6. KOMBINATORIKA Základní pojmy Počítání s faktoriály a kombinačními čísly Variace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3."

Transkript

1 Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh samostatému řešeí 9 Klíč řešeí úloh 9 Kotrolí test 95 Výsledy testu

2 Zálady matematiy. KOMBINATORIKA Kombiatoria Průvodce studiem V úvodu.. připomeeme výzam termíů používaých v celé apitole a počítáí s fatoriály a ombiačími čísly. Následující část.... sezamuje se záladími způsoby výběru ze záladí možiy. Teorie je přiblížea a příladech zadaých a závěr této apitoly včetě ápovědy a výsledů řešeí. Cíle Po zvládutí apitoly budete připravei a řešeí úloh z pravděpodobosti a a studium statistiy. Předpoládaé zalosti Kapitola požaduje je stadardě rozviuté logicé myšleí a respetováí sutečosti, že výběry supi ze záladí možiy se musí řídit určitými pravidly... Záladí pojmy Výlad Záladí možia M supia supia -té třídy -je aždá oečá možia o růzých prvcích, z íž budeme vybírat prvy do supi, -je tvořea prvy, vybraými ze záladí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvů: zápisy a, b) a b, a) zastupují tutéž supiu, -je supia, terá má prvů, uspořádaá supia -je supia, v íž záleží a pořadí prvů: b) růzé supiy a) a, a b, jsou dvě supiy bez opaováí -jsou supiy, v ichž aždý prve z daé záladí možiy M o růzých prvcích je vybrá je jedou a pa je z dalšího výběru vyřaze), supiy s opaováím -jsou supiy, v ichž je možé aždý prve z možiy M vybrat vícerát jao bychom ho po výběru vrátili zpět do možiy M ), - 8 -

3 Zálady matematiy Kombiatoria... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly Výlad Zápis! čteme -fatoriál ebo taé fatoriál čísla, ozačuje souči všech přirozeých čísel meších ebo rových. Výpočet fatoriálu:! ) ) ),! ) ) )!,!. Řešeá úloha Přílad... Vypočtěte! Řešeí:! 5 7. Výpočet fatoriálu je možo a vhodém místě zastavit.! 5! 5! 5! Výlad Kombiačí číslo čteme ad,! )!! Výpočet ombiačího čísla:, de, jsou přirozeá čísla ebo ula a platí.! ) ) ) )! ) ) ), )!! )!!!,,., de <

4 Zálady matematiy Kombiatoria Řešeé úlohy Přílad... Vypočtěte.! 9 8 7! 9 8 Řešeí:. )!! 7!! Kombiačí číslo jedoduše vypočteme, jestliže v čitateli rozepisujeme fatoriál čísla, ale apíšeme je toli čiitelů, oli udává. Ve jmeovateli rozepíšeme je!. 9 9 Přílad... Vypočtěte, Řešeí: 7, Přílad... Které přirozeé číslo vyhovuje rovici? 5 Řešeí: Kombiačí číslo eistuje pro, v ašem případě je, taže,, proto rovice je řešitelá pro. Nyí vypočteme ombiačí čísla a řešíme ásledově: Podmíce vyhovuje je. ) ) 8 8 ± Přílad..5. Upravte výraz )! )! )!. )! )!! ) ) )! ) )! ) )! Řešeí: )! )!! ) ) ) ) ) 5 )

5 Zálady matematiy.. Variace Kombiatoria Výlad Variací bez opaováí -té třídy z prvů azýváme aždou uspořádaou -prvovou podmožiu prvové záladí možiy M. Počet variací bez opaováí : V! ),,, N ) )! Řešeé úlohy Přílad... Zapište variace bez opaováí.třídy a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. Řešeí: ) : V ),, ),, ),, ),, ),, ),,! V ). )! Přílad... Jsou dáy cifry jestliže se cifry eopaují?,,,, 5. Koli trojciferých čísel lze z ich sestavit, Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 5 Výlad urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů rozhodi, mohou-li se prvy opaovat urči typ výběru: variace -té třídy z prvů 5! 5! 5! V 5) 5. 5 )!!! záleží a pořadí čísla se emohou opaovat V! ) )! Variací s opaováím -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou uspořádaou supiu prvů, vybraých z prvové záladí možiy M, v íž se aždý prve může opaovat až rát. Počet variací s opaováím : V ), může být větší ež,, N )

