Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D. Dosazením do rovnice(1) a úpravou dostaneme délku vlaku

Transkript

1 Řešení úoh koa 49 ročníku fyzikání oympiády Kategorie D Autořiúoh:JJírů(,3,4,5,6,),TDenkstein(), a) Všechny uvažované časy jsou měřené od začátku rovnoměrně zrychené pohybu vaku a spňují rovnice = at, d= at, d+= at 3, (,,3) Zrovnic()a(3)sneznámými aazískámevyoučením veikostzrychení a= d t 3 t (4) Dosazením do rovnice() a úpravou dostaneme déku vaku = t t 3 t d=80m Podobně z rovnic() a(4) postupně dostaneme čas výjezdu okomotivy ztuneu t = t 3 t =40s 5bodů b) K sestrojení grafu přímé úměrnosti stačí najít veikost jedné ze tří rychostí v = at =m s, v = at =6m s, v 3 = at =0m s Déce vaku v grafu odpovídá obsah trojúheníku na časovém intervau 0; 30 s nebo obsah ichoběžníku na časovém intervau 40 s; 50 s Déku tuneu vyjadřuje obsah trojúheníku na časovém intervau 0; 40 s v m s Obr R t s 5 bodů

2 a) Pohyb etada ze pode principu superpozice rozožit na tři části: úsek AB pohybetadasevernímsměrempodobu t, úsek BC pohybetadazápadnímsměrempodobu t, úsek CD unášeníetadavětrempodobu t + t Pořadí úseků v obrázku může být jiné Voba pořadí nemá viv na daší výpočty Jepatrné,žeúsečky BC a BDmajístejnouveikost Tedy vzdáenost cíe od místa startu je d= AB + BD =v (t + t )=5km Veikost rychosti větru je v = CD t + t = BC t + t = v t t + t =5km h Obr R 6bodů b) Ve zvoeném měřítku sestrojíme vektory rychostí v, v, svírající v první fázietuúhe45 avdruhéfázietuúhe35 avkaždémzpřípadůjejich výsednici C 45 D B A u v u v Obr R3 v v Veikosti výsedné rychosti získané měřením by měy odpovídat hodnotám u =9km h, u =48km h 4body 3a) Pode zákona zachování hybnosti pro izoovanou soustavu dvou vagonů patí m 0 v =(m+m 0 )v Z rovnice pyne m= v v m v 0 ()

3 Pro v=0,3v dostaneme m= 4 3 m 0 b) Určíme nejprve poměr mechanických energií soustavy vagonů po srážce a předsrážkouoznačme E k kinetickouenergiivagonůpředsrážkou, E k kinetickou energii vagonů po srážce Pak patí E k E k = (m 0+ m)v m 0v Podosazenírovnice()aúpravědostaneme E k= v E k v Označmemechanickouenergiipřeměněnounaenergiivnitřní E= E k E k Pak patí E = E k E k = E k = v = v v E k E k E k v v Pro v=0,3v dostaneme E E k =0,=0% m c) Zrovnice()prorychostsoupravypyne v= 0 m 0 + m v Pro m = 0(stojící vagon je prázdný) je rychost soupravy maximání v max = v 5bodů Pro m=m max =m 0 (stojícívagonjemaximáněnaožený)jerychost soupravy minimání v min = 4 v body 4a) Nabízejí se dvě varianty řešení: Z hediska pozorovatee v inerciání vztažné soustavě spojené se zemí působínakuičkudoůtíhovásía F G anahorusíavákna FJejichvýsednicí je dostředivá sía Patí F d = F F G F= F G + F d = mg+ m v () Z hediska pozorovatee v neinerciání vztažné soustavě spojené s otáčejícím se váknem působí na kuičku tíhová sía, odstředivá setrvačná sía a sía vákna, které jsou v rovnováze Patí F= F G + F od = mg+ m v 3 ()

4 Zezákonazachovánímechanickéenergie mg= mv pyne v =g () Podosazenírovnice()dorovnice()aúpravědostaneme F=3mg b) Tentokrátjevychýenákuičkavevýšce hnad její rovnovážnou poohou(obr R4) Ze zákona zachování mechanické energie α pyne mgh= mv v =gh (3) Výška h vychýené kuičky je nyní závisá na úhu α vychýení Pode obr R4 úhe spňuje rovnici cosα= h, z níž vyjádříme výšku h=( cosα) (4) Zrovnic(3)a(4)pyne v =g( cosα) Dosazením do rovnice() a úpravou dostaneme F= mg(3 cosα) (5) h h Obr R4 c) Vrovnici(5)poožíme F=mg, α=α Zrovnicedostaneme 5bodů cosα = atedy α =60 body 5a) Střeajakoceekdosáhnevčase t 0 =3,0s maximánívýšky h 0 = g ( t0 ) =44,m, vnížmánuovourychostztétovýškykonáspodníčáststřeysvisývrh doůpodobu t d = t t 0 =,0s Zrovnice h 0 = v t d + gt d 4

