1 Základní pojmy 2. 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2. 3 Okolí v metrickém prostoru 3. 4 Zobecněná koule 3

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Základní pojmy 2. 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2. 3 Okolí v metrickém prostoru 3. 4 Zobecněná koule 3"

Božena Dvořáková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 I. Metrické prostory Obsah 1 Základní pojmy 2 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor 2 3 Okolí v metrickém prostoru 3 4 Zobecněná koule 3 5 Některé význačné body a množiny metrického prostoru 4

2 1 Základní pojmy Definice 1.1 Množinu všech uspořádaných dvojic(x, y), kde x, y R nazveme rovinou(dvojrozměrnýmprostorem)aoznačímeji R 2.Každáuspořádanádvojice(x, y)senazývábodrovinyačísla x, ysenazývajísouřadnicetohotobodu.dvabodyvrovině(x, y)a(u, v)považujemezashodné (totožné),právěkdyž x=uay= v. Zvolíme-livR 2 kartézskousoustavusouřadnic,můžemekaždémuboduzr 2 jednoznačněpřiřadit uspořádanou dvojici reálných čísel a naopak, každé uspořádané dvojici reálných čísel přiřadíme právě jedenbodzr 2 (tzv.bijekce). Definice1.2Množinuvšechuspořádanýchtrojic(x, y, z),kde x, y, z Rnazvemeprostorem(trojrozměrnýmprostorem)aoznačímeji R 3.Každáuspořádanátrojice(x, y, z)senazývábodprostorua čísla x, y, zsenazývajísouřadnicetohotobodu.dvabodyvprostoru(x, y, z)a(u, v, w)považujeme zashodné(totožné),právěkdyž x=u, y= va z= w. Pozavedeníkartézskésoustavysouřadniclzekaždémuboduzprostoru R 3 jednoznačněpřiřadit uspořádanou trojici reálných čísel a naopak. 2 Měření vzdálenosti, metrický prostor Vzdálenost mezi dvěma prvky je pojem relativní a můžeme ji měřit různě v závislosti na daném prostoru a konkrétní představě. Všechny druhy vzdáleností mají ale několik společných vlastností: Definice2.1Nechť X = jelibovolnámnožinaaρzobrazenízx Xdo R,kterémáprovšechna X, Y, Z X následující vlastnosti: 1. ρ(x, Y) 0...nezápornost 2. ρ(x, Y)=0 X= Y...definitnost 3. ρ(x, Y)=ρ(Y, X)...symetrie 4. ρ(x, Y) ρ(x, Z)+ρ(Z, Y)...trojúhelníkovánerovnost Potomuspořádanádvojice(X, ρ)senazývámetrickýprostor,zobrazení ρ:x X Rsenazývá metrikaprostoru(x, ρ)ačíslo ρ(x, Y)senazývávzdálenostíprvků Xa Y vprostoru(x, ρ). Poznámka: Na každé neprázdné množině X lze zadat celou řadu různých metrik. Dostaneme tak různé metrické prostory, které budou mít stejnou základní množinu, tzv. nosič, ale v každém z nich budeme jiným způsobem měřit vzdálenosti. Namnožině R 2 lzedefinovatmj.následujícímetriky ( X, Y R 2, X=(x 1, x 2 ), Y=(y 1, y 2 )): ρ(x, Y)= (y 1 x 1 ) 2 +(y 2 x 2 ) 2 ρ l (X, Y)= y 1 x 1 + y 2 x 2...eukleidovskávzdálenost...tzv.listonošskávzdálenost 2

Zvolíme-livR 2 kartézskousoustavusouřadnic,můžemekaždémuboduzr 2 jednoznačněpřiřadit uspořádanou dvojici reálných čísel a naopak, každé uspořádané dvojici reálných čísel přiřadíme právě jedenbodzr 2

