Mocnost bodu ke kružnici

Transkript

1 3..0 ocnost bodu e ružnici Předpolady: 309 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti součiny:,. Vysvětli. =,6, = 8,57, = 3,96, = 5, 69 =,6 8,57 =, 4 = 3,95 5, 68 =, 4 Oba součiny se (v rámci přesnosti měření) rovnají. Ke stejnému výsledu dospěli dojdeme pro aždé onrétní zadání nejde o náhodu, ale o záonitost. Proč? Doreslíme do obrázu další dvě úsečy: a : Zísali jsme dva trojúhelníy a. Oba trojúhelníy se shodují ve dvou úhlech:

2 α je společný úhel u společného vrcholu, β jsou shodné obvodové úhly nad oblouem, oba trojúhelníy jsou si podobné. Použijeme poměry odpovídajících si stran: = =. Př. : Rozhodni, zda rovnost = platí i v případě, že bod leží uvnitř ružnice. Opět najdeme dva podobné trojúhelníy a se shodnými úhly: α jsou vrcholové úhly u společného vrcholu, β jsou shodné obvodové úhly nad oblouem. I v tomto případě tedy platí: =. Pedagogicá poznáma: labší studenti, teří nezvládnou nalézt podobné trojúhelníy, mohou zusit alespoň přeměření úseče a výpočet součinu. Hodnota součinu volbě sečny součin se součinem je pro daný bod a danou ružnici vždy stejná a nezáleží na zabývat. charaterizuje polohu bodu vůči ružnici má smysl Libovolnému bodu roviny lze přiřadit reálné číslo m, pro něž platí: m =, de, jsou průsečíy dané ružnice s libovolnou sečnou procházející bodem. m > 0 pro body vně ružnice, m = 0 pro body, m < 0 pro body uvnitř ružnice. Číslo m se nazývá mocnost bodu e ružnici.

3 Př. 3: Urči pomocí mocnosti bodu e ružnici délu tečny vedoucí z bodu e ružnici. Vztah = platí pro libovolnou sečnu pohybujeme sečnou ta, aby se postupně blížila tečně bod se blíží bodu se blíží, bod se blíží bodu se blíží, součin se blíží součinu Platí tedy: = m =. = m. Poloha bodu vůči ružnici je romě mocnosti bodu dána taé vzdáleností v = a poloměrem ružnice r musí existovat způsob ja vypočítat mocnosti bodu e ružnici pomocí v a r. Př. 4: Najdi vzorec pro výpočet mocnosti bodu vzhledem e ružnici pomocí vzdálenosti v = a poloměru ružnice. ocnost bodu vzhledem e ružnici můžeme určit pomocí libovolné sečny zvolíme sečnu, terá prochází středem ružnice (úseča je částí této přímy). r v 3

4 Vyjádříme vzdálenosti: = v r, = v + r. m = = ( v r)( v + r) = v r Dodate: tejný výslede zísáme i z jiného obrázu: r v rojúhelní je pravoúhlý, proto platí: = m = v r. Př. 5: Je dána ružnice ( ; 7cm) r = a bod ; = cm. Najdi taovou sečnu ružnice procházející bodem, aby jeden její průsečí byl středem úsečy s rajními body v bodě a v druhém průsečíu. Označíme průsečí sečny, terý je blíže bodu jao, potom platí: =. Pro mocnosti bodu vzhledem e ružnici : Určení mocnosti pomocí vzdálenosti a poloměru r: = m m 7 cm 6cm m = = =. = = 7 = 7. m v r = = = bod leží na ružnici ( ;6cm) l. 4

5 l Př. 6: (ONU) Doaž z naresleného obrázu vztah =. Vyznačený úhel je úseovým úhlem menšího oblouu, vyznačený úhel je obvodovým úhlem menšího oblouu, oba vyznačené úhly jsou shodné trojúhelníy a jsou si podobné (shodují se taé ve společném úhlu α ). 5

6 Z poměrů stran trojúhelníů a : = =. Př. 7: Petáová: strana 89/cvičení 57 hrnutí: 6

7 3..0 ocnost bodu e ružnici Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti součiny:,. Vysvětli. Př. : Rozhodni, zda rovnost = platí i v případě, že bod leží uvnitř ružnice. Př. 3: Urči pomocí mocnosti bodu e ružnici délu tečny vedoucí z bodu e ružnici. Př. 4: Najdi vzorec pro výpočet mocnosti bodu vzhledem e ružnici pomocí vzdálenosti v = a poloměru ružnice. Př. 5: Je dána ružnice ( ; 7cm) r = a bod ; = cm. Najdi taovou sečnu ružnice procházející bodem, aby jeden její průsečí byl středem úsečy s rajními body v bodě a v druhém průsečíu. Př. 6: (ONU) Doaž z naresleného obrázu vztah =. Př. 7: Petáová: strana 89/cvičení 57