řecké abecedy α, β,γ, δ. Poznámka. Všimněme si, že implikace α β je pravdivá mj.vždy, když je výrok α nepravdivý Definice: Tautologie (výrokového počtu) je každá formule výrokového počtu, která je vždy pravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků) Věta (o tautologiích výrokového počtu): Nechť α, β jsou formule výrokového počtu, potom formule (i) α α (zákon vyloučeného třetího), (ii) (α β) ( β α) (pravidlo kontrapozice), (iii) (α β) ( α β) (1. de organovo pravidlo), (iv) (α β) ( α β) (2. de organovo pravidlo), (v) (α β) (α β) a (vi) (α β) ((α β) (β α)) jsou tautologie. Predikátový počet Definice: Nechť je množina. Řekneme, že α ( je predikát s volnou proměnnou x na množině, jestliže platí: dosadíme-li za x v α ( libovolný prvek c množiny, potom α (c) je výrok (ať již pravdivý nebo nepravdivý). Poznámka. Někdy se místo termínu predikát s volnou proměnnou používá termín výroková forma nebo

3 podmínka s volnou proměnnou či unární predikát. ZNAČENÍ. Predikáty budeme značit také malými písmeny malé řecké abecedy α, β,γ,.. s vyznačením proměnné nebo proměnných. Je-li α ( predikát s volnou proměnnou na množině ; symbolem { x; x α( prvků x z, pro které je α ( pravdivé. Uvažujeme-li množinu { x; x α( s. Tyto skutečnosti lze vyjádřit kvantifikátory: Jestliže { x; x α( označíme množinu všech, zajímá nás, kdy je tato množina prázdná, neprázdná, kdy je totožná =, potom tuto skutečnost zapíšeme ( α( ) z množiny je α ( pravdivé. Symbol je obecný (nebo univerzální nebo velký) kvantifikátor. Jestliže { x; x α( θ, potom tuto skutečnost zapíšeme ( α( ) a čteme pro všechna x a čteme existuje (alespoň jedno) x z množiny takové, že je α ( pravdivé nebo pro některé x z množ. je α ( (pravdivé ). Symbol je existenční (nebo malý) kvantifikátor Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule predikátového počtu: (i) Každý predikát je formule predikátového počtu. (ii) Jsou-li α a β formule predikátového počtu, potom α, α β, α β, α β a α β jsou rovněž formule predikátového počtu. (iii) Je-li α formule predikátového počtu a x proměnná, potom predikátového počtu. α a α x x jsou rovněž formule (iv) Všechny formule predikátového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i), (ii) a (iii). Poznámka. uvažujeme-li formuli φ (resp.φ) predikátového počtu takovou, že ϕ = α (resp. formuli φ = α ), kde α je formule predikátového počtu, potom řekneme, že proměnná x je ve formuli φ (resp.φ) vázaná. Vyskytuje-li se proměnná ve formuli predikátového počtu a není vázaná kvantifikátorem, potom se nazývá volná proměnná v této formuli Definice: Tautologie (predikátového počtu) je každá formule predikátového počtu, která je vždy pravdivá Věta (o tautologiích predikátového počtu): Nechť α ( je predikátová formule na množině. Potom formule (i) (α () (α (),

4 (ii) (iii) (α () (α () (α (), (α (), (iv) (α () jsou formule predikátového počtu. (α () Poznámka. Ve formulích predikátového počtu záleží na pořadí kvantifikátorů. Architektura matematiky axióm: prvotní zákon, který nelze dokázat věta: odvodíme je z axiomů a již odvozených zákonů užitím pravidel matematické logiky, nedílnou součástí každé věty je její důkaz definice: vymezení obsahu a rozsahu nového pojmu Poznámka. Z logického hlediska má každá věta tvar implikace nebo ekvivalence. Nechť α β je věta, potom α jsou předpoklady (nebo předpoklad) věty a β nazýváme závěr (nebo tvrzení) věty. Slovně takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů: Nechť α. potom β. Jestliže α, potom β. Když α, pak β. 1.3 nožinové operace Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je podmnožina (nebo část) množiny B, jestliže (B). A ZNAČENÍ. Symbolem A B (nebo A B) označíme tvrzení množina A je podmnožina množiny B. Symbol (i symbol ) zpravidla nazýváme inkluze. Poznámka. Někdy se pro inkluzi používá symbol nebo Definice: Nechť A a B jsou množiny. Potom (i) sjednocení množin A a B je množina A B = {x; A B (ii) průnik množin A a B je množina A B = {x; A B (iii) rozdíl množin A a B je množina A B = {x; A x B A B A B

5 A B B A Poznámka. (o vlastnostech množinových operací). Nechť A, B a C jsou množiny. Potom (i) A B A B = A A B = B A B =, (ii) A B = B A a A B = B A, (iii) A B = B A A = B, (iv) A (B C) = (A B) (A C) a A (B C) = (A B) (A C), (v) A (B C) = (A B) (A C) a A (B C) = (A B) (A C), (vi) A A B, A B A, A B A a A B A B, (vii) je-li A B a B C, je A C, (viii) A a A A, (i A = B (A B) (B A) ( A A = A A = A = A = A, (xi) A = A =, (xii) A B = A = (A B) Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A B = Definice: Uspořádanou dvojicí prvků x a y rozumíme množinu [x,y] = {{x,{x,y. Poznámka. V uspořádané dvojici prvků x a y má jeden prvek (a to preferované umístění (protože je prvkem dvou prvků uspořádané dvojice, kdežto prvek y je prvkem pouze jediného prvku této množiny). Tak víme, který prvek je v této uspořádané dvojici první a který druhý. Platí pro libovolná x, y, u a v je [x,y] = [u,v] x = u y = v Definice: Nechť A a B jsou množiny. Kartézský součin množin A a B je množina A x B = {[x,y]; A y B. Poznámka. (o vlastnostech kartézského součinu). Nechť A, B a C jsou množiny. Potom (i) A B = B A (A = B A = B = ) a A = A =, (ii) je-li A B, je A C B C, (iii) je-li A B, je C A C B, (iv) (A B) C = (A C) (B C), (v) A (B C) = (A B) (A C), (vi) (A B) C = (A C) (B C) a A (B C) = (A B) (A C), (vii) (A B) C = (A C) (B C) a A (B C) = (A B) (A C). (viii) Poznámka. Operace kartézský součin není obecně komutativní.