3 ρ m (X, Y)=max{ y 1 x 1, y 2 x 2 }...tzv.maximálnívzdálenost Tytometrikylzepřirozeněrozšířitnamnožinu R 3 ( X, Y R 3, X=(x 1, x 2, x 3 ), Y=(y 1, y 2, y 3 )): ρ(x, Y)= (y 1 x 1 ) 2 +(y 2 x 2 ) 2 +(y 3 x 3 ) 2 ρ l (X, Y)= y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 3 x 3 ρ m (X, Y)=max{ y 1 x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 }...eukleidovskámetrika...tzv.oktaedrickámetrika...tzv.kubickámetrika 3 Okolí v metrickém prostoru Definice3.1Nechť a (X, ρ)aε >0.Množinuvšechbodů x (X, ρ),prokteréplatí ρ(x, a) < ε nazýváme ε-okolímbodu avprostoru(x, ρ)aznačímeji U(a, ε);tj. U(a, ε)={x (X, ρ); ρ(x, a) < ε}. Redukovaným ε-okolím bodu a v prostoru(x, ρ) nazýváme množinu U (a, ε)={x (X, ρ);0 < ρ(x, a) < ε}. Příklad: Jakvypadá U(a, ε)vprostorech(r 2, ρ),(r 2, ρ l )a(r 2, ρ m )? 4 Zobecněná koule Definice4.1Nechť a (X, ρ)aε >0.Potom množinaω(a, ε)={x (X, ρ); ρ(x, a) < ε}senazýváotevřenákoule(zobecněnáotevřená koule)sestředemvbodě aapoloměrem ε(tj.ω(a, ε)=u(a, ε)); 3

y 3 x 3 ρ m (X, Y)=max{ y 1 x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 }...eukleidovskámetrika...tzv.oktaedrickámetrika...tzv.kubickámetrika 3 Okolí v metrickém prostoru Definice3.1Nechť a (X, ρ)aε >0.

4 množinaω(a, ε)={x (X, ρ); ρ(x, a) ε}senazýváuzavřenákoulesestředemvbodě aa poloměrem ε; množina S(a, ε)={x (X, ρ); ρ(x, a)=ε}senazývásférasestředemvbodě aapoloměrem ε. Příklad: JakvypadáuzavřenákouleΩ(a, ε))vprostorech(r 3, ρ),(r 3, ρ l )a(r 3, ρ m )? 5 Některé význačné body a množiny metrického prostoru Definice5.1Nechť Xjemetrickýprostorsmetrikou ρ. Nechť A X.Bod a Asenazývávnitřnímbodemmnožiny A,jestližeexistujeokolí U(a) bodu atak,že U(a) A.Množinavšechvnitřníchbodůmnožiny Asenazývávnitřekmnožiny Aaznačíse A nebointa. Množina Asenazýváotevřená,jestliže A=A. Nechť A X.Bod a X senazýváhromadnýmbodemmnožiny A,jestližekaždéjehoredukované okolí obsahuje aspoň jeden bod y A(nebo ekvivalentně, jestliže každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů z množiny A). Množina všech hromadných bodů množiny A senazýváderivacemnožiny Aaznačíse A. Bod a A,kterýneníhromadnýmbodemmnožiny Asenazýváizolovanýmbodemmnožiny A. 4

Bod a Asenazývávnitřnímbodemmnožiny A,jestližeexistujeokolí U(a) bodu atak,že U(a) A.Množinavšechvnitřníchbodůmnožiny Asenazývávnitřekmnožiny Aaznačíse A nebointa.

5 Nechť A X.Potomsesjednocení A A nazýváuzávěrmnožiny Aaznačíse A. Množina Asenazýváuzavřená,jestliže A=A. Nechť A X.Bod a X senazýváhraničnímbodemmnožiny A,jestližekaždéjehookolí obsahujeaspoňjedenbodzaaaspoňjedenbodzx\ A.Množinavšechhraničníchbodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se h(a) nebo bd(a). Nechť(X, ρ) je metrický prostor konečné dimenze. Potom můžeme definovat následující vlastnosti množin: Množina A Xsenazývásouvislá,můžeme-likaždéjejídvabodyspojitlomenoučarou,která celáležíva. Otevřenásouvislámnožina A Xsenazýváoblast. Množina A Xsenazýváomezená,jestližeexistuječíslo K >0tak,že A Ω(0, K). Množina A Xsenazývákompaktní,je-liuzavřenáaomezená. Množina A Xsenazývákonvexní,lze-likaždédvajejíbodyspojitúsečkouležícívA. 5

Množinavšechhraničníchbodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se h(a) nebo bd(a). Nechť(X, ρ) je metrický prostor konečné dimenze.

Podobné dokumenty

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme