38.1 CO VŠECHNO PATŘÍ K RELATIVITĚ

Transkript

1 38 Relatiita DneönÌ d lko naigace soustanï sleduje a aktualizuje p esnè polohy a rychlosti letadel. SystÈm naigaënìch druûic NAVSTAR dooluje urëoat kdekoli na Zemi polohy s p esnostì asi 16 m a rychlosti s p esnostì asi 2 cm/s. Kdyby se öak nepoëìtalo s relatiistick mi jey, rychlosti by nemohly b t urëeny s ÏtöÌ p esnostì neû asi 20 cm/s, coû je pro modernì naigaënì systèmy nedostateënè. Jak m ûe nïco tak abstraktnìho, jako je Einsteinoa speci lnì teorie relatiity, hr t roli p i nïëem tak praktickèm, jako je naigace?

2 38.2 POSTULÁTY CO VŠECHNO PATŘÍ K RELATIVITĚ Relatiita se zabýá měřením událostí (něčeho, co se stalo nebo stane): kde a kdy se staly a jak jsou liboolné dě události zdáleny prostoru a čase. Dále se relatiita stará o to, jak transformoat ýsledky takoých měření a jiná data mezi ztažnými soustaami, které se zájemně pohybují. (Odtud náze relatiita.) O takoých ěcech jsme diskutoali čl. 4.8 a 4.9. Transformacím a pohybům ztažných sousta fyzikoé roku 1905 dobře rozuměli a byla to pro ně podstatě rutinní záležitost. Tehdy Albert Einstein (obr. 38.1) ueřejnil sou speciální teorii relatiity. Přílastek speciální znamená, že teorie se zabýá pouze inerciálními ztažnými soustaami; ty se nazájem pohybují konstantními rychlostmi. (Einsteinoa obecná teorie relatiity se zabýá složitější situací, kdy se ztažné soustay pohybují zrychleně; této kapitole se ýraz relatiita ztahuje pouze k inerciálním ztažným soustaám.) Einstein ohromil ědecký sět, když yšel ze dou drtiě prostých postulátů a ukázal, že dosaadní předstay o relatiitě byly mylné, ačkoli si na ně každý natolik zykl, že působily jako nepochybný požadaek zdraého rozumu. Tento údajný zdraý rozum šak byl odozen ze zkušenosti, která se týkala pouze ěcí, jež se pohybují dosti pomalu. Einsteinoa relatiita, která se ukázala být spráná pro šechny možné rychlosti, předpoěděla mnoho jeů, jež působily na prní pohled bizarně, protože je nikdo nezakusil. Einstein zejména ukázal,že prostor a čas jsou zájemně proázány, že tedy čas dělící dě události záisí na tom, jak daleko od sebe proběhly,a naopak.a toto proázání je různé pro různé pozoroatele, kteří se zájemně pohybují. Jedním z důsledků je, že čas neběží jediným daným tempem, jako by s mechanickou praidelností odtikáal na nějakých perfektních dědečkoých hodinkách, jimiž se řídí celý esmír. Čas lze lastně jistém smyslu reguloat: relatiní pohyb dokáže změnit tempo, jímž čas běží. Před rokem 1905 by si na to troufalo pomyslet snad jen několik snílků. Dnes jsou si tím jisti inženýři a ědci, protože jejich zkušenost se speciální relatiitou noě zformoala jejich zdraý rozum. Speciální relatiita má poěst nesnadného tématu. Matematicky obtížná není, přinejmenším podobě, jakou má této knize. Její nesnadnost šak tkí tom, že je třeba elmi pozorně sledoat, kdo danou událost měří, co na ní měří a jak toto měření proádí. A to může být obtížné, protože ýsledek někdy protiřečí zkušenosti. Než budete číst dál, může se ám hodit přehled některých poznatků ze speciální relatiity, které už byly této knize diskutoány. Vodítkem je tab Tabulka 38.1 Dříější zmínky o relatiitě ČLÁNEK JMÉNO 4.10 Vzájemný pohyb při ysokých rychlostech 7.8 Kinetická energie při ysokých rychlostech 8.8 Hmotnost a energie 10.6 Jaderné reakce a radioaktiní rozpad 38.2 POSTULÁTY Nyní probereme da relatiistické postuláty, na nichž je Einsteinoa teorie založena. Obr Einstein na počátku 20. století, za sým stolem patentoém úřadu Bernu e Šýcarsku. Byl zde zaměstnán době, kdy publikoal sou speciální teorii relatiity. Postulát relatiity: Fyzikální zákony jsou stejné pro pozoroatele e šech inerciálních ztažných soustaách. Žádná soustaa není preferoána. Galilei předpokládal, že zákony mechaniky jsou stejné e šech inerciálních ztažných soustaách. (Newtonů prní pohyboý zákon e sé historické formulaci je jedním z důležitých důsledků.) Einstein rozšířil tuto myšlenku, aby obsahoala šechny fyzikální zákony, zejména zákony elektromagnetismu a optiky. Postulát neříká, že měřené hodnoty šech fyzikálních eličin jsou stejné pro šechny

3 1008 KAPITOLA 38 RELATIVITA inerciální pozoroatele; ětšinou tomu ani tak není. Stejné jsou fyzikální zákony, jimiž jsou ýsledky měření ázány. Postulát rychlosti sětla: Rychlost sětla e akuu má stejnou elikost c e šech směrech a e šech inerciálních ztažných soustaách, nezáislou na rychlosti zdroje. Tento postulát můžeme formuloat také tak, že přírodě existuje mezní rychlost c, jež je stejně elká e šech směrech a e šech inerciálních soustaách. Sětlo se pohybuje touto mezní rychlostí stejně jako šechny částice o nuloé hmotnosti. Dále žádná částice, která má nenuloou hmotnost, nemůže rychlosti c nikdy dosáhnout, i kdyby byla urychloána jakkoli dlouho. Ba ani žádná informace, a už je přenášená jakkoli a čímkoli, nemůže letět rychleji než sětlo. Pokud se něco pohybuje rychleji než sětlo třeba stín nebo sětelná stopa na stínítku pak na to nikdy nelze zaěsit nějakou informaci a poslat ji tak dál. Oba postuláty byly yčerpáajícím způsobem oěřoány a nebyly nalezeny žádné ýjimky z jejich platnosti. Mezní rychlost To, že opradu existuje mez pro rychlost urychloaných elektronů, ukázal roku 1964 experiment W. Bertozziho. Elektrony něm byly urychloány na různé měřené rychlosti (obr. 38.2) a byla také nezáislou metodou měřena jejich kinetická energie. Bertozzi zjistil, že když síla působící na elmi rychlý elektron roste, pak i měřená kinetická energie roste na elmi ysoké hodnoty, ale rychlost elektronu již podstatně nezrůstá. Elektrony byly urychloány nejméně na 0, rychlosti sětla tak blízko této rychlosti, jak jen bylo možné ale pořád to byla rychlost menší než mezní rychlost. Testoání postulátu rychlosti sětla Je-li rychlost sětla stejná e šech inerciálních ztažných soustaách, znamená to, že rychlost sětla emitoaného pohybujícím se zdrojem by měla být stejná jako rychlost sětla, které emituje týž zdroj klidu zhledem k dané laboratoři. Tento požadaek byl přímo oěřoán experimentu, který se yznačoal ysokou přesností. Zdrojem sětla byl neutrální pion (symbol Ô 0 ), nestabilní částice s krátkou dobou žiota, která může zniknout důsledku srážek urychloači částic. Rozpadá se na da γ -paprsky procesu 0 Ô γ + γ. (38.1) kinetická energie (MeV) rychlost (10 8 m s 1 ) Obr Tečkami jsou yznačeny naměřené hodnoty kinetické energie elektronu záislosti na naměřené rychlosti elektronu. A dodáme elektronu (anebo liboolné jiné hmotné částici) kolik chceme energie, jeho rychlost nikdy nedosáhne ani nepřeýší mezní rychlost rychlost sětla. (Spojitá křika ukazuje záislost podle Einsteinoy teorie relatiity.) V experimentu z roku 1964 fyzikoé z CERNu, laboratoře částicoé fyziky poblíž Ženey, ytořili sazek pionů pohybující se rychlostí 0,999 75c zhledem k laboratoři. Pak experimentátoři měřili rychlost γ -paprsků emitoaných těmito elmi rychle se pohybujícími zdroji. Zjistili, že rychlost sětla emitoaného piony je stejně elká, jako byla případě, kdy byly piony laboratoři klidu. mezní rychlost PŘÍKLAD 38.1 Lze ukázat, že elektron s kinetickou energií 20 GeV (mluíá se o 20 GeV-elektronu) má rychlost = 0, c. Zúčastní-li se takoý elektron záodu se sětelným pulzem se startem okolí Slunce a s cílem u nejbližší hězdy (Proxima Centauri, zdálenost 4,3 sětelné roky čili 4, m), s jakým časoým náskokem sětelný pulz zítězí? ŘEŠENÍ: Je-li L zdálenost hězdy, je rozdíl časů putoání t = L L c = L c c. Zde je natolik blízké c, že můžeme e jmenoateli ýrazu (ne šak čitateli!) položit = c. Pak dostaneme t = L c ( 1 ) = c = (4, m)(1 0, ) (3, m s 1 = ) = 0,044 s = 44 ms. (Odpoě ) Paprsky γ jsou součástí elektromagnetického spektra a splňují postulát rychlosti sětla stejně jako iditelné sětlo.

