Lorentzovy transformace trochu netradičně

Transkript

1 Lorentzovy transformae trohu netradičně Vladimír Majerník, Lukáš Rihterek Katedra teoretiké fyziky Přírodovědeké fakulty Univerzity Palakého, tř. Svobody 26, Olomou, února 2007 Věnováno 45. výročí narození a 70. výročí úmrtí Hendrika Antoona Lorentze ( ) Filozofiko-historiké preludium Představivost je důležitější než znalost. Albert Einstein ( ) Klíčovým problémem speiální i obené teorie relativity je pojetí vztažné soustavy. Toto téma prostupujíí fyziku již od dob antiké filozofie bylo pro samotného Einsteina rozhodujíí motivaí k úvahám, jež nakone vyústily k zásadní analýze přestav o prostoru a času [2,3,6,26]. Je proto pohopitelné, že ústřední místo ve speiální teorii relativity (STR) zaujímají transformae souřadni a času mezi vztažnými soustavami pohybujíími se navzájem konstantní ryhlostí - Lorentzovy transformae, jež byly poprvé nalezeny H.A. Lorentzem v r Význam a přínos H.A. Lorentze vynikne v kontextu moderního pohledu na vývoj vědekého poznání formulovaném T.S. Kuhnem v knize Struktura vědekýh revoluí [0], vybudovaném na základě čtyř pojmů: (i) vědeké paradigma, tj. soubor základníh konepí a postulátů, určujíí v dané etapě vývoje modely problémů i způsob jejih řešení; (ii) vědeké společenství tvořené vědi, které spojuje stejné paradigma; (iii) normální věda neboli kumulativní období vývoje vědy zaměřené na rozpraování všeobeně uznávaného paradigmatu; (iv) vědeká revolue, proes náhlé změny paradigmatu. Vývoj vědekého poznání pak podle Kuhna probíhá v ykleh, jež zhruba odpovídají následujíímu shématu: (i) období normální vědy, kdy je výzkum usměrňován a realizován v rámi všeobeně uznávaného paradigmatu; (ii) období krize paradigmatu, kdy se objevují anomálie, jevy, jež se nedají v rámi uznávaného paradigmatu uspokojivě vysvětlit; (iii) období revolue, kdy se odmítne staré a vytvoří nové paradigma. Historie fyziky dává hned několik příkladů vědekýh revoluí v Kuhnově hápání, z nihž k nejčastěji uváděným a nejtypičtějším patří právě vznik teorie relativity. Paradigma newtonovské fyziky vyházelo z představy absolutního prostoru, absolutního času a působení na dálku. První změnou paradigmatu byla záměna působení na dálku zavedením elektromagnetikého pole v elektrodynamie, druhou relativizae prostoru a času. Lorentz stál u zrodu pojmu silového pole a aktivně se podílel jeho na vybudování. Za svůj přínos k pohopení elektromagnetikýh vlastností světla byl r. 902 odměněn Nobelovou enou 2. Druhé paradigma připravoval, ale rozhodujíí krok k jeho překonání majerv@upol.z rihter@ris.upol.z Thomas Samuel Kuhn ( ), původně teoretiký fyzik, se později začal zajímat o filozofiko-metodologiké otázky přírodníh věd. Jeho stěžejní dílo [0] bývá hojně itováno, v poslední kapitole však zpohybňuje možnosti vědy přispět k nalezení objektivní pravdy; s tímto názorem lze samozřejmě polemizovat [27]. 2 Společně s univerzitním kolegou P. Zeemanem za studium tzv. Zeemanova jevu - rozštěpení energetikýh hladin elektronů v magnetikém poli v závislosti na orientai jejih spinovýh momentů.