6 Zálady matematiy Kombiatoria Řešeé úlohy Přílad... Zapište variace s opaováím.třídy a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. Řešeí: V ) :,),,),,),,),,),,),,),,),,), V ) 9. Přílad... Jsou dáy cifry jestliže se cifry opaují?,,,, 5. Koli trojciferých čísel lze z ich sestavit, Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 5 urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů rozhodi, mohou-li se prvy opaovat urči typ výběru: variace -té třídy z prvů s opaováím V 5) 5 5. záleží a pořadí čísla se mohou opaovat V ).. Permutace Výlad Permutací bez opaováí z prvů azýváme aždé uspořádáí prvové záladí možiy M. Počet permutací bez opaováí : P )!. Řešeé úlohy Přílad... Zapište permutace bez opaováí a určete jejich počet, je-li záladí možia {,, } M. Řešeí: P):,,),,,),,,),,,),,,),,,) P)!

7 Zálady matematiy Kombiatoria Přílad... Koli přesmyče lze vytvořit použitím všech písme slova fyzia? Řešeí: M { f, y, z, i,, a} urči urči počet prvů záladí možiy) počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat písmea se eopaují urči typ výběru: permutace z prvů P )! P )! 5 7. Výlad Permutací prvů s opaováím azýváme aždé uspořádáí, v ěmž je všech prvů záladí možiy M a prve a se opauje právě rát i,, ). i i Platí. Počet permutací s opaováím: P! ),,...!!.! Řešeé úlohy Přílad... Zapište permutace s opaováím a určete jejich počet, je-li záladí možia M {,, } a prví prve se opauje jedou, druhý se opauje jedou a třetí dvarát. Řešeí: P ) :,,,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),,,,),! P,, ).!!! Přílad... Koli přesmyče lze vytvořit použitím všech písme slova matematia? { } Řešeí: M m, a, t, e, i,, urči počet prvů záladí možiy), - 8 -

8 Zálady matematiy Kombiatoria urči počet prvů, teré vybíráme), písmeo m se opauje ), písmeo a se opauje ), písmeo t se opauje ), písmeo e se opauje ), písmeo i se opauje ), písmeo se opauje ),, 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvů záleží a pořadí, rozhodi, mohou-li se prvy opaovat písmea se opaují, urči typ výběru: permutace prvů s opaováím!! P ),,,, 5,!.!.!.!.!., P,,,,, 5! ).!!!!!! 5.. Kombiace Výlad Kombiací bez opaováí -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou podmožiu záladí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvů. Počet ombiací bez opaováí: C ),,, N ). Řešeé úlohy Přílad... Zapište ombiace. třídy bez opaováím a určete jejich počet, je-li { } záladí možia M,,. Řešeí: C :,),, ),,) ), C ). Přílad... Koli růzých třitóových aordů je možé zahrát ze sedmi tóů? Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) 7 urči počet prvů, teré vybíráme) rozhodi, zda záleží a pořadí prvů ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat tóy se emohou opaovat

9 Zálady matematiy Kombiatoria urči typ výběru: ombiace -té třídy z prvů C ) C 7) 5. Výlad Kombiací s opaováím -té třídy z prvů azýváme aždou prvovou supiu prvů vybraých z prvů záladí možiy M, v íž se aždý prve může opaovat až rát a v íž ezáleží a pořadí prvů. Počet ombiací s opaováím: C ), může být větší ež,, N. Řešeé úlohy Přílad... Zapište ombiace. třídy s opaováím a určete jejich počet, je-li záladí { } možia M,,. ) Řešeí: C :,),,),,),,),,),,), C ). Přílad... Ve stáu mají druhy bobóů, aždý druh v sáčcích po dg. Kolia růzými způsoby může záazí oupit půl ila bobóů? Řešeí: urči počet prvů záladí možiy) urči počet prvů, teré vybíráme) 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvů ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvy opaovat druhy se mohou opaovat urči typ výběru: ombiace -té třídy z prvů s opaováím C ) C 5 ). 5 5!

10 Zálady matematiy Kombiatoria.5. Biomicá věta Výlad Kombiačí číslo bývá ozačováo termíem biomicý oeficiet, je-li užíváo ve vztahu pro -tou mociu dvojčleu biomu). Jsou-li a,b libovolá čísla a číslo přirozeé, platí: b a b a b a b a b a ). Řešeé úlohy Přílad.5.. Rozveďte pomocí biomicé věty a zjedodušte ). Řešeí: ) ) ) ) ) ) 8 7. Přílad.5.. Který čle rozvoje výrazu,, eobsahuje? Řešeí: Ozačme si -tý čle jao, pa A ) ) ) 7 7 ) ) A 5 7 ) Pátý čle rozvoje eobsahuje

11 Zálady matematiy Kombiatoria Úlohy samostatému řešeí. Vypočtěte ombiačí čísla a), b), c), d) Které přirozeé číslo vyhovuje rovici : a), jaá je podmía pro? b), jaá je podmía pro? 5. Ve třídě je 5 žáů, z ichž mají být vyzoušei. Koli růzých čtveřic může být vyzoušeo?. Jistý muž má 5 abátů, vesty a alhot. Kolia růzými způsoby se může obléct? 5. V lavici mohou sedět čtyři žáci. Kolierým způsobem je možo lavici obsadit, máme-li pět žáů a záleží a pořadí míst?. Koli růzých hodů lze provést třemi ostami? 7. Aražér má ve výloze umístit vedle sebe stejé svetry z ichž jsou bílé, červeý a zeleý. Kolia způsoby to může učiit? 8. Koli růzých šesticiferých čísel můžeme apsat z číslic,,,,5, má-li se aždá vysytout v čísle je jedou? 9. Užitím biomicé věty vypočtěte a) b a, b) ) 7, s přesostí a tři desetiá místa.. Vypočtěte: a), b), c) Kterým ombiačím číslem je možo vyjádřit součty: a), b), c) Zjedodušte : - 9 -

12 Zálady matematiy )! )! a), b), c) )! )!. Z olia prvů je možé utvořit variací. třídy bez opaováí? Kombiatoria )!!.! )!. Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutací bez opaováí dvaáctrát. Jaý byl původí počet prvů? 5. Zvětší-li se počet prvů o jede, zvětší se počet ombiací třetí třídy o 8. Koli je prvů?. Jsou dáy cifry,,,,5. Koli pěticiferých čísel, v ichž se žádá z cifer ebude opaovat, lze z těchto cifer sestavit, chceme-li zísat a) všecha taová čísla, b) čísla očící cifrou, c) čísla sudá, d) čísla lichá. 7. Koli trojciferých čísel lze zapsat z cifer,,,8, mohou-li se cifry opaovat? 8. Koli růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova automatizace? 9. Koli růzých třítóových ebo čtyřtóových aordů lze zahrát ze sedmi tóů?. Fotbalový treér má dispozici braáře, 5 obráců, záložíy a útočíů. Koli růzých fotbalových mužstev z ich může sestavit, tvoří-li jedo mužstvo braář, obráci, záložíci a 5 útočíů? Výsledy úloh samostatému řešeí. a) ; b) ; c)5; d).. a) ; 5; b) ; a a b 5a b 5a b 5a b ab b a) ; b), a) ; b) 55; c) 5.. a) ; b) ; c).. a) ) ; 5 b) ; c) a) ; b) ; c) 8; d)

13 Zálady matematiy Kombiatoria Klíč řešeí úloh. Řešíme dosazeím do vzorce pro výpočet ombiačího čísla.. a) Rovici upravíme a tvar ) ) ) vadraticou rovici, vyásobíme a dostaeme 5, její ořey jsou, 5. Protože musí být jistě jsme ezapoměli vypočítat podmíu pro ombiačí číslo), má rovice jedié řešeí 5. b) Rovici upravíme a tvar ) ) 8, vyásobíme a dostaeme vadraticou rovici, ta má jede dvojásobý oře. Protože, má rovice řešeí.,. Jedá se o ombiace. třídy z 5, ezáleží totiž a pořadí zoušeých žáů, bez 5! opaováí, ido ebude zouše vícerát. C 5) 5.!!. Muž si oblée abát, vybírá ho z pěti růzých, vestu ze čtyř a alhoty z šesti. C 5) pro abát: 5, C ) pro vestu:, pro alhoty:, C ) 5 C ) 5 C) C). 5. Záleží a pořadí žáů, jedá se tedy o variace, žáci se eopaují, ido esedí a dvou 5! židlích, jsou tedy bez opaováí. V 5). 5 )! V.. U hodu ostou záleží a pořadí a prvy se mohou opaovat. ) 7. Záleží a pořadí svetrů, umístí se všechy a bílý se opauje, jedá se tedy o permutace! s opaováím. P ),,.! - 9 -

14 Zálady matematiy Kombiatoria 8. Z šesti číslic tvoříme šesticiferé číslo, žádá cifra se eopauje, jsou to tedy permutace ) 7 šesti prvů. P!. 9. a) 5 5 a a b 5a b 5a b 5a b ab b, b) ,),,,, a), b) 55,! c) ) ).! 5 5. a), 5 b), c) a) )! ) )! ) ),!! b) )! )!, )! ) )! c) )!! )! )! )!! )!. ) )!.! V ) 7, Je potřeba 7 prvů.! P )! ) ) ) ) )!!., P!, P P, upravíme fatoriál a levé straě rovice, vyrátíme a dostaeme vadraticou rovici. Její ořey jsou, 5. Řešeí úlohy vyhovuje

15 Zálady matematiy Kombiatoria 5. C ), C ), 8, upravíme ombiačí čísla a po úpravě dostaeme vadraticou rovici Řešeí úlohy vyhovuje Její ořey jsou, a) Záleží a pořadí, prvy se eopaují, 5. 5 ) 5! P. b) Na oci je pevě daé číslo, u zbytu záleží a pořadí a eopaují se, P )!. c) Na oci může být dvoja ebo čtyřa. Jedá se o dva případy z příladu b). ) 8. P ) 7 d) P. 7. Tvoříme trojciferá čísla, u ich záleží a pořadí, vybíráme ze čtyř cifer, ty se opaují. Jedá se tedy o variace třetí třídy ze čtyř prvů s opaováím. V ). 8. Budeme postupovat podobě jao v řešeém příladu o matematice. Jde o permutace s opaováím. { a, u, t, o, m, i, z, c e} M,, 9,,,, ! P,,,,,,,,)! !! 9. Nezáleží a pořadí, tó se esmí opaovat, vypočítáme zvlášť počet třítóových aordů a zvlášť počet čtyřtóových aordů. Ty pa sečteme. 7,, C 7) C 7) Treér vybírá jedoho braáře ze tří, dva obráce z pěti, tři záložíy ze čtyř a pět útočíů z deseti. Můžeme taé říci, že je ombiuje. Lidé se samozřejmě eopaují. 5 Tedy C ) C 5) C ) C5 )

16 Zálady matematiy Kombiatoria Kotrolí test y y. V možiě přirozeých čísel řešte: 5 y y a) y -5; b) y c) y a y.. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé? a) ; b) ; c).. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé, mají-li být ve vybraé supiě právě žey. a) ; b) ; c).. Ze mužů a že se má vybrat sedmičleá supia. Kolia způsoby je to možé, mají-li být ve vybraé supiě alespoň žey. a) -; b) 5; c). 5. Určete počet prvů oečé možiy, z ichž lze vytvořit pětrát více uspořádaých trojic ež uspořádaých dvojic. Žádý prve se eopauje. a) 7; b) -; c).. Kolia způsoby lze ubytovat hostů, máme-li dispozici jede čtyřlůžový a dva třílůž- ové pooje? a) 5; b) ; c) elze zjistit. 7. Zvětší-li se počet prvů o, zvětší se počet permutací třicetrát. Koli je prvů? a) ; b) ; c) Z olia prvů vzie 79 variací třetí třídy s opaováím? a) 8; b) 9; c). Výsledy testu. b);. a);. b);. c); 5. a);.b); 7.a); 8b)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ. as ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ as e studiu apitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této apitoly budete umt použít záladní pojmy ombinatoriy vztahy pro výpoet ombinatoricých úloh - 6 - 0.1 Kombinatoria

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b)

KOMBINATORIKA. Způsob řešení b) / KOMBINATORIKA Příld Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž dedicém zápisu se ždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Způsob řešeí ) Kombitoricé prvidlo součiu: Počet všech uspořádých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: PERMUTACE a VARIACE 2.1 Permutace P() = * ( - 1) * ( - 2) *... 2 * 1 To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál: ( )! P = Jedá se o vzorec pro počet permutací z prvků bez opakováí. 2.2 Variace bez