5 vypočítáme počáteční rychost svisého vrhu doů h 0 gt d v = =,m s t d Zezákonazachováníhybnosti m v = m v pynepropočátečnírychost horní části střey v = m m v =36,6m s Ze ze zákona zachování mechanické energie pro horní část střey bezprostředně po odděení v nejvyšším bodě trajektorie pyne maximání výška m gh 0 + m v = m gh m h m = h 0 + v g =m Poodděenísehorníčáststřeypodobu t n pohybujenahorurovnoměrně zpomaenědozastavení,potépadávonýmpádemzvýšky h m podobu t d Pohyby spňují rovnice Cekovýčasetupakje t = t 0 + t n + t d = t 0 + v g + v = gt n, h m = gt d hm g =(3,0+3,+4,8)s=,5s 6bodů b) Počáteční rychost střey je stejná jako v úoze a) a spňuje podmínku v 0 = g t 0 =9,4m s Vokamžikuodděeníjevýškastřey h = v 0 t gt =8,m aveikostjejírychosti v = v 0 gt =,6m s Aktivacíserychosthorníčástistřeyzvětšíohodnotu v =36,6m s Doba výstupu od okamžiku odděení je t n= v + v =5,5s g Maximání výška výstupu horní části střey je h m = h + gt n =8m 4body 5

6 6a) Změřením doby 0 kmitů při různých výchykách dojdeme k závěru: Pokud jsou výchyky podstatně menší než déka závěsu, perioda kmitů je konstantní Při nespnění předpokadu se perioda poněkud produžuje b,c) Příkad naměřených hodnot a jejich zpracování v Exceu jsou v násedující tabuce a grafu Hodnoty ručně měřených časů jsou ponechány bez zaokrouhení Ze tří sestrojených grafů spňuje přímou úměrnost pouze graf závisosti T = kzezobrazenérovnicetrenduvyčtemesměrnicipřímky k=4,05s m O P V V O P 0, 6,59 0,830 0,089 0,688 0,8 0,4,0 0,084,044 0,43 6,3,36 0,849,305 0,55 9,,486 0,305,08 0, 34,8,09 0,584,90 0,85 36,86,843 0,5 3,3966 0,99 39,9,995 0,980 3,9800,8 43,5,9,394 4,459,36 46,68,334,8496 5,446 V V =iylvorvwprfqlq\shulrg\qdgpofh]iyvx \ [ O P d)pro g=9,8m s vychází k =4,0s m Hodnoty kak seišíve 3 patné čísici e) Závěr: Perioda kmitů kyvada je přímo úměrná odmocnině z déky závěsu a) Z 3 Keperova zákona r 3 v r 3 z = T v T z () 6

7 pyne 3 T r v = r v z Tz =0,3r z =08, 0 6 km body b) Při pohedu ze Země se kruhová trajektorie Venuše promítá na nebeskou kenbu jako úsečka, v jejímž středu se nachází průmět Sunce V průběhu času se průmět Venuše po této úsečce periodicky pohybuje od jednoho krajního bodu k opačnému Vivem rotace Země koem osy vidíme zdánivý pohyb nebeské kenby od východu k západu Nachází-i se Venuše na východ od Sunce, zapadá večer nejprve Sunce a na potemněé oboze se objevuje Venuše jako Večernice Nachází-i se Venuše na západ od Sunce, pak se ráno na východě objevuje nejprve Venuše jako Jitřenka a teprve poté vychází Sunce body c) Pode obrázku R5 patí sinα= r v rz Užitím rovnice() dostaneme Venuše T sinα= 3 v Tz =0,3, α=46,3 r v Sunce α r z Země Obr R5 d) StejnávzájemnápoohaZemě,VenušeaSunceseopakujepodobě,za kterouvenušezískápředzemíúhovýnáskok ϕ=prad Patí: ϕ=(ω v ω z )T, kde ω v = p, ω T z = p jsouúhovérychostizeměavenušepodosazení v T z dostaneme ( p p= p ) T T= T zt v =583,46d T v T z T z T v Aternativní řešení: Situace se opakuje za dobu, za kterou Venuše vykoná o jeden oběh více než Země Patí: NT z =(N+)T v, N= T v T z T v Hedanádobaje T= NT z = T zt v T z T v