4 38.3 MĚŘENÍ UDÁLOSTÍ MĚŘENÍ UDÁLOSTÍ Událost je něco, co se stalo nebo stane a čemu pozoroatel může připsat tři prostoroé souřadnice (x, y, z) a jednu souřadnici časoou (t). Z ohromného počtu možných událostí ue me (1) rozsícení a zhasnutí malé žároky, (2) srážku dou částic, (3) průchod sětelného pulzu yznačeným bodem, (4) ýbuch, (5) průchod hodinoé ručičky přes rysku na obodu hodin. Pozoroatel, který je ázán na jistou inerciální ztažnou soustau, může události A připsat následující souřadnice: ZÁZNAM UDÁLOSTI A SOUŘADNICE x y z t HODNOTA 3,58 m 1,29 m 0m 34,5 s Protože relatiitě jsou prostor a čas zájemně proázány, nazýáme tyto souřadnice společným názem prostoročasoé souřadnice. Souřadnicoá soustaa je dána rámci ztažné soustay pozoroatele. Daná událost může být zaznamenána liboolným počtem pozoroatelů, kteří jsou spojeni s různými inerciálními ztažnými soustaami. Obecně zato, různí pozoroatelé připíší téže události různé prostoročasoé souřadnice. Upozorněme, že žádném sloa smyslu nelze říci, že událost patří do určité ztažné inerciální soustay. Událost je prostě něco, co se událo nebo udá, a kdokoli se na ni může kterékoli ztažné soustaě díat a připisoat jí prostoročasoé souřadnice. Takoé připsání může ošem narazit na praktickou potíž. Dejme tomu, že například 1 km od ás naprao praskne balon a 2 km od ás naleo je odpálena raketa, přičemž obojí se stane 9:00 dopoledne. Vy ale nezaznamenáte obě události přesně 9:00 dopoledne, protože tu dobu ás sětlo od nich se šířící ještě nedostihlo. Protože sětlo z odpálení rakety má delší cestu, dospěje k ašim očím později než sětlo z prasknutí balonu, a tak se ám bude zdát, že k odpálení došlo později než k prasknutí. Chcete-li se dostat ke skutečnému času a připsat oběma událostem čas 9:00 dopoledne, musíte ypočítat doby putoání sětla a odečíst je od časů příchodu. V složitějších případech může být tento postup elmi pracný a potřeboali bychom prostší metodu, která by automaticky yloučila jakoukoli potřebu starat se o dobu cesty od události k pozoroateli. K tomu stačí si předstait myšlenou mříž z měřicích tyčí osazenou hodinami a prostupující pozoroatelou inerciální soustau (mříž se pohybuje s pozoroatelem, jako by byla tuhým tělesem). Takoá konstrukce může ypadat uměle, ale ušetří nás mnoha zmatků a ýpočtů a doolí nám nalézt prostoroé souřadnice, časoou souřadnici a tím prostoročasoé souřadnice, jak dále yložíme. 1. Prostoroé souřadnice. Předstame si, že pozoroateloa souřadnicoá soustaa je prostoupena hustou trojrozměrnou mříží z měřicích tyčí, níž každý soubor tyčí je ronoběžný s jednou ze tří souřadnicoých os. Tyto tyče umožňují určit souřadnice e směru os. Je-li měřenou událostí například zapnutí malé žároky, pak pozoroateli pro označení polohy této události stačí zaznamenat tři prostoroé souřadnice místě zplanutí žároky. 2. Časoá souřadnice. Pro určení časoé souřadnice si předstame, že každý průsečík mříže měřicích tyčí je ybaen malými hodinami, na nichž může pozoroatel odečítat údaj e chíli, kdy byly osětleny danou událostí. Obr ziditelňuje prolézačku hodin a měřicích tyčí, jak jsme ji popsali. Soubor hodin musí být spráně synchronizoán. Nestačí připrait soubor stejných hodin, nastait na nich stejný čas a pak je roznést na určená místa. Neíme například, zda pohybující se hodiny nezmění tempo sého chodu. (Ve skutečnosti je změní.) Musíme hodiny nejpre rozmístit a potom je synchronizoat. z y Obr Řez trojrozměrným polem hodin a měřicích tyčí, kterými pozoroatel může přiřadit události její prostoročasoé souřadnice. Záblesk sětla (bod A) má souřadnice zhruba x = 3,7tyčí,y = 1,2tyčí,z = 0. Časoou souřadnici udáají ty hodiny, které jsou daném okamžiku těsné blízkosti události A. Kdybychom znali způsob, jak posílat signály nekonečnou rychlostí, byla by synchronizace jednoduchá. Neznáme šak signál, který by měl tuto lastnost. Užijeme proto k našim synchronizujícím signálům sětlo (které chápeme šíře tak, že zahrnuje celé elektromagnetické spektrum), protože íme, že e akuu se sětlo šíří nejětší možnou rychlostí, mezní rychlostí c. Uedeme jeden z mnoha způsobů, jímž lze synchronizoat soubor hodin pomocí sětelných signálů. Pozoroateli pomáhá elký počet spolupraconíků, z nichž každý A x

5 1010 KAPITOLA 38 RELATIVITA se stará o jedny hodiny. Pozoroatel stojí bodě, který byl zolen jako počátek, a posílá sětelný pulz okamžiku, kdy na hodinách počátku je údaj t = 0. Když sětelný pulz dospěje ke kterémukoli pomocníkoi, ten nastaí na sých hodinách údaj t = r/c, kde r je zdálenost mezi ním a počátkem. Tím jsou hodiny synchronizoány. 3. Prostoročasoé souřadnice. Pozoroatel nyní může připsat každé události prostoročasoé souřadnice, když prostě zaznamená čas na hodinách u dané události a polohu, jak ji udáají nejbližší měřicí tyče. Jde-li o dě události, pozoroatel ypočte jejich časoý rozdíl jako rozdíl časů na hodinách u daných událostí, a rozdílnost jejich poloh prostoru určí pomocí rozdílů souřadnic na tyčích u těchto událostí. Tak se yhneme nesnázím, které by praxi přineslo čekání, až k pozoroateli dospějí signály od událostí, a následné počítání dob, po které tyto signály putoaly RELATIVITA SOUČASNOSTI Předpokládejme, že jeden pozoroatel (Sláek) zjiš uje, že dě nezáislé události (Rudá a Modrá) nastáají e stejném čase. Dejme tomu, že další pozoroatel (Syla), který se pohybuje konstantní rychlostí zhledem ke Slákoi, zaznamenáá tytéž události. Zjistí i Syla, že události nastaly e stejném čase? Odpoě je obecném případě záporná. Pokud se da pozoroatelé zájemně pohybují, pak se nebudou obecně shodoat tom, které události jsou současné. Když je jeden pozoroatel označí za současné, pro druhého obecně současné nebudou, a opačně. Nemůžeme říci, že jeden pozoroatel má pradu a druhý se mýlí. Jejich pozoroání mají stejnou platnost a není důodu dáat některému z nich přednost. Konstatoání, že da protichůdné ýroky o téže ěci mohou být spráné, se zdá být podiným důsledkem Einsteinoy teorie. Ale již kap. 18 jsme probírali jiný případ, kdy pohyb může olinit měření, aniž to ede k rozporným ýsledkům: u Doppleroa jeu záisí frekence zukoé lny na relatiním pohybu pozoroatele a zdroje. Da pozoroatelé, kteří se nazájem pohybují, mohou tedy naměřit rozdílné frekence pro tutéž lnu. A obě měření jsou spráná. Uzařeme: Současnost není absolutním pojmem, ale pojmem relatiním, který záisí na ztažné soustaě, níž pozoroatel stojí. Je-li relatiní rychlost pozoroatele mnohem menší než rychlost sětla, pak měřené rozdíly současnosti pro různé pozoroatele jsou příliš malé, než abychom je zaznamenali. Tak je tomu e šech zkušenostech z našeho běžného žiota, a proto působí relatiita současnosti tak neobykle. Bližší pohled na současnost Objasněme relatiitu současnosti na příkladu, který je založen na postulátu relatiity a netýká se přímo hodin či měřicích tyčí. Obr ukazuje dě dlouhé kosmické lodě (KL Syla a KL Sláek),které mohou sloužit jako inerciální ztažné soustay pro pozoroatele Sylu a Sláka. Oba pozoroatelé stojí uprostřed sých lodí. Lodě jsou situoány podél společné osy x, relatiní rychlost Syly ůči Slákoi je. Obr. 38.4a ukazuje lodě se děma pozoroateli, kteří se práě míjejí. M M Modrá událost M M M Syla R Sláek R Rudá událost (a) (b) Sláek zjiš uje obě události (c) (d) Syla zjiš uje Rudou událost R R Syla zjiš uje Modrou událost Obr Kosmické lodi Syly a Sláka a události ze Slákoa pohledu. Sylina lo letí naprao rychlostí. (a) Rudá událost nastáá místech R, R amodrámístechm,m. Každá z nich ysílá sou sětelnou lnu. (b) Syla zjiš uje lnu od Rudé události.(c) Sláek zjiš uje lny od obou událostí současně.(d) Syla zjiš uje lnu od Modré události. Do lodí narazí da elké meteority, jeden z nich yolá čerenou záři (událost Rudá) a druhý modrou záři (událost Modrá). Tyto události nebudou nutně současné. Každá udá- R

6 38.5 RELATIVITA ČASU 1011 lost zanechá tralou stopu na obou lodích místech R, R am,m. Předpokládejme, že čela sětelných ln šířících se z obou událostí dostihnou Sláka e stejném čase, jak to ukazuje obr. 38.4c. Předpokládejme dále, že Sláek pak zjistí měřením, že se skutku nacházel přesně uprostřed mezi stopami M a R na sé lodi, když k oběma událostem došlo. SLÁVEK řekne: Sětlo z události Rudá a sětlo z události Modrá mě dostihlo e stejném čase. Ze stop na sé lodi jsem zjistil, že jsem stál uprostřed mezi oběma místy, z nichž sětlo yšlo. Události Rudá a Modrá jsou tedy současnými událostmi. Jak ale ukazuje zamyšlení nad obr. 38.4b, rozšiřující se čelo lny z události Rudá dostihne Sylu dříe než rozšiřující se čelo lny z události Modrá. SYLVA řekne: Sětlo z události Rudá mě dostihlo dříe než sětlo z události Modrá. Ze stop na sé lodi jsem zjistila, že i já jsem stála uprostřed mezi oběma zdroji sětla. Události tedy nebyly současné, událost Rudá předcházela události Modrá. Tato hlášení spolu nesouhlasí. Přesto oba pozoroatelé mluí pradu. Dobře si pošimněme, že je pouze jedno čelo lny, které se šíří z místa každé události, a že toto čelo lny se pohybuje stejnou rychlostí c obou ztažných soustaách, přesně tak, jak si to žádá postulát rychlosti sětla. Mohlo by se stát, že meteority by narazily do lodí takoým způsobem, že obě zplanutí by pro Sylu nastala současně. Kdyby tomu tak bylo, Sláek by je prohlásil za nesoučasná. Zkušenosti obou pozoroatelů jsou naprosto symetrické RELATIVITA ČASU Jestliže pozoroatelé, kteří se zájemně pohybují, měří časoý interal (čili časoou odlehlost) mezi děma událostmi, dojdou obecně k rozdílným ýsledkům. Proč? Protože prostoroá odlehlost událostí může olinit časoý interal, který pozoroatelé měří. Časoý interal mezi děma událostmi záisí na tom, jak jsou od sebe prostoroě zdáleny, tj. jejich prostoroé a časoé odlehlosti jsou proázány. V tomto odstaci diskutujeme uedenou proázanost na speciálním příkladu, kdy pro jednoho z obou pozoroatelů jsou obě události soumístné, tj. nastáají e stejném místě. Obecnějšími příklady se budeme zabýat až čl Obr. 38.5a ukazuje podstatu experimentu, který proádí Syla, jež se sým ybaením jede lakem konstantní rychlostí zhledem k nádraží. Sětelný pulz opouští sětelný zdroj B (událost 1), pohybuje se sisle zhůru, zrcadlo jej odráží sisle dolů a nakonec je pulz opět zachycen zrcadlo zrcadlo POHYB D L D L událost 1 událost 2 událost 1 událost 2 B B t B t Obr (a) Syla, sedící e laku, měří dobu t 0 mezi událostmi 1 a 2 jedinými hodinami C e laku. Údaj hodin je ukázán dakrát: nejpre pro událost 1, pak pro 2. (b) Sláek, pozorující děj ze stanice, potřebuje doje synchronizoané hodiny C 1 pro událost 1 a C 2 pro událost 2. Naměří jimi dobu t. C C t 0 Syla (a) C 1 C 2 Sláek (b)

7 1012 KAPITOLA 38 RELATIVITA u zdroje (událost 2).Syla naměří určitý časoý interal t 0 mezi děma událostmi, který je spojen se zdáleností D od zdroje k zrcadlu ztahem t 0 = 2D (Syla). (38.2) c V Sylině ztažné soustaě dochází k těmto událostem témže místě a ona potřebuje jen jedny hodiny C tomto místě, aby změřila časoý interal. Na obr. 38.5a jsou hodiny C nakresleny dakrát, na počátku a na konci časoého interalu. Uažme nyní, jak tytéž události měří Sláek, který během průjezdu laku stojí na nádražním nástupišti. Protože Sylino ybaení se během sětelného pulzu pohybuje spolu s lakem, Sláek idí dráhu sětla tak, jak je ukázána na obr. 38.5b. Pro něho dochází k oběma událostem různých místech jeho ztažné soustay. Chce-li tedy Sláek změřit časoý interal mezi událostmi, musí užít dojích synchronizoaných hodin, C 1 ac 2, z nichž každé jsou na místě jedné z událostí. Podle Einsteinoa postulátu rychlosti sětla se sětlo šířilo stejnou rychlostí c pro Sláka i pro Sylu. Pro Sláka šak sětlo urazilo zdálenost 2L mezi událostmi 1 a 2. Časoý interal, který Sláek mezi oběma událostmi naměřil, je t = 2L (Sláek), (38.3) c kde ( L = 1 2 t) 2 + D 2. (38.4) Podle ro. (38.2) můžeme L přepsat jako ( L = 1 2 t) 2 ( + 12 ) 2. c t 0 (38.5) Vyloučíme-li L z ro. (38.3) a (38.5) a ypočteme-li t, dostááme t = t 0 1 (/c) 2. (38.6) Ro. (38.6) nám umožňuje poronat časoé hodnoty t a t 0, jak je změřili Sláek a Syla. Protože musí být menší než c, musí být jmenoatel ro. (38.6) menší než jedna. Proto t musí být ětší než t 0 : Sláek naměří ětší časoý interal mezi děma událostmi než Syla. Sláek a Syla změřili časoý interal mezi týmiž děma událostmi, ale jejich zájemný pohyb způsobil, že šlo o různá měření. Uzaíráme, že relatiní pohyb může změnit tempo průběhu času mezi děma událostmi; klíčem k tomuto jeu je fakt, že rychlost sětla je pro oba pozoroatele stejná. Rozdíl mezi Slákoým a Syliným měřením yjádříme užitím následující terminologie: Nastáají-li dě události na stejném místě jisté inerciální ztažné soustaě, pak časoý interal mezi nimi měřený této soustaě se nazýá lastnímčasoým interalemnebo lastní dobou. Měření odpoídajícího časoého interalu jiné inerciální ztažné soustaě dá ždy ýsledek, který je ětší. Syla tedy měří lastní časoý interal a Sláek měří časoý interal, který je ětší. (Termín lastní nesmíme chápat tak, že jiné měření dáá nespráný či nereálný ýsledek.)zětšení časoého interalu mezi děma událostmi oproti lastnímu interalu nazýáme dilatací času. (Dilatace znamená prodloužení neboli roztažení; tudíž časoý interal se prodlužuje neboli roztahuje.) Bezrozměroý podíl /c ro. (38.6) značíme zpraidla jako β; nazýejme ho rychlostnímparametrem.jeto tedy rychlost yjádřená jako zlomek rychlosti sětla. Bezrozměroou přerácenou hodnotu odmocniny ro. (38.6) značíme často jako γ a nazýáme Lorentzoýmfaktorem γ = 1 1 β 2. (38.7) S těmito označeními můžeme přepsat ro. (38.6) jako t = γ t 0 (dilatace času). (38.8) Rychlostní parametr β je ždy menší než jedna, a pokud není rono nule, je γ ždy ětší než jedna. Rozdíl mezi γ a 1 šak není ýrazný, dokud neplatí >0,1c. Takže stará relatiita je docela dobře použitelná pro <0,1c, ale pro ětší hodnoty musíme užít speciální relatiity. Jak ukazuje obr. 38.6, elikost γ prudce roste, když se β blíží jedné (čili se blíží k c). Čím je tedy ětší relatiní rychlost mezi Sylou a Slákem, tím ětší je časoý interal měřený Slákem, až pro dostatečně elkou rychlost se prodlouží téměř e ěčnost. Můžete se ptát, co řekne Syla na to, že Sláek naměřil ětší časoý interal, než jaký naměřila ona. Nebude to pro ni žádným překapením, protože podle ní Sláek nesynchronizoal sé hodiny C 1 ac 2, ačkoli trdí, že to učinil. Připomeňme, že pozoroatelé pohybující se ůči sobě se neshodují tom, co je současné. Sláek tedy trdí, že obojí jeho hodiny ukazoaly současně stejný čas době, kdy nastala událost 1. Podle Syly šak byly Slákoy hodiny C 2 nespráně nastaeny. Když tedy na nich Sláek odečítal čas události 2, zaznamenal podle Syly příliš elký čas, a proto připsal oběma událostem ětší časoý interal než Syla.

8 38.5 RELATIVITA ČASU 1013 γ ,2 0,4 0,6 0,8 1,0 β Obr Lorentzů faktor γ jako funkce rychlostního parametru β = /c. Da testy dilatace času 1. Mikroskopické hodiny. Subatomární částice zané miony jsou nestabilní. To znamená, že mion se krátké době po sém zniku rozpadne (přemění na částice jiných typů). Doba žiota mionu je časoý interal mezi jeho znikem (událost 1) a jeho rozpadem (událost 2). Jsou-li miony klidu a jejich doby žiota jsou měřeny nehybnými hodinami (např. laboratoři), pak jejich průměrná doba žiota je Ñs. Je to lastní časoý interal, protože pro každý mion nastáají události 1 a 2 témže místě e ztažné soustaě mionu. Tento lastní časoý interal označíme t 0 a ztažnou soustau, níž bylo proedeno měření, nazeme klidoou soustaou mionu. Pokud se šak miony pohybují (např. ůči laboratoři), pak měření jejich dob žiota proedené laboratorními hodinami poede k ětší (dilatoané) průměrné době žiota. Pro potrzení tohoto záěru byla proedena měření průměrné doby žiota mionů pohybujících se rychlostí 0,999 4c zhledem k laboratorním hodinám. Z ro. (38.7) s β = 0,999 4 lze obdržet pro tuto rychlost Lorentzů faktor γ = 1 1 β 2 = 1 1 (0,999 4) 2 = 28,87, což je podstatně ětší než jedna. Ro. (38.8) pak dáá pro průměrnou dilatoanou dobu žiota t = γ t 0 = (28,87)(2,200 Ñs) = 63,5 Ñs. Skutečně pozoroaná hodnota potrdila tento ýsledek mezích pozoroacích chyb. 2. Makroskopické hodiny. V říjnu 1977 Joseph Hafele a Richard Keating uskutečnili skutku ohromující experiment. Nechali čtery přenosné atomoé hodiny dakrát obletět kolem sěta na komerčních leteckých linkách; každé z nich jiném směru. Cílem bylo testoat Einsteinou teorii relatiity pomocí makroskopických hodin. Jak jsme práě iděli, předpoě časoé dilatace podle Einsteinoy teorie byla potrzena mikroskopickém měřítku, ale něco docela jiného je idět potrzení na skutečných hodinách. Takoá makroskopická měření byla umožněna pouze elmi ysokou přesností moderních atomoých hodin. Hafele a Keating oěřili předpoědi teorie s přesností 10 %. (Einsteinoa obecná teorie relatiity, která předpoídá, že tempo chodu hodin je oliněno graitací, hraje daném experimentu roněž roli.) O několik let později fyzikoé z unierzity Marylandu proedli podobný experiment se zýšenou přesností. Oblétali s atomoými hodinami Chesapeakskou zátoku stále dokola po dobu 15 h a podařilo se jim potrdit předpoě časoé dilatace s přesností lepší než 1 %. Když se dnes atomoé hodiny přenášejí z jednoho místa na druhé kůli kalibraci či z jiných důodů, bere se ždy ohled na časoou dilataci způsobenou jejich pohybem. KONTROLA 1: Stojíme u železničních kolejí, když nás náhle yděsí relatiistický nákladní agon řítící se kolem nás, jak je ukázáno na obrázku. Ve agonu je dobře ybaený hobo (americký železniční tulák) Jack, který posílá laseroý pulz od přední k zadní stěně agonu. (a) Dá naše měření rychlosti pulzu ětší, menší, nebo stejný ýsledek jako měření Jackoo? (b) Je Jackoo měření doby letu pulzu měřením lastního času? (c) Jsou Jackoa a naše měření doby letu pulzu spojena ro. (38.8)? PŘÍKLAD 38.2 Váš hězdolet míjí Zemi relatiní rychlostí 0,999 0c. Po uplynutí 10,0 roků se zastaíte na pozoroatelně LP13 a pak cestujete zpět k Zemi stejnou relatiní rychlostí. Cesta zabere dalších 10,0 roků (ašeho času). Jak dlouho trá cesta podle měření ykonaných na Zemi? (Zanedbejte jakýkoli li způsobený zrychlením během zastaoání a rozletu.) ŘEŠENÍ: Začátek i konec cesty tam (Země LP13) nastáají e aší ztažné soustaě, tj. e ašem hězdoletu, na stejném místě. Měříte tedy lastní čas t 0 cesty, který je určen jako 10,0 y. Ro. (38.6) dáá odpoídající čas t, jak je naměřen pozemské ztažné soustaě t = t 0 = (10,0y) = 1 (/c) 2 1 (0,999 0c/c) 2 = (22,37)(10,0y) = 224 y. Při cestě zpět (LP13 Země) máme stejnou situaci a stejné