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso

3.3 Soustavy sil a silových momentů. soustava sil a momentů = seskupení sil a momentů sil působících na těleso 3.3 Soustav s a sových oetů soustava s a oetů sesupeí s a oetů s působících a těeso váští případ: svae s (paps všech s soustav se potíají v jedo bodě) soustava ovoběžých s (paps všech s soustav jsou aváje

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

9.1.1 Základní kombinatorická pravidla I

9.1.1 Základní kombinatorická pravidla I 9.. Základní kombinatorická pravidla I Předpoklady: Př. : Ve třídě je 7 děvčat a 3 kluků. Kolik máme možností jak vybrat dvojici klukholka, která bude mít projev na maturitním plese? Vybíráme ze 7 holek

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

ťí Ý É Č ů Č é éž š ů ú ů ů š ů é ť é ú ů é é ú é ú ů ů ú ú ú Í š ť é ů Ž Ž ú ů š ť ú ů Ž ú é é Ž é ů ú é ň é ú ž ů é ů ť ú ů žň é é é ť ž é é š šš é é ž Č š é Í Ť é é ů š é š é ú ú é ú ú ú ů Žň Ú é ú

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH

VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH VYUŽITÍ MATLABU JAKO MOTIVAČNÍHO PROSTŘEDKU VE VÝUCE FYZIKY NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH J. Tesař, P. Batoš Jihočesá univezita, Pedagogicá faulta, Kateda fyziy, Jeonýmova 0, 37 5 Česé Budějovice Abstat V příspěvu

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

ř ú ú Š Í Á É ř ř ř é é ř ř š é ř ř š ř é ž é ž š é š é é ř ů ž ž ř é ř ů é é ž é ř é é ř é ú é é ž é é š ň é ř š é š é Ť é ř ů ž ž ď ř é é é ž ř é Š ů é ř é ř é Š ú ř Í ž ž ř ř Í é š ž é ř Ť š ř ř ř š

Více

ň ý ě ý ý ý ě ň ý ě ý Ú ú ň ň ý ě ý ó ž ý ň ě ě ě ú ú Ř ň ň ý ě ý ě ě ž ý ž ě ý ě ý ě ě ů ě Ů Č Í Ě Á Á Í ě ě ě ě Ž Ů ú ě ě ě Ú ě ů ě ý ě ě ú ň ý ě Ů ž ů ž ě ý ý ý ý ě Č Č ě Č ě ů ý ě ý ý ž ě ě ž ů ž ě

Více

ě ě ú ě ě ě ě ě ň ě ň ů ě ů Ý ě ě ů ň ě Í ě ň ě ě Ž ě ň ě ě ú ů ú ě ě ě ú ě ě ě ě ě ě ů ě ů ě ě ú ů ě ě ě Ž ů ě ě ú Ž Ž Ú ě ě ě ě Ž Ž ě ť Ž Í ě Ž ě Ž Ž ů ěž ů ěž ě Í Ú ů ě ů ě Ž Ž Ž ě ě ě ů ě ě ě ě ě ů

Více

Práce, energie, výkon

Práce, energie, výkon I N V E S T I C E D O R O Z V O E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROEKT E SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laoratorní práce č. 6 Práce,, výon Pro potřey projetu

Více

Mgr. Marcela Sandnerová

Mgr. Marcela Sandnerová Mgr. Marcela Sandnerová Základní kombinatorická pravidla Kombinatorické pravidlo součinu Kombinatorické pravidlo součtu Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 Kolika způsoby si může Pavel připravit

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín (15. 04. 1707 18. 09. 1783)

Leonhard EULER. F. KOUTNÝ, Zlín (15. 04. 1707 18. 09. 1783) Leohad EULER F. KOUTNÝ, Zlí (5. 4. 77 8. 9. 78) (asi 756) Kompilace sestaveá z liteáích pameů a webových stáe o životě a díle jedoho z ejvýzamějších matematiů všech dob. Histoicé téma Euleova života je

Více

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ

VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ (1) Trezor má 6 otočných zámků s číslicemi 0 9. O kódu víme pouze to, že v něm žádná z číslic není dvakrát. O kolik možných nastavení se může jednat? Analogicky odvoďte obecné řešení.

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA

STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí

Více