2 Obrázek : H. A. Lorentz neuskutečnil. V Lorentzovýh pojednáníh o elektrodynamie pohybujííh se těles z let 892 a 895 najdeme značnou část formalismu teorie relativity. Představy, z nihž vyházel, však nevybočovaly z newtonovského hápání absolutního času a absolutního prostoru, jehož materializaí byl předpoklad existene absolutně klidného éteru [4]. Když zjistil, že rovnie elektromagnetikého pole se nezmění, aplikujeme-li nejen na prostorové souřadnie, ale také na čas určitou třídu lineárníh transformaí, pokládal takový souřadný systém za tzv. místní souřadnie spojené se vztažnou soustavou, která se sama pohybuje vůči éteru. V té době již byly známy negativní výsledky některýh experimentů, které byly v přímém rozporu s představou nehybného éteru; nejznámější z nih jsou nepohybně interferenční pokusy provedené A.A. Mihelsonem 3 [3,26]. Při jejih rozboru navrhl r. 889 G.F. Fitzgerald 4 a r. 892 H.A. Lorentz hypotézu, že při pohybu těles vůči éteru se jejih podélné rozměry určitým způsobem zkraují. Tuto Fitzgeraldovu-Lorentzovu kontraki Lorentz připisoval změně elektromagnetikýh sil působííh uvnitř těles při jejih pohybu. Konečně r. 895 dospěl ke známým transformaím, jež později H.J. Poinaré nazval jeho jménem 5. Právě Poinaré kritizoval Lorentzovo pojetí a r. 900 vyjádřil přesvědčení, že absolutní pohyb prinipiálně není pozorovatelný a zpohybnil existeni éteru. Obsah tohoto tvrzení dokone označil za prinip relativity. Jako první fyzik také vyslovil požadavek, že všehny fyzikální zákony - mají-li být správné - musí být vůči Lorentzově transformai invariantní. V r. 904 pak předpověděl nové pojetí mehaniky, ve které nebude možné překonat ryhlost světla [4]. Toto předeinsteinovské období lze harakterizovat jako krizi newtonovského paradigmatu absolutního prostoru a času. Pokusy, které nebylo možné v jeho rámi uspokojivě vysvětlit, byly objasňovány pomoí ad ho hypotéz a předpokladů (např. éterový vítr ). Předělem - vědekou revoluí v Kuhnově hápání - se stala slavná práe A. Einsteina Zur Elekrodynamik bewegter Körper. Originálním způsobem zavrhla existeni éteru a postulovala relativizai prostoru a času, která se postupně stala novým paradigmatem 6. V této souvislosti spatřujeme úlohu H.A. Lorentze v dobudování jednoho a přípravě druhého paradigmatu. I když byl do kone života přesvědčen o existeni éteru a odmítal teorii relativity (podobně jako Poinaré) 7, bezesporu jej můžeme pokládat za jednoho z nejvýznamnějšíh teoretiků přelomu 9. a 20. století. Všímal si i soiálníh aspektů vědy, byl jedním ze spoluzakladatelů Ligy národů pro mezinárodní spoluprái a předsedou solvayskýh vědekýh konferení. Jeho lidské kvality harakterizuje mino jiné skutečnost, že se r. 92 vzdal vedení katedry fyziky v holandském Leidenu ve prospěh P. Ehrenfesta, jenž po odhodu z Petrohradu nemohl najít nikde v Evropě místo [8]. Lorenztovy transformae jsou páteří matematikého aparátu speiální teorie relativity a jejih vlastnosti byly zkoumány z mnoha hledisek. V tomto článku se zaměříme na dva méně obvyklé způsoby jejih vyjádření: pomoí elementárníh goniometrikýh funkí a prostřednitvím binárníh čísel. Zmíníme se i o některýh možnosteh jejih grafikého znázornění a připomeneme vztahy mezi fyzikálními veličinami harakterizujíími de Broglieho fázové vlny, jež s Lorentzovými transformaemi úze souvisí. 3 R. 88 v Postupimi a r. 887 v Clevelandu spolu s E.W. Morleym 4 Příjmení irského fyzika George Franise FitzGeralda ( ) je dnes stále častěji přepisováno jako Fitzgerald. 5 Připomeňme, že Lorentz nebyl úplně prvním; již r. 887 němeký fyzik W. Voigt zjistil, že rovnie tzv. elastiké teorie světla jsou invariantní právě vzhledem k těmto transformaím. Nezávisle byly odvozeny také J. Larmorem v r Slavný ameriký fyzik R.P. Feynman vtipně poznamenal, že v dnešní době by podobná práe stěží uspěla v reenzním řízení už proto, že neobsahovala žádné itae. Je třeba oenit otevřenost redake Annalen der Physik, že ji bez zdržování opublikovala 7 Je zajímavé, že v jistém smyslu podobný osud potkal na koni života i A. Einsteina, který odmítal paradigma statistiké interpretae kvantové fyziky, ačkoli sám stál u jeho zrodu. 2

3 2 Goniometriký tvar Lorentzovýh transformaí Teorie relativity vznikla z nutnosti. Byla výhodiskem z hlubokýh rozporů staré teorie, z nihž nebylo zdánlivě úniku. Síla nové teorie je v její důslednosti a jednoduhosti, s niž řeší všehny tyto nesnáze s pomoí jen několika málo přesvědčivýh předpokladů. Albert Einstein ( ), Leopold Infeld ( ) Zabýváme-li se v tomto textu formulaí Lorentzovýh transformaí i dalšíh relativistikýh a kvantově-mehanikýh vztahů pomoí reálnýh goniometrikýh funkí, jsme k tomu motivováni následujíími důvody: goniometriký přepis rovni i vzorů STR činí vztah mezi geometrií a fyzikálním obsahem STR mnohem jasnějším a zejména pro studenty středníh škol také stravitelnějším ; relativistiké veličiny, které mají stejné transformační vlastnosti jako prostorové souřadnie a čas (např. relativistiké čtyřvektory) je možno též vyjádřit pomoí goniometrikýh funkí, tzn. jednoduhého matematikého aparátu. Bez obtíží lze získat množství relativistikýh a kvantově-mehanikýh vztahů pouhým aplikováním, popř. kombinováním vzorů a rovností; vztahy mezi důležitými veličinami v STR i v de Broglieho vlnové mehanie lze přehledně a snadno znázornit pomoí jednoduhýh grafů a diagramů. Lorentzovy transformae jsou lineární v souřadniíh i v čase a podobají se transformaím souřadniového systému při jeho rotai. Odtud pramení snaha dát Lorentzovým transformaím určitý geometriký význam spojením geometriké veličiny (např. úhlu) s fyzikální veličinou (relativní ryhlostí vztažnýh soustav v). Tato souvislost pomáhá hlouběji porozumět geometrikému významu Lorentzovýh transformaí i elému formalismu STR a umožňuje prostřednitvím jednoduhýh úprav snadno vyvodit řadu kinematikýh a dynamikýh efektů. Pro větší názornost bylo vyvinuto několik metod grafikého znázornění Lorentzovy transformae, mezi nimiž dominantní postavení bezesporu náleží Minkowského diagramům [3,23,26]. Výhodiskem naših úvah je již zmíněná formální podobnost Lorentzovýh transformaí s rotaemi. Rotae lze parametrizovat pomoí úhlu, který určuje otočení souřadniovýh os. Analogiky i v případě Lorentzovýh transformaí lze zavést vhodný parametr, jenž zřejmě musí harakterizovat relativní ryhlost v vztažnýh soustav. Uvažujeme-li vztažné soustavy S (x, y, z, t) a S (x, y z, t ) v tzv. standardní konfigurai 8 a zavedeme-li bezrozměrný parametr ξ vztahem 9 v = tgh ξ, () můžeme Lorentzovy transformae pro x-ové a časové souřadnie zapsat ve tvaru x = γx γβt = x osh ξ t sinh ξ, t = γβx + γt = x sinh ξ + t osh ξ, (2) kde γ = ( v 2 /) /2, β = v/. Výše popsaný způsob parametrizae má řadu předností a v literatuře se s ním setkáváme zdaleka nejčastěji. Pro začátečníka však může být hůře pohopitelný, např. pro studenty středníh škol jsou hyperboliké funke vesměs úplně neznámé. Formální podobnost s rotaemi umoňuje invariant Lorentzovýh transformaí - interval mezi dvěma událostmi. Interval mezi událostí v počátku soustavy S a událostí o souřadniíh (x, y, z, t) je dán vztahem s 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2, (3) nápadně připomínajíím čtvere velikosti polohového vektoru r 2 = x 2 +y 2 +z 2, jež je invariantem rotaí v trojrozměrném Euklidovském prostoru. Z tohoto důvodu zavádějí někteří autoři komplexní časovou souřadnii (viz např. [26]) a Lorentzovy souřadnie parametrizují pomoí komplexního parametru ϑ definovaného jako tg ϑ = iv/, kde i =. Geometriká interpretae komplexního úhlu je však dosti obtížná a používání komplexní časové souřadnie se stává problémem při přehodu k obené teorii relativity [9]. Goniometriké funke však můžeme do rovni (2) snadno zavést pomoí reálného parametru ϕ ( π/2, π/2), pro který platí sin ϕ = v = β. (4) a který plně pokrývá všehny hodnoty podsvětelnýh ryhlostí. Zřejmě γ = β 2 = os ϕ = se ϕ 8 Tato konfigurae je předpokládána v elém textu podobně jako ve většině itovanýh pramenů; soustava S se pohybuje ve směru osy x, jež splývá s x, v čase t = t = 0 se právě míjejí počátky obou soustav. V [26] je v takovém případě Lorentzova transformae nazývána speiální Lorentzovou transformaí. 9 V anglosaské literatuře bývá někdy označován jako rapidity. 3

4 Poděkování Autoři jsou zavázáni Mgr. Jite Lebišové za pomo při přepisování textu a Prof. RNDr. Janu Novotnému, CS. za jeho přečtení i enné připomínky. Dodatek: Jiné odvození goniometrikého tvaru Lorentzovýh transformaí Uveďme ještě jeden způsob, jakým lze dojít ke goniometrikému tvaru Lorentzovýh transformaí (5), resp. (7). Vyhází se ze dvou veličin užívanýh v analytiké geometrii, jmenovitě z tzv. hyperboliké amplitudy, nazývané též gudermanián gd(ψ) a tzv. Lobačevského úhlu rovnoběžnosti Π(ψ). Prostřednitvím těhto veličin mohou být hyperboliké funke převáděny na goniometriké funke téhož argumentu a obráeně, např. osh ψ = [os gd(ψ)] = se gd(ψ) = [sin Π(ψ)] = ose Π(ψ), sinh ψ = tg gd(ψ) = otg Π(ψ) tgh ψ = sin gd(ψ) = os Π(ψ). (40) Gudermanián a Lobačevského úhel rovnoběžnosti jsou definovány vztahy [7] gd(ψ) = ψ 0 dτ osh τ = 2 artg eψ π 2, Π(ψ) = 2 arotg eψ = 2 artg e ψ. (4) Dosadíme-li uvedené vztahy do Lorentzovýh transformaí (2), dostaneme přímo rovnie (5) nebo (7) x = x se gd(ψ) t tg gd(ψ), (42) t = x tg gd(ψ) + t se gd(ψ) (43) (44) x = x ose Π(ψ) t otg Π(ψ), (45) t = x otg Π(ψ) + ose Π(ψ). (46) Poznamenejme, že úhly ϕ = gd(ψ) a ζ = Π(ψ) nejsou úhly rotae v rovině x-t. Výsledný úhel, odpovídajíí složení dvou Lorentzovýh