9 1014 KAPITOLA 38 RELATIVITA údaje. Celkoá cesta tedy zabere 20 roků ašeho času, ale t celk = 2(224 y) = 448 y (Odpoě ) pozemského času. Jinými sloy, zestárl jste o 20 let, zatímco Země zestárla o 448 let. Ačkoli nelze (pokud dnes íme) cestoat do minulosti, není yloučeno cestoání např. do budoucnosti Země pomocí elmi rychlého relatiního pohybu, který změní tempo plynutí času. PŘÍKLAD 38.3 Elementární částice nazaná kladný kaon (K + ) má klidu průměrnou dobu žiota 0,123 7 Ñs, tj. jedná se o dobu žiota měřenou klidoé soustaě kaonu. Vytářejí-li se kladné kaony s rychlostí 0,990c zhledem k laboratorní ztažné soustaě, jak daleko se této soustaě během sé doby žiota dostanou? ŘEŠENÍ: V laboratorní soustaě je zdálenost d uražená kaonem spojena s jeho rychlostí = 0,990c a dobou jeho letu t k ztahem d = t k. (Toto trzení není oliněno relatiitou, protože šechny eličiny se měří téže ztažné soustaě.) Kdybychom neužíali speciální relatiity, doba letu by činila 0,123 7 Ñs, což je doba žiota částice, a tudíž jeho délka by byla d = t k = (0,990)(3, m s 1 )(1, s) = = 36,7m (chybná odpoě ). Je šak třeba užít speciální relatiity a doba letu kaonu laboratorní soustaě je jeho dilatoaná doba žiota t. Podle ro. (38.6) můžeme najít t ze znalosti lastní doby žiota kaonu t 0 = 0,123 7 Ñs měřené jeho klidoé soustaě t = t 0 1 (/c) 2 = = (0, s) 1 (0,990c/c) 2 = 8, s. To je sedmkrát ětší než lastní doba žiota kaonu. (Tento ýpočet přihlížel k relatiitě, protože jsme museli přepočítat data z klidoé soustay částice do soustay laboratorní.) Nyní najdeme délku cesty kaonu laboratorní soustaě jako d = t = = (0,990)(3, m s 1 )(8, s) = = 260 m. (Odpoě ) Tato zdálenost je sedmkrát ětší než podle naší prní (nespráné) odpoědi. Experimenty tohoto druhu, které oěřují speciální relatiitu, jsou už po desetiletí pro fyzikální laboratoře rutinní záležitostí RELATIVITA DÉLKY Chcete-li měřit délku tyče, která je ůči ám klidu, můžete až ám zbude čas zaznamenat polohy jejich konců na dlouhém nehybném měřítku a oba údaje odečíst. Pokud se ale tyč pohybuje, musíte zaznamenat polohy koncoých bodů současně (e aší ztažné soustaě). Jinak by se aše měření nemohlo nazýat měřením délky. Obr naznačuje potíže, na něž narážíme, když chceme změřit délku pohybujícího se tučňáka zaznamenáním polohy jeho hrudi a zad rozdílných časech. Protože současnost je relatiní a oliňuje měření délky, je i délka relatiní eličinou. Nech L 0 je délka tyče, kterou měříte, když je tyč klidu (za předpokladu, že y i tyč jste téže ztažné soustaě, klidoé soustaě tyče). Jestliže se naopak tyč zhledem k ám pohybuje rychlostí e směru délky tyče, naměříte délku L danou ztahem L = L 0 1 β 2 = L 0 (kontrakce délky). (38.9) γ Protože Lorentzů faktor γ je při relatiním pohybu ždy ětší než jedna, je L ždy menší než L 0. Relatiní pohyb způsobuje kontrakci délky a L se nazýá kontrahoaná délka. Protožeγ s rychlostí roste, roste s relatiní rychlostí i kontrakce délky. Délka objektu L 0 měřená jeho klidoé soustaě je lastní délka čili klidoá délka. Měření délky každé ztažné soustaě, která koná relatiní pohyb ronoběžný s touto délkou, dáá ýsledek, který je ždy menší než lastní délka. Pozor: kontrakce délky nastáá pouze e směru relatiního pohybu. Dodejme, že měřená délka nemusí být délkou objektu, jako je tyč či obruč. Může to být i délka (či zdálenost) mezi děma objekty téže klidoé soustaě například zdálenost Slunce a blízké hězdy (které jsou alespoň přibližně ůči sobě klidu). Zkracuje se objekt opradu? Realita je založena na pozoroáních a měřeních; jestliže ýsledky ždy zájemně souhlasí a nelze najít žádnou chybu, pak to, co bylo pozoroáno a měřeno, je reálné. V tomto smyslu se objekt opradu zkracuje. Přesněji bychom šak mohli říci, že zkrácení objektu je opradu změřeno pohyb oliňuje měření a tím i realitu. Musí bleskoá fotografie ukázat zkrácení objektu? Nikoli, protože není pořízena zachycením sětla, které objekt emitoal určitém okamžiku (současně). Zaznamenáá sětlo z objektu, které dospělo do kamery okamžiku expozice filmu, bez ohledu na to, kdy bylo emitoáno.

10 38.6 RELATIVITA DÉLKY 1015 t 0 nehybných hodin, takže interal t 0, který měří, je lastní časoý interal. Pro ni je délka nástupiště L dána ztahem L = t 0 (Syla). (38.11) x A (t 0 ) x B (t 0 ) (a) Vydělíme-li ro. (38.11) ronicí (38.10) a užijeme pro dilataci času ro. (38.8), dostaneme L = t 0 = 1 L 0 t γ x A (t 0 ) x B (t 1 ) (b) Obr Chceme-li měřit délku pohybujícího se tučňáka měřením polohy jeho hrudi a zad, musíme je měřit současně ( naší ztažné soustaě). Tak je tomu (a), ale nikoli (b). Měříte-li zkrácenou délku, například délku tyče, co řekne o ašem měření pozoroatel pohybující se spolu s tyčí? Podle něho jste nezaznamenali polohu obou konců tyče současně. (Připomeňme, že pozoroatelé e zájemném pohybu se neshodují tom, co je současné.) Z hlediska zmíněného pozoroatele jste nejpre zaznamenali polohu předního konce tyče a tepre o něco později polohu zadního konce. Proto jste změřili délku, která je menší než lastní délka. Odození ro. (38.9) Kontrakce délky přímo souisí s dilatací času. Uažujme ještě jednou naše da pozoroatele. Syla, která sedí e laku projíždějícím nádražím,stejně jako Sláek,který stojí na nástupišti, chtějí změřit délku nástupiště. Sláek užije plátěného metru a zjistí délku L 0.Je to lastní délka,protože nástupiště je zhledem k němu klidu. Sláek také zjiš uje, že Syla e laku projede kolem této délky za čas t = = L 0 /, kde je rychlost laku. Je tedy L 0 = t (Sláek). (38.10) Časoý interal t není lastním časoým interalem, protože dě události, které jej ohraničují (Sylino míjení začátku a konce nástupiště), nastáají e dou různých místech a Sláek musí užít dojích synchronizoaných hodin, aby interal t změřil. Pro Sylu se šak nástupiště pohybuje. Zjiš uje, že obě události, které měřil Sláek, nastáají témže místě její ztažné soustaě. Může jim přiřadit čas pomocí jediných t 1 neboli L = L 0 γ, (38.12) což je ro. (38.9) pro kontrakci délky. PŘÍKLAD 38.4 Na obr se Syla ( bodě A) a Slákoa kosmická lo (o lastní délce L 0 = 230 m) míjejí konstantní relatiní rychlostí. Syla měří časoý interal 3,57 Ñs, po který ji lo míjí (od průchodu bodu B do průchodu bodu C). Jaký je rychlostní parametr β mezi Sylou a lodí? ŘEŠENÍ: Kdyby relatiní rychlost Sláka zhledem k Sylě byla menší než 0,1 c, mohli bychom na danou situaci pohlížet jako kap. 2, kde jsme mluili o kosmické lodi délky L a rychlosti, jež míjí Sylu za časoý interal t = L. (Tento záěr nebere ohled na relatiitu.) Nyní šak praděpodobně jde o relatiistický problém, kde >0,1c. V tomto případě íme, že délka L, kterou Syla měří, není lastní délka L 0 lodi, ale kontrahoaná délka, daná ro. (38.9) L = L 0 1 β 2. (Tento záěr zahrnuje relatiitu, protože transformujeme data mezi Slákoou a Sylinou soustaou.) Podle Syly je nyní čas potřebný pro průlet dán ztahem t = zkrácená délka L = L 0 1 β 2. βc Vyjádříme-li odtud β a dosadíme dané údaje, nalézáme po jednoduchém ýpočtu L 0 β = = (c t) 2 + L 2 0 (230 m) = (3, m s 1 ) 2 (3, s) 2 + (230 m) = 2 = 0,210, (Odpoě )

11 1016 KAPITOLA 38 RELATIVITA takže relatiní rychlost Syly zhledem k lodi je 21 % rychlosti sětla. Poznamenejme, že zde je důležitý pouze relatiní pohyb Sláka a Syly; zda je někdo z nich klidu např. ůči kosmodromu, není podstatné. Na obr bereme Sylu jako nehybnou, ale mohli bychom poažoat za nehybnou i lo, kdežto Syla by kolem ní letěla. Na našich ýsledcích by se nic nezměnilo. Syla A C Sláek B Obr Příklad Syla měří, jak dlouho trá lodi, když ji bodě A míjí. KONTROLA 2: V př měří Syla dobu průletu kosmické lodě. Dělá-li to i Sláek, (a) je některé z měření měřením lastního času? (b) Které měření dá menší ýsledek? To je lastní čas, protože začátek a konec průletu nastáá e aší ztažné soustaě (e aší kosmické lodi) e stejném bodě. Můžete proěřit opráněnost obou odpoědí, když je dosadíte do ro. (38.8) (pro časoou dilataci) a ypočtete γ LORENTZOVA TRANSFORMACE Jak ukazuje obr. 38.9, inerciální ztažná soustaa S se pohybuje rychlostí zhledem k soustaě S e společném kladném směru jejich odoroných os, označených jako x a x. Pozoroatel S přiřazuje události prostoročasoé souřadnice x, y, z, t a pozoroatel S jí přiřazuje souřadnice x, y, z, t. Jak spolu oba soubory čísel souisejí? y S y S PŘÍKLAD 38.5 Překapila ás supernoa a chcete uniknout explozi kosmickou lodí naději, že prudce yržená hmota ás nedostihne. Váš Lorentzů faktor zhledem k inerciální ztažné soustaě okolních hězd je 22,4. (a) Víte, že budete bezpečí, až urazíte alespoň 9, m e ztažné soustaě okolních hězd. Jak dlouho poletíte zhledem k této soustaě? ŘEŠENÍ: Délka L 0 = 9, m je lastní délkou e ztažné soustaě okolních hězd, protože oba její konce jsou této soustaě klidu. Obr nám říká, že při tak elkém Lorentzoě faktoru je aše relatiní rychlost zhledem k hězdám =. c. V této aproximaci si proběhnutí délky L 0 žádá čas t = L 0 = L 0 c = (9, m) (3, m s 1 ) = = 3, s = 9,49 y. (Odpoě ) (b) Jak dlouho trá tento únik pro ás (e aší ztažné soustaě)? ŘEŠENÍ: Ve aší ztažné soustaě je zdálenost, kterou urazíte, kontrahoaná délka L. Ta ám uplýá relatiní rychlostí. = c. Ro. (38.9) nám říká, že L = L 0 /γ. Takže čas, který změříte po průletu kontrahoané délky, je t 0 = L = L 0/γ = = L 0 cγ = ( m) (3, m s 1 )(22,4) = = 1, s = 0,424 y. (Odpoě ) t x x x událost Obr Dě inerciální ztažné soustay: soustaa S má rychlost ůči S. Řekněme ihned (i když by si to žádalo důkaz), že souřadnice y a z e směru kolmém k pohybu nejsou pohybem oliněny. Platí tedy y = y a z = z. Dále se budeme zabýat jen ztahy mezi x a x a mezi t a t. Galileoy transformační ronice Dokud Einstein nepublikoal speciální teorii relatiity, předpokládalo se, že uedené čtyři souřadnice spolu souisejí Galileoými transformačními ronicemi x = x t, t = t (38.13) (Galileoy transformační ronice; platné přibližně pro malé rychlosti). Tyto ronice jsou zapsány za předpokladu, že t = t = 0 e chíli, kdy počátky S a S splýají. Můžete oěřit prní ronici pomocí obr Druhá ronice znamená, že čas běží pro pozoroatele obou ztažných soustaách stejně. Před Einsteinem se to zdálo každému ědci tak zřejmě pradié, že se o tom ani nezmiňoali. Je-li rychlost malá e sronání s c, slouží ro. (38.13) docela dobře. x

12 38.8 NĚKTERÉ DŮSLEDKY LORENTZOVÝCH ROVNIC 1017 Lorentzoy transformační ronice Uedeme bez důkazu, že spráné transformační ronice, které zůstáají platné pro šechny rychlosti až po rychlost sětla, mohou být odozeny z relatiistických postulátů. Výsledkem jsou Lorentzoy transformační ronice*: x = γ(x t), y = y, z = z, t = γ(t x/c 2 ) (Lorentzoy transformační ronice; platí při šech rychlostech). (38.14) Pošimněme si, že prostoroé hodnoty x a časoé hodnoty t jsou ázány prní a poslední ronicí. Toto proázání prostoru a času je hlaním zěstoáním Einsteinoy teorie, jež mnozí z jeho současníků dlouho nechtěli uznat. Na relatiistické ronice se klade formální požadaek, aby se redukoaly na obyklé klasické ronice, když c jde do nekonečna. Kdyby tedy byla rychlost sětla nekonečně elká, byly by šechny konečné rychlosti malé a klasické ronice by nikdy nepřestaly platit. Položíme-li c ro. (38.14), pak γ 1 a tyto ronice se redukují jak jsme očekáali na Galileoy ronice (38.13). Oěřte si to. Ro. (38.14) jsou zapsány e taru, který je užitečný, pokud známe x a t a chceme najít x a t. Můžeme šak chtít i opak. Pak prostě rozřešíme ro. (38.14) pro x a t a obdržíme x = γ(x + t ), t = γ(t + x /c 2 (38.15) ). Sronání ukazuje, že a už yjdeme z ro. (38.14) nebo (38.15), dostaneme druhou soustau záměnou čárkoaných a nečárkoaných souřadnic a obrácením znaménka relatiní rychlosti. Ro. (38.14) a (38.15) spojují souřadnice jediné události, jak ji idí oba pozoroatelé. Někdy se nezajímáme o souřadnice jediné události, ale o rozdíly souřadnic páru událostí.označíme-li tedy naše události 1 a 2,chceme spojit x = x 2 x 1 a t = t 2 t 1, jak je měří pozoroatel S,a x = x 2 x 1 a t = t 2 t 1, jak je měří pozoroatel S. * Můžete se diit, proč nemluíme o Einsteinoých transformačních ronicích (a o Einsteinoě faktoru γ ). H. A. Lorentz fakticky ododil tyto ronice před Einsteinem, ale jak elký holandský fyzik sám elkoryse uznal, neproedl zbýající smělý krok k uznání těchto ronic za yjádření skutečné poahy prostoru a času. Tepre takoá interpretace, již popré proedl Einstein, je jádrem relatiity. Tab uádí Lorentzoy ronice různých tarech hodných pro zkoumání páru událostí. Tyto ronice byly odozeny prostým dosazením rozdílů (jako x a x )za čtyři proměnné ro. (38.14) a (38.15). Tabulka 38.2 Lorentzoa transformace pro dojici událostí (1) x = γ( x + t ) (1 ) x = γ( x t) (2) t = γ( t + x /c 2 ) (2 ) t = γ( t x/c 2 ) γ = 1 = 1 1 (/c) 2 1 β 2 Pozor: při dosazoání hodnot rozdílů nesmíme poplést pořadí událostí, a pokud je některý z rozdílů záporný, nesmíme zapomenout na znaménko. KONTROLA 3: Následující obrázek ukazuje tři situace, nichž modrá ztažná soustaa a zelená ztažná soustaa se zájemně pohybují podél společného směru sých os x a x, jak to yjadřuje ektor rychlosti spojený s jednou ze sousta. Volme modrou soustau jako nehybnou. Rozhodněte pak pro každou situaci, zda eličina ronicích tab je kladná, nebo záporná. y y (a) x x y y (b) 38.8 NĚKTERÉ DŮSLEDKY LORENTZOVÝCH ROVNIC Nyní užijeme transformačních ronic tab. 38.2, abychom se ujistili o některých záěrech, ke kterým jsme dříe došli na základě argumentů přímo založených na postulátech. Současnost Vezměme ro. (2) z tab ) t = γ ( t + x. (38.16) Nastanou-li dě události různých místech e ztažné soustaě S z obr. 38.9, pak x této ronici není nuloé. Z toho plyne, že i když jsou události současné S (takže x x c 2 y y (c) x x

13 1018 KAPITOLA 38 RELATIVITA t = 0), nebudou současné soustaě S. Časoý interal mezi nimi S bude t = γ x c 2 (současné události S ). To souhlasí s naším záěrem čl Dilatace času Nyní předpokládejme, že obě události jsou soumístné, tj. nastáají témže místě S (takže x = 0), ale různých časech (takže t 0). Ro. (38.16) se tedy redukuje na t = γ t (soumístné události S ). (38.17) Tím je potrzena dilatace času. Protože obě události nastáají témže místě S, může být časoý interal t mezi nimi měřen jedinými hodinami umístěnými tomto místě. Za těchto podmínek je měřený interal lastním časoým interalem a můžeme jej označit jako t 0. Pak ro. (38.17) dáá t = γ t 0 (dilatace času), což je přesně ro. (38.8) pro dilataci času. Kontrakce délky Vezměme ro. (1 ) z tab. 38.2: x = γ( x t). (38.18) Leží-li tyč ronoběžně s osami x, x z obr a je-li klidu e ztažné soustaě S, může pozoroatel S měřit délku beze spěchu. Hodnota x, kterou obdrží odečtením souřadnic koncoých bodů tyče, bude lastní délka L 0. V soustaě S se tyč pohybuje. To znamená, že x můžeme poažoat za délku tyče, pouze když jsou souřadnice koncoých bodů změřeny současně, to jest je-li t = 0. Klademe-li x = L 0, x = L a t = 0 ro. (38.18), dostááme L = L 0 γ (kontrakce délky), (38.19) což je přesně ro. (38.9) pro kontrakci délky. PŘÍKLAD 38.6 Ze Země byl yslán hězdolet, aby zkontroloal naši stanici na planetě P1407, jejíž měsíc obýá bojoná skupina Reptalů, kteří se k lidem často choají nepřátelsky. Hězdolet se pohybuje po přímce, a když mine planetu a měsíc, je z něho pozoroán ysokoenergetický mikrolnný záblesk na měsíční základně Reptalů a o 2,43 s později exploze na naší stanici, která je zhledem ke ztažné soustaě hězdoletu zdálena 0, m od základny Reptalů. Snad Reptaloé napadli naši stanici a posádka hězdoletu by se měla připrait na boj s nimi. (a) Rychlost hězdoletu zhledem k planetě a měsíci je 0,980c. Jaká je zdálenost mezi zábleskem a explozí a časoý interal mezi nimi změřený inerciální soustaě planeta + měsíc (a tudíž odpoídající posádce stanice a základny)? S y lo x S y měsíc (záblesk) planeta (exploze) Obr Příklad Planeta a její měsíc stojící ůči ztažné soustaě S se pohybují rychlostí zhledem ke kosmické lodi, která stojí ůči systému S. ŘEŠENÍ: Situace je znázorněna na obr , kde soustaa hězdoletu S je poažoána za nehybnou a soustaa planeta+ + měsíc S se ůči ní pohybuje kladnou rychlostí (dopraa). (Tato olba není nutná mohli bychom olit za nehybnou i soustau planeta + měsíc. Pak bychom obr spojili se soustaou S a orientoali dolea; by pak bylo zápornou eličinou. Výsledek by zůstal stejný.) Označme indexy (e) a (z) explozi a záblesk. Je třeba si uědomit, že údaje zadání T = 2,43 s, X = 0, m nejsou časoým ani prostoroým interalem mezi událostmi (z) a (e). T předstauje dobu, která uplynula na kosmické lodi od přijetí informace o záblesku na měsíci do přijetí informace o explozi na planetě, přičemž tyto informace se od sých zdrojů šířily rychlostí sětla. X je zdálenost od měsíce k planetě e ztažné soustaě spojené s lodí. Události (z) a (e) šak nemusely nastat současně, a proto zdálenost mezi nimi může být jiná. Musíme tedy nejpre najít časoý interal t a zdálenost x mezi událostmi (z) a (e). Tyto eličiny souisejí s eličinami X a T ztahy X = x t, T = t + x c, které podstatě yjadřují, že dráha = rychlost čas pro ronoměrný a přímočarý pohyb planety a sětelného signálu yslaného z ní době exploze. Dosazením do těchto ztahů a yřešením ronic dostááme a x = x e x z =+4, m t = t e t z =+1,10 s. x

14 38.8 NĚKTERÉ DŮSLEDKY LORENTZOVÝCH ROVNIC 1019 Zde x je kladná eličina, protože obr je souřadnice exploze x e ětší než souřadnice x z pro blýsknutí; t je roněž kladná eličina, protože čas exploze t e je ětší (pozdější) než čas t z záblesku. Hodnoty x a t obdržíme transformoáním dat soustay S do soustay S planeta měsíc. Protože uažujeme pár událostí, bereme transformační ronice z tab. 38.2, a to (1 ) a (2 ): x = γ( x t) (38.20) a t = γ Zde =+0,980c a Lorentzů faktor je γ = ( t x ) c 2. (38.21) 1 = 1 = 5, (/c) 2 1 (+0,980c/c) 2 Ro. (38.20) tedy dáá x = (5,025 2)[(4, m (+0,980)(3, m s 1 )(1,10 s))] = = 3, m (Odpoě ) a ro. (38.21) dáá ( t = (5,025 2) (1,10 s) (+0,980)(3, m s 1 )(4, ) m) (3, m s 1 ) 2 = = 1,04 s. (Odpoě ) (b) Jaký je ýznam znaménka minus e ypočtené hodnotě t? ŘEŠENÍ: Zopakujme, jak jsme půodně definoali časoý interal mezi zábleskem a explozí: t = t e t z =+1,10 s. Abychom byli souladu s olbou označení, naše definice t musí být t e t z ; zjistili jsme tedy, že t = t e t z = 1,04 s. To znamená, že t z >t e ; tedy e ztažné soustaě planeta měsíc nastal záblesk 1,04 s po explozi, nikoli 1,10 s před explozí, jak bylo pozoroáno soustaě hězdoletu. (c) Mohl záblesk způsobit explozi, nebo mohla exploze způsobit záblesk? ŘEŠENÍ: Pořadí událostí měřených e ztažné soustaě planeta měsíc je opačné, než jak bylo změřeno soustaě hězdoletu. Tak či onak, kdyby mezi oběma událostmi byla příčinná souislost, musela by se od jedné události přenést informace, aby způsobila druhou. Najděme předpokládanou rychlost informace. V soustaě hězdoletu je tato rychlost info = x t = (4, m) (1,10 s) = 3, m s 1, ašak tato rychlost je nemožná, protože přeyšuje c. V soustaě planeta měsíc je tato rychlost 3, m s 1,což je roněž nemožné. Žádná z událostí nemohla tedy způsobit druhou; jsou to tedy příčinně nespojené události. Posádka hězdoletu proto nemusí proti Reptalům zakročit. PŘÍKLAD 38.7 Obr ukazuje inerciální ztažnou soustau S, níž událost 1 (auto odmrští kámen, souřadnice x 1 a t 1 ) způsobuje událost 2 (kámen ás zasáhne, souřadnice x 2 a t 2 ). Existuje jiná inerciální soustaa, níž měření těchto událostí jim dá opačné pořadí čase, takže následek bude předcházet příčině? Můžete pak být obiněn, že jste pozdější událost způsobil? ŘEŠENÍ: Abychom našli časoý rozdíl t páru událostí soustaě S, známe-li data soustay S, užijeme ro. (2 ) tab ( t = γ t x ) c 2. (38.22) Zopakujme, že je relatiní rychlost S ůči S. Pokládáme soustau S za nehybnou; S má pak rychlost. Nech t = t 2 t 1.Pak t je kladná eličina, a máme-li se držet zoleného označení, musíme klást x = x 2 x 1 a t = t 2 t 1. Jak předpokládá obr , x je kladná eličina, protože x 2 >x 1. y S (x 1,t 1 ) (x 2,t 2 ) Obr Příklad Událost 1 (příčina) s prostoročasoými souřadnicemi (x 1,t 1 ) yolá událost 2 (důsledek) o prostoročasoých souřadnicích (x 2,t 2 ). Může být nějaké jiné ztažné soustaě časoé pořadí příčina důsledek obrácené? Zajímá nás, zda t může být záporná eličina, což by znamenalo, že čas t 1 události 1 je pozdější (a tedy ětší) než čas t 2 události 2. Z ro. (38.22) idíme, že t může být záporné, pouze když x c 2 > t. Tato podmínka může být nahrazena ekialentním yjádřením x/ t c c > 1. Poměr x/ t je rychlost, s níž se informace (zde přenášená kamenem) pohybuje od události 1, aby způsobila událost 2. Tato rychlost nemůže přesáhnout c. (Informace se může šířit rychlostí c, je-li přenášena sětlem, kámen se ošem pohybuje pomaleji.) Takže ( x/ t)/c může být nanejýš 1 a /c x

15 1020 KAPITOLA 38 RELATIVITA nemůže být rono ani ětší než 1. Leá strana dané neronosti musí být tedy menší než 1 a neronost tedy nemůže být splněna. Takže neexistuje žádná soustaa S, níž by událost 2 předcházela sou příčinu, událost 1. Obecněji, ačkoli pořadí příčinně nespojených událostí může být relatiitě někdy obráceno (jako je tomu př. 38.6), události předstaující příčinu a následek nemohou být nikdy takto přehozeny RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ Chceme nyní užít Lorentzoých transformačních ronic ke sronání rychlostí jedné a téže pohybující se částice, jak je změří da pozoroatelé různých inerciálních ztažných soustaách S a S. Předpokládáme stále, že S se pohybuje zhledem k S rychlostí. S y x S y částice rychlost u ůči S rychlost u ůči S Obr Vztažná soustaa S se pohybuje rychlostí ůči soustaě S. Částice má rychlost u ůči soustaě S a rychlost u ůči soustaě S. Omezme se na případ, kdy se částice pohybuje stálou rychlostí ronoběžně s osami x a x, jako je tomu na obr Nech částice během sého pohybu yšle da signály. Každý pozoroatel změří prostoroý a časoý interal mezi těmito děma událostmi. Proedená čtyři měření jsou spojena ronicemi 1 a 2 z tab x x = γ( x + t ), ) t = γ ( t + x. Dělíme-li prní z těchto ronic druhou, dostááme x t c 2 = x + t t + x /c 2. Dělíme-li čitatele i jmenoatele praé strany t, obdržíme x t = x / t ( x / t )/c 2. V limitě je šak x/ t práě rychlost u částice měřená S a x / t rychlost u částice měřená S. Tak konečně dostaneme u = u u /c 2 (relatiistické skládání rychlostí), (38.23) což je relatiistický transformační ztah pro rychlost. S jiným označením jsme diskutoali tuto ronici čl Možná si ho znou přečtete a zláště si pak prostudujete př a Když ro. (38.23) formálně položíme c, redukuje se na klasickou neboli galileoskou ronici pro skládání (sčítání) rychlostí u = u + (klasické skládání rychlostí). (38.24) DOPPLERŮV JEV PRO SVĚTLO V čl jsme diskutoali Dopplerů je (posu naměřené frekence) pro zukoé lny šířící se e zduchu. Pro takoé lny záisí Dopplerů je na dou rychlostech. Jsou to rychlosti zdroje a pozoroatele zhledem ke zduchu, který je prostředím přenášejícím lny. Jinak je tomu se sětelnými lnami, protože ty (jako elektromagnetické lny ůbec) nepotřebují žádné prostředí a mohou se šířit i e akuu. Pro sětelné lny e akuu záisí Dopplerů je jen na jedné rychlosti na relatiní rychlosti zdroje ůči detektoru, jak je měřena ze ztažné soustay kteréhokoli z nich. Nech f 0 je lastní frekence zdroje, to jest frekence, kterou měří pozoroatel klidoé soustaě zdroje. Nech f je frekence měřená pozoroatelem, který se pohybuje rychlostí zhledem k této klidoé soustaě. Je-li rychlost namířena směrem od zdroje, je f = f 0 1 β 1 + β (zdroj a detektor se zájemně zdalují), (38.25) kde β = /c. Je-li rychlost namířena směrem ke zdroji, musíme změnit znaménka před oběma symboly β ro. (38.25). Podle ro. (38.25), pokud zdálenost mezi zdrojem a detektorem roste,je naměřená frekence menší než lastní frekence f 0. Zopakujme, že f = c/λ, kde λ je lnoá délka sětla. Vidíme tedy, že zmenšení frekence odpoídá zětšení lnoé délky. V čl jsme takoý zrůst lnoé délky nazali rudým posuem (protože rudá část iditelného sětla má nejětší lnoou délku). Podobně, pokud se zdálenost zdroj detektor zmenšuje, je f ětší než f 0 ;to odpoídá zmenšení lnoé délky, to jest modrému posuu.

16 38.10 DOPPLERŮV JEV PRO SVĚTLO 1021 Pro malé rychlosti (β 1) můžeme ro. (38.25) rozepsat podle mocnin β a aproximoat jako f = f 0 ( 1 β β 2) (pro malé rychlosti). (38.26) Odpoídající zorec pro zukoé či jakékoli jiné lny s ýjimkou sětelných má dané aproximaci stejné prní da členy (kde β je podíl rychlosti detektoru a rychlosti lnění), ale rozdílný koeficient e třetím členu. Relatiistický li se tedy projeuje až e členu úměrném β 2. Jak jsme krátce diskutoali kap. 18, policejní radaroé zařízení užíá Doppleroa jeu pro mikrolny. Zdroj tomto zařízení emituje mikrolnný signál o jisté frekenci f 0 zhledem k silnici. Auto, které se pohybuje e směru k zařízení, přijímá mikrolnný signál, jehož frekence je posunuta Doppleroým jeem k frekenci f ro. (38.25) (s opačným znaménkem β). Auto odrazí lnu zpět k radaroému zařízení. Protože auto se pohybuje k radaru, detektor zařízení přijímá odražený signál, jehož frekence je dále posunuta. Zařízení poronáá naměřenou frekenci s frekencí f 0 a počítá rychlost auta. KONTROLA 4: Obrázek ukazuje zdroj, který emituje sětlo o lastní frekenci f 0 během pohybu dopraa s rychlostí c/4 měřenou ze ztažné soustay S. Obrázek dále ukazuje detektor sětla, který měří frekenci f>f 0 pro emitoané sětlo. (a) Pohybuje se detektor dolea, či dopraa? (b) Je rychlost detektoru měřená ze ztažné soustay S ětší, menší, nebo rona c/4? detektor Příčný Dopplerů je S zdroj c/4 Zatím jsme zde i kap. 18 diskutoali Dopplerů je pouze pro situace, nichž se zdroj a detektor pohyboaly e směru k sobě či od sebe. Obr ukazuje odlišné uspořádání, němž zdroj Z míjí detektor D. Když Z dosáhne bodu P,je jeho rychlost kolmá na spojnici Z a D a tomto okamžiku se zdroj bodu D neblíží ani nezdaluje. Podle nerelatiistické fyziky (tj. při malých rychlostech zdroje) pak D při registraci ln emitoaných bodě P měří stejnou frekenci (bez Doppleroa jeu), jakou emituje zdroj. Při ysoké rychlosti zdroje se šak i zde projeuje Dopplerů je, kterému říkáme příčný Dopplerů je*. Sětlo frekence * Příčný Dopplerů je je unierzálním projeem dilatace času, takže f 0 emitoané bodě P přijme detektor D s frekencí f ronou f = f 0 1 β 2 (příčný Dopplerů je). (38.27) Pro malé rychlosti zdroje (β 1) můžeme ro. (38.27) rozinout do mocninné řady podle β a aproximoat jako f = f 0 ( β 2) (pro malé rychlosti). (38.28) Prní člen je shodný s tím, co bychom dostali nerelatiistické fyzice,takže relatiistický je pro zdroje pohybující se ysokými rychlostmi opět zniká až e členu úměrném β 2. Z Obr Zdroj sětla Z letí rychlostí kolem detektoru D. Podle speciální teorie relatiity nastane příčný Dopplerů je, když zdroj prochází bodem P. Jeho rychlost je tam kolmá na spojnici ZD. Podle klasické teorie by Dopplerů je takoém případě nastat neměl. Policejní radaroé zařízení může principu určit rychlost auta i případě, že dráha radaroého pulzu je kolmá (příčná) k dráze auta.ošem ro. (38.25) nám říká,že zhledem k malé hodnotě β je relatiistický člen β 2 /2 příčném Doppleroě jeu i u rychlých aut nesmírně malý. Je tedy f f 0 a radaroé zařízení ypočte nuloou rychlost. Proto se policisté ždy snaží yslat radaroý pulz podél dráhy auta, aby dostali Dopplerů je, který odpoídá skutečné rychlosti auta. Každá odchylka od přímého směru působí e prospěch motoristy, protože měřenou rychlost zmenšuje. Příčný Dopplerů je je fakticky dalším testem dilatace času. Přepíšeme-li ro. (38.27) zaedením periody T kmitů emitoané sětelné lny namísto její frekence,máme (protože T = 1/f ) T = D P T 0 1 β 2 = γt 0, (38.29) ro. (38.27) a (38.28) platí pro liboolné lny situaci, kdy pozoroatel je klidu ůči prostředí, němž se lny šíří, a zdroj se pohybuje relatiistickou rychlostí. Platí to tedy i pro zukoé lny, pohybuje-li se jejich zdroj dostatečně rychle, aby byl je ůbec patrný. Obdobně i pro podélný Dopplerů je lze uážením dilatace času obdržet unierzální zorce pro změnu frekence jakéhokoli lnění, yolanou pohybem zdroje nebo pozoroatele ůči prostředí, němž se lnění šíří. Pro sětelné lny pak těchto zorcích klademe w = c, kde w je rychlost lnění daném prostředí. V důsledku relatiistických postulátů ýsledná ro. (38.25) již nezáisí ani na olbě ztažné soustay ani na tom, zda se pohybuje zdroj či pozoroatel. Zídaý čtenář má této chíli dostatek znalostí, aby se o tom sám přesědčil.

17 1022 KAPITOLA 38 RELATIVITA kde T 0 = 1/f 0 je lastní perioda. Jak ukazuje sronání s ro. (38.8), je ro. (38.29) prostě ztahem pro časoou dilataci, protože perioda je časoý interal. Naigační systémnavstar Každá družice systému NAVSTAR nepřetržitě ysílá rádioé signály, které udáají její polohu, s frekencí, jež je určoána a udržoána přesnými atomoými hodinami. Je-li signál zachycen např. detektorem letadle, je jeho frekence posunuta Doppleroým jeem. Zaznamenááme-li zároeň signály ysílané z různých družic NAVSTARu, je detektor schopen určit směr ke každé družici a směr její rychlosti. Z Doppleroa posunu pro signál pak detektor určuje rychlost letadla. Užijme hrubých odhadů, abychom ukázali, jak to funguje. Rychlost družice NAVSTARu zhledem ke středu Země je poměru 1, m s 1. Příslušné β je okolo 3, Člen β 2 /2 ro. (38.26) a (38.28) (tj. relatiistický člen) je tedy asi 4, Jinými sloy, relatiita mění Dopplerů je měřeného signálu poměru 4,5 :10 10, což zdánliě sota stojí za pozornost. A přece je to důležité. Atomoé hodiny na družicích jsou tak přesné, že kolísání frekence družicoého signálu činí pouze 2 : Z ro. (38.28) idíme, že β (a tedy ) záisí na odmocnině z f/f 0. Uedené kolísání frekence hodin způsobuje tedy kolísání = 1, pro měřenou hodnotu relatiní rychlosti mezi družicí a letadlem. Protože je dáno hlaně elkou rychlostí družice 1, m s 1, znamená to, že rychlost letadla může být určena s přesností asi (1, )(1, m s 1 ) = 1,4cm s 1. Předpokládejme, že letadlo letí hodinu (3 600 s). Známe-li jeho rychlost s přesností 1,4 cm s 1, můžeme jeho polohu po uplynutí hodiny předpoědět s přesností (0,014 m s 1 )(3 600 s) = 50 m, což je pro moderní naigaci přijatelné. Kdyby se nepřihlíželo k relatiistickým jeům, nemohla by být rychlost letadla známa s menší neurčitostí než 21 cm s 1 a jeho poloha po hodině letu by nemohla být předpoězena lépe než s chybou 760 m NOVÝ POHLED NA HYBNOST Nech řada pozoroatelů, každý e sé inerciální soustaě, pozoruje izoloanou srážku dou částic. Podle klasické mechaniky, jak jsme již iděli, šichni zjiš ují, že platí zákon zachoání hybnosti, i když naměří různé rychlosti srážejících se částic. To znamená, že podle šech pozoroatelů je hybnost systému částic stejná, jako byla před srážkou. Jak tuto situaci oliní relatiita? Zjiš ujeme, že budeme-li i nadále definoat hybnost p jako m, tedy jako součin hmotnosti m a rychlosti, pak se hybnost pro šechny inerciální pozoroatele nezachoá. Máme dě možnosti: (1) zdát se zákona zachoání hybnosti nebo (2) uážit, zda nelze definoat hybnost částice nějak jinak, aby zákon zachoání hybnosti zůstal platnosti. Zolíme si druhou cestu. Uažujme částici, která se pohybuje konstantní rychlostí e směru osy x. Klasicky má její hybnost elikost p = m = m x (klasická hybnost), (38.30) t kde x je zdálenost, kterou částice urazí za čas t. Abychom našli relatiistický ýraz pro hybnost, yjdeme z noé definice p = m x t 0. Zde x je stále zdálenost, kterou urazí pohybující se částice, jak ji idí pozoroatel, ůči němuž se pohybuje. Ašak t 0 je čas, který částice potřebuje na proběhnutí oné zdálenosti nikoli tak, jak jej měří pozoroatel sledující pohybující se částici ze sého stanoiště, ale jak jej měří pozoroatel pohybující se spolu s ní. Protože částice je zhledem k tomuto druhému pozoroateli klidu, je čas, který měří, lastním časem t 0. Užijeme-li zorce pro dilataci času (ro. (38.8)), můžeme psát p = m x = m x t = m x t 0 t t 0 t γ. Ale protože x/ t je práě rychlost částice, platí p = γm (hybnost). (38.31) Pošimněme si, že od klasické definice podle ro. (38.30) se ro. (38.31) liší jen Lorentzoým faktorem γ. Tento rozdíl je šak důležitý: na rozdíl od klasické hybnosti se relatiistická hybnost blíží k nekonečné hodnotě, když se blíží k c.

18 38.12 NOVÝ POHLED NA ENERGII 1023 Veličina m je zde hmotnost měřená klidoé soustaě. Někteří autoři ji proto označují jako m 0 a nazýají klidoou hmotností, zatímco γm 0 označují jako m a nazýají relatiistickou hmotností. Klasický ztah pro hybnost pak zůstáá formálně zachoán, rozumíme-li pod m relatiistickou hmotnost záislou na použité ztažné soustaě. Tato terminologie přeládá naší učebnicoé literatuře, zatímco e fyzice elementárních částic je běžnější terminologie a symbolika, které se přidržujeme zde. Definici danou ro. (38.31) můžeme zobecnit do ektoroého taru: p = γm (hybnost). (38.32) Tuto definici jsme uedli čl. 9.4 bez zdůodnění jako předzěst ěcí, s nimiž se setkáme. Dodejme bez důkazu, že přijmeme-li definici hybnosti danou ro. (38.32), můžeme užíat zákona zachoání hybnosti i pro liboolně ysoké rychlosti částic NOVÝ POHLED NA ENERGII V čl. 7.8 jsme bez dalšího rozboru uedli relatiistický ýraz pro kinetickou energii částice ( ) E k = mc (/c) 2 Tento ýraz nyní můžeme přepsat jako E k = mc 2 (γ 1) (kinetická energie). (38.33) V čl. 7.8 jsme ukázali, že ač se to může zdát nečekané tento ýraz se redukuje na obyklé klasické E k = 1 2 m2 při malých rychlostech. Dodejme, že ro. (38.33) můžeme ododit úplně stejně jako klasický ýraz pro kinetickou energii: Kinetická energie je rona práci, kterou je potřeba dodat pro urychlení částice z klidu na uažoanou rychlost. Všimněme si některých důsledků ro. (38.33). Celkoá energie Začneme tím, že definujeme celkoou energii E částice jako γmc 2. S pomocí ro. (38.33) pak můžeme psát E = γmc 2 = mc 2 + E k (celkoá energie jediné částice). (38.34) Interpretujeme ro. (38.34) jako yjádření faktu, že celkoá energie E pohybující se částice se skládá z členu mc 2,který nazeme klidoou energií částice, a z členu E k,cožje její kinetická energie. V tab. 8.1 najdeme klidoé energie některých částic a jiných objektů.například klidoá energie elektronu je 0,511 MeV a protonu 938 MeV. Celkoá energie systému částic je E = n E j = n (γ j m j c 2 ) = n m j c 2 + E k,j j=1 j=1 j=1 j=1 (celkoá energie systému částic). (38.35) Zákon zachoání energie se relatiitě yjádří takto: Pro izoloaný systém částic zůstáá celkoá energie E, která je definoána ro. (38.35), konstantní bez ohledu na to, jaké interakce se mezi částicemi odehráají. Při každé izoloané reakci či srážkoém procesu, který zahrnuje dě nebo íce částic,musí být tedy celkoá energie systému před procesem stejná jako po něm. Během procesu se může měnit klidoá energie interagujících částic, ale pak se musí měnit i jejich energie kinetická tak, aby se celkoá energie nezměnila. Úahy tohoto druhu souisejí s proslulým Einsteinoým ztahem E = mc 2 (ro. (38.34) pro E k = 0), ze kterého plyne, že klidoá energie může být přeměněna na jiné formy energie. A obráceně, šechny reakce a již chemické či jaderné při nichž se energie uolňuje či pohlcuje, zahrnují odpoídající změnu klidoé energie složek reakce. Vztah E = mc 2 jsme detailně prodiskutoali čl Hybnost a kinetická energie V klasické mechanice je hybnost částice rona p = m a její kinetická energie je E k = 1 2 m2. Vyloučíme-li z těchto dou ronic, dostaneme přímý ztah mezi hybností a kinetickou energií n p 2 = 2E k m (klasicky). (38.36) Podobný ztah můžeme najít i relatiitě yloučením z relatiistické definice hybnosti (ro. (38.31)) a z relatiistické definice kinetické energie (ro. (38.33)). Po krátkém ýpočtu pak dostaneme (pc) 2 = E 2 k + 2E kmc 2. (38.37) Pomocí ro. (38.34) můžeme přepsat ro. (38.37) do podoby ztahu mezi hybností p a celkoou energií E částice E 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2. (38.38)

19 1024 KAPITOLA 38 RELATIVITA Praoúhlý trojúhelník z obr nám pomůže, abychom si tento užitečný ztah zapamatoali. Můžeme také ukázat, že něm platí sin θ = β a sinϕ = 1/γ. (38.39) mc 2 E θ mc 2 Obr Užitečná mnemotechnická pomůcka pro relatiistický ztah mezi celkoou energií E, klidoou energií mc 2, kinetickou energií E k a elikostí hybnosti p. Z ro. (38.38) idíme, že součin pc má stejný rozměr jako energie E; jednotku hybnosti p tedy můžeme yjádřit jako jednotku energie dělenou c. V částicoé fyzice se také ětšinou hybnost částic udáá jednotkách MeV/c nebo GeV/c. KONTROLA 5: Jsou (a) kinetická energie, (b) celkoá energie 1 GeV elektronu ětší, menší, nebo stejné jako energie 1 GeV protonu? PŘÍKLAD 38.8 (a) Jaká je celkoá energie E elektronu s kinetickou energií E k = 2,53 MeV? ŘEŠENÍ: Pro celkoou energii platí (ro. (38.34)) E = mc 2 + E k. Z tab. 8.1 najdeme pro elektron mc 2 = 0,511 MeV, takže E = (0,511 MeV + 2,53 MeV) = 3,04 MeV. (Odpoě ) (b) Jaká je hybnost p elektronu? ŘEŠENÍ: Z ro. (38.38) můžeme po dosazení psát Pak E 2 = (pc) 2 + (mc 2 ) 2 E k ϕ pc (3,04 MeV) 2 = (pc) 2 + (0,511 MeV) 2. pc = (3,04 MeV) 2 (0,511 MeV) 2 = 3,00 MeV, a udááme-li hybnost jednotkách energie dělené c,máme ŘEŠENÍ: Z ro. (38.34) máme E = γmc 2. Pro E = 3,04 MeV a m = 9, kg pak je γ = E mc 2 = (3, ev)(1, J/eV) (9, kg)(3, m s 1 ) 2 = = 5,93. (Odpoě ) PŘÍKLAD 38.9 Nejenergetičtější proton, jaký byl kdy zjištěn kosmických paprscích, měl ohromující kinetickou energii 3, ev (tato energie by stačila ohřát lžičku čaje o několik stupňů). (a) Vypočtěte Lorentzů faktor γ a rychlost protonu. ŘEŠENÍ: Řešíme ro. (38.33) pro γ a dostááme γ = E k + mc 2 mc 2 = E k mc = (3, ev) ( ev) + 1 = = 3, = 3, (Odpoě ) Zde jsme užili jako klidoou energii protonu 938 MeV. Tato ypočtená hodnota pro γ je tak elká, že k nalezení nemůžeme užít definice γ z ro. (38.7). Zkuste to: kalkulačka ám sdělí, že β je prakticky rono 1, a tudíž je prakticky rono c. Fakticky je téměř rono c, ale my potřebujeme přesnější odpoě a tu můžeme dostat, když nejpre yřešíme ro. (38.7) pro 1 β. Nejpre pišme: γ = 1 = 1 1, 1 β 2 (1 β)(1 + β) 2(1 β) kde jsme užili toho, že β je natolik blízké jedničce, že 1 + β je elmi blízké děma. Řešení pro 1 β pak dáá 1 β = 1 2γ 2 = 1 2(3, ) 2 = 4, = Je tedy aprotože = βc,je β = , 0, c. (Odpoě ) (b) Předpokládejme, že proton se pohybuje po dráze 9, sětelných roků, což je průměr naší Galaxie. Za jak dlouho asi proton urazí tuto dráhu z hlediska společné ztažné soustay Země + Galaxie? ŘEŠENÍ: Práě jsme iděli, že ultrarelatiistický proton se pohybuje rychlostí jen nepatrně menší než c. Průměr Galaxie proletí sětlo za 9, roků a protonu to bude trat skoro stejnou dobu. Cesta protonu z naší ztažné soustay Země + + Mléčná dráha trá tedy p = 3,00 MeV/c. (Odpoě ) t = 9, y. (Odpoě ) (c) Jaký je Lorentzů faktor γ pro uažoaný elektron? (c) Jak dlouho trá cesta z hlediska klidoé soustay protonu?

20 PŘEHLED & SHRNUTÍ 1025 ŘEŠENÍ: Protože začátek i konec cesty nastal klidoé ztažné soustaě protonu témže místě, totiž místě, kde byl samotný proton, hledáme lastní čas cesty. Můžeme užít zorec pro dilataci času (ro. (38.8)) a transformoat t ze soustay Země + Mléčná dráha do klidoé soustay protonu V naší soustaě trá cesta roků. V soustaě protonu trá 9,7 s! Jak jsme slíbili na začátku této kapitoly, relatiní pohyb může změnit tempo, jímž plyne čas, a zde podááme extrémní příklad. t 0 = t γ = (9,8 104 y) (3, ) = = 3, y = 9,7s. (Odpoě ) PŘEHLED & SHRNUTÍ Postuláty Speciální teorie relatiity je založena na dou postulátech: 1. Zákony fyziky jsou stejné pro pozoroatele e šech inerciálních ztažných soustaách. Žádná soustaa není preferoána. 2. Rychlost sětla e akuu má stejnou hodnotu c e šech směrech e šech inerciálních ztažných soustaách, a to nezáisle na rychlosti zdroje. Rychlost sětla c e akuu je nejětší rychlost, jaké může dosáhnout cokoli, co přenáší energii či informaci. Souřadnice události Tři prostoroé souřadnice a jedna časoá souřadnice určují událost. Jedním z úkolů speciální teorie relatiity je určit souislost mezi souřadnicemi, jak je událostem připisují da pozoroatelé, kteří se zájemně pohybují ronoměrně a přímočaře. Současné události Jestliže se da pozoroatelé ůči sobě pohybují, nebudou obecně souhlasit tom, zda dě události jsou současné. Jestliže jeden pozoroatel zjiš uje, že dě události různých místech jsou současné, druhý to popírá, a naopak. Současnost není absolutním pojmem, ale pojmem relatiním, záislým na pohybu pozoroatele. Relatiita současnosti je přímým důsledkem konečnosti mezní rychlosti c. Dilatace času Jestliže dě po sobě jsoucí události nastáají témže místě inerciální ztažné soustaě (jsou ní soumístné), pak časoý interal mezi nimi t, měřený na jediných hodinách místě, kde události nastaly, nazýáme lastní čas mezi událostmi. Pozoroatelé soustaách, které se ůči této soustaě pohybují, naměří pro tuto dobu ětší hodnotu. Pro pozoroatele pohybujícího se relatiní rychlostí je měřený časoý interal t = t 0 1 (/c) 2 = t 0 1 β 2 = γ t 0 (dilatace času). ( ) Zde β = /c je rychlostní parametr a γ = 1/ 1 β 2 je Lorentzů faktor. Důležitým důsledkem dilatace času je to, že pohybující se hodiny jdou pomaleji z hlediska měření pozoroatele, který je klidu. Kontrakce délky Délka L 0 objektu měřená pozoroatelem inerciální ztažné soustaě, níž je objekt klidu, se nazýá jeho lastní délka. Pozoroatelé soustaách, které se ůči této soustaě pohybují ronoběžně s danou délkou, naměří kratší délku. Pro pozoroatele, který se pohybuje relatiní rychlostí, je měřená délka L = L 0 1 β 2 = L 0 γ (kontrakce délky). (38.9) Lorentzoa transformace Ronice Lorentzoy transformace spojují prostoročasoé souřadnice události, jak je idí pozoroatelé e dou inerciálních soustaách S a S, kde S se pohybuje relatině k S rychlostí kladném směru os x a x. Čtyři souřadnice jsou spojeny ztahy x = γ(x t), y = y, z = z, t = γ(t x/c 2 ) (Lorentzoy transformační ronice; platí pro šechny rychlosti). (38.14) Relatiistické skládání rychlostí Pohybuje-li se částice rychlostí u kladném směru x inerciální ztažné soustaě S, která se sama pohybuje rychlostí e směru osy x další inerciální soustay S, pak ýsledná rychlost u částice měřená S je u = u u /c 2 (relatiistické rychlosti). (38.23) Relatiistický Dopplerů je Pohybuje-li se zdroj emitující sětelné lny o frekenci f 0 směrem od detektoru relatiní rychlostí, pak frekence f měřená detektorem je f = f 0 1 β 1 + β (zdroj a detektor se zájemně zdalují). (38.25)