transformaí, není roven součtu úhlu harakterizujííh skládané transformae, tj. ϕ 2 ϕ + ϕ 2, ζ 2 ζ + ζ 2. Platí však ϕ 2 = gd(ψ + ψ 2 ) a ζ 2 = Π(ψ + ψ 2 ). Relativistikému zákonu skládání ryhlostí zde odpovídá relae známá z Lobačevského geometrie os Π(ψ + ψ 2 ) = os Π(ψ ) + os Π(ψ 2 ) + os Π(ψ ) os Π(ψ 2 ). Skutečnost, že při parametrizai Lorentzovýh transformaí se velmi dobře uplatní pojmy Lobačevského geometrie podtrhuje neeuklidovský (přesněji řečeno pseudoeuklidovský) harakter geometrie Minkowského prostoročasu. Pro zajímavost vyjádřeme na závěr rotai prostorovýh souřadnýh os x, y o úhel ϑ kolem osy z x = x os ϑ + y sin ϑ, pomoí hyperbolikýh funkí. V souladu s (40) lze (49) vyjádřit ve tvaru (47) y = x sin ϑ + y os ϑ (48) x = x seh ψ + y tgh ψ, y = x tgh ψ + y seh ψ, (49) kde pro úhel ψ platí gd(ψ) = ϑ a podle (4) vyhází { ψ = ln tg [ ( gd(ψ) + π ) ]} = ln [ ( ϑ tg 2 + π )]. 4

5 Položíme-li sinh ψ = v/, získají transformae (49) podobu x = x + y v, y = x v + y Snadno zjistíme, že při transformaíh tohoto typu zůstává výraz x 2 + y 2 invariantní. Literatura [] Anderson R., Ioshi G.: Physis Essays 6 (993), 308. [2] Balibarová F.: Einstein radost z myšlení, Slovart 995. [3] Bartuška K.: Kapitoly za speiální teorie relativity, SPN, Praha 99. [4] Born M.: Physik im Wandel meiner Zeit, Vieveg Berlin 957. [5] Brehme R.W.: Am. J. Phys. 30 (962), 489. [6] Einstein A., Infeld L.: Fyzika jako dobrodružství poznání, Orbis, Praha 958. [7] Gradstein I.S., Ryzhik I.N.: Tablii integralov, summ, rjadov i proizvedenii, Nauka, Moskva 974. [8] Chromý Z.: Abeeda moudrosti, Proxima, Brno 993. [9] Kantor I.L., Solodownikow V.N.: Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig 978. [0] Kuhn T.S.: The Struture of Sientifi Revolutions, University Press Chiago 970 (slovenský překlad: Kuhn T.S.: Štruktúra vedekýh revolúií, Pravda, Bratislava 982). [] Kuzněov B.G.: Einstein (život, smrt, nesmrtelnost), SPN, Praha 986. [2] Laue M. von: Dějiny fyziky, Orbis, Praha 959. [3] Loedel E.: Abberaion y Relatividad, Annales de la Soiedad Cientifia Argentina 45 (948), 3. [4] Madelung E.: Die mathematishe Hilfsmittel des Physikers. Springer, Berlin 953. [5] Majerník V.: Am. J. Phys. 54 (986), 536. [6] Majerník V.: Ata Physia Polonia A 86 (994), 29. [7] Majerník V.: Ata Physia Polonia A 90 (996), 49. [8] Malíšek V.: Co víte o dějináh fyziky, Horizont, Praha 986. [9] Misner Ch.W., Thorne K.S., Wheeler J.A.: Gravitation, W.H. Freeman & Co., San Franiso 973. [20] Motter E., Rosa M.A.F: From Perplex Number to Perplex Calulus, Preprint 4/95 of Institute de Matematia, Universidade Estudial de Campinas, Brasil 995,. [2] Popper K.R.: Život je řešení problémů, Mladá fronta, Praha 997. [22] Rekveld J.: Am. J. Phys. 37 (969), 76. [23] Sartori L.: Understanding Relativity, University of California Press, Berkeley 996. [24] Šulista M.: Základy analýzy v komlexním oboru, SNTL, Praha 98. [25] Synge J.L.: Quaternions, Lorentz Transformation and Conway-Dira-Eddington Matries, Dublin Institute for Advaned Studies, Dublin 972. [26] Votruba V.: Základy speiální teorie relativity, Aademia, Praha 969. [27] Weinberg S.: Snění o finální teorii. Hynek, Praha